VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Cho $A(1;\ \ 1;\ - 2)$ và $B(2;\ \ - 1;\ \ 0)$ . Hãy xác định tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ \ 2;\ \ 2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (3;\ \ 0;\ \ - 2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;\ \ 2;\ \ - 2)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$
Câu 2: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
- B.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
- D.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
Hướng dẫn:
Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.
Câu 3: Thông hiểu
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = 5$
- C.
  $m = - 5$
- D.
  $m = - 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 4: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức T
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; - 2;6),B(0;1;0)$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ . Mặt phẳng $(P):ax + by + cz - 2 = 0$ đi qua $A,B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là hình tròn có bán kinh nhỏ nhất. Tính $T = a + b + c$ ?
- A.
  $T = 4$ .
- B.
  $T = 3$ .
- C.
  $T = 2$ .
- D.
  $T = 5$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ bán kính $R = 5$ .

Mặt phẳng $(P)$ có vtpt $\overrightarrow{n_{p}} = (a;b;c);\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0 \right)$ .

Do $B(0;1;0) \in (P):b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6) = - 3(1; - 1;2)$ , phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Gọi $r$ là bán kính của đường tròn giao tuyến, K là hình chiếu của I trên AB, H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

Ta có: $K \in AB \Rightarrow K(t;1 - t;2t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IK} = (t - 1; - t - 1;2t - 3)$

$IK\bot AB \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IK} = 0$ $\Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow{IK} = (0; - 2; - 1)$

$r = \sqrt{R^{2} - d^{2}\left( I;(P) \right)}$ $= \sqrt{25 - d^{2}\left( I;(P) \right)} = \sqrt{25 - IH^{2}}$

Ta có: r đạt min thì IH đạt max.

Mà $IH \leq IK \Rightarrow IH_{\min} \Leftrightarrow H \equiv K$ $\Rightarrow (P)\bot IK \Rightarrow\overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{IK}$ cùng phương

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{P}} = k.\overrightarrow{IK} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = - 2k = 2 \\ c = - k \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ k = - 1 \\ b = 2 \\ c = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 2 \\ c = 1 \end{matrix} \right.$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định tọa độ trọng tâm tam giác
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ , điểm $B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)$ và điểm $C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)$ . Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là
- A.
  $( - 2\ ;\ 2\ ;\ - 1)$ .
- B.
  $( - 1\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ .
- C.
  $(1\ ;\ - 2\ ;\ 3)$ .
- D.
  $(2\ ;\ - 2\ ;\ 1)$ .
Hướng dẫn:
Từ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow A(1\ ;\ - 2\ ;\ 3)$

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 2 \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ trọng tâm $(2\ ;\ - 2\ ;\ 1)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tọa độ biểu thức vectơ
Cho $\overrightarrow{AB} = (5; - 3;2),\overrightarrow{AC} = (4;2;1)$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ là:
- A.
  $\left( 10; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- B.
  $(12; - 5;9)$ .
- C.
  $\left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( 12; - 2;\frac{9}{2} ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$= \left( 2.5 + \frac{1}{2}.4;2.( - 3) + \frac{1}{2}.2;2.2 + \frac{1}{2}.1 ight)$

$= \left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A$ thỏa $\overrightarrow{AO} = 4\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{j}$ và $B(1;2; - 1)$ . Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ là
- A.
  $(1;0;3)$ .
- B.
  $(0;2;4)$ .
- C.
  $(0; - 2; - 4)$ .
- D.
  $( - 1;0; - 3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AO} = 4\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{j} \Rightarrow A(0;2; - 4)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1;0;3)$
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc trục $Oy$ ?
- A.
  $U(2;0;3)$
- B.
  $H(2;0;0)$
- C.
  $K(0;3;2)$
- D.
  $T(0; - 3;0)$
Hướng dẫn:
Điểm $A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm $T(0; - 3;0) \in Oy$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh bằng 1 như hình vẽ.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là
- A.
  $(1;1;1)$ .
- B.
  $(1;0;1)$ .
- C.
  $(1;1;0)$ .
- D.
  $(0;1;1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $A(0;0;0),C(1;1;0) ightarrow \overrightarrow{AC} = (1;1;0)$
Câu 10: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (3; - 1;2)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;3)$ , tích $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $13$ .
- B.
  $11$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $- 13$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 2) + ( - 1).1 + 2.3 = - 6 - 1 + 6 = - 1$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $A(3;4; - 5)$
- B.
  $A(3;4;5)$
- C.
  $A( - 3;4;5)$
- D.
  $A( - 3; - 4;5)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\ 4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\ 5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k} \Rightarrow A(3;4; - 5)$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm cosin góc giữa hai đường thẳng
Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện bằng a

Tam giác BCD đều suy ra $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)$

$= a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)$

$\Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ . Xác định giá trị của $m;n$ để hai vectơ đã cho có cùng hướng?
- A.
  $m = 4;n = - 3$
- B.
  $m = 7;n = - \frac{4}{3}$
- C.
  $m = 7;n = - \frac{3}{4}$
- D.
  $m = 1;n = 0$
Hướng dẫn:
Ta có: Hai vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ cùng hướng nên

$\overrightarrow{a} =k.\overrightarrow{b};(k > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m - 1 = 3k \\3 = k( - 2n) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m = 7 \ = - \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ là đáp án cần tìm.
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 2;3;1),B(5;6;2)$ . Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$ . Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$ ?
- A.
  $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{AM}{BM} = 3$
- D.
  $\frac{AM}{BM} = 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $M \in (Oxz) \Rightarrow M(x;0;z)$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\ \overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\ \end{matrix} ight.$ và ba điểm $A;B;M$ thẳng hàng

$\overrightarrow{AM} = k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = 7k \\ - 3 = 3k \\ z - 1 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 9 \\ k = - 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\ \overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM = 2AB$

Vậy đáp án đúng là $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$ .
Câu 15: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 1$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 0^{0} \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 1$ .

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là $8$ m, chiều rộng là $6$ m và chiều cao là $3$ m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với một góc phòng và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn
- A.
  $(3\ ;\ 4\ ;\ 0)$
- B.
  $\left( \frac{3}{2}\ ;\ 4\ ;\ 0 \right)$
- C.
  $(3\ ;\ 0\ ;\ 4)$
- D.
  $(3\ ;\ 4\ ;\ 3)$
Hướng dẫn:
Gọi toạ độ các điểm $B(6\ ;\ 0\ ;\ 0)\ ;\ C(6\ ;\ 8\ ;\ 0)\ ;\ D(0\ ;\ 8\ ;\ 0)$ như hình vẽ dưới đây:

Gọi $N$ là trung điểm của $OC$ , $N'$ là hình chiếu của $N$ lên mặt phẳng trần nhà suy ra $N'$ là điểm treo đèn.

Khi đó $N(3;\ 4\ ;\ 0) \Rightarrow N'(3;\ 4\ ;\ 3)$

Vậy toạ độ của điểm treo đèn là $(3;\ 4\ ;\ 3)$
Câu 17: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 18: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm B’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?
- A.
  $B'(10;8;6)$
- B.
  $B'(8;4;10)$
- C.
  $B'(6;12;0)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm câu sai
Cho hình tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$ . Mệnh đề nào sau đây sai.
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .
- B.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)$ .
Hướng dẫn:
Theo giả thuyết trên thì với $O$ là một điểm bất kỳ ta luôn có:

$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)$ .

Ta thay điểm $O$ bởi điểm $A$ thì ta có:

$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$

Do vậy $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ là sai.
Câu 20: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = a$ , $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha$ . Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và các trung điểm của $SB,SC$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- B.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
- D.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
Hướng dẫn:
Hinh vẽ minh họa

Gọi $B',C'$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ . Thiết diện là tam giác $AB'C'$ .

Theo bài tập 5 thì $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}$

Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}$

$\Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}$

$= \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha)$ .

Tính tương tự, ta có

$\overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha)$ .

Vậy $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}$

$= \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

103

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đang tìm đối thủ...

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện