Toán lớp 6 Ước và Bội - ƯCLN và BCNN

Toán lớp 6 Chuyên đề 4: Ước và Bội – ƯCLN VÀ BCNN bao gồm các bài tập tham khảo số học lớp 6, đưa ra phần lý thuyết cơ bản cũng như các dạng bài tập về ước và bội, ƯCLN và BCNN, để từ đó các em dễ dàng làm các bài tập liên quan hiệu quả.

A. Đề thi học kì 1 Toán 6 

• Đề thi học kì 1 Toán 6 Sách mới
• Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo
• Đề thi học kì 1 Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống
• Đề thi học kì 1 Toán 6 sách Cánh Diều

B. Một số nội dung bài học liên quan

• Toán lớp 6 bài 11 Ước chung, Ước chung lớn nhất Kết nối tri thức
• Toán lớp 6 bài 12 Bội chung, bội chung nhỏ nhất Kết nối tri thức
• Toán lớp 6 bài 12 Ước chung và ước chung lớn nhất Cánh Diều
• Toán lớp 6 bài 13 Bội chung và bội chung nhỏ nhất Cánh Diều

C. Lý thuyết Ước và Bội – ƯCLN và BCNN

1. Ước và Bội

Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b còn b được gọi là ước của a.

Ví dụ : 18 ⋮ 6 ⇒ 18 là bội của 6. Còn 6 được gọi là ước của 18.

2. Cách tìm bội

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đớ với lần lượt 0, 1, 2, 3, ...

Ví dụ: B(6) = {0 ; 6 ; 12 ; 18 ; ... }

3. Cách tìm ước

Ta có thể tìm ước của a (a > 1) bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.

Ví dụ: Ư(16) = {16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1}

4. Số nguyên tố

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó

Ví dụ: Ư(13) = {13 ; 1} nên 13 là số nguyên tố.

5. Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

6. Ước chung lớn nhất - ƯCLN

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

7. Cách tìm ước chung lớn nhất - ƯCLN

Muốn tìm UCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là UCLN phải tìm.

Ví dụ: Tìm UCLN (18 ; 30)

Ta có:

Bước 1: phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

18 = 2.3²

30 = 2.3.5

Bước 2: thừa số nguyên tố chung là 2 và 3

Bước 3: UCLN (18; 30) = 2.3 = 6

Chú ý: Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì UCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có UCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

8. Cách tìm Ước thông qua UCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ước của UCLN của các số đó.

9. Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó

x ∈ BC (a, b) nếu x ⋮ a và x ⋮ b

x ∈ BC (a, b, c) nếu x ⋮ a; x ⋮ b; x ⋮ c

10. Các tìm bội chung nhỏ nhất. (BCNN)

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

11. Cách tìm bội chung thông qua BCNN

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

B. Bài tập Ước và bội

Bài 1:

a) Tìm các bội của 4 trong các số 8; 14; 20; 25.

b) Viết tập hợp các bội của 4 nhỏ hơn 30.

c) Viết dạng tổng quát các số là bội của 4.

Hướng dẫn:

a) Các bội của 4 trong các số 8; 14; 20; 25 là: 8; 20

b) Tập hợp các bội của 4 nhỏ hơn 30: {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}.

c) Dạng tổng quát các số là bội của 4: 4k, với k ∈ N.

Bài 2: Tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1.

ĐS: Ư(4) = {1; 2; 4}, Ư(6) = {1; 2; 3; 6}, Ư(9) ={1;3;9}; Ư(13) = {1; 13}, Ư(1) = {1}.

Bài 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho:

a) x ∈ B(12) và 20 ≤ x ≤ 50;

b) x⋮15 và 0 < x ≤ 40;

c) x ∈ Ư(20) và x > 8;

d) 16⋮x.

Hướng dẫn:

a) Nhân 12 lần lượt với 1; 2… cho đến khi được bội lớn hơn 50; rồi chọn những bội x thỏa mãn điều kiện đã cho.

=> 24; 36; 48.

b) 15; 30.

c) 10; 20.

d) 16⋮x có nghĩa là x là ước của 16. Vậy phải tìm tập hợp các ước của 16.

=> Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}.

Bài 4: Viết các tập hợp:

a) Ư (6), Ư (9)

b) Ư (7), Ư (8)

ĐS:

a) Ư (6) = {1; 2; 3; 6}, Ư (9) = {1, 3, 9}

b) Ư (7) = {1; 7}, Ư (8) = {1; 2; 4; 8}

Bài 5: Có 36 học sinh vui chơi. Các bạn đó muốn chia đều 36 người vào các nhóm. Trong các cách chia sau, cách nào thực hiện được ?

Hướng dẫn:

Để chia đều 36 người vào các nhóm thì số nhóm và số người ở một nhóm phải là ước của 36. Vì các số 4; 6; 12 trong bảng là các ước của 36 nên trong các cách chia đã nêu thì cách chia thứ nhất, thứ hai và thứ tư thực hiện được.

Bài 6: Cho n là số tự nhiên. Chứng tỏ:

a) (n + 10 ) ( n + 15) là bội của 2.

b) n ( n + 1) (n + 2) là bội của 2 và 3

c) n( n+1)( 2n + 1) là bội của 2 là 3

Bài 7: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho cả 5 và 9, biết rằng chữ số hàng chục bẳng trung bình cộng của hai chữ số còn lại.

Bài 8: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho cả 5 và 9 biết rằng hiệu số đó với số viết theo thứ tự ngược lại bằng 297.

Bài 9: Chứng tỏ rằng một số có ba chữ số mà chữ số hàng chục , hàng đơn vị bằng nhau và tổng ba chữ số của số đó chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.

C. Bài tập Ước và Bội – ƯCLN và BCNN

Bài toán 1: Viết các tập hợp sau.

a) Ư(6); Ư(9); Ư(12)

b) Ư(7); Ư(18); Ư(10)

c) Ư(15); Ư(16); Ư(250

d) B(23); B(10); B(8)

e) B(3); B(12); B(9)

g) B(18); B(20); B(14)

Bài toán 2: Phân tích các thừa số sau thành tích các thừa số nguyên tố.

a) 27 ; 30 ; 80 ; 20 ; 120 ; 90.

b ) 15 ; 100 ; 112 ; 224 ; 184.

c) 16 ; 48 ; 98 ; 36 ; 124.

d) 56 ; 72 ; 45 ; 54 ; 177.

Bài toán 3: Tìm UCLN.

a) ƯCLN (10 ; 28) e) ƯCLN (24 ; 84 ; 180)

b) ƯCLN (24 ; 36) g) ƯCLN (56 ; 140)

c) ƯCLN (16 ; 80 ; 176) h) ƯCLC (12 ; 14 ; 8 ; 20)

d) ƯCLN (6 ; 8 ; 18) k) ƯCLN (7 ; 9 ; 12 ; 21)

Bài toán 4: Tìm ƯC.

a) ƯC(16 ; 24) e) ƯC(18 ; 77)

b) ƯC(60 ; 90) g) ƯC(18 ; 90)

c) ƯC(24 ; 84) h) ƯC(18 ; 30 ; 42)

d) ƯC(16 ; 60) k) ƯC(26 ; 39 ; 48)

Bài toán 5: Tìm BCNN của.

a) BCNN( 8 ; 10 ; 20) f) BCNN(56 ; 70 ; 126)

b) BCNN(16 ; 24) g) BCNN(28 ; 20 ; 30)

c) BCNN(60 ; 140) h) BCNN(34 ; 32 ; 20)

d) BCNN(8 ; 9 ; 11) k) BCNN(42 ; 70 ; 52)

e) BCNN(24 ; 40 ; 162) l) BCNN( 9 ; 10 ; 11)

Bài toán 6: Tìm bội chung (BC) của.

a) BC(13 ; 15) e) BC(30 ; 105)

b) BC(10 ; 12 ; 15) g) BC( 84 ; 108)

c) BC(7 ; 9 ; 11) h) BC(98 ; 72 ; 42)

d) BC(24 ; 40 ; 28) k) BC(68 ; 208 ; 100)

Bài toán 7: Tìm số tự nhiên x lớn nhất, biết rằng:

a) 420 ⋮ x và 700 ⋮ x e) 17 ⋮ x; 21 ⋮ x và 51 ⋮ x

b) 48 ⋮ x và 60 ⋮ x f) 8 ⋮ x; 25 ⋮ x và 40 ⋮ x

c) 105 ⋮ x; 175 ⋮ x và 385 ⋮ x g) 12 ⋮ x; 15 ⋮ x và 35 ⋮ x

d) 46 ⋮ x; 32 ⋮ x và 56 ⋮ x h) 50 ⋮ x; 42 ⋮ x và 38 ⋮ x

Bài toán 8: Tìm các số tự nhiên x biết;

a) x ∈ B(8) và x ≤ 30 e) x ⋮ 12 và 50 < x ≤ 72

b) x ∈ B(15) và 15 < x ≤ 90 f) x ⋮ 14 và x < 92

c) x ∈ B(12) và 12 < x < 90 g) x ⋮ 9 và x < 40

d) x ∈ B(5) và x ≤100 h) x ⋮ 12 và 24 ≤ x ≤ 80

Bài toán 9: Tìm các số tự nhiên x biết.

a) x ∈ BC(6; 21; 27) và x ≤ 2000 f) x ∈ BC(5; 7; 8) và x ≤ 500

b) x∈ BC(12; 15; 20) và x ≤ 500 g) x ∈ BC(12; 5; 8) và 60 ≤ x ≤ 240

c) x ∈ BC(5; 10; 25) và x < 400 h) x ∈ BC(3; 4; 5; 10) và x <200

d) x ∈ BC(3; 5; 6; 9) và 150 ≤ x ≤ 250

e) x ∈ BC(16; 21; 25) và x ≤ 400 k) x ∈ BC(7; 14; 21) và x ≤ 210

Bài toán 10: Tìm số tự nhiên x, biết.

a) (x - 1) ∈ BC(4; 5; 6) và x < 400

b) (x - 1) ∈ BC(4; 5;6) và x ⋮ 7 và x < 400

c) (x + 1) ∈ BC(6; 20; 15) và x ≤ 300

d) (x + 2) ∈ BC( 8 : 16 : 24) và x ≤ 250

Bài toán 11: Tìm x N biết.

a) x ⋮ 39 ; x ⋮ 65 ; x ⋮ 91 và 400 < x < 2600

b) x ⋮ 12 ; x ⋮ 21 ; x ⋮ 28 và x < 500

Bài toán 12: Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho: 13 ; 15 ; 61 chia x đều dư 1.

Bài toán 13: Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 44; 86; 65 chia x đều dư 2.

Bài toán 14: Tìm số tự nhiên x, biết 167 chia x dư 17; 235 chia x dư 25.

Bài toán 15: Tìm số tự nhiên x biết khi chia 268 cho x thì dư 18; 390 chia x dư 40.

Bài toán 16: Tìm số tự nhiên x lớn nhất thỏa mãn: 27 chia x dư 3; 38 chia x dư 2 và 49 chia x dư 1.

Bài toán 17: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất biết khi chia x cho các số 5; 7; 11 thì được các số dư lần lượt là 3; 4; 6.

Bài toán 18: Học sinh của lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4 hoặc hàng 8 đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp 6A từ 38 đến 60 em. Tính số học sinh lớp 6A.

Đ/S: 48 học sinh

Bài toán 19: Số học sinh của lớp 6A từ 40 đến 50 em. Khi xếp thành hàng 3 hoặc 5 đều dư 2 em. Tính số học sinh lớp 6A.

Đ/S: 47 học sinh

Bài toán 20: Học sinh khối 6 của một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp thành hàng 4, hàng 5 hoặc hàng 7 đều dư 1 em. Tìm số học sinh khối 6 của trường đó.

Đ/S: 281 học sinh.

Bài toán 21: Có 96 cái bánh và 84 cái kẹo được chia đều vào mỗi đĩa. Hỏi có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa. Khi ấy mỗi đĩa có bao nhiêu cái bánh, bao nhiêu cái kẹo?

Đ/S:

Bài toán 22: Một lớp 6 có 24 nữ và 20 nam được chia thành tổ để số nam và số nữ được chia đều vào tổ. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ? Khi ấy tính số nam và số nữ mỗi tổ.

Đ/S: 4 tổ. Mỗi tổ có 6 nữ và 5 nam.

Bài toán 23: Có 60 quyển vở và 42 bút bi được chia thành từng phần. Hỏi có thể chia nhiều nhất được bao nhiêu phần để số vở và số bút bi được chia đều vào mỗi phần? Khi ấy mỗi phần có bao nhiêu vở và bao nhiêu bút bi?

Đ/S: 6 phần. Mỗi phần có 10 vở và 7 bút.

Bài toán 24: Một hình chữ nhật có chiều dài 105 và chiều rộng 75m được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong các cách chia trên.

Đ/S: 15m

Bài toán 25: Đội A và đội B cùng phải trồng một số cây bằng nhau. Biết mỗi người đội A phải trồng 8 cây, mỗi người đội B phải trồng 9 cây và số cây mỗi đội phải trồng khoảng từ 100 đến 200 cây. Tìm số cây mà mỗi đôi phải trồng.

Đ/S: 144 cây

Bài toán 26: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 112m và chiều rộng 40m. Người ta muốn chia mảnh đất thành những ô vuông bằng nhau để trồng các loại rau. Hỏi với cách chia nào thì cạnh ô vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu?

Đ/S: 8m

Bài toán 27: Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 177 tập giấy. Người ta chia vở, bút bi, giấy thành các phần thưởng bằng nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại. Nhưng sau khi chia xong còn thừa 13 quyển vở, 8 bút và 2 tập giấy không đủ chia vào các phần thưởng khác. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng.

Đ/S: 3 phần thưởng

Bài toán 28: Một đơn vị bộ đội khi xếp thành mỗi hàng 20 người, 25 người hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp thành hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài). Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 người.

Đ/S: 615 người.

Bài toán 29: Số học sinh khối 6 của một trường khoảng từ 300 đến 400 học sinh. Mỗi lần xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều vừa đủ không thừa ai. Hỏi trường đó khối 6 có bao nhiêu học sinh.

Đ/S: 360 học sinh.

Bài toán 30: Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 128 quyển vở, 48 bút chì và 192 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì một. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng, khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì, bao nhiêu tập giấy.

Đ/S: 16 phần. 8 quyển vở, 3 bút chì, 12 tập giấy.

Bài toán 31: Tìm các giá trị nguyên của x để. (toán nâng cao chuyên đề này).

a) 1 ⋮ (x + 7) e) (2x - 9) ⋮ (x - 5)

b) 4 ⋮ (x - 5) g) (x² - x - 1) ⋮ (x - 1)

c) (x +8) ⋮ (x + 7) h) (x² - 3x - 5) ⋮ (x - 3)

d) (2x + 16) ⋮ (x + 7) k) (5x + 2) ⋮ (x + 1)

d) (x - 4) ⋮ (x - 5) l) (2x² + 3x + 2) ⋮ (x + 1)

Bài toán 32: với x ∈ Z, chứng minh rằng.

a) [x(x + 1) + 1] không chia hết cho 2

b) (x² + x + 1) không chia hết cho 2

c) [3.(x² + 2x) + 1] không chia hết cho 3

d) (3x² + 6x + 1) không chia hết cho 3.

---------------------------------

Trên đây là chuyên đề Toán lớp 6 Ước và Bội - ƯCLN và BCNN. Hy vọng thông qua tài liệu này, các bạn sẽ nắm được những dạng toán về ước và bội, từ đó dễ dàng làm các bài tập trong các bài kiểm tra Toán 6 sắp tới.

• Giải Toán 6 - Chân trời
• Giải Toán 6 - Kết nối
• Giải Toán 6 - Cánh diều