Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc năm 2020-2021
Đề thi HSG lớp 11 môn Toán
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020-2021
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Tìm
m
để hàm số
cos
3sin5 4cos5 2 3
x
y
x x m
có tập xác định là
.
b) Giải phương trình:
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
Câu 2 (2,0 điểm). Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không còn phù hợp
bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác
Nam chặt không có hai cây nào gần nhau.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
1
4 3
4( 2)
n n
n n
C C n
. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển nhị thức Niu – tơn của
2 2
(1 2 ) (1 3 ) .
n n
P x x x x
Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số
n
u
được xác định bởi:
*
1 1
2
2
1 2 1
1 1
, ;
3
1 2 2
n n
n n
n
u u u n
n
n n
. Tính
2021
lim
2020
n
nu
Câu 5 (2,0 điểm). Giải bất phương trình
2
2
1 2 2 3 1
1.
1 2 1
x x x
x x
Câu 6 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có
( 5;2)
A
.
( 1; 2)
M
là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho
MDC MBC
và
MB MC
. Tìm tọa độ điểm D biết
1
tan
2
DAM
.
Câu 7 (4,0 điểm). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
và các cạnh bên đều bằng
a
.
Gọi
M
là điểm nằm trên
SB
sao cho
1
3
SM SB
.
a. Gọi
( )
P
là mặt phẳng chứa
CM
và song song với
.
SA
Tính theo
a
diện tích thiết diện tạo
bởi
( )
P
và hình chóp
. .
S ABCD
b.
E
là một điểm thay đổi trên cạnh
AC
. Xác định vị trí điểm
E
để
ME
vuông góc với
.
CD
Câu 8 (2,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2 2
4 4 4 1
2
a b c
T
a b b c c a abc
.
-------------Hết-----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020-2021
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm
theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày Điểm
1 Câu 1 (4,0 điểm).
a) Tìm
m
để hàm số
cos
3sin 5 4cos5 2 3
x
y
x x m
có tập xác định là
.
b) Giải phương trình:
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
1a.(2,0 điểm)
Hàm số có tập xác định là
khi và chỉ khi
( ) 3sin 5 4cos5 2 3 0, .
f x x x m x
0,5
Ta có:
3 4 2 3
( ) 0, sin5 cos5 , .
5 5 5
m
f x x x x x
0,5
2 3
sin(5 ) ,
5
m
x x
với
3
cos
5
4
sin
5
0,5
Do
1 sin(5 ) 1,x x
nên
2 3
( ) 0, 1 1.
5
m
f x x m
V
ậ
y
1.
m
0,5
1b.(2,0 điểm)
Điều kiện:
2
x l l
Suy ra
2 2
(1) cos2 tan 1 cos (1 tan )
x x x x
0,5
2
cos 1
cos2 cos 2cos cos 1 0
1
cos
2
x
x x x x
x
0,5
cos 1 2x x k k
0,5
1
cos 2
2 3
x x k k
Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm
2
x k
,
2
3
x k k
0,5
(Đáp án có 06 trang)
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
2 Câu 2 (2,0 điểm). Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không
còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác
suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau.
Số phần tử của không gian mẫu là 4845)(
4
20
Cn
Trư
ờng hợp 1: Cả 4 cây đ
ư
ợc chặt ở gần nhau có 20 cách
0,5
Trường hợp 2: Trong 4 được chặt có đúng 3 cây gần nhau
- Chặt 3 cây gần nhau có 20 cách
- Mỗi 3 cây gần nhau có 15 cây không gần 3 cây đó. Vậy trường hợp này có:
20 X 15 = 300 cách
0,5
Trường hợp 3: Trong 4 cây được chặt có đúng 2 cây gần nhau:
- Chặt đúng 2 cây ở gần nhau có 20 cách
- Với mỗi 2 cây gần nhau có 16 cây không ở gần hai cây này. Trong 16 cây lại có 15 cặp
cây gần nhau. Chọn hai cây không gần nhau trong 16 cây có: 10515
2
16
C
Vậy trường hợp này có: 20.105 = 2100 cách
0,5
Trường hợp 4: Trong 4 cây được chặt có đúng hai cặp cây gần nhau
- Chọn một cặp cây gần nhau có 20 cách
- Mỗi cách chọn một cặp cây gần nhau lại có 15 cặp cây gần nhau được chọn từ 16 cây.
Vậy trường hợp này có 150
2
15.20
cách
Vậy
2275)150210030020(4845)(
An
Suy ra:
969
455
4845
2275
)( AP
0,5
3
Câu 3 (2,0 điểm). Cho
n
là số nguyên dương thỏa mãn
1
4 3
4( 2)
n n
n n
C C n
. Tìm hệ số
của
5
x
trong khai triển nhị thức Niu – tơn của
2 2
(1 2 ) (1 3 ) .
n n
P x x x x
ĐK: n nguyên dương, ta có
1
4 3
4( 2)
n n
n n
C C n
tương đương với
( 4)! ( 3)! ( 4)( 3) ( 3)( 1)
4( 2) 4
( 1)!.3! !.3! 6 6
n n n n n n
n
n n
3 15 5.
n n
0,5
Với
5,
n
ta có
5 2 10
(1 2 ) (1 3 )
P x x x x
Xét khai triển:
5
5
5
0
(1 2 ) ( 2 )
k k
k
x x x C x
, suy ra hệ số chứa
5
x
ứng với
4
k
và ta
có
4 4
5 5
( 2) 80
a C
Xét khai triển:
10
2 10 2
10
0
(1 3 ) (3 )
k m
m
x x x C x
, suy ra hệ số chứa
5
x
ứng với
3
m
và
ta có
3 3
5 10
.3 3240.
a C
1,0
Vậy hệ số của
5
x
trong khai triển là:
5
80 3240 3320.
a
0,5
4
Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số
n
u
được xác định bởi:
*
1 1
2
2
1 2 1
1 1
, ;
3
1 2 2
n n
n n
n
u u u n
n
n n
. Tính
2021
lim
2020
n
nu
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc năm 2021
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc năm 2020-2021 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 Sở GD&ĐT Bình Định năm 2020-2021
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc lần 2 năm 2020-2021
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc năm 2020-2021 để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi được tổng hợp gồm có 8 câu hỏi tự luận, thí sinh làm bài trong thời gian 180 phút. Đề có hướng dẫn giải và đáp án chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo.
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THPT miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 11. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc năm 2020-2021. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11...
