Lý thuyết Toán 10 Bài 11 KNTT

Cho hai vecto \(\overrightarrow u\)và \(\overrightarrow v\)khác \(\overrightarrow 0\). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u\)và \(\overrightarrow v\), kí hiệu \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

a) Cách xác định góc: Chọn điểm A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u\)và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v\). Khi đó \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \widehat {BAC}.\)

b) Các trường hợp đặc biệt:

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha\)tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v\)hoặc \(\overrightarrow v \bot \overrightarrow u\). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0 \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v\)cùng hướng

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v\)ngược hướng

2. Tích vô hướng của hai Vecto

+) Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v : \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \;\overrightarrow v \;\;\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

a) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho \(\overrightarrow u (x;y)\) và \(\overrightarrow v = (x';y').\)

Khi đó \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = xx' + yy'\)

Hệ quả:

+) \(\overrightarrow u \bot \;\overrightarrow v \; \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\)

+) \({\overrightarrow u ^2} = \overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = x.x + y.y = {x^2} + {y^2}\)

+) Tìm góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\;\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\;\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\)

b) Công thức tính tích vô hướng khi biết độ dài:

Theo định lí cosin: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\)

c) Tính chất

Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w\)bất kì và mọi số thực k, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}\)

Hệ quả

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)

Sơ đồ tư duy - Tích vô hướng của hai Vecto