Xác định tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Tâm mặt cầu
có tọa độ là:
Mặt cầu có tâm là
Mặt cầu có tâm
.
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 5 với nội dung phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là phần kiến thức quan trọng của hình học giải tích. Đây là chuyên đề giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình, xác định vị trí tương đối và vận dụng vào giải quyết các bài toán không gian. Việc luyện tập qua đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Toán 12 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải bài tập và làm quen với các dạng đề thi thường gặp. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm đáp án chi tiết, giúp quá trình ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Xác định tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Tâm mặt cầu
có tọa độ là:
Mặt cầu có tâm là
Mặt cầu có tâm
.
Tìm điểm thuộc đường thẳng
Trong hệ tọa độ
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
?
Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm .
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
, song song với đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình:
Phương pháp tự luận
Ta có ,
Mặt phẳng đi qua
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương pháp trắc nghiệm
Do kiểm tra mp
nào thỏa hệ
Tìm tọa độ hình chiếu
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng
Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).
Khi đó
Ta có . Vì
nên
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
Gọi
là mặt phẳng chứa trục
và cách
một khoảng lớn nhất. Phương trình của
là:
Hình vẽ minh họa

+) Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
và trục
.
Ta có :
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng
lớn nhất khi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
.
Phương trình mặt phẳng:
Tìm phương trình mặt cầu thích hợp
Cho mặt cầu
:
. Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:
Mặt cầu tâm
, bán kính
. Do mặt cầu
đối xứng với
qua trục Oz nên tâm I' của
đối xứng với I qua trục Oz, bán kính
.
Ta có : .
Vậy
Lưu ý: Sẽ vất vả hơn rất nhiều nếu học sinh không nhớ được tính chất đối xứng, tọa độ của một điểm đối xứng qua các trục tọa độ.
Tính sin góc giữa hai đối tượng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính số đo của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Đường thẳng d có VTCP .
Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có
Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian
, cho
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt cầu đi qua
và tiếp xúc mặt phẳng
.
Gọi là tâm mặt cầu cần tìm.
Theo bài ra ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính là
.
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của
là:

Gọi ; H là hình chiếu vuông góc của B lên
; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
.
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
có một VTPT
.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
với
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để thể tích khối tứ diện
bằng
.
Ta có:
Lại có:
Khi đó ta có:
Theo đề ta có:
PTTQ của (d) khi là giao tuyến
Cho hình hộp chữ nhật
có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
Như vậy ta tính được vecto và
theo a, b, c.
(MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto và
(MNP) có đi qua M và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S
Trong không gian
cho mặt cầu
có phương trình
và điểm
. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua
và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt
. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Tâm và bán kính mặt cầu
Gía trị nhỏ nhất xảy ra trong trường hợp
Đặt
Xét trên
khi
Vậy GTNN khi
.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian
,cho tam giác
vuông tại
,
, đường thẳng
có phương trình
, đường thẳng
nằm trên mặt phẳng
. Biết
là điểm có hoành độ dương, gọi
là tọa độ của
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta thấy đường thẳng AB có một VTCP là , mặt phẳng (α) có một VTPT là
nên góc giữa AB và (α) là
với
Suy ra
Hơn nữa, AC ⊂ (α) và BC ⊥ AC nên C là hình chiếu của B trên (α).
Ta tìm tọa độ của
Ta viết lại . Điểm A là giao điểm của AB và (α).
Xét phương trình .
Vậy .
Gọi , ta có
Suy ra t’ = −1 hoặc t’ = −3.
Mà B có hoành độ dương nên ta chọn t = −1, khi đó B(2; 3; −4).
Đường thẳng BC vuông góc với (α) nên nhận làm một VTCP, do đó
C chính là giao điểm của BC và (α).
Xét phương trình
Suy ra . Vậy
.
Tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Giá trị của m để hai đường thẳng
và
cắt nhau là
Đường thẳng đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương
Ta có và
Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau
Vecto chỉ phương của đường thẳng
Cho đường thẳng
có một vec-tơ chỉ phương là:
Ta có vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
và
lần lượt là
Ta có vectơ chỉ phương của (D) là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:
Tìm điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ
. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) ![]()
Phương pháp tự luận
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu điểm nào làm cho vế trái bằng 0 thì đó là điểm thuộc mặt phẳng.
Phương pháp trắc nghiệm
Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính dạng sau: , sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ
của các điểm vào. Nếu bằng 0 thì điểm đó thuộc mặt phẳng.
Xét sự đúng sai của các khẳng đính
Trong không gian tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
và ![]()
a) Điểm M nằm trên mặt phẳng
. Đúng||Sai
b) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
c) Mặt phẳng
có một vecto pháp tuyến là
; mặt phẳng
có một vecto pháp tuyến là
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Sai||Đúng
Trong không gian tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
và ![]()
a) Điểm M nằm trên mặt phẳng
. Đúng||Sai
b) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
c) Mặt phẳng
có một vecto pháp tuyến là
; mặt phẳng
có một vecto pháp tuyến là
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Sai||Đúng
a) Thay M vào :
nên mệnh đề đúng
b) nên mệnh đề sai
c) và
nên mệnh đề đúng
d) và
không vuông góc nhau: nên mệnh đề sai
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
và
.
Đường thẳng có VTCP
.
Đường thẳng có VTCP
.
Ta có
Tìm khoảng cách từ A đến (Oxy)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Viết phương trình mặt phẳng
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có đường kính
, với
. Viết phương trình
tiếp xúc với mặt cầu
tại
?
Hình vẽ minh họa
Vì mặt cầu có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu
là trung điểm của
.
Mặt cầu có tâm I(1; 1; 1).
Vì tiếp xúc với
tại
nên
đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: