VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 5 với nội dung phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là phần kiến thức quan trọng của hình học giải tích. Đây là chuyên đề giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình, xác định vị trí tương đối và vận dụng vào giải quyết các bài toán không gian. Việc luyện tập qua đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Toán 12 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải bài tập và làm quen với các dạng đề thi thường gặp. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm đáp án chi tiết, giúp quá trình ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Vận dụng
Tìm phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện

Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có $\overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}$ trùng với ba trục $\overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}$ . Viết phương trình mặt cầu $\left( S_{1} \right)$ ngoại tiếp hình lập phương.
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z - \frac{3}{2} = 0$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - \frac{3}{2} = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0$
$\left( S_{1} \right)$ có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo: $I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$ , bán kính $R_{1} = \frac{1}{2}OE = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \left( S_{1} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow \left( S_{1} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0$
Câu 2: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được $AB = 30\ cm;\ AC = 35\ cm;\ BC = 55\ cm$ . Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 115.

Đáp án là:

Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được $AB = 30\ cm;\ AC = 35\ cm;\ BC = 55\ cm$ . Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 115.

Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.

Suy ra d ⊥ AB, d ⊥ AC.

Mặt khác AB ∩ AC = A ∈ d.

Vậy góc $\widehat{BAC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.

Ta có:

$\cos\widehat{BAC} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2.AB.AC} = \frac{30^{2} + 35^{2} - 55^{2}}{2.30.35} = - \frac{3}{7}$ .

Suy ra: $\widehat{BAC} \approx 115^{0}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 3$ và mặt phẳng $(\alpha):(m - 4)x + 3y - 3mz + 2m - 8 = 0$ . Với giá trị nào của tham số $m$ thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = - 1$
- C.
  $m = \frac{- 7 + \sqrt{33}}{2}$
- D.
  $m = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{2}$
Mặt cầu (S) có tâm $I(−3; 1; −1)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$

Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi

$d\left( I;(P) ight) = R$

$\Leftrightarrow \frac{\left| (m - 4).( - 3) + 3.1 - 3m.( - 1) + 2m - 8 ight|}{\sqrt{(m - 4)^{2} + 3^{2} + ( - 3m)^{2}}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{|2m + 7|}{\sqrt{10m^{2} - 8m + 25}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 26m^{2} - 52m + 26 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = 1$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):6x - 3y - 2z - 6 = 0$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Mặt phẳng $(\alpha)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{u}( - 6,3,2)$ .
- B.
  Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng $\frac{6}{8}$ .
- C.
  Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa điểm $A(1,2, - 3)$ .
- D.
  Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục $Ox,Oy,Oz$ .
Do $d\left( O,(\alpha) \right) = \frac{6}{\sqrt{36 + 9 + 4}} = \frac{6}{7}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu (S)

Viết phương trình mặt cầu (S) tâm $I( - 3,2,2)$ tiếp xúc với mặt cầu (S’):
- A.
  $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 100$
- B.
  $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$
- C.
  $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 2$
- D.
  $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 10$
$(S')$ có tâm $J(1, - 2,4)$ , bán kính $R' = 4 \Rightarrow IJ = 6$

Gọi R là bán kính của $(S)$ . $(S)$ và $(S')$ tiếp xúc trong khi và chỉ khi:

$\left| R - R^{'} \right| = IJ \Leftrightarrow |R - 4| = 6$

$\Rightarrow R = 10 \vee R = - 2$ (loại)

$\Rightarrow (S):(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 100$
Câu 6: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P) : 2x + by + cz + d = 0$ với $b, c, d ∈ \mathbb{Z}$ . Tính giá trị $T = b − c + d$ .
- A.
  $T = - 18$
- B.
  $T = - 20$
- C.
  $T = - 21$
- D.
  $T = - 19$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (4;4;2)$ mà $\overrightarrow{AB}\bot(P)$ nên $\frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên $(S)$ có $I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3$

Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

Ta có:

$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)$

Đặt $f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack$

$\Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)$

$\Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)$

$\Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)$

Mà $H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21$

Vậy $T = b − c + d = −20.$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2; - 1;1),\ B(1;0;4)$ và $C(0; - 2; - 1)$ . Phương trình mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ là:
- A.
  $2x + y + 2z - 5 = 0$ .
- B.
  $x - 2y + 3z - 7 = 0$ .
- C.
  $x + 2y + 5z - 5 = 0$ .
- D.
  $x + 2y + 5z + 5 = 0$ .
Ta có: $\overrightarrow{CB}(1;2;5)$ .

Mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ có một VTPT là $\overrightarrow{CB}(1;2;5)$ nên có phương trình là: $x + 2y + 5z - 5 = 0$ .

Vậy $x + 2y + 5z - 5 = 0$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C

Hai đương thẳng $(d_{1})$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 2t - 3 \\ y = 3t - 2 \\ z = 4t + 6 \\ \end{matrix} \right.$ và $(d_{2})$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t' \\ y = - 1 - 4t' \\ z = 20 + t' \\ \end{matrix} \right.$ cắt nhau tại $C$ .

Tọa độ điểm C là:
- A.
  $C(3, - 7,18)$
- B.
  $C(3,7,18)$
- C.
  $C(3, - 7, - 18)$
- D.
  $C( - 3,7,18)$ .
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2t - 3 = 5 + t' \\ 3t - 2 = - 1 - 4t' \\ 4t + 6 = 20 + t' \\ \end{matrix} \right.$ có nghiệm $t = 3,t' = - 2$ .

Từ đó có $C(3,7,18)$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 20$
- A.
  $I( - 1;2; - 4),R = 2\sqrt{5}$
- B.
  $I(1; - 2;4),R = 20$
- C.
  $I(1; - 2;4),R = 2\sqrt{5}$
- D.
  $I( - 1;2; - 4),R = 5\sqrt{2}$
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I(1; - 2;4)$

Bán kính mặt cầu $(S)$ là: $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Xác định cosin góc giữa MN và (SAC)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AB = BC = a,AD = 2a$ , $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ , $SA = a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $CD$ . Tính cosin của góc giữa $MN$ và $(SAC)$ .
- A.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{55}}{10}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ, với $O \equiv A$ . Khi đó ta có: $A(0;0;0),B(a;0;0),$ $C(a;a;0),D(0;2a;0),S(0;0;a)$ .

Khi đó: $M\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),N\left( \frac{a}{2};\frac{3a}{2};0 ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \frac{- 1}{a}\overrightarrow{SA} = (0;0;1) = \overrightarrow{u} \\ \frac{1}{a}\overrightarrow{SC} = (1;1; - 1) = \overrightarrow{v} \\ \end{matrix} ight.$ . Gọi $\overrightarrow{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = ( - 1; - 1;0)$

Lại có $\frac{2}{a}\overrightarrow{MN} = (0;3; - 1) = \overrightarrow{w}$

Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{w} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{w} ight|} = \frac{3}{2\sqrt{5}} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{55}}{10}$ .
Câu 11: Nhận biết
Tìm điểm thuộc đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 12: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x - y + z + 2 = 0$ và $(Q):x + y + 2z - 1 = 0$ . Góc giữa $(P)$ và $(Q)$ là
- A.
  $45{^\circ}$
- B.
  $90{^\circ}$
- C.
  $30{^\circ}$
- D.
  $60{^\circ}$
Góc giữa $(P)$ và $(Q)$ là: $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;1);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;1;2)$

$\cos(\alpha) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} \right|\left| \overrightarrow{n_{Q}} \right|}$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).1 + 1.2 \right|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 1^{2}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60{^\circ}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm câu sai

Chọn khẳng định sai
- A.
  Nếu hai đường thẳng $AB,CD$ song song thì vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ .
- B.
  Cho ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng, vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ .
- C.
  Cho hai đường thẳng $AB,CD$ chéo nhau, vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và song song với đường thẳng $CD$ .
- D.
  Nếu hai đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau thì vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ .
Câu sai: “Nếu hai đường thẳng $AB,CD$ song song thì vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ ”.
Câu 14: Vận dụng
Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.$ . Phương trình đường thẳng vuông góc với $(P):7x + y - 4z = 0$ và cắt hai đường thẳng $d_{1},\ d_{2}$ là:
- A.
  $\frac{x - 7}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 4}{1}.$
- B.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}.$
- C.
  $\frac{x + 2}{- 7} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{4}.$
- D.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{4}.$
Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm

Gọi $A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)$

$\overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)$

$d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}}$ cùng phương

$\Leftrightarrow$ có một số $k$ thỏa $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$d$ đi qua điểm $A(2;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)$

Vậy phương trình của $d$ là $\frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ d đến (P)

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ . Khoảng cách giữa đưởng thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ đi qua $A(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;0)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight.$ , nên đường thằng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ :

$d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$ , $SA\bot(ABCD)$ . Góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{o}$ , $E$ là trung điểm của $SD$ , $AB = 2a$ , $AD = DC = a$ . Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(ACE)$ .
- A.
  $\frac{2a}{3}$ .
- B.
  $\frac{4a}{3}$ .
- C.
  $a$ .
- D.
  $\frac{3a}{4}$ .
Hình vẽ minh họa

Hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AB$ $\Rightarrow$ Góc giữa $SB$ và mặt đáy là góc giữa $SB$ và $AB$ và bằng góc $\widehat{SBA} = 45^{o}$ .

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow SA = 2a$ .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: $A(0;0;0)$ , $B(0;2a;0)$ , $C(a;a;0)$ , $D(a;0;0)$ , $S(0;0;2a)$ , $E\left( \frac{a}{2};0;a \right)$ .

$\overrightarrow{AC} = (a;a;0)$ , $\overrightarrow{AE} = \left( \frac{a}{2};0;a \right) \Rightarrow \overrightarrow{AC} \land \overrightarrow{AE} = \left( a^{2}; - a^{2}; - \frac{a^{2}}{2} \right)$

$\Rightarrow$ mặt phẳng $(ACE)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow (ACE):2x - 2y - z = 0$ .

Vậy $d\left( B,(ACE) \right) = \frac{|2.2a|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{4a}{3}$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Xác định số đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ , $\left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$ , $\left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$ , $\left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$ . Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là
- A.
  0.
- B.
  2.
- C.
  Vô số.
- D.
  1
$\left( d_{1} \right)$ đi qua điểm $M_{1}(3; - 1; - 1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1)$ .

$\left( d_{2} \right)$ đi qua điểm $M_{2}(0;0;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1)$ .

$\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2)$ .

Vì $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0}$ và $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0}$ nên $\left( d_{1} \right)$ song song với $\left( d_{2} \right)$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng $\left( d_{1} \right)$ và $\left( d_{2} \right)$ .

$(P)$ đi qua điểm $M_{2}(0;0;1)$ và có $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5)$ hay $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$ có phương trình $1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$ .

Gọi $A = \left( d_{3} \right) \cap (P)$ . Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1)$ .

Gọi $B = \left( d_{4} \right) \cap (P)$ . Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0)$ .

Vì $\overrightarrow{BA} = (1; - 2;1)$ cùng phương với $\overrightarrow{u_{1}}$ nên $(d)$ không thỏa mãn.
Câu 18: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;2;3),B(3;4;4),C(2;6;6)$ và $I(a;b;c)$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Tính $a + b + c$ ?
- A.
  $\frac{46}{5}$
- B.
  $\frac{31}{3}$
- C.
  $\frac{63}{5}$
- D.
  $10$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = ( - 1;2;2);\overrightarrow{AC} = (1;4;3) \\ \overrightarrow{AI} = (a - 1;b - 2;c - 3) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 3;b - 4;c - 4) \\ (ABC):2x - 5y + 6z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1(a - 1) + 2(b - 2) + 2(c - 3) = 0 \\1(a - 3) + 4(b - 4) + 3(c - 4) = 0 \\2a - 5b + 6c - 10 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{27}{5} \\b = 4 \\c = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{63}{5}$
Câu 19: Vận dụng
Chọn kết quả chính xác

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $AB = a;SA = a\sqrt{2}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
- A.
  $\arccos\frac{\sqrt{3}}{5}$
- B.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}$
Gọi O = AC ∩ BD

Tam giác SAO vuông nên suy ra $SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Gắn tọa độ như hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$

Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên $G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

$\cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 20: Nhận biết
Viết phương trình tham số

Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
- A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2m\\y = 2 - 3m\\z = 5 - 3m\end{array} ight.\,\,\,;m \in \mathbb{R}$
- B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2 + 3t\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}$
- C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2n\\y = - 4 + 3n\\z = 3 + 3n\end{array} ight.\,\,\,;n \in \mathbb{R}$
- D. Hai câu A và B
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là $\overrightarrow {MN}$ hay ta có
$\left( d ight):\overrightarrow {MN} = \left( { - 2, - 3, - 3} ight) = - \left( {2,3,3} ight)$
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
$\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2n\\y = 3n - 4\\z = 3 + 3n\end{array} ight.\,\,;n \in \mathbb{R}$

Chia sẻ bởi:
Đen2017

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian