35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác

VnDoc xin giới thiệu 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn là tài liệu học tập hay dành cho các bạn tham khảo, luyện tập nhằm củng cố kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác. Mời các bạn học sinh tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác

a. Định lí cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có hệ thức sau:

a^2=b^2+c^2-2.b.c.cos\hat{A}

b^2=a^2+c^2-2.a.c.cos\hat{B}

c^2=a^2+b^2-2a.b.cos\hat{C}

b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là: m_a,m_b,m_c ta có: 

m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{a^2}{4}

m^2_b=\dfrac{a^2+c^2}{2}+\dfrac{b^2}{4}

m^2_c=\dfrac{b^2+a^2}{2}+\dfrac{c^2}{4}

3. Định lí sin

Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Công thức diện tích tam giác 

Giả sử h_a,h_b,h_c là các đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

\begin{align} & S=\frac{1}{2}.{{h}_{a}}.BC=\frac{1}{2}{{h}_{b}}.AC=\frac{1}{2}{{h}_{c}}.AB \\ & S=\frac{1}{2}a.b.\sin \widehat{C}=\frac{1}{2}a.c.\sin \widehat{B}=\frac{1}{2}c.b.\sin \widehat{A} \\ & S=\frac{a.b.c}{4.R} \\ & S=p.r \\ & S=\sqrt{p.\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)} \\ \end{align}

Với p là nửa chu vii của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nột tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác 

Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

a. Tính số đo các góc của ΔABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d.Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\begin{align} & A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AC.BC.\cos \widehat{ACB} \\ & \Leftrightarrow {{12}^{2}}={{13}^{2}}+{{15}^{2}}-2.13.15.\cos \widehat{ACB} \\ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ACB}=\frac{25}{39}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx {{50}^{0}}7' \\ \end{align}

\begin{align} & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC} \\ & \Leftrightarrow {{13}^{2}}={{12}^{2}}+{{15}^{2}}-2.12.15.\cos \widehat{ABC} \\ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ABC}=\frac{5}{9}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx {{56}^{0}}15' \\ \end{align}

Ta có tổng 3 góc của một tam giác là {{360}^{0}}

\Rightarrow \widehat{BAC}=180-{{50}^{0}}7'-{{56}^{0}}15'={{73}^{0}}38'

b. Ta có: A{{M}^{2}}={{m}_{a}}^{2}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{{{12}^{2}}+{{13}^{3}}}{2}-\frac{{{15}^{2}}}{4}=\frac{401}{4}

\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{401}}{2}

Tương tự ta tính được:

\left\{ \begin{matrix} {{m}_{b}}=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{569}}{2} \\ {{m}_{c}}=\sqrt{\dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{161} \\ \end{matrix} \right.

c. Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

- Nửa chu vi tam giác ABC: p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{12+13+15}{2}=20

- Diện tích tam giác ABC: S=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=20\sqrt{14}

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:

{{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4.R}\Rightarrow R=\dfrac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\frac{12.13.15}{4.20\sqrt{14}}=\frac{117\sqrt{14}}{28}

- Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:

{{S}_{ABC}}=p.r\Rightarrow r=\frac{{{S}_{ABC}}}{p}=\frac{20\sqrt{14}}{20}=\sqrt{14}

d. Ta có: {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{h}_{a}}.BC=\frac{1}{2}.{{h}_{b}}.AC=\frac{1}{2}.{{h}_{c}}.AB

\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{h}_{a}}=\frac{2.{{S}_{ABC}}}{BC}=\frac{2.20\sqrt{14}}{15}=\frac{8\sqrt{14}}{3} \\ {{h}_{b}}=\frac{2.{{S}_{ABC}}}{AC}=\frac{2.20\sqrt{14}}{13}=\frac{40\sqrt{14}}{13} \\ {{h}_{c}}=\frac{2.{{S}_{ABC}}}{AB}=\frac{2.20\sqrt{14}}{12}=\frac{10\sqrt{14}}{3} \\ \end{matrix} \right.

Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 1200

a. Tính diện tích ΔABC

b. Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a. Diện tích tam giác ABC: {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{A}=\frac{1}{2}.6.8.\sin {{120}^{0}}=12\sqrt{3}

b. Ta có:

\begin{align} & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{A} \\ & \Rightarrow B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}-2.6.8.\cos {{120}^{0}}=148 \\ & \Rightarrow BC=2\sqrt{37} \\ \end{align}

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

{{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4.R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\frac{6.8.2\sqrt{37}}{4.12\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{111}}{3}

Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13

a. ΔABC có góc tù hay không?

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

c. Tính diện tích ΔABC

HS: Tự giải

Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 600, góc B = 450, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác.

HS: Tự giải

Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, ha, R.

HS: Tự giải

Bài 6. Cho ΔABC có mb = 4, mc = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC.

HS: Tự giải

Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC.

HS: Tự giải

Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

HS: Tự giải

Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b2 - a2) = c(a2 - c2)

HS: Tự giải

Bài 10. Cho ΔABC. CMR

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn bao gồm 35 bài tập Toán lớp 10 nhằm giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, rèn luyện chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới. Ngoài ra, trong quá trình nghỉ ở nhà do dịch bệnh các bạn học sinh có thể tham khảo các tài liệu ôn tập lớp 10 sau đây:

.........................................

Ngoài 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 10, đề thi học kì 2 lớp 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu lớp 10 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
22 43.443
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 10 Xem thêm