VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm A’
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(1;0;1)$ , $B(2;1;2)$ , $D(1; - 1;1)$ , $C'(4;5; - 5)$ . Tọa độ của điểm $A'$ là:
- A.
  $A'(3;5; - 6)$ .
- B.
  $A'(4;6; - 5)$ .
- C.
  $A'( - 3;4; - 1)$ .
- D.
  $A'(3;5;6)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $A'(a;b;c)$

$ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AB} = (1;1;1)$ , $\overrightarrow{AD} = (0; - 1;0)$ , $\overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6)$

⇒ $\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = (2;5; - 7)$

$\overrightarrow{AA'} = (a - 1;b;c - 1)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 = 2 \\ b = 5 \\ c - 1 = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 5 \\ c = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy: $A'(3;5; - 6)$ .
Câu 2: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$ ?
- A.
  $N(0;4; - 1)$
- B.
  $P( - 2;0;3)$
- C.
  $M(3;4;0)$ .
- D.
  $Q(2;0;0)$
Hướng dẫn:
Điểm thuộc $(Oyz)$ có $x = 0$ . Vậy điểm cần tìm được là: $N(0;4; - 1)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $P,\ Q$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .
- B.
  $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .
- C.
  $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD} ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có : $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CQ}$ và $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DQ}$

nên $2\overrightarrow{PQ} = \left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} ight) + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} + \left( \overrightarrow{CQ} + \overrightarrow{DQ} ight) = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .

Vậy $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} ight)$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1; -3)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2; - 3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1;3)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2;3)$ .
Hướng dẫn:
Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$

Vậy $\overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$
Câu 5: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$
Hướng dẫn:
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Khi đó:

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}$

Vậy $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chọn phát biểu đúng
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;0)$ , $B(5;0;0)$ . Gọi $(H)$ là tập hợp các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $2$ .
- B.
  $(H)$ là một đường tròn có bán kính bằng $4$ .
- C.
  $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $4$ .
- D.
  $(H)$ là một đường tròn có bán kính bằng $2$ .
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(3;0;0)$ .

Ta có :

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} ight) = 0$

$\Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = 0 \Leftrightarrow MI^{2} = IA^{2} \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.|5 - 1| = 2$ .

Suy ra tập hợp điểm $M$ trong không gian là mặt cầu tâm $I$ , bán kính bằng 2.

Vậy $(H)$ là một mặt cầu có bán kính bằng $2$ .
Câu 7: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm C’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?
- A.
  $C'(7;4;4)$
- B.
  $C'(10;4;4)$
- C.
  $C'(13;4;4)$
- D.
  $C'( - 13;4;4)$
Hướng dẫn:
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(1;3;2)$ .
- B.
  $(2;3; - 2)$ .
- C.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- D.
  $(3;2; - 2)$ .
Gợi ý:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ để lập hệ phương trình.

Hướng dẫn:
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 9: Vận dụng
Tìm khẳng định sai
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $I$ và $K$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABB’A’$ và $BCC'B'$ . Khẳng định nào sau đây sai ?
- A.
  Ba vectơ $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'}$ không đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}$
- C.
  Bốn điểm $I$ , $K$ , $C$ , $A$ đồng phẳng
- D.
  $\overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{BC}$
Hướng dẫn:
“Bốn điểm $I$ , $K$ , $C$ , $A$ đồng phẳng ». Đúng vì $\overrightarrow{IK},\overrightarrow{AC}$ cùng thuộc $(B'AC)$

“ $\overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}$ ”. Đúng vì $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)$ $= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}.$

“Ba vectơ $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'}$ không đồng phẳng ». Sai vì $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right).$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} \Rightarrow$ Ba vectơ đồng phẳng.

” $\overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{BC}$ ”. Đúng vì theo câu trên $\Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} = 2\overrightarrow{BC}.$
Câu 10: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;3; - 1),B(3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- B.
  $M\left( \frac{5}{3};\frac{13}{3};1 ight)$
- C.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- D.
  $M(4; - 3;8)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)$
Câu 11: Nhận biết
Tính độ dài AB
Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(1; - 3;1),B(3;0; - 2)$ . Tính độ dài $AB$ ?
- A.
  $AB = 26$
- B.
  $AB = \sqrt{26}$
- C.
  $AB = 22$
- D.
  $AB = \sqrt{22}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 + 3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)$

Suy ra $AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{22}$

Vậy đáp án cần tìm là $AB = \sqrt{22}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $A(3;4; - 5)$
- B.
  $A( - 3; - 4;5)$
- C.
  $A( - 3;4;5)$
- D.
  $A(3;4;5)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\ 4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\ 5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k} \Rightarrow A(3;4; - 5)$
Câu 13: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$ đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BD_{1}};\overrightarrow{BC_{1}}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{C_{1}A}$ đồng phẳng.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} = \overrightarrow{A_{1}C} + \overrightarrow{CD_{1}}$ suy ra $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C}$ đồng phẳng.
Câu 14: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y} = (1;0; - 1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (4;1; - 5)$
- B.
  $\overrightarrow{a} = (3;1; - 4)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (0;1; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{a} = (4;1; - 1)$
Hướng dẫn:
Ta có: $2\overrightarrow{y} = (2;0; - 2)$ . Khi đó $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) = (4;1; - 5)$ .

Vậy $\overrightarrow{a} = (4;1; - 5)$
Câu 15: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MO} = 3\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ bằng
- A.
  $(2; - 4; - 3)$ .
- B.
  $( - 2;4;3)$ .
- C.
  $(3;2;4)$ .
- D.
  $(3; - 2;4)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{MO} =3 \overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ $\Rightarrow M(2; - 4; - 3)$
Câu 16: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vecto
Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Tính góc $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right)$ .
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 180{^\circ}$ .
- B.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 120{^\circ}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 60{^\circ}$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}$ .
Hướng dẫn:

Gọi $M$ là trung điểm $CD$ .

Khi đó, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}$

Do tam giác $ACD$ đều nên $AM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Và tam giác $BCD$ đều nên $BM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD} = 0$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ .

Kết luận $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}$ .
Câu 17: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ .

a) [NB] Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$ . Đúng||Sai

b) [TH] Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $30^{0}$ . Sai||Đúng

c) [TH] Đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm $M(a;b;c)$ với $a + b - c = - 1$ . Đúng||Sai

d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng $\Delta$ chứa trong mặt phẳng $(P)$ , vuông góc và cắt đường thẳng $d$ là $\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ .

a) [NB] Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$ . Đúng||Sai

b) [TH] Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $30^{0}$ . Sai||Đúng

c) [TH] Đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm $M(a;b;c)$ với $a + b - c = - 1$ . Đúng||Sai

d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng $\Delta$ chứa trong mặt phẳng $(P)$ , vuông góc và cắt đường thẳng $d$ là $\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}$ . Đúng||Sai

a) Đúng. Đường thẳng $d$ có một vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$ .

b) Sai. Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$ .

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|}$ $= \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{1}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$ .

c) Đúng. Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ x - y + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ 1 - t - 1 - 2t + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 3 \\ z = 4 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại $M(0;3;4)$ .

d) Đúng. Đường thẳng $\Delta$ chứa trong mặt phẳng $(P)$ , vuông góc với đường thẳng $d$ nên có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} ightbrack = (1;1; - 1)$ .

Mặt khác đường thẳng $\Delta$ cắt đường thẳng $d$ nên $\Delta$ đi qua giao điểm $M(0;3;4)$ .

Vậy phương trình của đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Tìm số phần tử của tập hợp các điểm M
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;0)$ , $B(5;6;0)$ và $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Tập hợp các điểm $M$ trên mặt cầu $(S)$ thỏa mãn $3MA^{2} + MB^{2} = 48$ có bao nhiêu phần tử?
- A.
  $3$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ có tâm $O(0;0;0)$ , bán kính $R = 1$ .

Ta tìm điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .

Có $\overrightarrow{IA} = (1 - x\ ;\ - y\ ;\ - z)$ , $\overrightarrow{IB} = (5 - x\ ;\ 6 - y\ ;\ - z)$ ; $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5 - x = 0 \\ 3( - y) + 6 - y = 0 \\ 3( - z) - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4x + 8 = 0 \\ - 4y + 6 = 0 \\ - 4z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow I\left( 2;\frac{3}{2};0 ight)$ .

Suy ra $IA = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , $IB = \frac{3\sqrt{13}}{2}$ .

Do đó $3MA^{2} + MB^{2} = 48 \Leftrightarrow 3{\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2} = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) = 48$

$\Leftrightarrow 4MI^{2} + 3IA^{2} + IB^{2} = 48 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}$ .

Ta thấy $OI = \frac{5}{2}$ nên điểm $I$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Ta có $OI = R + MI = OM + MI$ , suy ra có một điểm $M$ thuộc đoạn $OI$ thỏa mãn đề bài.
Câu 20: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

120

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện