Xác định số vectơ thỏa mãn yêu cầu
Cho bốn điểm
trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác
có điểm đầu và điểm cuối là
điểm?
Lấy làm gốc ta được 3 vectơ
. Tương tự đối với
ta được
vectơ.
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
Xác định số vectơ thỏa mãn yêu cầu
Cho bốn điểm
trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác
có điểm đầu và điểm cuối là
điểm?
Lấy làm gốc ta được 3 vectơ
. Tương tự đối với
ta được
vectơ.
Chọn phương án thích hợp
Cho hình lập phương
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng?

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng:
Chọn kết quả đúng nhất
Cho tam giác
, thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.
Ta có:
.
Tìm tọa độ điểm C
Tứ giác
là hình bình hành biết tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Tìm tọa độ hình chiếu
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Tính độ dài đoạn thẳng OA
Trong không gian
, cho điểm
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ
, điểm nào dưới đây thuộc trục
?
Điểm . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm
.
Tìm khẳng định sai
Cho hình hộp
Khẳng định nào dưới đây là sai?

Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vậy đáp án sai là:
Xác định tính đúng sai của từng phương án
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Chọn khẳng định sai
Trong không gian cho tứ diện đều
. Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.
Xác định chu vi tam giác
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Tính chu vi tam giác
?
Ta có:
Chu vi tam giác là:
Vậy đáp án đúng là: .
Tìm tọa độ điểm đối xứng
Trong không gian
, cho
. Điểm đối xứng với
qua trục
có tọa độ là
Điểm đối xứng với qua trục
có tọa độ là
.
Ghi đáp án vào ô trống
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Gọi
Ta có:
là hình bình hành nên
.
Vậy .
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Xác định giá trị tham số
để
?
Ta có:
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian
, cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là điểm
. Khi đó giá trị
bằng:
Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng
là
Suy ra .
Xác định mệnh đề sai
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: đúng với mọi điểm
nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Tìm khẳng định sai
Cho hình hộp
. Gọi
và
lần lượt là tâm của hình bình hành
và
. Khẳng định nào sau đây sai ?
“Bốn điểm ,
,
,
đồng phẳng ». Đúng vì
cùng thuộc
“”. Đúng vì
“Ba vectơ không đồng phẳng ». Sai vì
Ba vectơ đồng phẳng.
””. Đúng vì theo câu trên
Tính độ dài đoạn thẳng AM
Trong không gian
, cho
có
, gọi
là trung điểm
. Độ dài đoạn
là:
Ta có
Suy ra:
Tính giá trị biểu thức
Trên hệ trục tọa độ
, cho
,
, tích
bằng
Ta có
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian
, cho điểm
thỏa
và
. Tọa độ của véctơ
là
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ
?
Điểm thuộc có
. Vậy điểm cần tìm được là:
.
Chọn kết luận đúng
Cho
và
có
vuông góc với vectơ
và
. Khi đó:
+Vì vuông góc với vectơ
nên:
Ta có . Suy ra
.
Ghi đáp án vào ô trống
Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài
, chiều rộng
và cao
. Người ta trang trí một chiếc đèn chùm
ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn
treo chính giữa bức tường
và cách trần nhà
. Hỏi hai chiếc bóng đèn
cách nhau bao nhiêu
? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1
Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài
, chiều rộng
và cao
. Người ta trang trí một chiếc đèn chùm
ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn
treo chính giữa bức tường
và cách trần nhà
. Hỏi hai chiếc bóng đèn
cách nhau bao nhiêu
? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ các điểm .
Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm .
Đèn chùm được đặt tại vị trí chính giữa trần nhà có dạng hình chữ nhật nên vị trí đặt là trung điểm của hai đường chéo
và
nên ta có
Gọi là hình chiếu của bóng đèn
lên nền nhà. Khi đó
là trung điểm của
nên
, do đó
.
Vậy ta tính được
Chọn đáp án chính xác
Trong không gian, cho hình chóp
với
là trọng tâm của tam giác
Khi đó
bằng.
Do là trọng tâm của tam giác
nên
.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
.
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho tứ diện
có
. Gọi
là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
.
Do tứ diện có
nên
.
Gọi là diện tích và
là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì
, nên bất đẳng thức cần chứng minh:
.
Theo công thức Leibbnitz:
Với điểm bất kì và
là trọng tâm của tam giác
thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ta được:
.
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian
cho ba điểm
và
Để
thẳng hàng thì giá trị
bằng
Ta có
thẳng hàng khi
cùng phương
Vậy
Tìm mệnh đề sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
và
không vuông góc với nhau.
Vậy mệnh đề sai là: “”.
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A
Trong không gian
cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
.
Vì nên tọa độ hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là
.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Biết
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:
. Do đó
Ta có:
Chọn đáp án sai
Tính chất nào sau đây sai?
Tính chất sai là:
Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ trung điểm
của đoạn thẳng
.
Tọa độ trung điểm của đoạn
với
và
được tính bởi
.
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Vì lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng
nên
suy ra
.
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian
, cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
thỏa mãn
?
Ta có:
Tính góc giữa hai đường thẳng
Cho tứ diện
đều cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên
Ta có:
Suy ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Tính tích vô hướng hai vectơ
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên
Suy ra
Tìm tọa độ tổng hai vectơ
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: do đó
Vậy đáp án cần tìm là .
Tìm tọa độ điểm B
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Xét tính đúng sai của mỗi ý hỏi
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn
và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ
trong không gian có gốc
tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm
đến điểm
.

a) Đường thẳng
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ
đến
là 6 phút. Đúng||Sai
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn
và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ
trong không gian có gốc
tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm
đến điểm
.

a) Đường thẳng
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ
đến
là 6 phút. Đúng||Sai
a) Ta có:
Chọn .
Khi đó, phương trình
Do đó, a đúng
b) Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu .
Tọa độ giao điểm của MN và là nghiệm của phương trình
Ta có
Điểm gặp đầu tiên là
Do đó, b sai
c)
Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1000 km nên khoảng cách
Do đó, c đúng
d)
(phút)
Do đó, d đúng
Chọn phương án thích hợp
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật
, mặt phẳng
song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc
của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng
đều có cường độ là
và trọng lượng của khung sắt là
.
Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là các điểm sao cho
.
Vì có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
nên
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
.
Vì là hình chữ nhật nên
cũng là hình chữa nhật.
Gọi là tâm của hình chữ nhật
. Ta suy ra
.
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng góc
suy ra
.
Ta có nên
.
Tam giác vuông tại
nên
.
Ta có:
.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên , với
là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là:
Vì trọng lượng của khung sắt là nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: