Lý thuyết Toán 10 Bài 17 KNTT

Dấu của tam thức bậc hai

1 406

Toán 10 Kết nối tri thức bài Dấu của tam thức bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai
2. Bất phương trình bậc hai

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Lý thuyết Toán 10 Bài 17 KNTT để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học tập nhé.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax ² + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với $a \ne 0$ ), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Người ta thường viết f(x) = ax² + bx + c. Các đa thức đã cho A = $0,5x^{2}$ , B = $1-x^{2}$ , C = $x^{2}+x+1$ , D = (1-x)(2x+1) là những tam thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có ; a = 0,5; b = 0, c = 0.

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax² + bx + c.

Lý thuyết Toán 10 Bài 17 KNTT

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax²+ bx + c $a \ne 0$ .

+ Nếu $\Delta < 0$ thì f(x) cùng dẫu với hệ số a với mọi $x \in R$ .

+ Nếu $\Delta = 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \ne - \frac{b}{{2{\rm{a}}}}$ và $f\left( { - \frac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right) = 0$ .

+ Nếu $\Delta > 0$ thi tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 $\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ . Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$ ; f(x) trái dấu với hệ số a với mọi $x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)$ .

Lý thuyết Toán 10 Bài 17 KNTT

Chú ý: Trong Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay $\Delta bởi \Delta '$ .

Ví dụ: Xét dâu các tam thức bậc hai sau:

a) ${x^2} + x + 1$
b) $- \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}$
c) $2{x^2} + 6x - 8$

Giải

a) $(f(x) = {x^2} + x + 1$ có $\Delta = -3 < 0$ và a = 1 > 0 nên f(x) > 0 với mọi $x \in R$ .

b) $g(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}$ có $\Delta = 0$ và $a = - \frac{3}{2} > 0$ nên g(x) có nghiệm kép x = 3 và g(x) < 0 với mọi $x \ne 3$ .

c) Dễ thấy $h(x) = 2{x^2} + 6x - 8$ có $\Delta '$ = 25 > 0,a = 2 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - 4;{x_2} = 1$ .

Do đó ta có bẳng xét dấu h(x)

Lý thuyết Toán 10 Bài 17 KNTT

Suy ra h(x) > 0 với mọi $x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$ và h(x) < 0 với mọi $x \in \left( { - 4;1} \right)$ .

2. Bất phương trình bậc hai

+ Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax²+ bx + c > 0 (hoặc ax²+ bx + c > 0, ax²+ bx + c < 0, $a{x^2} + bx + c \le 0$ , trong đó a, b, c là những số thực đã cho và $a \ne 0$ .

+ Số thực x₀ gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax²+ bx + c > 0, nếu ax²+ bx + c > 0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax²+ bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bắt phương trình này.

+ Giải bất phương trình bậc hai f(x)= ax²+ bx + c > 0 là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó f(x) cùng dấu với hệ số a (nếu a > 0) hay trái dầu với hệ số a (nếu a < 0).

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai ax²+ bx + c > 0 (hoặc $a{x^2} + bx + c \ge 0, ax2+ bx + c < 0, a{x^2} + bx + c \le 0$ ) ta cần xét dấu tam thức ax²+ bx + c, từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a) $3{x^2} + x + 5 \le 0\\$
b) $- 3{x^2} + 2\sqrt 3 - 1 \ge 0\\$
c) $- {x^2} + 2x + 1 > 0$

Giải

a) Tam thức $f(x) = 3{x^2} + x + 5$ có $\Delta = - 59 < 0$ , hệ số a = 3 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 3x² + x + 5 > 0) với mọi $x \in R$ . Suy ra bất phường trình vô nghiệm.

b) Tam thức $f(x) = - 3{x^2} + 2\sqrt 3 - 1$ có $\Delta ' = 0$ , hệ số a = -3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi $x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ , tức là $- 3{x^2} + 2\sqrt 3 - 1 < 0$ với mọi $x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ .

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ .

c) Tam thức $f(x) = - {x^2} + 2x + 1$ có $\Delta ' = 2 > 0$ nên f(x) có hai nghiệm ${x_1} = 1 - \sqrt 2 và {x_2} = 1 + \sqrt 2$

Mặt khác a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Lý thuyết Toán 10 Bài 17 KNTT

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)$

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Lý thuyết Toán 10 Bài 17 KNTT. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu bổ ích nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm Giải Toán 10 KNTT, Lý thuyết Toán 10 KNTT, Trắc nghiệm Toán 10 KNTT...