Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian
, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm
và bán kính
?
Mặt cầu tâm , bán kính
có phương trình lá:
.
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 5 với nội dung phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là phần kiến thức quan trọng của hình học giải tích. Đây là chuyên đề giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình, xác định vị trí tương đối và vận dụng vào giải quyết các bài toán không gian. Việc luyện tập qua đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Toán 12 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải bài tập và làm quen với các dạng đề thi thường gặp. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm đáp án chi tiết, giúp quá trình ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian
, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm
và bán kính
?
Mặt cầu tâm , bán kính
có phương trình lá:
.
Xét tính đúng sai của các khẳng định
Cho hình lập phương
cạnh
.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện
có số đo bằng
. Đúng||Sai
Cho hình lập phương
cạnh
.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện
có số đo bằng
. Đúng||Sai
a) Vì ,
nên
. Mệnh đề đúng.
b) Do nên
. Mệnh đề đúng.
c) Vì nên
. Mệnh đề sai.
d) Ta có ,
nên góc nhị diện
có số đo bằng
. Mệnh đề đúng
Phương trình tổng quát
Cho tứ diện
có
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
Theo đề bài, ta có các vecto là
Có thể chọn làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên:
Vậy phương trình cần tìm .
Tìm phương trình thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(2; 1; -5) và vuông góc với
là
có vectơ pháp tuyến
Vì d vuông góc với nên d có vectơ chỉ phương
d đi qua A và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Chọn kết quả đúng
Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục
(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường
(như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình:
,
,
.

Tính khoảng giữa hai bức tường
và
của tòa nhà.
Trước hết thực hiện kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường của tòa nhà.
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
. có vectơ pháp tuyến là
Ta có nên hai bức tường
và
song song nhau
nên bức tường
vuông góc với hai bức tường
và
,
Chọn điểm
Do hai bức tường và
song song nhau nên:
Tìm khoảng chứa giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua hai điểm
tạo với mặt phẳng
một góc
. Khi đó
thuộc khoảng nào dưới đây?
Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B nên
Vì tạo với mặt phẳng
một góc
nên
Thay a = b = 1 vào phương trình (*) được:
Định phương trình mặt cầu
Cho điểm
và mặt phẳng
, H là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
. Phương trình mặt cầu
có diện tích
và tiếp xúc với mặt phẳng
tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:
Gọi là đường thẳng đi qua
và vuông góc với
.
Suy ra
Vì H là hình chiếu vuông góc của trên
nên
.
Vì nên
.
Mặt khác, nên ta có:
Do đó, .
Gọi lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng , suy ra
.
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại H nên
.
Do đó tọa độ điểm có dạng
, với
.
Theo giả thiết, tọa độ điểm thỏa mãn:
Do đó: .
Vậy phương trình mặt cầu .
Tìm điểm thuộc đường thẳng
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Gọi
là đường thẳng đi qua
và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm
đến
là lớn nhất. Hỏi
đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
Ta có thuộc mặt phẳng
.
Ta có . Khi đó
đi qua điểm
.
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
,cho bốn đường thẳng
;
;
;
. Gọi
là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Ta có . Phương trình mặt phẳng
Gọi
Khi đó AB là đường thẳng .
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt cầu
và
cắt nhau theo một đường tròn
nằm trong mặt phẳng
. Cho các điểm
. Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng
?
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.
Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.
Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).
Viết phương trình đường thẳng d
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và hai đường thẳng:
![]()
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng
và cắt đường thẳng ![]()
Gọi là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với
.
Khi đó, có:
Gọi giao điểm và
là
.
Vậy đáp án đúng là .
Tìm tọa độ hình chiếu của A
Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox?
Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;5) trên trục Ox có tọa độ là (1;0;0).
Viết phương trình mặt phẳng
Cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Mặt phẳng tiếp xúc với
và song song với
có phương trình là:
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với
và song song với
.
Vì
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(thỏa điều kiện)
Vậy phương trình mặt phẳng hoặc
.
Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học bài toán được thì ta có thể dự đoán được có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Giả sử
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính
.
Ta có:
Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Ta xác định được
Theo giả thiết
Mặt khác
Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được .
Vậy .
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và điểm
; mặt cầu
tâm
và tiếp xúc mặt phẳng
có phương trình là
Mặt cầu tâm
và tiếp xúc mặt phẳng
có bán kính là:
.
Phương trình mặt cầu là
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Gọi là giao điểm của
với
. Khi đó, ta có:
Phương trình chính là phương trình AB và là:
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
,
có một vectơ pháp tuyến là
.
Từ đó:
Chọn đáp án đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu
thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Hình vuông có độ dài đường chéo bằng
suy ra hình vuông đó có cạnh bằng
.
Ta có .
Ta có .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có
.
Khi đó .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Suy ra .
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: