VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = a$ , $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha$ . Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và các trung điểm của $SB,SC$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
- B.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- D.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
Hinh vẽ minh họa

Gọi $B',C'$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ . Thiết diện là tam giác $AB'C'$ .

Theo bài tập 5 thì $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}$

Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}$

$\Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}$

$= \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha)$ .

Tính tương tự, ta có

$\overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha)$ .

Vậy $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}$

$= \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$ .
Câu 2: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}$
Ta có: $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

Do đó $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật $OABC.EFGH$ có các cạnh $OA = 5$ , $OC = 8$ , $OE = 7$ (xem hình vẽ dưới đây). Tọa độ $H(x;y;z)$ . Tính giá trị biểu thức $P = 50x + 75y + 1000z$
- A.
  7600
- B.
  6580
- C.
  7134
- D.
  6783
Ta có $H \in (yOz)$ và hình chiếu của $H$ lên $Oy$ trùng với $C$ nên $H(0;\ 8;\ 7)$ .

$P = 50x + 75y + 1000z = 50.0 + 75.8 + 1000.7 = 7600$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm B’

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ , điểm $B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)$ $C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)$ và

điểm $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ sao cho $B$ là trọng tâm tam giác $ACD$ . Khi đó $P = a + b + c$ bằng
- A.
  $1$ .
- B.
  $- 3$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $3$ .
Ta có: $P = a + b + c = 1$
Câu 6: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Cho $A(1;\ \ 1;\ - 2)$ và $B(2;\ \ - 1;\ \ 0)$ . Hãy xác định tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;\ \ 2;\ \ - 2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ \ 2;\ \ 2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (3;\ \ 0;\ \ - 2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$
Câu 7: Nhận biết
Tính cosin của hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ CD$ và $G$ là trung điểm của $MN$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}$
- B.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$
- C.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$ .
$M,\ N,\ \ G$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ CD,MN$ theo quy tắc trung điểm:

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM};\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN};\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Suy ra: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = - \overrightarrow{GD}$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E,F$ là các điểm thỏa nãm $\overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC}$ còn $P,Q,R$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{PA} = l\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QE} = l\overrightarrow{QF},\overrightarrow{RB} = l\overrightarrow{RC}$ . Chứng minh ba điểm $P,Q,R$ thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  P, Q, R thẳng hàng
- B.
  P, Q, R không đồng phẳng
- C.
  P, Q, R không thẳng hàng
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EQ}\ \ (1)$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FQ}\ \ (2)$

Từ $(2)$ ta có $l\overrightarrow{PQ} = l\overrightarrow{PD} + l\overrightarrow{DF} + l\overrightarrow{FQ}\ \ \ \ (3)$

Lấy $(1) - (3)$ theo vế ta có

$(1 - l)\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AE} - l\overrightarrow{DF}$

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}$

Tương tự $\overrightarrow{QR} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{FC}$

Mặt khác $\overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC}$ nên

$\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 -l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}$ $= \frac{-k}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{kl}{1 - l}\overrightarrow{FC} = -k\overrightarrow{QR}$

Vậy $P,Q,R$ thẳng hàng.
Câu 10: Thông hiểu
Xác định tọa độ tổng hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(5;1;5),B(4;3;2),C( - 3; - 2;1)$ và điểm $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + 2b + c$ ?
- A.
  $H = 1$
- B.
  $H = 3$
- C.
  $H = 6$
- D.
  $H = - 9$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 7; - 5; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 0$ nên tam giác ABC vuông tại B

Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

$\Rightarrow I\left( 1; - \frac{1}{2};3ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \dfrac{1}{2} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow H = a + 2b + c = 3$

Vậy đáp án cần tìm là $H = 3$
Câu 11: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- B.
  Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.
- C.
  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- D.
  Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Câu 12: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu của M trên Ox

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục $Ox$ .
- A.
  $(2;0;0)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(3;0;0)$ .
- D.
  $(0;2;3)$ .
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là $(1;0;0)$
Câu 13: Nhận biết
Tìm m thỏa mãn điều kiện

Trong không gian $Oxyz$ cho $2$ véc tơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Tìm $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right) = 90{^\circ}$ .
- A.
  $m = - 5$ .
- B.
  $m = 5$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = - 2$
Ta có:

$\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90{^\circ} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$

$\Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tìm đẳng thức chưa chính xác

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D$ và tâm $O$ . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ đối nhau và $\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A}$ đối nhau nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ sai.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ đúng.
Câu 15: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M

Trong không gian $Oxyz$ giả sử $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$ , khi đó tọa độ điểm $M$ là
- A.
  $( - 2;\ 3;\ 1)$ .
- B.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- C.
  $(2;3; - 1)$ .
- D.
  $(2; 3 ; 1)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (2;3; - 1)$ hay $M(2;3; - 1)$
Câu 16: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.
- A.
  $(1; - 1;2)$ .
- B.
  $(1;1; - 2)$ .
- C.
  $(1;1;2)$ .
- D.
  $(1; - 2;1)$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$
Câu 17: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài $30$ mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$ , điểm cuối thuộc cạnh $BC'$ ) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 72

Đáp án là:

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài $30$ mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$ , điểm cuối thuộc cạnh $BC'$ ) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 72

Để độ dài cây cầu $MN$ ngắn nhất thì $MN$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $A^{'}C$ và $BC^{'}$ .

Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ:

Khi đó $C( - 15;0;0)$ , $B(15;0;0),\ C'( - 15;0;0),\ A'(0;15\sqrt{3};30)$

Do đó $MN = d(A'C;BC') = \frac{30\sqrt{39}}{13}$

Số tiền cần làm cây cầu ngắn nhất là $5.\frac{30\sqrt{39}}{13} \approx 72$ (tỷ đồng)
Câu 18: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $90{^\circ}$
- B.
  $60{^\circ}$
- C.
  $45{^\circ}$
- D.
  $120{^\circ}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $EG//AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\overrightarrow{AC_{1}} + \overrightarrow{A_{1}C} = 2\overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC_{1}} + \overrightarrow{CA_{1}} + 2\overrightarrow{C_{1}C} = \overrightarrow{0}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC_{1}} + \overrightarrow{A_{1}C} = \overrightarrow{AA_{1}}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CA_{1}} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CC_{1}}$ .
Hình vẽ minh họa

+ Gọi $O$ là tâm của hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ .

+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện