VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng là:
- A.
  Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
- B.
  Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.
- D.
  Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 2: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(1;2; - 3)$
- B.
  $(2; - 3;1)$
- C.
  $(2;1; - 3)$
- D.
  $(1; - 3;2)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
- B.
  $M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
- C.
  $M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
- D.
  $M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$
Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
Câu 4: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu điểm A

Trong không gian $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là
- A.
  $P(0\ ;\ 2\ ;\ 3)$ .
- B.
  $M(1\ ;\ 0\ ;\ 3)$ .
- C.
  $N(0\ ;\ 2\ ;\ 0)$ .
- D.
  $Q(1; 2 ; 0)$ .
Tọa độ hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng $(Oxz)$ là: $(1;0;3)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $AB'C$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = 3\overrightarrow{AG}$
- B.
  $\overrightarrow{AC'} = 4\overrightarrow{AG}$
- C.
  $\overrightarrow{BD'} = 4\overrightarrow{BG}$
- D.
  $\overrightarrow{BD'} = 3\overrightarrow{BG}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD'}$

Do G là trọng tâm tam giác $AB'C$ suy ra $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = 3\overrightarrow{BG} \Leftrightarrow \overrightarrow{BD'} = 3\overrightarrow{BG}$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Tính cosin góc $\widehat{BAC}$ ?
- A.
  $\frac{9}{\sqrt{35}}$
- B.
  $- \frac{9}{\sqrt{35}}$
- C.
  $- \frac{9}{2\sqrt{35}}$
- D.
  $\frac{9}{2\sqrt{35}}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- B.
  Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.
- C.
  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- D.
  Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Câu 8: Vận dụng cao
Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$ là:
- A.
  $(1;1;1)$
- B.
  $(0;1;1)$
- C.
  $(0; - 1; - 1)$
- D.
  $(1;0;1)$
Ta có bài toán sau

Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: $a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ với $BC = a;AC = b;AB = c$

Hình vẽ minh họa

Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

$\Rightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)$

$\overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + (b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

$OM.\overrightarrow{IN} + ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

Vậy đáp án cần tìm là $(0;1;1)$
Câu 9: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều là góc nhọn. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$ thỏa mãn: $\overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$ . Điểm $I$ đi động trên $BC$ sao cho $\overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}$ (Trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0$ ). Tính giá trị biểu thức $Q = m + n$ khi độ dài véc tơ $\overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9

Đáp án là:

Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều là góc nhọn. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$ thỏa mãn: $\overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$ . Điểm $I$ đi động trên $BC$ sao cho $\overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}$ (Trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0$ ). Tính giá trị biểu thức $Q = m + n$ khi độ dài véc tơ $\overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9

Hình vẽ minh họa
Gọi $P$ là trung điểm của $AC$ , $E$ là điểm đối xứng của $P$ qua $G$ .
Khi đó tứ giác $AGCE$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $AGCE$ là hình bình hành.
$\Rightarrow \overrightarrow{GC} =\overrightarrow{AE}$ .
+ Dựng $EF\bot BC\ \ (F \inBC)$ .
Ta có: $\left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| = \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{AE} ight| = \left| \overrightarrow{IE} ight| = IE\geq EF$ .
Do đó $\left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight|$ nhỏ nhất khi $I \equiv F$ .
+ Ta có: $\overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{HC} =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$ .
+ Gọi $Q$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $BC$ $(Q \inBC)$ .
Ta có:
$\frac{BP}{BE} = \frac{3GP}{BP + PE} =\frac{3GP}{3GP + GP} = \frac{3}{4}$ .
+ Do $PQ$ // $EF$ (vì cùng vuông góc với $BC$ ).
Nên $\Delta BPQ$ và $\Delta BEF$ đồng dạng
$\Rightarrow \frac{BQ}{BF} = \frac{BP}{BE}= \frac{3}{4}$ $\Rightarrow\overrightarrow{BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BQ}$ .
+ $\Delta AHC$ có $P$ là trung điểm $AC$ và $PQ$ // $AH$ (do cùng vuông góc với $BC$ ).
$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình.
Khi đó, $Q$ là trung điểm $HC$ hay $\overrightarrow{HQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} =\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$ .
$\overrightarrow{BF} =\frac{4}{3}\overrightarrow{BQ} = \frac{4}{3}(\overrightarrow{BH} +\overrightarrow{HQ}) = \frac{4}{3}(\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} +\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}) =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$
Vậy $M = 4 + 5 = 9$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 11: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có hai đỉnh $B;C$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ . Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên $(P)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác vuông.
- B.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác nhọn.
- C.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác tù.
- D.
  Tam giác $A'BC$ có góc $A'$ không bé hơn góc vuông.
Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

$\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0$ suy ra góc $\widehat{BA'C}$ là góc tù.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm Q

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(1; - 1;1)\ ,\ \ N(2;0; - 1)\ ,\ \ P( - 1;2;1)$ . Xét điểm $Q$ sao cho tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành. Tọa độ $Q$ là
- A.
  $( - 2;1;3)$
- B.
  $( - 2;1;3)$
- C.
  $( - 2;1; - 3)$
- D.
  $(4;1;3)$
Gọi $Q(x;y;z).$ Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;1; - 2)\ \ ,\ \ \ \ \overrightarrow{QP} = ( - 1 - x;2 - y;1 - z).$

Tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 2 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Vậy, $Q( - 2;1;3)$ .
Câu 13: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MO} = 3\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ bằng
- A.
  $(3; - 2;4)$ .
- B.
  $( - 2;4;3)$ .
- C.
  $(2; - 4; - 3)$ .
- D.
  $(3;2;4)$ .
Ta có: $\overrightarrow{MO} =3 \overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ $\Rightarrow M(2; - 4; - 3)$
Câu 14: Nhận biết
Tính tích vô hướng hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;1;4),B( - 2;2;6),C(6;0; - 1)$ . Tích $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ bằng:
- A.
  $- 67$
- B.
  $65$
- C.
  $33$
- D.
  $67$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 4;1; - 10) \\ \overrightarrow{AC} = (4; - 1; - 5) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 33$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm P

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0;3)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(3;0;0)$ .
- D.
  $P(0;3;0)$ .
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 16: Nhận biết
Tìm số thực m thỏa mãn điều kiện

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0; - 3; - m)$ . Tìm số thực $m$ sao cho tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1$ .
- A.
  $m = 4$ .
- B.
  $m = 2$ .
- C.
  $m = 3$ .
- D.
  $m = - 2$ .
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2$ .
Câu 17: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $a$ , $b$ , $c$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M(1;3;2)$ đến ba mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ , $(Oyz)$ , $(Oxz)$ . Tính $P = a + b^{2} + c^{3}$ ?
- A.
  $P = 32$ .
- B.
  $P = 18$ .
- C.
  $P = 30$ .
- D.
  $P = 12$ .
Với $A\left( x_{o}\ ;\ y_{o}\ ;\ z_{o} ight) \in (Oxyz)$ .

Khi đó $d\left( A\ ,\ (Oxy) ight) = z_{o}$ , $d\left( A\ ,\ (Oxz) ight) = y_{o}$ , $d\left( A\ ,\ (Oyz) ight) = x_{o}$ .

Theo bài ra ta có:

$a = d\left( M;(Oxy) ight) = 2$ ; $b = d\left( M\ ;(Oyz) ight) = 1$ , $c = d\left( \ M\ ;(Oxz) ight) = 3$ .

$P = a + b^{2} + c^{3} = 2 + 1^{2} + 3^{3} = 30$ .
Câu 18: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (3; - 1;2)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;3)$ , tích $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $- 1$ .
- B.
  $13$ .
- C.
  $11$ .
- D.
  $- 13$ .
Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 2) + ( - 1).1 + 2.3 = - 6 - 1 + 6 = - 1$
Câu 19: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A( - 1;2; - 3),B(1;0;2),C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó giá trị của biểu thức $x +y$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $17$
- C.
  $- \frac{11}{5}$
- D.
  $\frac{11}{5}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5) \\\overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1) \\\end{matrix} ight.$ . Vì A; B; C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$ cùng phương
$\Leftrightarrow \dfrac{x + 1}{2} =\dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{3}{5} \\y = \dfrac{8}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $(0;1; - 2)$
- B.
  $(1; - 2;0)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $(0; - 1;2)$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$
Câu 21: Thông hiểu
Chọn phát biểu đúng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;0)$ , $B(5;0;0)$ . Gọi $(H)$ là tập hợp các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $(H)$ là một đường tròn có bán kính bằng $4$ .
- B.
  $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $4$ .
- C.
  $(H)$ là một đường tròn có bán kính bằng $2$ .
- D.
  $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $2$ .
Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(3;0;0)$ .

Ta có :

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} ight) = 0$

$\Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = 0 \Leftrightarrow MI^{2} = IA^{2} \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.|5 - 1| = 2$ .

Suy ra tập hợp điểm $M$ trong không gian là mặt cầu tâm $I$ , bán kính bằng 2.

Vậy $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $2$ .
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ với $AB\bot AC,\ \ AB\bot BD$ . Gọi $P,\ \ Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Góc giữa $PQ$ và $AB$ là?
- A.
  $90^{0}.$
- B.
  $60^{0}.$
- C.
  $30^{0}.$
- D.
  $45^{0}.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{PQ} \Rightarrow AB\bot PQ$

Vậy góc giữa $PQ$ và $AB$ là $90^{0}.$
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2)$ . Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$ là
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $150^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2) \\ \overrightarrow{AC} = (1;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = (AB;AC) = 60^{0}$
Câu 24: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm A

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của điểm $A$ là
- A.
  $( - 1;2; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- C.
  $( - 3;2; - 1)$ .
- D.
  $(2; - 1; - 3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = (1; - 2;3)$

Khi đó $A( - 1;2; - 3)$
Câu 25: Thông hiểu
Phân tích vectơ

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{\ AB} = \overrightarrow{b,}\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{c}$ .
- A.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}.$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{B'C'} = - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BC}$

$= - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Câu 26: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Đáp án là:

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ các điểm $A(6;0;0),B(0;10;0),C(0;0;4)$ .

Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm $D(6;10;0),F(6;10;4)$ .

Đèn chùm $I$ được đặt tại vị trí chính giữa trần nhà có dạng hình chữ nhật nên vị trí đặt là trung điểm của hai đường chéo $CF$ và $EG$ nên ta có $I(3;5;4)$

Gọi $J_{1}$ là hình chiếu của bóng đèn $J$ lên nền nhà. Khi đó $J_{1}$ là trung điểm của $BD$ nên $J_{1}(3;10;0)$ , do đó $J(3;10;3)$ .

Vậy ta tính được

$\overrightarrow{IJ} = (0;5; - 1) \Rightarrow IJ = \left| \overrightarrow{IJ} ight| = \sqrt{5^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{26} \approx 5,1\ (m)$
Câu 27: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A( - 3; - 1; - 1)$ . Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm $A'(x;y;z)$ . Khi đó giá trị $2x + y + z$ bằng:
- A.
  $- 5$
- B.
  $- 4$
- C.
  $- 2$
- D.
  $- 3$
Hình chiếu vuông góc của $A( - 3; - 1; - 1)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là $A'(0; - 1; - 1)$

Suy ra $2x + y + z = - 2$ .
Câu 28: Vận dụng
Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển

Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là $890\ km/h$ trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ được lấy theo kilômét.
- A.
  $(0;435;0).$
- B.
  $(0;445;0).$
- C.
  $(445;0;0).$
- D.
  $(435;0;0).$
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc $890km/h$ trong nửa giờ là:

$890.\frac{1}{2} = 445(km)$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là $(0;445;0).$
Câu 29: Nhận biết
Tính tích vô hướng

Cho hai véc tơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Khi đó, tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right).\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $12$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $11$ .
- D.
  $10$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$ .
Câu 30: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Biết rằng $\overrightarrow{a} = (0;1;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Tính $\overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{x} = ( - 2;4;4)$
- B.
  $\overrightarrow{x} = (4; - 3;7)$
- C.
  $\overrightarrow{x} = ( - 4;9; - 11)$
- D.
  $\overrightarrow{x} = ( - 1;9;11)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\ 2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)$
Câu 31: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $M(1;2;3),N(2; - 3;1),P(3;1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ ?
- A.
  $Q(2; - 6;4)$
- B.
  $Q(4; - 4;0)$
- C.
  $Q(2;6;4)$
- D.
  $Q( - 4; - 4;0)$
Giả sử điểm $Q(x;y;z)$ khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{QP} = (x - 3;y - 1;z - 2) \\ \overrightarrow{MN} = ( - 1;5;2) \\ \end{matrix} ight.$

ta có $MNPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{MN}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 = - 1 \\ y - 1 = 5 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $Q(2;6;4)$ .
Câu 32: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(5;0;1)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(3 ; 1;2)$
- B.
  $(7; - 4;1)$
- C.
  $\left( \frac{11}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3} \right)$
- D.
  $\left( \frac{2}{9};\frac{1}{9};\frac{5}{9} \right)$
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = - 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;B;A$ thẳng hàng và $A;B$ nằm khác phía so với điểm M do $- 4\frac{MB}{MA}$ âm.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{MA} = - 2\overrightarrow{MB}$ .

Gọi tọa độ $M(x;y;z)$ , khi đó

$\left\{ \begin{matrix} 1 - x = - 2(5 - x) \\ 2 - y = - 2(0 - y) \\ 3 - z = - 2(1 - z) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{11}{3} \\ y = \frac{2}{3} \\ z = \frac{5}{3} \\ \end{matrix} \right.$
Câu 33: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A( - 2;3;4),B(8; - 5;6)$ . Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm nào dưới đây?
- A.
  $N(3; - 1;5)$ .
- B.
  $M(0; - 1;5)$ .
- C.
  $Q(0;0;5)$
- D.
  $P(3;0;0)$
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên $I(3; - 1;5)$ .

Khi đó hình chiếu của I lên $(Oyz)$ là $M(0; - 1;5)$ .
Câu 34: Vận dụng
Chọn kết quả đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.
- A.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - BC^{2}}$
- B.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
- D.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
Ta có:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}ABAC\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AB^{2}sin^{2}A}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2}\left( 1 - cos^{2}A \right)}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$ .
Câu 35: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Trong không gian cho hai đường thẳng $a;b$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a;b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\alpha = \left| \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- B.
  $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- C.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \sin\alpha$
- D.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
Khẳng định đúng: “Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ”.
Câu 36: Vận dụng cao
Tìm điều kiện của các hệ số a; b; c

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là tung điểm của $AB;CD$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight) + \left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight) + \left( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;1; - 2),B(2; - 3;5)$ . Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$ , tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $\left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight)$
- B.
  $(4;5; - 9)$
- C.
  $\left( \frac{3}{2}; - 5;\frac{17}{2} ight)$
- D.
  $(1; - 7;12)$
Gọi tọa độ độ điểm $M(x;y;z)$ . Vì điểm $M \in AB$ nên

$\overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3 - x = - 2(2 - x) \\1 - y = - 2( - 3 - y) \\- 2 - z = - 2(5 - z) \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{3} \\y = - \dfrac{5}{3} \\z = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight)$ .
Câu 39: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $M$ là trung điểm của $BB'$ . Đặt $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
- B.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

Khi đó:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A;B;C;D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình hành là:
- A.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
- B.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$
Để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình thành thì $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ , O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ (Loại)

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ (loại)

Vậy đáp án cần tìm là $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 3

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 2

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 5