Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Xác định công thức đúng

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( D_{1} \right):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}} và \left( D_{2} \right):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}} \left( a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3} \neq \ \ 0 \right); với \overrightarrow{a} = \left( a_{1},a_{2},a_{3} \right); \overrightarrow{b} = \left( b_{1},b_{2},b_{3} \right) và \overrightarrow{AB} = \left( x_{2} - x_{1},y_{2} - y_{1},z_{2} - z_{1} \right).Khoảng cách hay đoạn vuông góc chung giữa \left( D_{1} \right) và \left( D_{2} \right) tính bởi công thức nào sau đây?

    Công thức đúng cần tìm là: d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}

  • Câu 2: Vận dụng

    Tìm phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{1} \right) ngoại tiếp hình lập phương.

    \left( S_{1} \right) có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo: I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right), bán kính R_{1} = \frac{1}{2}OE = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{4}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0

  • Câu 3: Nhận biết

    Hai đường thẳng cắt nhau

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} ,  \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight) và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) cắt nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow \left( D ight)và (d)  cùng nằm trong một mặt phẳng

    Để (D) và d cắt nhau, ta sẽ xét tỉ số sau:

      {a_1}:{a_2}:{a_3} e {b_1}:{b_2}:{b_3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} e \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} e \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}} \Rightarrow \left( D ight)

    và (d) cắt nhau.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính đường kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6. Đường kính (S) bằng:

    Đường kính của mặt cầu (S) bằng: 2R = 2\sqrt{6}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính góc giữa (P) và trục Ox

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính số đo góc nhị diện

    Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AD = 2a,AB = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = \frac{a\sqrt{6}}{2}. Gọi E là trung điểm của AD. Tính số đo của góc phẳng nhị diện \lbrack S;BE;Abrack?

    Ta có ABCE là hình vuông cạnh a.

    Gọi I = AC \cap BE.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BE\bot AI \\ BE\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BE\bot(SAI) \Rightarrow BE\bot SI.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} (SBE)\bot(ABE) = BE \\ AI\bot BE \\ SI\bot BE \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \lbrack S,BE,Abrack = \widehat{SIA}

    Xét tam giác SIA vuông tại A: \tan\widehat{SIA} = \frac{SA}{IA} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SIA} = 60^{0}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng \Delta_{1} :\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight. \Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1} và điểm M(0;3;0). Đường thẳng d đi qua M, cắt \Delta_{1} và vuông góc với \Delta_{2} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;a;b). Tính T = a + b

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và \Delta_{1}.

    Lấy A(3;1;1) \in \Delta_{1}.

    Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ \overrightarrow{MA} = (3; - 2;1) và {\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5).

    Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1).

    Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với \Delta_{2} có \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)

    Vậy a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho 4 điểm A(3; - 2; - 2),\ B(3;2;0),\ C(0;2;1) và D( - 1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

    Mặt phẳng (BCD)đi qua B(3;2;0)và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right\rbrack = (1;2;3)

    \Rightarrow (BCD):x + 2y + 3z - 7 = 0

    Vì mặt cầu (S)có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)nên bán kính

    R = d\left( A,(BCD) \right) = \frac{\left| 3 + 2.( - 2) + 3.( - 2) - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 10 = 0 và (Q):x + 2y + 2z - 3 = 0 bằng:

    Dựa vào phương trình (P);(Q) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;2;2) nên (P)//(Q)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{n} ight| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\d\left( O;(P) ight) = \dfrac{10}{3} \\d\left( O;(Q) ight) = \dfrac{3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight. suy ra d\left( (P);(Q) ight) = d\left( O;(P) ight) - d\left( O;(Q) ight) = \frac{7}{3}

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Chọn khẳng định sai

    Câu sai: “Nếu hai đường thẳngAB,CD song song thì vectơ \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)”.

  • Câu 12: Nhận biết

    Xác định phương trình chính tắc

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)?

    Đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; - 1;0) và nhận \overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3) làm vectơ chỉ phương.

    Phương trình chính tắc của (d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định tọa độ điểm đối xứng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    Vì \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 14: Vận dụng

    Viết phương trình mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + 8x - 6y - 4z - 11 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B( - 1;2;0). Gọi (P)là mặt phẳng chứa A, B và khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P).

    Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp(P) và đường thẳng AB, ta có IH \leq IK nên IH lớn nhất bằng IK hay \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}}.

    Tọa độ điểm I(- 4; 3; 2), \overrightarrow{BA} =(2; 0; 3).

    Ghi \frac{2x + 0y + 3z}{4 + 9} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{AI}) - 5 = 1 = - 1 = \ = Sto M ghi 1 + 2M + 4:2 + 0M - 3:3 + 3M - 2 bấm = \ = \ = ta có \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}} = (3; - 1; - 2).

    Phương trình (P) là: 3x - y - 2z + 5 = 0.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0. Tính bán kính của mặt cầu (S)?

    Phương trình mặt cầu:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 có tâm I(a;b;c) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Ta có: a = 4;b = - 5;c = 3;d = 49

    Khi đó R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 1

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)?

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0

  • Câu 17: Nhận biết

    Viết PT mp đi qua 3 điểm

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)

    Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)

    Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của

    \left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)

    Mp (P) đi qua A (2,0,3) và nhận vecto có tọa độ (2,1,1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : 2x + y = 0.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Xác định tọa độ tâm mặt cầu

    Cho các điểm A(0;1;3) và B(2;2;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 2}. Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:

    Gọi I(1 + t;2 - t;3 - 2t) trên d vì IA = IB \Rightarrow t = \frac{3}{10} \Rightarrow I\left( \frac{13}{10};\frac{17}{10};\frac{12}{5} \right).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tính tổng các tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 3y + 2z + 1 = 0 và (Q):(2m - 1)x + m(1 - 2m)y + (2m - 4)z + 14 = 0 với m là tham số thực. Tổng các giá trị của m để (P) và (Q) vuông góc nhau bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2)

    (Q) có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(Q)}} = \left( 2m - 1;,m(1 - 2m);2m - 4 ight)

    (P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}}

    Điều này tương đương với

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 6m^{2} + 3m - 9 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1 + \left( - \frac{3}{2} ight)= - \dfrac{1}{2}.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c dương. Biết A;B;C di động trên các tia Ox;Oy,Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng khi a;b;c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016; 0; 0) tới mặt phẳng (P).

    +) Gọi (\alpha),(\beta),(\gamma) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn OA;OB;OC.

    Suy ra (\alpha):x - \frac{a}{2} = 0,(\beta):y - \frac{a}{2} = 0,(\gamma):z - \frac{a}{2} = 0

    +) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABCthì I = (\alpha) \cap (\beta) \cap (\gamma).

    Tìm được I\left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2} \right)

    +)a + b + c = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = 1, do đó I \in (P):x+y + z = 1

    +) d\left( M;(P) \right) = \frac{|2016 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2015}{\sqrt{3}}.

  • Câu 23: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; - 2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P):ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c

    Gọi I(1\ ;\ 2\ ;\ 3) là tâm mặt cầu. Kẻ IH,IK lần lượt vuông góc với (P) và AB thì ta có IH \leq IK, do đó để đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất thì (P) cách xa tâm I nhất, hay \max d\left( I,(P) \right) = IK, khi đó \overrightarrow{IK} là một VTPT của (P).

    Ghi \frac{x - y + 2z}{6} CALC nhập 1 = 1 = 3 = \ = STO M, bấm AC ghi M - 1: - M - 1:2M - 3 bấm = \ \ = \ \ = ta được \overrightarrow{IK} = (0; - 2; - 1), suy ra (P):0x + 2y + z - 2 = 0.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tìm mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng cho trước

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + y - 2z + 5 = 0 và (Q): - x - y + 2z + 9 = 0. Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?

    Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì (P)//(Q)//(R)

    Do đó (R) có dạng x + y − 2z + m = 0.

    Gọi A(1; 0; 3) ∈ (P) , B(1; 0; −4) ∈ (Q).

    Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức M\left( 1;0; - \frac{1}{2} ight) \in (R).

    Suy ra 1 + 0 - 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2.

    Vậy (R): x + y − 2z − 2 = 0 hay (R): −x − y + 2z + 2 = 0.

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ (d), cho đường thẳng

    \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 2}, \left( d_{2} \right):\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 4}, \left( d_{3} \right):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ \end{matrix} \right., \left( d_{4} \right):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ \end{matrix} \right.. Gọi (d) là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng (d)?

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 2).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(2;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (2;4; - 4).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (1;0;0).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) hay \overrightarrow{n} = (0;1;1) có phương trình 0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1;1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t' = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(2;2;0).

    (d) đi qua điểm A(1;1;1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (1;1; - 1) có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Vì \overrightarrow{AB} không cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) thỏa mãn.

    Dễ thấy D(4;4; - 2) \in (d).

  • Câu 26: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức P

    Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\ \frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2},\ \ d_{2}:\ \left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 \\ z = 1 - t \end{matrix} \right.. Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng d_{1},\ d_{2}. Giá trị \cos\varphi có dạng \frac{a\sqrt{c}}{b}. Tính giá trị biểu thức P = b - 3a + c ?

    Ta có {\overrightarrow{u}}_{d_{1}} = ( - 1;\ 2;\ 2),\ {\overrightarrow{u}}_{d_{2}} = (2;\ 0;\ - 1)

    Khi đó \cos\varphi = \frac{\left|{\overrightarrow{u}}_{d_{1}}.{\overrightarrow{u}}_{d_{2}}\right|}{\left| {\overrightarrow{u}}_{d_{1}} \right|\left|{\overrightarrow{u}}_{d_{2}} \right|}

    = \frac{\left| - 1.2 + 2.0 + 2.( -1) \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{2^{2} + 0^{2} + ( -1)^{2}}}= \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{15}.

    Vậy a = 4,b = 15,c = 5\Rightarrow b - 3a+ c = 15 - 3.4 + 5 = 8

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tính tổng S

    Biết rằng có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là \left( P_{i} ight):x + a_{i}y + b_{i}z + c_{i} =0,(i = 1,2,...n) đi qua M(1;2;3) (nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo thứ tự tại A,B,C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. Tính tổng S = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}.

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), với a,b,c eq 0. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là G\left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight) mặt phẳng (Pi) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow x + \frac{a}{b}y + \frac{a}{c}z - a = 0.

    Theo bài ra (Pi) đi qua M(1; 2; 3) nên ta có: 1 + \frac{2a}{b} + \frac{3a}{c} - a = 0\ \ \ (1)

    Mặt khác, vì O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều nên:

    AB = BC = AC

    \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + c^{2}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow a^{2} = b^{2} = c^{2} kết hợp với (1) ta có các trường hợp sau:

    a = b = c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P_1): x + y + z − 6 = 0

    a = b = −c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0 không thỏa yêu cầu.

    a = −b = c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P_2): x − y + z − 2 = 0

    a = −b = −c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P_3): x − y − z + 5 = 0

    −a = −b = c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0, không thỏa yêu cầu

    −a = b = −c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P): x − y + z − 2 = 0 trùng với (P2)

    −a = b = c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P): x − y − z + 5 = 0 trùng với (P3)

    −a = −b = −c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P): x + y + z − 6 = 0 trùng với (P1)

    Vậy S = a_1 + a_2 + a_3 = 1 − 1 − 1 = −1.

  • Câu 28: Nhận biết

    Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc \Delta của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; - 2;5) và B(3;1;1)?

    \Deltađi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (2;3; - 4)

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 5}{- 4}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính góc tạo bởi mặt phẳng và trục Ox

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 \right)

    Trục Ox có VTCP \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Góc tạo bởi (P) với trục Ox

    \sin\left( (P);Ox \right) = \left| \cos\left( (P);Ox \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{i} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Vậy góc tạo bởi (P) với trục Ox bằng 60^{()}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng \Delta bằng:

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 31: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{2} và \Delta_{2}:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 4}. Góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} bằng?

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{1} là \overrightarrow{u_{1}} = ( - 2;1;2)

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{2} là \overrightarrow{u_{2}} = (1;1; - 4)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Do đó góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2} là 45^{0}

  • Câu 32: Vận dụng

    Tính tích số theo yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A( - 8;1;1),B(2;1;3)vàC(6;4;0). Điểm Mdi động trong không gian sao cho \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 34. Biết |MA - MB| đạt giá trị lớn nhất tại điểm M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}). Tính tích số x_{0}y_{0}z_{0}.

    Biến đổi \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 34

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC} = 34

    \Leftrightarrow 4( - 8 - x) + 3(1 - y) - 3(1 - z) = 34

    \Leftrightarrow M \in (P):4x + 3y - 3z + 66 = 0.

    Ghi 4x + 3y - 3z + 66 CALC nhập tọa độ A, kết quả 34. CALC nhập tọa độ B, kết quả 68. Ta có tỉ số t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{34}{68} = \frac{1}{2}.

    Gọi D thỏa mãn \overrightarrow{DA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow D( - 18;1; - 1).

    Ta tìm hình chiếu M của D trên (P).

    Ghi - \frac{4x + 3y - 3z + 66}{16 + 9 + 9} bấm CALC nhập tọa độ D, kết quả 0. Vậy điểm M trùng D nên x_{0}y_{0}z_{0} = 18.

     

  • Câu 33: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2} và d_{2}:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}.

    Ta có:

    \cos\left( \widehat{d_{1};d_{2}} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{d_{1}}};\overrightarrow{n_{d_{2}}} \right) \right|

    = \frac{\left| 1.( - 1) + ( - 1).1 + 2.1 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}\sqrt{( - 1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = 0

    \Rightarrow \left( \widehat{d_{1};d_{2}} \right) = 90{^\circ}

  • Câu 34: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

    Đường thẳng Oy đi qua điểm A(0\ ;\ 2\ ;\ 0) và nhận vectơ đơn vị \overrightarrow{j} = (0;\ 1;\ 0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 0.t \\ y = 2 + 1.t \\ z = 0 + 0.t \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Với điều kiện nào của m thì mặt phẳng cong sau là mặt cầu? (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(3 - m)x- 3(m + 1)y - 2mz + 2m^{2} + 7 = 0

    Ta có: a = m - 3;\ \ b = m + 1;\ \ c = m;\ \ d = 2m^{2} + 7

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    \Leftrightarrow (m - 3)^{2} + (m + 1)^{2} + m^{2} - 2m^{2} - 7 > 0\Leftrightarrow m^{2} - 4m + 3 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 3 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Viết phương trình (P)

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1),B(3; - 1;5). Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng \frac{3}{2} là

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3;4) \Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0

    Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

    Suy ra M\left( - \frac{m}{2};0;0 ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4} ight)

    Ta có thể tích tứ diện V_{O.MNP} = \frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = \pm 6

    Vậy đáp án cần tìm là: 2x - 3y + 4z \pm 6 = 0

  • Câu 37: Thông hiểu

    Định tham số để hai đường thẳng cắt nhau

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và d_{2}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - m}{1} = \frac{z + 2}{- 1}, (với m là tham số). Tìm m để hai đường thẳng d_{1} và d_{2} cắt nhau

    Ta có:

    d_{1} đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;2)

    d_{2} đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 1)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 1;5;3) \\ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (0;m - 2; - 5) \\ \end{matrix} ight.

    d_{1} và d_{2} cắt nhau \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = 0

    \Leftrightarrow - 1\ .0 + 5(m - 2) - 15 = 0 \Leftrightarrow m = 5

  • Câu 38: Vận dụng

    Chọn phương án đúng

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2+ z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0 \\ 2x - 2y + z + 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Bán kính r của (C) bằng:

    Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C) :

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81.

    Để biết tâm I(1,2,3) và bán kính R = 9 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là :r = \sqrt{81 - 4} = \sqrt{77} (do khoảng cách từ I đến mặt phẳng chứa (C) là h = \frac{|2.1 - 2.2 + 3 + 5|}{\sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}}} = 2) .

  • Câu 39: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y - 3z - 2 = 0. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3).

    Do d\bot(P) nên vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

  • Câu 40: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Chọn kết luận đúng?

    Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
40 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này