VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 5 với nội dung phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là phần kiến thức quan trọng của hình học giải tích. Đây là chuyên đề giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình, xác định vị trí tương đối và vận dụng vào giải quyết các bài toán không gian. Việc luyện tập qua đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Toán 12 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải bài tập và làm quen với các dạng đề thi thường gặp. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm đáp án chi tiết, giúp quá trình ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x = 0.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} - z^{2} + 2x - y + 1 = 0.$
- C.
  $2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1.$
- D.
  $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} - 1.$
Phương trình mặt cầu $(S)$ có hai dạng là:

(1) $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ ;

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Từ đó ta xác định được phương trình mặt cầu cần tìm là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ khoảng cách từ điểm $M(1;3;2)$ đến đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = - t \\ \end{matrix} \right.$ bằng
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $2$
- C.
  $2\sqrt{2}$
- D.
  $3$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;1;0)$ và có một VTCP là $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$

Suy ra $\overrightarrow{AM} = (0;2;2)$ ; $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (4; - 2;2)$

Vậy $d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 2\sqrt{2}$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm bán kính đường tròn

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - 2 = 0$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;1; - 1)$ bán kính $R = 2$ . Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $r = \sqrt{3}$
- B.
  $r = 3$
- C.
  $r = \sqrt{5}$
- D.
  $r = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là $r$

Ta có:

$h = d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.2 + 2.( - 1) - 1 - 2 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 1$

Suy ra $r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$
Câu 4: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;1;3),B(6;5;5)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ ) có thể tích lớn nhất, biết rẳng $(P):2x + by + cz + d = 0$ với $b;c;d\mathbb{\in Z}$ . Tính $S = b +c + d$ .
- A.
  $S = - 18$ .
- B.
  $S = - 11$ .
- C.
  $S = - 24$ .
- D.
  $S = - 14$ .
Hình vẽ minh họa

$\overrightarrow{AB} = (4;4;2) = 2(2;2;1)$ , $\overrightarrow{AB}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ suy ra phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $2x + 2y + z + d = 0$ .

Gọi $I$ là tâm mặt cầu thì $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $I(4;3;4)$ , bán kính mặt cầu $R = \frac{AB}{2} = 3$ .

Đặt $IH = x$ suy ra $HK = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{9 - x^{2}}$ .

Thể tích khối nón

$V = \frac{1}{3}IH.\pi.HK^{2} = \frac{1}{3}.\pi.\left( 9 - x^{2} \right)(3 + x)$

$= \frac{1}{6}.\pi.(6 - 2x)(3 + x)(3 + x) \leq \frac{1}{6}.\pi\left( \frac{6 + 3 + 3}{3} \right)^{3}$ .

Dấu bằng xảy ra khi $6 - 2x = 3 + x \Leftrightarrow x = 1$ .

Ta có hệ: $\left\{ \begin{matrix}d\left( A;(P) \right) = 4 \\d\left( I;(P) \right) = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{|d + 9|}{3} = 4 \\\frac{|d + 18|}{3} = 1\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} d = 3 \hfill \\ d = - 21 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered} d = - 21 \hfill \\ d = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow d = - 21$

Vậy $(P):2x + 2y + z -21 =0$ .

Suy ra: $b + c + d = - 18$ .
Câu 5: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ để thể tích của tứ diện $MABC$ bằng $3$ .
- A.
  $M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight),M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$
- B.
  $M\left( - \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( - \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- C.
  $M\left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- D.
  $M\left( \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0$

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2$

Mà $M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)$

$d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.$

Với $t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$

Với $t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho $A(3;0;1),B(6; - 2;1).$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua A, B và $(P)$ tạo với mặt phẳng $(Oyz)$ góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = \frac{2}{7}$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - 3y - 6z = 0 \end{matrix} \right.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 3y + 6z + 12 = 0 \\ 2x + 3y - 6z - 1 = 0 \end{matrix} \right.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x + 3y - 6z = 0 \end{matrix} \right.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - 3y - 6z + 1 = 0 \end{matrix} \right.$
Gọi $\overrightarrow{n_{P}} = (a;b;c);\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0 \right)$

Ta có:

$A,B \in (P) \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Rightarrow 3a - 2b = 0$

$\Leftrightarrow 3a = 2b \Leftrightarrow 9a^{2} = 4b^{2}(1)$

$\cos\left( \widehat{(P),(Oyz)} \right) = \frac{2}{7}$

$\Rightarrow \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Oyz}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{Oyz}} \right|} = \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{1}} = \frac{2}{7}$

$\Leftrightarrow \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + \left( \frac{3a}{2} \right)^{2} + c^{2}}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{|a|}{\sqrt{\frac{13}{4}a^{2} + c^{2}}} = \frac{2}{7}$

$\Leftrightarrow a^{2} = \frac{4}{49}\left( \frac{13}{4}a^{2} + c^{2} \right)$

$\Leftrightarrow 9a^{2} = c^{2}(2)(1),(2)$

$\Rightarrow c^{2} = 4b^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 2b \\ c = - 2b \end{matrix} \right.$

Chọn: $a = 2 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow c = 6 \Rightarrow (P):2x + 3y + 6z - 12 = 0$

$a = - 2 \Rightarrow b = - 3 \Rightarrow c = 6 \Rightarrow (P):2x + 3y - 6z = 0$
Câu 7: Nhận biết
Tính số đo góc nhị diện

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Số đo của góc nhị diên $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') \right\rbrack$ bằng
- A.
  $135{^\circ}$ .
- B.
  $45{^\circ}$ .
- C.
  $90{^\circ}$ .
- D.
  $60{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có góc nhị diên $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ bằng $\widehat{DBC} = 45{^\circ}$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Chọn vectơ chỉ phương thích hợp

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ có phương trình đường phân giác trong góc A là $\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}$ Biết rằng điểm $M(0;5;3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A.
  $\overrightarrow{u}(1;2;3)$
- B.
  $\overrightarrow{u}(0; - 2;6)$
- C.
  $\overrightarrow{u}(0;1; - 3)$
- D.
  $\overrightarrow{u}(0;1;3)$
Giả sử $A(t;6 - 4t;6 - 3t)$ , ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 4; - 3) \\ \overrightarrow{AM} = ( - t;4t - 1; - 3 + 3t) \\ \overrightarrow{AN} = (1 - t; - 5 + 4t;3t - 6) \\ \end{matrix} \right.$

Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

$\left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AM} \right) \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AN} \right) \right|$

$\Leftrightarrow \frac{|26t - 13|}{\sqrt{26t^{2} - 26t + 10}} = \frac{|26t - 39|}{\sqrt{26t^{2} - 78t + 62}}$

$\Leftrightarrow \frac{|2t - 1|}{\sqrt{13t^{2} - 13t + 5}} = \frac{|2t - 3|}{\sqrt{13t^{2} - 39t + 31}}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left( 4t^{2} - 4t + 1 \right)\left( 13t^{2} - 39t + 31 \right) = \left( 4t^{2} - 12t + 9 \right)\left( 13t^{2} - 13t + 5 \right) \\ \Leftrightarrow 14t = 14 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A(1;2;3) \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (0; - 1; - 3) \\ \end{matrix}$

Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\overrightarrow{u}(0;1;3)$
Câu 9: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 10: Thông hiểu
Xác định giá trị tham số t

Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong sau là mặt cầu:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2\left( 2 - \ln t \right)x + 4lnt.y$ $+ 2\left( \ln t + 1 \right)z + 5ln^{2}t + 8 = 0$
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} t < \frac{1}{e} \\ t > 3e \\ \end{matrix} \right.$
- B.
  $\frac{1}{e} < t < 3e$
- C.
  $e < t < e^{3}$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 0 < t < \frac{1}{e} \\ t > e^{3} \\ \end{matrix} \right.$
Ta có: $a = \ln t - 2;\ \ b = - 2lnt;\ \ c = - \ln t - 1;\ \ d = 5ln^{2}t + 8$

$(S)$ là mặt cầu $\Leftrightarrow$ $\left( \ln t - 2 \right)^{2} + 4ln^{2}t + \left( \ln t + 1 \right)^{2} - 5ln^{2}t - 8 > 0$

$\Leftrightarrow ln^{2}t - 2lnt - 3 > 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ln t < - 1 \\ \ln t > 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < t < \frac{1}{e} \\ t > e^{3} \\ \end{matrix} \right.$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng (P)

Trong không gian với tọa độ $Oxyz$ cho $A(2; - 3;0)$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - z + 3 = 0$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ sao cho $(P)$ vuông góc với (α) và $(P)$ song song với trục $Oz$ ?
- A.
  $y + 2z + 3 = 0$
- B.
  $2x + y - 1 = 0$
- C.
  $x + 2y - z + 4 = 0$
- D.
  $2x - y - 7 = 0$
Vì $(P)\bot(\alpha)$ nên $\overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(\alpha)}}$ và $(P)//Oz$ nên $\overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{k}$

Chọn $\overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(\alpha)}};\overrightarrow{k} ightbrack = (2; - 1;0)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2x - y - 7 = 0$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x + y + z - 3 = 0$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $y - z - 1 = 0$
- B.
  $y - 2z = 0$
- C.
  $y + z = 0$
- D.
  $y - z = 0$
Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(1;1;1)$ .

Từ giả thiết, ta suy ra $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1; - 1)$ .

Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là $y - z = 0$ .
Câu 13: Thông hiểu
Xác định cosin góc giữa MN và (SAC)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AB = BC = a,AD = 2a$ , $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ , $SA = a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $CD$ . Tính cosin của góc giữa $MN$ và $(SAC)$ .
- A.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{55}}{10}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ, với $O \equiv A$ . Khi đó ta có: $A(0;0;0),B(a;0;0),$ $C(a;a;0),D(0;2a;0),S(0;0;a)$ .

Khi đó: $M\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),N\left( \frac{a}{2};\frac{3a}{2};0 ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \frac{- 1}{a}\overrightarrow{SA} = (0;0;1) = \overrightarrow{u} \\ \frac{1}{a}\overrightarrow{SC} = (1;1; - 1) = \overrightarrow{v} \\ \end{matrix} ight.$ . Gọi $\overrightarrow{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = ( - 1; - 1;0)$

Lại có $\frac{2}{a}\overrightarrow{MN} = (0;3; - 1) = \overrightarrow{w}$

Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{w} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{w} ight|} = \frac{3}{2\sqrt{5}} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{55}}{10}$ .
Câu 14: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm mặt cầu

Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
- A.
  $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + y - z + - 7 = 0$ .
- C.
  $x - y^{2} + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z^{2} - 7 = 0$ .
PTTQ của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , với $A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0$ nên ta chọn $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa d và trục Ox

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ và trục $Ox$ .
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3)$ và đi qua điểm $M(1; - 2;4)$

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0)$ và đi qua điểm $N(1;0;0)$

Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

$d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2$
Câu 16: Nhận biết
Tìm câu sai

Chọn khẳng định sai
- A.
  Nếu hai đường thẳng $AB,CD$ song song thì vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ .
- B.
  Cho ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng, vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ .
- C.
  Cho hai đường thẳng $AB,CD$ chéo nhau, vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và song song với đường thẳng $CD$ .
- D.
  Nếu hai đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau thì vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ .
Câu sai: “Nếu hai đường thẳng $AB,CD$ song song thì vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ ”.
Câu 17: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.$ và $(P): - x + 2y + 2z + 5 = 0$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A( - 1;0; - 1)$ cắt đường thẳng $\Delta_{1}$ và tạo với đường thẳng $\Delta_{2}$ một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (a;b;c)$ . Tính tổng $a + 2b - 3c$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $5$
- C.
  $9$
- D.
  $1$
Giả sử đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $\Delta_{1}$ tại $B$ , ta có: $B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t) \in \Delta_{1}$ .

Đường thẳng $d$ có VTCP là: $\overrightarrow{AB} = (2t + 2;t + 2; - t - 1)$ , mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n} = ( - 1;2;2)$ .

Gọi $\varphi$ là góc giữa $d$ và $\Delta_{2}$ , ta có:

$\sin\varphi = \frac{| - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{|2t|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} \geq 0$

$\Rightarrow d$ tạo với đường thẳng $\Delta_{2}$ một góc $\varphi$ nhỏ nhất khi $\varphi = 0{^\circ}$ hay $\sin\varphi = 0 \Rightarrow t = 0$ .

Khi đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $A( - 1;0; - 1)$ và có VTCP $\overrightarrow{AB} = (2;2; - 1)$ .

Vậy $a = 2,b = 2,c = - 1$

$\Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.( - 1) = 9$
Câu 18: Nhận biết
Chọn phương trình đường thẳng thích hợp

Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn mặt phẳng thích hợp

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ ?
- A.
  $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 1}{- 2}$
- D.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z + 1}{- 2}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là:

$d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 20: Vận dụng
Viết phương trình mặt cầu

Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có $\overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}$ trùng với ba trục $\overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}$ . Viết phương trình mặt cầu $\left( S_{2} \right)$ nội tiếp hình lập phương.
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z + 1 = 0$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + 1 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - \frac{1}{2} = 0$
$\left( S_{2} \right)$ có tâm $I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$ là trung điểm của 3 đoạn nối trung điểm các mặt đối diện đôi một có độ dài cạnh bằng 1. Bán kính $R_{1} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$

Chia sẻ bởi:
Đen2017

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm