Chọn khẳng định sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 5 với nội dung phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là phần kiến thức quan trọng của hình học giải tích. Đây là chuyên đề giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình, xác định vị trí tương đối và vận dụng vào giải quyết các bài toán không gian. Việc luyện tập qua đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Toán 12 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải bài tập và làm quen với các dạng đề thi thường gặp. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm đáp án chi tiết, giúp quá trình ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Chọn khẳng định sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho
và góc
có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị
bằng
+) Vì nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là
+) M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng nên M thuộc đường thẳng
.
Gọi , ta có
.
Khảo sát hàm số , ta được
khi
.
Suy ra có số đo lớn nhất khi
, ta có
.
Khi đó giá trị .
Tìm phương trình thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(2; 1; -5) và vuông góc với
là
có vectơ pháp tuyến
Vì d vuông góc với nên d có vectơ chỉ phương
d đi qua A và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Với điều kiện nào của m thì mặt phẳng cong sau là mặt cầu? ![]()
![]()
Ta có:
là mặt cầu
Tìm giá trị biểu thức
Trong không gian
, cho ba điểm
. Đường thẳng
qua trực tâm
của tam giác
và nằm trong mặt phẳng
cùng tạo với các đường thẳng
một góc
có một véc-tơ chỉ phương là
với
là số nguyên tố và
là số nguyên. Giá trị biểu thức
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Theo đề bài, ta suy ra:
Vì ∆ ⊂ (ABC) nên
Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:
Chọn c = 11, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét hệ phương trình
Chọn c = 2, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét không thỏa mãn).
Vậy
Xác định bán kính mặt cầu
Trong không gian
, mặt cầu
có bán kính bằng:
Bán kính của mặt cầu là
.
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho phương trình
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với mặt phẳng
và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi
?
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3
Từ đó ta có:
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất là:
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta được:
Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Vậy dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ta có chọn vtcp của đường thẳng AB:
.
Vậy phương trình đường thẳng AB: .
Tọa độ của M là nghiệm hệ:
Tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
là
Ta có:
Khi đó
Vì nên
Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho các điểm
. Phương trình mặt phẳng đi qua
và vuông góc với
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với
là:
Xác định vectơ chỉ phương
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).
Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).
Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.
Ta có , từ đó suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Chọn đáp án thích hợp
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu
(S):
,
.
Ta có:
Tâm
Vậy tập hợp các tâm I là elip
Xét tính đúng sai của các khẳng đính
Trong không gian
cho hình chóp
có
là hình chữ nhật với
(Hình 4).

a) Toạ độ điểm
Đúng||Sai
b) Phương trình mặt phẳng
là
. Sai||Đúng
c) Toạ độ của vectơ
là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(làm tròn đến hàng đơn vị của độ là
. Sai||Đúng
Trong không gian
cho hình chóp
có
là hình chữ nhật với
(Hình 4).

a) Toạ độ điểm
Đúng||Sai
b) Phương trình mặt phẳng
là
. Sai||Đúng
c) Toạ độ của vectơ
là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(làm tròn đến hàng đơn vị của độ là
. Sai||Đúng
Vì nên
và
. Phương trình mặt phẳng
là:
Suy ra là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Khi đó, .
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
là khoảng
.
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai
Xác định điểm không thuộc đường thẳng
Trong không gian
, đường thẳng
không đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có nên điểm
không thuộc đường thẳng
.
Tính góc giữa (P) và trục Ox
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Tính bán kính mặt cầu
Trong không gian
, cho ba điểm
, điểm
thay đổi trên mặt phẳng
,
là điểm trên tia
sao cho
. Biết khi M thay đổi thì điểm N luôn nằm trên mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó
Giả sử .
Do O, M, N thẳng hàng và N thuộc tia ON nên suy ra:
Do
Vậy thuộc mặt cầu cố định bán kính
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
?
Mặt phẳng có phương trình là
nên có một vectơ pháp tuyến là
.
Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng
.
Định phương trình mặt phẳng (Q)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng
qua mặt phẳng
. Khi đó phương trình mặt phẳng
là?
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng
.
Điểm là điểm đối xứng của
qua trục tung
là mặt phẳng đi qua
và là mặt phẳng đối xứng của
.
Vậy .
Xác định tọa độ giao điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, giao điểm của mặt phẳng
và đường thẳng
là:
Gọi là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có:
Suy ra .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: