Tìm phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện
Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có
trùng với ba trục
. Viết phương trình mặt cầu
ngoại tiếp hình lập phương.
có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo:
, bán kính
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 5 với nội dung phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là phần kiến thức quan trọng của hình học giải tích. Đây là chuyên đề giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình, xác định vị trí tương đối và vận dụng vào giải quyết các bài toán không gian. Việc luyện tập qua đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Toán 12 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải bài tập và làm quen với các dạng đề thi thường gặp. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm đáp án chi tiết, giúp quá trình ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Tìm phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện
Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có
trùng với ba trục
. Viết phương trình mặt cầu
ngoại tiếp hình lập phương.
có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo:
, bán kính
Ghi đáp án vào ô trống
Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được
. Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 115.
Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được
. Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 115.
Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.
Suy ra d ⊥ AB, d ⊥ AC.
Mặt khác AB ∩ AC = A ∈ d.
Vậy góc là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.
Ta có:
.
Suy ra: .
Tìm các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Với giá trị nào của tham số
thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tìm khẳng định sai
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây sai?
Do .
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm
tiếp xúc với mặt cầu (S’):
có tâm
, bán kính
Gọi R là bán kính của .
và
tiếp xúc trong khi và chỉ khi:
(loại)
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
và
. Phương trình mặt phẳng qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: .
Mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng
có một VTPT là
nên có phương trình là:
.
Vậy .
Tìm tọa độ điểm C
Hai đương thẳng
:
và
:
cắt nhau tại
.
Tọa độ điểm C là:
Hệ phương trình có nghiệm
.
Từ đó có .
Chọn kết luận đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, tìm tọa độ tâm
và bán kính
của mặt cầu ![]()
Tâm của có tọa độ là
Bán kính mặt cầu là:
.
Xác định cosin góc giữa MN và (SAC)
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
,
,
vuông góc với mặt đáy
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính cosin của góc giữa
và
.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục như hình vẽ, với
. Khi đó ta có:
.
Khi đó:
Ta có: . Gọi
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có
Lại có
Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:
.
Tìm điểm thuộc đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
và
. Góc giữa
và
là
Góc giữa và
là:
Tìm câu sai
Chọn khẳng định sai
Câu sai: “Nếu hai đường thẳng song song thì vectơ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
”.
Tìm phương trình đường thẳng thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai đường thẳng
và
. Phương trình đường thẳng vuông góc với
và cắt hai đường thẳng
là:
Gọi là đường thẳng cần tìm
Gọi
có vectơ pháp tuyến
cùng phương
có một số
thỏa
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
Tính khoảng cách từ d đến (P)
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho hình chóp
đáy là hình thang vuông tại
và
,
. Góc giữa
và mặt phẳng đáy bằng
,
là trung điểm của
,
,
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa

Hình chiếu của trên mặt phẳng
là
Góc giữa
và mặt đáy là góc giữa
và
và bằng góc
.
Tam giác vuông cân tại
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: ,
,
,
,
,
.
,
mặt phẳng
có véctơ pháp tuyến
.
Vậy .
Xác định số đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
đường thẳng
,
,
,
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả
đường thẳng trên là
đi qua điểm
và có VTCP
.
đi qua điểm
và có VTCP
.
.
Vì và
nên
song song với
.
Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng
và
.
đi qua điểm
và có
hay
có phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
Vì cùng phương với
nên
không thỏa mãn.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Chọn kết quả chính xác
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
Gọi O = AC ∩ BD
Tam giác SAO vuông nên suy ra
Gắn tọa độ như hình vẽ:
Ta có:
Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên
Ta có:
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Viết phương trình tham số
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: