Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021
Đề thi HSG lớp 10 môn Toán
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: Toán - Lớp: 10
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm). Cho parabol
2
:P y x bx c
(
,bc
là các tham số thực).
a) Tìm giá trị của
,bc
biết parabol
P
đi qua điểm
3;2M
và có trục đối
xứng là đường thẳng
1x
.
b) Với giá trị của
,bc
tìm được ở câu a), tìm
m
để đường thẳng
:d y x m
cắt parabol
P
tại hai điểm phân biệt
,AB
sao cho tam giác
OAB
vuông tại
O
(với
O
là gốc tọa độ).
Câu 2 (7 điểm).
a) Giải phương trình:
22
3 3 3 6 3x x x x
.
b) Tìm
m
để bất phương trình
2
2
2
1
34
x mx
xx
vô nghiệm.
c) Giải hệ phương trình:
2 2 2 1 5
3 2 1 3 2
x y x y
x y y x
.
Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
1;1A
và
2;4B
. Tìm
tọa độ điểm
C
sao cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
.
Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác
ABC
có
M
là trung điểm
AC
,
N
là điểm thuộc cạnh
BC
thỏa mãn
2NC NB
. Gọi
I
là trung điểm của
MN
.
a) Chứng minh rằng:
21
33
IN IB IC
.
b) Biểu diễn vectơ
IA
theo hai vectơ
IB
và
IC
.
c) Giả sử độ dài các cạnh
,,BC a CA b AB c
. Chứng minh rằng:
Nếu
3 . 4 . 5 . 0a IA b IB c IC
thì tam giác
ABC
đều.
Câu 5 (2 điểm). Cho ba số thực
,,x y z
thỏa mãn
1, 1, 1x y z
và
1 1 1
2
x y z
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1 1A x y z
.
----------HẾT----------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................
Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: Toán - Lớp: 10
I. Hướng dẫn chung
II. Đáp án và thang điểm
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
a) Cho parabol
2
:P y x bx c
(
,bc
là các tham số thực). Tìm giá trị của
,bc
biết parabol
P
đi qua điểm
3;2M
và có trục đối xứng là đường thẳng
1x
.
Do parabol
P
có trục đối xứng là đường thẳng
1x
nên ta có
12
2
b
b
.
1
Do parabol
P
đi qua điểm
3;2M
nên ta có
2
2 3 . 3 3 7b c c b
3.2 7 1c
.
Vậy
2, 1bc
.
1
b) Với giá trị của
,bc
tìm được ở câu a), tìm
m
để đường thẳng
:d y x m
cắt
parabol
P
tại hai điểm phân biệt
,AB
sao cho tam giác
OAB
vuông tại
O
(với
O
là gốc tọa độ).
Với
2, 1bc
ta có
2
: 2 1P y x x
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
P
và
d
là
22
2 1 3 1 0x x x m x x m
(1)
Để
d
cắt
P
tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
13
13 4 0
4
mm
.
0.5
Khi đó giả sử 2 nghiệm của phương trình (1) là
12
,xx
lần lượt là hoành độ 2 điểm
,AB
.
Do
1 1 2 2 1 1 2 2
, ; , ; ; , ;A B d A x x m B x x m OA x x m OB x x m
.
0.5
Tam giác
OAB
vuông tại
O
khi và chỉ khi
2
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . 0 2 . 0OAOB x x x m x m x x m x x m
(2)
0.5
Do
12
,xx
là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Vi-et ta có
12
12
3
1
xx
x x m
Khi đó (2)
22
1
2( 1) . 3 0 2 0
2
m
m m m m m
m
.
Kết hợp với điều kiện
13
4
m
ta có các giá trị của
m
cần tìm là
1, 2mm
.
0.5
Câu 2
(7 điểm)
a) Giải phương trình:
22
3 3 3 6 3x x x x
.
Phương trình đã cho tương đương với
22
3 3 1 3 6 2 0x x x x
0.5
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
22
22
3 2 3 2
0
3 3 1 3 6 1
x x x x
x x x x
0.5
2
22
11
3 2 0
3 3 1 3 6 1
xx
x x x x
0.5
2
3 2 0xx
22
11
Do 0
3 3 1 3 6 1x x x x
0.5
1
2
x
x
.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là
1, 2xx
.
0.5
b) Tìm
m
để bất phương trình
2
2
2
1
34
x mx
xx
vô nghiệm.
Bất phương trình
2
2
2
1
34
x mx
xx
vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
2
2
2
1
34
x mx
xx
(1) nghiệm đúng với mọi
x
.
0.5
Ta có
(1)
2 2 2
2 3 4 Do 3 4 0,x mx x x x x x
2
2 3 2 0x m x
(2)
0.5
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi
x
khi và chỉ khi
0
0.5
2
3 16 0 4 3 4 7 1m m m
Vậy để bất phương trình
2
2
2
1
34
x mx
xx
vô nghiệm thì
71m
.
0.5
c) Giải hệ phương trình:
2 2 2 1 5
3 2 1 3 2
x y x y
x y y x
.
Đặt
2
21
x y a
x y b
,0ab
. Suy ra
22
31a b x y
.
0.5
Hệ phương trình đã cho trở thành
2 2 2 2
2 5 5 2 (1)
3 1 3 1 0 (2)
a b a b
b a b a b b
0.5
Thay (1) vào (2) ta được
2
22
5 2 3 1 0 5 23 26 0b b b b b
13
5
2
b
b
.
0.5
Với
13 1
55
ba
(Loại vì
0a
).
Với
21ba
.
0.5
Khi đó ta có
21
2 1 1
2 3 1
2 1 2
xy
x y x
x y y
xy
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
;xy
là
1; 1
.
0.5
Câu 3
(2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
1;1A
và
2;4B
. Tìm tọa độ điểm
C
sao cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
.
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 trường THPT Minh Châu, Hưng Yên năm 2020-2021
- Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 10 trường THPT Lạc Long Quân, Bến Tre năm 2020-2021
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021. Đề thi được tổng hợp gồm có 5 câu hỏi tự luận, thí sinh làm bài trong thời gian 120 phút, đề thi có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THPT miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 10. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021. Mong rằng qua đây bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 10. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết thêm các môn Ngữ văn 10, Tiếng Anh 10, đề thi học kì 1 lớp 10, đề thi học kì 2 lớp 10...
