VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng

Gọi $O$ là tâm của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

Vì $O$ là trung điểm của $AC'$ suy ra $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Câu 2: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $0^{0}$ .
- B.
  $30^{0}$ .
- C.
  $90^{0}$ .
- D.
  $60^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{CA} ight)\overrightarrow{CD}$

$= \overrightarrow{CO}.\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}$ $= CO.CD.\cos30^{0} -CA.CD.\cos60^{0}$

$= \frac{a\sqrt{3}}{3}.a.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = 0.$

Suy ra $AO\bot CD$ .
Câu 3: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2;0; - 3)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{a} = (2;4; - 1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} = (2;2; - 4)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} = (0;1;-1)$
- D.
  $\overrightarrow{a} = (2;4; - 5)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} = (2;0; - 3) + 2.(0;2; - 1)$

$= (2 + 0;0 + 2.2; - 3 + 2.( - 1)) = (2;4; - 5)$
Câu 5: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A(3;5; - 1),\ \ B(7;x;1)$ và $C(9;2;y).$ Để $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $5.$
- B.
  $6.$
- C.
  $4.$
- D.
  $7.$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;x - 5;2),\ \ \overrightarrow{AC} = (6; - 3;y + 1)$

$A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{x - 5}{- 3} = \frac{2}{y + 1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6(x - 5) = - 12 \\ 4(y + 1) = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $x+y=5$
Câu 6: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$
Câu 7: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 1$
- B.
  $U = 3$
- C.
  $U = 2$
- D.
  $U = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(1;3;2)$
- B.
  $(2; - 1;5)$
- C.
  $(2; - 1; - 5)$
- D.
  $(2;6;4)$
Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $(2; - 1;5)$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm M

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(4; - 2;10)$
- B.
  $(1;3;2)$
- C.
  $(2;6;4)$
- D.
  $(2; - 1;5)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy đáp án đúng là: $(2; - 1;5)$ .
Câu 10: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3;3;4)$
- B.
  $( - 1;1;2)$
- C.
  $(3; - 3;4)$
- D.
  $( - 3;1;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .
Câu 11: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Theo định luật $II$ Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$ , trong đó $\overrightarrow{a}$ là vectơ gia tốc $\left( m/s^{2} \right)$ , $\overrightarrow{F}$ là vectơ lực $(N)$ tác dụng lên vật, $m(kg)$ là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng $0,5\ kg$ một gia tốc $20\ \ m/s^{2}$ thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?
- A.
  $100(N)$ .
- B.
  $20(N)$ .
- C.
  $25(N)$ .
- D.
  $10(N)$ .
Ta có $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} \Rightarrow \left| \overrightarrow{F} \right| = m\left| \overrightarrow{a} \right| = 0,5.20 = 10(N)$ .

Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng $0,5\ kg$ một gia tốc $20\ \ m/s^{2}$ thì cần một lực đá có độ lớn là $10(N)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $H = 0$
- B.
  $H = 1$
- C.
  $H = - 1$
- D.
  $H = 2$
Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .
Câu 13: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $90{^\circ}$
- B.
  $60{^\circ}$
- C.
  $45{^\circ}$
- D.
  $120{^\circ}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $EG//AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}$
Câu 14: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{CA'}$ .
- B.
  $\overrightarrow{CB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CD'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CA}$ .
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .
Câu 15: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$
Câu 16: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng: $90^{0}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;3; - 1),B(3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M\left( \frac{5}{3};\frac{13}{3};1 ight)$
- B.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- C.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- D.
  $M(4; - 3;8)$
Ta có: $\overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)$
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ với $AB\bot AC,\ \ AB\bot BD$ . Gọi $P,\ \ Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Góc giữa $PQ$ và $AB$ là?
- A.
  $90^{0}.$
- B.
  $60^{0}.$
- C.
  $30^{0}.$
- D.
  $45^{0}.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{PQ} \Rightarrow AB\bot PQ$

Vậy góc giữa $PQ$ và $AB$ là $90^{0}.$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm câu sai

Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp $ABCD\ .A'B'C'D'$ .
- A.
  $\overrightarrow{AC'}\ = \ \overrightarrow{AB}\ \ + \ \ \overrightarrow{AD}\ + \ \ \overrightarrow{AA'}\$ .
- B.
  $\overrightarrow{BD}\ = \ \overrightarrow{BA}\ \ + \ \ \overrightarrow{BC}\ \ + \ \overrightarrow{BB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CA'}\ = \ \overrightarrow{CB}\ \ + \ \ \overrightarrow{CD}\ + \ \ \overrightarrow{CC'}\$ .
- D.
  $\overrightarrow{C'A'}\ = \ \overrightarrow{C'B'}\ \ + \ \ \overrightarrow{C'D'}$ .
Hình vẽ minh họa

Đáp án $\overrightarrow{AC'}\ = \ \overrightarrow{AB}\ \ + \ \ \overrightarrow{AD}\ + \ \ \overrightarrow{AA'}\$ đúng theo quy tắc hình hộp

Đáp án $\overrightarrow{BD}\ = \ \overrightarrow{BA}\ \ + \ \ \overrightarrow{BC}\ \ + \ \overrightarrow{BB'}$ sai

Đáp án $\overrightarrow{CA'}\ = \ \overrightarrow{CB}\ \ + \ \ \overrightarrow{CD}\ + \ \ \overrightarrow{CC'}\$ đúng theo quy tắc hình hộp

Đáp án $\overrightarrow{C'A'}\ = \ \overrightarrow{C'B'}\ \ + \ \ \overrightarrow{C'D'}$ đúng theo quy tắc hình bình hành
Câu 20: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Biết rằng $\overrightarrow{a} = (0;1;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Tính $\overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{x} = ( - 2;4;4)$
- B.
  $\overrightarrow{x} = (4; - 3;7)$
- C.
  $\overrightarrow{x} = ( - 4;9; - 11)$
- D.
  $\overrightarrow{x} = ( - 1;9;11)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\ 2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)$
Câu 21: Nhận biết
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0; - 3; - m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1$ ?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 3$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 22: Nhận biết
Tìm vectơ cùng phương với vectơ đã cho

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4)$ . Hãy chọn vectơ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 6; - 8)$
- B.
  $\overrightarrow{b} = ( - 2; - 6; - 8)$
- C.
  $\overrightarrow{b} = ( - 2; - 6;8)$
- D.
  $\overrightarrow{b} = ( - 2;6;8)$
Ta có: $\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ khi $\overrightarrow{b} = k.\overrightarrow{a};\left( k\mathbb{\in R} ight)$ . Khi đó đáp án cần tìm là $\overrightarrow{b} = ( - 2; - 6; - 8)$ (vì $\overrightarrow{b} = -2(1;3;4) = - 2\overrightarrow{a}$ ).
Câu 23: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( 0\ ;\ 4\sqrt{2}\ ;\ 0 \right)$ , $B\left( 0\ ;\ 0\ ;\ 4\sqrt{2}\right)$ , điểm $C \in (Oxy)$ và tam giác $OAC$ vuông tại $C$ , hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BC$ là điểm $H$ . Khi đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
- A.
  $2\sqrt{2}$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $2$ .
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $B \in Oz$ . Ta có $A \in (Oxy)$ và $C \in (Oxy)$ , suy ra $OB\bot(OAC)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AC\bot OC \\ AC\bot OB \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow AC\bot(OBC)$ , mà $OH \subset(OBC)$ . Suy ra $AC \bot OH$ $(1)$ .

Mặt khác ta có $OH\bot BC$ $(2)$ , .

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $OH\bot(ABC)$ $\Rightarrow OH\bot AB$ và $OH\bot HA$ .

Với $OH\bot AB$ suy ra $H$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $(P)$ là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

Phương trình của $(P)$ là: $y - z = 0$ .

Với $OH\bot HA$ $\Rightarrow \Delta OHA$ vuông tại $H$ .

Do đó $H$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 0\ ;\ 2\sqrt{2}\ ;\ 0 ight)$ là trung điểm của $OA$ và bán kính $R = \frac{OA}{2} = 2\sqrt{2}$ .

Do đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn $(T)$ cố định là giao tuyến của mp $(P)$ với mặt cầu $(S)$ .

Giả sử $(T)$ có tâm $K$ và bán kính $r$ thì $IK = d\left( I,(P) ight) = 2$ và $r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} = 2$ .

Vậy điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng $2$ .
Câu 24: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 25: Thông hiểu
Xác định tọa độ vector

Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.
- A.
  (0;435;0).
- B.
  (455;0;0).
- C.
  (0;455;0).
- D.
  (435;0;0).
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Câu 26: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120^{0}$ . Biết rằng $\left| \overrightarrow{u} ight| = 2;\left| \overrightarrow{v} ight| = 5$ , tính $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight|$ ?
- A.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$
- B.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = - 5$
- C.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 7$
- D.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{39}$
Ta có: $\left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}$

$= \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2} = 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$

Vậy đáp án đúng là: $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$ .
Câu 27: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm Q

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $M(1;1;1),\ N(2;3;4),\ P(7;7;5)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ để tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành
- A.
  $Q(6;5;2)$ .
- B.
  $Q( - 6; - 5; - 2)$ .
- C.
  $Q( - 2; - 3; - 4)$ .
- D.
  $Q( - 4; - 3;0)$ .
Minh họa bằng hình vẽ sau:

Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;2;3),\ \overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q} ight)$ .

$MNPQ$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = 7 - x_{Q} \\ 2 = 7 - y_{Q} \\ 3 = 5 - z_{Q} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{Q} = 6 \\ y_{Q} = 5 \\ z_{Q} = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $Q(6;5;2)$ .
Câu 28: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 1;2; - 3),\ \ B(1;0;2),\ \ C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó $x + y$ bằng
- A.
  $x + y = 1$ .
- B.
  $x + y = 17$ .
- C.
  $x + y = - \frac{11}{5}$ .
- D.
  $x + y =\frac{11}{5}$ .
Có $\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5),\ \ \overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1)$ .

$A,\ B,\ C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \dfrac{3}{5} \\ y = \dfrac{8}{5} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1$ .
Câu 29: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A$ , $B$ , $C$ , $D$ tạo thành hình bình hành là
- A.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$ .
Hình vẽ minh họa

Trước hết, điều kiện cần và đủ để $ABCD$ là hình bình hành là:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .

Với mọi điểm $O$ bất kì khác $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , ta có:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .
Câu 30: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $M(2;1;4)$ và $M'(a;b;c)$ là điểm đối xứng cới điểm $M$ qua $Oy$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $- 5$
- C.
  $5$
- D.
  $- 1$
Gọi $H$ là hình chiếu của M trên $Oy$ ta có $H(0;1;0)$ . Do $M'$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ , khi đó $H$ là trung điểm của $M'M$

Suy ra $M'( - 2;1; - 4)$ từ đó $a + b + c = - 5$ .
Câu 31: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là
- A.
  $(2;0; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3;0)$ .
- C.
  $(0;2; - 3)$
- D.
  $(2;0;3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{a} = (2;0; - 3)$
Câu 32: Nhận biết
Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $M(3;4;0)$
- B.
  $N( - 2;0;3)$
- C.
  $P(2;0;0)$
- D.
  $Q(0;4; - 1)$
Ta có: $A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0$ nên điểm cần tìm là $Q(0;4; - 1)$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2 ; - 1);B(2; - 1 ;3);C( - 3 ;5 ;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $D( - 4;\ \ 8\ ;\ - 5)$
- B.
  $D( - 4\ ;\ \ 8\ ;\ - 3)$ .
- C.
  $D( - 2\ ;8\ ; - 3)$ .
- D.
  $D( - 2\ ;2\ ;5)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB}(\ 1;\ \ - 3;\ \ 4)$ ; $\overrightarrow{AC}(\ - 4;\ \ 3;\ \ 2)$ nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$ không cùng phương hay $A,B,C$ không thẳng hàng.

Gọi $D(\ x;\ \ y;\ \ z)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{DC}(\ - 3 - x;\ \ 5 - y;\ \ 1 - z)$ .

Lúc đó, $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ - 3 = 5 - y \Leftrightarrow \\ 4 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm cần tìm là: $D( - 4\ ;\ \ 8\ ;\ - 3)$
Câu 34: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh đều bằng $a$ và các góc $\widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}$ . Tính góc giữa các cặp đường thẳng $AB$ với $A'D$ ; $AC'$ với $B'D$ .
- A.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 60^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
- B.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 50^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
- C.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 40^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
- D.
  $\widehat{(AB,A'D)} = 30^{0}$ ; $\widehat{(AC',B'D)} = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{c}$

Ta có $\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}$ nên

$\cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D} \right) \right|$

$= \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'D} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\left| \overrightarrow{A'D} \right|} = \frac{\left| \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right|}$ .

Để ý rằng $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right| = a$ , $\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) = \frac{a^{2}}{2}$ .

Từ đó $\cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{(AB,A'D)} = 60^{0}$

Ta có $\overrightarrow{AC'} = \overline{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a},\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ , từ đó tính được:

$\overrightarrow{AC'}\overrightarrow{B'D} =\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) = 0$ $\Rightarrow \widehat{(AC',B'D)} =90^{0}$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$ và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} ight) = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$

$= SA.SC.\cos\widehat{ASC} -SA.SB.\cos\widehat{ASB} = 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BC} ight) = 90^{0}$
Câu 36: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 8$
- B.
  $2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$
- D.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{11}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1;1)$ suy ra “ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$ ” là khẳng định sai.
Câu 37: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$ ?
- A.
  $\min T = 3$
- B.
  $\min T = 2$
- C.
  $\min T = 4$
- D.
  $\min T = 6$
Đặt $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Khi đó $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$ với $x;y;z$ là ba số có tổng bằng 1.

Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$

$\Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}$

Tương tự ta được

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$+ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)$

$- \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3$

Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 38: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- B.
  $(2;3; - 2)$ .
- C.
  $(3;2; - 2)$ .
- D.
  $(1;3;2)$ .
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 39: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng $SA,SB$ sao cho $SM = \frac{1}{2}AM;\ SN = \frac{1}{2}BN$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} =\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}SM = \dfrac{1}{2}AM \\SN = \dfrac{1}{2}BN \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}SM = \dfrac{1}{3}SA \\SN = \dfrac{1}{3}SB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow MN = \frac{1}{3}AB =\frac{1}{3}CD$ .
Nên $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
Câu 40: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\ \overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i}$ . Tọa độ $\ \overrightarrow{b}$ bằng?
- A.
  $( - 1;4;0)$ .
- B.
  $(1;4;0)$ .
- C.
  $(0; - 1;4)$ .
- D.
  $(4; - 1;0)$ .
Ta có: $\overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} = ( - 1;4;0)$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương VI. Xác suất có điều kiện