VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;1;1)$ và đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} \right.$ . Trong tất cả các đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ , cắt đường thẳng $(d);\left( d_{1} \right)$ là đường thẳng mà khoảng cách đến A là lớn nhất, $\left( d_{2} \right)$ là đường thẳng mà khoảng cách đến A là nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $\left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right)$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{4}$
- D.
  0
Hướng dẫn:
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $(d)$ và đi qua $O$ : $(P):x - 2y - z = 0$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $(P)$

$\Rightarrow H\left( \frac{4}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right) \Rightarrow \overrightarrow{OH} = \frac{1}{3}(4;1;2) = \frac{1}{2}\overrightarrow{u_{1}}$

$\left( d_{2} \right)$ là đường thẳng qua O và H. Suy ra $\left( d_{2} \right)$ có một VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (4;1;2)$ :

Gọi $B$ là giao điểm của $(d)$ và $\left( d_{2} \right)$

$\Rightarrow B(1 + t; - 1 + t;3 - t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{OB} = (1 + t; - 1 + t;3 - t)$

Khoảng cách từ $A$ đến $\left( d_{2} \right)$ lớn nhất khi

$OA\bot\left( d_{2} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow t = - 3 \Leftrightarrow \overrightarrow{OB} = ( - 2; - 4;6)$

=> d₂ có một VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)$

Ta có $\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = 0$ .
Câu 2: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Câu 3: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{OM} = (2x - 4)\overrightarrow{i} -4\overrightarrow{j} + (y - 1) \overrightarrow{k}$ . Khi điểm $M \in Oy$ thì giá trị $x + 2y$ bằng?
- A.
  $3$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OM} = (2x - 4)\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} + (y - 1)\overrightarrow{k} \\ M \in Oy \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 4 = 0 \\ y - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x + 2y = 4$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120{^\circ}$ và $\left| \overrightarrow{u} \right| = 2$ , $\left| \overrightarrow{v} \right| = 5$ . Tính $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right|$
- A.
  $7$ .
- B.
  $\sqrt{39}$ .
- C.
  $\sqrt{19}$ .
- D.
  $- 5$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2}$

$= {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}$

$= \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\ \overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2}$

$= 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19$ .

Suy ra $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ và $G$ là trung điểm của $MN$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}$
- B.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM} \\ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN} \\ \end{matrix} ight.$

Mà $G$ là trung điểm của $MN$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

Khi đó

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 4\overrightarrow{MG}$

Vậy khẳng định sai là: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$ .
Câu 6: Nhận biết
Tìm điểm thuộc Oy
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$ ?
- A.
  $M(0;5;0)$
- B.
  $N(4;0;0)$
- C.
  $P(0;0;6)$
- D.
  $Q(4;5;0)$
Hướng dẫn:
Điểm thuộc trục Oy có dạng $(0;m;0)$ . Vậy điểm cần tìm là: $M(0;5;0)$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn kết quả chính xác
Cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Khi đó $\left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} \right|^{2}$ bằng
- A.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2} + 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
- B.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 2{\overrightarrow{v}}^{2} - 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
- C.
  $4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight)$ .
- D.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2} + 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
Câu 8: Vận dụng
Xác định giá trị biểuthức
Trong không gian với hệ tọa $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;4)$ , $\overrightarrow{b} = \left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$ . Biết vectơ $\overrightarrow{b}$ tạo với tia $Oy$ một góc nhọn và $\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{21}$ . Giá trị của tổng $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $- 3$ .
- D.
  $- 6$ .
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương và nên ta có $\overrightarrow{b} = k.\overrightarrow{a}(k eq 0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = k \\ y_{0} = - 2k \\ z_{0} = 4k \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $\frac{x_{0}}{1} = \frac{y_{0}}{- 2} = \frac{z_{0}}{4} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = \dfrac{1}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ y_{0} = - \dfrac{2}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ z_{0} = \dfrac{4}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết vectơ $\overrightarrow{b}$ tạo với tia $Oy$ một góc nhọn nên $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{j} > 0$ với $\overrightarrow{j} = (0;1;0)$ , do đó $y_{0} > 0$ .

Mà $\frac{y_{0}}{- 2} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}$ nên $x_{0} + y_{0} + z_{0} < 0$ .

Lại có $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{21}$ , suy ra

$\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2}} = \sqrt{\frac{21}{9}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2}}$ $= \sqrt{21} \Rightarrow \left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2} = 9$ .

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 3$ .
Câu 9: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 1;\ 2;\ 0)$ và $\overrightarrow{v} = (1;\ - 2;\ 3)$ . Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ là:
- A.
  $(0;\ 0;\ 3)$ .
- B.
  $(2;\ - 4;\ 3)$ .
- C.
  $( - 2;\ 4;\ - 3)$ .
- D.
  $(0;\ 0;\ - 3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = ( - 1 + 1;\ 2 - 2;\ 0 + 3) = (0;\ 0;\ 3)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1; - 2),B(3; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $M(9; - 5;7)$
- B.
  $M(9; - 5; - 5)$
- C.
  $M(9;5;7)$
- D.
  $M( - 9;5; - 7)$
Hướng dẫn:
Gọi tọa độ độ điểm $M(x;y;z)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y - 1;z + 2) \\ \overrightarrow{AB} = (3; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.$

Lại có: $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y - 1 = - 6 \\ z + 2 = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y = - 5 \\ z = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(9; - 5;7)$

Vậy đáp án cần tìm là: $M(9; - 5;7)$ .
Câu 11: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 12: Nhận biết
Tính góc giữa hai vectơ
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ ( $ADHE$ là hình vuông) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}$
Câu 13: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 1;2; - 3),\ \ B(1;0;2),\ \ C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó $x + y$ bằng
- A.
  $x + y = - \frac{11}{5}$ .
- B.
  $x + y =\frac{11}{5}$ .
- C.
  $x + y = 17$ .
- D.
  $x + y = 1$ .
Hướng dẫn:
Có $\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5),\ \ \overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1)$ .

$A,\ B,\ C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \dfrac{3}{5} \\ y = \dfrac{8}{5} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1$ .
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5)$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{x} = - 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Hướng dẫn:
Đặt $\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)$

$\Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$ là đẳng thức đúng.
Câu 15: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2; - 3)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2;3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1;3)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1; -3)$ .
Hướng dẫn:
Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$

Vậy $\overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$
Câu 16: Vận dụng
Xác định mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,\ CD$ ; có tọa độ ba đỉnh $A(1;2;1),\ B(2;0; - 1),\ C(6;1;0)$ . Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$ , tìm mệnh đề đúng?
- A.
  $a + b + c = 5$ .
- B.
  $a + b + c = 8$ .
- C.
  $a + b + c = 6$ .
- D.
  $a + b + c = 7$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 2);\overrightarrow{AC} = (5; - 1; - 1);\overrightarrow{DC} = (6 - a;1 - b; - c).$

Ta có $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{ACD} = 6\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.$

$AB$ // $CD$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, cùng chiều $\Leftrightarrow \frac{6 - a}{1} = \frac{1 - b}{- 2} = \frac{c}{2} > 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 12 - 2a \\ b = 13 - 2a \\ a < 6 \\ b > 1 \\ c > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack = (0;9a - 54;54 - 9a).$

$S_{\Delta ACD} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |54 - 9a| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \frac{19}{3} \\ a = \frac{17}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$

So với điều kiện suy ra: $a = \frac{17}{3} \Rightarrow a + b + c = 8.$
Câu 17: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Biết rằng vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 4;0)$ .
- B.
  $\overrightarrow{b} = (2;4;0)$ .
- C.
  $\overrightarrow{b} = (2;4;2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{b} = (3;0;2)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm giá trị m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1;1; - 2);\overrightarrow{v} = (1;0;m)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0}$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 2 + \sqrt{6}$
- C.
  $m = 2 - \sqrt{6}$
- D.
  $m = 2 \pm \sqrt{6}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 2 - \sqrt{6}$ .
Câu 19: Vận dụng
Xác định vị trí điểm M
Trong không gian cho tam giác $ABC$ . Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ .
- B.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
- C.
  $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .
- D.
  $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
Hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra G cố định và $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}$

$P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

$P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $M \equiv G$

Vậy $P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(3; - 2;5)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là:
- A.
  $(3; - 2;0)$ .
- B.
  $(0;2;5)$ .
- C.
  $(3;0;5)$ .
- D.
  $(0; - 2;5)$ .
Hướng dẫn:
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(3; - 2;5)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tọa độ $(3;0;5)$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm