Tính giá trị biểu thức S
Biết
, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính
.
Ta có:
Đặt
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm Tích phân Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
Tính giá trị biểu thức S
Biết
, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính
.
Ta có:
Đặt
Chọn khẳng định chưa chính xác
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Xét tính đúng sai của các khẳng định
Một chất điểm
xuất phát từ
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
, trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc
bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
cũng xuất phát từ
, chuyển động thẳng cùng hướng với
nhưng chậm hơn
giây so với
và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi
xuất phát được
giây thì đuổi kịp
.
a) Vận tốc
của chất điểm
đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của gia tốc
.Đúng||Sai
b)
.Đúng||Sai
c) Quãng đường chất điểm
đi được trong
giây là
,kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. Sai||Đúng
d) Vận tốc của chất điểm
tại thời điểm đuổi kịp
là
, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.Đúng||Sai
Một chất điểm
xuất phát từ
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
, trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc
bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
cũng xuất phát từ
, chuyển động thẳng cùng hướng với
nhưng chậm hơn
giây so với
và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi
xuất phát được
giây thì đuổi kịp
.
a) Vận tốc
của chất điểm
đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của gia tốc
.Đúng||Sai
b)
.Đúng||Sai
c) Quãng đường chất điểm
đi được trong
giây là
,kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. Sai||Đúng
d) Vận tốc của chất điểm
tại thời điểm đuổi kịp
là
, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.Đúng||Sai
a) Ta có .
b)
c)Quãng đường chất điểm đi được trong
giây là
.
d)Quãng đường chất điểm đi được trong
giây là
.
Ta có .
Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp
là
.
Tính số tiền cần xây cầu
Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết
khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

Chọn hệ trục như hình vẽ.
.
Gọi là Parabol đi qua hai điểm
Nên ta có hệ phương trình sau:
.
Gọi là Parabol đi qua hai điểm
Nên ta có hệ phương trình sau:
.
Ta có thể tích của bê tông là:
.
Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: triệu đồng
Tính vận tốc chuyển động
Cho một vật chuyển động có phương trình là:
(t được tính bằng giây, S tính bằng mét). Vận tốc của chuyển động thẳng
là:
Ta có
Với
Chọn phương án đúng
Tìm nguyên hàm ![]()
Ta có
Áp dụng vào bài ta chọn .
Tính tích phân
Tích phân
bằng:
Ta có:
Chọn công thức thích hợp
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Chọn kết luận chính xác
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Xác định thể tích V
Tính thể tích
của vật thể sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, đường thẳng
và trục hoành?
Thể tích V của vật thể là:
Chọn khẳng định đúng
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Xác định nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tìm F(x)
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
trên khoảng
thỏa mãn
. Xác định công thức
?
Ta có: (vì
)
Mà
Vậy .
Tìm mệnh đề sai
Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án sai là: là một nguyên hàm của
trên
Giá trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và
. Giá trị của f(2) là:
Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Ta có:
Vậy => f(x) = 20
Chọn đáp án thích hợp
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
.
Bảng xét dấu:
.
Đáp án đúng là .
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số
. Một nguyên hàm của hàm số
bằng 0 khi
là:
Ta có:
Vậy
Tìm nguyên hàm của hàm số
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Xét tính đúng sai của các khẳng định
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số
tạo với trục hoành và 2 đường thẳng
một hình phẳng
gồm 2 phần có diện tích lần lượt là
.

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) [NB]
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Đúng||Sai
b) [TH]
. Đúng||Sai
c) [TH]
. Sai||Đúng
d) [VD,VDC] Biết đường thẳng
(
là tham số ) cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và
bằng
. Khi đó tổng các giá trị của tham số
bằng -4. Đúng||Sai
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số
tạo với trục hoành và 2 đường thẳng
một hình phẳng
gồm 2 phần có diện tích lần lượt là
.

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) [NB]
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Đúng||Sai
b) [TH]
. Đúng||Sai
c) [TH]
. Sai||Đúng
d) [VD,VDC] Biết đường thẳng
(
là tham số ) cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và
bằng
. Khi đó tổng các giá trị của tham số
bằng -4. Đúng||Sai
a) Đúng. Ta có:
b) Đúng. Ta có:
c) Sai. Ta có
Suy ra : .
d) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị hàm số
là
và
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Theo Viète: (
)
Ta có
Vậy .
Tìm giá trị tham số a
Kí hiệu
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
với trục hoành (
). Quay hình
xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích
. Tìm
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Trường hợp 1: Với thì thể tích khối tròn xoay là:
Trường hợp 2: Với thì thể tích khối tròn xoay là:
Vậy .
Tính tích phân
Cho hàm số
đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn
và thỏa mãn
với
. Biết rằng
khi đó tích phân
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Chọn kết luận đúng
Cho tích phân
và
. Tích phân
có giá trị là:
Quy tắc “nối đuôi” cho ta:
.
Đáp án đúng là .
Chọn đáp án đúng
Cho
Khi đó với a ≠ 0, ta có
bằng:
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
.
Đáp án đúng là .
Tìm kết luận đúng
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Tích phân
có gái trị là:
Xét tích phân
Ta nhận thấy: .
Ta dùng đổi biến số.
Đặt .
Đổi cận .
.
Đáp án đúng là .
Tìm nguyên hàm của hàm số
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Chọn khẳng định đúng
Giả sử hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Khẳng định nào sau đây đúng.
Khẳng định đúng là: “Với mỗi nguyên hàm của
trên
thì tồn tại một hằng số
sao cho
với
thuộc
.”
Chọn đáp án đúng
Cho
. Nếu đặt
thì
là
Ta có:
Tính tổng các nghiệm của phương trình
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Tính tích phân I
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ta biến đổi: .
Nhận thấy:. Ta dùng đổi biến số.
Đặt .
Đổi cận.
.
Đáp án đúng là .
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng
.
Diện tích hình phẳng được tính như sau:
.
Tính thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục
và hai đường thẳng
;
khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục
,
và
được tính bởi công thức
.
Tìm vận tốc của xe đạp B
Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn
giây so với A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi B xuất phát được
giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?
Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm tính từ lúc B xuất phát là:
Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là:
Tính tích phân I
Giá trị tích phân
bằng:
Ta có:
Ghi đáp án chính xác vào ô trống
Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng
,
,
, đường cong
là một phần của parabol có đỉnh là điểm
. Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 1944.
Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng
,
,
, đường cong
là một phần của parabol có đỉnh là điểm
. Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 1944.
Kí hiệu tọa độ các điểm như hình vẽ:
Ta gọi thể tích của chiếc mũ là .
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng cm và đường cao
cm là
.
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong và hai trục tọa độ quanh trục
là
.
Ta có
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do parabol có đỉnh nên nó có phương trình dạng
.
Vì qua điểm
nên
.
Do đó, .
Từ đó suy ra (do
).
Suy ra
.
Do đó
.
Chọn khẳng định đúng
Tính tích phân
bằng cách đặt
. Công thức nào dưới đây chính xác?
Đặt
Suy ra
Xác định hàm số
Cho
. Hỏi
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
Để tìm là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo hàm
từ đó suy ra
.
Ta có
.
Ghi đáp án vào ô trống
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn
.

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
quanh trục hoành.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn
.

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
quanh trục hoành.
Giá trị của biểu thức T
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: