Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ KNTT

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ KNTT. Mời bạn đọc cùng tham khảo chi tiết.

Bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ \overrightarrow aa\overrightarrow bb trong mỗi trường hợp sau:

a) \overrightarrow a = ( - 3;1),\;\overrightarrow b = (2;6)a)a=(3;1),b=(2;6)

b) \overrightarrow a = (3;1),\;\overrightarrow b = (2;4)b)a=(3;1),b=(2;4)

c) \overrightarrow a = ( - \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b = (2; - \sqrt 2 )c)a=(2;1),b=(2;2)

Gợi ý đáp án

a) \overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0a.b=(3).2+1.6=0

\Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b hay \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}.abhay(a,b)=90o.

b) \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \end{array} \right.{a.b=3.2+1.4=10|a|=32+12=10;|b|=22+42=25

\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}cos(a,b)=1010.25=22(a,b)=45o

c) Dễ thấy: \overrightarrow aa\overrightarrow bb cùng phương do \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}22=12

Hơn nữa \overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right) = - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 ;1} \right) = - \sqrt 2 .\overrightarrow a \;; - \sqrt 2 < 0b=(2;2)=2.(2;1)=2.a;2<0

Do đó: \overrightarrow aa\overrightarrow bb ngược hướng.

\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}(a,b)=180o

Bài 4.22 trang 70 SGK Toán 10 KNTT

Tìm điều kiện của \overrightarrow u ,\;\overrightarrow vu,v để:

a) \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|a)u.v=|u|.|v|

b) \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = - \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|b)u.v=|u|.|v|

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|u.v=|u|.|v|.cos(u,v)=|u|.|v|

\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}cos(u,v)=1(u,v)=0o

Nói cách khác: \overrightarrow u ,\;\overrightarrow vu,v cùng hướng

b) Ta có \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =- \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|u.v=|u|.|v|.cos(u,v)=|u|.|v|

\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}cos(u,v)=1(u,v)=180o

Nói cách khác: \overrightarrow u ,\;\overrightarrow vu,v ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}AM.BM theo t

b) Tính t để \widehat {AMB} = {90^o}AMB^=90o

Gợi ý đáp án

a)

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),\;\overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad= {t^2} + 3t + 2. \end{array}AM=(t1;2),BM=(t+4;3)AM.BM=(t1)(t+4)+(2)(3)=t2+3t+2.

b)

Để \widehat {AMB} = {90^o}AMB^=90o hay AM \bot BMAMBM thì \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0AM.BM=0

<=> t^{2} + 3t +2 = 0<=>t2+3t+2=0

<=> \left\{\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.<=>{t=1t=2

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì \widehat {AMB} = {90^o}AMB^=90o

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\\\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.{AB=(2(4);41)=(6;3)BC=(22;24)=(0;6)AC=(2(4);21)=(6;3){AB=|AB|=62+32=35BC=|BC|=02+(6)2=6AC=|CA|=62+(3)2=35.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}cosA^=b2+c2a22bc=(35)2+(35)2(6)22.35.35=35A^53,13o

\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}cosB^=a2+c2b22ac=(6)2+(35)2(35)22.6.35=55B^63,435o

\Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}C^63,435o

Vậy tam giác ABC có: a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 ; \widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.a=6;b=35;c=35;A^53,13o;B^=C^63,435o.

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\\\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)\end{array} \right.{AH=(x(4);y1)=(x+4;y1)BH=(x2;y4)

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

\Rightarrow AH \bot BCAHBCBH \bot ACBHAC

\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0(AH,BC)=90ocos(AH,BC)=0\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0(BH,AC)=90ocos(BH,AC)=0

Do đó: \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 và \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 .AH.BC=0vàBH.AC=0.

Mà: \overrightarrow {BC} = (0; - 6)BC=(0;6)

\Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 \Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.(x+4).0+(y1).(6)=06.(y1)=0y=1.

\overrightarrow {AC} = (6; - 3)AC=(6;3)

\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}(x2).6+(y4).(3)=06x12+(3).(3)=06x3=0x=12.

Vậy H có tọa độ \left( {1;\frac{1}{2}} \right)(1;12)

Bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 KNTT

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .SABC=12AB2.AC2(AB.AC)2.

Gợi ý đáp án

Đặt A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}A=12AB2.AC2(AB.AC)2

\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}A=12AB2.AC2(AB.AC.cosA)2A=12AB2.AC2(1cos2A)

1 - {\cos ^2}A = {\sin ^2}A1cos2A=sin2A

\Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A}A=12AB2.AC2.sin2A

\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A (Vì {0^o} < \widehat A < {180^o} nên \sin A > 0)A=12.AB.AC.sinA(Vì0o<A^<180onênsinA>0)

Do đó A = {S_{ABC}}A=SABC hay {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .SABC=12AB2.AC2(AB.AC)2.  (đpcm)

Bài 4.26 trang 70 SGK Toán 10 KNTT

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2

Gợi ý đáp án

Ta có:

\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\end{array}MA2+MB2+MC2=MA2+MB2+MC2=(MG+GA)2+(MG+GB)2+(MG+GC)2=MG2+2MG.GA+GA2+MG2+2MG.GB+GB2+MG2+2MG.GC+GC2=3MG2+2MG.(GA+GB+GC)+GA2+GB2+GC2=3MG2+2MG.0+GA2+GB2+GC2

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\end{array} (đpcm).=3MG2+GA2+GB2+GC2=3MG2+GA2+GB2+GC2(đpcm).

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ KNTT. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 10 KNTT. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn Ngữ văn 10 KNTT...

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Sắp xếp theo
    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

    Xem thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
    Mã QR Code
    Đóng