Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Nhận biết

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Đường thẳng \Delta đi qua C và song song với AB có phương trình là:

    Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \overrightarrow{BA} = (1;2;1)

    Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 Đường thẳng (P):x + y + z + 2 = 0 nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến \Delta bằng \sqrt{42}. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên \Delta Giá trị của bc bằng

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}}(2;1; - 1).

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Gọi \overrightarrow{u_{2}} là vecto chỉ phương của đường thẳng \Delta. Khi đó \overrightarrow{u_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    Vì I = d \cap (P) nên ta tìm được I(1; - 3;0)

    Gọi \Delta' là đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với \Delta, \Delta \cap \Delta' = M thỏa mãn IM = \sqrt{42}

    có vecto chỉ phương là: \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (4;1; - 5).

    Khi đó có phương trình là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = - 3 + t \\ z = - 5t \\ \end{matrix} \right..

    Gọi M \in \Delta^{'} \Rightarrow M(1 + 4t; - 3 + t; - 5t), IM = \sqrt{42}

    \Rightarrow (4t)^{2} + t^{2} + (5t)^{2} = 42 \Leftrightarrow t = \pm 1.

    Vớit = 1 \Rightarrow M(5; - 2; - 5) \Rightarrow bc = 10.

    Với t = - 1 \Rightarrow M( - 3; - 4; - 5)(L)

    Vậy bc = 10

  • Câu 3: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 3}{1} và mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 6y - 3z + 2024 = 0.

    a) Một véc tơ chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{u} = ( - 1; - 2;1). Đúng||Sai

    b) Một véc tơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n} = (1;2; - 1). Đúng||Sai

    c) Góc giữa \Delta và (P) là: 90^{0}. Đúng||Sai

    d) Lấy tuỳ ý hai điểm phân biệt A;B \in \Delta. Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A; B lên (P). Khi đó A'B' = 2024. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 3}{1} và mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 6y - 3z + 2024 = 0.

    a) Một véc tơ chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{u} = ( - 1; - 2;1). Đúng||Sai

    b) Một véc tơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n} = (1;2; - 1). Đúng||Sai

    c) Góc giữa \Delta và (P) là: 90^{0}. Đúng||Sai

    d) Lấy tuỳ ý hai điểm phân biệt A;B \in \Delta. Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A; B lên (P). Khi đó A'B' = 2024. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) đúng:

    Một véc tơ chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{u} = ( -1; -2;1).

    Phương án b) đúng:

    Một véc tơ chỉ phương của (P) là \overrightarrow{n} = (1;2; - 1).

    Phương án c) đúng:

    Một véc tơ chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{u} = ( - 1; - 2;1), một véc tơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n} = (1;2; - 1).

    Khi đó \sin\left( \Delta;(P) \right) = \frac{\left| ( - 1).1 + ( - 2).2 + 1.( - 1) \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = 1.

    Vậy \left( \Delta;(P) \right) =90^0.

    Phương án d) sai:

    Vì \Delta\bot(P) nên A’ trùng B’. Do đó A'B' = 0.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

    d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1} và d_{2}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{1}. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Đường thẳng d_{1} có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (2;2; - 1).

    Đường thẳng d_{2} có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    Ta có

    \cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|}

    = \frac{|2 - 4 - 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}.\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{6}

  • Câu 5: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3; - 1),B(1;2;4). Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB?

    Ta có \overrightarrow{BA} = (1;1; - 5)

    Vì điểm A(2;3; - 1) otin \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5} nên \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5} không phải là phương trình đường thẳng AB.

    Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm tọa độ hình chiếu của A

    Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox?

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;5) trên trục Ox có tọa độ là (1;0;0).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai mặt phẳng (P):2x + 3y = 0,(Q):3x + 4y = 0. Dường thẳng đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P),(Q) có phương trình là

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm.

    Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{1} = (2;3;0) và (Q) có một vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{2} = (3;4;0). Ta có \left\lbrack {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ightbrack = (0;0;2).

    Khi đó, \Delta đi qua điểm A và nhận véc-tơ \overrightarrow{u} = (0;0;1) làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.
    Với t = - 3 thì điểm B(1;2;0) thuộc \Delta. Viết lại phương trình đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) qua M cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C thỏa mãn OA = 2OB. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp OABC?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Khi đó mặt phẳng (P) có dạng: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

    Vì OA = 2OB \Rightarrow a = 2b \Rightarrow \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = 1

    Thể tích khối chóp OABC là: V = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{3}b^{2}c

    Ta có: 1 = \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{4b} + \frac{3}{4b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}}

    \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{16b^{2}c}{9} \geq 27 \Leftrightarrow \frac{b^{2}c}{3} \geq \frac{81}{16}

    \Rightarrow V_{OABC}\min = \frac{81}{16} khi \dfrac{3}{4b} =\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{9}{2} \\b = \dfrac{9}{4} \\c = 3 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 9: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 1 = 0 và (Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0. Khi hai mặt phẳng (P), (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng (Q) đi qua điểm M nào sau đây?

    Gọi \alpha là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có:

    \cos\alpha = \dfrac{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{Q}ight|}= \dfrac{1}{3\sqrt{2m^{2} - 2m + 2}} = \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m- \dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}}

    \leq \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m -\dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}} \leq\dfrac{1}{3\sqrt{\dfrac{3}{2}}}

    Do 0 \leq \alpha \leq 90^{\circ} nên \alpha nhỏ nhất khi \cos\alpha lớn nhất \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.

    \Rightarrow (Q):2x + y - z + 4038 = 0 \Rightarrow M( - 2019;1;1) \in (Q).

  • Câu 10: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I( - 1;2; - 3) và đi qua điểm A(2;0;0) có phương trình:

    Ta có : \overrightarrow{IA} = (3; - 2;3) \Rightarrow IA = \sqrt{22}.

    Vậy (S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(1 - m)x +2(3 - 2m)y + 2(m - 2)z + 5m^{2} - 9m + 6 = 0

    Ta có: a = m - 1;\ \ b = 2m - 3;\ \ c = 2 - m;\ \ d = 5m^{2} - 9m + 6

    Tâm I(x = m - 1;y = 2m - 3;z = 2 - m)

    \Rightarrow x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + (2m - 3)^{2} + (2 - m)^{2} - 5m^{2} + 9m - 6 > 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 9m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 8 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 1 < 0 \\ m - 1 > 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 7 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z tương ứng với \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 7 \\ \end{matrix} \right..

  • Câu 12: Thông hiểu

    Định phương trình mặt cầu (S)

    Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song (P):x - 2y + 2z + 6 = 0;(Q):x - 2y + 2z - 10 = 0 và có tâm I ở trên trục y'Oy.

    (P) và (Q) cắt y'Oy lần lượt tại A(0,3,0) và B(0, - 5,0)

    Tâm I(0, - 1,0). Bán kính R = d(I,P) = \frac{8}{3}

    \Rightarrow (S):x^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = \frac{64}{9}

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{55}{9} = 0

  • Câu 13: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 2),B(2;2; - 4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có OA = AB = 2\sqrt{2} nên tam giác OAB cân tại OAB, vì vậy I thuộc đường trung tuyến qua A là (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(1 + t;1 - t; - 2)

    IA = IO \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I(2;0; - 2)

    Do đó T = 8

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 15: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn \frac{MA}{MB} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Theo bài ra ta có:

    2MA = \sqrt{3}MB \Leftrightarrow 4MA^{2} = 3MB^{2}

    \Leftrightarrow 4\left\lbrack (2 - x)^{2} + ( - 3 - y)^{2} + ( - 1 - z)^{2} \right\rbrack

    = 3\left\lbrack ( - 4 - x)^{2} + (5 - y)^{2} + ( - 3 - z)^{2} \right\rbrack

    Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} - 40x - 54y - 10z - 94 = 0

  • Câu 16: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm vectơ pháp tuyến

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2;0; - 1),B(1;1;0) và (\alpha) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (\alpha)?

    Do (\alpha) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên (\alpha) nhận \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;1) làm vectơ pháp tuyến.

    Suy ra \overrightarrow{n}(1; - 1; - 1) = - \overrightarrow{AB} cũng là vectơ pháp tuyến của (α).

  • Câu 18: Nhận biết

    Cosin Góc giữa 2 mp

    Cho hai mặt phẳng \left( \alpha ight):x + 5y - z + 1 = 0,\left( \beta ight):2x - y + z + 4 = 0.

    Gọi \varphi là góc nhọn tạo bởi (\alpha) và (\beta) thì giá trị đúng của cos \varphi là:

    Theo đề bài đã cho PTTQ , ta suy ra được các vecto pháp tuyến tương ứng là:

    (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow a = \left( {1,5, - 2} ight)

    (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow b = \left( {2, - 1,1} ight)

    Áp dụng công thức tính cosin giữa 2 vecto, ta có:

    \cos \varphi = \frac{{\left| {1.2 + 5\left( { - 1} ight) + \left( { - 2} ight).1} ight|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {{\left( { - 2} ight)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} ight)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{6}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; - 1;3) và hai đường thẳng:

    d_{1}:\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 1}{- 2},d_{2}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}

    Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d_{1} và cắt đường thẳng d_{2}.

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với \left( d_{1} \right).

    Khi đó, có:

    (P):1(x - 1) + 4(y + 1) - 2(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 4y -2z + 9 =0

    Gọi giao điểm \left( d_{2} \right) và (P) là B(a;b;c).

    \left\{ \begin{matrix}a + 4b - 2c + 9 = 0 \\\dfrac{a - 2}{1} = \dfrac{b + 1}{- 1} = \dfrac{c - 1}{1} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow B(3; - 2;2) \Rightarrow\overrightarrow{AB}(2; - 1; - 1)

    \Rightarrow (AB) \equiv (d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1}

    Vậy đáp án đúng là d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1}.

  • Câu 20: Vận dụng

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) lần lượt là giao điểm của (P) với các trục Ox,Oy,Oz

    \Rightarrow (P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1(a,b,c \neq 0)

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {N \in \left( P \right)} \\ {NA = NB} \\ {NA = NC} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1} \\ {\left| {a - 1} \right| = \left| {b - 1} \right|} \\ {\left| {a - 1} \right| = \left| {c - 1} \right|} \end{array}} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 3 \Rightarrow x + y + z - 3 = 0

  • Câu 21: Nhận biết

    Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

    Mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (a;b;c)

    Mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2; - 3;4)

  • Câu 22: Vận dụng

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và điểm M \in OI sao cho MO = \frac{1}{2}MI (tham khảo hình vẽ).

    Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng

    Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)

    Khi đó ta có: M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3} ight)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MA} = \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{AB};\overrightarrow{MA} ightbrack = \left( 0; -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (0; - 4;3) là VTPT của mặt phẳng (MAB)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{D'C'} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MD'} = \left( \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{D'C'};\overrightarrow{MD'} ightbrack =\left( 0;\frac{1}{3}; - \frac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;2; - 3) là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)

    Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:

    \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 0.0 - 4.2 + 3.( - 3) ight|}{\sqrt{0^{2} + ( - 4)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{0^{2} + 2^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{17\sqrt{13}}{65}

  • Câu 23: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2},\Delta_{1}:\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1},\Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} =\frac{z}{1}. Đường thẳng \Delta vuông góc với d đồng thời cắt \Delta_{1};\Delta_{2} tương ứng tại H;K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng \Delta có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (h;\ k;\ 1). Giá trị h - k bằng?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} H \in \Delta_{1} \Leftrightarrow H(3 + 2t;t;1 + t) \\ K \in \Delta_{2} \Leftrightarrow K(1 + m;2 + 2m;m) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \overrightarrow{HK} = (m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1)

    Đường thẳng d có một VTCP là \overrightarrow{u_{d}} = (1;1; - 2)

    \Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{HK} = 0

    \Leftrightarrow \ m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2

    \Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - t - 4;t - 2; - 3)

    Ta có: HK^{2} = ( - t - 4)^{2} + (t - 2)^{2} + ( - 3)^{2} = 2(t + 1)^{2} + 27 \geq 27;\forall t\mathbb{\in R}

    \Rightarrow \min HK = \sqrt{27} khi và chỉ khi t = - 1

    \Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - 3; - 3; - 3) \Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;1;1)

    \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 4z = 0 và điểmM(1;2; - 1). Một đường thẳng thay đổi qua M cắt (S) tại hai điểm A; B. Tìm giá trị lớn nhất của tổng MA + MB.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 2; - 2) và bán kính R = 3. Trong khi IM = \sqrt{17} > 3 nên M nằm ngoài hình cầu (S).

    Gọi H là trung điểm của AB, có M nằm trên đường AB và nằm ngoài đoạn AB nên có MA + MB = 2MH.

    Mặt khác, tam giác IHM vuông tại H nên HM \leq MI. Vậy MA + MB \leq 2\sqrt{17}.

    Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng qua M và tâm I của mặt cầu, tức AB lúc này là đường kính của mặt cầu.

    Vậy giá trị lớn nhất của tổng MA + MB là 2\sqrt{17}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tìm giá trị tham số m theo yêu cầu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng (Q):x + y + z + 3 = 0 cắt mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2(m + 1)x + 2my - 2mz + 2m^{2} + 9 = 0?

    a = m + 1;b = - m;c = m;d = 2m^{2} + 9. Tâm I(m + 1, - m,m)

    \Rightarrow R^{2} = (m + 1)^{2} + m^{2} + m^{2} - 2m^{2} - 9 = m^{2} + 2m - 8 > 0

    \Rightarrow m < - 4 \vee m > 2. (P) cắt (S) khi:

    d(I,P) < R \Leftrightarrow \frac{|m + 4|}{\sqrt{3}} < \sqrt{m^{2} + 2m - 8}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 4 \\ m > 5 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 26: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là

    đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 3;1) nên có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 27: Nhận biết

    Tính số đo góc nhị diện

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Số đo của góc nhị diên\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') \right\rbrack bằng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có góc nhị diên \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack bằng \widehat{DBC} = 45{^\circ}.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A;B;C là:

    Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Ta có \frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1

    \Leftrightarrow - 2x + y - 3z = 6

    \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 = 0

  • Câu 29: Nhận biết

    Xác định phương trình tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0 và (\beta):x - y + 3z - 6 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Nhận thấy A(1;1;2),B(2; - 1;1) đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng d.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 1) là một vectơ chỉ phương của d.

    Khi đó phương trình tham số của d là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 30: Nhận biết

    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB biết A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)?

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I(1;1; - 2) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;\ 1;\ - 1); B(3;\ 2;\ 1); C(3;\ 1;\ 4) và mặt phẳng (P)x + 2y + z - 3 = 0. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) \overrightarrow{n} = (1;\ 2;\ 1)là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Đúng||Sai

    b) Điểm A \in (P). Đúng||Sai

    c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C nhận vectơ \overrightarrow{m}(5;\ \ 3;\ 1)làm vectơ pháp tuyến. Sai||Đúng

    d) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (P)bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;\ 1;\ - 1); B(3;\ 2;\ 1); C(3;\ 1;\ 4) và mặt phẳng (P)x + 2y + z - 3 = 0. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) \overrightarrow{n} = (1;\ 2;\ 1)là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Đúng||Sai

    b) Điểm A \in (P). Đúng||Sai

    c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C nhận vectơ \overrightarrow{m}(5;\ \ 3;\ 1)làm vectơ pháp tuyến. Sai||Đúng

    d) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (P)bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai.

    a) \overrightarrow{n} = (1;\ 2;\ 1) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P), suy ra mệnh đề đúng.

    b) Thay tọa độ của điểm A vào phương trình mặt phẳng (P), ta được 2 + 2.1 + ( - 1) - 3 = 0 \Rightarrow A \in (P), suy ra mệnh đề đúng.

    c) \overrightarrow{AB} = (1;\ 1;\ 2),\overrightarrow{AC} = (1;\ 0;\ 5). Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C nhận vectơ {\overrightarrow{n}}_{1} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC} \right\rbrack = (5;\ - 3;\ 1) làm vectơ pháp tuyến. Vì \frac{5}{5} \neq \frac{- 3}{3} \neq \frac{1}{1}nên {\overrightarrow{n}}_{1}và \overrightarrow{m}không cùng phương, suy ra mệnh đề sai.

    d) Vì \overrightarrow{n}.{\overrightarrow{n}}_{1} = 1.5 + 2.( - 3) + 1.1 = 0 nên hai mặt phẳng vuông góc với nhau, suy ra mệnh đề sai.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm điểm không thuộc mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P):x + y + z - 1 = 0?

    Dễ thấy điểm O(0;0;0) không thuộc mặt phẳng (P).

  • Câu 33: Vận dụng

    Tìm phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{1} \right) ngoại tiếp hình lập phương.

    \left( S_{1} \right) có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo: I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right), bán kính R_{1} = \frac{1}{2}OE = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{4}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; - 1;3) và các mặt phẳng: (\alpha):x - 2 = 0, (\beta):y + 1 = 0, (\gamma):z - 3 = 0. Tìm khẳng định sai.

    Câu sai là: “(\alpha)//Ox”

  • Câu 35: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua M( - 1;2;4) và chứa trục Oy có phương trình là:

    Ta có: (P) có cặp véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{v_{Oy}} = (0;1;0),\overrightarrow{OM} = ( - 1;2;4)

    Khi đó véc-tơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = ( - 4;0; - 1), ta chọn \overrightarrow{n_{P}} = (4;0;1).

    Mặt phẳng (P) đi qua M( - 1;2;4) và có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (4;0;1) nên có phương trình 4(x + 1) + (z - 4) = 0 hay 4x + z = 0.

  • Câu 36: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tìm phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz cho điểm H(1;2; - 3). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại A,B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc eq 0.

    Khi đó: (\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có: \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2;3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2;3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight. vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + 3c = 0 \\ a + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = - 3c

    Mặt khác H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{- 3c} + \frac{4}{- 3c} - \frac{3}{c} = 1

    \Leftrightarrow 14 = - 3c \Leftrightarrow c = \frac{- 14}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (\alpha):\frac{x}{14} + \frac{y}{7} +\dfrac{z}{- \dfrac{14}{3}} = 1 hay (\alpha):x + 2y - 3z - 14 = 0.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{2} và \Delta_{2}:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 4}. Góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} bằng?

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{1} là \overrightarrow{u_{1}} = ( - 2;1;2)

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{2} là \overrightarrow{u_{2}} = (1;1; - 4)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Do đó góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2} là 45^{0}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm A(2; - 1;5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):3x - 2y + z + 7 = 0 và (Q):5x - 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình của mặt phẳng (\alpha) là

    Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (3; - 2;1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (5; - 4;3) \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó

    \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1;2;1)

    Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng 1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0

    Hay x + 2y + z - 5 = 0

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm M

    Hai đường thẳng (D):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 3m - t \\ z = 2t - 1 \\ \end{matrix} \right. và (d):\left\{ \begin{matrix} x = 4 - 2m \\ y = m + 2 \\ z = - m \\ \end{matrix} \right. cắt nhau tại M có tọa độ \left( t,m\mathbb{\in R} \right).

    Ta có:

    (D) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 + 4t = 4 - 2m \\ - 3 - t = m + 2 \\ 2t - 1 = - m \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2t + m = 1 \\ t + m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 6;m = - 11

    Vậy M(26, - 9,11)

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
38 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này