Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác KNTT
Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác KNTT. Bài viết hướng dẫn bạn đọc trả lời câu hỏi trong SGK Toán 10 các trang 38, 39, 40, 41, 42, 43
Giải Toán 10 trang 38
Mở đầu trang 38 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Ngắm tháp rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?
Hướng dẫn giải
Theo các bước sau, ta có thể xác định được khoảng cách từ vị trí A trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa.
- Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB.
- Bước 2. Đứng tại A, ngắm Tháp Rùa và một cọc tiêu tại ví trí B nào đó để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
- Bước 3. Đứng tại B, ngắm Tháp Rùa và một cọc tiêu tại ví trí A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
- Bước 4. Gọi C là vị trí của Tháp Rùa. Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.
Giải hoạt động 1 trang 38 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng Đông Nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.
a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1km trên thực tế ứng với 1cm trên bản vẽ).
b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).
c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore (Pi – ta – go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?
Hướng dẫn giải
a) Xác định các hướng bắc (B), nam (N), đông (Đ), tây (T) như trên hình vẽ.
Giả sử điểm O trên hình là vị trí cảng Vân Phong hay chính là vị trí tàu bắt đầu xuất phát.
Vận tốc của tàu biển là 20 km/h. Do đó:
Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là S1 = 20 . 1 = 20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.
Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A theo hướng đông nam (hướng tạo với hướng đông một góc 45° về phía nam) đến B với quãng đường AB là S2 = 20 . 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.
Vậy ta vẽ được sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát như hình vẽ trên.
b) Trên sơ đồ, ta đo được khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm.
Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.
c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:
Trong 2 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là 20 . 2 = 40 (km) tương ứng với 40 cm trên sơ đồ.
Sau đó tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B. Ta có thể tính được quãng đường AB khi biết thời gian di chuyển.
Ta có: AB ⊥ OA nên tam giác OAB vuông tại A.
Khi đó áp dụng định lí Pythagore ta có thể tính được chính xác OB với 
\(OB{\rm{ }} = \sqrt {O{A^2} + A{B^2}\;} = \;\sqrt {1600 + A{B^2}}\), do đó ta có thể xác định được chính xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong.
Giải hoạt động 2 trang 38 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.
a) Tính a2theo BD2và CD2.
b) Tính a2theo b, c và DA.
c) Tính DA theo c và cosA.
d) Chứng minh a2= b2+ c2 – 2bc.cosA.
Hướng dẫn giải
a) Xét ΔBDC vuông tại D, có:
BC2 = BD2 + DC2 (Định lí Pythagore)
Hay a2 = BD2 + DC2
b) Xét tam gác BDA vuông tại D, có:
BA2 = BD2 + DA2 (Định lí Pythagore)
Hay BD2 = c2 - DA2
Ta lại có: DC = DA + AC = DA + b
Khi đó: a2 = c2 – DA2 + (DA + b)2 = c2 – DA2 + DA2 + 2.DA.b + b2 = c2 + b2 + 2.DA.b.
Vậy a2 = BD2 + DC2 = c2 + b2 + 2.DA.b (1)
c) Xét tam giác BDA vuông tại D, có:
DA = AB.cosα = c.cosα.
Lại có: \(\widehat {BAC} + \widehat {BAD} = 180^\circ\)(hai góc kề bù)
Hay \(\widehat {BAC} + \alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 180^\circ - \widehat {BAC}\)
\(\;\cos \alpha = \;\cos ({180^0} - \widehat {BAC})\; =-\cos \;\widehat {BAC}\; = -\cos A\)
Vậy DA = – c.cosA.
d) Thay DA = – c.cosA vào biểu thức (1), ta được:
a2 = c2 + b2 – 2bc.cosA
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cosA. (đpcm)
Giair câu hỏi trang 38 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Định lý Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin hay không?
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA (định lí cos)
= AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos90°
= AB2 + AC2 (định lí Py – ta – go)
Định lý Pythagore có là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.
Giải Toán 10 trang 39
Khám phá trang 39 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Từ định lý côsin hãy viết các công thức tính cosA, cosB, cosC theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Từ định lý cosin, ta có công thức tính cosA, cosB, cosC theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC là:
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\\
{\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}
\end{array}\)
Giải luyện tập 1 trang 39 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC, có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat A = {45^0}\). Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ABC, áp dụng định lí côsin, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{B{C^2}\; = {\rm{ }}A{B^2}\; + {\rm{ }}A{C^2}\;--{\rm{ }}2.AB.AC.\cos \widehat {{\rm{ }}A}}\\
{B{C^2}\; = {\rm{ }}{5^2}\; + {\rm{ }}{8^2}\;--{\rm{ }}2.5.8.\cos {{45}^0}}\\
{B{C^2}\; = \;89 - 40\sqrt 2 }\\
{BC \approx 5,7cm}
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\cos C = \frac{{B{C^2} + A{C^2} - A{B^2}}}{{2.BC.AC}} = \frac{{{{\left( {5,7} \right)}^2} + {8^2} - {5^2}}}{{2.5,7.8}} \approx 0,7839\\
\; \Rightarrow C \approx 38^\circ 23'
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{{5^2} + {{\left( {5,7} \right)}^2} - {8^2}}}{{2.5.5,7}} \approx - 0,1153\;\\
\Rightarrow B \approx 96^\circ 37'
\end{array}
\end{array}\)
Trải nghiệm trang 39 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí Côsin tại đỉnh A đối với tam giác đó.
Hướng dẫn giải
Hinh vẽ minh họa:
Tiến hành đo các cạnh của tam giác và góc A, ta được:
AB = 7cm, AC = 4cm, BC = 7,37cm và .
Khi đó, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {4^2} - 7,{{37}^2}}}{{2.7.4}}\; \approx {\rm{ }}0,19.}\\
{\cos \widehat A = \cos {{79}^0} \approx 0,19}
\end{array}\)
\(\Rightarrow \cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)
Vì vậy Định lý côsin là đúng.
Giải vận dụng 1 trang 39 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Dùng định lí Côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.
Hướng dẫn giải
Vị trí O là vị trí là vị trí cảng Vân Phong.
Sau khi đi 1 giờ theo hướng đông với vận tốc 20km/h thì tàu đi đến vị trí A, quãng đường OA là: 20.1 = 20 (km)
Đi tiếp 0,5 giờ còn lại theo hướng đông nam cũng với vận tốc 20km/h thì tàu đến vị trí B, quãng đường AB là: 20.0,5 = 10 (km)
Vì hướng đông và hướng đông nam tạo với nhau một góc 45° nên \(\widehat {OAB} = {135^0}\)
Xét tam giác ABC áp dụng định lí Côsin, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{O{B^2}\; = {\rm{ }}O{A^2}\; + {\rm{ }}A{B^2}\;-{\rm{ }}2.OA.AB.\cos A}\\{ = {{20}^2}\; + {\rm{ }}{{10}^2}\;-{\rm{ }}2.20.10.\cos {{135}^0}}\\{ = 500 + 200\sqrt 2 }\\{ \Rightarrow OB \approx 27,98{\rm{ }}km}\end{array}\)
Vậy sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng vân phong 27,98 km.
Giải hoạt dộng 3 trang 39 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.
Hướng dẫn giải
Hình 3.10a):
Xét tam giác BCM vuông tại C, có:
\(\sin \widehat {BMC} = \frac{{BC}}{{BM}} = \frac{a}{{2R}}\)
Mà \(\widehat {BMC} + \widehat A = {180^0}\) (tứ giác ABMC nối tiếp đường tròn (O)).
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow \widehat A = {{180}^0} - \widehat {BMC}}\\
{ \Rightarrow \sin \widehat A = \sin ({{180}^0} - \widehat {BMC}) = \sin \widehat {BMC} = \frac{a}{{2R}}}\\
{ \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}}}
\end{array}\)
Hình 3.10b):
Xét tam giác BCM vuông tại C, có:
\(sin\widehat {BMC} = \frac{{BC}}{{BM}} = \frac{a}{{2R}}\)
Mà \(\widehat {BMC} + \widehat A = \frac{1}{2}sdBAC + \frac{1}{2}sdBMC\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{2}{.360^0} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {180^0} - \widehat A\\
\Rightarrow \sin \widehat A = \sin ({180^0} - \widehat {BMC}) = \sin \widehat {BMC} = \frac{a}{{2R}}\\
\Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}}
\end{array}\)
Giải Toán 10 trang 40
Giải luyện tập 2 trang 40 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và \(\widehat B = {80^0}\). Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài các cạnh còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, áp dụng định lý sin, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R}\\
{ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin {{80}^0}}} = \frac{5}{{\sin C}} = 2R}\\
{ \Rightarrow 2R = \frac{8}{{\sin {{80}^0}}} \approx 8,12 \Leftrightarrow R \approx 4,06}
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{8}{{\sin {{80}^0}}} = \frac{5}{{\sin C}} \approx 8,12\\
\Rightarrow \sin C \approx \frac{5}{{8,12}} \approx 0,62\\
\Rightarrow \widehat C \approx {38^0}
\end{array}\)
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có:
\(\begin{array}{l}
\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx {62^0}
\end{array}\)
Lại có: \(\frac{a}{{\sin {{62}^0}}} \approx 8,12 \Rightarrow a \approx 7,17\)
Vậy R ≈ 4,06; a ≈ 7,17; góc C≈38°, góc A≈62°
Giải luyện tập 3 trang 40 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, \(\widehat A = {87^0}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC, có:
Theo định lý Cos, ta có:
BC2 = AB2 + AC2– 2.AB.AC.cosA
= 322 + 452 – 2.32.45.cos87° ≈ 2898,27
BC ≈ 53,84
Theo định lí Sin, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R}\\
{ \Rightarrow \frac{{53,84}}{{\sin A}} = \frac{{32}}{{\sin B}} = \frac{{45}}{{\sin C}} = 2R}\\
\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{53,84}}{{\sin A}} = \frac{{32}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin B = 0,59 \Rightarrow \widehat B = 36,{4^0}\\
\Rightarrow \widehat C = 56,{6^0}
\end{array}
\end{array}\)
Vậy và BC = 53,84.
Giải vận dụng 2 trang 40 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Từ một khu vực có thể quan sát hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.
Hướng dẫn giải
Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.
Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó (góc BAC).
Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.
* Tính AB bằng cách:
+ Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.
+ Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc β.
Ta có hình vẽ:
Ta có: \(\widehat {ADB} = {180^0} - \beta ;\;\widehat {DBA} = \beta - a\)
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta được:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{DA}}{{\sin \widehat {DBA}}}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow AB = \sin \widehat {ADB}.\frac{{DA}}{{\sin \widehat {DBA}}}\\
\Rightarrow AB = \sin (180^\circ - \beta ).\frac{{DA}}{{\sin (\beta - \alpha )}}
\end{array}\)
* Tương tự ngắm và đo để xác định AC.
Ta có: \(\widehat {AEC} = {180^0} - \gamma ;{\rm{\;}}\widehat {ECA} = \gamma - \alpha\)
Áp dụng định lí sin vào tam giác ACE, ta được:
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.
Ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosBAC.
Với AB, AC, góc BAC đã biết ở các bước trên, thay vào ta tính được BC chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.
Giải Toán 10 trang 41
Giải hoạt động 4 trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho ΔABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.
Hướng dẫn giải
a) Ta có diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC:
S∆ABC= S∆IBC+ S∆ICA + S∆IAB
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{S_{\Delta IBC}} = \frac{1}{2}a.r}\\
{{S_{\Delta ICA}} = \frac{1}{2}b.r}\\
{{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}cr}\\
{ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta IBC}} + {S_{\Delta ICA}} + S\Delta IAB}\\
{ = \frac{1}{2}a.r + \frac{1}{2}b.r + \frac{1}{2}c.r = \frac{{(a + b + c).r}}{2}.}
\end{array}\)
Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)
Giải hoạt động 5 trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC với đường cao BD
a) Biểu thị BD theo AB và sin A.
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.
Hướng dẫn giải
a) TH1: Đường cao BD nằm trong tam giác ABC
Xét tam giac ABD vuông tại D, có:
BD = sinA.AB
TH2: Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC
Xét tam gác ABD vuông tại D, có:
\(BD = \sin \widehat {BAD}.AB\)
Mà \(\widehat {BAD} + \widehat {BAC} = {180^0}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \sin ({{180}^0} - \widehat {BAD}) = \sin \widehat {BAD}}\\
{ \Rightarrow BD = \sin \widehat {BAC}.AB = \sin A.AB}
\end{array}\)
Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = sinA.AB.
b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.AB.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.b.c\sin \widehat A\)
TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.AB.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.b.c\sin \widehat A\)
Vậy cả hai trường hợp \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.b.c\sin \widehat A\)
Giải luyện tập 4 trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, \(\widehat B = {30^0},\widehat C = {45^0}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin, ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{45}^0}}}\\
\Leftrightarrow AB = \frac{{2.\sin {{45}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = 2\sqrt 2
\end{array}\)
Ta có:
\(\widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C\; = {\rm{ }}{180^0}-{\rm{ }}{30^0}{\rm{ }}-{\rm{ }}{45^0}\; = {\rm{ }}{105^0}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2.\sin {105^0} = 1 + \sqrt 3\)(đvdt)
Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3\) đvdt.
Thảo luận trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Ta đã biết tính cosA theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sinA và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC không?
Hướng dẫn giải
sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:
Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) (định lí côsin)
Ta lại có: cos2A + sin2A = 1
⇔ sin2A = 1 – cos2A
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {{\sin }^2}A = 1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}}\\
{ \Leftrightarrow \sin A = \sqrt {{{\frac{{4{b^2}{c^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{4{b^2}{c^2}}}}^2}} }
\end{array}\)
Khi đó diện tích tam giác ABC là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\\
= \frac{1}{2}.b.c.\sqrt {{{\frac{{4{b^2}{c^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{4{b^2}{c^2}}}}^2}}
\end{array}\\
{ = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2}} \right)\left( {2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)} }\\
{ = \frac{1}{4}\sqrt {\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}} \right]} }\\
{ = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)} }
\end{array}\)
Giải Toán 10 trang 42
Bài 3.5 trang 42 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cosA, S, r.
Lời giải
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC có:
\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-6^2}{2.5.8}=0,6625\)
\(\Rightarrow\widehat A=48,51^0\)
=> sinA = 0,749
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\frac12b.c.\sin A=\frac12.5.8.0,749=14,98\)
Nửa chu vi của tam giác ABC là: \(p=\frac{a+b+c}2=\frac{19}2\)
Ta có: S = pr
\(\Rightarrow r=\frac SP=\frac{14,98}{\displaystyle\frac{19}2}\approx1,58\)
Vậy cosA = 0,6625, S = 14,98 đvdt, r = 1,58.
Bài 3.6 trang 42 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có \(a=10;\widehat A=45^0;\widehat B=70^0\). Tính R, b, c.
Lời giải
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC có:
\(\widehat C=180^0-\widehat A-\widehat B=180^0-45^0-70^0=65^0\)
Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:
\(\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}\)
=> \(b=\frac{a.\sin B}{\sin A}=\frac{10.\sin70^0}{\sin45^0}\approx13,29\)
Ta có: \(\frac a{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac a{2.\sin A}=\frac{10}{2.\sin45^0}=5\sqrt2\)
\(\frac a{\sin A}=\frac c{\sin C}\)
=> \(c=\frac{a.\sin C}{\sin A}=\frac{10.\sin65^0}{\sin45^0}\approx12,82\)
Vậy \(R=5\sqrt2;b=13,29;c=12,82\)
Bài 3.7 trang 42 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết \(\widehat A\;=\;15^o;\;\widehat B\;=\;130^o;\;c\;=\;6\)
Lời giải
Xét tam giác ABC có:
\(\widehat C=180^0-\left(\widehat A+\widehat B\right)=180^0-\left(15^0+130^0\right)=35^0\)
Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:
\(\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}\)
=> \(\frac a{\sin15^0}=\frac b{\sin130^0}=\frac6{\sin35^0}\)
=> \(\frac a{\sin15^0}=\frac6{\sin35^0}\Rightarrow a=\frac{6.\sin15^0}{\sin35^0}\approx2,71\)
=> \(\frac b{\sin130^0}=\frac6{\sin35^0}\Rightarrow b=\frac{6.\sin130^0}{\sin35^0}\approx8,01\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S=\frac12a\;.\;\;b.\;\sin\widehat C=\frac12\;.\;2,71\;\;.8,01\;.\;\sin35^0\approx\;9,2\)
Bài 3.8 trang 42 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S700E với vận tốc 70km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam theo vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Lời giải
a) Tàu cá xuất phát từ A đi theo hướng S700E với vận tốc 70km/h trong 90 phút = 1,5 giờ thì tàu cá đi được đến B (vị trí tàu bị hỏng)
=> Quãng đường AB là: 70.1,5 = 105 (km)
Từ vị trí B tàu cá thả trôi với vận tốc 8km/h theo hướng nam sau 2h thì neo đậu vào đảo C
=> Quãng đường BC là: 8.2 = 16km
Khoảng cách từ cảng A đến nơi tàu neo đậu chính là đoạn AC.
Do tàu đi theo hướng S700E nên phương AB hợp với phương nam Ax một góc 700
=> \(\widehat{xAB}=70^0\)
Mà phương BC song song với phương nam Ax
=> \(\widehat {CBx} = \widehat {xAB} = {70^0}\) (hai góc đồng vị)
=> \(\widehat {ABC} = {110^0}\)
Xét tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosB
= 1052 + 162 – 2.105.16.cos1100
= 12 430,19
=> AC = 111,49 km
Vậy khoảng cách từ cảng A đến nơi tàu neo đậu là 111,49 km.
b) Xét tam giác ABC, có:
\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{{105}^2} + 111,{{49}^2} - {{16}^2}}}{{2.105.111,49}} \approx 0,99\)
\(\Rightarrow \widehat {BAC} \approx 7,{75^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {xAC} = {70^0} - \widehat {BAC} = {70^0} - 7,{75^0} = 62,{25^0}\)
Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là S62,250E.
Bài 3.9 trang 42 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng – ten cao 5m, Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng – ten, với các góc tương ứng là 500 và 400 so với phương nằm ngang (H.3.18).
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính chiều cao của tòa nhà.
Lời giải
Ký hiệu hình vẽ
Ta có: \(\widehat {BAC} = {50^0} - {40^0} = {10^0}\)
Xét tam giác Abm vuông tại M ta có:
\(\widehat {CBA} + \widehat {BAM} = {90^0}\)
=> \(\widehat {CBA} = {90^0} - \widehat {BAM} = {90^0} - {50^0} = {40^0}\)
Xét tam giác ABC ta có:
=> \(\widehat {ACB} = {180^0} - \widehat {BAC} - \widehat {CBA} = {180^0} - {10^0} - {40^0} = {130^0}\)
b) Xét tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}\)
\(\Rightarrow \frac{{AB}}{{\sin {{130}^0}}} = \frac{5}{{\sin {{10}^0}}} \Rightarrow AB \approx 22,06\left( {ma} \right)\)
Xét tam giác ABM có:
\(BM = AB.\sin \widehat {BAC} = 22,06.\sin {50^0} \approx 16,9\left( m \right)\)
=> Chiều cao của tòa nhà là: 16,9 + 7 = 23,9 (m)
Vậy chiều cao của tòa nhà là 23,9 m.
Giải Toán 10 trang 43
Bài 3.10 trang 43 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình ta có thể ngắm được Đảo yến. Hãy đề xuất cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).
Lời giải
Ta có hình vẽ minh họa:
Các bước xác định bề rộng của hòn đảo như sau:
Bước 1: Trên bờ, đặt một cọc ở vị trí A, một cọc ở vị trí B, một cọc ở vị trí C (như hình vẽ). Đo khoảng cách AB, AC
Bước 2: Đứng tại A ngắm điểm B và điểm H để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc BAH. Đứng tại B ngắm điểm H và điểm A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc HBA.
Bước 3: Dựa vào định lí sin trong tam giác ABH ta tính được cạnh AH.
Bước 4: Đứng tại A ngắm điểm C và điểm K để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc KAC. Đứng tại C ngắm điểm K và điểm A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc KCA
Bước 5: Dựa vào định lí sin trong tam giác AKC tính được AK.
Bước 6: Xét tam giác AKH, sử dụng định lí cos để tính cạnh KH.
Vậy độ dài KH chính là chiều rộng của đảo.
Bài 3.11 trang 43 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sát lở núi, nối thẳng từ A đến D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu ki lô mét so với đường cũ?
Lời giải
Ta có hình vẽ như sau:
Xét ta giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2AB.BC.cosB
= 82 + 62 – 2.8.6.cos1050
≈ 124,85
=> AC ≈ 11,17 km
=> \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\)
\(\Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{AC}} \approx 0,69\)
\(\Rightarrow \widehat {ACB} \approx 43,{77^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BCD} - \widehat {ACB} = {135^0} - 43,{77^0} = 91,{23^0}\)
Xét tam giác ADC ta có:
AD2 = AC2 + DC2 – 2AC.DC.cosACD
= 11,172 + 122 – 2.11,17.12.cos91,230
≈ 274,52
=> AD ≈ 16,57 km
Độ dài đoạn đường cũ là: AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 km
Độ dài đường cũ hơn độ dài đoạn đường mới: 26 – 16,57 = 9,43 km.
