Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;3),\overrightarrow{b} = ( - 2;0;1),\overrightarrow{c} = ( - 1;0;1). Tọa độ vectơ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{i} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{i}

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = (1;2;3) + ( - 2;0;1) + 2( - 1;0;1) - 3(1;0;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = ( - 6;2;6)

  • Câu 2: Nhận biết

    Chọn kết quả chính xác

    Cho hai vectơ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} đều khác \overrightarrow{0}. Khi đó \left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} \right|^{2} bằng

    Ta có \left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2} + 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}.

  • Câu 3: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho A(3;2; - 1), B( - 1;0;5). Điểm M(a;b;c) thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy). Tính giá trị của biểu thức T = a + b + c khi \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| nhỏ nhất.

    Gọi K là điểm thỏa: \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow K(1;1;2).

    Ta có:

    \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KA} \right) + \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KB} \right) \right|

    = \left| 2\overrightarrow{MK} + \left( \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} \right) \right| = \left| 2\overrightarrow{MK} \right| = 2MK.

    Do đó \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| nhỏ nhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất.

    Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu của K lên mặt phẳng (Oxy).

    Suy ra M(1;1;0).

    Vậy T = a + b + c = 1 + 1 + 0 = 2.

  • Câu 4: Vận dụng

    Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

    Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật

    và EFP là tam giác cân tại P. Gọi T là trung điểm của DC. Các kích thước của kho chứa lần lượt là AB = 6m;AE = 5m; AD = 8m; QT = 7m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm O thuộc đoạn AD sao cho OA = 2m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

    Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của FG và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí O, người ta thiết kế đường dây cáp nối từ O đến K sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm Q. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

    Đáp án: 16,7

    Đáp án là:

    Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật

    và EFP là tam giác cân tại P. Gọi T là trung điểm của DC. Các kích thước của kho chứa lần lượt là AB = 6m;AE = 5m; AD = 8m; QT = 7m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm O thuộc đoạn AD sao cho OA = 2m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

    Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của FG và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí O, người ta thiết kế đường dây cáp nối từ O đến K sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm Q. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

    Đáp án: 16,7

    Với hệ trục toạ độ đã chọn ta có O(0;0;0), K(0;0;5), F(2;6;5), G( - 6;6;5), Q( - 6;3;7).

    Gọi I là trung điểm của FG, ta có I( - 2;6;5)

    Do đó OK = 5; \overrightarrow{KI} = ( - 2;6;0) \Rightarrow KI = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10}; \overrightarrow{IQ} = ( - 4; - 3;2) \Rightarrow IQ = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}.

    Vậy độ dài đoạn cáp nối tối thiểu là: OK + KI + IQ = 5 + 2\sqrt{10} + \sqrt{29} \approx 16,7\ m.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4). Tọa độ vectơ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)

    Vậy \overrightarrow{d}(7;0; - 4)

  • Câu 6: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

  • Câu 7: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyzcho hình hộp chữ nhật OABC.EFGH có các cạnh OA = 5, OC = 8, OE = 7 (xem hình vẽ dưới đây). Tọa độ H(x;y;z). Tính giá trị biểu thức P = 50x + 75y + 1000z

    Ta có H \in (yOz) và hình chiếu của H lên Oy trùng với C nên H(0;\ 8;\ 7).

    P = 50x + 75y + 1000z = 50.0 + 75.8 + 1000.7 = 7600.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm Q

    Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; - 1;1)\ ,\ \ N(2;0; - 1)\ ,\ \ P( - 1;2;1). Xét điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là một hình bình hành. Tọa độ Q là

    Gọi Q(x;y;z). Ta có \overrightarrow{MN} = (1;1; - 2)\ \ ,\ \ \ \ \overrightarrow{QP} = ( - 1 - x;2 - y;1 - z).

    Tứ giác MNPQ là một hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 2 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ .

    Vậy, Q( - 2;1;3).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Xác định tọa độ tổng hai vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5;1;5),B(4;3;2),C( - 3; - 2;1) và điểm I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức H = a + 2b + c?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 7; - 5; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 0 nên tam giác ABC vuông tại B

    Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

    \Rightarrow I\left( 1; - \frac{1}{2};3ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \dfrac{1}{2} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow H = a + 2b + c = 3

    Vậy đáp án cần tìm là H = 3

  • Câu 10: Thông hiểu

    Chọn phát biểu đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0), B(5;0;0). Gọi (H) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Gọi I là trung điểmAB \Rightarrow I(3;0;0).

    Ta có :

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} ight) = 0

    \Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = 0 \Leftrightarrow MI^{2} = IA^{2} \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.|5 - 1| = 2.

    Suy ra tập hợp điểm M trong không gian là mặt cầu tâm I, bán kính bằng 2.

    Vậy (H) là một mặt cầu có bán kính bằng 2.

  • Câu 11: Vận dụng

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B;C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A' là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

    \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 suy ra góc \widehat{BA'C} là góc tù.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2;9).

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A\left( 0\ ;\ 4\sqrt{2}\ ;\ 0 \right), B\left( 0\ ;\ 0\ ;\ 4\sqrt{2}\right), điểm C \in (Oxy) và tam giác OAC vuông tại C, hình chiếu vuông góc của O trên BC là điểm H. Khi đó điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng

    Hình vẽ minh họa

    Dễ thấy B \in Oz. Ta có A \in (Oxy)và C \in (Oxy), suy ra OB\bot(OAC).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} AC\bot OC \\ AC\bot OB \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow AC\bot(OBC), mà OH \subset(OBC). Suy ra AC \bot OH (1).

    Mặt khác ta có OH\bot BC (2), .

    Từ (1) và (2) suy ra OH\bot(ABC) \Rightarrow OH\bot AB và OH\bot HA.

    Với OH\bot AB suy ra H thuộc mặt phẳng (P) với (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng AB.

    Phương trình của (P) là: y - z = 0.

    Với OH\bot HA \Rightarrow \Delta OHA vuông tại H.

    Do đó H thuộc mặt cầu (S) có tâm I\left( 0\ ;\ 2\sqrt{2}\ ;\ 0 ight) là trung điểm của OA và bán kính R = \frac{OA}{2} = 2\sqrt{2}.

    Do đó điểm H luôn thuộc đường tròn (T) cố định là giao tuyến của mp (P) với mặt cầu (S).

    Giả sử (T) có tâm K và bán kính r thì IK = d\left( I,(P) ight) = 2 và r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} = 2.

    Vậy điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng 2.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính độ dài vecto

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} thỏa mãn điều kiện \left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = 1 và \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3. Độ dài vectơ 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b}:

    Ta có:

    \left( 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} ight)^{2} = 9{\overrightarrow{a}}^{2} + 30\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} + 25{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 9 + 90 + 25 = 124.

    \Rightarrow \left| 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} ight| = \sqrt{124}

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi a,b,c lần lượt là khoảng cách từ điểm M(1;3;2) đến ba mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz),(Oxz). Tính P = a + b^{2} + c^{3} ?

    Với A\left( x_{o}\ ;\ y_{o}\ ;\ z_{o} ight) \in (Oxyz).

    Khi đó d\left( A\ ,\ (Oxy) ight) = z_{o}, d\left( A\ ,\ (Oxz) ight) = y_{o}, d\left( A\ ,\ (Oyz) ight) = x_{o}.

    Theo bài ra ta có:

    a = d\left( M;(Oxy) ight) = 2;b = d\left( M\ ;(Oyz) ight) = 1, c = d\left( \ M\ ;(Oxz) ight) = 3.

    P = a + b^{2} + c^{3} = 2 + 1^{2} + 3^{3} = 30.

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y} = (1;0; - 1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}?

    Ta có: 2\overrightarrow{y} = (2;0; - 2). Khi đó \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) = (4;1; - 5).

    Vậy \overrightarrow{a} = (4;1; - 5)

  • Câu 17: Nhận biết

    Chọn phân tích đúng

    Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.Phân tích nào sau đây là đúng?

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC khi \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)

  • Câu 18: Vận dụng

    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0;2), B(3;1;4), C(3; - 2;1). Tìm tọa độ điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng \frac{3\sqrt{11}}{2} và S có cao độ âm.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2), \overrightarrow{AC} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).

    Do SA vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng SA được chọn là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).

    Đường thẳng SA qua A(1;0;2) và có VTCP \overrightarrow{u} = (3;6; - 6) nên có phương trình tham số là:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 6t \\ z = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).

    Do \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 - 2 - 2 = 0 \Rightarrow AB\bot AC \Rightarrow \Delta ABC vuông tại A.

    Gọi M là trung điểm BC, khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là đường thẳng qua M và song song với SA nên d\bot(ABC), suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Trong mặt phẳng (SAM) vẽ đường trung trực của SA cắt d tại I và cắt SA tại N.

    Mặt phẳng (ABC) qua A và có một VTPT \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6) nên có phương trình tổng quát là:

    3(x - 1) + 6y - 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0

    \overrightarrow{BC} = (0; - 3; - 3) \Rightarrow BC = \sqrt{18} \Rightarrow BC^{2} = 18.

    Ta có R^{2} = IA^{2} + AM^{2} \Leftrightarrow \frac{99}{4} = IM^{2} + \frac{1}{4}BC^{2} \Rightarrow IM = \frac{9}{2}.

    Do S \in SA nên S(1 + 3t;6t;2 - 6t), mà SA = 2IM \Rightarrow SA = 9

    \Leftrightarrow d\left( S,(ABC) ight) = 9

    \Leftrightarrow \frac{\left| 1 + 3t + 12t - 2(2 - 6t) + 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 9

    \Leftrightarrow |27t| = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow S(4;6; - 4) \\ t = - 1 \Rightarrow S( - 2; - 6;8) \\ \end{matrix} ight., mà cao độ của S âm nên S(4;6; - 4) thỏa mãn.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm N

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = \left( 2;\frac{1}{3}; - 5 \right) và điểm M(2;3;4). Tọa độ điểm N thỏa mãn \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{a} là:

    Gọi tọa độ điểm N là \left( x_{N};y_{N};z_{N} \right), ta có: \overrightarrow{MN} = \left( x_{N} - 2;y_{N} - 3;z_{N} - 4 \right).

    Ta có: \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} - 2 = 2 \\ y_{N} - 3 = \frac{1}{3} \\ z_{N} - 4 = - 5 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} = 2 + 2 \\ y_{N} = \frac{1}{3} + 3 \\ z_{N} = - 5 + 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} = 4 \\ y_{N} = \frac{10}{3} \\ z_{N} = - 1 \\ \end{matrix} \right..

    Vậy N\left( 4;\frac{10}{3}; - 1 \right).

  • Câu 20: Nhận biết

    Xác định góc giữa hai vecto

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} khác \overrightarrow{0}. Xác định góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} khi \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|?

    Mà theo giả thiết \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|, suy ra \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - 1 \Rightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 180^{0}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là

    Hình vẽ minh họa

    Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}.

    Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D, ta có:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2; - 3) và B(2; - 1;0). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (2 + 1; - 1 - 2;0 + 3) = (3; - 3;3)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3).

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm A’

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; - 3;5). Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua trục Oy?

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; - 3;5) lên Oy suy ra H(0; - 3;0)

    Khi đó H là trung điểm của AA' nên

    \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2 \\ y_{A'} = - 3 \\ z_{A'} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'( - 2; - 3; - 5)

  • Câu 24: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{u} = (1;2;0). Tọa độ vectơ \overrightarrow{u} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Suy ra \overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}

  • Câu 25: Nhận biết

    Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)

    Vậy trọng tâm G tìm được là G(0;0;3).

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm tọa độ vecto

    Trong không gian Oxyz, cho \ \overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i}. Tọa độ \ \overrightarrow{b} bằng?

    Ta có: \overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} = ( - 1;4;0)

  • Câu 27: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyzvới \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox,\ \ Oy,\ \ Oz. Tính tọa độ của vecto \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1;1; - 1)

  • Câu 28: Nhận biết

    Xác định mệnh đề không chính xác

    Cho tứ diện đều ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}

    Vậy mệnh đề chưa chính xác là: \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: A(0;\ 0;\ 0), B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) nên \overrightarrow{AB} = (m;0;0)

    ⇒AB = m (do m;n > 0); AD = m; AA' = n.

    Mà V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n

    ⇒V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m).

    Xét hàm số f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2} trên (0;4)

    f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0⇒\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Vậy MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Xác định khẳng định sai

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

    Ta có: \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BB'}.\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} ight) = \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC}

    = BB'.BA\left( \cos\widehat{B'BA} + cos\widehat{B'BC} ight)

    Vì AA'B'B và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên

    + \widehat{B'BA} = \widehat{B'BC} \Rightarrow \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} eq 0 suy ra BB' không vuông góc với BD

    + \widehat{B'BA} + \widehat{B'BC}= 180^{0}\Rightarrow \cos\widehat{B'BA} = - \cos\widehat{B'BC}\Rightarrow \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} = 0 suy ra BB'\bot BD

    Nên đáp án BB'\bot BD có thể sai vì chưa có điều kiện của góc \widehat{B'BA} và \widehat{B'BC}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm giá trị k thỏa mãn biểu thức

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N lần lượt là trung điểm các cạnh AC;BD, G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của k thỏa mãn đẳng thức k.\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{OG}?

    Vì G là trọng tâm tứ diện nên

    \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OG}

    \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4}.

  • Câu 32: Nhận biết

    Xác định tọa độ tổng hai vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; - 2;3);\overrightarrow{v} = ( - 1;2;0). Vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 1 + ( - 1); - 2 + 2;3 + 0 ight) = (0;0;3)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;0;3)

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính độ lớn lực Trái Đất tác dụng lên vật

    Nếu một vật có khối lượng m(kg) thì lực hấp dẫn \overrightarrow{P}của trái đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức \overrightarrow{p} = m\ \overrightarrow{g}, trong đó \overrightarrow{g} là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8\left( m/s^{2} \right). Độ lớn của lực Trái Đất tác dụng lên một quả lê có khối lượng 105glà

    Đổi 105g = 0,105kg

    Độ lớn của lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên quả lê là:

    \left| \overrightarrow{p} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 0,105.9,8 = 1,029N.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ \overrightarrow{u} = (1;1; - 2),\ \ \overrightarrow{v} = (1;0;m). Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} bằng 45^{{^\circ}}.

    Ta có:

    \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} ight) = 45{^\circ} \Leftrightarrow \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{1 - 2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Leftrightarrow \sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - 2m \geq 0 \\ 3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq \frac{1}{2} \\ m^{2} - 4m - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}.

  • Câu 35: Nhận biết

    Chọn phát biểu sai

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1; - 3) và \overrightarrow{b} = ( - 4; - 2;6). Phát biểu nào sau đây sai?

    Dễ thấy \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} từ đo suy ra hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} ngược hướng và \left| \overrightarrow{b} ight| = 2\left| \overrightarrow{a} ight|.

    Lại có \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 4) + 1.( - 2) + ( - 3).6 = - 28 eq 0

    Vậy phát biểu sai là: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Chọn phương án thích hợp

    Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60{^\circ}. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

    A screenshot of a computerDescription automatically generated

    Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{F_{4}} đều có cường độ là 4700N và trọng lượng của khung sắt là 3000N.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A_{1},\ B_{1},\ C_{1},D_{1} lần lượt là các điểm sao cho \overrightarrow{EA_{1}} = \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{EB_{1}} = \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{EC_{1}} = \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{ED_{1}} = \overrightarrow{F_{4}}.

    Vì EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60^{o} nên EA_{1},EB_{1},EC_{1},ED_{1} có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) một góc bằng 60^{o}.

    Vì ABCD là hình chữ nhật nên A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} cũng là hình chữa nhật.

    Gọi O là tâm của hình chữ nhật A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Ta suy ra EO\bot\left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right).

    Do đó góc giữa đường thẳng EA_{1} và mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) bằng góc \widehat{EA_{1}O} suy ra \widehat{EA_{1}O} = 60^{o}.

    Ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{2}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{3}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{4}} \right| = 4700N nên EA_{1} = EB_{1} = EC_{1} = ED_{1} = 4700N.

    Tam giác EOA_{1} vuông tại O nên EO = EA_{1}.sin\widehat{EA_{1}O} = 4700.sin60{^\circ} = 2350\sqrt{3}.

    Ta có:

    \overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}}

    = \overrightarrow {E{A_1}} + \,\overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}}

    = 4\overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} + \,\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{D_1}} = 4\overrightarrow {EO}.

    Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên \overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}} + \ \overrightarrow{F_{3}} + \overrightarrow{F_{4}} = \overrightarrow{P}, với \overrightarrow{P} là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

    Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là: \left| \overrightarrow{P} \right| = 4\left| \overrightarrow{EO} \right| = 4.2350\sqrt{3} = 9400\sqrt{3}N

    Vì trọng lượng của khung sắt là 3000N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là: 9400\sqrt{3} - 3000 \approx 13281N.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Xác định tọa độ điểm D

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(0;0;1).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 2),B(2; - 3;5). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB, tọa độ điểm M là:

    Gọi tọa độ độ điểm M(x;y;z). Vì điểm M \in AB nên

    \overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3 - x = - 2(2 - x) \\1 - y = - 2( - 3 - y) \\- 2 - z = - 2(5 - z) \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{3} \\y = - \dfrac{5}{3} \\z = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là: \left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight).

  • Câu 39: Vận dụng

    Ghi đáp án vào chỗ trống

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 40: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
49 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này