VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Xác định góc giữa cặp vectơ
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0},\ \widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $45{^\circ}$ .
- B.
  $90{^\circ}$ .
- C.
  $120{^\circ}$ .
- D.
  $60{^\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác $ICD$ có $J$ là trung điểm đoạn $CD$ .

Ta có: $\overrightarrow{I J} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Vì tam giác $ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60{^\circ}$

Nên tam giác $ABC$ đều. Suy ra: $CI\bot AB$

Tương tự ta có tam giác $ABD$ đều nên $DI\bot AB$ .

Xét $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB}$ $= \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ .

Suy ra $\overrightarrow{I J}\bot\overrightarrow{AB}$ . Hay góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ bằng $90^{0}$ .
Câu 2: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài $30$ mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$ , điểm cuối thuộc cạnh $BC'$ ) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 72

Đáp án là:

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài $30$ mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$ , điểm cuối thuộc cạnh $BC'$ ) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 72

Để độ dài cây cầu $MN$ ngắn nhất thì $MN$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $A^{'}C$ và $BC^{'}$ .

Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ:

Khi đó $C( - 15;0;0)$ , $B(15;0;0),\ C'( - 15;0;0),\ A'(0;15\sqrt{3};30)$

Do đó $MN = d(A'C;BC') = \frac{30\sqrt{39}}{13}$

Số tiền cần làm cây cầu ngắn nhất là $5.\frac{30\sqrt{39}}{13} \approx 72$ (tỷ đồng)
Câu 3: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ và $G$ là trung điểm của $MN$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}$
- C.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM} \\ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN} \\ \end{matrix} ight.$

Mà $G$ là trung điểm của $MN$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

Khi đó

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 4\overrightarrow{MG}$

Vậy khẳng định sai là: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A$ thỏa $\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ và $B(2;1;4)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là
- A.
  $(0; - 4;0)$ .
- B.
  $( - 2; - 2;4)$ .
- C.
  $( -1;- 1;2)$ .
- D.
  $(4; - 2;8)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k} \Rightarrow A(2; - 3;4)$

Suy ra $\overrightarrow{BA} = (2 - 2; - 3 - 1;4 - 4) = (0; - 4;0)$
Câu 5: Nhận biết
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(0;0;3)$
- B.
  $G( - 1;0;3)$
- C.
  $G(0;0;1)$
- D.
  $G(0;0;9)$
Hướng dẫn:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(0;0;3)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ . Khi đó $\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{SM}$ .
- B.
  $\overrightarrow{SA}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{SN}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB//CD$

Suy ra $AM = CN$ và $AM//CN$ suy ra $\overrightarrow{CN} = - \overrightarrow{AM}$ .

$\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{AN}$

$= \overrightarrow{SN} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{SA}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình thang cân $\ ABCD$ có các đáy lần lượt là $AB,CD$ . Biết $A(3;1; - 2)$ , $B( - 1;3;2)$ , $C( - 6;3;6)$ và $D(a;b;c)$ với $a;b;c\mathbb{\in R}$ . Tính $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 1$ .
- B.
  $T = 3$ .
- C.
  $T = - 1$ .
- D.
  $T = - 3$ .
Hướng dẫn:
Cách 1: Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)$

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}\left( k\mathbb{\in R} ight)$ hay $\frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight)$ .

Lại có

$AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}$

$\Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Với $a = - 10 \Rightarrow D( - 10;5;10)$ . Kiểm tra thấy: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Với $a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; -6)$ .

Kiểm tra thấy: $( - 3).\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Do đó, $T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3$ .

Cách 2

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 4;2;4);\overrightarrow{CD} = (a + 6;b - 3;c - 6)$

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $\overrightarrow{AB};_{}\overrightarrow{CD}$ ngược hướng hay $\frac{a + 6}{- 2} = \frac{b - 3}{1} = \frac{c - 6}{2} < 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = \frac{- a}{2} \\ c = - a \\ a > - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $D\left( a;\frac{- a}{2}; - a ight)$ với $a > - 6$ .

Lại có

$AC = BD \Leftrightarrow AC^{2} = BD^{2}$

$\Leftrightarrow ( - 9)^{2} + 2^{2} + 8^{2} = (a + 1)^{2} + \left( \frac{a}{2} + 3 ight)^{2} + (a + 2)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 6 \\ a = - 10(L) \\ \end{matrix} ight.$ .

Với $a = 6 \Rightarrow D(6; - 3; - 6)$ .

Do đó, $T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3$ .

Cách 3

+ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$

+ Gọi mp $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ , suy ra mp $(\alpha)$ đi qua trung điểm $I(1\ ;\ 2\ ;0)$ của đoạn thẳng $AB$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;1\ ;\ 2)$ , suy ra phương trình của mp $(\alpha)$ là: $(\alpha): - 2x + y + 2z = 0$ .

+ Vì $C,D$ đối xứng nhau qua mp $(\alpha)$ nên

$D(6\ ;\ - 3\ ;\ - 6) \Rightarrow a = 6;b = - 3;c = - 6$ $\Rightarrow T = a + b + c = - 3$
Câu 8: Vận dụng cao
Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$ là:
- A.
  $(1;0;1)$
- B.
  $(0; - 1; - 1)$
- C.
  $(1;1;1)$
- D.
  $(0;1;1)$
Hướng dẫn:
Ta có bài toán sau

Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: $a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ với $BC = a;AC = b;AB = c$

Hình vẽ minh họa

Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

$\Rightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)$

$\overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + (b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

$OM.\overrightarrow{IN} + ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

Vậy đáp án cần tìm là $(0;1;1)$
Câu 9: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.
- B.
  Cho $d \subset (\alpha);d \subset (\beta)$ . Nếu mặt phẳng $(\alpha)\bot(\beta)$ thì $d\bot d'$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ .
- D.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ thì $B$ là trung điểm của $AC$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$ (với $m;n$ duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

Vậy đáp án đúng là: “Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.”
Câu 10: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm M
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;3)$ và $B(3; - 1;2)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(7; - 4;1)$ .
- B.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)$ .
- C.
  $\left( \frac{5}{3};0;\frac{7}{3} \right)$ .
- D.
  $\left( 1;\frac{1}{2};\frac{5}{4} \right)$ .
Hướng dẫn:
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;A;B$ thẳng hàng và $A;B$ nằm cùng phía so với điểm $M$ do $\frac{4MB}{MA}$ dương.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

Vậy B là trung điểm của MA.

Khi đó ta đươc tọa độ điểm $M(7; - 4;1)$ .
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$ ?
- A.
  $N(0;4; - 1)$
- B.
  $Q(2;0;0)$
- C.
  $M(3;4;0)$ .
- D.
  $P( - 2;0;3)$
Hướng dẫn:
Điểm thuộc $(Oyz)$ có $x = 0$ . Vậy điểm cần tìm được là: $N(0;4; - 1)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?
- A.
  $m = 5$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = - 2$
- D.
  $m = - 5$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 13: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MO} = 3\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ bằng
- A.
  $( - 2;4;3)$ .
- B.
  $(3; - 2;4)$ .
- C.
  $(2; - 4; - 3)$ .
- D.
  $(3;2;4)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{MO} =3 \overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ $\Rightarrow M(2; - 4; - 3)$
Câu 14: Nhận biết
Phân tích vectơ
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ( $AEGC$ là hình chữ nhật) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$ ( $AEGC$ là hình vuông)
Câu 15: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P) : 2x + by + cz + d = 0$ với $b, c, d ∈ \mathbb{Z}$ . Tính giá trị $T = b − c + d$ .
- A.
  $T = - 19$
- B.
  $T = - 18$
- C.
  $T = - 20$
- D.
  $T = - 21$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (4;4;2)$ mà $\overrightarrow{AB}\bot(P)$ nên $\frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên $(S)$ có $I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3$

Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

Ta có:

$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)$

Đặt $f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack$

$\Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)$

$\Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)$

$\Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)$

Mà $H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21$

Vậy $T = b − c + d = −20.$
Câu 16: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm $M$ trong không gian $Oxyz$ như hình vẽ. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ xuống mặt phẳng $Oxy$ . Cho biết $OM = 40$ , $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{OH} \right) = 60{^\circ}$ , $\left( \overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM} \right) = 60{^\circ}$ . Điểm $M$ có toạ độ $(a;b;c)$ . Tính giá trị $P = abc$ . (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

Đáp án: 6825

Đáp án là:

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm $M$ trong không gian $Oxyz$ như hình vẽ. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ xuống mặt phẳng $Oxy$ . Cho biết $OM = 40$ , $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{OH} \right) = 60{^\circ}$ , $\left( \overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM} \right) = 60{^\circ}$ . Điểm $M$ có toạ độ $(a;b;c)$ . Tính giá trị $P = abc$ . (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

Đáp án: 6825

Xét $\Delta MHO$ vuông tại $H$ , ta có

$OH = OM.cos60{^\circ} = 40.cos60{^\circ} = 20$

$OC = MH = OM.sin60{^\circ} = 40.sin60{^\circ} = 20\sqrt{3}$

Xét $\Delta OAH$ vuông tại $A$ , ta có $OA = OH.cos50{^\circ} = 20.cos50{^\circ} \approx 12,86$

Xét $\Delta OBH$ vuông tại $B$ , ta có $OB = OH.cos40{^\circ} = 20.cos40{^\circ} \approx 15,32$

$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 12,86\overrightarrow{i} + 15,32\overrightarrow{j} + 20\sqrt{3}\overrightarrow{k}$ .

Suy ra $M\left( 12,86\ ;\ \ 15,32\ ;\ \ 20\sqrt{3} ight)$ .

$P = 12,86.15,32.20\sqrt{3} \approx 6825$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(11;2;2)$
- B.
  $D(1;8; - 2)$
- C.
  $D(1;8;2)$
- D.
  $D(11;2; - 2)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tìm m, n để các vecto cùnghướng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (2;m - 1;3),\overrightarrow{b} = (1;3; - 2n)$ . Tìm $m,n$ để các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng.
- A.
  $m = 7;n = - \frac{4}{3}$ .
- B.
  $m = 4;n = - 3$ .
- C.
  $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ .
- D.
  $m = 1;n = 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b\ }(k > 0)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 = k \\ m - 1 = 3k \\ 3 = k( - 2n) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 2 \\ m = 7 \\ n = - \frac{3}{4} \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 2\ ;\ 4\ ;\ 1)$ và $B(4\ ;\ 5\ ;\ 2)$ . Điểm $C$ thỏa mãn $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BA}$ có tọa độ là
- A.
  $( - 6\ ;\ \ - 1\ ;\ - 1)$ .
- B.
  $(6\ ;\ \ 1\ ;\ 1)$ .
- C.
  $( - 2\ ;\ \ - 9\ ;\ - 3)$ .
- D.
  $(2\ ;\ \ 9\ ;\ 3)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $C(x\ ;\ y\ ;\ z)$ .

Ta có $\overrightarrow{OC} = (x\ ;\ y\ ;\ z)$ , $\overrightarrow{BA} = ( - 6\ ;\ - 1\ ;\ - 1)$ .

Khi đó $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = - 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $C( - 6\ ;\ - \ 1\ ; - \ 1)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng $2$ . Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng $120^{0}$ , giá trị của biểu thức $P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2}$ là
- A.
  $18$
- B.
  $28$
- C.
  $- 25$
- D.
  $- 12$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2$

Do đó:

$P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}$

$= 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất