Giải Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách KNTT
Giải Toán 10 Bài 20 KNTT
Giải Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách KNTT được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.
Bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 KNTT
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a.
\(\Delta _{1}:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\) và \(\Delta _{2}: 6x+2y-\sqrt{6}=0\)
b. \(d _{1}: x-\sqrt{3}y+2=0\) và \(d _{2}: \sqrt{3}x-3y+2=0\)
c. \(m _{1}: x-2y+1=0\) và \(m _{2}: 3x+y-2=0\)
Gợi ý đáp án
\(a. \Delta _{1}\)có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{1}}(3\sqrt{2};\sqrt{2})\)
\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{2}}(6; 2)\)
Ta có \(\overrightarrow{n_{1}} và \overrightarrow{n_{2}}\) cùng phương, nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) song song hoặc trùng nhau.
Ta có:\(3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow 3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\)
Vậy \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) trùng nhau.
b. Ta có:\(x-\sqrt{3}y+2=0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}=0\)
Mà \(\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3} \neq \sqrt{3}x-3y+2\) nên \(d _{1} và d _{2}\) song song.
c. \(m _{1}\) có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n_{1}}(1;-2)\)
\(m _{2}\) có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n_{2}}(3;1)\)
Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương, nên \(d _{1}\) và \(d _{2}\) cắt nhau.
Bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 KNTT
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
\(a. \Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0\) và \(\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0\)
b. \(d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right. và d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.\) (t, s là các tham số)
Gợi ý đáp án
a.
\(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{1}}(\sqrt{3}; 1)\)
\(\Delta _{2}\)có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2}}(1; \sqrt{3})\)
Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _{1} và \Delta _{2}, ta có:\)
\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{1^{2}+3}.\sqrt{3+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Do đó góc giữa \(\Delta _{1} và \Delta _{2} là \varphi =30^{o}.\)
b.
\(d _{1}\) có vecto chỉ phương\(\overrightarrow{u_{1}}(2; 4)\)
\(d _{2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1; -3)\)
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d _{1}\) và \(d _{2}\), ta có:
\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|2.1-3.4|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi \approx 26,6^{o}.\)
Bài 7.9 trang 41 SGK Toán 10 KNTT
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng\(\Delta : x + y - 4 = 0.\)
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta\)
b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với \(\Delta .\)
c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với \(\Delta .\)
Gợi ý đáp án
a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta\) là: \(d_{(A;\Delta )}=\frac{|0-2+4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}\)
b. đường thẳng a song song với \(\Delta\) nên đường thẳng a có dạng: x + y + c = 0.
Do a đi qua M nên: -1 + 0 + c = 0, suy ra c = 1.
Vậy phương trình đường thẳng a: x + y + 1 = 0.
c. Đường thẳng b vuông góc với \(\Delta\) nên đường thẳng b có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của đường thẳng b:\(\overrightarrow{u}(1; 1)\)
Phương trình tham số của đường thẳng b là:
\(\left\{\begin{matrix}x=t\\ y=3+t\end{matrix}\right.\)
Bài 7.10 trang 41 SGK Toán 10 KNTT
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).
a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Gợi ý đáp án
a.
Viết phương trình đường thẳng BC: có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{BC}(-5;-3)\) và đi qua B(3; 2).
\(\Rightarrow\) Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(3; -5)\)
Phương trình đường thẳng BC là: 3(x - 3) - 5(y - 2) = 0, Hay 3x - 5y +1 = 0
Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
Áp dụng công thức khoảng cách có:\(d_{(A; BC)}=\frac{|3.1-5.0+1|}{\sqrt{3^{2}+5^{2}}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}\)
b.
Độ dài đoạn BC là: \(BC = \sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}d_{(A;BC)}.BC=\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{34}}{17}.\sqrt{34}=2\)
Bài 7.11 trang 41 SGK Toán 10 KNTT
Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a \neq 0) và d': y = a'x + b' (\(a' \neq 0\)) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.
Gợi ý đáp án
Giả sử đường thẳng d và d' vuông góc với nhau, ta chứng minh aa' = -1. Thật vậy,
Đường thẳng d có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n}(a; -1)\)
Đường thẳng d' có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n'}(a'; -1)\)
Do đường thẳng d và d' vuông góc với nhau nên\(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=0\)
\(\Rightarrow a\).a' + (-1).(-1) = 0, hay a.a' = -1.
Giả sử a.a' = -1, ta chứng minh đường thẳng d và d' vuông góc với nhau. Thật vậy,
Xét tích vô hướng: \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}= a.a' + (-1).(-1) = -1 + 1 = 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n'}\)
Vậy đường thẳng d và d' vuông góc với nhau.
Bài 7.12 trang 41 SGK Toán 10 KNTT
Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Gợi ý đáp án
Gọi điểm phát tín hiệu là I(x; y).
Do vị trí I đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại O, A, B nhận được cùng một thời điểm nên: IO = IA = IB.
Ta có: \(IO=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}},\)
\(IA= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-0)^{2}},\)
\(IB= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}\)
Vì IO = IA = IB, nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix}(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-1)^{2}+(y-0)^{2}\\ (x-1)^{2}+(y-0)^{2}=(x-1)^{2}+(y-3)^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2x+1=0\\ -6y +9 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy điểm cần tìm là \(I(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\)
Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách KNTT. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 10 KNTT. Mời các bạn cùng thamk hảo thêm tài liệu học tập môn Ngữ văn 10 KNTT...
