VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = a,SB = b,SC = c$ . Một mặt phẳng $(\alpha)$ luôn đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ , cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A',B',C'$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ .
- A.
  $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- D.
  $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Ta có $3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}$ .

Mà $G,A',B',C'$ đồng phẳng nên $\frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3$ $\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3$

Theo BĐT Cauchy schwarz:

Ta có $\left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

$\frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'}$ kết hợp với $\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3$ ta được;

$SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}$ .

Vậy GTNN của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ là $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 3: Vận dụng
Chọn khẳng định sai

Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\overrightarrow{,c}$ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Các vectơ $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c};\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 6\overrightarrow{c};\overrightarrow{z} = - \overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 6\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.
- B.
  Các vectơ $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c};\overrightarrow{y} = 3\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c};\overrightarrow{z} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.
- C.
  Các vectơ $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c};\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c};\overrightarrow{z} = - \overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.
- D.
  Các vectơ $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c};\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c};\overrightarrow{z} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.
Các vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}$

Mà : $\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}$ $= m\left( 3\overrightarrow{a}- 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} \right) + n\left(2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}\right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m + 2n = 1 \\ - 3m - 3n = - 2 \\ 2m - 3n = 4 \\ \end{matrix} \right.$ (hệ vô nghiệm)

Vậy không tồn tại hai số $m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}$
Câu 4: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai véc tơ $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ tương ứng là:
- A.
  $( - 6; - 2;4)$ .
- B.
  $( - 6;2;0)$ .
- C.
  $( - 2;1;3)$ .
- D.
  $(1; - 2;5)$ .
Ta có: $2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2)$ .

$\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ .

Suy ra $\overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4)$ .
Câu 5: Nhận biết
Tính độ dài đoạn thẳng OA

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OA$ ?
- A.
  $OA = \sqrt{5}$
- B.
  $OA = 5$
- C.
  $OA = 3$
- D.
  $OA = 9$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3$
Câu 6: Nhận biết
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0; - 3; - m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1$ ?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 3$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 7: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức T

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(3;2; - 1)$ , $B( - 1;0;5)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ khi $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất.
- A.
  2
- B.
  7
- C.
  5
- D.
  10
Gọi $K$ là điểm thỏa: $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow K(1;1;2)$ .

Ta có:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KA} \right) + \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KB} \right) \right|$

$= \left| 2\overrightarrow{MK} + \left( \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} \right) \right| = \left| 2\overrightarrow{MK} \right| = 2MK$ .

Do đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MK$ nhỏ nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Suy ra $M(1;1;0)$ .

Vậy $T = a + b + c = 1 + 1 + 0 = 2$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm Q

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(1; - 1;1)\ ,\ \ N(2;0; - 1)\ ,\ \ P( - 1;2;1)$ . Xét điểm $Q$ sao cho tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành. Tọa độ $Q$ là
- A.
  $( - 2;1;3)$
- B.
  $( - 2;1;3)$
- C.
  $( - 2;1; - 3)$
- D.
  $(4;1;3)$
Gọi $Q(x;y;z).$ Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;1; - 2)\ \ ,\ \ \ \ \overrightarrow{QP} = ( - 1 - x;2 - y;1 - z).$

Tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 2 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Vậy, $Q( - 2;1;3)$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu điểm M

Trong không gian $Oxyz$ , tọa độ hình chiếu của $M( - 2;1;4)$ lên $Oyz$ là
- A.
  $( - 2;0;0)$ .
- B.
  $(0;1;0)$ .
- C.
  $(0;0;4)$ .
- D.
  $(0;1;4)$ .
Tọa độ hình chiếu của $M( - 2;1;4)$ lên $Oyz$ là $(0;1;4)$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;0;1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $A \in (Oyz)$
- B.
  $A \in (Oxy)$
- C.
  $A \equiv O$
- D.
  $A \in (Oxz)$
Vì tọa độ điểm $A(3;0;1)$ có $x = 3;y = 0;z = 1$ nên $A \in (Oxz)$ .
Câu 11: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- B.
  Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.
- C.
  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- D.
  Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Câu 12: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $B(1;2; - 3),C(7;4 - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $E$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB}$ ?
- A.
  $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$
- B.
  $E\left( \frac{8}{3};3; - \frac{8}{3} ight)$
- C.
  $E\left( 3;3; - \frac{8}{3} ight)$
- D.
  $E\left( 1;2;\frac{1}{3} ight)$
Gọi $E(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CE} = (x - 7;y - 4;z + 2) \\ 2\overrightarrow{EB} = (2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{CE} =2\overrightarrow{EB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 7 = 2 - 2x \\y - 4 = 4 - 2y \\z + 2 = - 6 - 2z \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{8}{3} \\z = - \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow E\left( 3;\frac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}ight)$

Vậy điểm E có tọa độ là $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Định các giá trị của x và y

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1;5),B(5; - 5;7),M(x;y;1)$ . Với giá trị nào của $x;y$ thì ba điểm đã cho thẳng hàng?
- A.
  $x = 4;y = 7$
- B.
  $x = - 4;y = - 7$
- C.
  $x = 4;y = - 7$
- D.
  $x = - 4;y = 7$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 4;2) \\ \overrightarrow{AM} = (x - 2;y + 1; - 4) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{- 4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $x = - 4;y = 7$ .
Câu 14: Thông hiểu
Xác định các giá trị nguyên dương của tham số

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (5;3; - 2);\overrightarrow{b} = (m; - 1;m + 3)$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ là góc tù?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $5$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}}$

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ là góc tù khi và chỉ khi

$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) < 0 \Leftrightarrow \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}} < 0$

$\Leftrightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3$

Mà $m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m = \left\{ 1;2 ight\}$

Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy đáp án cần tìm là $2$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vecto

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Tính góc $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right)$ .
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 60{^\circ}$ .
- B.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 120{^\circ}$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 180{^\circ}$ .
Gọi $M$ là trung điểm $CD$ .

Khi đó, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}$

Do tam giác $ACD$ đều nên $AM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Và tam giác $BCD$ đều nên $BM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD} = 0$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ .

Kết luận $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Chọn phát biểu sai

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(2; - 5;4)$ . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
- A.
  Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng tọa độ $(xOz)$ bằng $5$ .
- B.
  Khoảng cách từ $M$ đến trục $Oz$ bằng $\sqrt{29}$ .
- C.
  Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(yOz)$ là $M'(2;5; - 4)$ .
- D.
  Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ là $M'( - 2; - 5; - 4)$ .
+) Ta có khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng tọa độ $(xOz)$ bằng $| - 5| = 5$ nên “Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng tọa độ $(xOz)$ bằng $5$ đúng.

+) Khoảng cách từ $M$ đến trục $Oz$ bằng $\sqrt{2^{2} + ( - 5)^{2}} = \sqrt{29}$ nên “Khoảng cách từ $M$ đến trục $Oz$ bằng $\sqrt{29}$ ” đúng.

+) Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(yOz)$ là $I(0; - 5;4)$ .

Suy ra tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(yOz)$ là $M'( - 2; - 5;4)$ nên “Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(yOz)$ là $M'(2;5; - 4)$ ” sai.

+) Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên trục $Oy$ là $J(0; - 5;0)$ .

Suy ra tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ là $M'( - 2; - 5; - 4)$ nên “Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ là $M'( - 2; - 5; - 4)$ ” đúng.
Câu 17: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{CA'}$ .
- B.
  $\overrightarrow{CB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CD'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CA}$ .
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .
Câu 18: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai vecto

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ .
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; - 1;5),B(m;2;7)$ . Tìm giá trị tham số $m$ để $AB = 7$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
Theo bài ra ta có:

$AB = 7 \Leftrightarrow \sqrt{(m - 3)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = 7$

$\Leftrightarrow (m - 3)^{2} = 36 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 3 = 6 \\ m - 3 = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ . Đặt $\overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c},\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d},$ trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}$ .
- C.
  $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Hình vẽ minh họa

+ Dễ thấy: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 21: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$
Câu 22: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm Q

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $M(1;1;1),\ N(2;3;4),\ P(7;7;5)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ để tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành
- A.
  $Q(6;5;2)$ .
- B.
  $Q( - 6; - 5; - 2)$ .
- C.
  $Q( - 2; - 3; - 4)$ .
- D.
  $Q( - 4; - 3;0)$ .
Minh họa bằng hình vẽ sau:

Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;2;3),\ \overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q} ight)$ .

$MNPQ$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = 7 - x_{Q} \\ 2 = 7 - y_{Q} \\ 3 = 5 - z_{Q} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{Q} = 6 \\ y_{Q} = 5 \\ z_{Q} = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $Q(6;5;2)$ .
Câu 23: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .
Câu 24: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(0; - 2;0)$
- B.
  $C(2;2;2)$
- C.
  $C(2;0;2)$
- D.
  $C(2; - 2;2)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 25: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.
- A.
  $(1; - 1;2)$ .
- B.
  $(1;1; - 2)$ .
- C.
  $(1;1;2)$ .
- D.
  $(1; - 2;1)$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$
Câu 26: Nhận biết
Tìm tọa độ tổng hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; - 4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $( - 2; - 10;3)$
- B.
  $( - 2; - 6;3)$
- C.
  $( - 4; - 8;4)$
- D.
  $( - 2; - 10; - 3)$
Ta có: $3\overrightarrow{v} = ( - 3; - 6;3)$ do đó $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2; - 10;3)$ .
Câu 27: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{OM} = (2x - 4)\overrightarrow{i} -4\overrightarrow{j} + (y - 1) \overrightarrow{k}$ . Khi điểm $M \in Oy$ thì giá trị $x + 2y$ bằng?
- A.
  $2$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OM} = (2x - 4)\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} + (y - 1)\overrightarrow{k} \\ M \in Oy \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 4 = 0 \\ y - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x + 2y = 4$
Câu 28: Thông hiểu
Xác định giá trị của k

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ CÓ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = k.\overrightarrow{AC'}$ . Giá trị của $k$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}$

Vậy $k = 1$ .
Câu 29: Vận dụng
Chọn đẳng thức đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Một mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại $A',B',C',D'$ .Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\frac{SA}{SA'} + 2\frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + 2\frac{SD}{SD'}$
- B.
  $\frac{SA}{SA'} + \frac{SC}{2SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{2SD'}$
- C.
  $\frac{SA}{SA'} + \frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'}$
- D.
  $\frac{SA}{SA'} - \frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} - \frac{SD}{SD'}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}$

$\Leftrightarrow \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SC'} = \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}$

Do $A',B',C',D'$ đồng phẳng nên đẳng thức trên $\Leftrightarrow \frac{SA}{SA'} + \frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'}$ .
Câu 30: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng: $90^{0}$ .
Câu 31: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng là:
- A.
  Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
- B.
  Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.
- D.
  Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 32: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{u} = (3\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$ .
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$ .
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$ .
Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$ .
Câu 33: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AD;BC$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $AM = 3MD;BN = 3NC$ . Gọi $P;Q$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{MN};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của $PD;QC$

$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng sai vì $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BN} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ 3\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{MD} + 3\overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{BN} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ suy ra $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng.
Câu 35: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $90{^\circ}$
- B.
  $60{^\circ}$
- C.
  $45{^\circ}$
- D.
  $120{^\circ}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $EG//AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}$
Câu 36: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm B’

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 37: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Câu 38: Nhận biết
Tìm m thỏa mãn điều kiện

Trong không gian $Oxyz$ cho $2$ véc tơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Tìm $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right) = 90{^\circ}$ .
- A.
  $m = - 5$ .
- B.
  $m = 5$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = - 2$
Ta có:

$\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90{^\circ} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$

$\Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$ .
Câu 39: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E,F$ là các điểm thỏa nãm $\overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC}$ còn $P,Q,R$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{PA} = l\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QE} = l\overrightarrow{QF},\overrightarrow{RB} = l\overrightarrow{RC}$ . Chứng minh ba điểm $P,Q,R$ thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  P, Q, R thẳng hàng
- B.
  P, Q, R không đồng phẳng
- C.
  P, Q, R không thẳng hàng
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EQ}\ \ (1)$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FQ}\ \ (2)$

Từ $(2)$ ta có $l\overrightarrow{PQ} = l\overrightarrow{PD} + l\overrightarrow{DF} + l\overrightarrow{FQ}\ \ \ \ (3)$

Lấy $(1) - (3)$ theo vế ta có

$(1 - l)\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AE} - l\overrightarrow{DF}$

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}$

Tương tự $\overrightarrow{QR} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{FC}$

Mặt khác $\overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC}$ nên

$\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 -l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}$ $= \frac{-k}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{kl}{1 - l}\overrightarrow{FC} = -k\overrightarrow{QR}$

Vậy $P,Q,R$ thẳng hàng.
Câu 40: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 \right)$ , hai đỉnh $B\ ,\ C$ thuộc trục $Oz$ và $AA' = 1$ ( $C$ không trùng với $O$ ). Biết véctơ $\overrightarrow{u} = (a\ ;\ b\ ;\ 2)$ với $a\ ,\ b\mathbb{\in R}$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ . Tính $T = a^{2} + b^{2}$ .
- A.
  $T = 5$ .
- B.
  $T = 16$ .
- C.
  $T = 4$ .
- D.
  $T = 9$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

Khi đó có $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot A'M$ tại $M \Rightarrow M$ là hình chiếu của $A'$ trên trục $Oz$

$A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 ight) \Rightarrow M(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $A'M = 2$ .

Ta có: $AM = \sqrt{A'M^{2} - A{A'}^{2}} = \sqrt{3}$ .

Mà tam giác $ABC$ đều nên $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3} \Rightarrow BC = 2 \Rightarrow MC = 1$ .

Vì $C$ thuộc trục $Oz$ và $C$ không trùng với $O$ nên gọi $C(0\ ;\ 0\ ;\ c)$ , $c eq 0$ .

$\overrightarrow{MC} = (0\ ;\ 0\ ;\ c - 1)$ $\Rightarrow MC = |c - 1|$ ; $MC = 1$ $\Leftrightarrow |c - 1| = 1$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0\ (L) \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow C(0\ ;\ 0\ ;\ 2)$ .

$\overrightarrow{A'C} = \left( -\sqrt{3} ; 1 ;1 ight)$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{u} = \left( - 2\sqrt{3}\ ;\ 2\ ;\ 2 ight)$ cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ .

Vậy $a = - 2\sqrt{3};\ \ b = 2 \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} = 16.$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện