VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ , $B(2\ ;\ 1\ ;\ - 3)$ và $C(1\ ;\ - 1\ ;\ 0)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $D(0\ ;\ 2\ ;\ - 1)$ .
- B.
  $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .
- C.
  $D( - 2\ ;\ 2\ ;\ 5)$ .
- D.
  $D(2\ ;\ 2\ ;\ - 5)$ .
Gọi $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ ; $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ 1\ ;\ - 5)$ ; $\overrightarrow{AC} = (2\ ;\ - 1\ ;\ - 2)$

Vì $\frac{3}{2} eq \frac{1}{- 1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương $\overrightarrow{AC} \Rightarrow$ tồn tại hình bình hành $ABCD$ .

Suy ra $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 = 1 - a \\ 1 = - 1 - b \\ - 5 = - c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = - 2 \\ c = 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .
Câu 2: Nhận biết
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(5; - 2;0),B( - 2;3;0),C(0;2;3)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(1;2;1)$
- B.
  $G(2;0; - 1)$
- C.
  $G(1;1;1)$
- D.
  $G(1;1; - 2)$
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{5 + ( - 2) + 0}{3} = 1\\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 3 + 2}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1;1;1)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(1;1;1)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C’

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ với các điểm $A( - 1;1;2)$ , $B( - 3;2;1)$ , $D(0; - 1;2)$ và $A^{'}(2;1;2)$ . Tìm tọa độ đỉnh $C^{'}$ .
- A.
  $C'(1;0;1)$ .
- B.
  $C'( - 3;1;3)$ .
- C.
  $C'( 0 ; 1; 0 )$ .
- D.
  $C'( - 1;3;1)$ .
Hình vẽ minh họa

.

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C^{'}} + 1 = 2 \\ y_{C^{'}} - 1 = - 1 \\ z_{C^{'}} - 2 = - 1 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C^{'}} = 1 \\ y_{C^{'}} = 0 \\ z_{C^{'}} = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow C'(1;0;1) ight.\ ight.$
Câu 4: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 1$
- B.
  $U = 3$
- C.
  $U = 2$
- D.
  $U = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A$ thỏa $\overrightarrow{AO} = 4\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{j}$ và $B(1;2; - 1)$ . Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ là
- A.
  $(1;0;3)$ .
- B.
  $(0;2;4)$ .
- C.
  $(0; - 2; - 4)$ .
- D.
  $( - 1;0; - 3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{AO} = 4\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{j} \Rightarrow A(0;2; - 4)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1;0;3)$
Câu 6: Vận dụng cao
Tính x; y theo k để ba điểm thẳng hàng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và các điểm $M,N,P$ xác định bởi

$\overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB'}(k \neq 0),\overrightarrow{NB} = x\overrightarrow{NC'},\overrightarrow{PC} = y\overrightarrow{PD'}$ . Hãy tính $x,y$ theo $k$ để ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng.
- A.
  $x = \frac{2 + k}{2 - k},y = - \frac{2}{k}$
- B.
  $x = \frac{1 + 2k}{1 - 2k},y = - \frac{1}{2k}$
- C.
  $x = \frac{\frac{1}{2} + k}{2 - k},y = - \frac{1}{2k}$
- D.
  $x = \frac{1 + k}{1 - k},y = - \frac{1}{k}$
Hình vẽ minh họa

Đặt $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}$ .

Từ giả thiết ta có :

$\overrightarrow{AM} = \frac{k}{k - 1}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (1)$

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{b}+ \frac{x}{x - 1}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) (2)$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\frac{y}{y - 1}\left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\right)(3)$

Từ đó ta có

$\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}$ $= \frac{x}{x -1}\overrightarrow{a} - \frac{1}{k - 1}\overrightarrow{b} + \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}$

$+ \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{y}{y - 1} \right)\overrightarrow{c}$ .

$\overrightarrow{MP} =\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}$ $= \overrightarrow{a} -(\frac{y}{y - 1} + \frac{1}{k - 1})\overrightarrow{b} + \left(\frac{y}{y - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}$

Ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại $\lambda$ sao cho $\overrightarrow{MN} = \lambda\overrightarrow{MP}\ \ (*)$ .

Thay các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ vào $(*)$ và lưu ý $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng ta tính được $x = \frac{1 + k}{1 - k},y = - \frac{1}{k}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A( - 1;2;0),\ B(3;4; - 2)$ và $C(1;0; - 3).$ Biết tọa độ điểm $D\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ để tứ giác $BACD$ là hình bình hành. Tính $x_{0} + y_{0} + z_{0}?$
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $- 5$
- D.
  $- 8$
Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 4; - 2;2) \\ \overrightarrow{DC} = \left( 1 - x_{0}; - y_{0}; - 3 - z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Để tứ giác $BACD$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - x_{0} = - 4 \\ - y_{0} = - 2 \\ - 3 - z_{0} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 5 \\ y_{0} = 2 \\ z_{0} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} = 5 + 2 + ( - 5) = 2.$
Câu 8: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai véc tơ $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ tương ứng là:
- A.
  $( - 6; - 2;4)$ .
- B.
  $( - 6;2;0)$ .
- C.
  $( - 2;1;3)$ .
- D.
  $(1; - 2;5)$ .
Ta có: $2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2)$ .

$\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ .

Suy ra $\overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4)$ .
Câu 9: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là
- A.
  $(1; - 2; - 3)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(0;2;3)$ .
- D.
  $( - 1; - 2; - 3)$ .
Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1;0; - 2)$ . Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{c} = (2;0; - 4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{d} = \left( - \frac{1}{2};0;1 ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ .
Ta có: $\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ cùng phương với mọi vectơ

Lại có $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.$

Vậy vectơ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .
Câu 11: Vận dụng
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$ thì $ABCD$ là hình thang.
- B.
  Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$ .
- C.
  Nếu $ABCD$ là hình thang thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$ .
- D.
  Nếu $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$ thì $ABCD$ là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

“Nếu $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$ thì $ABCD$ là hình thang » Đúng

Vì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$ và $SC\bot(BIH)$ .

Vì $O,A,C$ và $BIH$ thẳng hàng nên đặt $\overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OC};OB = m\overrightarrow{OD}$

$\Rightarrow (k + 1)\overrightarrow{OC} + (m + 1)\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .

Mà $\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}$ không cùng phương nên $k = - 2$ và $m = - 2$

$\Rightarrow \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = 2 \Rightarrow AB//CD.$

“Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$ .“. Đúng.

Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm $O$ vào vế trái.

“Nếu $ABCD$ là hình thang thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$ . ». Sai.

Vì nếu $ABCD$ là hình thang cân có 2 đáy là $AD,BC$ thì sẽ sai.

“Nếu $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$ thì $ABCD$ là hình bình hành ». Đúng.

Tương tự đáp án A với $k = - 1,m = - 1 \Rightarrow O$ là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 12: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1\ ;\ \ 5\ ;\ 0)$ , $B(3\ ;\ 3\ ;\ 6)$ và đường thẳng $d:\ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ . Điểm $M(a\ ;\ b\ ;\ c)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Khi đó biểu thức $a + 2b + 3c$ bằng
- A.
  $5$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $9$ .
- D.
  $3$ .
Ta có $AB = \sqrt{44}$ không đổi.

Do đó chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất khi $(MA + MB)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$M \in (d) \Rightarrow M( - 1 + 2t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t)$ .

$MA = \sqrt{9t^{2} + 20} = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ , $MB = \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ .

Chọn $\overrightarrow{u} = \left( 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ .

Chọn $\overrightarrow{v} = \left( 6 - 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6\ ;\ 4\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}$ .

Theo tính chất vecto $\left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v}$ $\Leftrightarrow t = 1$ .

Suy ra $MA + MB = \left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq 2\sqrt{29}$ .

Do đó $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{29}$ khi $t = 1$ $\Rightarrow$ $M(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ .

Vậy $a + 2b + 3c = 1 + 2.0 + 3.2 = 7$ .
Câu 13: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá song song với nhau.
- B.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá nằm trong một mặt phẳng.
- C.
  Nếu ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
- D.
  Nếu giá của ba vectơ đôi một vuông góc thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = 1$ và hai vectơ $\overrightarrow{u} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$
- A.
  $\alpha = 90^{o}$ .
- B.
  $\alpha = 180^{o}$ .
- C.
  $\alpha = 60^{o}$ .
- D.
  $\alpha = 45^{o}$ .
Ta có $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} ight)\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow{a}}^{2} - \frac{13}{5}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} - 3{\overrightarrow{b}}^{2} = 0$

$\overset{\left| \overrightarrow{a} ight| = \left| \overrightarrow{b} ight| = 1}{ightarrow}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 1$

Suy ra $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = - 1 \Rightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 180^{0}$
Câu 15: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 3;4;0)$ và $\overrightarrow{b} = (5;0;12)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{3}{13}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{5}{6}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{5}{6}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{3}{13}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = - \frac{3}{13}$
Câu 16: Thông hiểu
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (2; - 3;3)$ , $\overrightarrow{b} = (0;2; - 1)$ , $\overrightarrow{c} = (3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ .
- A.
  $(10; - 2;13)$ .
- B.
  $( - 2;2; - 7)$ .
- C.
  $( - 2; - 2;7)$ .
- D.
  $(-2; 2; 7)$ .
Ta có:

$2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6)$

$3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3)$

$- 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)$ .
Câu 17: Nhận biết
Tính tích vô hướng hai vectơ

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2)$ . Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?
- A.
  $- 6$
- B.
  $- 14$
- C.
  $14$
- D.
  $6$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6$
Câu 18: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = a,SB = b,SC = c$ . Một mặt phẳng $(\alpha)$ luôn đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ , cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A',B',C'$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ .
- A.
  $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- D.
  $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Ta có $3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}$ .

Mà $G,A',B',C'$ đồng phẳng nên $\frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3$ $\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3$

Theo BĐT Cauchy schwarz:

Ta có $\left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

$\frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'}$ kết hợp với $\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3$ ta được;

$SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}$ .

Vậy GTNN của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ là $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
Câu 19: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật $OABC.EFGH$ có các cạnh $OA = 5$ , $OC = 8$ , $OE = 7$ (xem hình vẽ dưới đây). Tọa độ $H(x;y;z)$ . Tính giá trị biểu thức $P = 50x + 75y + 1000z$
- A.
  7600
- B.
  6580
- C.
  7134
- D.
  6783
Ta có $H \in (yOz)$ và hình chiếu của $H$ lên $Oy$ trùng với $C$ nên $H(0;\ 8;\ 7)$ .

$P = 50x + 75y + 1000z = 50.0 + 75.8 + 1000.7 = 7600$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ , $G$ là trung điểm của $IJ$ . Cho các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{IJ}$
- C.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{JI}$
- D.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = - 2\overrightarrow{JI}$
Ta có:

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}$

$= \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} ight) + \left( \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} ight)$

$= 2\overrightarrow{GI} + 2\overrightarrow{GJ} = 2\left( \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GJ} ight) = \overrightarrow{0}$ .
Câu 21: Nhận biết
Chọn phân tích đúng

Cho tứ diện $OABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .Phân tích nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
- D.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{3}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
Câu 22: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2)$ và $B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Giá trị của $a - b + c$ bằng
- A.
  1.
- B.
  3.
- C.
  2.
- D.
  0.
Tính được $OA = 3;OB = 4;AB = 5$

Ta có: $OA.\overrightarrow{IB} + OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\ 3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\ 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy, $I(1;1;0)$ , suy ra $a - b + c = 0$ .
Câu 23: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng độ dài bằng $6$ . Biết độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ bằng $6\sqrt{3}$ . Biết số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $x$ độ. Giá trị của $x$ là bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng độ dài bằng $6$ . Biết độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ bằng $6\sqrt{3}$ . Biết số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $x$ độ. Giá trị của $x$ là bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 24: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)$
Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} ight)$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Khi đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$ bằng.
- A.
  $4\overrightarrow{OS}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{SO}$ .
- C.
  $2\overrightarrow{SO}$ .
- D.
  $3\overrightarrow{SO}$ .
Do $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$

$= \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= 4\overrightarrow{SO}$
Câu 26: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm D

Trong không gian vói hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$ , $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$ , đỉnh $A( - 1; - 1;0)$ , phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm $D$ biết $x_{B} > x_{A}$ .
- A.
  $D( - 2; - 5;1)$ .
- B.
  $D( - 3; - 5;1)$ .
- C.
  $D(2;-5;1)$ .
- D.
  $D(3; - 5;1)$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $CD$ .

Khi đó $H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t)$ .

Đường thẳng $CD$ có vtcp là: $\overrightarrow{u}(2;2;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3$ .

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và song song với $CD \Rightarrow$ phương trình $AB$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a)$ $\Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|$

Theo bài ra ta có:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH$ $\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27$ $\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2)$ .

Với $a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)$
Câu 27: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A(3;5; - 1),\ \ B(7;x;1)$ và $C(9;2;y).$ Để $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $5.$
- B.
  $6.$
- C.
  $4.$
- D.
  $7.$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;x - 5;2),\ \ \overrightarrow{AC} = (6; - 3;y + 1)$

$A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{x - 5}{- 3} = \frac{2}{y + 1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6(x - 5) = - 12 \\ 4(y + 1) = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $x+y=5$
Câu 28: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là
- A.
  $(2;0; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3;0)$ .
- C.
  $(0;2; - 3)$
- D.
  $(2;0;3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{a} = (2;0; - 3)$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(1;8; - 2)$
- B.
  $D(11;2;2)$
- C.
  $D(1;8;2)$
- D.
  $D(11;2; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 30: Thông hiểu
Xác định tọa độ vector

Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.
- A.
  (0;435;0).
- B.
  (455;0;0).
- C.
  (0;455;0).
- D.
  (435;0;0).
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Câu 31: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(3; - 4;0),B( - 1;1;3),C(3;1;0)$ . Xác định tọa độ điểm $D \in Ox$ sao cho $AD = BC$ ?
- A.
  $D(6;0;0)$ hoặc $D(12;0;0)$
- B.
  $D( - 2;1;0)$ hoặc $D( - 4;0;0)$
- C.
  $D(0;0;0)$ hoặc $D(6;0;0)$
- D.
  $D(0;0;0)$ hoặc $D( - 6;0;0)$
Ta có: $D(x;0;0) \in Ox$

Mà $AD = BC \Leftrightarrow \sqrt{(x - 3)^{2} + 16} = 5$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow D(0;0;0) \\ x = 6 \Rightarrow D(6;0;0) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $D(0;0;0)$ hoặc $D(6;0;0)$
Câu 32: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Trong không gian, với mọi vectơ $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ ta có
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
Công thức tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})$ .
Câu 33: Vận dụng
Phân tích vectơ

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Điểm $M$ được xác định bởi đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M$ là tâm của mặt đáy $ABCD$ .
- B.
  $M$ là tâm của mặt đáy $A'B'C'D'$ .
- C.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
- D.
  Tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng nối hai tâm của mặt đáy.
Gọi $\left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}$

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}$

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của $OO'$ .
Câu 34: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 8$
- B.
  $2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$
- D.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{11}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1;1)$ suy ra “ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$ ” là khẳng định sai.
Câu 35: Thông hiểu
Tính số đo góc B

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa các điểm $A( - 1; - 2;4),B( - 4; - 2;0),C(3; - 2;1)$ . Tính số đo góc $B$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = (3;0;4) \\ \overrightarrow{BC} = (7;0;1) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \cos\widehat{B} = \cos\left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|}$

$= \frac{3.7 + 0.0 + 4.1}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}}.\sqrt{7^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \widehat{B} = 45^{0}$
Câu 36: Nhận biết
Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $M(3;4;0)$
- B.
  $N( - 2;0;3)$
- C.
  $P(2;0;0)$
- D.
  $Q(0;4; - 1)$
Ta có: $A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0$ nên điểm cần tìm là $Q(0;4; - 1)$ .
Câu 37: Nhận biết
Chọn kết quả chính xác

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Khi đó $\left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} \right|^{2}$ bằng
- A.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 2{\overrightarrow{v}}^{2} - 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
- B.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2} + 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
- C.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2}$ .
- D.
  $4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight)$ .
Ta có $\left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2} + 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
Câu 38: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trong các vectơ sau, vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{A'D'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{A'C}$ .
Hình vẽ minh họa:
Đáp án cần tìm: $\overrightarrow{A'D'}$
Câu 39: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ .
- C.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ thì $B$ là trung điểm của $AC$ .
- D.
  Cho $d \subset (\alpha);d \subset (\beta)$ . Nếu mặt phẳng $(\alpha)\bot(\beta)$ thì $d\bot d'$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$ (với $m;n$ duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

Vậy đáp án đúng là: “Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.”
Câu 40: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(2; - 1; - 3)$
- B.
  $( - 3;2; - 1)$
- C.
  $( - 1;2; - 3)$
- D.
  $(2; - 3; - 1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện