VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Xác định phương trình mặt phẳng (P)

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;1;3);B(3;0;2);C(0; - 2;1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A,B$ và cách $C$ một khoảng lớn nhất?
- A. $(P):3x + 2y + z - 11 = 0$
- B. $(P):3x + y + 2z - 13 = 0$
- C. $(P):2x - y + 3z - 12 = 0$
- D. $(P):x + y - 3 = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu $C$ của lên mp $(P)$ và doạn thẳng $AB$

Ta có : $CH = d\left( I,(P) \right) \leq CK \Rightarrow d\left( C,(P) \right)$ lớn nhất khi $H \equiv K$ . Khi đó mặt phẳng $(P)$ đi qua $A,B$ và vuông với mặt phẳng $(ABC)$

Ta có $\overrightarrow{n_{p}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack \land \overrightarrow{AB} = ( - 9, - 6, - 3)$

$\Rightarrow (P):3x + 2y + z - 11 = 0$
Câu 2: Nhận biết
Tìm mặt phẳng (P)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và vuông góc với $d$ .
- A.
  $(P):x - y - 2z = 0$
- B.
  $(P):x - 2y - 2 = 0$
- C.
  $(P):x + y + 2z = 0$
- D.
  $(P):x - y + 2z = 0$
Phương trình mặt phẳng (P):

$1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z = 0$
Câu 3: Vận dụng
Xác định điểm thuộc mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa đô $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;4)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ nhỏ nhất. $(P)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(0;1;3)$
- B.
  $(2;2;0)$
- C.
  $(1;1;2)$
- D.
  $( - 1;1;4)$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $M \in (P) \Rightarrow (P):\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1.2.4}{abc}} \Rightarrow abc \geq 8.27$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq 36$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 12 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1 \Rightarrow 4x + 2y + z - 12 = 0$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $(2;2;0)$ .
Câu 4: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian $Oxyz$ , hai điểm $A(7; - 2;2)$ và $B(1;2;4)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính $AB$ ?
- A.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 14$
- B.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 2\sqrt{14}$
- C.
  $(x - 7)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 14$
- D.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm $I(4;0;3)$ của $AB$ làm tâm và có bán kính $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}$

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 6: Vận dụng cao
Tìm phương trình đường thẳng d

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác nhọn $ABC$ có $H(2;2;1);K\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$ ; $O(0;0;0)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A;B;C$ trên các cạnh $BC;CA;AB$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là:
- A.
  $d:\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$
- B.
  $d:\frac{x - \frac{8}{3}}{1} = \frac{y - \frac{2}{3}}{- 2} = \frac{z + \frac{2}{3}}{2}$
- C.
  $d:\frac{x + \frac{4}{9}}{1} = \frac{y - \frac{17}{9}}{- 2} = \frac{z - \frac{17}{9}}{2}$
- D.
  $d:\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$
Cách 1: $I:OH = 3;OK = 4;HK = 5$ . Gọi I là trực tâm tam giác ABC

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{4.2 + 5.0 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} \right)}{12} = 0 \\y_{I} = \dfrac{3.\dfrac{4}{3} + 4.2 + 5.0}{12} = 1 \\z_{I} = \dfrac{3.\dfrac{8}{3} + 4.1 + 5.0}{12} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

$\overrightarrow{IH} = (2;1;0) \Rightarrow (\Delta):\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$A \in IH \Rightarrow A(2t;1 + t;1)$

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OI} = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} A( - 4; - 1;1) \in d \\ \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OH} \right\rbrack = ( - 1;2; - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d):\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$

Cách 2: VTPT của $(ABC)$ là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right\rbrack = 4(1; - 2;2)$ .

Vì $\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK} = 0 \Rightarrow \widehat{HOK} = 90^{0}$ .

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $O;\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{OK} = \frac{4}{3}( - 2;1;2) \Rightarrow (\alpha): - 2x + y + 2z = 0$ .

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng đi qua $O;\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{OH} = (2;2;1) \Rightarrow (\beta):2x + 2y + z = 0$ .

Ta có $d\left( A;(\alpha) \right) = d\left( A;(\beta) \right)$ , đối chiếu phương án $A;B;C;D$ thấy $A( - 4; - 1;1)$ thỏa mãn.
Câu 7: Nhận biết
Tìm đáp án không thích hợp

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u_{4}} = (1;2;1)$
- B.
  $\overrightarrow{u_{3}} = ( - 1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 4;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u_{1}} = ( - 3;6; - 3)$
Đường thẳng $d$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1)$ . Do đó vectơ $\overrightarrow{u_{4}} = (1;2;1)$ không là vectơ chỉ phương của $d$ .
Câu 8: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;0;1),B(6; - 2;1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A;B$ và tạo với mặt phẳng $(Oyz)$ một góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = \frac{2}{7}$ là
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x + 3y - 6z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - 3y - 6z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - 3y - 6z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - + 3y - 6z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Giả sử $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (a;b;c)$

$(P)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (3; - 2;0) \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow 3a + b( - 2) + 0.c = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}b\ \ \ (1)$

$(Oyz)$ có phương trình x = 0 nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = (1;0;0)$

Mà $\cos\alpha = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{2}{7}$

$\Leftrightarrow \frac{|a.1 + b.0 + c.0|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{2}{7}$

$\Leftrightarrow \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow 7|a| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

$\Leftrightarrow 79a^{2} = 4\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \Leftrightarrow 45a^{2} - 4b^{2} - 4c^{2} = 0\ \ \ (2)$

Thay (1) vào (2) ta được $4b^{2} - c^{2} = 0$

Chọn $c = 2$ ta có $4b^{2} - 2^{2} = 0\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = 1 \Rightarrow a = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \overrightarrow{n} =\left( \dfrac{2}{3};1;2 ight) \\b = - 1 \Rightarrow a = \dfrac{- 2}{3} \Rightarrow \overrightarrow{n} =\left( - \dfrac{2}{3}; - 1;2 ight) \\\end{matrix} ight.$

Hay $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{n} = (2;3;6) \\ \overrightarrow{n} = (2;3; - 6) \\ \end{matrix} ight.$ , Vậy $\left\lbrack \begin{matrix} (P):2x + 3y + 6z - 12 = 0 \\ (P):2x + 3y - 6z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 9: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.$ và $(P): - x + 2y + 2z + 5 = 0$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A( - 1;0; - 1)$ cắt đường thẳng $\Delta_{1}$ và tạo với đường thẳng $\Delta_{2}$ một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (a;b;c)$ . Tính tổng $a + 2b - 3c$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $5$
- C.
  $9$
- D.
  $1$
Giả sử đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $\Delta_{1}$ tại $B$ , ta có: $B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t) \in \Delta_{1}$ .

Đường thẳng $d$ có VTCP là: $\overrightarrow{AB} = (2t + 2;t + 2; - t - 1)$ , mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n} = ( - 1;2;2)$ .

Gọi $\varphi$ là góc giữa $d$ và $\Delta_{2}$ , ta có:

$\sin\varphi = \frac{| - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{|2t|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} \geq 0$

$\Rightarrow d$ tạo với đường thẳng $\Delta_{2}$ một góc $\varphi$ nhỏ nhất khi $\varphi = 0{^\circ}$ hay $\sin\varphi = 0 \Rightarrow t = 0$ .

Khi đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $A( - 1;0; - 1)$ và có VTCP $\overrightarrow{AB} = (2;2; - 1)$ .

Vậy $a = 2,b = 2,c = - 1$

$\Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.( - 1) = 9$
Câu 10: Vận dụng
Tính diện tích tam giác

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho mặt phẳng $(\alpha):x - z - 3 = 0$ và điểm $M(1;1;1)$ . Gọi $A$ là điểm thuộc tia $Oz$ , gọi $B$ là hình chiếu của $A$ lên $(\alpha)$ . Biết rằng tam giác $MAB$ cân tại $M$ . Diện tích của tam giác $MAB$ bằng:
- A.
  $6\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{123}}{2}$
- D.
  $3\sqrt{3}$
Gọi $A (0; 0; a).$

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.$

B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)$

Tam giác MAB cân tại M nên $MA = MB$

$\Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Nếu a = 3 thì tọa độ $A (0; 0; 3), B (3; 0; 0)$ . Diện tích tam giác MAB là $S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

Vậy diện tích của tam giác $MAB$ bằng: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .
Câu 11: Nhận biết
Tính số đo góc nhị diện

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Số đo của góc nhị diên $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') \right\rbrack$ bằng
- A.
  $135{^\circ}$ .
- B.
  $45{^\circ}$ .
- C.
  $90{^\circ}$ .
- D.
  $60{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có góc nhị diên $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ bằng $\widehat{DBC} = 45{^\circ}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Định phương trình mặt cầu (S)

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng song song $(P):x - 2y + 2z + 6 = 0;(Q):x - 2y + 2z - 10 = 0$ và có tâm $I$ ở trên trục $y'Oy.$
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 55 = 0$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2y - 60 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + - 2y - \frac{55}{9} = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2y - \frac{55}{9} = 0$
$(P)$ và $(Q)$ cắt $y'Oy$ lần lượt tại $A(0,3,0)$ và $B(0, - 5,0)$

Tâm $I(0, - 1,0)$ . Bán kính $R = d(I,P) = \frac{8}{3}$

$\Rightarrow (S):x^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = \frac{64}{9}$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{55}{9} = 0$
Câu 13: Nhận biết
Xác định phương trình thỏa mãn điều kiện

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ . Phương trình mặt phẳng qua $A(2;5;1)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ là:
- A.
  $2x + 5y + z = 0$ .
- B.
  $x - 2 = 0$ .
- C.
  $y - 5 = 0$ .
- D.
  $z - 1 = 0$ .
Phương pháp tự luận

Mặt phẳng qua $A(2;5;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ có phương trình: $z - 1 = 0$ .

Phương pháp trắc nghiệm

Mặt phẳng qua $A$ và song song với $(Oxy)$ có phương trình $z = z_{A}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tìm đáp án chưa đúng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho tam giác ABC có A(0;1;2), B(-2;-1;-2),C(2;-3;-3). Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng $d$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - t \\ y = - 1 - 3t \\ z = - 2 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 1 + 3t \\ z = - 2 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 6t \\ y = - 1 - 18t \\ z = - 2 + 12t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - t \\ y = - 1 - 3t \\ z = - 2 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ .$
$\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 4)$

$\overrightarrow{AC} = (2; - 4; - 5)$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B( - 2; - 1; - 2)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 6; - 18;12) = - 6(1;3; - 2)$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt cầu thích hợp

Cho mặt cầu $(S)$ : $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ . Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4.$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4.$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4.$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 4.$
Mặt cầu $(S)$ tâm $I( - 1;1;2)$ , bán kính $R = 2$ . Do mặt cầu $(S')$ đối xứng với $(S)$ qua trục Oz nên tâm I' của $(S')$ đối xứng với I qua trục Oz, bán kính $R' = R = 2$ .

Ta có : $I'(1; - 1;2)$ .

Vậy $(S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4.$

Lưu ý: Sẽ vất vả hơn rất nhiều nếu học sinh không nhớ được tính chất đối xứng, tọa độ của một điểm đối xứng qua các trục tọa độ.
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x + y + z - 3 = 0$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $y + z = 0$ .
- B.
  $y - z = 0$ .
- C.
  $y - z - 1 = 0$ .
- D.
  $y - 2z = 0$ .
+) Trục $Ox$ véctơ đơn vị $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có VTPT ${\overrightarrow{n}}_{(Q)} = (1;1;1)$ .

Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Ox$ và vuông góc với $(Q):x + y + z - 3 = 0$ nên $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{i},\overrightarrow{n_{(Q)}} \right\rbrack = (0; - 1;1)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $y - z = 0$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{2}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = - 2 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} \right.$ . Phương trình đường thẳng nằm trong $(\alpha):x + 2y - 3z - 2 = 0$ và cắt hai đường thẳng $d_{1},\ d_{2}$ là:
- A.
  $\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{1}.$
- B.
  $\frac{x + 3}{- 5} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1}.$
- C.
  $\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}.$
- D.
  $\frac{x + 8}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 4}.$
Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm

Gọi $A = d_{1} \cap (\alpha)$

$\begin{matrix} A \in d_{1} \Rightarrow A(2 - a;1 + 3a;1 + 2a) \\ A \in (\alpha) \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow A(3; - 2; - 1) \\ \end{matrix}$

Gọi $B = d_{2} \cap (\alpha)$

$\begin{matrix} B \in d_{2} \Rightarrow B(1 - 3b; - 2 + b; - 1 - b) \\ B \in (\alpha) \Rightarrow b = 1 \Rightarrow B( - 2; - 1; - 2) \\ \end{matrix}$

$d$ đi qua điểm $A(3; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = ( - 5;1; - 1)$

Vậy phương trình chính tắc của $d$ là $\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}.$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm các giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + my + (m - 1)z + 2 = 0$ , $(Q):2x - y + 3z - 4 = 0$ . Giá trị số thực $m$ để hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = - \frac{1}{2}$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = \frac{1}{2}$
Để 2 mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{p}.\overrightarrow{n_{Q}} = 0 \Leftrightarrow 1.2 + m.( - 1) + (m - 1).3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Vậy $m = \frac{1}{2}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $9$
- D.
  $3$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I(0;1; - 1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3$
Câu 20: Vận dụng cao
Tính khoảng cách lớn nhất

Trong không gian $Oxyz$ , , cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ có phương trình lần lượt là $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16$ và $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ . Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\frac{9}{2} - \sqrt{45}$
- B.
  $\sqrt{15}$
- C.
  $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$
- D.
  $\frac{8\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính $R_1 = 4$ .

Mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính $R_2 = 2$ .

Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S₁), (S₂) với mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

$\frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2$

Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

$a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}$

$\Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)$

Mặt khác $d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) ta có: $\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra:

$\frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$ .

Tải file làm trên giấy

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đang tìm đối thủ...

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đang tìm đối thủ...

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện