Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chuyên đề nâng cao Toán lớp 8

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline: 024 2242 6188

Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

A. Kiến thức cần nhớ khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

I. Định nghĩa

+ Nếu với mọi

ta có

 

aA x A x 

(a là hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất

của

 

A x

với

x x

. Kí hiệu: max

 

aA x x x  

hoặc GTLN

 

aA x x x  

+ Nếu với mọi

ta có

 

bB x B x 

(b là hằng số) thì ta nói b là giá trị nhỏ

nhất của

 

B x

với

x x

. Kí hiệu: min

 

bB x x x  

hoặc

GTNN

 

bB x x x  

+ Nếu với mọi

, , ...x y z

ta có

 

0 0 0

, , ,... , , ,... aA x y z A x y z 

(a là hằng số) thì ta nói

a là giá trị lớn nhất của

 

, , ,...A x y z

với

0 0 0

; ; ;...x x y y z z  

Kí hiệu: max

 

0 0 0

, , ,... a ; ; ....A x y z x x y y z z    

+ Nếu với mọi

, , ...x y z

ta có

 

0 0 0

, , ,... , , ,... bB x y z B x y z 

(b là hằng số) thì ta nói

b là giá trị lớn nhất của

 

, , ,...B x y z

với

0 0 0

; ; ;...x x y y z z  

Kí hiệu: max

 

0 0 0

, , ,... b ; ; ....B x y z x x y y z z    

II. Một số bất đẳng tức hai dung

1. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

+ Với hai số không âm a, b ta có:

a+ b 2 ab

Dấu “=” xảy ra

a = b

+ Với n số không âm

 

1 2 n

a ,a ,...,a n *N

, ta có:

1 2 n

a + a + ... + a

a a ...a

 



 

 

Dấu “=” xảy ra

1 2 n

a = a = ... = a

+ Vài dạng cụ thể hay gặp:

 

2 2

a+ b a + b

a + b 2ab; a+ b 4ab; ab

2 2

 

   

 

 

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline: 024 2242 6188

2. Bất đẳng thức Bunyakovski (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Với hai bộ n số

   

1 2 n 1 2 n

a ,a ,...,a ; b ,b ,...,b

ta có:

 

  

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b + a b + ... + a b a + a + ... + a b + b + ... + b

Dấu “=” xảy ra

 

i i

t : a = tb i = 1,n 

Nếu

 

b 0 i = 1,n

thì dấu “=” xảy ra

1 2 n

a a a

= = ... =

b b b



3. Bất đẳng thức GTTĐ (giá trị tuyệt đối)

a+ b a + b

. Dấu “=” xảy ra

ab 0 

a- b a - b

. Dấu “=” xảy ra

 

0b a b  

4. Bất đẳng thức tam giác

+ Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a + b > c; a - b < c

B. Bài tập vận dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. Dạng 1: dạng phân tích thành bình phương của tổng hiệu, đặt biến phụ

Bài 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 24A x x  

b, Tìm giá trị lớn nhất của

3 2 1B x x   

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x

- 6x + 11

2. Dạng 2: dạng toán về phân thức

Bài 2:

a, Tìm giá trị lớn nhất của







b, Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 4

4 5

x x

 



 

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline: 024 2242 6188

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

8 12







Bài 4: Với

, , 0x y z 

, tìm giá trị nhỏ nhất của

 

1 1

A x y

x y

 

  

 

 

3. Dạng 3: dạng các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

Bài 5: Cho

5a b c  

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

A a b c  

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B ab bc ca  

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của A + B

4. Dạng 4: dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 6:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của

5 2A x 

b, Tìm giá trị lớn nhất của

2 4 3B x  

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 3C x x   

d, Tìm giá trị nhỏ nhất cảu

 

5 3 4 5 3 14D x x    

C. Lời giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 1:

 

2 2

4 24 4 4 20 2 20A x x x x x         

 

2 0,x x  

nên

 

2 20 20,x x   

Dấu “=” xảy ra

2 0 2x x    

Vậy min

20 2A x  

2 2 2

2 1 1 1 4 1

3 2 1 1 3 1 3 2. . 3

3 3 9 9 3 3

B x x x x x x x

     

              

     

     

Bài tập nâng cao: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN của biểu thức Toán lớp 8 được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Đây là phần nội dung quan trọng trong chương trình Toán 8 và thường không thể thiếu trong bài kiểm tra môn Toán. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 8 hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là phần chuyên đề nâng cao về tìm GTLN và GTNN của biểu thức được chia làm hai mục: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Phần lý thuyết có các bài tập ví dụ để các bạn học sinh tham khảo. Phần bài tập được sưu tầm và chọn lọc để các bạn học sinh có thể áp dụng lý thuyết phía trên vận dụng làm bài. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh luyện tập và củng cố thêm kiến thức về tìm GTLN, GTNN của biểu thức; đồng thời đây cũng là một tài liệu hay và đặc sắc để bồi dưỡng các bạn học sinh ôn thi học sinh giỏi lớp 8.

Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

A. Kiến thức cần nhớ khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

I. Định nghĩa

+ Nếu với mọi $x$ ta có $A\left( x \right) \le A\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits}$ $A\left( x \right) \le A\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits}$ (a là hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất của $A\left( x \right)$ $A\left( x \right)$ với $x = {x_0}$ $x = {x_0}$. Kí hiệu: max $A\left( x \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$ $A\left( x \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$ hoặc GTLN $A\left( x \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$ $A\left( x \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$.

+ Nếu với mọi $x$ ta có $B\left( x \right) \ge B\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits}$ $B\left( x \right) \ge B\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits}$ (b là hằng số) thì ta nói b là giá trị nhỏ nhất của $B\left( x \right)$ $B\left( x \right)$ với $x = {x_0}$ $x = {x_0}$. Kí hiệu: min $B\left( x \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$ $B\left( x \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$ hoặc GTNN $B\left( x \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$ $B\left( x \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}$.

+ Nếu với mọi $x,y,z...$ta có $A\left( {x,y,z,...} \right) \le A\left( {{x_0},{y_0},{z_0},...} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits}$ $A\left( {x,y,z,...} \right) \le A\left( {{x_0},{y_0},{z_0},...} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits}$(a là hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất của $A\left( {x,y,z,...} \right)$ $A\left( {x,y,z,...} \right)$ với $x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0};...$ $x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0};...$

Kí hiệu: max $A\left( {x,y,z,...} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0}....$ $A\left( {x,y,z,...} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0}....$

+ Nếu với mọi $x,y,z...$ta có $B\left( {x,y,z,...} \right) \ge B\left( {{x_0},{y_0},{z_0},...} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits}$ $B\left( {x,y,z,...} \right) \ge B\left( {{x_0},{y_0},{z_0},...} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits}$ (b là hằng số) thì ta nói b là giá trị lớn nhất của $B\left( {x,y,z,...} \right)$ $B\left( {x,y,z,...} \right)$ với $x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0};...$ $x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0};...$

Kí hiệu: max $B\left( {x,y,z,...} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0}....$ $B\left( {x,y,z,...} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0}....$

II. Một số bất đẳng tức hay dùng

1. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

+ Với hai số không âm a, b ta có: ${\mathop{\rm a}\nolimits} + b \ge 2\sqrt {ab}$ ${\mathop{\rm a}\nolimits} + b \ge 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\mathop{\rm a}\nolimits} = b$ $\Leftrightarrow {\mathop{\rm a}\nolimits} = b$

+ Với n số không âm ${{\mathop{\rm a}\nolimits} _1},{a_2},...,{a_n}\left( {{\mathop{\rm n}\nolimits} \in N*} \right)$ ${{\mathop{\rm a}\nolimits} _1},{a_2},...,{a_n}\left( {{\mathop{\rm n}\nolimits} \in N*} \right)$, ta có: ${\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}} \right)^n} \ge {{\mathop{\rm a}\nolimits} _1}{a_2}...{a_n}$ ${\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}} \right)^n} \ge {{\mathop{\rm a}\nolimits} _1}{a_2}...{a_n}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {{\mathop{\rm a}\nolimits} _1} = {a_2} = ... = {a_n}$ $\Leftrightarrow {{\mathop{\rm a}\nolimits} _1} = {a_2} = ... = {a_n}$

+ Vài dạng cụ thể hay gặp:

${{\mathop{\rm a}\nolimits} ^2} + {b^2} \ge 2ab;\,\,\,\,{\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab;\,\,\,\,ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ ${{\mathop{\rm a}\nolimits} ^2} + {b^2} \ge 2ab;\,\,\,\,{\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab;\,\,\,\,ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$

2. Bất đẳng thức Bunyakovski (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Với hai bộ n số $\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right); \left( {{b_1},{b_2},...,b{ _n}} \right)$ $\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right); \left( {{b_1},{b_2},...,b{ _n}} \right)$ta có:

${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le \left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)$ ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le \left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \exists {\mathop{\rm t}\nolimits} :{a_i} = t{b_i}\,\,\left( {i = \overline {1,n} } \right)$ $\Leftrightarrow \exists {\mathop{\rm t}\nolimits} :{a_i} = t{b_i}\,\,\left( {i = \overline {1,n} } \right)$

Nếu ${{\mathop{\rm b}\nolimits} _i} \ne 0\,\,\left( {i = \overline {1,n} } \right)$ ${{\mathop{\rm b}\nolimits} _i} \ne 0\,\,\left( {i = \overline {1,n} } \right)$ thì dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$ $\Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

3. Bất đẳng thức GTTĐ (giá trị tuyệt đối)

+ $\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$ $\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\mathop{\rm ab}\nolimits} \ge 0$ $\Leftrightarrow {\mathop{\rm ab}\nolimits} \ge 0$

+ $\left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| - \left| b \right|$ $\left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| - \left| b \right|$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow b\left( {a - b} \right) \ge 0$ $\Leftrightarrow b\left( {a - b} \right) \ge 0$

4. Bất đẳng thức tam giác

+ Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a + b > c; a - b < c

B. Bài tập vận dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. Dạng 1: dạng phân tích thành bình phương của tổng hiệu, đặt biến phụ

Bài 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = {x^2} - 4x + 24$ $A = {x^2} - 4x + 24$

b, Tìm giá trị lớn nhất của $B = - 3{x^2} - 2x + 1$ $B = - 3{x^2} - 2x + 1$

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x² - 6x + 11

2. Dạng 2: dạng toán về phân thức

Bài 2:

a, Tìm giá trị lớn nhất của $C = \frac{{4 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}$ $C = \frac{{4 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}$

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của $D = \frac{{{x^2} - 4x - 4}}{{{x^2} - 4x + 5}}$ $D = \frac{{{x^2} - 4x - 4}}{{{x^2} - 4x + 5}}$

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{{8x + 12}}{{{x^2} + 4}}$ $T = \frac{{8x + 12}}{{{x^2} + 4}}$

Bài 4: Với $x,y,z > 0$, tìm giá trị nhỏ nhất của $A = \left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)$ $A = \left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)$

3. Dạng 3: dạng các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

Bài 5: Cho $a + b + c = 5$

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ $A = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = ab + bc + ca$

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của A + B

4. Dạng 4: dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 6:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = \left| {5x + 2} \right|$ $A = \left| {5x + 2} \right|$

b, Tìm giá trị lớn nhất của $B = 2 - \left| {4 - 3x} \right|$ $B = 2 - \left| {4 - 3x} \right|$

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của $C = \left| {x - 4} \right| + \left| {x - 3} \right|$ $C = \left| {x - 4} \right| + \left| {x - 3} \right|$

d, Tìm giá trị nhỏ nhất của $D = {\left( {5x - 3} \right)^2} - 4\left| {5x - 3} \right| + 14$ $D = {\left( {5x - 3} \right)^2} - 4\left| {5x - 3} \right| + 14$

Tài liệu vẫn còn, mời các bạn tải về để xem toàn bộ

---------------

Trên đây, VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết và Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Hy vọng thông qua tài liệu này, các em sẽ làm tốt các dạng toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức, từ đó đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra Toán sắp tới.

Ngoài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, mời các bạn tham khảo thêm đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề nâng cao lớp 8 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt