Giải Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu KNTT

Giải Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu KNTT được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết hướng dẫn bạn đọc trả lời câu hỏi trong SGK Toán 10 các trang 47, 48, 49, 50.

Giải Toán 10 trang 47

Giải hoạt động 1 trang 47 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có hình vẽ sau:

Vì góc giữa hướng đông và hướng nam là bằng 90° nên \(\widehat{AHB}=90^0\)

Xét tam giác AHB vuông ở H, ta có:

\(AB^2 = AH^2 + BH^2\) (định lí Pythagore)

\(AB^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200\)

\(⇔AB=10\sqrt{2} (km)\)

Ta có tam giác AHB vuông tại H, có \(AH = BH = 10 km\)

=> ∆AHB cân tại H

\(⇒\widehat{HAB}=45^0\)

Tia Ax là hướng nam nên Ax⊥AH \(⇒\widehat{HAx}=90^0\)

\(=> \widehat{BAx}=90^0−\widehat{HAB} = 90^0 - 45^0 = 45^0\).

Khi đó hướng đi từ A đến B tạo với hướng nam một góc 45°.

Vậy nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì tàu phải đi theo hướng S45°E hay chính là hướng đông nam và phải đi quãng đường dài \(10\sqrt{2} km\).

Giải luyện tập 1 trang 47 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên ta có:

\(AB = AC = BC = a\).

=> Các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là:

\(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB}\)

=> Các vectơ thỏa mãn điều kiện đầu bài là: \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB}\)

Giải hoạt động 2 trang 47 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Quan sát hình vẽ, ta có nhận xét sau:

Các làn đường chạy song song với nhau. Do đó phát biểu a) đúng.

Có ba xe hướng từ trên xuống dưới, còn hai xe hướng từ dưới lên trên. Do đó phát biểu b) sai.

Hai xe bất kì hoặc chạy cùng hướng hoặc chạy ngược hướng nhau. Do đó phát biểu c) đúng.

Giải Toán 10 trang 48

Giải hoạt động 3 trang 48 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Theo quan sát hai vectơ\(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow {AB}\) ta thấy hai vectơ cùng hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và cùng hướng lên trên.

=> Các vectơ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) là \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow y\).

Theo quan sát hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow x\) ta thấy hai vectơ ngược hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và vectơ \(\overrightarrow a\) hướng lên trên còn vectơ \(\overrightarrow x\) lại hướng xuống dưới.

=> Các vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) là \(\overrightarrow x\) và \(\overrightarrow z\).

Giải Toán 10 trang 49

Giải luyện tập 2 trang 49 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Xét cặp vectơ \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC}\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \overrightarrow {AD} ;\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \overrightarrow {BC}\) mà AD = BC (ABCD là hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau).

=> Hai vectơ \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC}\) có độ dài bằng nhau.

- Do AD và BC không song song với nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC}\) không cùng phương với nhau

=> Chúng không cùng hướng.

Xét cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \overrightarrow {AB} ;\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \overrightarrow {CD}\), mà theo đề bài ra có AB < CD,

=> \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| < \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\)

- Vì AB // CD (do ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB và CD), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AC}\) có giá song song với nhau nên chúng cùng phương với nhau.

- Vectơ có hướng đi từ trái qua phải, còn vectơ có hướng đi từ phải qua trái, do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}\) này ngược hướng nhau.

Xét cặp vectơ \(\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD}\)

Ta có:\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \overrightarrow {AC} ;\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \overrightarrow {BD}\) mà AC = BD (hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AC}\) và \(\overrightarrow {BD}\) có độ dài bằng nhau.

- Do AC và BD cắt nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC}\) và \(\overrightarrow {BD}\) không cùng phương, do đó chúng không cùng hướng.

Vậy trong các cặp vectơ đã cho, không có cặp vectơ nào cùng hướng và cùng độ dài, do đó không có cặp vectơ nào bằng nhau.

Giải luyện tập 3 trang 49 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Đáp án cần chọn là: d)

Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {MA}\) và \(\overrightarrow {MB}\) ngược hướng

Thì hai vectơ \(\overrightarrow {MA}\) và \(\overrightarrow {MB}\) cùng phương

⇒MA // MB (vô lí) hoặc MA trùng MB.

⇒ A, M, B thẳng hàng

Mà hai vectơ \(\overrightarrow {MA}\) và \(\overrightarrow {MB}\) ngược hướng nên điểm M nằm giữa điểm A và điểm B.

Điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}\) và \(\overrightarrow {MB}\) ngược hướng.

Vậy điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B là \(\overrightarrow {MA}\) và \(\overrightarrow {MB}\) ngược hướng.

Giải Toán 10 trang 50

Bài 4.1 trang 50 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho ba vecto \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c\) đều khác \(\overrightarrow 0\). Những khẳng định nào sau đây đúng?

a) \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c\) đều cùng hướng với \(\overrightarrow 0\)

b) Nếu \(\overrightarrow b\) không cùng hướng với \(\overrightarrow a\) thì \(\overrightarrow b\) ngược hướng với \(\overrightarrow a\)

c) Nếu \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) đều cùng phương với \(\overrightarrow c\) thì \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) cùng phương.

d) Nếu \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\)đều cùng hướng với thì \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) cùng hướng.

Lời giải

a) \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c\) đều cùng hướng với \(\overrightarrow 0\)

Mọi vecto đều cùng hướng với \(\overrightarrow 0\) => Khẳng định đúng

b) Nếu \(\overrightarrow b\) không cùng hướng với \(\overrightarrow a\) thì \(\overrightarrow b\) ngược hướng với \(\overrightarrow a\)hoặc \(\overrightarrow b\) không cùng phương với \(\overrightarrow a\)

=> Khẳng định sai

c) Nếu \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) đều cùng phương với \(\overrightarrow c\) thì \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) có giá song song hoặc trùng với \(\overrightarrow c\)

=> \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) có giá song song hoặc trùng nhau

=> \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) cùng phương

=> Khẳng định đúng.

d) Nếu \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\)đều cùng hướng với thì \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) cùng hướng.

=> Khẳng định đúng.

Bài 4.2 trang 50 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong hình 4.12 hãy chỉ ra các vecto cùng phương, các cặp vecto ngược hướng và các cặp vecto bằng nhau. 

Lời giải

Quan sát hình vẽ ta thấy:

Các vecto \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c\) có giá song song với nhau và có cùng độ dài.

+ Các vecto cùng phương là: \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c\)

+ Các cặp vecto ngược hướng là: \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) và \(\overrightarrow c ;\overrightarrow b\)

+ Các cặp vecto cùng hướng và bằng nhau là: \(\overrightarrow a ;\overrightarrow c\)

Bài 4.3 trang 50 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD}\)

Lời giải

Hình vẽ minh họa

Nếu ABCD là hình bình hành => \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}\)

Chứng minh

Ta có: ABCD là hình bình hành

=> AD // BC

=> Hai vecto \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC}\) là hai vecto cùng phương

=> Hai vecto \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC}\) là hai vecto cùng hướng.

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

=> \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}\)

Bài 4.4 trang 50 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vecto khác \(\overrightarrow 0\) có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vecto thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau. 

Lời giải

Hình vẽ minh họa

Các vecto khác \(\overrightarrow 0\) có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là:

\(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AO} ;\)

\(\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BO} ;\)

\(\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CO} ;\)

\(\overrightarrow {DA} ;\overrightarrow {DB} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {DO} ;\)

\(\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {OD}\)

Khi đó tập hợp cần tìm là

\(S = \left\{ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BO} ;\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CO} ;\overrightarrow {DA} ;\overrightarrow {DB} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {DO} ;\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {OD} .} \right\}\)

Hai vecto bằng nhau trong tập hợp S là:

\(\begin{matrix} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} ; \hfill \\ \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} ; \hfill \\ \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CO} ;\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} ; \hfill \\ \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {BO} \hfill \\ \end{matrix}\)

Khi đó tập S chia thành các nhóm là:

\(\begin{matrix} \left\{ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} } \right\} \hfill \\ \left\{ {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right\} \hfill \\ \left\{ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {CD} } \right\} \hfill \\ \left\{ {\overrightarrow {DA} ;\overrightarrow {CB} } \right\} \hfill \\ \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \left\{ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {CO} } \right\} \hfill \\ \left\{ {\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {OC} } \right\} \hfill \\ \left\{ {\overrightarrow {DO} ;\overrightarrow {OB} } \right\} \hfill \\ \left\{ {\overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {BO} } \right\} \hfill \\ \end{matrix}\)

Bài 4.5 trang 50 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ vecto \(\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {MN}\) với a(1; 2), m(0; -1), n(3; 5).

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vecto trên.

b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vecto \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OA}\). Hỏi vật thể đó có đi qua điểm N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?

Lời giải

Hình vẽ minh họa

a) Quan sát hình vẽ ta thấy;

Hai vecto \(\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {MN}\) là hai vecto cùng hướng

b) Xét tam giác OAD vuông tạị D ta có:

OA² = OD² + AD²

=> OA² = 1² + 2² = 5

=> \(OA = \sqrt 5\)

Xét tam giác MNB vuông tạo B ta có:

NM² = MB² + BN²

=> NM² = 6² + 3² = 45

=> \(NM = 3\sqrt 5\)

Ta có: \(\frac{{NM}}{{OA}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = 3\)

=> NM = 3OA

Do hai vecto \(\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {MN}\) là hai vecto cùng hướng nên vật thể chuyển động thẳng đều với vận tốc được biểu diễn \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OA}\) nên vật thể đó đi qua điểm N và sau 3 giờ thì vật sẽ tới điểm N.

• Giải Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vecto KNTT