Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm Tích phân Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt{2 + \cos x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = \frac{\pi}{2} . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2 + \cos x}, x = 0, x = \frac{\pi}{2} và trục hoành khi quay quanh Ox là:

    V_{x} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( 2 + \cos x ight)dx} = \left. \ \pi\left( 2x + \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \pi(\pi + 1) (đvtt).

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính nguyên hàm

    Tính \int_{}^{}{\sin3xdx}?

    Áp dụng công thức \int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C

    Suy ra \int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 3: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2sinx - \cos x thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{2} là

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\left( 2sinx - \cos x \right)dx = - 2cosx - \sin x + C.

    F\left( \frac{\pi}{3} \right) = - 2cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3} + C = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow C = 1.

    Vậy F(x) = - 2cosx - \sin x + 1.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx},với a eq - 2 có giá trị là:

    Xét tích phân I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx}, với a eq - 2

    Ta nhận thấy: \left( ax^{2} + 2 ight)' = 2ax.

    Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ax^{2} + 2 \Rightarrow dt = 2axdx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = - 1 \Rightarrow t = a + 2 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có:

    I = \int_{a + 2}^{2}{\frac{1}{2t}dt =}\frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{a + 2}^{2} = \frac{1}{2}\left( ln2 - \ln|a + 2| ight).

  • Câu 6: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính thời điểm chất điểm ở xa nhất

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\left( m/s^{2} ight). Biết vận tốc đầu bằng 10(m/s). Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?

    Ta có:

    Vận tốc của vật được tính theo công thức: v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)

    Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7}{2}t^{2} + 10t

    Ta có: S'(t) = t^{2} - 7t + 10 \Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}

    Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = e là

    Ta có .S = \int_{0}^{e}{\left| \frac{1}{x} ight|dx} = \ln x|_{1}^{e} = 1

  • Câu 9: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Tích phân I = \int_{0}^{1}\left( ax^{2} + bx \right)dx có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{0}^{1}\left( ax^{2} + bx ight)dx có giá trị là:

    I = \int_{0}^{1}\left( ax^{2} + bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{a}{3}x^{3} + \frac{b}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}.

    Đáp án đúng là I = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x\sqrt{x}.

    Ta có:

    \int_{}^{}{x\sqrt{x}dx = \int_{}^{}{x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}}.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 1

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

  • Câu 12: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Xét hai khẳng định sau:

    (I) Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack đều có đạo hàm trên đoạn đó.

    (II) Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

    Trong hai khẳng định trên:

    Trong hai khẳng định trên chỉ có khẳng định "(II) Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack đều có nguyên hàm trên đoạn đó” là khẳng định đúng."

  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm công thức tính diện tích thích hợp

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

    Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức

    Ta có:

    S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}

  • Câu 14: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Theo phương pháp đổi biến số (x \rightarrow t), nguyên hàm của I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx là:

    Ta có:

    I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x \right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx.

    Đặt t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = \left( \sin x + \cos x \right)dx.

    \Rightarrow I = \int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( - \frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm kết luận đúng

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 16: Vận dụng

    Tìm giá trị biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}, f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2 và thỏa mãn hệ thức f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Giá trị của f( - 2) là:

    Ta có:

    f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}

    \Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}

    \Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C

    Mặt khác f(0) = 0 \Rightarrow C = 0

    Vậy f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}

    \Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vì f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Ta biến đổi: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{cos^{2}x\left( 9 - tan^{2}x ight)}dx}.

    Nhận thấy:\left( \tan x ight)' = \frac{1}{cos^{2}x}. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^{2}x}dx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{9 - t^{2}}dt} = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{3 - t} + \frac{1}{3 + t} ight)dt}

    = \left. \ \left( \frac{1}{6}\ln\left| \frac{3 + t}{3 - t} ight| ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{6}ln2.

    Đáp án đúng là I = \frac{1}{6}\ln 2.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = x^{3} -x là

    Ta có: \int_{}^{}{(x^{3} - x)dx =\frac{x^{4}}{4}} - \frac{x^{2}}{2} + C

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = - \int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

    Vậy khẳng định đúng \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị (C) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a;b;c với c\in (a;b) như hình bên. Đặt m =\int_{a}^{c}{f(x)dx;n} = \int_{c}^{b}{f(x)dx}. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?

    Diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính như sau:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}= \int_{a}^{c}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{c}^{b}{\left| f(x)ight|dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -\int_{c}^{b}{f(x)dx} = m - n

  • Câu 21: Nhận biết

    Xác định diện tích hình phẳng S

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{2}, trục hoành Ox, các đường thẳng x = 1, x = 2.

    Diện tích hình phẳng là

    S = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} \right|dx} = \int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Xác định khẳng định chính xác nhất

    Biết luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?

    Do 4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}. Vì luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên f(x) không phải là hàm hằng.

    Từ giả thiết 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}

    Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

    \int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C với C là hằng số.

    \Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|

    \Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.

    TH1: f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)

    TH2: f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    - e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)

    Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x} trên ( - \infty;0) thỏa mãn F( - 2) = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)

    Lại có F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2

    Do đó F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)

    Vậy F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} và y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính thể tích hình phẳng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn \lbracka;bbrack. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hảm số y = f(x), trục hoảnh và hai đường thảng x = a,x = b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thế tích là:

    Ta có: V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrackf(x) ightbrack^{2}dx}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn khẳng định sai

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức S

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 28: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = 2t^{4} - t + 1, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi S = 2t^{4} - t + 1 là:

    Ta có v = S' = 8t^{3} - 1

    Khi t = 1 \Rightarrow v = 8 - 1 = 7(m/s).

  • Câu 29: Nhận biết

    Chọn phương án đúng

    Tìm nguyên hàm của hàm số:

    f(x) = 3\sin3x - \cos3x

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3sin3x - \cos3x)dx =\frac{3}{3}.( - \cos3x) - \frac{1}{3}.\sin3x + C}

  • Câu 30: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{2}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 3;f\left( 2 ight) = 4. Tính giá trị của biểu thức  N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight)

     

    f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\frac{2}{{x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} ight| + C

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + {C_2}{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 3 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 3} \\ {f\left( 2 ight) = 4 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 3} \\ {{C_1} = 4} \end{array}} ight.

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + 4{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + 3{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    => N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight) = \left\{ {2\ln \left[ {1 - \left( { - 2} ight)} ight] + 3} ight\} + \left\{ {2\ln \left( {5 - 1} ight) + 4} ight\}

    = 2\ln 3 + 2\ln 4 + 7

  • Câu 31: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 32: Vận dụng

    Xác định tham số a thỏa mãn điều kiện

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} = \int_{2}^{3}{\left( ax + \frac{2}{a} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{a}{2}x^{2} + \frac{2}{a}x ight) ight|_{2}^{3} = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a}

    Vì a là số thực dương nên I = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a} \geq 2\sqrt{\frac{5a}{2}.\frac{2}{a}} = 2\sqrt{5}.

    Đáp án đúng là 2\sqrt 5.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2x và y = - x^{2} quay quanh trục Ox.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 2x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

    y = x^{2} - 2x;y = - x^{2} quay quanh trục Ox được tính bởi công thức

    V = \pi\int_{0}^{1}\left| \left( x^{2} - 2x ight)^{2} - \left( - x^{2} ight)^{2} ight|dx

    Ta thấy trên \lbrack 0;1brack thì \left( - x^{2} ight)^{2} \leq \left( x^{2} - 2x ight)^{2}, do vậy ta có công thức

    V = \pi\int_{0}^{1}\left\lbrack - x^{4} + \left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight) ightbrack dx

    = \pi\int_{0}^{1}\left( - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx = \left. \ \pi.\left( - x^{4} + \frac{4}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{\pi}{3} (đvtt)

  • Câu 34: Vận dụng

    Tính thể tích nước

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 35: Thông hiểu

    Xác định các hệ số a, b, c, d

    Tìm a, b, c, d để F(x) = \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d \right)e^{x} là một nguyên hàm của f(x) = \left( 2x^{3} + 9x^{2} - 2x + 5 \right)e^{x}.

    Ta có F'(x) = \left( 3ax^{2} + 2bx + c ight)e^{x} + \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d ight)e^{x}

    = \left\lbrack ax^{3} + (3a + b)x^{2} + (2b + c)x + (c + d) ightbrack e^{x}

    F'(x) = f(x),\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ 3a + b = 9 \\ 2b + c = - 2 \\ c + d = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 3 \\ c = - 8 \\ d = 13 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Tính kinh phí làm biển quảng cáo

    Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A_{1};A_{2};B_{1};B_{2} như hình vẽ:

    Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B_{1}, trục đối xứng B_{1}B_{2} và đi qua các điểm M;N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)

    Phương trình đường Elip (E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

    Ta có: M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)

    Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình y = ax^{2} - 1, (a > 0), đi qua M; N

    \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1

    Diện tích phần tô đậm

    S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}

    = \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    Đặt x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}

    = \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}

    Diện tích hình Elip là S = πab = 2π

    Suy ra diện tích phần còn lại là: S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}

    Kinh phí sử dụng là 2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000 đồng.

  • Câu 37: Nhận biết

    Tính tích phân

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi.

  • Câu 39: Vận dụng

    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \lbrack 0;2brack và thỏa mãn 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0 với \forall x \in \lbrack 0;2brack. Biết rằng f(0) = 1;f(2) = e^{6} khi đó tích phân M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0

    \Leftrightarrow f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}

    \Leftrightarrow \frac{f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}} = 2

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack' = 2 \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack'dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2x + C_{1} \Leftrightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + C_{1}x + C_{2}

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(2) = e^{6} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} ln1 = C_{2} \\ 4 + 2C_{1} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} C_{2} = 0 \\ C_{1} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + x \Rightarrow f(x) = e^{x^{2} + x}

    \Rightarrow M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)e^{x^{2} + x}dx} = \left. \ e^{x^{2} + x} ight|_{- 2}^{0} = 1 - e^{2}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tìm tham số a thỏa mãn điều kiện

    Giá trị dương a sao cho \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \frac{a^{2}}{2} + a + ln3 là

    Ta có:

    I = \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \int_{0}^{a}{\frac{(x + 1)^{2} + 1}{x + 1}dx}

    = \int_{0}^{a}{x + 1 + \frac{1}{x + 1}d(x + 1)}

    = \left. \ \frac{(x + 1)^{2}}{2} ight|_{0}^{a} + \left. \ \ln|x + 1| ight|_{0}^{a} = \frac{(a + 1)^{2}}{2} - \frac{1}{2} + \ln|a + 1|

    = \frac{a^{2}}{2} + a + \ln|a + 1|

    \Rightarrow a + 1 = 3 \Rightarrow a = 2.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
30 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này