VnDoc.com

Giải Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vecto KNTT

Giải Toán 10 sách Kết nối tri thức

Bài trước

Bài sau

Giải Toán 10 Bài 8 KNTT

Bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 KNTT
Bài 4.7 trang 54 SGK Toán 10 KNTT
Bài 4.8 trang 54 SGK Toán 10 KNTT
Bài 4.9 trang 54 SGK Toán 10 KNTT
Bài 4.10 trang 54 SGK Toán 10 KNTT

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vecto KNTT. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 KNTT

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0$

b) $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD}$ $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD}$

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}$

b) Ta có:

$\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC}$ $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC}$ (quy tắc hiệu)

$\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC}$ $\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC}$ (quy tắc hiệu)

=> $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD}$ $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD}$

Bài 4.7 trang 54 SGK Toán 10 KNTT

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ . Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {CM}$ $\overrightarrow {CM}$

Lời giải

Hình vẽ

Giải Toán 10 Bài 8 KNTT

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (Quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BM}$ $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BM}$

=> ACMB là hình bình hành

=> $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB}$

Mà $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$

=> $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {DC}$ $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {DC}$ hay $\overrightarrow {CM} = - \overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow {CM} = - \overrightarrow {CD}$

Suy ra $\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM}$ $\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM}$ là hai vecto đối nhau

Bài 4.8 trang 54 SGK Toán 10 KNTT

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vecto $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

Lời giải

Hình vẽ

Giải Toán 10 Bài 8 KNTT

Ta có:

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$ $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$ (Quy tắc hiệu)

=> $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = a$ $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = a$

Ta lại có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét tam giác ABC ta có:

AB² = AM² + BM² (định lí Py – ta – go)

=> AM² = AB² – BM²

$= A{B^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}$ $= A{B^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}$

=> $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

=> $AD = 2AM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$ $AD = 2AM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$

=> $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3$ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = a ;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3$ $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = a ;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3$

Bài 4.9 trang 54 SGK Toán 10 KNTT

Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}}$ $\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}}$ cùng tác động lên một vật, cho $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3N;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2N$ $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3N;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2N$ . Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$ $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$

Lời giải

Hình vẽ

Giải Toán 10 Bài 8 KNTT

Ta có ABCD là hình bình hành

=> $\widehat {ADC} = {60^0}$ $\widehat {ADC} = {60^0}$

Ta có:

$\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3$ $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3$

$\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = 2$ $\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = 2$

$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

=> $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$ $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$

Xét tam giác ADC ta có:

AC² = AD² + DC² – 2AD . DC . cosD

=> AC² = 3² + 2² – 2 . 3 . 2 . cos60⁰

= 7

=> $AC = \sqrt 7$ $AC = \sqrt 7$

=> $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt 7$ $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt 7$

Bài 4.10 trang 54 SGK Toán 10 KNTT

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Giải Toán 10 Bài 8 KNTT

Lời giải

Hình vẽ

Giải Toán 10 Bài 8 KNTT

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ A' ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi $\overrightarrow {{v_r}}$ $\overrightarrow {{v_r}}$ và $\overrightarrow {{v_n}}$ $\overrightarrow {{v_n}}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho $\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {A$ $\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {A'C'} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {C'B'}$

Khi đó tàu chuyển động với vận tốc thực tế là:

$\overrightarrow {{v_*}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {A$ $\overrightarrow {{v_*}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {A'C'} + \overrightarrow {C'B'} = \overrightarrow {A'B'}$

Xét tam giác A’B’C’ ta có:

$\widehat {A$ $\widehat {A'C'B'} = \alpha$ (So le trong)

${\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha$ ${\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha$

Giả sử tàu 2 xuất phát từ A ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi $\overrightarrow {{v_r}}$ $\overrightarrow {{v_r}}$ và $\overrightarrow {{v_n}}$ $\overrightarrow {{v_n}}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho $\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {CB}$ $\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {CB}$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là:

$\overrightarrow {{v_1}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {{v_1}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$

Xét tam giác ABC có:

$\widehat {ABC} = {180^0} - \alpha$ $\widehat {ABC} = {180^0} - \alpha$

$\begin{matrix} {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha \hfill \\ \end{matrix}$

Do 0⁰ < α < 90⁰ => cosα > 0

=> ${\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha$ ${\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha$

=> ${\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha$ ${\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha$

=> ${\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2}$ ${\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2}$

Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước.

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vecto KNTT. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 10 KNTT. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn Ngữ văn 10 KNTT, Tiếng Anh lớp 10...