Ước số là gì - Bội số là gì?
Ước số là gì – Bội số là gì? Số nguyên tố là gì - Hợp số là gì? sẽ giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức về ước chung và bội chung trong chương trình Toán 6. Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất đưa ra một số phương pháp giải bài toán về tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Mời các em cùng tham khảo.
Ước số là gì - Bội số là gì?
Năm được các định nghĩa dưới đây, giúp các em học sinh vận dụng vào các dạng bài tập về số nguyên lớp 6, chuẩn bị cho chương trình giải sách mới lớp 6 cho năm học mới.
A. Ước
1. Ước số là gì?
Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a.
Tập hợp các ước của của a được kí hiệu là: Ư(a).
Muốn tìm các ước của a (a > 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.
Ví dụ 1:
4 là ước của 8.
8 là ước của 24.
Ví dụ 2: Tìm các ước của 18.
Lần lượt chia 18 cho các số từ 1 đến 18, ta thấy 18 chia hết cho 1; 2; 3; 6; 9; 18 nên:
Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
2. Ước chung là gì?
− Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
− ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.
− Nếu a ⋮ x, b ⋮ x và c ⋮ x thì x ∈ ƯC(a, b, c)
Ví dụ: Tìm ước chung của 8 và 28.
Ta có: Ư(8) = {1; 2; 4; 8}
Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}
Vậy ƯC(8, 28) = {1; 2; 4}
3. Ước chung lớn nhất là gì?
− Ước số chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
− Tìm ước chung lớn nhất trong trường hợp đặc biệt:
- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy:
Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b
- Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:
ƯCLN(a, 1) = 1 và ƯCLN(a, b, 1) = 1
− Cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là UCLN cần tìm.
Chú ý: Hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ước chung lớn nhất của hai số bằng 1.
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN(9, 12).
Ta có: Ư(9) = {1; 3; 9}
Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Suy ra ƯC(9, 12) = {1; 3}
Do 3 là số lớn nhất trong các ước chung nên ƯCLN(9, 12) = 3.
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN(14; 52).
Do 52 ⋮ 14 nên ƯCLN(14, 52) = 14.
Ví dụ 3: Tìm ƯCLN(84, 140).
Phân tích số ra thừa số nguyên tố ta được:
84 = 22 . 3 . 7
140 = 22 . 5 . 7
Do đó ƯCLN(84; 140) = 22 . 7 = 28
4. Cách tìm Ước chung thông qua tìm ƯCLN.
Để tìm ước chung của các số, ta có thể làm như sau:
- Bước 1: Tìm ƯCLN của các số đó.
- Bước 2: Tìm các ước của ƯCLN đó.
Ví dụ: Tìm ƯC(105, 120).
Phân tích số ra thừa số nguyên tố ta được:
105 = 3 . 5 . 7
120 = 23 . 3 . 5
Do đó ƯCLN(105, 120) = 3 . 5 = 15
Ư(15) = {1; 3; 5; 15}
Vậy ƯC(105, 120) = {1; 3; 5; 15}
B. Bội số
1. Bội số là gì?
Nếu a chia hết cho b, ta nói a là bội của b.
Tập hợp các ước của của a được kí hiệu là: B(b).
Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; ...
Ví dụ 1:
56 là bội của 7
25 là bội của 5
Ví dụ 2: Tìm bội nhỏ hơn 50 của 9.
Lần lượt nhân 9 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ... ta được các bội của 9 là: 0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; ...
Vậy các bội nhỏ hơn 50 của 6 là: 0; 9; 18; 27; 36; 45.
2. Bội chung là gì?
− Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
− BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.
− Nếu x ⋮ a, x ⋮ b thì x ∈ BC(a, b)
Ví dụ: Tìm bội chung của 8 và 28.
Ta có: B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96; 104; 112; ...}
B(28) = {0; 28; 56; 84; 112; ...}
Vậy BC(8, 28) = {0; 56; 112; ...}
3. Bội số chung nhỏ nhất là gì?
− Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung.
− Tìm bội chung nhỏ nhất trong trường hợp đặc biệt:
- Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy:
Nếu a ⋮ b thì BCNN(a, b) = a
- Mội số tự nhiên đều là bội 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:
BCNN(a, 1) = a và BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)
− Cách tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN cần tìm.
Chú ý: Nếu hai số a, b là hai số nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của a . b
Ví dụ 1: Tìm BCNN(6, 8)
Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; ...}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; ...}
Do đó BC(6, 8) = {0; 24; ...}
Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 6 và 8 là 24 nên:
BCNN(6, 8) = 24.
Ví dụ 2: Tìm BCNN(9, 27)
Do 27 ⋮ 9 nên BCNN(9, 27) = 27
Ví dụ 3: Tìm BCNN(18, 40)
Ta có: 18 = 2 . 32
40 = 23 . 5
Thừa số nguyên tố chung là 2 và riêng là 3 và 5
Khi đó BCNN(18, 40) = 23 . 32 . 5 = 360
>> Chi tiết: Lý thuyết Toán lớp 6: Ước chung và bội chung
4. Cách tìm Bội chung thông qua tìm BCNN.
Để tìm bội chung của các số, ta có thể làm như sau:
- Bước 1: Tìm BCNN của các số đó.
- Bước 2: Tìm các bội của BCNN đó.
Ví dụ: Tìm BC(25, 40).
Phân tích số ra thừa số nguyên tố ta được:
25 = 52
40 = 23 . 5
Do đó BCNN(25, 40) = 23 . 52 = 200
B(200) = {0; 200; 400; 600; ...}
Vậy BC(25, 40) = {0; 200; 400; 600; ...}
C. Một số dạng toán về UCLN và BCNN
Phương pháp chung để giải:
1) Dựa vào định nghĩa ƯCLN, BCNN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số.
2) Vận dụng hệ thức:
ƯCLN(a, b) . BCNN(a, b) = a . b
Bài tập:
Ví dụ 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết BCNN(a, b) = 240 và ƯCLN(a, b) = 16.
Lời giải:
Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.
Ta có: ƯCLN(a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n và (m, n) = 1 (m, n ∈ Z+ và m ≤ n do a ≤ b)
BCNN(a, b) = 240
Ta có: a . b = ƯCLN(a, b) . BCNN(a, b)
16m . 16n = 240 . 16
mn = 15
• Với m = 1, n = 15 thì a = 16, b = 240
• Với m = 3, n = 5 thì a = 48, b = 80.
Ví dụ 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và ƯCLN(a, b) = 6.
Lời giải:
Giả sử a ≤ b.
Ta có: ƯCLN(a, b) = 6 nên a = 6m; b = 6n và (m, n) = 1 (m, n ∈ Z+ và m ≤ n do a ≤ b)
Do đó ab = 6m . 6n = 216
Suy ra mn = 6
• Với m = 1, n = 6 thì a = 6, b = 36
• Với m = 2, n = 3 thì a = 12, b = 18.
Ví dụ 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, BCNN(a, b) = 60.
Lời giải:
Giả sử a ≤ b
Ta có: a . b = ƯCLN(a, b) . BCNN(a, b)
Suy ra ƯCLN(a, b) = ab : BCNN(a, b) = 180 : 60 = 3.
Do đó: a = 3m; b = 3n và (m, n) = 1 (m, n ∈ Z+ và m ≤ n do a ≤ b)
Ta có: a . b = 3m . 3n = 180
mn = 20
• Với m = 1, n = 20 thì a = 3, b = 60
• Với m = 4, n = 5 thì a = 12, b = 15.
Tham khảo: Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
D. Số nguyên tố là gì? Hợp số là gì?
− Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
− Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
Chú ý: Các số 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số
Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
Ví dụ:
Số 5 có hai ước là 1 và 5 nên 5 là số nguyên tố.
Số 9 có các ước là 1, 3, 9 nên 9 là hợp số.
E. Một số bài tập về Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Bài 1. Phân tích số 84 ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của nó
Hướng dẫn giải
Ta có: 84 = 22 . 3 .7
Vậy Ư(84) = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84}.
Bài 2. Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 3 150 + 2 125
b) 5 163 + 2 532
c) 19 . 21 . 23 + 21 . 25 . 27
d) 15 . 19 . 37 - 225
Hướng dẫn giải
a. Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5, nên tổng là hợp số
b. Hiệu lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên hiệu là hợp số
c. Tổng lớn hơn 21 và chia hết cho 21 nên tổng là hợp số
d. Hiệu lớn hơn 15 và chia hết cho 15 nên hiệu là hợp số
Bài 3. Chứng minh rằng các số dưới đây là hợp số.
a) 297; 39 743; 987 624
b) 111....1 có 2001 chữ số 1 hoặc 2007 chữ số 1
Hướng dẫn giải
a) Các số trên đều chia hết cho 11
Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 để nhận biết: Nếu một số tự nhiên có tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng chẵn bằng tổng các chữ số ở hàng lẻ (số thứ tự được tính từ trái qua phải, số đầu tiên là số lẻ) thì số đó chia hết cho 11.
Chẳng hạn như số 561; 2574....
b) Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3. Tương tự, nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9.
Bài 4. An phân tích các số 120; 306; 567 ra thừa số nguyên tố như sau:
120 = 2 . 3 . 4 . 5
306 = 2 . 3 . 51
567 = 92 . 7
An làm như trên có đúng không? Hãy sửa lại trong trường hợp An làm không đúng.
Hướng dẫn giải
An phân tích không đúng vì 4; 51 và 92 là các hợp số.
Do đó, cần phải sửa lại như sau:
120 = 23 . 3 . 5
306 = 2 . 32 . 17
567 = 34 . 7
..........................
Trên đây VnDoc tổng hợp các dạng bài tập Ước số là gì - Bội số là gì?, ngoài ra các em học sinh có thể tham khảo các bài giải SGK môn Toán lớp 6 và các đề thi học kì 1 lớp 6 và đề thi học kì 2 lớp 6 để chuẩn bị cho các bài thi đề thi học kì đạt kết quả cao.
Chuyên mục giải sách mới Toán lớp 6 của 3 bộ sách đầy đủ cả năm học cả SBT cũng như SGK sau đây
