Giải Toán 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn KNTT

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn KNTT để bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 10. Mời các bạn cùng theo dõi chi tiết bài viết dưới đây nhé.

Giải Toán 10 trang 26

Giải câu hỏi mở đầu trang 26 Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta sẽ giải được bài toán như sau:

Gọi số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư lần lượt là \(x, y\);

Điều kiện: \(x,y ≥ 0\)

Vì tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại nên ta có bất phương trình: \(x + y ≤ 100\)

Số tiền đầu tư là: \(20x + 10y\) (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình: \(20x + 10y ≤ 1 200\)

Lợi nhuận dự kiến chủ cửa hàng thu được là: F(x;y) = 3,5x + 2y (triệu đồng)

Bài toán trở thành tìm giá trị \(x, y\) thỏa mãn hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\\ {\rm{ }}y{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\\ {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}100{\rm{ }}\\ 20{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1200 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\) để \(F(x;y) = 3,5x + 2y\) là lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ bằng cách biểu diễn từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ phương trình (1), rồi lấy giao của các miền nghiệm ta được miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền tứ giác OMNP với tọa độ các điểm \(O(0; 0), M(0; 100), N(20; 80), P(60; 0)\).

Tại \(O(0;0)\) giá trị biểu thức \(F(x;y) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5.0 + 2.0 = 0\);

Tại \(M(0;100)\) giá trị biểu thức \(F(x;y) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5.0 + 2.100 = 200\);

Tại \(N(20;80)\) giá trị biểu thức \(F(x;y) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5.20 + 2.80 = 230\);

Tại \(P(60;0)\) giá trị biểu thức \(F(x;y) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5.60 + 2.0 = 210\);

Từ kết quả trên ta thấy tại \(x = 20, y = 80\) thì giá trị biểu thức \(F(x;y) = 3,5x + 2y\) là lớn nhất.

Vậy nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hòa hai chiều, 80 máy điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Giải hoạt động 1 trang 26 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Vì x và y là số máy điều hòa mà cửa hàng cần nhập nên \(x ≥ 0, y ≥ 0\).

Số tiền vốn mà chủ cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo x và y là:

\(20x + 10y\) (triệu đồng)

a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên \(x + y ≤ 100\).

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên \(20x + 10y ≤ 1 200\) .

c) Số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được là: \(3,5x + 2y\) (triệu đồng).

Giải Toán 10 trang 27

Giải luyện tập 1 trang 27 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Từ hoạt động 1 ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ y{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}100{\rm{ }}\\ 20{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1200 \end{array} \right.\)

Ta có:

\(x = 30 > 0, y = 50 > 0\) thỏa mãn

\(30 + 50 = 80 ≤ 100;\)

\(20.30 + 10.50 = 1 100 ≤ 1 200\)

Vậy \(x = 30, y = 50\) là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hoạt động 2 trang 27 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) + Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0, do đó miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (tính cả bờ Oy).

+ Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0, do đó miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) (tính cả bờ Ox).

+ Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình \(x + y ≤ 150\).

- Vẽ đường thẳng d: x + y – 150 = 0.

- Vì 0 + 0 = 0 < 150 nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d).

b) Giao điểm của ba miền nghiệm \({D_1},{\rm{ }}{D_2},{\rm{ }}{D_3}\) là miền tam giác \(OAB\) với \(O(0;0), A(150;0)\) và B(0;150)

=> Miền tam giác OAB (H.2.5) có là giao của các miền nghiệm \({D_1},{\rm{ }}{D_2},{\rm{ }}{D_3}\)

c) Điểm (1;2) nằm trong tam giác \(OAB\) thỏa mãn x = 1 > 0, y = 2 > 0 và 1 + 2 = 3 < 150 nên cặp số (x; y) = (1;2) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho. Do đó nó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Điểm (1;149) nằm trên một cạnh của tam giác \(OAB\) thỏa mãn x = 1 > 0, y = 149 > 0 và 1 + 149 = 150 ≤ 150 nên cặp số \((x; y) = (1;149)\) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho.

Vậy cặp số \((x; y) = (1;149)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải Toán 10 trang 28

Giải luyện tập 2 trang 28 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

+ Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0, do đó miền nghiệm D ₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (tính cả trục Oy).

+ Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0, do đó miền nghiệm D₂ của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) (không tính trục Ox).

+ Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:

- Vẽ đường thẳng d: x + y – 100 = 0.

- Vì 0 + 0 = 0 < 100 nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d).

+ Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y < 120:

- Vẽ đường thẳng d’: 2x + y – 120 = 0.

- Vì 2.0 + 0 = 0 < 120 nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y < 120

Do đó miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y < 120 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ (không kể bờ d’).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OACB với O(0; 0), A(60; 0), C(20; 80), B(0; 100) (miền không bị gạch trong hình dưới).

Giải hoạt động 3 trang 28 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Tại O(0;0):

Thay x = 0, y = 0 vào biểu thức F(x;y) = 2x + 3y, ta được:

F(0;0) = 2.0 + 3.0 = 0.

Tại A(150;0):

Thay x = 150, y = 0 vào biểu thức F(x;y) = 2x + 3y, ta được:

F(150;0) = 2.150 + 3.0 = 300.

Tại B(0;150):

Thay x = 0, y = 150 vào biểu thức F(x;y) = 2x + 3y, ta được:

F(0;150) = 2.0 + 3.150 = 450.

b) Các điểm nằm trong miền tam giác OAB, có hoành độ x ≥ 0 và tung độ y ≥ 0.

⇒ F(x;y) = 2x + 3y ≥ 2.0 + 3.0 = 0

Do đó giá trị nhỏ nhất của F(x;y) = 0 tại O(0;0).

c) Các điểm nằm trong miền tam giác OAB có hoành độ x và tung độ y thỏa mãn: \(0 ≤ x + y ≤ 150\)

\(⇔ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 300\)

\(⇔ 0 ≤ 2x + 2y + y ≤ 300 + y\)

Mà 0 ≤ y ≤ 150 nên 300 + y ≤ 450

Do đó 0 ≤ 2x + 2y + y ≤ 450

\(⇔ 0 ≤ 2x + 3y ≤ 450\)

\(⇔ 0 ≤ F(x;y) ≤ 450\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm F(x;y) = 450 tại điểm B(0;150).

Giải Toán 10 trang 30

Bài 2.4 trang 30 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a.\(\left\{\begin{array}{l}x\;<\;0\\y\;\geq\;0\end{array}\right.\)

b.\(\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y^2\;<\;0\\y\;-\;x\;>\;1\end{array}\right.\)

c.\(\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y\;+\;z\;<\;0\;\\y\;<\;0\end{array}\right.\)

d.\(\left\{\begin{array}{l}-\;2\;x\;+\;y\;<\;3^2\\4^2\;x\;+\;3\;y\;<\;1\end{array}\right.\)

Lời giải

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, khi đó các hệ bất phương trình ý a) và ý d) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.5 trang 30 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a.\(\left\{\begin{array}{l}y\;-\;x\;<\;-\;1\\x\;>\;0\\y\;<\;0\end{array}\right.\)

b. \(\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\\2\;x\;+\;y\;\leq\;4\end{array}\right.\)

c.\(\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\x\;+\;y\;>\;5\\x\;-\;y\;<\;0\end{array}\right.\)

Lời giải

a) Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình y – x < - 1 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d: - x + y + 1 = 0.

- Vì 0 - 0 = 0 > -1 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình y – x < -1.

Do đó miền nghiệm D1 của bất phương trình y – x < - 1 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ và không chứa biên.

Miền nghiệm D2 của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) và không chứa biên.

Miền nghiệm D3 của bất phương trình y < 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) và không chứa biên.

Vậy miền không bị gạch (không kể biên) chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

b)

Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).

Xác định miền nghiệm D3 của bất phương trình 2x + y ≤ 4 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d’: 2x + y – 4 = 0.

- Vì 2.0 + 0 = 0 < 4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 4.

Do đó miền nghiệm D3 của bất phương trình 2x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ.

Khi đó miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ miền không bị gạch trong hình dưới dây:

c)

Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Miền nghiệm D2 của bất phương trình x + y > 5 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d1: x + y – 5 = 0.

- Vì 0 + 0 = 0 < 5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x + y > 5.

Do đó miền nghiệm D2 của bất phương trình x + y > 5 là nửa mặt phẳng bờ d1 không chứa gốc tọa độ và không chứa đường thẳng d1.

Xác định miền nghiệm D3 của bất phương trình x - y < 0 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d2: x – y = 0.

- Vì 1 – (-1) = 2 > 0 nên tọa độ điểm M(1;-1) không thỏa mãn bất phương trình x – y < 0.

Do đó miền nghiệm D3 của bất phương trình x – y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d2 không chứa điểm M(1;-1).

Khi đó miền không bị gạch và không chứa biên chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ miền không bị gạch trong hình dưới dây:

Bài 2.6 trang 30 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Lời giải

a) Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1

Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị protein là: 800x + 600y (đơn vị)

Do số đơn vị protein cần ít nhất là 900 đơn vị nên ta có: 800x + 600y ≥ 900 hay 8x + 6y ≥ 9

Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị lipit là: 200x + 400y (đơn vị)

Do số đơn vị lipit cần ít nhất là 400 đơn vị nên ta có: 200x + 400y ≥ 400 hay x + 2y ≥ 2

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{\begin{array}{l}0\;\leq\;x\;\leq\;1,6\\0\;\leq\;y\;\leq\;1,1\\8\;x\;+\;6\;y\;\geq\;9\\x\;+\;2\;y\;\geq\;2\end{array}\right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác ABCD với tọa độ các đỉnh A(0;1), B(1,6;0,2) và C(1,6;1,1), D(0;1,1)

b) Số tiền gia đình đó phải trả để mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn là:

F(x;y) = 250x + 160y (nghìn đồng)

Vậy F(x;y) = 250x + 160y

c) Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tam giác này:

F(1;0) = 250.1 + 160.0 = 250;

F(1,6;0,2) = 250.1,6 + 160.0,2 = 432;

F(1,6;1,1) = 250.1,6 + 160.1,1 = 576;

F(0;1,1) = 250.0 + 160.1,1 = 176;

Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0;1,1) = 176.

Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua 0 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.

• Bài tập cuối chương 2 KNTT