Tìm các vectơ đồng phẳng
Trong không gian cho hình hộp
. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Tìm các vectơ đồng phẳng
Trong không gian cho hình hộp
. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Chọn đáp án thích hợp
Cho hình hộp
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Vectơ nào sau đây bằng
?

Ta có cùng hướng với
và
, suy ra
Tìm tọa độ vecto của máy bay
Cho biết máy bay
đang bay với vận tốc
(đơn vị:
. Máy bay
ngược hướng và có tốc độ gấp 2 lần tốc độ của máy bay
. Tọa độ vectơ vận tốc
của máy bay
là
Tọa độ vectơ vận tốc của máy bay
là:
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Toạ độ của vectơ
là:
Ta có .
Tính góc giữa hai vecto
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (do
là hình chữ nhật)
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện
Trong không gian
, cho
,
. Tìm tọa độ điểm
thuộc trục tung sao cho
nhỏ nhất.
Khi đó:
.
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục tung.
Phương trình mặt phẳng đi qua
và vuông góc với trục tung là
hay
.
Phương trình tham số của trục tung là .
Tọa độ điểm cần tìm là nghiệm
của hệ phương trình:
.
Vậy .
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Vì lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng
nên
suy ra
.
Chọn phương án thích hợp
Cho hình hộp
. Trong các vectơ sau, vectơ nào bằng vectơ
?
Hình vẽ minh họa:
Đáp án cần tìm:
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian
, cho vectơ
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Tính độ dài vectơ
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Tìm tọa độ trung điểm I
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
và
. Xác định tọa độ trung điểm
của
?
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
Vậy đáp án đúng là: .
Ghi đáp án đúng vào ô trống
Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện
trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường
3 m và cách tường
6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ
(Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 6,20||6,2
Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện
trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường
3 m và cách tường
6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ
(Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 6,20||6,2
Tọa độ cây quạt Q là
Tọa độ các ổ cắm điện A, B, C lần lượt là:
.
Chọn mệnh đề đúng
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Suy ra
Tìm tọa độ tổng hai vectơ
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: do đó
Vậy đáp án cần tìm là .
Xét tính đúng sai của các nhận định
Trong không gian
, cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm
là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ
là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
Trong không gian
, cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm
là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ
là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa

(a) Tọa độ của điểm là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(b) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: .
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(c) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn ĐÚNG.
(d) Tọa độ của vec tơ là:
.
Theo quy tắc hình hộp, ta có: .
Suy ra:
» Chọn ĐÚNG.
Tính độ dài vecto
Cho hai vectơ
và
thỏa mãn điều kiện
và
Độ dài vectơ ![]()
Ta có:
Tìm tọa độ điểm đối xứng
Cho hai điểm
và
. Tọa độ điểm
đối xứng với
qua
là:
Vì điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
Tính x; y theo k để ba điểm thẳng hàng
Cho hình hộp
và các điểm
xác định bởi
. Hãy tính
theo
để ba điểm
thẳng hàng.
Hình vẽ minh họa

Đặt .
Từ giả thiết ta có :
Từ đó ta có
.
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại
sao cho
.
Thay các vectơ vào
và lưu ý
không đồng phẳng ta tính được
.
Tìm tọa độ hình chiếu
Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Xác định mệnh đề sai
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: đúng với mọi điểm
nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hình hộp
có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính góc giữa đường thẳng
với các đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa

.
Chọn phương án đúng
Không gian với trục hệ tọa độ
, cho
Tọa độ của vectơ
là:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Tìm tọa độ hình chiếu
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Xác định giá trị tham số
để
?
Ta có:
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Chọn đáp án đúng
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
và. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng

Hình vẽ minh họa
Ta có
.
Suy ra .
Xác định góc giữa cặp vecto
Cho tứ diện
có
và
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Tìm khẳng định sai
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
đồng phẳng sai vì
suy ra
không đồng phẳng.
Tìm tọa độ điểm B’
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
. Biết
. Tọa độ điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Xác định tọa độ điểm D
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian tọa độ
, cho vectơ
. Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với
?
Ta có: cùng phương với mọi vectơ
Lại có
Vậy vectơ không cùng phương với là
.
Chọn phát biểu đúng
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
,
. Gọi
là tập hợp các điểm
trong không gian thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Gọi là trung điểm
.
Ta có :
.
Suy ra tập hợp điểm trong không gian là mặt cầu tâm
, bán kính bằng 2.
Vậy là một mặt cầu có bán kính bằng
.
Tìm tọa độ trung điểm
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ
?
Điểm thuộc có
. Vậy điểm cần tìm được là:
.
Định các giá trị của x và y
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Với giá trị nào của
thì ba điểm đã cho thẳng hàng?
Ta có:
Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương
Vậy đáp án cần tìm là .
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tìm tọa độ của vectơ
.
Ta có:
Xác định khẳng định sai
Cho hình hộp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
Ta có:
Vì và
là hai hình thoi bằng nhau nên
+ suy ra
không vuông góc với
+ suy ra
Nên đáp án có thể sai vì chưa có điều kiện của góc
và
Chọn khẳng định đúng
Cho tứ diện
có
. Gọi
là góc giữa
và
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Do đó:
Vậy
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho tứ diện
có
. Gọi
là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
.
Do tứ diện có
nên
.
Gọi là diện tích và
là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì
, nên bất đẳng thức cần chứng minh:
.
Theo công thức Leibbnitz:
Với điểm bất kì và
là trọng tâm của tam giác
thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ta được:
.
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hình hộp chữ nhật
có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cho hình hộp chữ nhật
có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cách 1. Gọi là trung điểm
,
,
,
.
Ta có .
Lại có .
Mặt khác .
Dễ thấy
.
Suy ra với
;
.
Vậy .
Cách 2. Đặt các trục ,
và
vào hình như sau
Ta có ,
,
và
.
Ta có ,
và
.
Khi đó :
.
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: