VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Tính góc giữa các cặp vectơ

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$
Câu 2: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm A’

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(1;0;1)$ , $B(2;1;2)$ , $D(1; - 1;1)$ , $C'(4;5; - 5)$ . Tọa độ của điểm $A'$ là:
- A.
  $A'(4;6; - 5)$ .
- B.
  $A'( - 3;4; - 1)$ .
- C.
  $A'(3;5; - 6)$ .
- D.
  $A'(3;5;6)$ .
Gọi $A'(a;b;c)$

$ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AB} = (1;1;1)$ , $\overrightarrow{AD} = (0; - 1;0)$ , $\overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6)$

⇒ $\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = (2;5; - 7)$

$\overrightarrow{AA'} = (a - 1;b;c - 1)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 = 2 \\ b = 5 \\ c - 1 = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 5 \\ c = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy: $A'(3;5; - 6)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm Q

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(1; - 1;1)\ ,\ \ N(2;0; - 1)\ ,\ \ P( - 1;2;1)$ . Xét điểm $Q$ sao cho tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành. Tọa độ $Q$ là
- A.
  $( - 2;1;3)$
- B.
  $( - 2;1;3)$
- C.
  $( - 2;1; - 3)$
- D.
  $(4;1;3)$
Gọi $Q(x;y;z).$ Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;1; - 2)\ \ ,\ \ \ \ \overrightarrow{QP} = ( - 1 - x;2 - y;1 - z).$

Tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 2 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Vậy, $Q( - 2;1;3)$ .
Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$
Câu 5: Nhận biết
Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $M(3;4;0)$
- B.
  $N( - 2;0;3)$
- C.
  $P(2;0;0)$
- D.
  $Q(0;4; - 1)$
Ta có: $A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0$ nên điểm cần tìm là $Q(0;4; - 1)$ .
Câu 6: Vận dụng
Tìm khẳng định sai

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $I$ và $K$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABB’A’$ và $BCC'B'$ . Khẳng định nào sau đây sai ?
- A.
  Bốn điểm $I$ , $K$ , $C$ , $A$ đồng phẳng
- B.
  $\overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}$
- C.
  Ba vectơ $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'}$ không đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{BC}$
“Bốn điểm $I$ , $K$ , $C$ , $A$ đồng phẳng ». Đúng vì $\overrightarrow{IK},\overrightarrow{AC}$ cùng thuộc $(B'AC)$

“ $\overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}$ ”. Đúng vì $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)$ $= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}.$

“Ba vectơ $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'}$ không đồng phẳng ». Sai vì $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right).$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} \Rightarrow$ Ba vectơ đồng phẳng.

” $\overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{BC}$ ”. Đúng vì theo câu trên $\Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} = 2\overrightarrow{BC}.$
Câu 7: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}$
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Khi đó:

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}$

Vậy $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$ .
Câu 8: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai vecto

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ .
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$ .
Câu 9: Nhận biết
Xác định mệnh đề không chính xác

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$
Vì tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vậy mệnh đề chưa chính xác là: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $M(2;1;4)$ và $M'(a;b;c)$ là điểm đối xứng cới điểm $M$ qua $Oy$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $- 5$
- C.
  $5$
- D.
  $- 1$
Gọi $H$ là hình chiếu của M trên $Oy$ ta có $H(0;1;0)$ . Do $M'$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ , khi đó $H$ là trung điểm của $M'M$

Suy ra $M'( - 2;1; - 4)$ từ đó $a + b + c = - 5$ .
Câu 11: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm D

Trong không gian vói hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$ , $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$ , đỉnh $A( - 1; - 1;0)$ , phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm $D$ biết hoành độ điểm $B$ lớn hơn hoành độ điểm $A$ .
- A.
  $D( - 2; - 5;1)$ .
- B.
  $D( - 3; - 5;1)$ .
- C.
  $D(2;-5;1)$ .
- D.
  $D(3; - 5;1)$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $CD$ .

Khi đó $H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t) \Rightarrow \overrightarrow{AH}(3 + 2t;2t;3 + t)$ .

Đường thẳng $CD$ có vtcp là: $\overrightarrow{u}(2;2;1)$ . Ta có:

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3$ .

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và song song với $CD \Rightarrow$ phương trình $AB$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a) \Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|$

Theo bài ra ta có: $S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH$ $\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27$ $\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2)$ . Với $a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = 2\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều $ABCD$ với $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $CI;AJ$ ?
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $- \frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{1}{6}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = \frac{a^{2}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

Do đó: $\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight) = - \frac{1}{2}a^{2}$

Ta lại có $AJ = CI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\cos\left( \overrightarrow{CI};\overrightarrow{AJ} ight) = - \frac{2}{3}$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{2}{3}$ .
Câu 13: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trong các vectơ sau, vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{A'D'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{A'C}$ .
Hình vẽ minh họa:
Đáp án cần tìm: $\overrightarrow{A'D'}$
Câu 14: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A(3;5; - 1),\ \ B(7;x;1)$ và $C(9;2;y).$ Để $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $5.$
- B.
  $6.$
- C.
  $4.$
- D.
  $7.$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;x - 5;2),\ \ \overrightarrow{AC} = (6; - 3;y + 1)$

$A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{x - 5}{- 3} = \frac{2}{y + 1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6(x - 5) = - 12 \\ 4(y + 1) = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $x+y=5$
Câu 15: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh đều bằng $a$ và các góc $\widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}$ . Tính góc giữa các cặp đường thẳng $AB$ với $A'D$ ; $AC'$ với $B'D$ .
- A.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 60^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
- B.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 50^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
- C.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 40^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
- D.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 30^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{c}$

Ta có $\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}$ nên

$\cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D} \right) \right|$

$= \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'D} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\left| \overrightarrow{A'D} \right|} = \frac{\left| \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right|}$ .

Để ý rằng $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right| = a$ , $\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) = \frac{a^{2}}{2}$ .

Từ đó $\cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{(AB,A'D)} = 60^{0}$

Ta có $\overrightarrow{AC'} = \overline{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a},\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ , từ đó tính được:

$\overrightarrow{AC'}\overrightarrow{B'D} =\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) = 0$ $\Rightarrow \widehat{(AC',B'D)} =90^{0}$ .
Câu 16: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3;3;4)$
- B.
  $( - 1;1;2)$
- C.
  $(3; - 3;4)$
- D.
  $( - 3;1;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .
Câu 17: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{CA'}$ .
- B.
  $\overrightarrow{CB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CD'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CA}$ .
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .
Câu 18: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(P):y = 0 \Leftrightarrow 0x + 1y + 0z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ .

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x - y + 0z - 2024 = 0 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0.\sqrt{3} + 1.( - 1) + 0.0 = - 1$ .

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{| - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60{^\circ}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính tích vô hướng

Cho hai véc tơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Khi đó, tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right).\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $12$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $11$ .
- D.
  $10$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm câu sai

Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp $ABCD\ .A'B'C'D'$ .
- A.
  $\overrightarrow{AC'}\ = \ \overrightarrow{AB}\ \ + \ \ \overrightarrow{AD}\ + \ \ \overrightarrow{AA'}\$ .
- B.
  $\overrightarrow{BD}\ = \ \overrightarrow{BA}\ \ + \ \ \overrightarrow{BC}\ \ + \ \overrightarrow{BB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CA'}\ = \ \overrightarrow{CB}\ \ + \ \ \overrightarrow{CD}\ + \ \ \overrightarrow{CC'}\$ .
- D.
  $\overrightarrow{C'A'}\ = \ \overrightarrow{C'B'}\ \ + \ \ \overrightarrow{C'D'}$ .
Hình vẽ minh họa

Đáp án $\overrightarrow{AC'}\ = \ \overrightarrow{AB}\ \ + \ \ \overrightarrow{AD}\ + \ \ \overrightarrow{AA'}\$ đúng theo quy tắc hình hộp

Đáp án $\overrightarrow{BD}\ = \ \overrightarrow{BA}\ \ + \ \ \overrightarrow{BC}\ \ + \ \overrightarrow{BB'}$ sai

Đáp án $\overrightarrow{CA'}\ = \ \overrightarrow{CB}\ \ + \ \ \overrightarrow{CD}\ + \ \ \overrightarrow{CC'}\$ đúng theo quy tắc hình hộp

Đáp án $\overrightarrow{C'A'}\ = \ \overrightarrow{C'B'}\ \ + \ \ \overrightarrow{C'D'}$ đúng theo quy tắc hình bình hành
Câu 21: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; - 2;3)$ và $B( - 1;2;5)$ . Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ .
- A.
  $I( - 2;2;1)$ .
- B.
  $I(1;0;4)$ .
- C.
  $I(2;0;8)$ .
- D.
  $I(2; - 2; - 1)$ .
Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ với $A(3; - 2;3)$ và $B( - 1;2;5)$ được tính bởi

$\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;\ 0;4)$ .
Câu 22: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $M$ là trung điểm của $BB'$ . Đặt $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
- B.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

Khi đó:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ .
Câu 23: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $a$ , $b$ , $c$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M(1;3;2)$ đến ba mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ , $(Oyz)$ , $(Oxz)$ . Tính $P = a + b^{2} + c^{3}$ ?
- A.
  $P = 32$ .
- B.
  $P = 18$ .
- C.
  $P = 30$ .
- D.
  $P = 12$ .
Với $A\left( x_{o}\ ;\ y_{o}\ ;\ z_{o} ight) \in (Oxyz)$ .

Khi đó $d\left( A\ ,\ (Oxy) ight) = z_{o}$ , $d\left( A\ ,\ (Oxz) ight) = y_{o}$ , $d\left( A\ ,\ (Oyz) ight) = x_{o}$ .

Theo bài ra ta có:

$a = d\left( M;(Oxy) ight) = 2$ ; $b = d\left( M\ ;(Oyz) ight) = 1$ , $c = d\left( \ M\ ;(Oxz) ight) = 3$ .

$P = a + b^{2} + c^{3} = 2 + 1^{2} + 3^{3} = 30$ .
Câu 24: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0$
Câu 25: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A$ thỏa $\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ và $B(2;1;4)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là
- A.
  $(0; - 4;0)$ .
- B.
  $(4; - 2;8)$ .
- C.
  $( -1;- 1;2)$ .
- D.
  $( - 2; - 2;4)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k} \Rightarrow A(2; - 3;4)$

Suy ra $\overrightarrow{BA} = (2 - 2; - 3 - 1;4 - 4) = (0; - 4;0)$
Câu 26: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Cách 1. Gọi $P$ là trung điểm $CD$ , $I = MP \cap AD$ , $J = IN \cap DD'$ , $K = AC \cap MP$ .

Ta có $MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack$ .

Lại có $d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack$ .

Mặt khác $d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack$ .

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH$ .

Suy ra $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH$ với $AN = \frac{AA'}{2} = 2$ ; $AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .

Cách 2. Đặt các trục $Ox$ , $Oy$ và $Oz$ vào hình như sau

Ta có $M(1;2;0)$ , $N(0;0;2)$ , $B'(0;2;4)$ và $D'(2;0;4)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2)$ , $\overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0)$ và $\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6)$ .

Khi đó :

$d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}$

$= \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .
Câu 27: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.
- A.
  $(1; - 1;2)$ .
- B.
  $(1;1; - 2)$ .
- C.
  $(1;1;2)$ .
- D.
  $(1; - 2;1)$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$
Câu 28: Vận dụng cao
Tìm k để các điểm đồng phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc $AB,BC,CD,DA$ sao cho $\overrightarrow{AM} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BN} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{AQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DP} =k\overrightarrow{DC}$ . Hãy xác định $k$ để $M,N,P,Q$ đồng phẳng.
- A.
  $k = \frac{1}{2}$
- B.
  $k = \frac{1}{3}$
- C.
  $k = \frac{1}{4}$
- D.
  $k = \frac{1}{5}$
Hình vẽ minh họa

Cách 1.

Ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$ .

Lại có $\overrightarrow{BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ do đó $MN//AC$ .

Vậy nếu $M,N,P,Q$ đồng phẳng thì $(MNPQ) \cap (ACD) = PQ \parallel AC$

$\Rightarrow \frac{PC}{PD} = \frac{QA}{QD} = 1$ hay $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} \Rightarrow k = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. Đặt $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c}$ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

$\overrightarrow{MN} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{MP} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{MN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Các điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists x,y:\overrightarrow{MP} = x\overrightarrow{MN} + y\overrightarrow{MQ}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = x\left( - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{c} \right) + y\left( - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} \right)$

Do các vec tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b,}\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng nên điều này tương đương với

$\left\{ \begin{matrix} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3}y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}x = k \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4},y = 1,k = \frac{1}{2}.$
Câu 29: Nhận biết
Chọn phát biểu sai

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 4; - 2;6)$ . Phát biểu nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- D.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = 2\left| \overrightarrow{a} ight|$ .
Dễ thấy $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}$ từ đo suy ra hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left| \overrightarrow{b} ight| = 2\left| \overrightarrow{a} ight|$ .

Lại có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 4) + 1.( - 2) + ( - 3).6 = - 28 eq 0$

Vậy phát biểu sai là: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
Câu 30: Thông hiểu
Tính thể tích tứ diện

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$ . Thể tích tứ diện $OABC$ bằng:
- A.
  $V = \frac{1}{3}$
- B.
  $V = \frac{1}{6}$
- C.
  $V = 1$
- D.
  $V = 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;0;0) \Rightarrow OA = 1 \\ \overrightarrow{OB} = (0;2;0) \Rightarrow OB = 2 \\ \overrightarrow{OC} = (0;0;3) \Rightarrow OC = 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Dễ thấy tứ diện $OABC$ vuông tại $O$ nên

$V_{OABC} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1$

Vậy đáp án đúng là: $V = 1$ .
Câu 31: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm M

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;3)$ và $B(3; - 1;2)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\left( \frac{5}{3};0;\frac{7}{3} \right)$ .
- B.
  $(7; - 4;1)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{1}{2};\frac{5}{4} \right)$ .
- D.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)$ .
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;A;B$ thẳng hàng và $A;B$ nằm cùng phía so với điểm $M$ do $\frac{4MB}{MA}$ dương.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

Vậy B là trung điểm của MA.

Khi đó ta đươc tọa độ điểm $M(7; - 4;1)$ .
Câu 32: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm M

Trong không gian $Oxyz,$ điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều hai điểm $A(4;2; - 1)$ và $B(2;1;0)$ là
- A.
  $M( - 4;0;0).$
- B.
  $M(5;0;0).$
- C.
  $M(4;0;0).$
- D.
  $M( - 5;0;0).$
$M \in Ox \Rightarrow M(x;0;0).$

Ta có: $\overrightarrow{MA} = (4 - x;2; - 1),\ \ \overrightarrow{MB} = (2 - x;1;0)$

$M$ cách đều hai điểm $A,\ \ B$ khi $MA = MB$

$\Leftrightarrow \sqrt{(4 - x)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{(2 - x)^{2} + 1^{2} + 0^{2}}$

$\Leftrightarrow x = 4$
Câu 33: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $90{^\circ}$
- B.
  $60{^\circ}$
- C.
  $45{^\circ}$
- D.
  $120{^\circ}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $EG//AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D\left( - 1;1;\frac{2}{3} ight)$
- B.
  $D(1;3;4)$
- C.
  $D(1;1;4)$
- D.
  $D( - 1; - 3; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;1;4)$
Câu 35: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 1$
- B.
  $U = 3$
- C.
  $U = 2$
- D.
  $U = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 36: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Đáp án là:

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Ta có

$IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} + (17 - 5)^{2}}$

$= \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14$ (m).

Đáp số 14(m).
Câu 37: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{u} = (3\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$ .
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$ .
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$ .
Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$ .
Câu 38: Nhận biết
Xác định tích vô hướng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $11$
- D.
  $10$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$
Câu 39: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = a,SB = b,SC = c$ . Một mặt phẳng $(\alpha)$ luôn đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ , cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A',B',C'$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ .
- A.
  $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- D.
  $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Ta có $3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}$ .

Mà $G,A',B',C'$ đồng phẳng nên $\frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3$ $\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3$

Theo BĐT Cauchy schwarz:

Ta có $\left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

$\frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'}$ kết hợp với $\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3$ ta được;

$SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}$ .

Vậy GTNN của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ là $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
Câu 40: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là
- A.
  $(2;0; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3;0)$ .
- C.
  $(0;2; - 3)$
- D.
  $(2;0;3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{a} = (2;0; - 3)$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện