Đề thi học sinh giỏi lớp 11 THPT Chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012 môn Toán - Có đáp án

Câu 1 (3,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình: (x, y, z thuộc ¡).

2. Tính giới hạn sau: .

Câu 2 (2,0 điểm).

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ac ≥ 12 và bc ≥ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của biểu thức:

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các số nguyên dương n và số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời các điều kiện n ≤ 2p và (p - 1)ⁿ + 1 chia hết cho n^p-1.

Câu 4 (2,0 điểm).

Xét các điểm M, N (M, N không trùng với A) tương ứng thay đổi trên các đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho và các đường thẳng BN, CM cắt nhau tại P. Gọi Q là giao điểm thứ hai (khác điểm P) của đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP và CNP.

1. Chứng minh rằng Q luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

2. Gọi A', B', C' lần lượt là điểm đối xứng với Q qua các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C' nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu 5 (1,0 điểm).

Ta gọi mỗi bộ ba số nguyên dương (a; b; c) là một bộ n- đẹp nếu a ≤ b ≤ c, ước chung lớn nhất của a, b, c bằng 1và (aⁿ + bⁿ + cⁿ)(a + b + c). Ví dụ, bộ (1; 2; 2) là 5- đẹp, nhưng không phải là 3- đẹp. Tìm tất cả các bộ n- đẹp với mọi n≥ 1 (nếu có).