Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Tài liệu này giúp các bạn nắm rõ khái niệm cũng như phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Mời cá bạn tham khảo tài liệu dưới đây

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1. Khái niệm

+ Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên

2. Phương pháp

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A \ge k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A \le k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến

Kí hiệu : min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

I. Dạng 1: Tam thức bậc hai

Ví dụ 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2{x^2} - 8x + 1

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = - 5{x^2} - 4x + 1

Lời giải:

a, A = 2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 7 = 2{\left( {x - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7

min A = -7 khi và chỉ khi x = 2

b, B = - 5\left( {{x^2} + \frac{4}{5}x} \right) + 1 = - 5\left( {{x^2} - 2.x.\frac{2}{5} + \frac{4}{{25}}} \right) + \frac{9}{5} = \frac{9}{5} - 5{\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} \le \frac{9}{5}

maxB = \frac{9}{5} \Leftrightarrow x = - \frac{2}{5}

Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c

a, Tìm min P nếu a > 0

b, Tìm max P nếu a < 0

Lời giải:

Ta có P = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \left( {c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)

Đặt k = c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}. Do {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0nên:

a, Nếu a > 0 thì a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0do đó P \ge k \Rightarrow \min P = k \Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}}

b, Nếu a < 0 thì a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \le 0do đó P \le k \Rightarrow \max P = k \Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}}

Bài tập vận dụng

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = - {x^2} + x + 1

b, B = {x^2} + 3x + 4

c, C = {x^2} - 11x + 30

d, D = {x^2} - 2x + 5

e, E = 3{x^2} - 6x + 4

f, F = - 3{x^2} - 12x - 25

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a, A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 4\left| {3x - 1} \right| + 5

đặt y = \left| {3x - 1} \right| \Rightarrow A = {y^2} - 4y + 5 = {\left( {y - 2} \right)^2} + 1 \ge 1

min A = 1\Leftrightarrow y = 2 \Leftrightarrow \left| {3x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - 1 = 2\\ 3x - 1 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.

b, B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right|

B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x + 3} \right| \ge \left| {x - 2 + 3 - x} \right| = 1

\Rightarrow \min B = 1 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = \left| {{x^2} - x + 1} \right| + \left| {{x^2} - x - 2} \right|

Ta có C = \left| {{x^2} - x + 1} \right| + \left| {{x^2} - x - 2} \right| \ge \left| {{x^2} - x + 1 + 2 + x - {x^2}} \right| = 3

MinC = 3 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {2 + x - {x^2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 4} \right|

Ta có \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 4} \right| \ge \left| {x - 1 + 4 - x} \right| = 3(1)

\left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right| \ge \left| {x - 2 + 3 - x} \right| = 1(2)

Vậy T \ge 1 + 3 = 4

Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 \le x \le 4

Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 \le x \le 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 \le x \le 3

Bài tập vận dụng

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

A = \left| {x - 2004} \right| + \left| {x - 2005} \right|

B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 9} \right| + 1945

C = - \left| {x - 7} \right| - \left| {y + 13} \right| + 1945

III. Dạng 3: Đa thức bậc cao

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a, A = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right) = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)

Đặt y = {x^2} - 7x + 6 thì A = \left( {y - 6} \right)\left( {y + 6} \right) = {y^2} - 36 \ge - 36

MinA = - 36 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 6 \end{array} \right.

b, B = 2{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x + 3 = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2

= {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - y = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1

c, C = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y = {x^2} - 2x + {y^2} - 2y + xy - x - y

Ta có C + 3 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + \left( {xy - x - y + 1} \right)

= {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)Đặt a = x - 1;b = y - 1 thì

C + 3 = {a^2} + {b^2} + ab = \left( {{a^2} + 2.a.\frac{b}{2} + \frac{{{b^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{b^2}}}{4} = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0

Min(C + 3) = 0 hay min C = -3\Leftrightarrow a = b = 0 \Leftrightarrow x = y = 1

Bài tập vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a, A = 2{x^2} + 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 2

b, B = {x^4} - 8xy + {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4} + 200

c, C = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y

d, D = x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y

....................................

Ngoài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 8 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
65 50.891
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Chuyên đề Toán 8 Xem thêm