Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

B. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Đề bài 1: Cho phương trình \(x^{2} - (2m - 1)x + m - 1 = 0\).

a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

d. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Hướng dẫn giải

a. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có \(\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2m - 1 \\ c = m - 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có: \(\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)\) \(= 4m^{2} - 8m + 4 + 1 = (2m - 2)^{2} + 1\)

Vì \((2m - 2)^{2} \geq 0\forall m\) \(\Rightarrow \Delta = (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1;\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị tham số m.

b. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có \(\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2m - 1 \\ c = m - 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi \(\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ ac > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{matrix} (2m - 2)^{2} + 1 \geq 0 \\ m - 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\)

Vậy với \(m > 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

c. Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì \(\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ ac > 0 \\ \frac{- b}{a} > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{matrix} (2m - 2)^{2} + 1 \geq 0 \\ m - 1 > 0 \\ 2m - 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ 2m > 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 1\)

Vậy với \(m > 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.

d. Để phương trình có hai nghiệm cùng âm thì \(\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ ac > 0 \\ \frac{- b}{a} < 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{matrix} (2m - 2)^{2} + 1 \geq 0 \\ m - 1 > 0 \\ 2m - 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ 2m < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ (VN)\)

Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn để phương trình có hai nghiệm cùng âm.

Đề bài 2. Cho phương trình \((m + 1)x^{2} - 2(m + 2)x + m + 5 = 0\).

a. Tìm m để phương trình có nghiệm.

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

d. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

Hướng dẫn giải

Với \(m = - 1\) phương trình trở thành \(- 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Phương trình có một nghiệm \(x = 2\).

Với \(m \neq - 1\) phương trình là phương trình bậc hai có \(\left\{ \begin{matrix} a = m + 1 \\ b = 2(m + 2) \\ c = m + 5 \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có:

\(\Delta' = (m + 2)^{2} - (m + 1)(m + 5)\)

\(= m^{2} + 4m + 4 - m^{2} - 6m - 5 = - 2m - 1\)

a. Phương trình có nghiệm khi \(\Delta' \geq 0 \Rightarrow - 2m - 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq - \frac{1}{2}\)

Vậy \(m \leq - \frac{1}{2}\) thì phương trình có nghiệm.

b. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta' > 0 \Rightarrow - 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}\)

Vậy \(m < - \frac{1}{2}\) và \(m \neq - 1\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(ac < 0\)

\(\Leftrightarrow (m + 1)(m + 5) < 0\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m + 1 > 0 \\ m + 5 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} m + 1 < 0 \\ m + 5 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m > - 1 \\ m < - 5 \\ \end{matrix} \right.\ (ktm) \\ \left\{ \begin{matrix} m < - 1 \\ m > - 5 \\ \end{matrix} \right.\ (tm) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 5 < m < - 1\)

Vậy với \(- 5 < m < - 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

Chú ý:

Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn như sau :

Để (1) xảy ra thì m + 1 và m + 5 là hai số trái dấu.

Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi \(\left\{ \begin{matrix} m + 1 < 0 \\ m + 5 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < - 1 \\ m > - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 5 < m < - 1\)

Trường hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng như (1), hãy học thuộc từ “ngoài cùng trong khác” và dịch như sau : ngoài khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a là hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây là nghiệm của đa thức vế trái )

Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm là -1 và -5 , dạng khai triển là m² + 6m + 5 nên hệ số a là 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức là khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức là -5 < m < -1.

Còn BPT ( m + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoài khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức là m < -5 hoặc m > -1

d. Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi \(\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ ac > 0 \\ \frac{- b}{a} > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\left\{ \begin{matrix} - 2m - 1 \geq 0 \\ (m + 1)(m + 5) > 0 \\ \frac{2(m + 2)}{m + 1} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \frac{1}{2} \\ (m + 1)(m + 5) > 0 \\ (m + 2)(m + 1) > 0 \\ \end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \frac{1}{2} \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < - 5 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 5 \\ - 1 < m < - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

Chú ý:

Để tìm nghiệm của hệ bất phương trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên đó và lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung và kết luận.