Giải Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ KNTT

Giải Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ KNTT được VnDoc.com tổng hợp và gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết hướng dẫn bạn đọc trả lời câu hỏi SGK Toán 10 các trang 60, 61, 62, 63, 64, 65.

Giải Toán 10 trang 60

Mở đầu trang 60 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta có thể trả lời câu hỏi này như sau:

Dựa vào thông tin trên, ta có thể dự đoán được tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó.

Giải hoạt động 1 trang 60 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vectơ \(\overrightarrow {OM}\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {OA}\) và OM = 4OA

=>\(\overrightarrow {OM} = 4\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i\)

Ta có:

Vectơ \(\overrightarrow {ON}\) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow {OA}\) và

=> \(\overrightarrow {ON} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {OA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow i\)

Giải Toán 10 trang 61

Giải hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

a) Xét hình bình hành OAMB ta có:

\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j\) (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OCND ta có:

\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = - 2\overrightarrow i + \frac{5}{2}\overrightarrow j\) (quy tắc hình bình hành)

b) Xét tam giác OMN, có:

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM}\) (quy tắc ba điểm)

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( { - 2\overrightarrow i + \frac{5}{2}\overrightarrow j } \right) - \left( {3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j } \right) = - 5\overrightarrow i - \frac{5}{2}\overrightarrow j\)

Giải luyện tập 1 trang 61 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\overrightarrow 0 = 0\overrightarrow i + 0\overrightarrow j = \left( {0;0} \right)\)

Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow 0\) là \(\overrightarrow 0 = \left( {0;0} \right)\).

Giải hoạt động 3 trang 61 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j \\ \overrightarrow v = \left( {4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \\ \overrightarrow a = \left( {8; - 12} \right) \Rightarrow \overrightarrow a = 8\overrightarrow i - 12\overrightarrow j \end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow u + \overrightarrow v = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow i + \overrightarrow j = 6\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \\ 4\overrightarrow u = 4\left( {2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j } \right) = 8\overrightarrow i - 12\overrightarrow j \end{array}\)

c) Ta có

\(\left. \begin{array}{l} \overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j \\ \overrightarrow a = 8\overrightarrow i - 12\overrightarrow j = 4\left( {2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j } \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow a = 4\overrightarrow u\)

Giải Toán 10 trang 62

Giải hoạt động 4 trang 62 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn cho số x0;

Độ dài đoạn thẳng OP = |x₀| = x₀.

Ta có vectơ \(\overrightarrow {OP}\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {i}\) và OP = x₀ nên \(\overrightarrow {OP} = {x_0}\overrightarrow i\) và \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {{x_0}} \right|\left| {\overrightarrow i } \right| = \left| {{x_0}} \right|\).

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn cho số y₀ nên \(\overrightarrow {OQ} = {y_0}\overrightarrow j\) và \(\left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = \left| {{y_0}} \right|\left| {\overrightarrow j } \right| = \left| {{y_0}} \right|\);

Độ dài đoạn thẳng OQ = |y₀| = y₀.

Ta có vectơ \(\overrightarrow {OQ}\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {j}\) và OQ = y₀ nên \(\overrightarrow {OQ} = {y_0}\overrightarrow j\).

c) Xét tam giác OPM vuông tại P, có:

\(OM = \sqrt {O{P^2} + M{P^2}} = \sqrt {O{P^2} + O{Q^2}} = \sqrt {x_0^2 + y_0^2}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {x_0^2 + y_0^2}\)

d) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OQ} = {x_0}\overrightarrow i + {y_0}\overrightarrow j\)

Giải hoạt động 5 trang 62 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \Rightarrow \overrightarrow {OM} (x;y)\\ N\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \Rightarrow \overrightarrow {ON} (x';y') \end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j } \right) - \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j } \right)\\ = \left( {x' - x} \right)\overrightarrow i + \left( {y' - y} \right)\overrightarrow j \end{array}\)

Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN}\) là \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y} \right)\).

c) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MN}\) là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x' - x} \right)}^2} + {{\left( {y' - y} \right)}^2}}\)

Giải Toán 10 trang 63

Giải luyện tập 2 trang 63 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Hai vectơ \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {3;3} \right)\) không cùng phương (vì \(\frac{2}{3} \ne \frac{1}{3}\)).

=> Các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng

Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {MB}\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l} \overrightarrow {OA} = \left( {2;1} \right)\\ \overrightarrow {MB} = \left( {3 - x;3 - y} \right)\\ \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {MB} \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 = 3 - x\\ 1 = 3 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\)

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Giải Toán 10 trang 64

Giải vận dụng trang 64 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Do vật di chuyển thẳng đều nên điểm M thuộc vào đoạn thẳng AB.

Do đó \(\overrightarrow {AM}\) cùng phương với \(\overrightarrow {AB}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AM} = \left( {x - 13,8;y - 108,3} \right)\\ \overrightarrow {AB} = \left( {0,3; - 2} \right) \end{array} \right.\)

Để \(\overrightarrow {AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow {AM}\) thì tồn tại k ∈ ℝ thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {AB}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} x - 13,8 = k.0,3\\ y - 108,3 = - 2k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0,3k + 13,8\\ y = - 2k + 108,3 \end{array} \right.\)

Ta có:

Vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo nên \(k = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0,3.\frac{3}{4} + 13,8 = 14,025\\ y = - 20.\frac{3}{4} + 108,3 = 106,8 \end{array} \right.\)

Vậy ở thời điểm 9 giờ tâm bão là điểm M ở vị trí M(14,025; 106,8).

Giải Toán 10 trang 65

Bài 4.16 trang 65 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

\(\Rightarrow \overrightarrow {OM} (1;3),\;\,\overrightarrow {ON} (4;2),\;\overrightarrow {MN} = (4 - 1;2 - 3) = (3; - 1)\)

\(\Rightarrow OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,ON = \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 ,MN\)

\(= \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10}\)

b) Dễ thấy: \(OM = \sqrt {10} = MN \Rightarrow \Delta\) OMN cân tại M.

Lại có: \(O{M^2} + M{N^2} = 10 + 10 = 20 = O{N^2}\)

Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta OMN\) vuông tại M.

Vậy \(\Delta OMN\) vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ \(\overrightarrow a = 3.\overrightarrow i - 2.\overrightarrow j ,\overrightarrow b = \left( {4; - 1} \right)\) và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ \(\overrightarrow {MN}\) và \(2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b .\)

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \(\overrightarrow b = \left( {4; - 1} \right) và \overrightarrow a = 3.\overrightarrow i - 2.\overrightarrow j \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow a \;\left( {3; - 2} \right)\)

\(\Rightarrow 2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {2.3 - 4\;;\;2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3} \right)\)

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {3 - \left( { - 3} \right); - 3 - 6} \right) = \left( {6; - 9} \right)\)

Dễ thấy: \(\left( {6; - 9} \right) = 3.\left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = 3\left( {2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;6} \right) ( do M(-3; 6)) và \overrightarrow {ON} = \left( {3; - 3} \right) (do N (3; -3)).\)

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{-3}{3} \neq \frac{6}{-3}\) ).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} .\)

Do \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;6} \right),\;\overrightarrow {PN} = \left( {3 - x; - 3 - y} \right)\) nên

\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 3 - x\\6 = - 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 9\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Bài 4.18 trang 65 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Gợi ý đáp án

a)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;4 - 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 3 - 1;2 - 3} \right) = \left( { - 4; - 1} \right)\)

Hai vectơ này không cùng phương (vì  \(\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{1}{{ - 1}}\))

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)\)

d) Để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì \(\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)\). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Gợi ý đáp án

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)\) nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng \(\left| {\overrightarrow v } \right|.\)

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: \(\overrightarrow {AB} = 1,5.\overrightarrow v\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1;y - 2) = 1,5\;.\left( {3;4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4,5\\y - 2 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5,5\\y = 8\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy sau 1,5 tàu ở vị trí (trên mặt phẳng tọa độ) là B (5,5; 8).

Bài 4.20 trang 65 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Trong hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1; 2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Gợi ý đáp án

a) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô.

Do đó, từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E, F như dưới đây:

A có tọa độ (3; 3)

B có tọa độ (3; 1)

C có tọa độ (2; 0)

D có tọa độ (0; 0)

E có tọa độ (0; 4)

F có tọa độ (2; 4)

Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí A(3;3), B(3;1), C(2;0), D(0;0), E(0;4), F(2;4).