Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 11 năm học 2017 - 2018 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 11 có lời giải
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
( Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (5 điểm)
a) Giải phương trình
3sincos
3tan2 2cos2 2
cos2 sin cos
x
x
xx
x
xx
.
b) Tính giới hạn
2
5
0
2017 1 5 2017
Llim
x
xx
x
.
Câu 2. (5 điểm)
a) Năm 2018 là năm kỷ niệm 50 năm Chiến thắng Đồng Lộc (24/7/1968-24/7/2018),
trường học X cho học sinh trong các đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 10, khối 11 của
trường về tham quan khu di tích Ngã ba Đồng lộc. Biết rằng đội tuyển Toán khối 10 có 4
em gồm 2 nam, 2 nữ; đội tuyển Toán khối 11 có 4 em gồm 3 nam, 1 nữ. Trong đợt tham
quan thứ nhất, trường chọn 3 học sinh với yêu cầu có cả đội tuyển 10, cả đội tuyển 11; có
cả nam và cả nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
b) Cho
n là số tự nhiên thỏa mãn
022 20162016 1
2017 2017 2017
3....3 2(21)
nn
CC C
. Tìm hệ
số của số hạng chứa
2016
x
trong khai triển
2
(2)( 4)
n
xxx
.
Câu 3. (5 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , H là trung điểm của AB,
()SH ABC
, SH x . Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng AC và N
là điểm thỏa mãn
M
HHN
.
a) Khi
3
2
a
x
, chứng minh đường thẳng SN vuông góc với mặt phẳng (SAC).
b) Tìm
x
theo a để góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng 45
0
.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho 1a và dãy số ()
n
x
xác định như sau:
1
x
a ;
2
1
. 3 2018
nnn
xaxx
với
1,2,...n
Tìm
a để
1
lim 2018
n
n
x
x
.
Câu 5. (2,5 điểm)
Cho các số thực
,,
x
yz
thỏa mãn
444 222
21xyz xyz
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
222
2
P
x y z xyz
.
--------------------------Hết--------------------------
-
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………………………………………………Số báo danh: ………………..
ĐÁP ÁN
Câu 1.
a)
ĐK
cos 2 0
cos 2 0
cos sin 0
x
x
xx
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
3sin2 3 sin cos 3sin2 3 cos sin
22cos20 22cos20
cos 2 sin cos cos sin cos sin sin cos
xxx x xx
xx
xxx xxxxxx
2
22
2
3sin 2 3 2 cos sin 2cos 2 0 3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0
1
2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2
2
xxxx x x x
xx x x
+) sin 2 1 cos2 0xx không thỏa mãn ĐK
+)
1
sin 2
2
x
(thỏa mãn ĐK)
22
6
12
7
22
612
xk
xk
k
xkxk
b)
I =
5
2
5
5
00
2017 1 5 1
2017 1 5 2017
lim lim 1 5
xx
x
xx
xx
xx
Ta có:
5
0
lim 1 5 0
x
xx
5
00
432
555
5
2017 1 5 1
2017( 5 )
lim lim
15 15 15 15 1
xx
x
x
x
x
xxxx
0
432
555
5
5.2017
lim 2017
15 15 15 15 1
x
xxxx
Câu 2. (5 điểm)
a)
Ta xét các trường hợp
TH1: 2 học sinh khối 10, 1 học sinh khối 11
KN1: 2 nam khối 10, 1 nữ khối 11 có
21
21
.1CC
cách
KN2: 2 nữ khối 10, 1 nam khối 11 có
21
23
.3CC
cách
KN3: 1 nữ và 1 nam khối 10, 1 học sinh khối 11 có
111
224
.. 16CCC
cách
Vậy TH1 có 20 cách chọn
TH2: 2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10
KN1: 2 nam khối 11, 1 nữ khối 10 có
21
32
.6CC
cách
KN2: 1 nữ và 1 nam khối 11, 1 học sinh khối 10 có
111
31 4
.. 12CCC
cách
Vậy TH2 có 18 cách chọn
Kết hợp hai trường hợp ta thấy có 38 cách chọn
b)
Ta có
0 1 2 2 2016 2016 2017 2017 2017 2017
2017 2017 2017 2017 2017
3 3 .... 3 3 (1 3) 4CC C C C
(1)
0 1 2 2 2016 2016 2017 2017 2017 2017
2017 2017 2017 2017 2017
3 3 .... 3 3 (1 3) 2CC C C C
(2)
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có
0 2 2 2016 2016 2017 2017 2016 2017
2017 2017 2017
1
3....3 42221
2
CC C
Từ giả thiết suy ra
0 2 2 2016 2016 1
2017 2017 2017
3 .... 3 2 (2 1)
nn
CC C
1
2(2 1)
nn
=
2016 2017
22 1 hay 2016n
2 2 2018 2016
(2)( 4)(2) 3(2)(2) 3(2)
nnn
xxx x xx x xx
Xét khai triển
2018
(2)x , số hạng chứa
2016
x
là
2 2 2016
2018
2Cx
Xét khai triển
2016
(2)x , số hạng chứa
2015
x
là
1 2015
2016
2Cx
Số hạng chứa
2016
x
trong khai triển
2
(2)( 4)
n
xxx là
2 2 2016
2018
2Cx
- 3
1 2016
2016
2Cx
Do đó hệ số cần tìm là :
21
2018 2016
46CC
Câu 3.
a)
Ta có
,
A
CHMACSH ACSN
(1)
Từ giả thiết ta có H là trung điểm của MN
Gọi K là trung điểm của AC, ta có
13
22
a
HM BK
,
do đó ta có
3
2
a
H
MHNSH NSM
vuông tại S
suy ra
SM SN (2)
Từ (1) và (2) ta có
()SN SAC
b)
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên SM, ta có
()
H
ISAC
Trong mặt (ABI) kẻ đường thẳng qua B, song song với HI cắt AI tại P.
Ta có
()BP SAC
Gọi
là góc giữa SB và (SAC), ta có
BSP
.
Tam giác SHM vuông tại H và HI là đường cao nên
22 22
SH.HM 3ax 2 3ax
HI BP
SM
3a 4x 3a 4x
.
2222
SB SH HB x a
2222
23
sin
(4 3 )( )
BP ax
SB
x
ax a
Theo giả thiết ta có
22 4 4 22
2222
23 2
24 4 3 7
2
(4 3 )( )
ax
ax x x xa
xaxa
4224 2 2
17 241
417 3 0
8
x
xa x x a
17 241
8
xa
Câu 4.
Bằng quy nạp ta chứng minh được 0
n
x
n
Vì
2
1
3 2018
nnn
xaxx
và 1a nên
1nn
x
xn
suy ra ( )
n
x
là dãy số tăng
Giả sử dãy
()
n
x
bị chặn trên 1
để lim
n
x
. Khi đó:
22
. 3 2018 ( 1) 3 2018 0aa
, vô lý vì 1a
Vậy
lim
n
x (1)
Ta có
2
1
1
2
3 2018
3 2018
n
nnn
nnn
x
xaxx a
x
xx
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
1
lim
n
n
x
a
x
VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 11 năm học 2017 - 2018 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, với 5 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút, đề được dành cho học sinh lớp 10 và 11 khối THPT, đề thi có lời giải chi tiết.
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 11
Đề khảo sát chất lượng đội tuyển HSG Toán 11 năm 2017 - 2018 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm học 2016 - 2017
---------------------------------------------
Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Đề khảo sát chất lượng môn Toán lớp 12 năm 2017 - 2018 trường THPT Phả Lại - Hải Dương. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Toán lớp 11, Thi thpt Quốc gia môn Toán, Thi thpt Quốc gia môn Hóa học, Thi thpt Quốc gia môn Vật Lý, Thi thpt Quốc gia môn Sinh học mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
