Giải Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vecto KNTT

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vecto KNTT. Bài viết hướng dẫn bạn đọc trả lời các câu hỏi trong SGK Toán 10 các trang 51, 52, 53, 54.

Giải Toán 10 trang 51

Mở đầu trang 51 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu như hình vẽ:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ A∈d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi \(\overrightarrow {{v_r}}\) và \(\overrightarrow {{v_n}}\) lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho \(\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {MN}\).

=> Tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN}\)

Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d₂. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là \(\overrightarrow {AN}\),

=> Thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d₂ là \(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{AM}}\).

Mặt khác, \(AM = \left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|\) không đổi nên \(\frac{{AC}}{{AM}}\) nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất

⇔ AC ⊥ d₂ ⇔ AM ⊥ d₂

Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Giải hoạt động 1 trang 51 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB}\)

⇒ \(\overrightarrow {AB}\) cùng hướng với \(\overrightarrow a\) và độ dài \(\overrightarrow {AB}\) bằng độ dài \(\overrightarrow a\).

Ta lại có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {A'B'}\)

⇒ \(\overrightarrow {A'B'}\) cùng hướng với \(\overrightarrow a\) và độ dài \(\overrightarrow {A'B'}\) bằng độ dài \(\overrightarrow a\).

⇒ \(\overrightarrow {AB}\) cùng hướng với \(\overrightarrow {A'B'}\) và độ dài \(\overrightarrow {AB}\) bằng độ dài \(\overrightarrow {A'B'}\).

⇒ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'}\) ⇔ ABB’A’ là hình bình hành ⇔ \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'}\) (1)

Ta có: \(\overrightarrow b = \overrightarrow {BC}\)

⇒ \(\overrightarrow {BC}\) cùng hướng với \(\overrightarrow {b}\) và độ dài \(\overrightarrow {BC}\) bằng độ dài \(\overrightarrow {b}\).

Ta lại có: \(\overrightarrow b = \overrightarrow {B'C'}\)

⇒ \(\overrightarrow {B'C'}\)cùng hướng với \(\overrightarrow {b}\) và độ dài ⇒ \(\overrightarrow {B'C'}\) bằng độ dài \(\overrightarrow {b}\).

⇒ \(\overrightarrow {BC}\) cùng hướng với \(\overrightarrow {B'C'}\) và độ dài \(\overrightarrow {BC}\) bằng độ dài \(\overrightarrow {B'C'}\).

⇒ \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'}\) ⇔BB’C’C là hình bình hành ⇔ \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {BB'}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'}\) ⇔ AA’C’C là hình bình hành

.\(\Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}\)

Vậy \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}\).

Giải hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}\).

Giải Toán 10 trang 52

Giải hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Xet Hình 4.14a:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \\ \overrightarrow b + \overrightarrow a = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.\)\(\Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a\)

Xét Hình 4.14b:

Ta có:

\(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD}\)

\(\overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD}\)

\(\Rightarrow \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)

Giải luyện tập 1 trang 52 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác

\(\Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}\)\(\widehat{BAD}\)

Xét tam giác ABC có AB = BC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

⇒ ΔABC đều

\(⇒ AC = AB = BC = 1\)

Ta có:

\(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA}\) (quy tắc hình bình hành)

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1\)

\(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA}\) (quy tắc ba điểm).

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1\)

Giải hoạt động 4 trang 52 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Nếu chỉ có hai lực tác dụng vào cùng một vật mà vật vẫn đứng yên thì hai lực đó là hai lực cân bằng.

Ví dụ: Hai đội kéo co cùng kéo sợi dây. Nếu hai đội mạnh ngang nhau thì họ sẽ tác dụng lên dây hai lực cân bằng. Sợi dây chịu tác dụng của hai lực cân bằng thì sẽ đứng yên.

Hai vectơ \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) biểu diễn cho hai vectơ cân bằng thì hai vectơ này có chung gốc, ngược hướng và có độ lớn (hay độ dài) bằng nhau.

Giải Toán 10 trang 53

Giải luyện tập 2 trang 53 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành.

=> \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE}\) (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

Và \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OF}\) (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

=> .\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF}\)

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = NF (ta vẽ).

Do đó OM + ME = ON + NF hay OE = OF.

=> Hai vectơ \(\overrightarrow {OE}\) và \(\overrightarrow {OF}\) có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau,

=> \(\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} = \overrightarrow 0\)

Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0\).

Giải Toán 10 trang 54

Bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0\)

b) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD}\)

Lời giải

a) Ta có:

\(\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC}\) (quy tắc hiệu)

\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC}\) (quy tắc hiệu)

=> \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD}\)

Bài 4.7 trang 54 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}\) . Tìm mối quan hệ giữa hai vecto \(\overrightarrow {CD}\) và \(\overrightarrow {CM}\)

Lời giải

Hình vẽ

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}\) (Quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BM}\)

=> ACMB là hình bình hành

=> \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB}\)

Mà \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}\)

=> \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {DC}\) hay \(\overrightarrow {CM} = - \overrightarrow {CD}\)

Suy ra \(\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM}\) là hai vecto đối nhau

Bài 4.8 trang 54 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vecto \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)

Lời giải

Hình vẽ

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}\) (Quy tắc hiệu)

=> \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = a\)

Ta lại có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}\) (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét tam giác ABC ta có:

AB² = AM² + BM² (định lí Py – ta – go)

=> AM² = AB² – BM²

\(= A{B^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

=> \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

=> \(AD = 2AM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3\)

=> \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = a ;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3\)

Bài 4.9 trang 54 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hình 4.19 biểu diễn hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}}\) cùng tác động lên một vật, cho \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3N;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2N\) . Tính độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}\)

Lời giải

Hình vẽ

Ta có ABCD là hình bình hành

=> \(\widehat {ADC} = {60^0}\)

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3\)

\(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = 2\)

\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}\)

=> \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)

Xét tam giác ADC ta có:

AC² = AD² + DC² – 2AD . DC . cosD

=> AC² = 3² + 2² – 2 . 3 . 2 . cos60⁰

= 7

=> \(AC = \sqrt 7\)

=> \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt 7\)

Bài 4.10 trang 54 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước? 

Lời giải

Hình vẽ

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ A' ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi \(\overrightarrow {{v_r}}\) và \(\overrightarrow {{v_n}}\) lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho \(\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {A'C'} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {C'B'}\)

Khi đó tàu chuyển động với vận tốc thực tế là:

\(\overrightarrow {{v_*}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {A'C'} + \overrightarrow {C'B'} = \overrightarrow {A'B'}\)

Xét tam giác A’B’C’ ta có:

\(\widehat {A'C'B'} = \alpha\) (So le trong)

\({\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha\)

Giả sử tàu 2 xuất phát từ A ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi \(\overrightarrow {{v_r}}\) và \(\overrightarrow {{v_n}}\) lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho \(\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {CB}\)

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là:

\(\overrightarrow {{v_1}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}\)

Xét tam giác ABC có:

\(\widehat {ABC} = {180^0} - \alpha\)

\(\begin{matrix} {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha \hfill \\ \end{matrix}\)

Do 0⁰ < α < 90⁰ => cosα > 0

=> \({\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha\)

=>\({\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha\)

=> \({\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2}\)

Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước.

• Giải Toán 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số KNTT