Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số CTST

Phương trình hoành độ giao điểm

Đường thẳng và đồ thị hàm số có một điểm chung khi phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất

Vậy .

Đặt

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn .

Đạo hàm

Ta có .

Ta có: ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Ta có:

.

.

Xét hàm số có .

Ta thấy có một nghiệm nên có tối đa hai nghiệm.

+) TH1: Nếu có nghiệm hoặc .

Với thì là nghiệm bội của . Khi đó là nghiệm bội 7 của và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm nên là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy thỏa ycbt.

Với thì .

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy không thỏa ycbt.

+) TH2: .

Để hàm số đạt cực tiểu tại .

Do nên .

Vậy cả hai trường hợp ta được giá trị nguyên của thỏa ycbt.

 Hàm số y = x – sinx có tập các định và

Nên hàm số luôn đồng biến trên

Ta có:

Để hàm số đã cho nghịch biến trên

Do nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.

Ta có:

Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giá trị cực đại của hàm số là suy ra mệnh đề sai là: “Giá trị cực đại của hàm số là .”

Từ đồ thị ta có nghiệm phân biệt

Ta có .

. Từ đồ thị, ta được , , .

Từ đồ thị, ta cũng có bảng xét dấu của :

Ta được hàm số đạt cực đại tại .

Ta có nhỏ nhất lớn nhất (do không đổi).

Ta có:

Do là hình thang nên hai tam giác đồng dạng, do đó:

Từ (1) và (2) suy ra .

Cách giải 1:

Xét hàm số với Ta có:

.

Bảng biến thiên:

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi .

Do vậy

Cách giải 2:

Ta có:

.

Ta thấy lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương:

Dấu đẳng thức xảy ra

Từ đây ta có .

Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng với

Vậy hàm số cần tìm là .

Đặt ta có .

hay

Khi đó .

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng .

Ta có:

Suy ra có nghiệm bội lẻ và hệ số nên có cực tiểu.