VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?
- A.
  $x - 3y^{2} + z - 1 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + 2y + 4z - 2 =0$ .
- C.
  $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .
- D.
  $2x - 3y + 4z^{2} - 2025 = 0$ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Mối quan hệ giữa đường thẳng và mp

Cho 2 đường thẳng $(d)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} ight.$ và $(\triangle )\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} ight.$
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với $(\triangle )$ có phương trình tổng quát :
- A. $x - 2y + 2z - 2 = 0$
- B. $x + 2y + 2z + 2 = 0$
- C. $x + 2y - 2z + 2 = 0$
- D. $x - 2y - 2z - 2 = 0$
Phương trình (d) cho $A(2, - 1,1) \in (d)$ và vectơ chỉ phương của (d) là: $\overrightarrow a = (2,1,0)$
Phương trình $(\triangle )$ cho vectơ chỉ phương của $(\triangle )$ là : $\overrightarrow b = (0,1, - 1)$
Gọi $M(x,y,z)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = (x - 2,y + 1,z - 1);\,\,\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = ( - 1,2,2)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AM} = 0 \Leftrightarrow - (x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 2 = 0\end{array}$
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Câu 3: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 4: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ gọi $d$ đi qua $A(3; - 1;1)$ , nằm trong mặt phẳng $(P):x - y + z - 5 = 0$ , đồng thời tạo với $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{2}$ một góc $45^{0}$ . Phương trình đường thẳng $d$ là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = - 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ và $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.\ .$
$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;2;2)$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = (a;b;c)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1; - 1;1)$

$d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a + c;\ (1)$

$(\Delta,d) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos(\Delta,d) = cos45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{|a + 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2(a + 2b + 2c)^{2} = 9\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight);\ (2)$

Từ 1 và 2, ta có: $14c^{2} + 30ac = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0 \\ 15a + 7c = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Với $c = 0$ , chọn $a = b = 1$ , phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Với $15a + 7c = 0$ , chọn $a = 7 \Rightarrow c = - 15;b = - 8$ , phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d_{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
- A.
  Song song
- B.
  Chéo nhau
- C.
  Cắt nhau
- D.
  Trùng nhau
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Cho $y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }$

Cho $y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}$

Đường thẳng d₁ đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)$

Đường thẳng d₂ đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0$

Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Câu 6: Nhận biết
Tìm tham số m để hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};$ $d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}$ . Tìm tất cả giá trị thực của $m$ để $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = - 5$
- D.
  $m = 5$
Vectơ chỉ phương của $d_{1};d_{2}$ lần lượt là: $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1)$ .

Để $d_{1}\bot d_{2}$ thì $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$
Câu 7: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu $\tan\alpha = \sqrt{2}$ thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = AC \cap BD$ .

Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBD) \cap (ABCD) = BD \\ SI\bot BD \\ AI\bot BD \\ \end{matrix} \Rightarrow ((SBD);(ABCD)) = (SI;AI) = SIA ight.$ .

Ta có $tan\alpha = tanSIA = \frac{SA}{AI} \Leftrightarrow SA = a$ .

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a)$ .

Khi đó $\overrightarrow{SA} = (0;0; - a);\overrightarrow{SC} = (a;a; - a);\overrightarrow{SB} = (a;0; - a)$ .

Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = ( - 1;1;0)$ .

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0;1)$ .

Suy ra $cos((SAC);(SBC)) = \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{2}ight|}$ $= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow((SAC);(SBC)) = 60^{\circ}$ .
Câu 8: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

Đáp án : 18km

Đáp án là:

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

Đáp án : 18km

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9^{2}$ .

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.

Đáp số: 18km.
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A( - 2;3;1)$ và $B(5;\ 6;\ 2)$ . Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$ . Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$ .
- A.
  $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{AM}{BM} = 2$ .
- C.
  $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$ .
- D.
  $\frac{AM}{BM} = 3$ .
Cách 1. (Tâm tỉ cự)

Gọi tọa độ $M(x\ ;\ 0\ ;\ z)$ , ta có ba điểm A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi:

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k)\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2k + 5(1 - k) \\ 0 = 3k + 6(1 - k) \\ z = k + 2(1 - k) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow k = 2,x = - 9,z = 0 \Leftrightarrow M( - 9\ ;\ 0\ ;\ 0).$

Khi đó $\frac{AM}{BM} = \sqrt{\frac{7^{2} + 3^{2} + 1^{2}}{14^{2} + 6^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. (Vị trí tương đối – Tổng quát)

Xét tam giác đồng dạng, ta có $\frac{AM}{BM} = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{d\left( A,(Oxz) \right)}{d\left( B,(Oxz) \right)} = \frac{|3|}{|6|} = \frac{1}{2}$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 11: Nhận biết
Xác định vectơ chỉ phương

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a} = ( - 1;0; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{b} = ( - 1;0;2)$
- C.
  $\overrightarrow{c} = (1;2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{d} = ( - 1;1;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 1;0;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $\overrightarrow{b} = ( - 1;0;2)$ .
Câu 12: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x = 0.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} - z^{2} + 2x - y + 1 = 0.$
- C.
  $2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1.$
- D.
  $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} - 1.$
Phương trình mặt cầu $(S)$ có hai dạng là:

(1) $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ ;

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Từ đó ta xác định được phương trình mặt cầu cần tìm là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z + 2 = 0$ và hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} \right.\ ;d':\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t' \\ y = 1 + t' \\ z = 1 - 2t' \\ \end{matrix} \right.$ . Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với (P); cắt $d;d'$ và tạo với d góc $30^{0}$ . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
- A.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{2}{3}}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm, $\overrightarrow{n_{(P)}}$ là VTPT của mặt phẳng (P).

Gọi $M(1 + t;t;2 + 2t)$ là giao điểm của $\Delta$ và $d;M'(3 - t';1 + t';;1 - 2t')$ là giao điểm của $\Delta$ và d’

Ta có: $\overrightarrow{MM'} = (2 - t' - t;t' - t; - 1 - 2t' - 2t)$

$MM'//(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ \overrightarrow{MM'}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow t' = - 2 \Rightarrow \overrightarrow{MM'} = (4 - t; - 1 - t;3 - 2t)$

Ta có: $cos30^{0} = \cos\left( \overrightarrow{MM'};\overrightarrow{u_{d}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{| - 6t + 9|}{\sqrt{36t^{2} - 108t + 156}}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 4 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy, có 2 đường thằng thoả mãn là $\Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 5 \\ y = 4 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 10 + t \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó, $\cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{1}{2}$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\beta):2x - 4y + 4z + 3 = 0$ và cách điểm $A(2; - 3;4)$ một khoảng $k = 3$ . Phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $2x - 4y + 4z - 5 = 0$ hoặc $2x - 4y + 4z - 13 = 0$ .
- B.
  $x - 2y + 2z - 25 = 0$ .
- C.
  $x - 2y + 2z - 7 = 0$ .
- D.
  $x - 2y + 2z - 25 = 0$ hoặc $x - 2y + 2z - 7 = 0$ .
Vì $(\alpha)//(\beta) \Rightarrow (\alpha):2x - 4y + 4z + m = 0(m \neq 3)$

Giả thiết có $d\left( A,(\alpha) \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{|32 + m|}{6} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 14 \\ m = - 50 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $(\alpha):x - 2y + 2z - 7 = 0$ , $(\alpha):x - 2y + 2z - 25 = 0$
Câu 15: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 3;4)$ , đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với d và song song với $(P)$ .
- A.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- B.
  $\Delta:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- C.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z + 4}{2}$
Đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1)$ .

Đường thẳng ∆ vuông góc với $d$ nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Đường thẳng ∆ song song với (P) nên $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)$

Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)$

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho mặt cầu tâm $O$ , bán kính $R$ . Xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ . Hình nón $(N)$ có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $(C)$ và có chiều cao là $h(h > R)$ . Hình trụ $(T)$ có đáy là đường tròn $(C)$ và có cùng chiều cao với hình nón $(N)$ . Tính thể tích $V$ khối trụ được tạo nên bởi $(T)$ theo $R$ , biết $V$ có giá trị lớn nhất.
- A.
  $V = \frac{32}{27}\pi R^{3}$ .
- B.
  $V = \frac{32}{81}\piR^{3}$ .
- C.
  $V = \frac{16}{27}\piR^{3}$ .
- D.
  $V = \frac{64}{9}\piR^{3}$ .
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ $O$ dến mặt phẳng $(P)$ là $d$ với $(0 \leqd \leq R)$ , đường tròn $(C)$ có bán kính là $r$ .
$V = h \cdot \pi \cdot r^{2} = \pi(R +d)\left( R^{2} - d^{2} ight) = \pi\left( - d^{3} - Rd^{2} + R^{2}d +R^{3} ight)$
$V^{'}(d) = \pi\left( - 3d^{2} - 2Rd+ R^{2} ight) = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}d = - 1 \\d = \frac{R}{3} \\\end{matrix} \Rightarrow d = \frac{R}{3} ight.$
Ta có $V(0) = \pi R^{3},V(R) = 0$ và $V\left( \frac{R}{3} ight) =\frac{32}{27}\pi R^{3}$ .
Vậy $V = \frac{32}{27}\piR^{3}$
Câu 17: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ , biết $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 11 = 0$ và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $2x + y - 2z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y - 2z - 7 = 0$
- C.
  $2x + y - 2z - 5 = 0$
- D.
  $2x + y - 2z - 7 = 0$
Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng $2x + y - 2z + c = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) là $2x + y - 2z - 7 = 0$
Câu 18: Vận dụng
Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A(1;\ 2;\ 3),\ B(0;\ 1;\ 1),\ C(1;\ 0;\ - \ 2)$ và mặt phẳng $(P):\ x\ + \ y\ + \ z\ + \ 2\ = \ 0$ . Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức $T\ = \ MA^{2}\ + \ 2MB^{2}\ + \ 3MC^{2}$ nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng $(Q):\ 2x\ - \ y\ - \ 2z\ + \ 3\ = \ 0$ ?
- A.
  $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
- B.
  $\frac{121}{54}$
- C.
  $24$
- D.
  $\frac{91}{54}$ .
Gọi $I\left( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{- 1}{6} \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ . Ta tìm hình chiếu của I trên $(P).$ Ghi $- \frac{x + y + z + 2}{3}$ CALC (nhập tọa độ I) $\frac{2}{3} = \frac{2}{3} = \frac{- 1}{6} = \ \ =$ STO M.

Ghi $\frac{\left| 2(M + x) - (M + y) - 2(M + z) + 3 \right|}{3}$ bấm $=$ kết quả $\frac{91}{54}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính diện tích hình bình hành

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ . Biết $A(2;1; - 3),B(0; - 2;5)$ và $C(1;1;3)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ là:
- A.
  $2\sqrt{87}$
- B.
  $\frac{\sqrt{349}}{2}$
- C.
  $\sqrt{349}$
- D.
  $\sqrt{87}$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)$

Suy ra diện tích ABCD là:

$S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}$
Câu 20: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x + y - 3z + \frac{7}{4} = 0$ , $(S)$ có tọa độ tâm I và bán kính R là:
- A.
  $I\left( {\frac{1}{2}, - \frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right),R = \frac{1}{2}.$
- B.
  $I\left( {\frac{1}{2}, - \frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right),R = 1.$
- C.
  $I\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}, - \frac{3}{2}} \right),R = 1.$
- D.
  $I\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right),R = 1.$
Phương trình mặt cầu $(S)$ được viết lại :

$\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = 1$ $\Rightarrow I\left( \frac{1}{2},\frac{- 1}{2},\frac{3}{2} \right)$

Và $R = 1$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện