Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
,
. Gọi
là đường thẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
đến
và từ
đến
là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng
là
Ta có .
Khi đó đi qua
và vuông góc với
.
Tìm x
Trong không gian
, cho
. Nếu ba vectơ
đồng phẳng thì:
Ta có:
Ba vectơ đồng phẳng
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là các đường thẳng đi qua
, nằm trong
và đều có khoảng cách đến đường thẳng
bằng
. Côsin của góc giữa
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi H K; lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên và
, ta có:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
phương trình đường thẳng
đi qua điểm A(2;-1; 3) và vuông góc với mặt phẳng
là.
có vectơ pháp tuyến
Vì vuông góc với
nên
có vectơ chỉ phương
đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là
Viết phương trình mặt cầu
Cho các điểm
và đường thẳng
. Phương trình mặt cầu
có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
.
Gọi H là hình chiếu của I trên d.
Ta có :
.
Vậy phương trình mặt cầu là:
Tính khoảng cách
Cho mặt cầu
và một điểm A, biết
. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho
. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:
Gọi H là hình chiếu của O lên BC.
Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên
Suy ra
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Phương trình tổng quát
Cho tứ diện
có
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
Theo đề bài, ta có các vecto là
Có thể chọn làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên:
Vậy phương trình cần tìm .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Tìm tập hợp các điểm M
Cho mặt cầu (S):
và điểm
. Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.
(Có thể chọn nhiều đáp án)
Theo đề bài, (S) có tâm
Ta có:
đường tròn
Hay
Xác định tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng
Trong không gian
, cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là điểm
Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng , ta giữ lại các thành phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của
lên
là điểm
.
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian
, góc giữa hai đường thẳng
và
xấp xỉ bằng
Ta có:
.
Tính tổng không giới hạng
Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là
với
đi qua điểm
và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ
theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị
bằng?
Giả sử mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
+) Ta có:
.
Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra
Nên ta có (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên
)
+) Vì điểm nên suy ra:
Nhận thấy nếu thì
, trường hợp này không thỏa mãn do
Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp và
Vậy suy ra
.
Tìm phương trình mặt phẳng
Cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và
cách điểm
một khoảng bằng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì
Mà
Vậy .
Ghi đáp án đúng vào ô trống
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy
Tính cosin góc BAC
Trong không gian
, cho ba điểm
,
,
. Côsin của góc ![]()
bằng
Ta có:
với
,
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
. Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
?
Ta có hình chiếu của trên mặt phẳng
là
.
Xác định đường kính của mặt cầu
Cho các điểm
và
. Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy có đường kính là:
Gọi trên Oy vì
đường kính bằng
.
Tìm tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp tứ giác đều
có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
,
là góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Không mất tính tổng quát, giả sử các cạnh của hình chóp bằng .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó: và
là vectơ pháp tuyến của (SBD).
Do đó:
Vậy
Tìm phương trình mặt cầu (S)
Viết phương trình mặt cầu
tâm
qua
.
Ta có:
Tìm góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Xác định góc giữa hai đường thẳng
và
.
Đường thẳng có VTCP
,
có VTCP
.
Gọi là góc giữa hai đường thẳng
và
.
Ta có
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng có phương trình
và mặt cầu
. Mặt phẳng
vuông với mặt phẳng
đồng thời tiếp xúc với mặt cầu
.
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Ta có :
Lúc đó mặt phẳng có dạng :
.
Do mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Vậy phương trình mặt phẳng :
hoặc
.
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ
cho đường thẳng
. Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxz) có phương trình là.
Cho y = 0, phương trình của d lên mặt phẳng (Oxz) là
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng đó.
Ta có:
là một véctơ pháp tuyến của
.
là một véctơ pháp tuyến của
.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
và
là:
.
Tìm giá trị lớn nhất của OM
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Xét điểm
thay đổi sao cho
. Giá trị lớn nhất của
bằng
Cách 1. Phương pháp véc tơ.
Từ giả thiết ta có:
(1).
Từ đó lớn nhất khi và chỉ khi
và
cùng hướng.
Ta có: , đặt
, từ (1)
.
Vậy .
Cách 2. Phương pháp hình học.

Nhận xét được , do đó gọi D là chân đường phân giác trong của góc O tam giác AOB, C là chân đường phân giác ngoài của góc O của tam giác thì M trùng C. Tọa độ
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho mặt phẳng
với
đi qua 2 điểm
và tạo với
một góc
. Tính tổng
? (Làm tròn đến hàng phần trăm)?
Mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
Và tạo với
một góc
nên
Thay vào phương trình
được:
Khi đó:
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hai mặt phẳng
và
. Tìm tham số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau.
Đáp án: 4
Cho hai mặt phẳng
và
. Tìm tham số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau.
Đáp án: 4
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
.
Tìm câu sai
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
và các mặt phẳng:
,
,
. Tìm khẳng định sai.
Câu sai là: “”
Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng
Hai đường thẳng
và ![]()
qua
có vecto chỉ phương
Hai pháp vecto của hai mặt phẳng và
là
Vecto chỉ phương của
Ta có: và tọa độ
thỏa man phương trình của
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Chọn đáp án đúng
Cho mặt cầu tâm
, bán kính
. Xét mặt phẳng
thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn
. Hình nón
có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn
và có chiều cao là
. Hình trụ
có đáy là đường tròn
và có cùng chiều cao với hình nón
. Tính thể tích
khối trụ được tạo nên bởi
theo
, biết
có giá trị lớn nhất.
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ dến mặt phẳng
là
với
, đường tròn
có bán kính là
.
Ta có và
.
Vậy
Tìm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Cho ba điểm
,
,
,
. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
có phương trình là:
Phương trình mặt cầu có dạng:
, ta có:
Lấy ;
;
ta được hệ:
Vậy phương trình măt cầu là: .
Lưu ý : Ở bài này máy tính Casio giúp chúng ta giải nhanh chóng hệ phương trình bậc nhất ba ấn được tạo ra để tìm các hệ số của phương trình mặt cầu tổng quát. (Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ các điểm vào từng đáp án và tìm ra đáp án đúng)
Chọn phương án đúng
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) song song khi và chỉ khi:
Ta có:
và
cùng nằm trong một mặt phẳng
và
cùng phương
và
và
song song.
Tính số đo góc nhị diện
Cho hình lập phương
. Số đo của góc nhị diên
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có góc nhị diên bằng
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Viết phương trình mặt phẳng qua
và song song với mặt phẳng
.
Phương pháp tự luận
+).
+) Mặt phẳng đi qua có VTPT
có phương trình:
.
+) Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
Phương pháp trắc nghiệm
Gọi phương trình mặt phẳng có dạng
.
Sử dụng MTBT giải hệ bậc nhất 3 ẩn, nhập tọa độ 3 điểmvào hệ, chọn
ta được
. (Trong trường hợp chọn
vô nghiệm ta chuyển sang chọn
).
Suy ra mặt phẳng có VTPT
Mặt phẳng đi qua có VTPT
có phương trình:
.
Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.
Tìm khoảng cách từ A đến (Oxy)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
, bán kính
. Từ một điểm
thuộc mặt phẳng
kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại
. Tính
biết
.
Hình vẽ minh họa
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là
Vì AB tiếp xúc với tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:
Đường thẳng IA đi qua có vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là:
Do nên
Vậy A(3; 1; 1) nên .
Tìm tọa độ điểm A
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Điểm
nào dưới đây thuộc
và thỏa mãn khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
?
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).
Khoảng cách từ A đến (P) là
Với
Tìm tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian với hệ toạ độ
, mặt cầu
có tâm là
Mặt cầu có tâm là:
.
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: