Chứng minh các hệ thức hình học

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Chứng minh các hệ thức hình học

I. Cách làm bài toán chứng minh các hệ thức hình học
II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các hệ thức hình học
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các hệ thức hình học

Chứng minh các hệ thức hình học là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài "Chứng minh các hệ thức" và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách làm bài toán chứng minh các hệ thức hình học

+ Bài tập chứng minh các hệ thức hình học là bài toán mà ta phải chứng minh một đẳng thức đúng từ các dữ kiện để bài cho

+ Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lú Ta-lét, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Các bước suy luận để chứng minh:

- Giả sử cần chứng minh: AB.AC = AD.AE

- Ta lập sơ đồ:

$AB.AC = AD.AE \Leftarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Leftarrow \Delta ABE\sim\Delta ADC$ $AB.AC = AD.AE \Leftarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Leftarrow \Delta ABE\sim\Delta ADC$

- Khi đó bước đầu tiên ta sẽ chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ rồi chứng minh được hệ thức hình học đề bài đã ra

+ Ngoài ra có những bài toán ta sẽ không trực tiếp ra được hệ thức cần chứng minh mà cần phải chứng minh từng vế của hệ thức bằng với một hệ thức thứ ba

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các hệ thức hình học

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C. Tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D. Chứng minh rằng BD.BE = BC.BF

Lời giải:

Chứng minh các hệ thức hình học

+ Có $\widehat {ACB}$ $\widehat {ACB}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {ACB} = {90^0}$ $\widehat {ACB} = {90^0}$

+ Có Ax là tiếp tuyến, F thuộc Ax nên $\widehat {FAB} = {90^0}$ $\widehat {FAB} = {90^0}$

+ Xét tam giác FAB và tam giác ACB có:

$\widehat B$ $\widehat B$ chung

$\widehat {ACB} = \widehat {FAB}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\widehat {ACB} = \widehat {FAB}\left( { = {{90}^0}} \right)$

Suy ra hai tam giác FAB và ACB đồng dạng theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BA}} \Rightarrow BC.BF = A{B^2}$ $\Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BA}} \Rightarrow BC.BF = A{B^2}$(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (1)

+ Có $\widehat {ADB}$ $\widehat {ADB}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {ADB} = {90^0}$ $\widehat {ADB} = {90^0}$

+ Có Ax là tiếp tuyến, E thuộc Ax nên $\widehat {EAB} = {90^0}$ $\widehat {EAB} = {90^0}$

+ Xét tam giác EAB và tam giác ADB có:

$\widehat B$ $\widehat B$ chung

$\widehat {ADB} = \widehat {EAB}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\widehat {ADB} = \widehat {EAB}\left( { = {{90}^0}} \right)$

Suy ra hai tam giác EAB và ADB đồng dạng theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow BE.BD = A{B^2}$ $\Rightarrow \frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow BE.BD = A{B^2}$(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC.BF = BE.BD\left( { = A{B^2}} \right)$ $BC.BF = BE.BD\left( { = A{B^2}} \right)$ (đpcm)

Bài 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh hệ thức: $A{M^2} = AE.AC$ $A{M^2} = AE.AC$

Lời giải:

Chứng minh các hệ thức hình học

+ Có $\widehat {AMB}$ $\widehat {AMB}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {AMB} = {90^0}$ $\widehat {AMB} = {90^0}$

+ Xét tam giác AMB có $\widehat {AMB} = {90^0};MI \bot AB$ $\widehat {AMB} = {90^0};MI \bot AB$(MN vuông góc với AB tại I) có:

$A{M^2} = AI.AB$ $A{M^2} = AI.AB$(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

+ Có $\widehat {ACB}$ $\widehat {ACB}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {ACB} = {90^0}$ $\widehat {ACB} = {90^0}$

+ Xét tam giác AEI và tam giác ABC có:

$\widehat {ACB} = \widehat {AIE}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\widehat {ACB} = \widehat {AIE}\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat {BAC}$ $\widehat {BAC}$chung

Suy ra hai tam giác AEI và tam giác ABC đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AI.AB$ $\Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AI.AB$(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A{M^2} = AE.AC$ $A{M^2} = AE.AC$ (đpcm)

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các hệ thức hình học

Bài 1: Cho đường tròn O cà dây CD. A là điểm chính giữa cung CD. M thuộc CD, dây AN qua M

a, Chứng minh $A{C^2} = AM.AN$ $A{C^2} = AM.AN$

b, Chứng minh $AD.DN = DM.AN$

Bài 2: Cho tam gisc đều ABC nội tiếp (O). D là điểm trên cung nhỏ BC. CD và AB kéo dài cắt nhau ở M, BD và AC kéo dài cắt nhau ở N. Chứng minh $A{B^2} = BM.CN$ $A{B^2} = BM.CN$

Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB =. Qua A kẻ tiếp tuyến xy. Một điểm M thuộc Ax, nối BM cắt (O) tại C. Chứng minh $M{A^2} = MB.MC$ $M{A^2} = MB.MC$

Bài 4: Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB), MH cắt đường tròn tại N. Trên tia đối BA lấy điểm C. MC cắt đường tròn tại D. ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: $N{B^2} = NE.ND$ $N{B^2} = NE.ND$ và $AC.BE = BC.AE$

Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD. Kẻ AH vuông góc với MO tại H. Chứng minh $OH.OM = {R^2}$ $OH.OM = {R^2}$

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!