Chọn đẳng thức đúng
Gọi
là tâm của hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vì là trung điểm của
suy ra
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 sách Chân trời sáng tạo các em nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Chọn đẳng thức đúng
Gọi
là tâm của hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vì là trung điểm của
suy ra
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
Cho tứ diện
đều cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Góc giữa
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Suy ra .
Xác định tính đúng sai của từng phương án
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tìm tọa độ của vectơ
.
Ta có:
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian
cho ba điểm
và
Để
thẳng hàng thì giá trị
bằng
Ta có
thẳng hàng khi
cùng phương
Vậy
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Giả sử .
Ta có
Vậy
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Biết
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:
. Do đó
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Tìm tọa độ trung điểm M
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm
của
có tọa độ là:
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Vậy đáp án đúng là: .
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Chọn đáp án đúng
Theo định luật
Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật:
, trong đó
là vectơ gia tốc
,
là vectơ lực
tác dụng lên vật,
là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng
một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Ta có .
Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là
.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Khi đó giá trị biểu thức
có giá trị bằng bao nhiêu?
Gọi tọa độ điểm
Ta có:
Ta có: là hình bình hành
suy ra điểm
Khi đó .
Tính góc giữa hai vecto
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (do
là hình chữ nhật)
Chọn kết luận đúng
Trong không gian cho hình hộp
. Khi đó
bằng:
Theo quy tắc hình hộp ta có .
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian
, cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Trong không gian
, cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Ta có .
Suy ra .
.
Vậy
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
.
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn hệ thức
?
Ta có:
Chọn đáp án đúng
Cho tứ diện
với
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Góc giữa
và
là?
Ta có:
Vậy góc giữa và
là
Tìm câu sai
Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp
.
Hình vẽ minh họa
Đáp án đúng theo quy tắc hình hộp
Đáp án sai
Đáp án đúng theo quy tắc hình hộp
Đáp án đúng theo quy tắc hình bình hành
Tìm tọa độ vectơ
Biết rằng
và
. Tính
?
Ta có:
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Xác định giá trị tham số
để
?
Ta có:
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Tìm vectơ cùng phương với vectơ đã cho
Trong không gian
, cho vectơ
. Hãy chọn vectơ cùng phương với
?
Ta có: cùng phương với
khi
. Khi đó đáp án cần tìm là
(vì
).
Tính bán kính đường tròn
Trong không gian
, cho các điểm
,
, điểm
và tam giác
vuông tại
, hình chiếu vuông góc của
trên
là điểm
. Khi đó điểm
luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy . Ta có
và
, suy ra
.
Ta có
, mà
. Suy ra
.
Mặt khác ta có
, .
Từ và
suy ra
và
.
Với suy ra
thuộc mặt phẳng
với
là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng
.
Phương trình của là:
.
Với
vuông tại
.
Do đó thuộc mặt cầu
có tâm
là trung điểm của
và bán kính
.
Do đó điểm luôn thuộc đường tròn
cố định là giao tuyến của mp
với mặt cầu
.
Giả sử có tâm
và bán kính
thì
và
.
Vậy điểm luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
.
Chọn mệnh đề đúng
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Điểm
xác định bởi công thức
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên
Vậy mệnh đề đúng là “ thuộc tia
và
”.
Xác định tọa độ vector
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Chọn đáp án chính xác
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
tạo với nhau một góc
. Biết rằng
, tính
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Xác định tọa độ điểm Q
Trong không gian tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành
Minh họa bằng hình vẽ sau:
Ta có .
là hình bình hành
.
Vậy .
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục
cho ba điểm
thẳng hàng. Khi đó
bằng
Có .
thẳng hàng
cùng phương
.
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian cho điểm
và bốn điểm
,
,
,
không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để
,
,
,
tạo thành hình bình hành là
Hình vẽ minh họa
Trước hết, điều kiện cần và đủ để là hình bình hành là:
.
Với mọi điểm bất kì khác
,
,
,
, ta có:
.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho
và
là điểm đối xứng cới điểm
qua
. Khi đó
bằng:
Gọi là hình chiếu của M trên
ta có
. Do
đối xứng với
qua
, khi đó
là trung điểm của
Suy ra từ đó
.
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian
cho
. Tọa độ của
là
Ta có:
Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta có: nên điểm cần tìm là
.
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa
Ta có ;
nên
không cùng phương hay
không thẳng hàng.
Gọi
.
Lúc đó, là hình bình hành khi và chỉ khi
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:
Tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hình hộp
có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng
với
;
với
.
Hình vẽ minh họa

Đặt
Ta có nên
.
Để ý rằng ,
.
Từ đó
Ta có , từ đó tính được:
.
Tính góc giữa hai vecto
Cho hình chóp
có
và
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Chọn khẳng định sai
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là khẳng định sai.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc.
là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đặt . Khi đó
với
là ba số có tổng bằng 1.
Ta có:
Tương tự ta được
Do đó
Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa
Do đó
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.
Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ
. Gọi
là vectơ thoả mãn:
. Tọa độ của vectơ
là:
Đặt .
Ta có:
Vậy .
Chọn khẳng định đúng
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng
sao cho
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Nên .
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian
, cho
. Tọa độ
bằng?
Ta có:
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: