Lý thuyết Toán 10 Bài 19 KNTT

Phương trình đường thẳng

Toán 10 Kết nối tri thức bài Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Lý thuyết Toán 10 Bài 19 KNTT để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow n$ $\vec{n}$ khác $\overrightarrow 0$ $\vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$ $Δ$ .

Nhận xét

+ Nếu $\overrightarrow n$ $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ thì $k\overrightarrow n (k \ne 0)$ $k \vec{n} (k \neq 0)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ $Δ$ .

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh là A(3, 1), B(4; 0), C(5; 3). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB và một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Giải

Đường trung trực của đoạn thẳng AB vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} (1; - 1)$ $\vec{A B} (1; - 1)$

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {BC} (1; 3)$ $\vec{B C} (1; 3)$

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ $\vec{n} (a; b)$ là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ đi qua điểm A(2: 1) và nhận $\overrightarrow n \left( {3;4} \right)$ $\vec{n} (3; 4)$ là một vectơ pháp tuyến.

Giải

Đường thẳng $\Delta$ $Δ$ có phương trình là 3(x - 2)+ 4(y - 1) = 0 hay 3x + 4y - 10 = 0

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta$ $Δ$ : ax + by + c = 0

+ Nếu b = 0 thì phương trình $\Delta$ $Δ$ có thể đưa về dạng x = m (với $m = - \frac{c}{a})$ $m = - \frac{c}{a})$ và $\Delta$ $Δ$ vuông góc với Ox.

+ Nếu $b \ne 0$ $b \neq 0$ thì phương trình $\Delta$ $Δ$ có thể đưa về dạng y = nx + p (với n = $- \frac{a}{b},p = - \frac{c}{b}$ $- \frac{a}{b}, p = - \frac{c}{b}$ )

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow u khác \overrightarrow 0$ $\vec{u} k h á c \vec{0}$ được goi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$ $Δ$ .

Nhận xét

+ Nếu $\overrightarrow u$ $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ thì $k\overrightarrow u (k \ne 0)$ $k \vec{u} (k \neq 0)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$ $Δ$ .

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Hai vectơ $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ $\vec{n} (a; b)$ và $\overrightarrow u \left( {-b;a} \right)$ $\vec{u} (- b; a)$ vuông góc với nhau nên nếu $\overrightarrow n$ $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ thì $\overrightarrow u$ $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(3; 2), B(1; -4). Hãy chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Giải

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow {AB} \left( { - 2; - 6} \right)$ $\vec{A B} (- 2; - 6)$ là một vectơ chỉ phương.

Lấy $\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)$ $\vec{u} = - \frac{1}{2} \vec{A B} = (1; 3)$ , khi đó \overrightarrow u cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

Cho đường thẳng $\Delta$ $Δ$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $A (x_{0}; y_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b} \right)$ $\vec{u} (a; b)$ . Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng $\Delta$ $Δ$ khi và chỉ khi tổn tại số thực t sao cho $\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u$ $\vec{A M} = t \vec{u}$ , hay

$\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;$ ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ (2)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ (t là tham số).

Ví dụ 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {4; - 1} \right)$ $\vec{u} (4; - 1)$ .

Giải

Phương trinh tham số của đường thẳng $\Delta$ $Δ$ là $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t\\ y = - 3 - t \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x = 2 + 4 t \\ y = - 3 - t \end{cases}$

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Lý thuyết Toán 10 Bài 19 KNTT. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu bổ ích nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm mục Giải Toán 10 KNTT, Lý thuyết Toán 10 KNTT, Trắc nghiệm Toán 10 KNTT...