VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Tìm số phần tử của tập hợp các điểm M
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;0)$ , $B(5;6;0)$ và $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Tập hợp các điểm $M$ trên mặt cầu $(S)$ thỏa mãn $3MA^{2} + MB^{2} = 48$ có bao nhiêu phần tử?
- A.
  $2$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ có tâm $O(0;0;0)$ , bán kính $R = 1$ .

Ta tìm điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .

Có $\overrightarrow{IA} = (1 - x\ ;\ - y\ ;\ - z)$ , $\overrightarrow{IB} = (5 - x\ ;\ 6 - y\ ;\ - z)$ ; $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5 - x = 0 \\ 3( - y) + 6 - y = 0 \\ 3( - z) - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4x + 8 = 0 \\ - 4y + 6 = 0 \\ - 4z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow I\left( 2;\frac{3}{2};0 ight)$ .

Suy ra $IA = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , $IB = \frac{3\sqrt{13}}{2}$ .

Do đó $3MA^{2} + MB^{2} = 48 \Leftrightarrow 3{\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} = 48 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}$ .

Ta thấy $OI = \frac{5}{2}$ nên điểm $I$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Ta có $OI = R + MI = OM + MI$ , suy ra có một điểm $M$ thuộc đoạn $OI$ thỏa mãn đề bài.
Câu 2: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = a$ , $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha$ . Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và các trung điểm của $SB,SC$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
- B.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- D.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
Hướng dẫn:
Hinh vẽ minh họa

Gọi $B',C'$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ . Thiết diện là tam giác $AB'C'$ .

Theo bài tập 5 thì $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}$

Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}$

$\Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}$

$= \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha)$ .

Tính tương tự, ta có

$\overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha)$ .

Vậy $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}$

$= \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$ .
Câu 3: Nhận biết
Tính tích vô hướng
Cho hai véc tơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Khi đó, tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right).\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $12$ .
- B.
  $10$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $11$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm đẳng thức sai
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Chọn đẳng thức sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ .
- C.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ .
- D.
  $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}$ nên D sai.

Do $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ và $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ nên $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ . A đúng

Do $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} = \overrightarrow{A_{1}B_{1}} = \overrightarrow{DC}$ nên

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ nên B đúng.

Do $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ nên C đúng.
Câu 5: Vận dụng cao
Tính thể tích khối tứ diện
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ , trong đó $a > 0,b > 0,c > 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = \frac{72}{7}$ . Thể tích của khối tứ diện $OABC$ là.
- A.
  .
- B.
  $\frac{3}{8}$ .
- C.
  $\frac{5}{6}$ .
- D.
  $\frac{2}{9}$ .
Hướng dẫn:
Cách 1:

Ta có : $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow bcx + acy + abz - abc = 0$ .

Theo bài ra có: $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 \Leftrightarrow bc + 2ca + 3ab = 7abc$ .

Mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S) \Rightarrow d\left( I;(ABC) \right) = R$

$\Leftrightarrow \frac{|bc + 2ca + 3ab - abc|}{\sqrt{b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} + a^{2}b^{2}}} = \sqrt{\frac{72}{7}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{36}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right) = \frac{7}{72} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}$ .

Ta có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$

$\Leftrightarrow 7 = \left( \frac{1}{a} + 2.\frac{1}{b} + 3.\frac{1}{c} \right)^{2} \leq (1 + 4 + 9)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right)$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 2b = 3c \\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\b = 1 \\c = \frac{2}{3}\end{matrix} \right.$ .

Vậy $V_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{6}.2.1.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ .

Cách 2:

Ta có $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ suy ra $M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}\right)\in (ABC)$ .

Lại có $M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right) \in (S)$ nên $(ABC)$ tiếp xúc với $(S)$ tại M.

Suy ra $(ABC):\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{\frac{2}{3}} = 1$ nên $V_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{6}.2.1.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(3; - 2;1),N(1;0; - 3)$ . Gọi $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $M'N'$ bằng:
- A.
  $M'N' = 2\sqrt{6}$
- B.
  $M'N' = 2\sqrt{2}$
- C.
  $M'N' = 8$
- D.
  $M'N' = 4$
Hướng dẫn:
Vì $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ nên $M'(3; - 2;0),N'(1;0;0)$ suy ra $\overrightarrow{M'N'} = ( - 2;2;0)$

$\Rightarrow M'N' = 2\sqrt{2}$ .
Câu 7: Vận dụng
Định tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ cho $A(4; - 2;6)$ , $B(2;4;2)$ , $M \in (\alpha)\ :\ x + 2y - 3z - 7 = 0$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất. Tọa độ của $M$ bằng
- A.
  $(4;3;1)$ .
- B.
  $\left( \frac{29}{13};\frac{58}{13};\frac{5}{13} ight)$ .
- C.
  $\left( \frac{37}{3};\frac{- 56}{3};\frac{68}{3} ight)$ .
- D.
  $(1;3;4)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(3;1;4)$ .

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ xuống mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)$

$= MI^{2} + \overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) - IA^{2} = MI^{2} - IA^{2}$ .

Do $IA$ không đổi nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H$ .

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Khi đó $\Delta$ nhận $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ .

$H \in \Delta \Leftrightarrow H(3 + t;1 + 2t;4 - 3t)$ .

$H \in (\alpha) \Leftrightarrow (3 + t) + 2(1 + 2t) - 3(4 - 3t) - 7 = 0$

$\Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H(4;3;1)$ .

Vậy $M(4;3;1)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho $A(0;\ - 1;\ 1)$ , $B( - 2;\ 1;\ - 1)$ , $C( - 1;\ 3;\ 2)$ . Biết rằng $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là
- A.
  $D\left( - 1;\ 1;\ \frac{2}{3} ight).$
- B.
  $D(1;\ 1;\ 4).$
- C.
  $D( - 1;\ - 3;\ - 2).$
- D.
  $D(1;\ 3;\ 4).$
Hướng dẫn:
Gọi $D(x;\ y;\ z)$ , ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ \end{matrix} \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $D(1;\ 1;\ 4).$
Câu 9: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm A
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của điểm $A$ là
- A.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- B.
  $( - 3;2; - 1)$ .
- C.
  $(2; - 1; - 3)$ .
- D.
  $( - 1;2; - 3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = (1; - 2;3)$

Khi đó $A( - 1;2; - 3)$
Câu 10: Nhận biết
Xác định cosin góc giữa hai vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = ( - 3\ ;\ 4\ ;\ 0)$ , $\overrightarrow{b} = (5\ ;\ 0\ ;\ 12)$ . Côsin của góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $- \frac{3}{13}$ .
- B.
  $- \frac{5}{6}$ .
- C.
  $\frac{3}{13}$ .
- D.
  $\frac{5}{6}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{a}\ ;\ \ \overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \ \overrightarrow{b} ight|}$

$= \frac{- 3.5 + 4.0 + 0.12}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = \frac{- 3}{13}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 4; - 2; - 6)$
- B.
  $D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
- C.
  $D(0;8;8)$
- D.
  $D(6;6;0)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .
Câu 12: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
Câu 13: Thông hiểu
Tìm câu sai
Cho hình tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$ . Mệnh đề nào sau đây sai.
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .
- C.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ .
Hướng dẫn:
Theo giả thuyết trên thì với $O$ là một điểm bất kỳ ta luôn có:

$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)$ .

Ta thay điểm $O$ bởi điểm $A$ thì ta có:

$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$

Do vậy $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ là sai.
Câu 14: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ , $B(2\ ;\ 1\ ;\ - 3)$ và $C(1\ ;\ - 1\ ;\ 0)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $D(2\ ;\ 2\ ;\ - 5)$ .
- B.
  $D( - 2\ ;\ 2\ ;\ 5)$ .
- C.
  $D(0\ ;\ 2\ ;\ - 1)$ .
- D.
  $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ ; $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ 1\ ;\ - 5)$ ; $\overrightarrow{AC} = (2\ ;\ - 1\ ;\ - 2)$

Vì $\frac{3}{2} eq \frac{1}{- 1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương $\overrightarrow{AC} \Rightarrow$ tồn tại hình bình hành $ABCD$ .

Suy ra $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 = 1 - a \\ 1 = - 1 - b \\ - 5 = - c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = - 2 \\ c = 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .
Câu 15: Nhận biết
Xác định mệnh đề không chính xác
Cho tứ diện đều $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$
Hướng dẫn:
Vì tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vậy mệnh đề chưa chính xác là: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 2;2;5)$
- B.
  $D( - 2;8; - 3)$
- C.
  $D( - 4;8; - 5)$
- D.
  $D( - 4;8; - 3)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .
Câu 17: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ giả sử $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$ , khi đó tọa độ điểm $M$ là
- A.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- B.
  $(2;3; - 1)$ .
- C.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- D.
  $( - 2;\ 3;\ 1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (2;3; - 1)$ hay $M(2;3; - 1)$
Câu 18: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 4, đỉnh $A$ trùng với gốc $O$ , các điểm $B,D,A'$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$ .

a. Tọa độ của điểm $D$ là: $(4;0;0)$ Sai||Đúng

b. Tọa độ của vec tơ $C$ là: $(0;4;0)$ Sai||Đúng

c. Tọa độ của vec tơ $A'$ là: $(0;0;4)$ Đúng||Sai

d. Tọa độ của vec tơ $C'$ là: $(4;4;4)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 4, đỉnh $A$ trùng với gốc $O$ , các điểm $B,D,A'$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$ .

a. Tọa độ của điểm $D$ là: $(4;0;0)$ Sai||Đúng

b. Tọa độ của vec tơ $C$ là: $(0;4;0)$ Sai||Đúng

c. Tọa độ của vec tơ $A'$ là: $(0;0;4)$ Đúng||Sai

d. Tọa độ của vec tơ $C'$ là: $(4;4;4)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

(a) Tọa độ của điểm $D$ là: $(4;0;0)$

Do $\overrightarrow{OD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{j}$ và $\left| \overrightarrow{OD} \right| = OD = 4 = 4\left| \overrightarrow{j} \right|$ nên $\overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{j}$ hay $\overrightarrow{OD} = 0\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $D(0;4;0)$ .

» Chọn SAI.

(b) Tọa độ của vec tơ $C$ là: $(0;4;0)$

Do $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{i}$ và $\left| \overrightarrow{OB} \right| = OB = 4 = 4\left| \overrightarrow{i} \right|$ nên $\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{i}$ hay $\overrightarrow{OB} = 4\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $C(4;4;0)$ .

» Chọn SAI.

(c) Tọa độ của vec tơ $A'$ là: $(0;0;4)$

Do $\overrightarrow{OA'}$ cùng hướng với $\overrightarrow{k}$ và $\left| \overrightarrow{OA'} \right| = OA' = 4 = 4\left| \overrightarrow{k} \right|$ nên $\overrightarrow{OA'} = 4\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{OA'} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $A'(0;0;4)$ .

» Chọn ĐÚNG.

(d) Tọa độ của vec tơ $C'$ là: $(4;4;4)$ .

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA'} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $C'(4;4;4)$

» Chọn ĐÚNG.
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật

và $EFP$ là tam giác cân tại $P$ . Gọi $T$ là trung điểm của $DC$ . Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6$ m; $AE = 5$ m; $AD = 8$ m; $QT = 7$ m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA = 2$ m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$ , người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm $Q$ . Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

Đáp án: 16,7

Đáp án là:

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật

và $EFP$ là tam giác cân tại $P$ . Gọi $T$ là trung điểm của $DC$ . Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6$ m; $AE = 5$ m; $AD = 8$ m; $QT = 7$ m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA = 2$ m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$ , người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm $Q$ . Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

Đáp án: 16,7

Với hệ trục toạ độ đã chọn ta có $O(0;0;0)$ , $K(0;0;5)$ , $F(2;6;5)$ , $G( - 6;6;5)$ , $Q( - 6;3;7)$ .

Gọi $I$ là trung điểm của $FG$ , ta có $I( - 2;6;5)$

Do đó $OK = 5;$ $\overrightarrow{KI} = ( - 2;6;0) \Rightarrow KI = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10}$ ; $\overrightarrow{IQ} = ( - 4; - 3;2) \Rightarrow IQ = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$ .

Vậy độ dài đoạn cáp nối tối thiểu là: $OK + KI + IQ = 5 + 2\sqrt{10} + \sqrt{29} \approx 16,7\ m$ .
Câu 20: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 1$ .
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 0^{0} \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 1$ .

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số