VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Luyện tập Phương trình mặt cầu CTST

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3 Chân trời sáng tạo

Vndoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán lớp 12: Phương trình mặt cầu sách Chân trời sáng tạo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha)$ và tiếp xúc với $(S)$ là
- A.
  $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$
- B.
  $(P):2x + y + 2z - 15 = 0$
- C.
  $(P):2x + y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $(P):2x + y + 2z + 15 = 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

(S) có tâm $I (1; −2; 3)$ , bán kính $R = 3$ . (P) song song với (α)

⇒ $(P):2x + y + 2z + m = 0$ , với $m eq - 15$

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$ , so với điều kiện ta nhận $m = 3$ .

Vậy $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{7}$
- B.
  $3$
- C.
  $9$
- D.
  $\sqrt{15}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.( - 1)x - 2.0.y - 2.1z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I( - 1;0;1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{( - 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} - 7} = 3$
Câu 3: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 2;7),B( - 3;8; - 1)$ . Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = \sqrt{45}$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 45$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 3)^{2} = 45$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 3)^{2} = \sqrt{45}$
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ khi đó $I( - 1;3;3)$ là tâm mặt cầu $(S)$ .

Bán kính $R = IA = \sqrt{(1 + 1)^{2} + ( - 2 - 3)^{2} + (7 - 3)^{2}} = \sqrt{45}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 45$ .
Câu 4: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt cầu $(S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1$ , $(S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4$ , $(S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0$ . Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1), (S_2), (S_3)$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $6$
- C.
  $8$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có $\left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight)$ có tâm lần lượt là $I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0)$ và bán kính lần lượt là $R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3$ .
Gọi $(P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:
$\left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.$
Xét phương trình
$3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.$
(1) Với $d = - 4a - 2b - 12c$ . Thay vào $2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|$ , ta được
$2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.$
Với $a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được:
$\left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}$
$\Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0$ (vô lí).
Với $a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được:
$\left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}$
$\Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}$
$\Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0$ (vô lí).
(2) Với $5d = 4a - 10b - 12c$ .
Thay vào $2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|$ , ta được
$2| - 11a + 8c| = |4a + 8c$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.$
Với $a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được
$\left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}$
$\Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}$
Với $c = \frac{13b}{\sqrt{11}}$ : chọn $b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow$ Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight)$ .
Với $a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b$
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ta được:
$\left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0$ (vô lí).
Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight)$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 20$
- A.
  $I(1; - 2;4),R = 2\sqrt{5}$
- B.
  $I( - 1;2; - 4),R = 2\sqrt{5}$
- C.
  $I(1; - 2;4),R = 20$
- D.
  $I( - 1;2; - 4),R = 5\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I(1; - 2;4)$

Bán kính mặt cầu $(S)$ là: $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0$ cắt mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
- A.
  $\frac{15\pi}{4}$
- B.
  $\frac{9\pi}{4}$
- C.
  $\frac{7\pi}{4}$
- D.
  $\frac{11\pi}{4}$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$

Khoảng cách từ $O$ đến (P): $d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}$

Bán kính đường tròn giao tuyến

$r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}$

Diện tích đường tròn giao tuyến $S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tìm bán kính đường tròn
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - 2 = 0$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;1; - 1)$ bán kính $R = 2$ . Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $r = 1$
- B.
  $r = \sqrt{3}$
- C.
  $r = 3$
- D.
  $r = \sqrt{5}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là $r$

Ta có:

$h = d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.2 + 2.( - 1) - 1 - 2 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 1$

Suy ra $r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và có diện tích bằng $4\pi$ có phương trình là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$
Hướng dẫn:
Ta có: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$

Vậy mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ có bán kính $R = 1$ có phương trình:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ .
Câu 9: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng $(α): x−y +z −4 = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ , vuông góc với $(α)$ và đồng thời $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm $M$ của $(P)$ và trục $x’Ox$ là
- A.
  $M\left( \frac{1}{3};0;0 ight)$
- B.
  $M( - 1;0;0)$
- C.
  $M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight)$
- D.
  $M\left( - \frac{1}{3};0;0 ight)$
Hướng dẫn:
Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi $d(I,(P))$ lớn nhất.

Vì $M ∈ x'Ox$ nên gọi M(m; 0; 0).

Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

Khi đó $\overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (3;2 + m;m - 1)$

Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

$3(x − 0) + (2 + m)(y − 2) + (m − 1)(z − 2) = 0$ hay $3x + (2 + m)y + (m − 1)z −3m=0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{9}{\sqrt{2m^{2} + 2m + 14}}$ lớn nhất khi và chỉ khi $2m^{2} + 2m + 14$ đạt giá trị nhỏ nhất

Mà $2m^{2} + 2m + 14 = 2\left( m + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}$

Do đó $2m^{2} + 2m + 14$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $m = - \frac{1}{2}$

Vậy $M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tính diện tích đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxy)$ cắt mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ theo thiết diện là đường tròn bán kính $r$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $r = 4$
- B.
  $r = 3$
- C.
  $r = 16$
- D.
  $r = 5$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1; - 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(Oxy)$ bằng $3$ .

$\Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 2;3)$ . Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{13}$
- B.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- C.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 17$
- D.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
Hướng dẫn:
Hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox$ là: $I(1;0;0)$

$\Rightarrow IM = \sqrt{13}$

Suy ra phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ là: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$ .
Câu 12: Vận dụng
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 2;3)$ và $B( - 1;0;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z + 4 = 0$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $\frac{AB}{6}$ có tâm thuộc đường thẳng $AB$ và $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 2)^{2} = \frac{1}{3}$
- C.
  $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix}(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x - 6)^{2} + (y + 5)^{2} + (z - 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2)$ suy ra $AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Ta có: $R = \frac{AB}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Tâm I thuộc AB nên $I(1 - 2t; - 2 + 2t;3 - 2t)$

Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên

$d\left( I;(P) ight) = R$

$\Leftrightarrow \frac{\left| (1 - 2t) + ( - 2 + 2t) + (2 - 2t) + 4 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow |6 - 2t| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 6 - 2t = 1 \\ 6 - 2t = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow I( - 4;3; - 2) \\t = \dfrac{7}{2} \Rightarrow I( - 6;5; - 4) \\\end{matrix} ight.$

Ta có phương trình đường tròn (C) tâm $I(−4; 3; −2)$ , bán kính $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ là:

$(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}$

Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ là:

$(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \frac{1}{3}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left\lbrack\begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
Câu 13: Vận dụng
Xác định các tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; 1; 2)$ và $B(5; 7; 0)$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0$ là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm $A, B$ có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + m)^{2} + (z - m - 1)^{2} = m^{2} - 3(*)$

Suy ra (*) là phương trình mặt cầu

$\Leftrightarrow m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow |m| > \sqrt{3}$

Khi đó, mặt cầu (S) có tâm $I(2; −m; m + 1)$ và bán kính $R = \sqrt{m^{2} - 3}$

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.

Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.

Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là $d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{m^{2} - 4};\left( m^{2} - 4 \geq 0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (2;6; - 2)$ suy ra $\overrightarrow{u} = (1;3; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$

Suy ra đường thẳng $AB$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì

TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và $I otin AB$

Ta có $I ∈ (P) ⇔ d = 0 ⇔ m^2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.$

+ Với $m = 2 ⇒ I(2; −2; 3) ∈ AB ⇒ m = 2$ (loại).

+ Với m = −2 ⇒ $I(2;2; - 1) otin AB$ ⇒ m = −2 (thỏa mãn).

TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)

$\overrightarrow{IA} = (1;1 + m;1 - m)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 4 + 2m;2 - m;2 - m)$

$\Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight| = |2 - m|\sqrt{6};\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{11}$

Khi đó $d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}$

$(*) \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} - 4} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}$

$\Leftrightarrow 5m^{2} + 24m - 68 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 2(ktm) \\m = - \dfrac{34}{5}(tm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 14: Thông hiểu
Tính diện tích đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(1; 2; −2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với $(P)$ .
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $AH ⊥ BC, CH ⊥ AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)$

Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

⇒ Phương trình mặt cầu là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .
Câu 15: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt cầu $(S)$ đường kính $AB$ biết $A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)$ ?
- A.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 24$
- B.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
- C.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 24$
- D.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ khi đó $I(1;1; - 2)$ là tâm mặt cầu $(S)$ .

Bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$ .
Câu 16: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ qua bốn điểm $A(3;3;0),B(3;0;3),$ $C(0;3;3),D(3;3;3)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- B.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y + \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- C.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- D.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Hướng dẫn:
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}18 - 6a - 6b + d = 0 \\18 - 6a - 6c + d = 0 \\18 - 6b - 6c + d = 0 \\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{3}{2} \\d = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} ight)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện đều $ABCD$ có $A(0;1;2)$ và hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(BCD)$ là $H(4; - 3; - 2)$ . Tìm tọa độ tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $I(3; - 2;1)$
- B.
  $I(2; - 1;0)$
- C.
  $I(3; - 2; - 1)$
- D.
  $I( - 3; - 2;1)$
Hướng dẫn:
Gọi $I(a;b;c) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = ( - a;1 - b;2 - c) \\ \overrightarrow{IH} = (4 - a; - 3 - b; - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$ABCD$ là tứ diện đều nên tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

$\Rightarrow \overrightarrow{IA} = - 3\overrightarrow{IH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a = - 3(4 - a) \\ 1 - b = - 3(3 - b) \\ 2 - c = - 3( - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 2 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3; - 2; - 1)$
Câu 18: Nhận biết
Định các giá trị nguyên tham số m
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình mặt cầu
- A.
  $1 < m < 2$
- B.
  $- 2 \leq m \leq 1$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

$(m + 2)^{2} + 4m^{2} - 19m + 6 > 0$

$\Leftrightarrow 5m^{2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ ?
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 64$
- B.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 64$
- C.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 8$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$
Hướng dẫn:
Vì mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ nên mặt cầu $(S)$ nhận độ dài đoạn thẳng $AB$ làm bán kính.

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;0;2) \Rightarrow AB = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow R = 2\sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tập hợp các giá trị a
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , xét mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0$ . Tập hợp các giá trị thực của tham số $a$ để $(S)$ có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $a \in \left\{ 2; - 10 ight\}$
- B.
  $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$
- C.
  $a \in \left\{ 1;10 ight\}$
- D.
  $a \in \left\{ 1; - 11 ight\}$
Hướng dẫn:
Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Từ phương trình của $(S)$ suy ra bán kính của $(S)$ là $R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}$

Do đó $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (45%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

1

19

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Luyện tập Phương trình mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 3

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 2