Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 9: Giải toán có nội dung số học

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 9: Giải toán có nội dung số học được VnDoc.com sưu tầm nhằm giúp quá trình ôn tập và củng cố kiến thức chuẩn bị cho kì thi học kì mới môn Toán của các bạn học sinh lớp 9 trở nên thuận lợi hơn. Mời các bạn tham khảo

• 62 Bài tập Hình học lớp 9 ôn thi vào lớp 10
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 3: Phương trình bậc hai một ẩn
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 4
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 7: Giải bất phương trình
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 8

I. Phép chia hết và phép chia có dư

1. Định nghĩa

Cho $a;b;q\in \mathbb{Z};b\ne 0$

$a⋮b\iff a=bq$

$a⋮̸b\iff a=bq+r$ trong đó $0<r<\left|b\right|;r\in \mathbb{Z}$

2. Tính chất chia hết

Cho $a;b;x;y;m\in \mathbb{Z}$

• $a⋮b;b⋮m\Rightarrow a⋮m$
• $a⋮xy\Rightarrow a⋮x;a⋮y$
• $a⋮x;a⋮y\Rightarrow ab⋮xy$
• $a⋮m;b⋮m\Rightarrow \left(ax\pm by\right)⋮m$
• Đặc biệt, nếu $\left(a\pm b\right)⋮m;a⋮m$ thì $b⋮m$
• $a⋮̸m;b⋮m\Rightarrow \left(a\pm b\right)⋮̸m$
• $ab⋮m;\left(a;m\right)=1\Rightarrow b⋮m$
• $a⋮x;a⋮y;\left(x;y\right)=1\Rightarrow a⋮xy$
• Nếu a và b chia cho m có cùng số dư thì hiệu a - b chia hết cho m.

Nhận xét:

Trong n số nguyên liên tiếp luôn có một và chỉ một số chia hết cho n.

Tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n.

II. Số chính phương

1. Định nghĩa

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên. Ví dụ số 16 là một số chính phương vỉ 16 = 4².

2. Tính chất của số chính phương

a) Số chính phương không có tận cùng bằng các chữ số 2; 3; 7; 8

b) Số chính phương chia cho 3, chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1; chia cho 5 dư 0, dư 1 hoặc dư 4.

3) Số chính phương lẻ chia cho 4, chia cho 8 đều dư 1.

Ví dụ: Số 25 là số chính phương lẻ.

25 chia cho 4 được thương là 6 dư 1.

25 chia cho 8 được thương 3 dư 1.

III. Nguyên lí Đi - rích - lê

1. Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái lồng ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt từ hai con thỏ trở lên.

Tổng quát: Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = bq + r (0 < r < b) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt tư q + 1 con thỏ trở lên.

Ví dụ: Từ đẳng thức 13 = 3.4 + 1 suy ra nếu nhốt 13 con thỏ vào 3 cái lồng thì ít nhất cũng có một cái lồng nhốt từ 5 con thỏ trở lên.

2. Áp dụng vào chia hết: trong n + 1 số tự nhiên bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho n ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

IV. Bài tập giải toán số

Ví dụ 1. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương?

Hướng dẫn giải

Gọi 6 số liên tiếp lần lượt là: a - 3; a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2

Ta có: $S={\left(a-3\right)}^2\text{ + }{\left(a-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2+a^2+{\left(a+1\right)}^2\text{ + }{\left(a+2\right)}^2$

$S=6a^2-6a+19=6a\left(a-1\right)+16+3$

Vì a(a - 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, do đó 6a(a - 1) chia hết cho 4. Hiển nhiên 16 chia hết cho 4.

Suy ra S chia cho 4 dư 3.

Do đó S không là số chính phương, vì số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

Ví dụ 2. Cho ba số nguyên a; b; c. Chứng minh rằng tích P = (a - b)(b - c)(c - a) là một số chẵn.

Hướng dẫn giải

Chia ba số nguyên cho 2 thì ít nhất cũng có hai trong ba số đó có cùng một số dư. Hiện của hai số này chia hết cho 2. Hiệu này là a - b hoặc b - c hoặc c - a. Do đó P là một số chẵn.

.............................................

Ngoài Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 9: Giải toán có nội dung số học. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt