Tìm phương trình chính tắc
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
?
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
. Do đó phương trình chính tắc của
là:
Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Tìm phương trình chính tắc
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
?
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
. Do đó phương trình chính tắc của
là:
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
,
có một vectơ pháp tuyến là
.
Từ đó:
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian
, góc giữa hai đường thẳng
và
xấp xỉ bằng
Ta có:
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
là:
Phương pháp tự luận
+) .
+) Trung điểm I của đoạn là
Mặt phẳng trung trực của đọan AB là hay
.
Phương pháp trắc nghiệm
Do là mặt phẳng trung trực của AB nên
Kiểm tra mặt phẳng nào có
và chứa điểm
Cả 4 đáp án đều thỏa điều kiện .
Cả 4 PT đều chung dạng: x–y+0z+D=0, nên để kiếm tra PT nào thỏa tọa độ điểm I ta bấm máy tính:
trong đó nhập A, B, C là tọa độ I, còn D là số hạng tự do từng PT, nếu cái nào làm bằng 0 thì chọn.
Định phương trình mặt cầu (S)
Cho điểm
đường thẳng
Phương trình mặt cầu
có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
.
Gọi H là hình chiếu của I trên d.
Ta có : .
.
Vậy phương trình mặt cầu là :
Chọn đáp án chính xác
Trong không gian với hệ trục toạ độ
. Biết
là số thực khác
, mặt phẳng chứa trục
có phương trình là:
Trục là giao tuyến của 2 mặt phẳng
nên mặt phẳng chứa
thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi 2 mặt
Vậy .
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình đường thẳng
đi qua điểm
đồng thời vuông góc với hai vectơ
và
là
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình chính tắc của là
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng
và tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất là
Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng với
.
Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:
Nếu thì
Nếu thì
.
Khi đó
Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.
Do đó và
.
Khi đó , chọn
.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: .
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho tam giác
có
, đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình
. Biết
, khi đó
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử đường cao là ta có vectơ chỉ phương của CH là
.
B thuộc đường trung tuyến nên
.
Suy ra
Vì nên
.
Vậy .
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Vị trí tương đối
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Viết phương trình mặt phẳng (MNP)
Trong không gian
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
?
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trong không gian
, cho hai điểm
,
và mặt cầu
. Khi điểm M thay đổi thuộc (S), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Cách 1. Phương pháp véc tơ.
Gọi là tâm mặt cầu, ta có
.
Ta có :
.
Vậy để tổng lớn nhất thì cùng hướng.
Nên .
Cách 2. Khảo sát – Khử bậc hai đưa về mặt phẳng.
Gọi , ta có:
.
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và các điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng
. Tính ![]()
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Vì nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán
kính đường tròn giao tuyến, ta có với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).
Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi tức IH vuông góc với (P).
Phương trình đường thẳng
Gọi .
.
. Suy ra
.
Mặt phẳng (P) nhận làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình
.
Vậy .
Viết phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng tọa độ
có phương trình tham số là:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ
nên nhận
làm vectơ chỉ phương. Mặt khác
đi qua
nên:
Đường thẳng
có phương trình là:
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Phương trình tham số của đường thẳng
là:
Do cũng là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số là:
.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Tìm tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp tứ giác đều
có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
,
là góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Không mất tính tổng quát, giả sử các cạnh của hình chóp bằng .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó: và
là vectơ pháp tuyến của (SBD).
Do đó:
Vậy
Xác định đường kính mặt cầu
Đường kính của mặt cầu
bằng:
Mặt cầu có bán kính
suy ra đường kính có độ dài:
Đường kính của mặt cầu bằng: 4.
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng
với
là
Gọi là trung điểm của
suy ra
Phương trình mặt phẳng đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến:
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: