VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 6: Xác suất có điều kiện Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Thông hiểu
Tìm xác suất có điều kiện

Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là $7$ , biết rằng có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt $5$ chấm.
- A.
  $\frac{2}{11}$ .
- B.
  $\frac{1}{3}$ .
- C.
  $\frac{9}{11}$ .
- D.
  $\frac{2}{3}$ .
Gọi $A$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là $7$ ” và $B$ là biến cố “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt $5$ chấm”.

Ta có

$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ ;

$A \cap B = \left\{ (2;5),\ \ (5;2) \right\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{2}{36}$ .

Suy ra $P\left( A\left| B \right.\ \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{2}{11}$ .
Câu 2: Nhận biết
Tính P(A|B)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024$ ; $P(B) = 0,2025$ .

Tính $P\left( A\left| B \right.\ \right)$ .
- A.
  $0,7976$ .
- B.
  $0,7975$ .
- C.
  $0,2025$ .
- D.
  $0,2024$ .
Ta có: $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( A\left| B \right.\ \right) = P(A) = 0,2024$
Câu 3: Nhận biết
Xác định P(A|B)

Cho hai biến cố $A,B$ có xác suất $Ρ(A) = 0,4;Ρ(B) = 0,6;Ρ(AB) = 0,2$ . Tính xác suất $Ρ\left( A|B \right)$ .
- A.
  $\frac{1}{3}$ .
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $0,3$ .
- D.
  $0,25$ .
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có $Ρ\left( A|B \right) = \frac{Ρ(AB)}{Ρ(B)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3}$ .
Câu 4: Vận dụng
Tính xác suất để hai đứa trẻ là con gái

Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu? Cho biết xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau.
- A.
  $\frac{3}{5}$ .
- B.
  $\frac{3}{4}$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $\frac{1}{3}$ .
Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.

Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng:

(trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).

Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái”

Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”

Ta có $P(A) = \frac{1}{4};P(B) = \frac{3}{4}$

Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:

$P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{4}$

Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là

$P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$
Câu 5: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác nhất

Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.
- A.
  $70,23\%$
- B.
  $60,34\%$
- C.
  $72,66\%$
- D.
  $65,07\%$
Gọi $A_{i}$ là "trong 5 sản phẩm cuối có $i$ chính phẩm".

Khi đó hệ $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ tạo thành hệ đầy đủ

$A_{0}$ xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.

Suy ra $P\left( A_{0} ight) = 0$

$A_{1}$ xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.

$P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{225}$

$A_{2}$ xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II

$P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{14}{225}$

$A_{3}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô $II$ hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{25}$

$A_{4}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,2$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{4} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{98}{225}$

$A_{5}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{5} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{49}{225}$

Gọi $A$ là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ

$P(\bar{A}) = \sum_{i = 0}^{5}\mspace{2mu}\mspace{2mu} P\left( A_{i} ight)P\left( \bar{A} \mid A_{i} ight)$

$= \frac{C_{5}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot 0 + \frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{1}{225} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{14}{225} + \frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{7}{25} + 0 \cdot \frac{98}{225} + 0 \cdot \frac{49}{225}$

$\simeq 0.4933$

Suy ra $P(A) = 1 - P(\bar{A}) \simeq 0,6507$ .
Câu 6: Nhận biết
Tính P(A|B)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2$ , $P(B) = 0,4$ . Tính $P\left( A|B \right)$ .
- A.
  0,2
- B.
  0,5
- C.
  0,1
- D.
  0,4
Ta có:

A và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( A|B \right) = P(A) = 0,2$ .
Câu 7: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các phương án

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Từ giả thiết của bài toán ta có sơ đồ hình cây như sau:

a) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $0,6$ (nhánh $O\overline{A}$ ).

b) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy là $0,3 = \frac{3}{10}$ (nhánh $\overline{A}B$ ).

c) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt $0,4 = \frac{4}{10}$ (nhánh $AB$ )

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là:

$P(B) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36$ (nhánh $OAB$ và nhánh $O\overline{A}B$ ).
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Một cửa hàng sách ước lượng rằng: trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có $30\%$ khách cần hỏi nhân viên bán hàng, $20\%$ khách mua sách và $15\%$ khách thực hiện cả hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng?
- A.
  $0,62$
- B.
  $0,7$
- C.
  $0,5$
- D.
  $0,34$
Gọi A là "khách hỏi nhân viên bán hàng" và B là "khách mua sách".

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,3;P(B) = 0,2 \\ P(AB) = 0,15 \\ \end{matrix} ight.$

$P\left( \overline{B}|A ight) = \frac{P\left( \overline{B}|A ight)}{P(A)} = \frac{P(A) - P(AB)}{P(A)} = 0,5$ .
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có $3\%$ tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây ra tai nạn thì có $21\%$ là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?
- A.
  $3$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $6$ .
Ta gọi $A$ là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”, $B$ là biến cố “Tài xế lái xe gây tai nạn”.

Khi đó $P\left( A \right) = 3\% = 0,03,P\left( {A|B} \right) = 21\% = 0,21.$

Theo công thức Bayes:

$P\left( B|A \right) = \frac{P( B)P\left(A|B \right)}{P(A)}$

$\Rightarrow \frac{P\left( B|A \right)}{P(B)} = \frac{P\left( A|B \right)}{P(A)} = \frac{0,21}{0,03} = 7$

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên $7$ lần.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là $52\%$ . Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là $18\%$ và $15\%$ . Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường. Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật.
- A.
  $\frac{77}{1075}$
- B.
  $\frac{207}{1250}$
- C.
  $\frac{184}{1075}$
- D.
  $\frac{451}{2150}$
Gọi $A$ là biến cố “học sinh được chọn là học sinh nữ “ và $B$ là biến cố “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”

Khi đó ta có $P(A) = 0,52$ , $P\left( B|A \right) = 0, 18$ , $P\left( B|\overline{A} \right) = 0,15$

Suy ra $P\left( \overline{A} \right) = 1 - P(A) = 0,48$ .

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có

$P(B) = P(A)P\left( B|A \right) + P\left( \overline{A} \right)P\left( B|\overline{A} \right)$

$= 0,52.0,18 + 0,48.0,15 = 0,1656$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị của D

Cho hai biến cố $A,B$ thỏa mãn $P(A) = 0,21;\ \ P(B) = 0,52;\ P\left( B|A\right) = 0,6$ . Khi đó $P\left( A|B \right) = \frac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{a}{b}$ là phân số tối giản, giá trị của $D = a + b$ là bao nhiêu?
- A.
  $323$ .
- B.
  $197$ .
- C.
  $\frac{63}{260}$ .
- D.
  $\frac{260}{63}$ .
Ta có: $P(AB) = P(A).P\left( B|A \right) = 0,21.0,6 = 0,126$ .

$P(AB) = P(B).P\left( A|B \right)$

$\Rightarrow P\left( A|B \right) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0,126}{0,52} = \frac{63}{260}$ .

Suy ra: $a = 63$ và $b = 260$ .

Vậy $D = a + b = 63 + 260 = 323$ .
Câu 12: Vận dụng
Tính xác suất để chẩn đoán đúng

Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là $0,8$ . Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán đúng?
- A.
  $77\%$
- B.
  $54\%$
- C.
  $60\%$
- D.
  $80\%$
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, $\overline{A}$ tạo thành hệ đầy đủ

Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".

Ta có P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.

Tìm P(B) từ:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight)}{P(B)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Rightarrow 0,9 = \frac{0,8 - 0,5\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Leftrightarrow P(B) = 0,75$

Gọi C là "chẩn đoán đúng", thì C xảy ra khi người bị bệnh được chẩn đoán có bệnh hoặc người không bị bệnh được chẩn đoán không bị bệnh. Như vậy

$C = AB + \overline{A}\overline{B}$

Hiển nhiên 2 biến cố $AB;\overline{A}\overline{B}$ xung khắc, nên ta có:

$P(C) = P\left( AB + \overline{A}\overline{B} ight)$

$= P(B)P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight)P\left( \overline{A}|\overline{B} ight)$

$= 0,75.0,9 + 0,25.0,5 = 0,8$
Câu 13: Thông hiểu
Tính xác suất có điều kiện

Trong hộp có 20 nắp chai Cocacola trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng”. Bạn A được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là:
- A.
  $\frac{1}{20}$
- B.
  $\frac{1}{19}$
- C.
  $\frac{1}{190}$
- D.
  $\frac{1}{10}$
Gọi A là biến cố “nắp đầu trúng thưởng”

Gọi B là biến cố “nắp thứ hai trúng thưởng”

Ta đi tìm giá trị $P(A \cap B)$

Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng do đó: $P(A) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng, do đó: $P\left( B|A ight) = \frac{1}{19}$

Ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$\Rightarrow P(A \cap B) = P\left( B|A ight).P(A) = \frac{1}{19}.\frac{1}{10} = \frac{1}{190}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính xác suất có điều kiện

Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

Xét các biến cố:

$A$ : "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

$B$ : "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

Tính xác suất có điều kiện $P\left( B|A ight)$ ?
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{3}{4}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}n(\Omega) = 12 \(A) = 6 \Rightarrow P(A) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} \(A \cap B) = 4 \Rightarrow P(A \cap B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $P\left( B|A ight) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{3}$
Câu 15: Vận dụng cao
Tính xác suất bắn trúng

Cuối tuần M đến sân chơi để bắn cung, biết khoảng cách bắn tên thay đổi liên tục và khả năng bạn M bắn trúng bia tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. M bắn lần đầu ở khoảng cách $20m$ với xác suất trúng bia là $0,5$ , nếu bị trượt M bắn tiếp mũi tên thứ hai ở khoảng cách $30m$ , nếu lại trượt M bắn mũi tên thứ ba ở khoảng cách $40m$ . Tính xác suất để M bắn trúng bia?
- A.
  $0,63$
- B.
  $0,45$
- C.
  $0,58$
- D.
  $0,75$
Gọi A là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ hai”

Gọi C là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ ba”

Ta có: $P(A) = 0,5$

Vì xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}P\left( B|\overline{A} ight) = \dfrac{20.0,5}{30} = \dfrac{1}{3} \\P\left( C|\overline{A}.\overline{B} ight) = \dfrac{20.0,5}{40} =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$

Ta có sơ đồ cây như sau:

Xác suất để M bắn trúng bia là:

$P(A) + P\left( \overline{A}B ight) + P\left( \overline{A}\overline{B}C ight) = 0,5 + 0,5.\frac{1}{3} + 0,5.\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = 0,75$
Câu 16: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Cho hai biến cố $A,\ B$ có $P(B) = 0,8;P(A \cap B) = 0,1$ . Kết quả của xác suất sau $P(A \mid B)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{1}{6}$ .
- B.
  $\frac{3}{7}$ .
- C.
  $\frac{3}{5}$ .
- D.
  $\frac{1}{8}$ .
Ta có: $P(A \cap B) = P(B).P(A \mid B)$

$\Leftrightarrow P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,1}{0,8} = \frac{1}{8}.$
Câu 17: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:

- Có $40\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

- Có $30\%$ bệnh nhân thường xuyên bị stress.

- Trong số các bệnh nhân bị stress có $80\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là $0,3$ . Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là $0,8$ . Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là $0,24$ . Đúng||Sai

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là $0,6$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:

- Có $40\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

- Có $30\%$ bệnh nhân thường xuyên bị stress.

- Trong số các bệnh nhân bị stress có $80\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là $0,3$ . Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là $0,8$ . Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là $0,24$ . Đúng||Sai

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là $0,6$ . Đúng||Sai

a) Đ Xét các biến cố: $A$ : “Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”;

$B$ : “Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”

Khi đó, $P(A) = 0,3;\ \ \ P(B) = 0,4;\ \$ .

b) Đ Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, tức là $P(B \mid A)$ , theo giả thiết ta có $P(B \mid A) = 0,8$ .

c) Đ Suy ra xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24$ .

d) Đ Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là $P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,24}{0,4} = 0,6$ .
Câu 18: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là $0,5$ . Thống kê cho thấy $34\%$ cặp sinh đôi là trai; $30\%$ cặp sinh đôi là gái và $36\%$ cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.
- A.
  $21\%$
- B.
  $18\%$
- C.
  $24\%$
- D.
  $28\%$
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”

B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”

Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên $P\left( B|A ight) = 1$

Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên $P\left( B|\overline{A} ight) = P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = \frac{1}{2}$

Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:

$P(B) = 0,3 + 0,34 = 0,64$

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,36$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( B|A ight).P(A) + P\left( B|\overline{A} ight).P\left( \overline{A} ight)$

$= P\left( B|A ight).P(A) + P\left( B|\overline{A} ight).\left\lbrack 1 - P(A) ightbrack$

Thay số ta xác định được $P(A) = 0,28$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính P(A)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P(A)$ ?
- A.
  $0,25$
- B.
  $0,65$
- C.
  $0,55$
- D.
  $0,5$
Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$
Câu 20: Vận dụng
Tính xác suất của biến cố

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
- A.
  0,9925.
- B.
  0,9825
- C.
  0,9725
- D.
  0,9625
Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

$\overline{B}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

$\overline{C}$ là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

$P(A) = 0,95;P(B) = 0,85;P(\overline{A}) = 0,05;P(\overline{B}) = 0,15$

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Mà $\overline{C} = \overline{A.B}$

$P(\overline{C}) = P(\overline{A}.\overline{B}) = P(\overline{A}).P(\overline{B}) = 0,0075$ .

$\Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 0,9925.$
Câu 21: Nhận biết
Tính P(B)

Xét một phép thử có biến cố $A$ và $B$ . Biết xác suất xảy ra các biến cố $P(A)$ , $P\left( B|A \right)$ , $P\left( B|\overline{A} \right)$ được thể hiện trong sơ đồ sau:

Tính $P(B)$ .
- A.
  0,87.
- B.
  0,93.
- C.
  0,72.
- D.
  0,81.
Ta có

$P(B) = P(A)P\left( B|A \right) + P\left( \overline{A} \right)P\left( B|\overline{A} \right)$

$= 0,1 \cdot 0,9 + (1 - 0,1) \cdot 0,8 = 0,81$ .
Câu 22: Nhận biết
Chọn công thức đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố ngẫu nhiên mà $P(A) > 0$ , $P(B) > 0$ , công thức Bayes là:
- A.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(B).P\left( A|B \right)}{P(A)}$ .
- B.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(A).P\left( A|B \right)}{P(B)}$ .
- C.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(B).P\left( B|A \right)}{P(A)}$ .
- D.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(A).P\left( B|A \right)}{P(B)}$ .
Ta có: $P\left( B|A \right) = \frac{P(B).P\left( A|B \right)}{P(A)}$ .
Câu 23: Vận dụng
Tính xác suất bi màu đỏ

Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ?
- A.
  $0,51$
- B.
  $0,55$
- C.
  $0,48$
- D.
  $0,43$
Gọi A₁, A₂ lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì $A_{1}A_{2};\overline{A_{1}}A_{2};A_{1}\overline{A_{2}};\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}$ tạo thành một hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1}A_{2} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,2 \\ P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0,2 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:

$P\left( A|A_{1}A_{2} ight) = 1;P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,5$

$P\left( A|A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,5;P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = P\left( A_{1}A_{2} ight)P\left( A|A_{1}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$+ P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) + P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)$

$= 0,3.1 + 0,3.0,5 + 0,2.0,5 + 0,2.0 = 0,55$
Câu 24: Thông hiểu
Tính xác suất theo yêu cầu

Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
- A.
  $\frac{3}{10}$
- B.
  $\frac{11}{16}$
- C.
  $\frac{103}{106}$
- D.
  $\frac{7}{16}$
Xét A:“Con thỏ được lấy ra từ chuồng II để cho vào chuồng I là con thỏ trắng”.

Và B: “Con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng”.

Tính P(A): Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I: $n(\Omega) = C_{10}^{1};n(A) = C_{3}^{1} \Rightarrow P(A) = \frac{3}{10}$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

Tính $P\left( B|A ight)$ : Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I.

Tức là có 5 con thỏ đen và 11 con thỏ trắng ở trong chuồng I

Tương tự ta có: $P\left( B|A ight) = \frac{11}{16}$

Tính $P\left( B|\overline{A} ight)$ : Đây là để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ đen từ chuồng II rồi cho vào chuồng I

Tức là có 6 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng ở trong chuồng I. Tương tự như trên ta có: $P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{10}{16}$ .

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{3}{10}.\frac{11}{16} + \frac{7}{10}.\frac{10}{16} = \frac{103}{106}$
Câu 25: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,4$ và khả năng thắng thầu của dự án 2 là $0,5$ . Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là $0,3$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là $a$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là $b$ . Khi đó biểu thức $P = 4.a + 3b$ là bao nhiêu?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,4$ và khả năng thắng thầu của dự án 2 là $0,5$ . Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là $0,3$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là $a$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là $b$ . Khi đó biểu thức $P = 4.a + 3b$ là bao nhiêu?

Đáp án: 4

Gọi $A$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”

Gọi $B$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.

Theo giả thiết suy ra: $P(A) = 0,4$ ; $P(B) = 0,5$ và $P(AB) = 0,3$

Gọi $D$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1” $\Rightarrow D = B|A$

Khi đó:

$P(D) = P\left( B|A ight) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0,3}{0,4} = \frac{3}{4}$

Gọi $E$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1” $\Rightarrow E = B|\overline{A}$

Khi đó:

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{P\left( \overline{A}B ight)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{P(B) - P(AB)}{1 - P(A)}$

$= \frac{0,5 - 0,3}{1 - 0,4} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3}$

Vậy $P = 4.\frac{3}{4} + 3.\frac{1}{3} = 4$ .
Câu 26: Vận dụng cao
Tính xác suất theo yêu cầu

Một loại linh kiện do hai nhà máy số I và số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I và II lần lượt là $4\%$ và $3\%$ . Trong một lô linh kiện để lẫn lộn $80$ sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó. Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?
- A.
  Nhà máy I
- B.
  Nhà máy II
Xét hai biến cố sau: $A$ : ‘‘Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”,

$B$ : ‘‘Linh kiện lấy ra là phế phẩm”

Trong lô linh kiện có tổng cộng $80 + 120 = 200$ linh kiện nên $P(A) = \frac{80}{200} = 0,4$ ; $P\left( \overline{A} \right) = 0,6$ .

Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I và II lần lượt là $4\%$ và $3\%$ nên $P\left( B|A \right) = 4\% = 0,04$

Khi đó: $P\left( B|\overline{A} \right) = 3\% = 0,03$ .

Ta có sơ đồ cây:

Khi linh kiện lấy ra là phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy I sản xuất là $P\left( A|B \right)$ và xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là $P\left( \overline{A}|B \right)$ .

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left( A|B \right) = \frac{P(A).P\left(B|A \right)}{P(A).P\left( B|A \right) + P\left( \overline{A}\right).P\left( B|\overline{A} \right)}$ $= \frac{0,4.0,04}{0,4.0,04 +0,6.0,03} \approx 47\%$ .

Suy ra $P\left( \overline{A}|B \right) = 1 - P\left( A|B \right) \approx 53\%$ .

Vậy xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
Câu 27: Thông hiểu
Xác định công thức đúng

Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( A\overline{B}\overline{C} ight)$ ?
- A.
  $P\left( A\overline{B}\overline{C} ight) = 1 - p^{2}$
- B.
  $P\left( A\overline{B}\overline{C} ight) = p - 2p^{2}$
- C.
  $P\left( A\overline{B}\overline{C} ight) = p^{2} + 2p$
- D.
  $P\left( A\overline{B}\overline{C} ight) = 1 + p^{2}$
Ta có:

$P\left( A\overline{B}\overline{C} ight) = P\left( A\overline{B} ight) - P\left( A\overline{B}C ight)$

$= p(1 - p) - p^{2} = p - 2p^{2}$
Câu 28: Nhận biết
Chọn kết quả đúng

Cho hai biến cố $A,B$ có xác suất $Ρ(A) = 0,4;Ρ(B) = 0,3;Ρ\left( A|B \right) = 0,25$ . Tính xác suất $Ρ\left( B|A \right)$ .
- A.
  $0,1875$ .
- B.
  $0,48$ .
- C.
  $\frac{1}{3}$ .
- D.
  $0,95$ .
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có $Ρ\left( A|B \right) = \frac{Ρ(AB)}{Ρ(B)}$ .

Do đó $Ρ(AB) = Ρ\left( A|B \right).Ρ(B) = 0,3.0,25 = 0,075$ .

Từ đó suy ra $Ρ\left( B|A \right) = \frac{Ρ(AB)}{Ρ(A)} = \frac{0,075}{0,4} = 0,1875$ .
Câu 29: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng

Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất để viên đạn đó trúng đích.
- A.
  $0,81$
- B.
  $0,74$
- C.
  $0,68$
- D.
  $0,7$
Gọi A là biến cố "Viên đạn trúng đích".

$B_{1}$ là biến cố "Chọn xạ thủ loại I bắn".

$B_{2}$ là biến cố "Chọn xạ thủ loại II bắn".

$P\left( {B}_{2} ight) =\frac{8}{10} = 0,8,P\left( A \mid B_{2} ight) =0,7$

$P\left( {B}_{1} ight) =\frac{2}{10} = 0,2,P\left( A \mid B_{1} ight) =0,9$

Ta có $B_{1},{B}_{2}$ tạo thành họ đầy đủ các biến cố.

Áp dụng công thức ta có:

$P\left( \text{ }A ight) = P\left({\text{ }B}_{1} ight)P\left( \text{ }A \mid B_{1} ight) + P\left({\text{ }B}_{2} ight)P\left( \text{ }A \mid B_{2}ight)$

$= 0,2 \cdot 0,9 + 0,8 \cdot 0,7 = 0,74$
Câu 30: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
- A.
  $\frac{3}{8}$
- B.
  $\frac{9}{11}$
- C.
  $\frac{7}{11}$
- D.
  $\frac{5}{8}$
Gọi A₁, A₂ lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì $A_{1}A_{2};\overline{A_{1}}A_{2};A_{1}\overline{A_{2}};\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}$ tạo thành một hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1}A_{2} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,2 \\ P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0,2 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:

$P\left( A|A_{1}A_{2} ight) = 1;P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,5$

$P\left( A|A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,5;P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = P\left( A_{1}A_{2} ight)P\left( A|A_{1}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$+ P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) + P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)$

$= 0,3.1 + 0,3.0,5 + 0,2.0,5 + 0,2.0 = 0,55$

Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.

Dễ thấy $B = \left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} ight)|A$ . Theo công thức Bayes ta có:

$P(B) = \frac{P\left\lbrack \left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left\lbrack \left( A_{1}A_{2} ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left( A_{1}A_{2} ight).P\left( A|A_{1}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight).P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight)}{P(A)}$

$= \frac{0,3.1 + 0,2.0,5}{0,55} = \frac{9}{11}$
Câu 31: Vận dụng
Tìm xác suất của biến cố

Bốn quả bóng giống nhau được đánh số 1, 2, 3 và 4 rồi cho vào hộp. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên ra khỏi hộp và không được trả lại vào hộp. Quả bóng thứ hai sau đó được rút ngẫu nhiên từ chiếc hộp. Xác suất để số đầu tiên được rút ra là số 2 nếu biết số đó tổng số ghi trê 2 quả lấy ra ít nhất là 4 bằng
- A.
  $\frac{1}{4}.$
- B.
  $\frac{1}{3}.$
- C.
  $\frac{1}{12}.$
- D.
  $\frac{1}{5}.$
Gọi A là biến cố quả thứ 2 rút ra mang số 2.

Gọi B là biến cố để tổng các số trên 2 quả lấy ra ít nhất là 4.

Ta có: $P\left( A\left| B \right.\ \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Lại có: các cặp số có tổng ít nhất bằng 4 là:

$(1,3);(1,4);(2,3);(2,4);(3,4);(3,2);(3,1);(4,1);(4,2);(4,3)$

Các cặp số có tổng ít nhất bằng 4 nhưng quả thứ 2 mang số 2 là $(3,2);(4,2)$

Do đó: $P(B) = \frac{1}{4}.\frac{1}{3}.10 = \frac{5}{6}$ ; $P(A \cap B) = \frac{1}{4}.\frac{1}{3}.2 = \frac{1}{6}$ .

Vậy $P\left( A\left| B \right.\ \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{5}$ .
Câu 32: Nhận biết
Tính xác suất

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) = 0,25$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{3}{16}$
- B.
  $\frac{12}{25}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{19}{20}$
Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}$
Câu 33: Nhận biết
Tính xác suất P

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Tính $P\left( B|A ight)$ ?
- A.
  $0,238$
- B.
  $0,335$
- C.
  $0,412$
- D.
  $0,187$
Ta có: $P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8$

Áp dụng công thức Bayes:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238$ .
Câu 34: Nhận biết
Xác định câu đúng

Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Với hai biến cố $A,B$ , ta có $P(B|A) = \frac{P(B).P(A|B)}{P(A)}$ .
- B.
  Với hai biến cố $A,B$ , ta có $P(B|A) = \frac{P(A).P(A|B)}{P(B)}$ .
- C.
  Với hai biến cố $A,B$ mà $P(A) > 0,P(B) > 0$ , ta có $P(B|A) = \frac{P(B).P(A|B)}{P(A)}$ .
- D.
  Với hai biến cố $A,B$ mà $P(A) > 0,P(B) > 0$ , ta có $P(B|A) = \frac{P(A).P(A|B)}{P(B)}$ .
Câu đúng là : « Với hai biến cố $A,B$ mà $P(A) > 0,P(B) > 0$ , ta có:

$P(B|A) = \frac{P(B).P(A|B)}{P(A)}$ ”
Câu 35: Nhận biết
Tính xác suất của biến cố

Cho hai biến cố $A,B$ với $P(A) = 0,6$ ; $P(B) = 0,8$ và $P(A \cap B) = 0,4$ . Tính xác suất của $P(A|B)$ .
- A.
  $0,475$ .
- B.
  $0,5$ .
- C.
  $0,52$ .
- D.
  $0,425$ .
Xác suất của biến cố là:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,4}{0,8} = 0,5$ .
Câu 36: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( A|B ight)$ ?
- A.
  $\frac{3}{7}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{6}{7}$
- D.
  $\frac{1}{7}$
Ta có: $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7}$ .
Câu 37: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025$ . Tính $P\left( B|\overline{A} ight)$ ?
- A.
  $0,7976$
- B.
  $0,7975$
- C.
  $0,2025$
- D.
  $0,2024$
Hai biến cố $\overline{A}$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,2025$ .
Câu 38: Nhận biết
Tính P(AB)

Cho hai biến cố $A,\ B$ với $P(B) = 0,8;P(A/B) = 0,5$ . Tính $P(AB)$ .
- A.
  $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{7}}$ .
- B.
  $0,4$
- C.
  $0,8$ .
- D.
  $0,5$ .
Ta có $P(AB) = P(A/B)P(B) = 0,5.0,8 = 0,4$
Câu 39: Thông hiểu
Tính xác suất P

Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có $20$ sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là $18, 16, 12$ . Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?
- A.
  $0,6033$
- B.
  $0,6125$
- C.
  $0,6354$
- D.
  $0,6271$
Gọi A_i là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A|A_{1} ight) = \frac{18}{20}.\frac{18}{20}$

$P\left( A|A_{2} ight) = \frac{16}{20}.\frac{16}{20}$

$P\left( A|A_{3} ight) = \frac{12}{20}.\frac{12}{20}$

Từ đó ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight).P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{18}{20}.\frac{18}{20} + \frac{1}{3}.\frac{16}{20}.\frac{16}{20} + \frac{1}{3}.\frac{12}{20}.\frac{12}{20} = \frac{181}{300} \approx 0,6033$
Câu 40: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A. Tính xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán". (Làm tròn đến hàng phần trăm).
- A.
  0,42
- B.
  0,65
- C.
  0,37
- D.
  0,59
Trong số 23 học sinh giỏi Toán, có đúng 8 học sinh giỏi cả Toán và Văn nên số học sinh không giỏi Văn mà giỏi Toán là $23 - 8 = 15$ .

Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" là $P = \frac{15}{23} \approx 0,65$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện