VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai đường thẳng $\Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 2 - 3t \\ \end{matrix} \right.$ và $\Delta_{2}:\frac{x - 2}{1} = \frac{x + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 2}$ xấp xỉ bằng
- A.
  $11^{0}$ .
- B.
  $79^{0}$ .
- C.
  $70,9^{0}$ .
- D.
  $19,1^{0}$ .
Ta có:

$\cos\left( \Delta_{1},\Delta_{2} ight) = \frac{\overrightarrow{u_{\Delta_{1}}}.\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}}}{\left| \overrightarrow{u_{\Delta_{1}}} ight|.\left| \overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ight|}$ $= \left| \frac{- 2.1 + 1.( - 1) + ( - 3).( - 2)}{\sqrt{( - 2)^{2} + 1^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}} ight|$

$= \left| \frac{3}{\sqrt{14}.\sqrt{6}} ight| = \frac{\sqrt{21}}{14}$

$\Rightarrow \left( \Delta_{1},\Delta_{2} ight) \approx 70,9^{0}$ .
Câu 2: Nhận biết
Tìm điểm thuộc đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 3: Nhận biết
Xác định số phương trình mặt cầu

Cho các phương trình sau: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1;$ $x^{2} + (2y - 1)^{2} + z^{2} = 4;$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0;$ $(2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16.$

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
- A.
  4.
- B.
  3.
- C.
  2.
- D.
  1.
Ta có: $(2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16$ $\Leftrightarrow \left(x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + z^{2}= 4$

$(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ là phương trình của một mặt cầu.

Có tất cả 3 phương trình mặt cầu
Câu 4: Vận dụng
Tính khoảng cách từ O đến (P)

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;5;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\frac{11\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

Ta tìm được $(P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Câu 5: Nhận biết
Viết phương trình đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(0;1;2),B(1;3;4)$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;2;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ .

$d$ đi qua điểm $B(1;3;4)$ , nên có phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $\Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{1}$ và $\Delta_{2}:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 2}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $\Delta_{1};\Delta_{2}$ ?
- A.
  $\frac{1}{14}$
- B.
  $\frac{1}{\sqrt{14}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{3}{14}}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Véc tơ chỉ phương của $\Delta_{1}$ là $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - 3;1)$

Véc tơ chỉ phương của $\Delta_{2}$ là $\overrightarrow{u_{2}} = (3;1; - 2)$

$\cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{1}{14}$ .
Câu 7: Nhận biết
Viết phương trình mặt phẳng (MNP)

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng $(MNP)$ ?
- A.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 0$
- C.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- D.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 0$
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(MNP)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
Câu 8: Thông hiểu
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 + \sqrt{2}t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):\ x - y + \sqrt{2}z - 7 = 0$ . Hãy xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = \left( 1;1;\sqrt{2} ight)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left( 1; - 1;\sqrt{2} ight)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có:

$\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 1.( - 1) + \sqrt{2}.\sqrt{2} ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 30^{0}$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $H(1;2; - 3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $x + 2y + 3z + 14 = 0$
- C.
  $x + 2y - 3z - 14 = 0$
- D.
  $x + y + z = 0$
Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc eq 0$ .

Khi đó: $(\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2;3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2;3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.$ vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + 3c = 0 \\ a + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = - 3c$

Mặt khác $H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{- 3c} + \frac{4}{- 3c} - \frac{3}{c} = 1$

$\Leftrightarrow 14 = - 3c \Leftrightarrow c = \frac{- 14}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(\alpha):\frac{x}{14} + \frac{y}{7} +\dfrac{z}{- \dfrac{14}{3}} = 1$ hay $(\alpha):x + 2y - 3z - 14 = 0$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3; - 1;0)$ và đường thẳng : $d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(\alpha)$ lớn nhất có phương trình là:
- A.
  $x + y - z = 0$ .
- B.
  $x + y - z - 2 = 0$ .
- C.
  $x + y - z + 1 = 0$ .
- D.
  $- x + 2y + z + 5 = 0$ .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $(\alpha)$ , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.

Ta có: $d(A;d) = AK$ cố định và $d\left( A;(\alpha) \right) = AH \leq AK \Rightarrow d\left( A;(\alpha) \right)_{MAX}$ bằng $AK$ khi $H \equiv K$ .

$d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$ qua $M(2; - 1;1)$ , có VTCP $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;2;1)$ .

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (2;0;2)$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = ( - 4; - 4;4) = - 4(1;1; - 1)$ và $(\alpha)$ qua $M(2; - 1;1)$ có phương trình: $1(x - 2) + 1(y + 1) - 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Tính thể tích tứ diện

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ , trong đó $a > 0, b > 0, c > 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7$ . Thể tích của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}$
- B.
  $V = \frac{3}{8}$
- C.
  $V = \frac{1}{6}$
- D.
  $V = \frac{2}{9}$
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính $R = \sqrt{\frac{72}{7}}$ . Khi đó:

$d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

$49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49$

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

$a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}$

Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên $V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Cho tứ diện OABC với $A( - 4,0,0);\ \ \ B(0,6,0);\ \ \ C(0,0, - 8)$ . Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện có tâm và bán kính là:
- A.
  $I(2,3, - 4),\ \ R = \sqrt{29}$
- B.
  $I( - 2, - 3,4),\ \ R = 29$
- C.
  $I( - 2,3, - 4),\ \ R = \sqrt{29}$
- D.
  $I( - 2,3, - 4),\ \ R = 2\sqrt{29}$
Tâm I của mặt cầu (S) có hình chiếu trên Ox, Oy, Oz lần lượt là trung điểm $J( - 2,0,0);K(0,3,0);G(0,0, - 4)$ của OA, OB và OC.

$\Rightarrow I( - 2,3, - 4)$

Bán kính $R^{2} = OI^{2} = 29 \Rightarrow R = \sqrt{29}$
Câu 13: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ . Viết phương trình đường thẳng $d'$ .
- A.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0;1;0)$ và có phương trình y = 0.

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $O$ và cắt các tia $Ox;Oy;Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ khác $O$ thỏa mãn tam giác $ABC$ có trọng tâm là điểm $G( - 6; - 12;18)$ . Tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(9;18; - 27)$
- B.
  $( - 3; - 6;9)$
- C.
  $(3;6; - 9)$
- D.
  $( - 9; - 18;27)$
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia $Ox;Oy;Oz$ lần lượt là $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$

Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} \frac{a}{3} = - 6 \\ \frac{b}{3} = - 12 \\ \frac{c}{3} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 18 \\ b = - 36 \\ c = 54 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0$

Vì $(S)$ qua các điểm $OABC$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ 36m + q = - 18^{2} \\ 72n + q = - 36^{2} \\ - 108p + q = - 54^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ m = - 9 \\ n = - 18 \\ p = 27 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là: $( - 9; - 18;27)$ .
Câu 15: Nhận biết
Viết phương trình mặt phẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(5;1;3),B(1;2;6),C(5;0;4),D(4;0;6)$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa $AB$ và song song với $CD$ .
- A.
  $2x + 5y + z - 18 = 0$ .
- B.
  $2x - y + 3z + 6 = 0$ .
- C.
  $2x - y + z + 4 = 0$ .
- D.
  $x + y + z - 9 = 0$ .
+) $\overrightarrow{AB} = ( - 4;1;3),\ \ \overrightarrow{CD} = ( - 1;0;2)$ $\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack = (2;5;1)$ .

+) Mặt phẳng đi qua $A$ có VTPT $\overrightarrow{n} = (2;5;1)$ có phương trình là: $2x + 5y + z - 18 = 0$ .

+) Thay tọa độ điểm $C$ vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $2x + 5y + z - 18 = 0$
Câu 16: Vận dụng
Tìm mặt phẳng (P)

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
- A.
  $(P):x - z + 1 = 0$
- B.
  $(P):x - 4y + z - 7 = 0$
- C.
  $(P):3x - 2y - 2z - 1 = 0$
- D.
  $(P): - \ x + 4y - z - 7 = 0$
Đường thẳng $d,d^{'}$ có véc-tơ chỉ phương lần lượt là ${\overrightarrow{u}}_{1} = (2;1;2),{\overrightarrow{u}}_{2} = (1;2;1)$ .

Lấy điểm $A(1; - 1;2) \in d$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và cắt trục hoành tại điểm $B(b;0;0)$ .

Khi đó $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{1}$ và $\overrightarrow{AB} = (b - 1;1; - 2)$ , suy ra $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{P} = \left\lbrack {\overrightarrow{u}}_{1},\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 4;2b + 2;3 - b)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $d^{'}$ và $(P)$ , suy ra

$sin\varphi = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{u}}_{2} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{u}}_{2} ight|} = \frac{|3b + 3|}{\sqrt{5b^{2} + 2b + 29} \cdot \sqrt{6}}$

Đặt $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \geq 0$ , suy ra $sin\varphi = \sqrt{y} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$ .

Nhận thấy, để góc $\varphi$ lớn nhất thì $sin\varphi$ lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với $y$ phải lớn nhất.

Xét $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \Leftrightarrow (5y - 1)b^{2} + (2y - 2)b + (29y - 1) = 0$ .

Trường hợp $y = \frac{1}{5} \Rightarrow b = 3$ .

Trường hợp $y eq \frac{1}{5}$ .

Phương trình $(*)$ có nghiệm $b$ khi và chỉ khi

$\Delta^{'} = (y - 1)^{2} - (5y - 1)(29y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 144y^{2} + 32y \geq 0 \Rightarrow 0 \leq y \leq \frac{2}{9}$

Từ đó suy ra, để tồn tại $b$ suy ra $0 \leq y \leq \frac{2}{9}$ .

Vậy $y_{\max} = \frac{2}{9}$ khi đó $b = 7$ . Từ đó suy ra ${\overrightarrow{n}}_{P} = ( - 4;16; - 4) = - 4(1; - 4;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình

$1(x - 1) - 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + z - 7 = 0$
Câu 17: Nhận biết
Tìm điểm không nằm trên mặt cầu

Cho mặt cầu $(S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0$ và 4 điểm $M(1;2;0),\ N(0;1;0),\ P(1;1;1)$ , $Q(1; - 1;2)$ . Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  2 điểm.
- B.
  4 điểm.
- C.
  1 điểm.
- D.
  3 điểm.
Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu $(S)$ , ta thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn.
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: $(D):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}}$ , $(d):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}}$ . Với $a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3},\ \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \neq \ 0$ . Gọi $\overrightarrow{a} = \left( \ a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3} \right);\ \ \overrightarrow{b} = \left( \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \right)$ và $\overrightarrow{AB} = \left( \ x_{2}\ - \ x_{1},\ \ y_{2}\ - \ y_{1},\ \ z_{2}\ - \ z_{1} \right)$ . (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
- A.
  $a_{1}:\ a_{2}:a_{3} \neq \ \ b_{1}:b_{2}:b_{3}$
- B.
  $a_{1}:\ a_{2}:a_{3} = \ \ b_{1}:b_{2}:b_{3}$
- C.
  $\left\lbrack \overrightarrow{a};\ \overrightarrow{b} \right\rbrack.\ \overrightarrow{AB}\ = \ \ 0$
- D.
  $\left\lbrack \overrightarrow{a};\ \overrightarrow{b} \right\rbrack.\ \overrightarrow{AB}\ \neq \ \ 0$
Ta có:

$\left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \neq 0 \Rightarrow (D)$ và $(d)$ chéo nhau.
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2; - 3;7),B(0;4;1),$ $C(3;0;5),D(3;3;3)$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2; - 3;7),B(0;4;1),$ $C(3;0;5),D(3;3;3)$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng có phương trình $(P)x + 2y + 2z - 1 = 0(Q):x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông với mặt phẳng $(P),(Q)$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ .
- A.
  $2x + y - 1 = 0;\ 2x + y + 9 = 0$ .
- B.
  $2x - y - 1 = 0;\ 2x - y + 9 = 0$ .
- C.
  $x - 2y + 1 = 0;\ x - 2y - 9 = 0$ .
- D.
  $2x - y + 1 = 0;\ \ 2x - y - 9 = 0$ .
Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5$ có tâm $I(1; - 2;0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$

Gọi $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$

Ta có : ${\overrightarrow{n}}_{\alpha} = \overrightarrow{n_{P}} \land {\overrightarrow{n}}_{Q} \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = ( - 6;3;0) = - 3(2; - 1;0) = - 3\overrightarrow{n_{1}}$

Lúc đó mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng : $2x - y + m = 0$ .

Do mặt phẳng $(\alpha)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$

$\Rightarrow d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|m + 4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 9 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $2x - y + 1 = 0$ hoặc $2x - y - 9 = 0$ .

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đang tìm đối thủ...

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Đang tìm đối thủ...

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện