VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập cuối chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Trắc nghiệm Toán 12 chân trời sáng tạo

Cùng nhau củng cố, luyện tập bài học Bài tập cuối chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu sách Chân trời sáng tạo nha!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2t \\ z = 3 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 5 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ . Vậy $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm phương trình đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;1),B( - 1;2;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ .
- A.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).

Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 2; - 2;2)$ .

Suy ra đường thẳng ∆ có $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$ và đi qua I(0; 1; 1).

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt có phương trình là $x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $(R)//(Q)$
- B.
  $(P) \equiv (Q)$
- C.
  $(P)$ cắt $(Q)$
- D.
  $(P)$ cắt $(R)$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{p} = (1;0; - 4)$ và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{r} = (0;1;0)$

Do $\overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R}$ nên vectơ $\overrightarrow{p}$ không cùng phương với vectơ $\overrightarrow{r}$ .

Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $(1; - 2;3)$
- B.
  $(3; - 4; - 5)$
- C.
  $( - 1;2; - 3)$
- D.
  $( - 3;4;5)$
Hướng dẫn:
Thay tọa độ điểm $(1; - 2;3)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}$ , do đó điểm này thuộc đường thẳng $d$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Tính tổng các tham số
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = 5$
- D.
  $T = 9$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):ax + by + cz - 27 = 0$ đi qua hai điểm $A(3;2;1),B( - 3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$ .
- A.
  $S = - 4$
- B.
  $S = - 12$
- C.
  $S = 2$
- D.
  $S = - 2$
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 3a + 2b + c - 27 = 0 \\ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0 \\ 3a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 27 \\ c = - 45 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = a + b + c = - 12$
Câu 7: Vận dụng
Viết phương trình đường vuông góc chung
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},$ $d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}$ . Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x + 7}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 9}{- 1}$
- B.
  $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$
- C.
  $\frac{x - 7}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 9}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)$

Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ , suy ra ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)$

Giả sử ∆ giao với $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $\left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight.$ , khi đó ta có $\overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)$

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và đi qua điểm $M(1; 1; 2)$ .

Vậy ta có phương trình đường thẳng: $\Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính thể tích tứ diện
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ , trong đó $a > 0, b > 0, c > 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7$ . Thể tích của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = \frac{3}{8}$
- B.
  $V = \frac{1}{6}$
- C.
  $V = \frac{5}{6}$
- D.
  $V = \frac{2}{9}$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính $R = \sqrt{\frac{72}{7}}$ . Khi đó:

$d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

$49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49$

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

$a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}$

Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên $V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}$
Câu 9: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2$ có tọa độ tâm $I$ là:
- A.
  $I(3;1; - 1)$
- B.
  $I(3; - 1;1)$
- C.
  $I( - 3;1; - 1)$
- D.
  $I( - 3; - 1;1)$
Hướng dẫn:
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I( - 3; - 1;1)$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0$ và $(\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

$\Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$ .
Câu 11: Thông hiểu
Viết phương trình (P)
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;1),B(3; - 1;5)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng $\frac{3}{2}$ là
- A.
  $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
- B.
  $2x - 3y + 4z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 3y + 4z \pm 12 = 0$
- D.
  $2x - 3y + 4z - 3 = 0$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3;4) \Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0$

Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

Suy ra $M\left( - \frac{m}{2};0;0 ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4} ight)$

Ta có thể tích tứ diện $V_{O.MNP} = \frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = \pm 6$

Vậy đáp án cần tìm là: $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
Câu 12: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; −2; 6), B(0; 1; 0)$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ . Mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ (với $a, b, c$ là các số nguyên dương và $a, b, c, d$ nguyên tố cùng nhau) đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 2$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = 5$
- D.
  $T = 4$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6)$ cùng phương với $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Xét mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ ⇒ I(1; 2; 3), R = 5.

Gọi $H(t; 1 − t; 2t)$ là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH

$\Rightarrow \overrightarrow{IH} = (t - 1; - t - 1;2t)$

Vì $AB ⊥ IH ⇒ t − 1 + t + 1 + 4t − 6 = 0 ⇒ t = 1$ $⇒ H(1; 0; 2)$ , $\overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1)$

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) $⇒ IK ≤ IH$ .

Ta có $r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} \geq \sqrt{R^{2} - IH^{2}}$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1)$ là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $H(1; 0; 2)$ là $2y + z − 2 = 0 ⇒ T = 3$
Câu 13: Nhận biết
Tìm phương trình mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình $x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0$ không có $y^{2}$ => Loại

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0$ có số hạng $2xy$ => Loại

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0$ loại vì

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 1 + 4 - 8 < 0$

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0$ thỏa mãn vì

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0$ .
Câu 14: Vận dụng
Tìm mặt phẳng (P)
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
- A.
  $(P):x - z + 1 = 0$
- B.
  $(P):3x - 2y - 2z - 1 = 0$
- C.
  $(P):x - 4y + z - 7 = 0$
- D.
  $(P): - \ x + 4y - z - 7 = 0$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d,d^{'}$ có véc-tơ chỉ phương lần lượt là ${\overrightarrow{u}}_{1} = (2;1;2),{\overrightarrow{u}}_{2} = (1;2;1)$ .

Lấy điểm $A(1; - 1;2) \in d$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và cắt trục hoành tại điểm $B(b;0;0)$ .

Khi đó $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{1}$ và $\overrightarrow{AB} = (b - 1;1; - 2)$ , suy ra $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{P} = \left\lbrack {\overrightarrow{u}}_{1},\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 4;2b + 2;3 - b)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $d^{'}$ và $(P)$ , suy ra

$sin\varphi = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{u}}_{2} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{u}}_{2} ight|} = \frac{|3b + 3|}{\sqrt{5b^{2} + 2b + 29} \cdot \sqrt{6}}$

Đặt $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \geq 0$ , suy ra $sin\varphi = \sqrt{y} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$ .

Nhận thấy, để góc $\varphi$ lớn nhất thì $sin\varphi$ lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với $y$ phải lớn nhất.

Xét $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \Leftrightarrow (5y - 1)b^{2} + (2y - 2)b + (29y - 1) = 0$ .

Trường hợp $y = \frac{1}{5} \Rightarrow b = 3$ .

Trường hợp $y eq \frac{1}{5}$ .

Phương trình $(*)$ có nghiệm $b$ khi và chỉ khi

$\Delta^{'} = (y - 1)^{2} - (5y - 1)(29y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 144y^{2} + 32y \geq 0 \Rightarrow 0 \leq y \leq \frac{2}{9}$

Từ đó suy ra, để tồn tại $b$ suy ra $0 \leq y \leq \frac{2}{9}$ .

Vậy $y_{\max} = \frac{2}{9}$ khi đó $b = 7$ . Từ đó suy ra ${\overrightarrow{n}}_{P} = ( - 4;16; - 4) = - 4(1; - 4;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình

$1(x - 1) - 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + z - 7 = 0$
Câu 15: Nhận biết
Tìm tham số m để hai đường thẳng vuông góc
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};$ $d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}$ . Tìm tất cả giá trị thực của $m$ để $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ ?
- A.
  $m = - 5$
- B.
  $m = - 1$
- C.
  $m = 5$
- D.
  $m = 1$
Hướng dẫn:
Vectơ chỉ phương của $d_{1};d_{2}$ lần lượt là: $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1)$ .

Để $d_{1}\bot d_{2}$ thì $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$
Câu 16: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight.$ $\Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1}$ và điểm $M(0;3;0)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $M$ , cắt $\Delta_{1}$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;a;b)$ . Tính $T = a + b$
- A.
  $T = 2.$
- B.
  $T = - 2$
- C.
  $\ T = - 4.$
- D.
  $T = 4$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $\Delta_{1}$ .

Lấy $A(3;1;1) \in \Delta_{1}$ .

Mặt phẳng $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ $\overrightarrow{MA} = (3; - 2;1)$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5)$ .

Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1)$ .

Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)$

Vậy $a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + y + 6z - 1 = 0$ và hai điểm $A(1; - 1;0),B( - 1;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $AB$ trên mặt phẳng $(P)$ có độ dài bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{\frac{137}{41}}$
- B.
  $\sqrt{\frac{155}{61}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{237}{41}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{255}{61}}$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{BA} = (2; - 1; - 1)$ . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

Khi đó: $\sin\alpha = \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2 + 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{246}}$

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

$AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}$ $= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $(P)$ , số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q):x - y - 11 = 0$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Vì $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{OH} = (2; - 1; - 2)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 1;0)$ .

Gọi $\varphi$ là số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ , ta có:

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + ( - 2).0 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 45^{0}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3x - 6y - 4z + 36 = 0$ . Gọi $A,B,C$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.ABC$ .
- A.
  $V = 108$
- B.
  $V = 117$
- C.
  $V = 234$
- D.
  $V = 216$
Hướng dẫn:
Ta có: $(P):3x - 6y - 4z + 36 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{- 12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$

$(P)$ cắt các trục tọa độ tại $A( - 12;0;0),B(0;6;0),C(0;0;9)$

Do $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nên $V = \frac{1}{6}.OA\ .OB\ OC = \frac{1}{6}.12.6.9 = 108$
Câu 20: Vận dụng
Tìm tọa độ đỉnh D
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2)$ . Điểm $D$ thuộc tia $Oz$ sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ có tọa độ là
- A.
  $(0;0;1)$
- B.
  $(0;0;4)$
- C.
  $(0;0;2)$
- D.
  $(0;0;3)$
Hướng dẫn:
Ta có D thuộc tia $Oz$ nên $D(0; 0; d)$ với $d > 0$ .

Tính $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ : có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2)$ và đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ .

$\Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0$

Ta có $d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$

$\Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(0;0;3)$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (35%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

1

24

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập cuối chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 2

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 3

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 7