Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0),\ \ B(0;2;0);M(x - 1;2y - 2;7). Gọi M' là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oxy). Khi tứ giác OBM'A là hình bình hành thì giá trị x + y bằng?

    M' là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oxy) \Rightarrow M'(x - 1;2y - 2;0).

    OBM'A là hình bình hành

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AM'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 = x - 2 \\ 2 = 2y - 2 \\ 0 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right..

    Vậy x + y = 4.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;3; - 2) và N(2; - 1;0). Vectơ \overrightarrow{MN} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0 + 2) = (2; - 4;2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{MN} = (2; - 4;2).

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = ( - 2;2;0);\overrightarrow{b} = (2;2;0);\overrightarrow{c} = (2;2;2). Khi đó giá trị của \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| bằng bao nhiêu?

    Ta có: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = ( - 2 + 2 + 2;2 + 2 + 2;0 + 0 + 2) = (2;6;2).

    Khi đó \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{11}

    Vậy đáp án cần tìm là: 2\sqrt{11}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm tọa độ trung điểm I

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Xác định tọa độ trung điểm I của AB?

    Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)

    Vậy đáp án đúng là: I(1;0;4).

  • Câu 5: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trong các vectơ sau, vectơ nào bằng vectơ \overrightarrow{BC}?

    Hình vẽ minh họa:

    Đáp án cần tìm:  \overrightarrow{A'D'} 

  • Câu 6: Thông hiểu

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) và C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) và C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Gọi D = (x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 - y;1 - z)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;3; - 3)

    ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = 1 \\ - 2 - y = 3 \\ 1 - z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow D(4; - 5;4).

    Vậy S = a + b + c = 3.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm câu sai

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b}. Xác định kết luận sai?

    Nhận thấy \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) và \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) chỉ khác nhau về hệ số \frac{1}{2} và \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} ight).\frac{1}{4}

    Ta có \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} - \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= 4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} ight)

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a} ight|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \Rightarrow \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight)

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm B

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1), khi đó tọa độ điểm B là:

    Gọi B(x;y;z) ta có:

    A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1) khi đó \left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight. nên tọa độ điểm cần tìm là B(2;5;0).

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Chọn phương án thích hợp

    Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60{^\circ}. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

    A screenshot of a computerDescription automatically generated

    Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{F_{4}} đều có cường độ là 4700N và trọng lượng của khung sắt là 3000N.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A_{1},\ B_{1},\ C_{1},D_{1} lần lượt là các điểm sao cho \overrightarrow{EA_{1}} = \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{EB_{1}} = \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{EC_{1}} = \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{ED_{1}} = \overrightarrow{F_{4}}.

    Vì EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60^{o} nên EA_{1},EB_{1},EC_{1},ED_{1} có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) một góc bằng 60^{o}.

    Vì ABCD là hình chữ nhật nên A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} cũng là hình chữa nhật.

    Gọi O là tâm của hình chữ nhật A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Ta suy ra EO\bot\left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right).

    Do đó góc giữa đường thẳng EA_{1} và mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) bằng góc \widehat{EA_{1}O} suy ra \widehat{EA_{1}O} = 60^{o}.

    Ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{2}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{3}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{4}} \right| = 4700N nên EA_{1} = EB_{1} = EC_{1} = ED_{1} = 4700N.

    Tam giác EOA_{1} vuông tại O nên EO = EA_{1}.sin\widehat{EA_{1}O} = 4700.sin60{^\circ} = 2350\sqrt{3}.

    Ta có:

    \overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}}

    = \overrightarrow {E{A_1}} + \,\overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}}

    = 4\overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} + \,\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{D_1}} = 4\overrightarrow {EO}.

    Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên \overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}} + \ \overrightarrow{F_{3}} + \overrightarrow{F_{4}} = \overrightarrow{P}, với \overrightarrow{P} là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

    Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là: \left| \overrightarrow{P} \right| = 4\left| \overrightarrow{EO} \right| = 4.2350\sqrt{3} = 9400\sqrt{3}N

    Vì trọng lượng của khung sắt là 3000N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là: 9400\sqrt{3} - 3000 \approx 13281N.

  • Câu 10: Nhận biết

    Chọn khẳng định sai

    Trong không gian cho tứ diện ABCD, gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight) \\ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight) \\ \end{matrix} ight.

    Xét các phương án như sau:

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

    \overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN} đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

    \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm B’

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính tích vô hướng của hai vectơ

    Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0

    Vậy \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

    Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Đặt \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 14: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 \right), hai đỉnh B\ ,\ C thuộc trục Oz và AA' = 1 (C không trùng với O). Biết véctơ \overrightarrow{u} = (a\ ;\ b\ ;\ 2) với a\ ,\ b\mathbb{\in R} là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C. Tính T = a^{2} + b^{2}.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm BC.

    Khi đó có \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot A'M tại M \Rightarrow M là hình chiếu của A' trên trục Oz

    A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 ight) \Rightarrow M(0\ ;\ 0\ ;\ 1) và A'M = 2.

    Ta có: AM = \sqrt{A'M^{2} - A{A'}^{2}} = \sqrt{3}.

    Mà tam giác ABC đều nên AM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3} \Rightarrow BC = 2 \Rightarrow MC = 1.

    Vì C thuộc trục Oz và C không trùng với O nên gọi C(0\ ;\ 0\ ;\ c), c eq 0.

    \overrightarrow{MC} = (0\ ;\ 0\ ;\ c - 1) \Rightarrow MC = |c - 1|; MC = 1 \Leftrightarrow |c - 1| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0\ (L) \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow C(0\ ;\ 0\ ;\ 2).

    \overrightarrow{A'C} = \left( -\sqrt{3} ; 1 ;1 ight) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C

    \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left( - 2\sqrt{3}\ ;\ 2\ ;\ 2 ight)cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A'C.

    Vậy a = - 2\sqrt{3};\ \ b = 2 \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} = 16.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm mệnh đề sai

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0 suy ra AB và AC không vuông góc với nhau.

    Vậy mệnh đề sai là: “AB\bot AC”.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b + c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b + c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5).

    b) G là trọng tâm tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 4;9; - 9)

    \Rightarrow a + b + c = - 4

    c) Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; - 4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)

    Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = 3k \\ y + 1 = k.( - 4) \\ - 4 = k.2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ k = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra x + y = 3

    d) Ta có: N \in (Oxy) \Rightarrow N = (x;y;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x - 2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)

    Ta có ∆ABN vuông cân tại A \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AN\bot AB(*) \\ AN = AB(**) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) - 4(y + 1) - 10 = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5

    Từ (**) AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left( \frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}

    \Rightarrow y = - \frac{13}{5} \Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)

    Vậy x_{N} + y_{N} = \frac{3}{5}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}. Điểm M xác định bởi đẳng thức \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I;I' lần lượt là tâm các mặt đáy ABCD;A'B'C'D' suy ra O là trung điểm của II'

    Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    Theo giả thiết ta có:

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight) = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} ight) = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{IB}

    Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên từ đẳng thức \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{IB} suy ra M là trung điểm của BB'.

  • Câu 18: Vận dụng

    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    Ta có: \left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Mà \left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 2;2;5)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Chọn phát biểu đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0), B(5;0;0). Gọi (H) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Gọi I là trung điểmAB \Rightarrow I(3;0;0).

    Ta có :

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} ight) = 0

    \Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = 0 \Leftrightarrow MI^{2} = IA^{2} \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.|5 - 1| = 2.

    Suy ra tập hợp điểm M trong không gian là mặt cầu tâm I, bán kính bằng 2.

    Vậy (H) là một mặt cầu có bán kính bằng 2.

  • Câu 21: Nhận biết

    Xác định tọa độ vectơ

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyzcho \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}. Khi đó tọa độ \overrightarrow{u} với hệ Oxyz là:

    Ta có: \overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Lại có \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)

  • Câu 22: Nhận biết

    Tính tích vô hướng của hai vecto

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{u} = (3\ ;\ 0\ ;\ 1) và \overrightarrow{v} = (2\ ;\ 1\ ;\ 0). Tính tích vô hướng \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}.

    Ta có \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6.

  • Câu 23: Nhận biết

    Xét tính đúng sai của mỗi ý hỏi

    Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M(6;20;0) đến điểm N( - 6; - 12;16).

    a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 6 + 3t \\ y = 20 + 8t,\left( t \in \mathbb{R} \right) \\ z = - 4t \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm A( - 3; - 4;12). Sai||Đúng

    c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai

    d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M(6;20;0) đến điểm N( - 6; - 12;16).

    a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 6 + 3t \\ y = 20 + 8t,\left( t \in \mathbb{R} \right) \\ z = - 4t \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm A( - 3; - 4;12). Sai||Đúng

    c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai

    d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút. Đúng||Sai

    a) Ta có: M(6;20;0),N( - 6; - 12;16)

    \Rightarrow \overrightarrow{MN}( - 12; - 32;16) = - 4.(3;8; - 4)

    Chọn \overrightarrow{u_{MN}} = (3;8; - 4).

    Khi đó, phương trình MN:\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 3t \\ y = 20 + 8t(t \in R) \\ z = - 4t \\ \end{matrix} ight.

    Do đó, a đúng

    b) Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu (O):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 13^{2}.

    Tọa độ giao điểm của MN và (O) là nghiệm của phương trình

    (6 + 3t)^{2} + (20 + 8t)^{2} + ( - 4t)^{2} = 13^{2}

    \Leftrightarrow 89t^{2} + 356t - 267 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \Rightarrow A(3;12;4) \\ t = - 3 \Rightarrow B( - 3; - 4;12) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có \overrightarrow{MA}( - 3; - 8;4),\overrightarrow{MB}( - 9; - 24;12)

    \Rightarrow \overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA}

    Điểm gặp đầu tiên là A(3;12;4)

    Do đó, b sai

    c) AB = \sqrt{( - 3 - 3)^{2} + ( - 4 - 12)^{2} + (12 - 4)^{2}} = \sqrt{356}

    Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1000 km nên khoảng cách AB \approx 18900(km)

    Do đó, c đúng

    d) AB = 2\sqrt{89},MN = 4\sqrt{89}

    \Rightarrow t_{MN} = 2t_{AB} = 2.3 = 6 (phút)

    Do đó, d đúng

  • Câu 24: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian cho ba vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì ba vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá của các vectơ 2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v} cùng nằm trên một mặt phẳng

    Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.”

  • Câu 25: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyzvới \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox,\ \ Oy,\ \ Oz. Tính tọa độ của vecto \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1;1; - 1)

  • Câu 26: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a và. Góc giữa hai đường thẳng AB' và BC'bằng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} ight)\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} ight)

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{CC'}

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{CC'}

    = - \frac{a^{2}}{2} + 0 + 0 + 2a^{2} = \frac{3a^{2}}{2}.

    Suy ra \cos\left( \overrightarrow{AB^{'}},\overrightarrow{BC^{'}} ight) = \frac{\overrightarrow{AB^{'}}.\overrightarrow{BC^{'}}}{\left| \overrightarrow{AB^{'}} ight|.\left| \overrightarrow{BC^{'}} ight|}= \dfrac{\dfrac{3a^{2}}{2}}{a\sqrt{3}.a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{(AB',BC')} = 60{^\circ}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó:

    Ta có:

    G là trọng tâm tam giác ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow \overrightarrow{GD} +\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{0}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + 3\overrightarrow{GD} =\overrightarrow{0}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - 3\overrightarrow{DG} =\overrightarrow{0}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{DG}.

  • Câu 28: Vận dụng

    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    Vì 4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    Vì D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight. suy ra D( - 5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính độ dài vecto

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} thỏa mãn điều kiện \left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = 1 và \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3. Độ dài vectơ 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b}:

    Ta có:

    \left( 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} ight)^{2} = 9{\overrightarrow{a}}^{2} + 30\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} + 25{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 9 + 90 + 25 = 124.

    \Rightarrow \left| 3\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} ight| = \sqrt{124}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm B

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với A( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3),C(2\ ;\ 3;\ 5),B'(2\ ;\ 4\ ;\ - 1),D'(0\ ;\ 2\ ;1). Tìm tọa độ điểm B.

    Gọi B(x\ ;\ y\ ;\ z) là điểm cần tìm.

    Gọi I và I' lần lượt là trung điểm AC và B'D'

    \Rightarrow I(0\ ;\ 2\ ;\ 4) và I'(1\ ;\ 3\ ;\ 0).

    \overrightarrow{I'I} = ( - 1\ ;\ - 1\ ;\ 4);\overrightarrow{B'B} = (x - 2\ ;\ y - 4\ ;\ z + 1)

    Ta có: \overrightarrow{B'B} = \overrightarrow{I'I} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = - 1 \\ y - 4 = - 1 \\ z + 1 = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy B(1\ ;\ 3\ ;\ 3).

  • Câu 31: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (ABCD) bằng?

    Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (ABCD) bằng:

    (CD',(ABCD)) = (CD',CD) =\widehat{D'CD} = 45^{0}

    (CD',CD) = \widehat{D'CD} =45^{0}

  • Câu 32: Vận dụng

    Tìm tập hợp điểm M trong không gian

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} = \widehat{CMA} = 90^{0}

    Gọi M(x;y;z)

    Ta có: \widehat{AMB} = \widehat{BMC} = \widehat{CMA} = 90^{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0 \\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CM} = 0 \\ \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AM} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + y(y - 2) + z^{2} = 0 \\ x^{2} + y(y - 2) + z(z - 2) = 0 \\ x(x - 2) + y^{2} + z(z - 2) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y - 2z = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y = 0 \\ x = z \\ y = z \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} - 4x = 0 \\ x = y = z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} M(0;0;0) \\ M\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3} ight) \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 33: Nhận biết

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3; - 1) và B( - 4;1;9). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{AB} ?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9 + 1) = ( - 6; - 2;10)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10).

  • Câu 34: Thông hiểu

    Xác định độ lớn góc giữa hai vectơ

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}. Góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA} và \overrightarrow{BC} là:

    Ta có: \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} ight)

    = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}

    = \left| \overrightarrow{SA}ight|.\left| \overrightarrow{SC} ight|.\cos\widehat{ASC} - \left|\overrightarrow{SA} ight|.\left| \overrightarrow{SB}ight|.\cos\widehat{ASB} = 0

    Vậy góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA} và \overrightarrow{BC} là 90^{0}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm D

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; - 4;0),B( - 1;1;3),C(3;1;0). Xác định tọa độ điểm D \in Ox sao cho AD = BC?

    Ta có: D(x;0;0) \in Ox

    Mà AD = BC \Leftrightarrow \sqrt{(x - 3)^{2} + 16} = 5

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow D(0;0;0) \\ x = 6 \Rightarrow D(6;0;0) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: D(0;0;0) hoặc D(6;0;0)

  • Câu 36: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian, với mọi vectơ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} ta có

    Công thức tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân\ ABCD có các đáy lần lượt là AB,CD. Biết A(3;1; - 2), B( - 1;3;2), C( - 6;3;6) và D(a;b;c) với a;b;c\mathbb{\in R}. Tính T = a + b + c.

    Cách 1: Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)

    Do ABCD là hình thang cân nên \overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}\left( k\mathbb{\in R} ight) hay \frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ \end{matrix} ight.. Vậy D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight).

    Lại có

    AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}

    \Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10 \\ \end{matrix} ight..

    Với a = - 10 \Rightarrow D( - 10;5;10). Kiểm tra thấy: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} .

    Với a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; -6).

    Kiểm tra thấy: ( - 3).\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} . Do đó, T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3.

    Cách 2

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)

    Do ABCD là hình thang cân nên \overrightarrow{AB};_{}\overrightarrow{CD} ngược hướng hay \frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2} < 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ a > - 6 \\ \end{matrix} ight.. Vậy D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight) với a > - 6 .

    Lại có

    AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}

    \Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10(L) \\ \end{matrix} ight..

    Với a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; - 6).

    Do đó, T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3.

    Cách 3

    + Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

    + Gọi mp (\alpha) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, suy ra mp (\alpha) đi qua trung điểm I(1\ ;\ 2\ ;0) của đoạn thẳng AB và có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;1\ ;\ 2), suy ra phương trình của mp (\alpha)là: (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    + Vì C,D đối xứng nhau qua mp(\alpha)nên

    D(6\ ;\ - 3\ ;\ - 6) \Rightarrow a = 6;b = - 3;c = - 6 \Rightarrow T = a + b + c = - 3

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABC có A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABC có A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Ta có \overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c).

    Vì H là chân đường cao nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight. và 3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}.

    Do đó H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)

    Vậy \left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oxz).

    Vì A(1;1;1) nên tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oxz) là (1;0;1).

  • Câu 40: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; - 1;5).

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
46 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Xem thêm