VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 5 với nội dung phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là phần kiến thức quan trọng của hình học giải tích. Đây là chuyên đề giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình, xác định vị trí tương đối và vận dụng vào giải quyết các bài toán không gian. Việc luyện tập qua đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Toán 12 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải bài tập và làm quen với các dạng đề thi thường gặp. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm đáp án chi tiết, giúp quá trình ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

(S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\cos t - 4\sin ty + 6z\cos 2t - 3 = 0$ , $t\mathbb{\in R}$ .
- A.
  Mặt phẳng: $2x + 3y - 6 = 0$
- B.
  Mặt phẳng $z + 3 = 0$
- C.
  Phần đường thẳng: $2x + 3y - 6 = 0;\ \ \ z + 3 = 0$ với $- 3 \leq x \leq 3$
- D.
  Elip: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1;\ \ \ z + 3 = 0$
Ta có:

$a = 3cost;b = 2sint;c = - 3;d = cos2t - 3 = - 2sin^{2}t - 2$

$\Rightarrow 9cos^{2}t + 4sin^{2}t + 2sin^{2}t + 11 > 0,\ \ \forall t\mathbb{\in R}$

Tâm $I:x = 3cost;y = 2sint;z = - 3$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1;\ \ z + 3 = 0$

Vậy tập hợp các tâm I là elip $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1;z + 3 = 0$
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $(P)$ , số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q):x - y - 11 = 0$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Vì $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{OH} = (2; - 1; - 2)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 1;0)$ .

Gọi $\varphi$ là số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ , ta có:

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + ( - 2).0 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 45^{0}$
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 9$ và hai điểm $A(4;3;1),\ B(3;1;3);$ M là điểm thay đổi trên (S). Gọi $P_{\max},P_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P = 2MA^{2} - MB^{2}.$ Giá trị $P_{\max} - P_{\min}$ bằng
- A.
  64.
- B.
  60.
- C.
  68.
- D.
  48.
Gọi $I(1;\ 2;\ - 1)$ là tâm mặt cầu, bán kính $R = 3$ .

Ta có $P = 2MA^{2} - MB^{2} = MI^{2} + 2IA^{2} - IB^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} \right)$ .

Đặt $2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = (4;3;0) = \overrightarrow{IK}$ .

Khi đó $P$ lớn nhất, nhỏ nhất nếu $\overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK}$ tương ứng cùng hướng và ngược hướng. Từ đó $P_{\max} - P_{\min} = 4.R.IK = 60.$
Câu 4: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $9$
- D.
  $3$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I(0;1; - 1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3$
Câu 5: Vận dụng cao
Tính bán kính mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6)$ , điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(ABC)$ , $N$ là điểm trên tia $OM$ sao cho $OM.ON = 12$ . Biết khi M thay đổi thì điểm N luôn nằm trên mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó
- A.
  $\frac{7}{2}$ .
- B.
  $3\sqrt{2}$ .
- C.
  $2\sqrt{3}$ .
- D.
  $\frac{5}{2}$ .
Giả sử $N(x;y;z) \Rightarrow ON = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

Do O, M, N thẳng hàng và N thuộc tia ON nên suy ra:

$OM.ON = 12 \Leftrightarrow\overrightarrow{OM} = \frac{12}{x^{2} + y^{2} +z^2}.\overrightarrow{ON}$

Do $N \in (ABC) \Rightarrow 6x + 3y + 2z = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

$\Leftrightarrow (x - 3)^{2} + \left( y -\frac{3}{2} \right)^2 + (z - 1)^{2} = \frac{49}{4}$

Vậy $N$ thuộc mặt cầu cố định bán kính $R = \frac{7}{2}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu

Cho điểm $I(1;0;0)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{1}$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho $AB = 4$ là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$
- B.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 3.$
- C.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 3.$
- D.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$
Đường thẳng $(d)$ đi qua $M(1;\ 1; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1)$ .

Gọi H là hình chiếu của I trên (d).

Ta có: $IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{5}$

$\Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 9$ .

Vậy phương trình mặt cầu: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$
Câu 7: Nhận biết
Viết phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng đi qua điểm $M(1;2;3)$ và song song với trục $Oy$ có phương trình tham số là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm.

Ta có $d//Oy$ nên $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (0;1;0)$ .

Do đó $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 8: Vận dụng
Xác định tan góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A'.ABC$ . là tứ diện đều cạnh $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AA';BB'$ . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(CMN)$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{5}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{13}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AB

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $\left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$ . Dễ thấy $(ABC)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)$

M là trung điểm AA′ $\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

N là trung điểm BB′ $\Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $(CMN)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)$

$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}$
Câu 9: Thông hiểu
Xác định điều kiện tham số m

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ . Tìm tất cả các giá trị của m để $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = - 5$
Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ khi và chỉ khi:

$d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 10: Nhận biết
Viết phương trình mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3;1),B(0;1;2)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $(P):2x + 2y - z = 0$
- B.
  $(P):2x + 2y - z - 9 = 0$
- C.
  $(P):2x + 4y + 3z - 19 = 0$
- D.
  $(P):2x + 4y + 3z - 10 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2;1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$- 2(x - 2) - 2(y - 3) + (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (P):2x + 2y - z - 9 = 0$
Câu 11: Vận dụng
Viết phương trìnhmặt phẳng

Trong không gian hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $d$ và $(\alpha)$ tạo với $d'$ một góc lớn nhất là
- A.
  $x - z + 1 = 0$ .
- B.
  $x - 4y + z - 7 = 0$ .
- C.
  $5x - 2y - 4z + 1 = 0$ .
- D.
  $3x - 2y - 2z - 1 = 0$ .
Cách 1. Trắc nghiệm Casio.

Ta kiểm được các mặt phẳng đều chứa d (có $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} = 0$ và đi qua điểm $(1; - 1;2)$ ). Tính $sin^{- 1}\left( \frac{|A + 2B + C|}{\sqrt{6}.\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \right)$ CALC nhập vtpt trong đáp án, $\max\varphi \approx 35,26^{o}$ .

Cách 2. Khử dần ẩn.

Giả sử vtpt $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (a;b;c)$ vuông góc $\overrightarrow{u_{d}}$ nên $2a + b + 2c = 0$

$\Rightarrow b = - 2a - 2c$ . Ta có:

$\sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d'}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right) \right| = \frac{|a + 2b + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{3|a + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{5a^{2} + 8ac + 5c^{2}}}$ , với $a^{2} + c^{2} \neq 0$ .

Do vai trò ngang nhau, khi $a = c$ thì $\max\left( \sin\varphi \right) = \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Chọn $c = 1,a = 1,b = - 4$ và phương trình $(\alpha):x - 4y + z - 7 = 0$ .

Nhận xét.

Trong cách 2, ta khử dần ẩn từ $a,b,c$ về còn hai ẩn $a,c$ ; Tổng quát: phải xét trường hợp $a = 0 \cup a \neq 0$ rồi chia cả tử và mẫu cho $a$ để đưa về một ẩn $t = \frac{c}{a}$ , tiếp theo là khảo sát hàm số biến $t$ . Sau đây là cách 3 sử dụng một ẩn.

Cách 3. Khảo sát.

Gọi $A(a - 1;2a;a + 1) = d' \cap (\alpha)$ , điểm $M(1; - 1;2) \in d$ $\Rightarrow \overrightarrow{MA} = (a - 2;2a + 1;a - 1)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (3a + 3;2; - 3a - 4)$ .

Khi đó $\sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{u_{d'}} \right) \right| = \frac{3}{\sqrt{6}.\sqrt{(3a + 3)^{2} + 4 + (3a + 4)^{2}}}$ lớn nhất nếu Parabol nhỏ nhất: $P = 18a^{2} + 42a + 29$ , tại $a = - \frac{42}{36} = - \frac{7}{6}$ .

Vậy $\overrightarrow{n_{\alpha}} = - \frac{1}{2}(1; - 4;1)$ và phương trình $(\alpha):x - 4y + z = 7$ .
Câu 12: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):\ x - 2y - z + 1 = 0$ , $(Q):\ x + y + 2z + 7 = 0$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng đó.
- A.
  $60^{0}$ .
- B.
  $45^{0}$ .
- C.
  $120^{0}$ .
- D.
  $30^{0}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{n_{P}}(1\ ;\ - 2\ ;\ - 1)$ là một véctơ pháp tuyến của $(P)$ .

$\overrightarrow{n_{Q}}(1\ ;\ 1\ ;\ 2)$ là một véctơ pháp tuyến của $(Q)$ .

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là:

$\cos\alpha = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P}.{\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight|.\left| {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm phương trình đường thẳng

Đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng: $x + z - 5 = 0$ và $x - 2y - z + 3 = 0$ thì có phương trình là
- A.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{- 1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y+ 1}{2} =\frac{z}{- 1}$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{- 1}$
Ta có:

$(P):x + z - 5 = 0$ có 1 vtpt $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y - z + 3 = 0$ có 1 vtpt $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2; - 1)$

Gọi $\Delta$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì $\Delta$ có 1 vtcp $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack = (2;2; - 2)$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{- 1}$
Câu 14: Nhận biết
Xác định phương trình tham số của Oz

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình tham số trục $Oz$ là
- A.
  $z = 0$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} \right.$ .
Trục $Oz$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và nhận vectơ đơn vị $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} \right.$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tích b.c

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $d_{1}$ tạo với $d_{2}$ một góc $45^{0}$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n} = (1;b;c)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích $b.c$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = - 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $b.c = - 4$
- D.
  $b.c = 4$
Hai đường phẳng $d_{1};d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - 2; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;0 - 1)$

Mặt phẳng (P) đi qua $d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\ \ (1)$

$\Rightarrow \sin\left( d_{2};(P) ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{2}} ight|}{\left|\overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u_{2}} ight|} =\sin45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{|1 - c|}{\sqrt{b^{2} + c^{2} + 1}.\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |1 - c| = \sqrt{b^{2} + c^{2} + 1} \Leftrightarrow b^{2} + 2c = 0(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow bc = - 4$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A( - 2;2;1)$ cắt trục tung tại $B$ sao cho $OB = 2OA.$
- A.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 6}{- 8} = \frac{z}{- 1}.$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 6}{4} = \frac{z}{- 1}.$
- C.
  $\frac{x + 3}{- 5} = \frac{y + 6}{- 9} = \frac{z - 2}{3}.$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 6}{4} = \frac{z}{- 1}$ và $\frac{x}{2} = \frac{y + 6}{- 8} = \frac{z}{- 1}.$
$B \in Oy \Rightarrow B(0;b;0)$

$OB = 2OA \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 6 \\ b = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(0;6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2;4; - 1) \\ B(0; - 6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2; - 8; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$\Delta$ đi qua điểm $B$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\frac{x}{2} = \frac{y - 6}{4} = \frac{z}{- 1}$ và $\frac{x}{2} = \frac{y + 6}{- 8} = \frac{z}{- 1}.$
Câu 17: Thông hiểu
Tìmđiểm M thuộc (P) thỏa mãn điều kiện

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A( - 3;0;0)$ , $B(0;0;3)$ , $C(0; - 3;0)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 3 = 0$ . Tìm điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất.
- A.
  $M( - 3; - 3;3)$ .
- B.
  $M(3;3; - 3)$ .
- C.
  $M(3; - 3;3)$ .
- D.
  $M( - 3;3;3)$ .
Gọi $I( - 3;3;3)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} \right| = MI$ nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Mặt khác ta có I thuộc (P) nên M trùng I.
Câu 18: Nhận biết
Viết phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ .
- A.
  $(P):x + 3y + 4z - 26 = 0$ .
- B.
  $(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .
- C.
  $(P):x + y + 2z - 6 = 0$ .
- D.
  $(P):x + 3y + 4z - 7 = 0$ .
Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x + y - 1 + 2(z - 1) = 0$ hay $(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3; - 1;0)$ và đường thẳng : $d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(\alpha)$ lớn nhất có phương trình là:
- A.
  $x + y - z = 0$ .
- B.
  $x + y - z - 2 = 0$ .
- C.
  $x + y - z + 1 = 0$ .
- D.
  $- x + 2y + z + 5 = 0$ .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $(\alpha)$ , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.

Ta có: $d(A;d) = AK$ cố định và $d\left( A;(\alpha) \right) = AH \leq AK \Rightarrow d\left( A;(\alpha) \right)_{MAX}$ bằng $AK$ khi $H \equiv K$ .

$d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$ qua $M(2; - 1;1)$ , có VTCP $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;2;1)$ .

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (2;0;2)$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = ( - 4; - 4;4) = - 4(1;1; - 1)$ và $(\alpha)$ qua $M(2; - 1;1)$ có phương trình: $1(x - 2) + 1(y + 1) - 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):ax + by + cz - 27 = 0$ đi qua hai điểm $A(3;2;1),B( - 3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$ .
- A.
  $S = - 12$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = - 4$
- D.
  $S = - 2$
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 3a + 2b + c - 27 = 0 \\ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0 \\ 3a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 27 \\ c = - 45 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = a + b + c = - 12$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Đen2017

211

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện