Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ KNTT

Giải Toán 10 sách Kết nối tri thức

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Giải bài tập

Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ KNTT. Bài viết hướng dẫn bạn đọc trả lời câu hỏi trong SGK Toán 10 các trang 66, 67, 68, 69, 70.

Giải Toán 10 trang 66

Giải hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {DA}$ $\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {DA}$ và $\overrightarrow {DB}$ $\overrightarrow {DB}$.

Hướng dẫn giải:

Số đo góc giữa $\overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {BD}$ $\overrightarrow {BD}$ là góc CBD bằng 30°.

Xét tam giác BCD ta có:

$\begin{array}{l} \widehat {BCA} = \widehat {CBD} + \widehat {CDB}\\ \Leftrightarrow \widehat {CDB} = \widehat {BCA} - \widehat {CBD} = {80^0} - {30^0} = {50^0} \end{array}$ $\begin{array}{l} \widehat {BCA} = \widehat {CBD} + \widehat {CDB}\\ \Leftrightarrow \widehat {CDB} = \widehat {BCA} - \widehat {CBD} = {80^0} - {30^0} = {50^0} \end{array}$

=> Số đo góc giữa $\overrightarrow {DA}$ $\overrightarrow {DA}$ và $\overrightarrow {DB}$ $\overrightarrow {DB}$ là góc CDB bằng 50°.

Vậy số đo góc giữa $\overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {BD}$ $\overrightarrow {BD}$ bằng 30°, số đo góc giữa $\overrightarrow {DA}$ $\overrightarrow {DA}$ và $\overrightarrow {DB}$ $\overrightarrow {DB}$ là góc CDB bằng 50°.

Giải câu hỏi trang 66 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0°, bằng 180°.

Hướng dẫn giải:

Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng (hoặc đối nhau).

Giải luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác đều ABC. Tính $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right)$ $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right)$.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó: $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60^0$ $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60^0$

$⇒\widehat{DAC}=\widehat{ACB}=60^0$ $⇒\widehat{DAC}=\widehat{ACB}=60^0$ (hai góc so le trong)

$⇒\widehat{BAD}=120^0$ $⇒\widehat{BAD}=120^0$

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = {120^0}$ $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = {120^0}$

Vậy $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}$ $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}$

Giải Toán 10 trang 67

Giải câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Khi nào tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ là một số dương? Là một số âm?

Hướng dẫn giải:

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$

Vì $\left| {\overrightarrow u } \right| > 0;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0$ $\left| {\overrightarrow u } \right| > 0;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0$ nên dấu của phụ thuộc vào dấu của $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$ $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$

Nếu tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ là một số dương thì $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) > 0$ $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) > 0$

=> Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ là góc nhọn hoặc bằng 0°.

Nếu tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ là một số âm thì $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) < 0$ $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) < 0$

=> Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ là góc tù hoặc bằng 180°.

Giải câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Khi nào thì ${\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}$ ${\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}$?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)} \right]^2}$ $\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)} \right]^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}.\cos {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2}$ $\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}.\cos {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2}$

Để ${\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}$ ${\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}$ thì $\cos {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = 1\\ \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {0^0}\\ \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {180^0} \end{array} \right.$ $\cos {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = 1\\ \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {0^0}\\ \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {180^0} \end{array} \right.$

Vậy khi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ là 0° hoặc 180° thì ${\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}$ ${\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}$.

Giải luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ theo a, b, c.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)$

$= AB.AC.\cos \widehat {BAC} = b.c.\cos \widehat {BAC}$ $= AB.AC.\cos \widehat {BAC} = b.c.\cos \widehat {BAC}$

Theo định lí cosin, ta có: $\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$ $\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

Khi đó: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = b.c.\cos \widehat {BAC}$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = b.c.\cos \widehat {BAC}$ $= b.c.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}$ $= b.c.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}$

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}$

Giải Toán 10 trang 68

Giải hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho hai vectơ cùng phương $\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {k.x;k.y} \right)$ $\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {k.x;k.y} \right)$. Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow u .\overrightarrow v = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ $\overrightarrow u .\overrightarrow v = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow u = \overrightarrow 0$ $\overrightarrow u = \overrightarrow 0$

b) $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ và k≥0;

c) $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ và k < 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.$ $\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.$

Mà $\overrightarrow 0$ $\overrightarrow 0$ vuông góc với mọi vectơ nên ta có: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0$ $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0$

Ta lại có:

$\begin{array}{l} k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = k.\left( {{0^2} + {0^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = k.\left( {{0^2} + {0^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \end{array}$

Vậy với $\overrightarrow u = \overrightarrow 0$ $\overrightarrow u = \overrightarrow 0$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ cùng hướng

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {0^0}$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {0^0}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \left| k \right|\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\cos {0^0} = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \left| k \right|\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\cos {0^0} = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \end{array}$

Vậy với $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ và k≥0 công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ ngược hướng

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \left| k \right|\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\cos {180^0}\\ = - k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\left( { - 1} \right) = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ = \left| k \right|\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\cos {180^0}\\ = - k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\left( { - 1} \right) = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \end{array}$

Vậy với $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

Giải hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {x$ $\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {x';y'} \right)$.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {x$ $\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {x';y'} \right)$.

b) Tính AB², OA², OB²theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB}$ $\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB}$ theo tọa độ của A, B.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\\ \overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {x;y} \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\\ \overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {x;y} \right)$

Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow v = \left( {x$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow v = \left( {x';y'} \right)\\ \overrightarrow {OB} = \overrightarrow v \end{array} \right. \Rightarrow B\left( {x';y'} \right)$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {x$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {x' - x;y' - y} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {x' - x} \right)}^2} + {{\left( {y' - y} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = A{B^2} = {\left( {x' - x} \right)^2} + {\left( {y' - y} \right)^2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} = \left( {x;y} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = O{A^2} = {x^2} + {y^2} \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} = \left( {x;y} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = O{A^2} = {x^2} + {y^2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OB} = \left( {x$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {OB} = \left( {x';y'} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {x{'^2} + y{'^2}} \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = O{B^2} = x{'^2} + y{'^2} \end{array}$

c) Theo Luyện tập 2 trang 67, ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{2}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} + x{$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{2}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} + x{'^2} + y{'^2} - {{\left( {x' - x} \right)}^2} - {{\left( {y' - y} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{2xx' + 2yy'}}{2} = xx' + yy' \end{array}$

Giải luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {0; - 5} \right);\overrightarrow v = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)$ $\overrightarrow u = \left( {0; - 5} \right);\overrightarrow v = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)$

Hướng dẫn giải:

Tích vô hướng của hai vectơ là: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0.\sqrt 3 + \left( { - 5} \right).1 = - 5$ $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0.\sqrt 3 + \left( { - 5} \right).1 = - 5$

Lại có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u ;\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {120^0} \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u ;\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {120^0} \end{array}$

Vậy $\overrightarrow u .\overrightarrow v = - 5$ $\overrightarrow u .\overrightarrow v = - 5$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ bằng 120°.

Giải hoạt động 4 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho ba vectơ $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1}} \right);\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2}} \right);\overrightarrow w = \left( {{x_3};{y_3}} \right)$ $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1}} \right);\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2}} \right);\overrightarrow w = \left( {{x_3};{y_3}} \right)$

a) Tính $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right);\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w$ $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right);\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w$ theo tọa độ các vectơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v ;\overrightarrow w$ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v ;\overrightarrow w$.

b) So sánh $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right)$ $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right)$ và $\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w$ $\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w$

c) So sánh $\overrightarrow u .\overrightarrow v$ $\overrightarrow u .\overrightarrow v$ và $\overrightarrow v .\overrightarrow u$ $\overrightarrow v .\overrightarrow u$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {{x_2} + {x_3};{y_2} + y_3} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\\ = {x_1}.{x_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_2} + {y_1}.{y_3}{\rm{ }}\left( 1 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {{x_2} + {x_3};{y_2} + y_3} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\\ = {x_1}.{x_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_2} + {y_1}.{y_3}{\rm{ }}\left( 1 \right) \end{array}$

Lại có:

$\left. \begin{array}{l} \overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\ \overrightarrow u .\overrightarrow w = {x_2}{x_3} + {y_2}{y_3} \end{array} \right\}$ $\left. \begin{array}{l} \overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\ \overrightarrow u .\overrightarrow w = {x_2}{x_3} + {y_2}{y_3} \end{array} \right\}$ $\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_2}{x_3} + {y_2}{y_3}{\rm{ }}\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_2}{x_3} + {y_2}{y_3}{\rm{ }}\left( 2 \right)$

b) Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w$ $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w$.

c) Ta có: $\left. \begin{array}{l} \overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\ \overrightarrow v .\overrightarrow u = {x_2}.{x_1} + {y_2}.{y_1} \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u$ $\left. \begin{array}{l} \overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\ \overrightarrow v .\overrightarrow u = {x_2}.{x_1} + {y_2}.{y_1} \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u$

Giải Toán 10 trang 70

Bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$ trong mỗi trường hợp sau:

$a) \overrightarrow a = ( - 3;1),\;\overrightarrow b = (2;6)$ $a) \overrightarrow a = ( - 3;1),\;\overrightarrow b = (2;6)$

$b) \overrightarrow a = (3;1),\;\overrightarrow b = (2;4)$ $b) \overrightarrow a = (3;1),\;\overrightarrow b = (2;4)$

$c) \overrightarrow a = ( - \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b = (2; - \sqrt 2 )$ $c) \overrightarrow a = ( - \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b = (2; - \sqrt 2 )$

Gợi ý đáp án

a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0$ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b hay \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}.$ $\Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b hay \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}$

c) Dễ thấy: $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$ cùng phương do $\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}$ $\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}$

Hơn nữa $\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right) = - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 ;1} \right) = - \sqrt 2 .\overrightarrow a \;; - \sqrt 2 < 0$ $\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right) = - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 ;1} \right) = - \sqrt 2 .\overrightarrow a \;; - \sqrt 2 < 0$

Do đó: $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$ ngược hướng.

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$

Bài 4.22 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Tìm điều kiện của $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ để:

$a) \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$ $a) \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

$b) \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = - \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$ $b) \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = - \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$ $\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}$ $\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}$

Nói cách khác: $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ cùng hướng

b) Ta có $\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =- \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$ $\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =- \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}$ $\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}$

Nói cách khác: $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}$ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}$ theo t

b) Tính t để $\widehat {AMB} = {90^o}$ $\widehat {AMB} = {90^o}$

Gợi ý đáp án

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),\;\overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad= {t^2} + 3t + 2. \end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),\;\overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad= {t^2} + 3t + 2. \end{array}$

Để $\widehat {AMB} = {90^o}$ $\widehat {AMB} = {90^o}$ hay $AM \bot BM$ $AM \bot BM$ thì $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0$ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0$

$<=> t^{2} + 3t +2 = 0$ $<=> t^{2} + 3t +2 = 0$

$<=> \left\{\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.$ $<=> \left\{\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $\widehat {AMB} = {90^o}$ $\widehat {AMB} = {90^o}$

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\\\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\\\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}$ $\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}$

$\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}$ $\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}$

$\Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}$ $\Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 ; \widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.$ $a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 ; \widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.$

Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\\\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\\\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)\end{array} \right.$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow AH \bot BC$ $\Rightarrow AH \bot BC$ và $BH \bot AC$ $BH \bot AC$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0$ và $\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0$ $\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0$

Do đó: $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 và \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 .$ $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 và \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 .$

Mà: $\overrightarrow {BC} = (0; - 6)$ $\overrightarrow {BC} = (0; - 6)$

$\Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 \Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$ $\Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 \Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

và $\overrightarrow {AC} = (6; - 3)$ $\overrightarrow {AC} = (6; - 3)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}$

Vậy H có tọa độ $\left( {1;\frac{1}{2}} \right)$ $\left( {1;\frac{1}{2}} \right)$

Bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .$ ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .$

Gợi ý đáp án

Đặt $A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}$ $A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}$

Mà $1 - {\cos ^2}A = {\sin ^2}A$ $1 - {\cos ^2}A = {\sin ^2}A$

$\Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A}$ $\Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A}$

$\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A (Vì {0^o} < \widehat A < {180^o} nên \sin A > 0)$ $\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A (Vì {0^o} < \widehat A < {180^o} nên \sin A > 0)$

Do đó $A = {S_{ABC}}$ $A = {S_{ABC}}$ hay ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .$ ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .$ (đpcm)

Bài 4.26 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$

Gợi ý đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\end{array}$ \(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\end{array}\)

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

$\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\end{array} (đpcm).$ $\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\end{array} (đpcm).$

Tải về

Chọn file muốn tải về: