Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
A. Kiến thức cần nhớ khi tìm giá trị lớn nhất giá tr nhỏ nhất của biểu thức
I. Định nghĩa
+ Nếu với mọi
x
ta
0
aA x A x
(a hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất
của
A x
với
0
x x
. hiệu: max
0
aA x x x
hoặc GTLN
0
aA x x x
.
+ Nếu với mọi
x
ta
0
bB x B x
(b hằng số) thì ta nói b giá trị nhỏ
nhất của
B x
với
0
x x
. hiệu: min
0
bB x x x
hoặc
GTNN
0
bB x x x
.
+ Nếu với mọi
, , ...x y z
ta
(a hằng số) thì ta nói
a giá trị lớn nhất của
, , ,...A x y z
với
0 0 0
; ; ;...x x y y z z
hiệu: max
0 0 0
, , ,... a ; ; ....A x y z x x y y z z
+ Nếu với mọi
, , ...x y z
ta
(b hằng số) thì ta nói
b giá trị lớn nhất của
, , ,...B x y z
với
0 0 0
; ; ;...x x y y z z
hiệu: max
0 0 0
, , ,... b ; ; ....B x y z x x y y z z
II. Một số bất đẳng tức hai dung
1. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
+ Với hai số không âm a, b ta :
a+ b 2 ab
Dấu “=” xảy ra
a = b
+ Với n số không âm
1 2 n
a ,a ,...,a n *N
, ta có:
n
1 2 n
1 2 n
a + a + ... + a
a a ...a
n
Dấu “=” xảy ra
1 2 n
a = a = ... = a
+ Vài dạng cụ th hay gặp:
2
2 2
2
2 2
a+ b a + b
a + b 2ab; a+ b 4ab; ab
2 2
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
2. Bất đẳng thức Bunyakovski (Bu-nhi-a-cốp-xki)
Với hai bộ n số
1 2 n 1 2 n
a ,a ,...,a ; b ,b ,...,b
ta có:
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b + a b + ... + a b a + a + ... + a b + b + ... + b
Dấu “=” xảy ra
i i
t : a = tb i = 1,n
Nếu
i
b 0 i = 1,n
thì dấu “=” xảy ra
1 2 n
1 2 n
a a a
= = ... =
b b b
3. Bất đẳng thức GTTĐ (giá trị tuyệt đối)
+
a+ b a + b
. Dấu “=” xảy ra
ab 0
+
a- b a - b
. Dấu “=” xảy ra
0b a b
4. Bất đẳng thức tam giác
+ Với a, b, c ba cạnh của một tam giác thì a + b > c; a - b < c
B. Bài tập vận dụng tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1. Dạng 1: dạng phân tích thành bình phương của tổng hiệu, đặt biến phụ
Bài 1:
a, Tìm giá trị nh nhất của
2
4 24A x x
b, Tìm giá trị lớn nhất của
2
3 2 1B x x
c, Tìm giá trị nh nhất của C = x
2
- 6x + 11
2. Dạng 2: dạng toán về phân thức
Bài 2:
a, Tìm giá trị lớn nhất của
2
2
4
1
x
C
x
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
4 4
4 5
x x
D
x x
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
2
8 12
4
x
T
x
Bài 4: Với
, , 0x y z
, tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1
A x y
x y
3. Dạng 3: dạng các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức
Bài 5: Cho
5a b c
a, Tìm giá trị nh nhất của biểu thức
2 2 2
A a b c
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B ab bc ca
c, Tìm giá trị nh nhất của A + B
4. Dạng 4: dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 6:
a, Tìm giá trị nh nhất của
5 2A x
b, Tìm giá trị lớn nhất của
2 4 3B x
c, Tìm giá trị nh nhất của
4 3C x x
d, Tìm giá trị nh nhất cảu
2
5 3 4 5 3 14D x x
C. Lời giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 1:
a,
2
2 2
4 24 4 4 20 2 20A x x x x x
Do
2
2 0,x x
nên
2
2 20 20,x x
Dấu “=” xảy ra
2 0 2x x
Vậy min
20 2A x
b,
2
2 2 2
2 1 1 1 4 1
3 2 1 1 3 1 3 2. . 3
3 3 9 9 3 3
B x x x x x x x

Bài tập nâng cao: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN của biểu thức Toán lớp 8 được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 8 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là phần chuyên đề nâng cao về tìm GTLN và GTNN của biểu thức được chia làm hai mục: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Phần lý thuyết có các bài tập ví dụ để các bạn học sinh tham khảo. Phần bài tập được sưu tầm và chọn lọc để các bạn học sinh có thể áp dụng lý thuyết phía trên vận dụng làm bài. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh luyện tập và củng cố thêm kiến thức về tìm GTLN, GTNN của biểu thức; đồng thời đây cũng là một tài liệu hay và đặc sắc để bồi dưỡng các bạn học sinh ôn thi học sinh giỏi lớp 8.

Lưu ý: Nếu không tìm thấy nút Tải về bài viết này, bạn vui lòng kéo xuống cuối bài viết để tải về

Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

A. Kiến thức cần nhớ khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

I. Định nghĩa

+ Nếu với mọi x ta có A\left( x \right) \le A\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} (a là hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất của A\left( x \right) với x = {x_0}. Kí hiệu: max A\left( x \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0} hoặc GTLN A\left( x \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}.

+ Nếu với mọi x ta có B\left( x \right) \ge B\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} (b là hằng số) thì ta nói b là giá trị nhỏ nhất của B\left( x \right) với x = {x_0}. Kí hiệu: min B\left( x \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0} hoặc GTNN B\left( x \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0}.

+ Nếu với mọi x,y,z...ta có A\left( {x,y,z,...} \right) \le A\left( {{x_0},{y_0},{z_0},...} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits}(a là hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất của A\left( {x,y,z,...} \right) với x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0};...

Kí hiệu: max A\left( {x,y,z,...} \right) = {\mathop{\rm a}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0}....

+ Nếu với mọi x,y,z...ta có B\left( {x,y,z,...} \right) \ge B\left( {{x_0},{y_0},{z_0},...} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} (b là hằng số) thì ta nói b là giá trị lớn nhất của B\left( {x,y,z,...} \right) với x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0};...

Kí hiệu: maxB\left( {x,y,z,...} \right) = {\mathop{\rm b}\nolimits} \Leftrightarrow x = {x_0};y = {y_0};z = {z_0}....

II. Một số bất đẳng tức hay dùng

1. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

+ Với hai số không âm a, b ta có: {\mathop{\rm a}\nolimits} + b \ge 2\sqrt {ab}

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow {\mathop{\rm a}\nolimits} = b

+ Với n số không âm {{\mathop{\rm a}\nolimits} _1},{a_2},...,{a_n}\left( {{\mathop{\rm n}\nolimits} \in N*} \right), ta có: {\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}} \right)^n} \ge {{\mathop{\rm a}\nolimits} _1}{a_2}...{a_n}

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow {{\mathop{\rm a}\nolimits} _1} = {a_2} = ... = {a_n}

+ Vài dạng cụ thể hay gặp:

{{\mathop{\rm a}\nolimits} ^2} + {b^2} \ge 2ab;\,\,\,\,{\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab;\,\,\,\,ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}

2. Bất đẳng thức Bunyakovski (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Với hai bộ n số \left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right); \left( {{b_1},{b_2},...,b{ _n}} \right)ta có:

{\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le \left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \exists {\mathop{\rm t}\nolimits} :{a_i} = t{b_i}\,\,\left( {i = \overline {1,n} } \right)

Nếu {{\mathop{\rm b}\nolimits} _i} \ne 0\,\,\left( {i = \overline {1,n} } \right) thì dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}

3. Bất đẳng thức GTTĐ (giá trị tuyệt đối)

+ \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|. Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow {\mathop{\rm ab}\nolimits} \ge 0

+ \left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| - \left| b \right|. Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow b\left( {a - b} \right) \ge 0

4. Bất đẳng thức tam giác

+ Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a + b > c; a - b < c

B. Bài tập vận dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. Dạng 1: dạng phân tích thành bình phương của tổng hiệu, đặt biến phụ

Bài 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = {x^2} - 4x + 24

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = - 3{x^2} - 2x + 1

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x² - 6x + 11

2. Dạng 2: dạng toán về phân thức

Bài 2:

a, Tìm giá trị lớn nhất của C = \frac{{4 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của D = \frac{{{x^2} - 4x - 4}}{{{x^2} - 4x + 5}}

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{{8x + 12}}{{{x^2} + 4}}

Bài 4: Với x,y,z > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của A = \left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)

3. Dạng 3: dạng các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

Bài 5: Cho a + b + c = 5

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = {a^2} + {b^2} + {c^2}

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = ab + bc + ca

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của A + B

4. Dạng 4: dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 6:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = \left| {5x + 2} \right|

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = 2 - \left| {4 - 3x} \right|

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của C = \left| {x - 4} \right| + \left| {x - 3} \right|

d, Tìm giá trị nhỏ nhất của D = {\left( {5x - 3} \right)^2} - 4\left| {5x - 3} \right| + 14

---------------

Ngoài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề nâng cao lớp 8 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
11 5.122
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Chuyên đề Toán 8 Xem thêm