VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Tìm tọa độ tổng hai vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; - 4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $( - 2; - 6;3)$
- B.
  $( - 4; - 8;4)$
- C.
  $( - 2; - 10; - 3)$
- D.
  $( - 2; - 10;3)$
Hướng dẫn:
Ta có: $3\overrightarrow{v} = ( - 3; - 6;3)$ do đó $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2; - 10;3)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Xác định số mệnh đề đúng
Cho các mệnh đề sau:

(I) Vectơ $\overrightarrow{x} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ luôn đồng phẳng với hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ .

(II) Nếu có $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ và ít nhất một trong ba số $m;n;p$ khác không thì ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

(III) Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng và $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ thì $m = n = p = 0$ .

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{x}$ được biểu thị qua hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ nên (I) đúng.

Xét mệnh đề (II): Giả sử $m eq 0$ , khi đó:

$m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = - \frac{n}{m}\overrightarrow{b} -\frac{p}{m}\overrightarrow{c}$

Suy ra ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.

Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Câu 3: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;1)B(2;0;2),$ $C( - 1; - 1; -0),D(0;3;4)$ . Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $B',C',D'$ sao cho $\frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4$ . Viết phương trình mặt phẳng $(B'C'D')$ biết tứ diện $AB'C'D'$ có thể tích nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;1)B(2;0;2),$ $C( - 1; - 1; -0),D(0;3;4)$ . Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $B',C',D'$ sao cho $\frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4$ . Viết phương trình mặt phẳng $(B'C'D')$ biết tứ diện $AB'C'D'$ có thể tích nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $A( - 3; - 4;5)$
- B.
  $A( - 3;4;5)$
- C.
  $A(3;4; - 5)$
- D.
  $A(3;4;5)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\ 4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\ 5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k} \Rightarrow A(3;4; - 5)$
Câu 5: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vecto
Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Tính góc $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right)$ .
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}$ .
- B.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 120{^\circ}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 180{^\circ}$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 60{^\circ}$ .
Hướng dẫn:

Gọi $M$ là trung điểm $CD$ .

Khi đó, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}$

Do tam giác $ACD$ đều nên $AM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Và tam giác $BCD$ đều nên $BM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD} = 0$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ .

Kết luận $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}$ .
Câu 6: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4;2; - 9)$
- D.
  $D(4; - 2;9)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
- D.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
Hướng dẫn:
Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.
Câu 9: Thông hiểu
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.$ . Tìm tọa độ $\overrightarrow{x}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{x} = (3;2; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{x} = (1;3;2)$
- C.
  $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$
- D.
  $\overrightarrow{x} = (2;3;1)$
Hướng dẫn:
Giả sử $\overrightarrow{x} = (x;y;z)$ , khi đó:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 3z = 4 \\ x - 3y + 2z = - 5 \\ 3x + 2y - 4z = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = (2;3;1)$
Câu 10: Nhận biết
Tính độ dài AB
Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(1; - 3;1),B(3;0; - 2)$ . Tính độ dài $AB$ ?
- A.
  $AB = \sqrt{22}$
- B.
  $AB = \sqrt{26}$
- C.
  $AB = 22$
- D.
  $AB = 26$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 + 3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)$

Suy ra $AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{22}$

Vậy đáp án cần tìm là $AB = \sqrt{22}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Xác định tọa độ tổng hai vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(5;1;5),B(4;3;2),C( - 3; - 2;1)$ và điểm $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + 2b + c$ ?
- A.
  $H = 1$
- B.
  $H = 3$
- C.
  $H = - 9$
- D.
  $H = 6$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 7; - 5; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 0$ nên tam giác ABC vuông tại B

Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

$\Rightarrow I\left( 1; - \frac{1}{2};3ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \dfrac{1}{2} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow H = a + 2b + c = 3$

Vậy đáp án cần tìm là $H = 3$
Câu 12: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.
- A.
  $(1;1;2)$ .
- B.
  $(1; - 2;1)$ .
- C.
  $(1; - 1;2)$ .
- D.
  $(1;1; - 2)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$
Câu 13: Vận dụng
Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là $890\ km/h$ trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ được lấy theo kilômét.
- A.
  $(445;0;0).$
- B.
  $(435;0;0).$
- C.
  $(0;435;0).$
- D.
  $(0;445;0).$
Hướng dẫn:
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc $890km/h$ trong nửa giờ là:

$890.\frac{1}{2} = 445(km)$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là $(0;445;0).$
Câu 14: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng?
- A.
  $90^{0}.$
- B.
  $60^{0}.$
- C.
  $45^{0}.$
- D.
  $30^{0}.$
Hướng dẫn:
Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng:
$(CD',(ABCD)) = (CD',CD) =\widehat{D'CD} = 45^{0}$
$(CD',CD) = \widehat{D'CD} =45^{0}$
Câu 15: Vận dụng cao
Tìm số phần tử của tập hợp các điểm M
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;0)$ , $B(5;6;0)$ và $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Tập hợp các điểm $M$ trên mặt cầu $(S)$ thỏa mãn $3MA^{2} + MB^{2} = 48$ có bao nhiêu phần tử?
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ có tâm $O(0;0;0)$ , bán kính $R = 1$ .

Ta tìm điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .

Có $\overrightarrow{IA} = (1 - x\ ;\ - y\ ;\ - z)$ , $\overrightarrow{IB} = (5 - x\ ;\ 6 - y\ ;\ - z)$ ; $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5 - x = 0 \\ 3( - y) + 6 - y = 0 \\ 3( - z) - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4x + 8 = 0 \\ - 4y + 6 = 0 \\ - 4z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow I\left( 2;\frac{3}{2};0 ight)$ .

Suy ra $IA = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , $IB = \frac{3\sqrt{13}}{2}$ .

Do đó $3MA^{2} + MB^{2} = 48 \Leftrightarrow 3{\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} = 48 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}$ .

Ta thấy $OI = \frac{5}{2}$ nên điểm $I$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Ta có $OI = R + MI = OM + MI$ , suy ra có một điểm $M$ thuộc đoạn $OI$ thỏa mãn đề bài.
Câu 16: Vận dụng
Tìm khẳng định sai
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy $M,N$ sao cho $AM = 3MD$ , $BN = 3NC$ . Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
- B.
  Các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
- C.
  Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
- D.
  Các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

«Các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng” . Sai vì

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {3MN} = \overrightarrow {3MD} + 3\overrightarrow {DB} + 3\overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$ $\mathbf{\Rightarrow}$ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng.

« Các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng’. Đúng vì $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)$

$\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ : đồng phẳng.

“Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng”. Đúng. Bằng cách biểu diễn $\overrightarrow{PQ}$ tương tự như trên ta có $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).$

« Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng”. Đúng. Ta có $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tìm giá trị m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1;1; - 2);\overrightarrow{v} = (1;0;m)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0}$ ?
- A.
  $m = 2 + \sqrt{6}$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 2 \pm \sqrt{6}$
- D.
  $m = 2 - \sqrt{6}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 2 - \sqrt{6}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 2;2;5)$
- B.
  $D( - 4;8; - 5)$
- C.
  $D( - 4;8; - 3)$
- D.
  $D( - 2;8; - 3)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục $Ox,\ \ Oy,\ \ Oz.$ Tính tọa độ của vecto $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}.$
- A.
  $\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1;1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = ( - 1;1;1)$
- C.
  $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = ( - 1; - 1;1)$
- D.
  $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1; - 1;1)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1;1; - 1)$
Câu 20: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

144

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện