VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Nhận biết
Chọn phân tích đúng

Cho tứ diện $OABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .Phân tích nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
- D.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{3}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $M(2;1;4)$ và $M'(a;b;c)$ là điểm đối xứng cới điểm $M$ qua $Oy$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $- 5$
- C.
  $5$
- D.
  $- 1$
Gọi $H$ là hình chiếu của M trên $Oy$ ta có $H(0;1;0)$ . Do $M'$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ , khi đó $H$ là trung điểm của $M'M$

Suy ra $M'( - 2;1; - 4)$ từ đó $a + b + c = - 5$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai véc tơ $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ tương ứng là:
- A.
  $( - 6; - 2;4)$ .
- B.
  $( - 6;2;0)$ .
- C.
  $( - 2;1;3)$ .
- D.
  $(1; - 2;5)$ .
Ta có: $2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2)$ .

$\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ .

Suy ra $\overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm D

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(2;0;0)$
- B.
  $D(1;1;1)$
- C.
  $D(0;0;1)$
- D.
  $D(0;2;1)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .
Câu 5: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{u} = (3\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$ .
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$ .
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$ .
Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(2; - 1; - 3)$
- B.
  $( - 3;2; - 1)$
- C.
  $( - 1;2; - 3)$
- D.
  $(2; - 3; - 1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .
Câu 7: Vận dụng
Tìm tọa độ chân đường phân giác

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
- B.
  $\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
- C.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
- D.
  $( - 2;11;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$
Câu 8: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}$
Ta có: $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

Do đó $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
Câu 9: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$
Câu 10: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(3; - 2;1),N(1;0; - 3)$ . Gọi $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $M'N'$ bằng:
- A.
  $M'N' = 8$
- B.
  $M'N' = 4$
- C.
  $M'N' = 2\sqrt{6}$
- D.
  $M'N' = 2\sqrt{2}$
Vì $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ nên $M'(3; - 2;0),N'(1;0;0)$ suy ra $\overrightarrow{M'N'} = ( - 2;2;0)$

$\Rightarrow M'N' = 2\sqrt{2}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Xác định giá trị tham sốk

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , biết $\left| \overrightarrow{u} \right| = 2$ ; $\left| \overrightarrow{v} \right| = 1$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng $\frac{2\pi}{3}$ . Tìm $k$ để vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ .
- A.
  $k = \frac{2}{5}$ .
- B.
  $k = \frac{5}{2}$ .
- C.
  $k = 2$ .
- D.
  $k = - \frac{2}{5}$ .
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.1.cos\left( \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} ight) = 2.cos\frac{2\pi}{3} = - 1$ .

Vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} = \left( k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight) = 0$

$\Leftrightarrow k{\overrightarrow{u\ }}^{2} + (1 - k)\overrightarrow{u\ }.\overrightarrow{v\ } - {\overrightarrow{v\ }}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 4k - (1 - k) - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$ .
Câu 12: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Khi đó:
- A.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{DG}$ .
- B.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{GD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =2\overrightarrow{DG}$ .
- D.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{DG}$ .
Ta có:

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GD} +\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + 3\overrightarrow{GD} =\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - 3\overrightarrow{DG} =\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{DG}$ .
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z - 3 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight)$
- B.
  $\left( 1; - 1; - \frac{3}{2} ight)$
- C.
  $(1;6;1)$
- D.
  $(0;3;0)$
Xét điểm $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight)$ ta có: $1 - 1 + 2.\frac{3}{2} - 3 = 0$ đúng nên $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight) \in (\alpha)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 2;3;3)$ . Điểm $M(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCM$ . Khi đó giá trị biểu thức $T = a + b - c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $T = - 4$
- B.
  $T = 8$
- C.
  $T = 10$
- D.
  $T = 4$
Gọi tọa độ điểm $M(x;y;z)$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 - x = 1 \\ 3 - y = - 3 \\ 3 - z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 6 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $M( - 3;6; - 1)$

Khi đó $T = a + b - c = - 3 + 6 - ( - 1) = 4$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện $SABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ ; $AC^{2} + AB^{2} = BC^{2}$ suy ra $AC\bot AB$ . Ta có:
$\cos\left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) =\frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|} =\frac{\left( \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}ight).\overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{SC} ight|.\left|\overrightarrow{AB} ight|}$
$=\dfrac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^{2}} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2} + 0}{a^{2}} = - \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ . Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là $180^{0}- 120^{0} = 60^{0}$
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A( - 2;3;4),B(8; - 5;6)$ . Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm nào dưới đây?
- A.
  $N(3; - 1;5)$ .
- B.
  $M(0; - 1;5)$ .
- C.
  $Q(0;0;5)$
- D.
  $P(3;0;0)$
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên $I(3; - 1;5)$ .

Khi đó hình chiếu của I lên $(Oyz)$ là $M(0; - 1;5)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} = 2\overrightarrow{B_{1}D}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABEF$ và $K$ là tâm của hình bình hành $BCGF$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{EK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GC}$ đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa

Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)

Mà GF // (ABCD); $BD \subset (ABCD)$ suy ra $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
Câu 19: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm M

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;3)$ và $B(3; - 1;2)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\left( \frac{5}{3};0;\frac{7}{3} \right)$ .
- B.
  $(7; - 4;1)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{1}{2};\frac{5}{4} \right)$ .
- D.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)$ .
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;A;B$ thẳng hàng và $A;B$ nằm cùng phía so với điểm $M$ do $\frac{4MB}{MA}$ dương.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

Vậy B là trung điểm của MA.

Khi đó ta đươc tọa độ điểm $M(7; - 4;1)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y} = (1;0; - 1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (4;1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{a} = (3;1; - 4)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (0;1; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{a} = (4;1; - 5)$
Ta có: $2\overrightarrow{y} = (2;0; - 2)$ . Khi đó $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) = (4;1; - 5)$ .

Vậy $\overrightarrow{a} = (4;1; - 5)$
Câu 21: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D\left( - 1;1;\frac{2}{3} ight)$
- B.
  $D(1;3;4)$
- C.
  $D(1;1;4)$
- D.
  $D( - 1; - 3; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;1;4)$
Câu 22: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(3; - 2;5)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là:
- A.
  $(3;0;5)$ .
- B.
  $(3; - 2;0)$ .
- C.
  $(0; - 2;5)$ .
- D.
  $(0;2;5)$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(3; - 2;5)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tọa độ $(3;0;5)$ .
Câu 23: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = a,SB = b,SC = c$ . Một mặt phẳng $(\alpha)$ luôn đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ , cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A',B',C'$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ .
- A.
  $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- D.
  $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Ta có $3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}$ .

Mà $G,A',B',C'$ đồng phẳng nên $\frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3$ $\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3$

Theo BĐT Cauchy schwarz:

Ta có $\left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

$\frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'}$ kết hợp với $\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3$ ta được;

$SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}$ .

Vậy GTNN của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ là $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
Câu 24: Vận dụng cao
Tìm k để các điểm đồng phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc $AB,BC,CD,DA$ sao cho $\overrightarrow{AM} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BN} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{AQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DP} =k\overrightarrow{DC}$ . Hãy xác định $k$ để $M,N,P,Q$ đồng phẳng.
- A.
  $k = \frac{1}{2}$
- B.
  $k = \frac{1}{3}$
- C.
  $k = \frac{1}{4}$
- D.
  $k = \frac{1}{5}$
Hình vẽ minh họa

Cách 1.

Ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$ .

Lại có $\overrightarrow{BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ do đó $MN//AC$ .

Vậy nếu $M,N,P,Q$ đồng phẳng thì $(MNPQ) \cap (ACD) = PQ \parallel AC$

$\Rightarrow \frac{PC}{PD} = \frac{QA}{QD} = 1$ hay $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} \Rightarrow k = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. Đặt $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c}$ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

$\overrightarrow{MN} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{MP} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{MN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Các điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists x,y:\overrightarrow{MP} = x\overrightarrow{MN} + y\overrightarrow{MQ}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = x\left( - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{c} \right) + y\left( - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} \right)$

Do các vec tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b,}\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng nên điều này tương đương với

$\left\{ \begin{matrix} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3}y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}x = k \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4},y = 1,k = \frac{1}{2}.$
Câu 25: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2;2;0);\overrightarrow{b} = (2;2;0);\overrightarrow{c} = (2;2;2)$ . Khi đó giá trị của $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight|$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $9$
- B.
  $15$
- C.
  $2\sqrt{11}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = ( - 2 + 2 + 2;2 + 2 + 2;0 + 0 + 2) = (2;6;2)$ .

Khi đó $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{11}$

Vậy đáp án cần tìm là: $2\sqrt{11}$
Câu 26: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A(1;1;1)$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ .
- A.
  $(1;1;0)$ .
- B.
  $(0;1;1)$ .
- C.
  $(1;0;1)$ .
- D.
  $(0;1;0)$ .
Vì $A(1;1;1)$ nên tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là $(1;0;1)$ .
Câu 27: Vận dụng
Chọn phương án thíchhợp

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;0;2)$ , $B(3;1;4)$ , $C(3; - 2;1)$ . Tìm tọa độ điểm $S$ , biết $SA$ vuông góc với $(ABC)$ , mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC$ có bán kính bằng $\frac{3\sqrt{11}}{2}$ và $S$ có cao độ âm.
- A.
  $S(4;6; - 4)$ .
- B.
  $S(4; - 6; - 4)$ .
- C.
  $S( - 4;6; - 4)$ .
- D.
  $S( - 4; - 6; - 4)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2)$ , $\overrightarrow{AC} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).$

Do $SA$ vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng $SA$ được chọn là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).$

Đường thẳng $SA$ qua $A(1;0;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (3;6; - 6)$ nên có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 6t \\ z = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 - 2 - 2 = 0 \Rightarrow AB\bot AC \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$ .

Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ khi đó $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $d$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$ nên $d\bot(ABC)$ , suy ra $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ .

Trong mặt phẳng $(SAM)$ vẽ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$ và cắt $SA$ tại $N$ .

Mặt phẳng $(ABC)$ qua $A$ và có một VTPT $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6)$ nên có phương trình tổng quát là:

$3(x - 1) + 6y - 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0$

$\overrightarrow{BC} = (0; - 3; - 3) \Rightarrow BC = \sqrt{18} \Rightarrow BC^{2} = 18$ .

Ta có $R^{2} = IA^{2} + AM^{2} \Leftrightarrow \frac{99}{4} = IM^{2} + \frac{1}{4}BC^{2} \Rightarrow IM = \frac{9}{2}$ .

Do $S \in SA$ nên $S(1 + 3t;6t;2 - 6t)$ , mà $SA = 2IM \Rightarrow SA = 9$

$\Leftrightarrow d\left( S,(ABC) ight) = 9$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 1 + 3t + 12t - 2(2 - 6t) + 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 9$

$\Leftrightarrow |27t| = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow S(4;6; - 4) \\ t = - 1 \Rightarrow S( - 2; - 6;8) \\ \end{matrix} ight.$ , mà cao độ của $S$ âm nên $S(4;6; - 4)$ thỏa mãn.
Câu 28: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 29: Thông hiểu
Xác định số mệnh đề đúng

Cho các mệnh đề sau:

(I) Vectơ $\overrightarrow{x} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ luôn đồng phẳng với hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ .

(II) Nếu có $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ và ít nhất một trong ba số $m;n;p$ khác không thì ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

(III) Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng và $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ thì $m = n = p = 0$ .

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Do $\overrightarrow{x}$ được biểu thị qua hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ nên (I) đúng.

Xét mệnh đề (II): Giả sử $m eq 0$ , khi đó:

$m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = - \frac{n}{m}\overrightarrow{b} -\frac{p}{m}\overrightarrow{c}$

Suy ra ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.

Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Câu 30: Thông hiểu
Tìm đẳng thức đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} ight)$ .
Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$

Mà $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC_{1}}$ nên $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} ight)$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;1; - 4),B(2;1; - 2),C(1;1; - 3)$ . Tìm điểm $M \in Ox$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $M(2;0;0)$
- B.
  $M( - 2;0;0)$
- C.
  $M(6;0;0)$
- D.
  $M(0;2;0)$
Vì $M \in Ox$ suy ra $M(m;0;0)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (3 - m;1; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (2 - m;1; - 2) \\ \overrightarrow{MC} = (1 - m;1; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \sqrt{(6 - 3m)^{2} + 3^{2} + ( - 9)^{2}}$

$= \sqrt{9m^{2} - 36m + 126} = \sqrt{9(m - 2)^{2} + 90} \geq 3\sqrt{10};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ nhỏ nhất bằng $3\sqrt{10}$ khi $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ . Hay $M(2;0;0)$
Câu 32: Vận dụng
Phân tích vectơ

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Điểm $M$ được xác định bởi đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M$ là tâm của mặt đáy $ABCD$ .
- B.
  $M$ là tâm của mặt đáy $A'B'C'D'$ .
- C.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
- D.
  Tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng nối hai tâm của mặt đáy.
Gọi $\left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}$

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}$

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của $OO'$ .
Câu 33: Nhận biết
Chọn đáp án sai

Tính chất nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} ight)$
- D.
  $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Tính chất sai là: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
Câu 34: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; - 2;3)$ và $B( - 1;2;5)$ . Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ .
- A.
  $I( - 2;2;1)$ .
- B.
  $I(1;0;4)$ .
- C.
  $I(2;0;8)$ .
- D.
  $I(2; - 2; - 1)$ .
Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ với $A(3; - 2;3)$ và $B( - 1;2;5)$ được tính bởi

$\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;\ 0;4)$ .
Câu 35: Nhận biết
Xác định số vectơ thỏa mãn yêu cầu

Cho bốn điểm $A;B;C;D$ trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là $4$ điểm?
- A.
  $3$
- B.
  $6$
- C.
  $9$
- D.
  $12$
Lấy $A$ làm gốc ta được 3 vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ . Tương tự đối với $B;C;D$ ta được $4.3 = 12$ vectơ.
Câu 36: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2; - 3)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1;3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2;3)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1; -3)$ .
Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$

Vậy $\overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$
Câu 37: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2 ; - 1);B(2; - 1 ;3);C( - 3 ;5 ;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $D( - 4;\ \ 8\ ;\ - 5)$
- B.
  $D( - 4\ ;\ \ 8\ ;\ - 3)$ .
- C.
  $D( - 2\ ;8\ ; - 3)$ .
- D.
  $D( - 2\ ;2\ ;5)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB}(\ 1;\ \ - 3;\ \ 4)$ ; $\overrightarrow{AC}(\ - 4;\ \ 3;\ \ 2)$ nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$ không cùng phương hay $A,B,C$ không thẳng hàng.

Gọi $D(\ x;\ \ y;\ \ z)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{DC}(\ - 3 - x;\ \ 5 - y;\ \ 1 - z)$ .

Lúc đó, $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ - 3 = 5 - y \Leftrightarrow \\ 4 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm cần tìm là: $D( - 4\ ;\ \ 8\ ;\ - 3)$
Câu 38: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u} = (10; - 2;13)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 2;7)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;7)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
Câu 39: Vận dụng
Chọn kết quả đúng

Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ , trong đó mặt đáy là hình bình hành với $\widehat{DAB} = 120{^\circ}$ . Biết độ dài các cạnh $AB = 25cm,AD = 12cm$ và $AA' = 12cm$ . Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \right|$ .
- A.
  $12(cm)$ .
- B.
  $\sqrt{469}(cm)$ .
- C.
  $\sqrt{613}(cm)$
- D.
  $25(cm)$ .
Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ ,

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \right| = \left| \overrightarrow{AC'} \right| = AC'$

Với $AC' = \sqrt{AC^{2} + A{A'}^{2}}$

Trong đó: $AA' = 12(cm)$

Do tổng hai góc kề của một hình bình hành là $180{^\circ}$ nên ta có góc $\widehat{ABC} = 60{^\circ}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$ , ta có:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB.BC.cos\widehat{ABC}$

$= 25^{2} + 12^{2} - 2.25.12.cos60{^0} = 469$ .

Vậy $AC' = \sqrt{AC^{2} + A{A'}^{2}} = \sqrt{469 + 144} = \sqrt{613}(cm)$ .
Câu 40: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;0;0),\ \ B(0;2;0);M(x - 1;2y - 2;7)$ . Gọi $M'$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi tứ giác $OBM'A$ là hình bình hành thì giá trị $x + y$ bằng?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $- 1$ .
$M'$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(Oxy) \Rightarrow M'(x - 1;2y - 2;0)$ .

$OBM'A$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AM'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 = x - 2 \\ 2 = 2y - 2 \\ 0 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $x + y = 4$ .

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện