Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian
, góc giữa hai đường thẳng
và
xấp xỉ bằng
Ta có:
.
Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian
, góc giữa hai đường thẳng
và
xấp xỉ bằng
Ta có:
.
Tìm điểm thuộc đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Xác định số phương trình mặt cầu
Cho các phương trình sau:
![]()
![]()
Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
Ta có:
là phương trình của một mặt cầu.
Có tất cả 3 phương trình mặt cầu
Tính khoảng cách từ O đến (P)
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa
sao cho khoảng cách từ điểm
đến
là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến
bằng:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.
Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.
Ta tìm được .
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian
, phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm
là:
Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
đi qua điểm
, nên có phương trình là:
.
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
?
Véc tơ chỉ phương của là
Véc tơ chỉ phương của là
.
Viết phương trình mặt phẳng (MNP)
Trong không gian
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
?
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Hãy xác định góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có:
Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
tại
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử .
Khi đó:
Ta có:
Ta có: vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
Mặt khác
Vậy hay
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và đường thẳng
:
. Mặt phẳng
chứa
sao cho khoảng cách từ
đến
lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
bằng
khi
.
qua
, có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT.
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua
có phương trình:
.
Tính thể tích tứ diện
Trong không gian
, cho ba điểm
, trong đó
và
. Biết mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
. Thể tích của khối tứ diện
là:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính . Khi đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:
Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Cho tứ diện OABC với
. Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện có tâm và bán kính là:
Tâm I của mặt cầu (S) có hình chiếu trên Ox, Oy, Oz lần lượt là trung điểm của OA, OB và OC.
Bán kính
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng
.
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến và có phương trình y = 0.
Suy ra
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).
Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Chọn đáp án chính xác
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, mặt cầu
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
khác
thỏa mãn tam giác
có trọng tâm là điểm
. Tọa độ tâm của mặt cầu
là:
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là
với
Vì G là trọng tâm tam giác nên
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:
Vì qua các điểm
nên ta có hệ phương trình:
Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là:
.
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Viết phương trình mặt phẳng chứa
và song song với
.
+)
.
+) Mặt phẳng đi qua có VTPT
có phương trình là:
.
+) Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Tìm mặt phẳng (P)
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là
.
Lấy điểm .
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và cắt trục hoành tại điểm
.
Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là
và
, suy ra
có véc-tơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa đường thẳng
và
, suy ra
Đặt , suy ra
.
Nhận thấy, để góc lớn nhất thì
lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với
phải lớn nhất.
Xét .
Trường hợp .
Trường hợp .
Phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi
Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra
.
Vậy khi đó
. Từ đó suy ra
và mặt phẳng
có phương trình
Tìm điểm không nằm trên mặt cầu
Cho mặt cầu
và 4 điểm
,
. Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu
?
Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu , ta thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn.
Chọn đáp án thích hợp
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
Ta có:
và
chéo nhau.
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng có phương trình
và mặt cầu
. Mặt phẳng
vuông với mặt phẳng
đồng thời tiếp xúc với mặt cầu
.
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Ta có :
Lúc đó mặt phẳng có dạng :
.
Do mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Vậy phương trình mặt phẳng :
hoặc
.
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Đang tải...
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: