VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu điểm A
Trong không gian $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là
- A.
  $Q(1; 2 ; 0)$ .
- B.
  $N(0\ ;\ 2\ ;\ 0)$ .
- C.
  $M(1\ ;\ 0\ ;\ 3)$ .
- D.
  $P(0\ ;\ 2\ ;\ 3)$ .
Hướng dẫn:
Tọa độ hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng $(Oxz)$ là: $(1;0;3)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A’
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 3;5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ ?
- A.
  $A'( - 2; - 3; - 5)$
- B.
  $A'(2; - 3; - 5)$
- C.
  $A'(2;3;5)$
- D.
  $A'( - 2; - 3;5)$
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của $A(2; - 3;5)$ lên $Oy$ suy ra $H(0; - 3;0)$

Khi đó $H$ là trung điểm của $AA'$ nên

$\left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2 \\ y_{A'} = - 3 \\ z_{A'} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'( - 2; - 3; - 5)$
Câu 3: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 4: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai vecto
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ .
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm câu sai
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có $AB = a,BC = 2a,AA_{1} = 3a$ . Chọn kết luận sai dưới đây?
- A.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{C_{1}A_{1}}.\overrightarrow{C_{1}B_{1}}.$
- B.
  $\left( \overrightarrow{AB_{1}};\overrightarrow{C_{1}D} ight) = 45^{0}$
- C.
  $\overrightarrow{A_{1}B}.\overrightarrow{D_{1}D} = 9a^{2}$ .
- D.
  $\overrightarrow{A_{1}D_{1}}.\overrightarrow{C_{1}C} = 0$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đáp án sai là: $\left( \overrightarrow{AB_{1}};\overrightarrow{C_{1}D} ight) = 45^{0}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tọa độ các điểm $A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0)$ . Xác định tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'( - 1;0;2)$
- B.
  $A'( - 1; - 3;2)$
- C.
  $A'( - 2; - 1;0)$
- D.
  $A'(0;2;3)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi tọa độ điểm $A'(x;y;z)$

Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên

$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 0 = - 2 - ( - 1) \\ y - 1 = 1 - 2 \\ z - 3 = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ $A'( - 1;0;2)$
Câu 7: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Gọi $Q(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MN} = (300;100;2)$

$\overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)$

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M ightarrow N$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N ightarrow Q$ nên $MN = 4NQ$

Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)$

Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2$ .

Do đó, $a + b + c + d = 1223.$
Câu 8: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0)$ ; $\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{c}\bot\overrightarrow{b}$
- B.
  $\left| \overrightarrow{a} ight| = \sqrt{2}$
- C.
  $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$
- D.
  $\left| \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b} = 1.1 + 1.1 + 1.0 = 2 eq 0$ suy ra “ $\overrightarrow{c}\bot\overrightarrow{b}$ ” là mệnh đề sai.
Câu 9: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $(1; - 2;0)$
- B.
  $(0;1; - 2)$
- C.
  $(0; - 1;2)$
- D.
  $(1;0; - 2)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$
Câu 10: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng
Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $N$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $N$ là trung điểm của $BD$
- B.
  $N \equiv A$
- C.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$
- D.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $BCDN$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}$

Vậy $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$ .
Câu 11: Thông hiểu
Định các giá trị tham số m
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2)$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ?
- A.
  $m = - 6$
- B.
  $m = - 4$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\ \overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Tam giác MNP vuông tại N $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m - 2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 0$ .
Câu 12: Vận dụng
Xác định mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,\ CD$ ; có tọa độ ba đỉnh $A(1;2;1),\ B(2;0; - 1),\ C(6;1;0)$ . Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$ , tìm mệnh đề đúng?
- A.
  $a + b + c = 6$ .
- B.
  $a + b + c = 5$ .
- C.
  $a + b + c = 7$ .
- D.
  $a + b + c = 8$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 2);\overrightarrow{AC} = (5; - 1; - 1);\overrightarrow{DC} = (6 - a;1 - b; - c).$

Ta có $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{ACD} = 6\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.$

$AB$ // $CD$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, cùng chiều $\Leftrightarrow \frac{6 - a}{1} = \frac{1 - b}{- 2} = \frac{c}{2} > 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 12 - 2a \\ b = 13 - 2a \\ a < 6 \\ b > 1 \\ c > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack = (0;9a - 54;54 - 9a).$

$S_{\Delta ACD} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |54 - 9a| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \frac{19}{3} \\ a = \frac{17}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$

So với điều kiện suy ra: $a = \frac{17}{3} \Rightarrow a + b + c = 8.$
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là $8$ m, chiều rộng là $6$ m và chiều cao là $3$ m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với một góc phòng và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn
- A.
  $\left( \frac{3}{2}\ ;\ 4\ ;\ 0 \right)$
- B.
  $(3\ ;\ 4\ ;\ 3)$
- C.
  $(3\ ;\ 4\ ;\ 0)$
- D.
  $(3\ ;\ 0\ ;\ 4)$
Hướng dẫn:
Gọi toạ độ các điểm $B(6\ ;\ 0\ ;\ 0)\ ;\ C(6\ ;\ 8\ ;\ 0)\ ;\ D(0\ ;\ 8\ ;\ 0)$ như hình vẽ dưới đây:

Gọi $N$ là trung điểm của $OC$ , $N'$ là hình chiếu của $N$ lên mặt phẳng trần nhà suy ra $N'$ là điểm treo đèn.

Khi đó $N(3;\ 4\ ;\ 0) \Rightarrow N'(3;\ 4\ ;\ 3)$

Vậy toạ độ của điểm treo đèn là $(3;\ 4\ ;\ 3)$
Câu 14: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng
Gọi $O$ là tâm của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

Vì $O$ là trung điểm của $AC'$ suy ra $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Câu 15: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 16: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = \frac{3}{2}AD;\widehat{CAB} = \widehat{DAB} = 60^{0};CD = AD$ . Gọi $\varphi$ là góc giữa $AB$ và $CD$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\cos\varphi = \frac{1}{4}$
- B.
  $\cos\varphi = \frac{3}{4}$
- C.
  $\varphi = 60^{0}$
- D.
  $\varphi = 30^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{CD} ight|} = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{AB.CD}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= AB.AD.\frac{1}{2} - AB.\frac{3}{2}.AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = - \frac{1}{4}AB.CD$

Do đó: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| -\dfrac{1}{4}AB.CD ight|}{AB.CD} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $\cos\varphi = \frac{1}{4}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vectơ
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u} = \left( - \sqrt{3};0;1 ight)$ là:
- A.
  $60^{0}$ .
- B.
  $120^{0}$ .
- C.
  $150^{0}$ .
- D.
  $30^{0}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = \frac{\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{i} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{1.\left( - \sqrt{3} + 0.0 + 0.1 ight)}{1.\sqrt{\left( - \sqrt{3} ight)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = 150^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm P
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(3;0;0)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(0;3;0)$ .
- D.
  $P(0;0;3)$ .
Hướng dẫn:
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 19: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1)$ và $B( - 4;1;9)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;2;4)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (6;2; - 10)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 4)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9 + 1) = ( - 6; - 2;10)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Tính thể tích mặt cầu nội tiếp tứ diện
Trong không gian $ABCD$ cho tứ diện $ABCD$ với điểm $A(1;2;2)$ , $B( - 1;2; - 1)$ , $D(1;6; - 1)$ và $D( - 1;6;2)$ . Thể tích của mặt cầu nội tiếp tứ diện $ABCD$ là
- A.
  $V = \frac{288\pi}{\sqrt{61}}$
- B.
  $V = \frac{288\pi\sqrt{61}}{3721}$ .
- C.
  $V = \frac{72\pi\sqrt{61}}{3721}$ .
- D.
  $V =\frac{261 \pi\sqrt{61}}{3721}$ .
Hướng dẫn:
Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

$(ABC):6x - 3y - 4z+ 8 = 0$

$(BCD):6x - 3y + 4z + 16 = 0$

$(CDA):6x + 3y + 4z - 20 = 0$

$(ABD):6x + 3y - 4z - 4 = 0$

Gọi $I(a';b';c')$ là tâm và R là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $DABC$

Do đó:

I nằm cùng phái với A đối với $(DBC)$ suy ra: $6a' - 3b' + 4c' + 16 > 0$ .

I nằm cùng phía với B đối với $(DAC)$ suy ra: $6a' + 3b' + 4c' - 20 < 0$ .

I nằm cùng phía với C đối với $(DAB)$ suy ra: $6a' + 3b' - 4c' - 4 > 0$ .

I nằm cùng phía với D đối với $(ABC)$ suy ra: $6a' - 3b' - 4c' + 8 < 0$ .

Suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DAC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DBC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(ABC) \right) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' + 3b' + 4c' - 20| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' + 4c' + 16| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' - 4c' + 8| \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' + 3b' + 4c' - 20 \right) \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = 6a' - 3b' + 4c' + 16 \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' - 3b' - 4c' + 8 \right) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 0 \\ b' = 4 \\ c' = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.$

Suy ra: $I\left( 0;4;\frac{1}{2} \right),R = \sqrt{\frac{36}{61}}$

Thể tích mặt cầu cần tìm là: $V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{288\pi\sqrt{61}}{3721}$

Cách khác: Sử dụng công thức nhanh.

$V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right)$ (r là bán kính của mặt cầu nội tiếp)

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 3),\overrightarrow{AC} = (0;4; - 3)$ $,\overrightarrow{AD} = ( - 2;4;0),\overrightarrow{DB} = (0; - 4; - 3)$ , $\overrightarrow{DC} = (2;0; - 3)$ .

$V_{ABCD} = \frac{1}{6}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack.\overrightarrow{AD} \right| = 8$ .

$S_{ABC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}$ , $S_{ADC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}$ , $S_{ABD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}$ ,

$S_{BCD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{BD};\overrightarrow{DC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}$ .

Ta có:

$V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right)$

$\Leftrightarrow 8 = \frac{1}{3}.r4\sqrt{61} \Leftrightarrow r = \sqrt{\frac{36}{21}}$ .

Vậy: $\mathbf{V =}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{R}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{288}\mathbf{\pi}\sqrt{\mathbf{61}}}{\mathbf{3721}}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

119

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện