Chứng minh các hệ thức hình học

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Chứng minh các hệ thức hình học

I. Cách làm bài toán chứng minh các hệ thức hình học
II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các hệ thức hình học
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các hệ thức hình học

Chứng minh các hệ thức hình học là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài "Chứng minh các hệ thức" và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách làm bài toán chứng minh các hệ thức hình học

+ Bài tập chứng minh các hệ thức hình học là bài toán mà ta phải chứng minh một đẳng thức đúng từ các dữ kiện để bài cho

+ Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lú Ta-lét, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Các bước suy luận để chứng minh:

- Giả sử cần chứng minh: AB.AC = AD.AE

- Ta lập sơ đồ:

$AB.AC = AD.AE \Leftarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Leftarrow \Delta ABE\sim\Delta ADC$ $A B . A C = A D . A E \Leftarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A C} \Leftarrow Δ A B E \sim Δ A D C$

- Khi đó bước đầu tiên ta sẽ chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ rồi chứng minh được hệ thức hình học đề bài đã ra

+ Ngoài ra có những bài toán ta sẽ không trực tiếp ra được hệ thức cần chứng minh mà cần phải chứng minh từng vế của hệ thức bằng với một hệ thức thứ ba

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các hệ thức hình học

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C. Tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D. Chứng minh rằng BD.BE = BC.BF

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

+ Có $\widehat {ACB}$ $\hat{A C B}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {ACB} = {90^0}$ $\hat{A C B} = 90^{0}$

+ Có Ax là tiếp tuyến, F thuộc Ax nên $\widehat {FAB} = {90^0}$ $\hat{F A B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác FAB và tam giác ACB có:

$\widehat B$ $\hat{B}$ chung

$\widehat {ACB} = \widehat {FAB}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\hat{A C B} = \hat{F A B} (= 90^{0})$

Suy ra hai tam giác FAB và ACB đồng dạng theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BA}} \Rightarrow BC.BF = A{B^2}$ $\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{B F}{B A} \Rightarrow B C . B F = A B^{2}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (1)

+ Có $\widehat {ADB}$ $\hat{A D B}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {ADB} = {90^0}$ $\hat{A D B} = 90^{0}$

+ Có Ax là tiếp tuyến, E thuộc Ax nên $\widehat {EAB} = {90^0}$ $\hat{E A B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác EAB và tam giác ADB có:

$\widehat B$ $\hat{B}$ chung

$\widehat {ADB} = \widehat {EAB}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\hat{A D B} = \hat{E A B} (= 90^{0})$

Suy ra hai tam giác EAB và ADB đồng dạng theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow BE.BD = A{B^2}$ $\Rightarrow \frac{B E}{B A} = \frac{A B}{B D} \Rightarrow B E . B D = A B^{2}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC.BF = BE.BD\left( { = A{B^2}} \right)$ $B C . B F = B E . B D (= A B^{2})$ (đpcm)

Bài 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh hệ thức: $A{M^2} = AE.AC$ $A M^{2} = A E . A C$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

+ Có $\widehat {AMB}$ $\hat{A M B}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {AMB} = {90^0}$ $\hat{A M B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác AMB có $\widehat {AMB} = {90^0};MI \bot AB$ $\hat{A M B} = 90^{0}; M I ⊥ A B$ (MN vuông góc với AB tại I) có:

$A{M^2} = AI.AB$ $A M^{2} = A I . A B$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

+ Có $\widehat {ACB}$ $\hat{A C B}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {ACB} = {90^0}$ $\hat{A C B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác AEI và tam giác ABC có:

$\widehat {ACB} = \widehat {AIE}\left( { = {{90}^0}} \right)$ $\hat{A C B} = \hat{A I E} (= 90^{0})$

$\widehat {BAC}$ $\hat{B A C}$ chung

Suy ra hai tam giác AEI và tam giác ABC đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AI.AB$ $\Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{A I}{A C} \Rightarrow A E . A C = A I . A B$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A{M^2} = AE.AC$ $A M^{2} = A E . A C$ (đpcm)

Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax; By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt Ax; By lần lượt tại C; D.

a) Chứng minh tam giác COD là tam giác vuông và $MC.MD = OM^{2}$ $M C . M D = O M^{2}$ .

b) Biết $O C = A B = 2 R$ . Tính AC; BD theo R?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Vì tiếp tuyến tại A; M của đường tròn cắt nhau tại C nên $\widehat{COA} = \widehat{COM}$ $\hat{C O A} = \hat{C O M}$

Vì tiếp tuyến tại B; M của đường tròn cắt nhau tại D nên $\widehat{DOB} = \widehat{DOM}$ $\hat{D O B} = \hat{D O M}$

Ta có:

$\widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COM} + \widehat{MOD} + \widehat{DOB} = 180^{0}$ $\hat{A O B} = \hat{A O C} + \hat{C O M} + \hat{M O D} + \hat{D O B} = 180^{0}$

$\Leftrightarrow 2\widehat{COM} + 2\widehat{MOD} = 180^{0} \Leftrightarrow \widehat{COM} + \widehat{MOD} = 90^{0}$ $\Leftrightarrow 2 \hat{C O M} + 2 \hat{M O D} = 180^{0} \Leftrightarrow \hat{C O M} + \hat{M O D} = 90^{0}$

Xét tam giác $C O D$ có $\widehat{COM} + \widehat{MOD} = 90^{0}$ $\hat{C O M} + \hat{M O D} = 90^{0}$

Vậy tam giác COD vuông tại O.

Vì CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) có tiếp điểm là M nên $OM\bot CD$ $O M ⊥ C D$

Vì tam giác COD vuông tại O có đường cao OM nên ta có: $OM^{2} = MC.MD$ $O M^{2} = M C . M D$

b) Xét tam giác AOC vuông tại A có AO = R; PC = 2R

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông AOC có:

$OC^{2} = OA^{2} + AC^{2} \Leftrightarrow 4R^{2} = R^{2} + AC^{2}$ $O C^{2} = O A^{2} + A C^{2} \Leftrightarrow 4 R^{2} = R^{2} + A C^{2}$

$\Leftrightarrow AC = R\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow A C = R \sqrt{3}$

Vì tiếp tuyến tại A; M của đường tròn (O) nên $CA = CM = R\sqrt{3}$ $C A = C M = R \sqrt{3}$

Xét tam giác vuông COD có OM là đường cao và $OC^{2} = CM.CD$ $O C^{2} = C M . C D$

$\Leftrightarrow 4R^{2} = R\sqrt{3}.CD$ $\Leftrightarrow 4 R^{2} = R \sqrt{3} . C D$

$\Leftrightarrow CD = \frac{4R^{2}}{R\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow C D = \frac{4 R^{2}}{R \sqrt{3}}$

$\Rightarrow MD = CD - CM = \frac{4R\sqrt{3}}{3} - R\sqrt{3} = \frac{R\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow M D = C D - C M = \frac{4 R \sqrt{3}}{3} - R \sqrt{3} = \frac{R \sqrt{3}}{3}$

Vì tiếp tuyến tại B; M của đường tròn cắt nhau tại D nên $DM = DB = \frac{R\sqrt{3}}{3}$ $D M = D B = \frac{R \sqrt{3}}{3}$ .

Bài 4: Cho đường tròn (O) nội tiếp hình thoi ABCD. Kẻ một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AD; AB theo thứ tự ở E; F. Kẻ một tiếp tuyến khác với đường tròn (O) cắt cạnh CB; CD theo thứ tự tại G; H. Chứng minh rằng:

a) $B E . D F = O B . O D$

b) EG // HF

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Tứ giác BEFD có:

$\widehat{OBA} + \widehat{ODB} + \widehat{BEF} + \widehat{EFD} = 360^{0}$ $\hat{O B A} + \hat{O D B} + \hat{B E F} + \hat{E F D} = 360^{0}$

$\Leftrightarrow 2\widehat{OBE} + 2\widehat{BEO} + 2\widehat{OFD} = 360^{0}$ $\Leftrightarrow 2 \hat{O B E} + 2 \hat{B E O} + 2 \hat{O F D} = 360^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{OBE} + \widehat{BEO} + \widehat{OFD} = 180^{0}$ $\Leftrightarrow \hat{O B E} + \hat{B E O} + \hat{O F D} = 180^{0}$ mà $\widehat{OBE} + \widehat{BEO} + \widehat{EOB} = 180^{0}$ $\hat{O B E} + \hat{B E O} + \hat{E O B} = 180^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{OFD} = \widehat{EOB}$ $\Leftrightarrow \hat{O F D} = \hat{E O B}$

$\Rightarrow \Delta BOE\sim\Delta DFO(g - g) \Rightarrow \frac{BE}{OD} = \frac{OB}{DF}$ $\Rightarrow Δ B O E \sim Δ D F O (g - g) \Rightarrow \frac{B E}{O D} = \frac{O B}{D F}$

$\Rightarrow BE.DF = OB.OD(1)$ $\Rightarrow B E . D F = O B . O D (1)$

b) Tương tự ta chứng minh được $B G . D H = O B . O D (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $BE.DF = BG.DH \Rightarrow \frac{BE}{DH} = \frac{BG}{DF}$ $B E . D F = B G . D H \Rightarrow \frac{B E}{D H} = \frac{B G}{D F}$

$\Rightarrow \Delta BEG\sim\Delta DHF(c - g - c)$ $\Rightarrow Δ B E G \sim Δ D H F (c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat{BGE} = \widehat{DFH}$ $\Rightarrow \hat{B G E} = \hat{D F H}$

$\Rightarrow \widehat{BGE} + \widehat{GBI} = \widehat{BGE} + \widehat{EBI} = \widehat{DFK} + \widehat{FDK}$ $\Rightarrow \hat{B G E} + \hat{G B I} = \hat{B G E} + \hat{E B I} = \hat{D F K} + \hat{F D K}$

$\Rightarrow \widehat{OIG} = \widehat{OKF}$ $\Rightarrow \hat{O I G} = \hat{O K F}$ (với I; K lần lượt là giao điểm của BD và EG; FH)

$\Rightarrow EG//FH$ $\Rightarrow E G / / F H$ .

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các hệ thức hình học

Bài 1: Cho đường tròn O cà dây CD. A là điểm chính giữa cung CD. M thuộc CD, dây AN qua M

a, Chứng minh $A{C^2} = AM.AN$ $A C^{2} = A M . A N$

b, Chứng minh $A D . D N = D M . A N$

Bài 2: Cho tam gisc đều ABC nội tiếp (O). D là điểm trên cung nhỏ BC. CD và AB kéo dài cắt nhau ở M, BD và AC kéo dài cắt nhau ở N. Chứng minh $A{B^2} = BM.CN$ $A B^{2} = B M . C N$

Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB =. Qua A kẻ tiếp tuyến xy. Một điểm M thuộc Ax, nối BM cắt (O) tại C. Chứng minh $M{A^2} = MB.MC$ $M A^{2} = M B . M C$

Bài 4: Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB), MH cắt đường tròn tại N. Trên tia đối BA lấy điểm C. MC cắt đường tròn tại D. ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: $N{B^2} = NE.ND$ $N B^{2} = N E . N D$ và $A C . B E = B C . A E$

Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD. Kẻ AH vuông góc với MO tại H. Chứng minh $OH.OM = {R^2}$ $O H . O M = R^{2}$

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

8

11.800

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Chứng minh các hệ thức hình học

408,4 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!