VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân Cánh Diều

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 4 về Nguyên hàm – Tích phân là phần kiến thức quan trọng, gắn liền với nhiều ứng dụng trong giải tích và bài toán thực tế. Đây cũng là nội dung thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Việc luyện tập với đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm – Tích phân sẽ giúp học sinh hệ thống hóa công thức, rèn luyện kỹ năng tính toán và làm quen với các dạng bài tiêu biểu. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm lời giải chi tiế

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x) = x^{2} + sin2x$ là
- A.
  $2x + 2cos2x + C$ .
- B.
  $2x - 2cos2x + C$ .
- C.
  $\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2}cos2x + C$ .
- D.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}cos2x + C$ .
Ta có $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x^{2} + sin2x \right)dx} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2}cos2x + C$ .
Câu 2: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C$ . Khi đó $\int_{}^{}{f(3x)dx}$ là:
- A.
  $\frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
- B.
  $\frac{3x^{4}}{4} - 3x^{3} + 2020 + C$
- C.
  $\frac{27x^{4}}{4} - x^{3} + 2020 + C$
- D.
  $\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C$

Khi đó $\int_{}^{}{f(3x)dx} = \frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C$
Câu 3: Vận dụng
Xác định nguyên hàm I

Nguyên hàm của $I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx$ là:
- A.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- B.
  $I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- C.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
- D.
  $I_{1} = xcos^{3}x + t - \frac{2}{3}t^{3} + C,t = \sin x$ .
Ta đặt:

$\left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right.$ .

$\Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}$ .

Xét $I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}$ .

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}$ .

$\Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C$ .
Câu 4: Nhận biết
Tính gia tốc của chuyển động

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{3} - t + 1$ , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi $t = 2s$ là:
- A.
  63 m/s²
- B.
  64 m/s²
- C.
  23 m/s²
- D.
  24 m/s²
$v = s' = 6{t^2} - 1$

$a = v'' = 12t$

Khi $t = 2 \Rightarrow a = 24\left( {m/{s^2}} ight)$
Câu 5: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp

Tích phân $I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x \right)^{2}}dx}$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- B.
  $I = \frac{\sqrt{3}}{8}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- C.
  $I = - \frac{\sqrt{3}}{8}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
- D.
  $I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
Tích phân $I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx}$ có gái trị là:

Ta có:

$I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left( \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x ight)^{2}}dx}$

Suy ra $I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left\lbrack \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) ightbrack^{2}}dx}$ .

Đặt $u = x + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi}{6} \Rightarrow dx = du$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$I = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin\left( u - \frac{\pi}{6} ight)}{4sin^{2}u}du} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin u.cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos u}{4sin^{2}u}du}$

$= \frac{1}{8}\int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}.sinu - \cos u}{sin^{2}u}du} = \frac{1}{8}\left( \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du - \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}} ight)$

Xét $I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du}$ .

Đặt $t = \cos u,u \in \lbrack 0;\pibrack \Rightarrow dt = - \sin udu$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}u = - \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\u = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\frac{\sqrt{3}dt}{1 - t^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} ight)dt$

$= \frac{\sqrt{3}}{2}\left. \ \left( ln\left| \frac{t + 1}{t - 1} ight| ight) ight|_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight)$ .

Xét $I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}$ .

Đặt $t = \sin u,u \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dt = \cos udu$ .

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} u = - \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \\ u = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

$I_{2} = \int_{- \frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{2}}du} = \left. \ \left( - \frac{1}{t} ight) ight|_{- \frac{1}{2}}^{1} = - 3$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( I_{1} - I_{2} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$ .

Đáp án đúng là $I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích S

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $f(x) = x^{3} - 3x + 2$ và $g(x) = x + 2$ ?
- A.
  $S = 8$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = 12$
- D.
  $S = 16$
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số $f(x);g(x)$ là nghiệm của phương trình

$x^{3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Hình vẽ minh hoạ

Diện tích S cần tìm là:

$S = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} - 4x ight)dx} - \int_{0}^{2}{\left( x^{3} - 4x ight)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} - \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{0}^{2} = 8$
Câu 7: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ . Lúc dó $S = 2S_{1} + 2S_{2}$ , trong đó $S_{1}$ là diện tích phần gạch sọc ở bên phải $Oy$ và $S_{2}$ là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi $A,B$ là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng $y = k$ và đồ thị hàm số $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ , trong đó $A\left( \sqrt{1 - k};k ight)$ và $B\left( \sqrt{1 + k};k ight)$ .

Thco yêu cầu bài toán $S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}$ .

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}$ .

$\Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}$

$= \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}$

$\ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59$ .
Câu 8: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}\left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^{2}x} \right)$ là:
- A.
  $F(x) = 2e^{x} + \cot x + C$
- B.
  $F(x) = 2e^{x} - \tan x + C$
- C.
  $F(x) = 2e^{x} + \tan x + C$
- D.
  $F(x) = 2e^{x} - \tan x$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{e^{x}\left( 2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2}x} ight)dx}}$

$= 2\int_{}^{}{e^{x}dx + \int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = 2e^{x} + \tan x + C}}$
Câu 9: Thông hiểu
Xác định tỉ số của a và b

Cho gá trị của tích phân $I_{1} = \int_{- 1}^{1}\left( x^{4} + 2x^{3} \right)dx = a$ , $I_{2} = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + 3x \right)dx = b$ . Giá trị của $\frac{a}{b}$ là:
- A.
  $P = - \frac{4}{65}$
- B.
  $P = \frac{12}{65}$
- C.
  $P = - \frac{12}{65}$
- D.
  $P = \frac{4}{65}$
Ta có:

$I_{1} = \int_{- 1}^{1}\left( x^{4} + 2x^{3} ight)dx = \left. \ \left( \frac{1}{5}x^{5} + \frac{1}{2}x^{4} ight) ight|_{- 1}^{1} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = \frac{2}{5}$ .

$I_{2} = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + 3x ight)dx = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{- 2}^{- 1} = - \frac{13}{6} \Rightarrow b = - \frac{13}{6}$ .

$\Rightarrow P = \frac{a}{b} = - \frac{12}{65}$ .

Đáp án đúng là $P = - \frac{12}{65}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Xác định các hệ số a, b, c, d

Tìm a, b, c, d để $F(x) = \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d \right)e^{x}$ là một nguyên hàm của $f(x) = \left( 2x^{3} + 9x^{2} - 2x + 5 \right)e^{x}$ .
- A.
  $a = 3;b = 3;c = - 7;d = 13$
- B.
  $a = 2;b = 3;c = - 8;d = 13$
- C.
  $a = - 2;b = 3;c = - 8;d = 13$
- D.
  $a = 3;b = 3;c = - 8;d = 15$
Ta có $F'(x) = \left( 3ax^{2} + 2bx + c ight)e^{x} + \left( ax^{3} + bx^{2} + cx + d ight)e^{x}$

$= \left\lbrack ax^{3} + (3a + b)x^{2} + (2b + c)x + (c + d) ightbrack e^{x}$

$F'(x) = f(x),\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ 3a + b = 9 \\ 2b + c = - 2 \\ c + d = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 3 \\ c = - 8 \\ d = 13 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 11: Thông hiểu
Xác định thể tích khối (H)

Gọi $(H)$ là phần giao của hai khối $\frac{1}{4}$ hình trụ có bán kính $a$ , hai trục hình trụ vuông góc với nhau như hình vẽ sau. Tính thể tích của khối $(H)$ .
- A.
  $V = \frac{5a^{3}}{3}$
- B.
  $V = 2a^{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
Đặt hệ toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp $(Oyz)$ cắt trục $Ox$ tại $x$ , thiết diện mặt cắt luôn là hình vuông có cạnh $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ $(0 \leq x \leq a)$ .

Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: $S(x) = a^{2} - x^{2}$ .

Vậy $V_{(H)} = \int_{0}^{a}{S(x)dx} =\int_{0}^{a}{\left( a^{2} - x^{2} \right)dx}$ $= \left. \ \left( a^{2}x -\frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{a} = \frac{2a^{3}}{3}$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm thể tích khối tròn xoay

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ và các đường thẳng $y = 0;x = 1;x = 4$ . Thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $(H)$ quay quanh trục?
- A.
  $V = 2\pi ln2$
- B.
  $V = \frac{3\pi}{4}$
- C.
  $V = \frac{3}{4}$
- D.
  $V = 2ln2$
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $(H)$ quay quanh trục $Ox$ là:

$V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}$ .
Câu 13: Nhận biết
Xác định thể tích khối tròn xoay

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = - x^{2} + 2x$ , trục hoành. Quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $V = \frac{496\pi}{15}$
- B.
  $V = \frac{32\pi}{15}$
- C.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
- D.
  $V = \frac{16\pi}{15}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(H);Ox$ là: $- x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính tích phân

Giá trị của $H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx}$ ?
- A.
  $H = 1 + \sqrt{3}$
- B.
  $H = 2 + ln3$
- C.
  $H = 2 + \ln\sqrt{3}$
- D.
  $H = 4 + ln3$
Ta có:

$H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{2}\ln|2x + 1| + 2x^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{0}^{1} = 2 + \ln\sqrt{3}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính quãng đường ô tô di chuyển

Một ô tô đang chạy với vận tốc $10\ m/s$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 2t + 10(m/s)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.
- A.
  55 m.
- B.
  50 m.
- C.
  25 m.
- D.
  16 m.
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là $- 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5(\ s)$

Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{5}{( - 2t + 10)}dt = \left. \ \left( - t^{2} + 10t ight) ight|_{0}^{5} = 25m$

Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc $10\ m/s$ và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là $S_{1} = 3.10 = 30\ m$

Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường $S = S_{1} + S_{2} = 30 + 25 = 55m$
Câu 16: Thông hiểu
Tính giá trị của S

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y^{2} = 4x$ và đường thẳng $x = 1$ bằng S. Giá trị của S là
- A.
  1
- B.
  $\frac{3}{8}$
- C.
  $\frac{8}{3}$
- D.
  16
Ta có: Phương trình tung độ giao điểm

$\frac{y^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 2$

. $\Rightarrow S = \left| \int_{- 2}^{2}{\left( \frac{y^{2}}{4} - 1 ight)d_{y}} ight| = \left| \left( \frac{y^{2}}{12} - y ight)|_{- 2}^{2} ight| = \left| - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} ight| = \frac{8}{3}$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ là:
- A.
  $\ln\left| \cot\frac{x}{2} \right| + C$
- B.
  $\ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- C.
  $- \ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C$
- D.
  $\ln\left| \sin x\right| +C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{dx}{\sin x} = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{1 - cos^{2}x} = \int_{}^{}\frac{- \sin x.dx}{cos^{2}x - 1}}}$

$= \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x\right)}{cos^{2}x - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{\cos x - 1}{\cos x +1} \right| + C}$
Câu 18: Nhận biết

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $72$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $45\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $s(t) = - 12t^{2} + 24t$ . Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $10$ giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $72$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $45\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $s(t) = - 12t^{2} + 24t$ . Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $10$ giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Do $s'(t) = v(t)$ nên quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Ta có: $\int_{}^{}{( - 12t + 24)}dt = - 6t^{2} + 24t + C$ với $C$ là hằng số.

Khi đó, ta gọi hàm số $s(t) = - 6t^{2} + 24t + C$ .

Do $s(0) = 0$ nên $C = 0$ . Suy ra $s(t) = - 6t^{2} + 24t$ .

Xe ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0$ hay $- 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ . Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ $72\ km/h = 20\ m/s$ .

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: $s(2) = - 6.2^{2} + 24.2 = 24(\ m)$ .

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: $20 + 24 \approx 44\ (\ m)$ .

Do $44 < 45$ nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án chính xác vào ô trống

Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $OO' = 7cm$ , $OA = 8cm$ , $OB = 16$ $cm$ , đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $A$ . Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 1944.

Đáp án là:

Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $OO' = 7cm$ , $OA = 8cm$ , $OB = 16$ $cm$ , đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $A$ . Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 1944.

Kí hiệu tọa độ các điểm như hình vẽ:

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là $V$ .

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng $OA = 8$ cm và đường cao $OO' = 7$ cm là $V_{1}$ .

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $AB$ và hai trục tọa độ quanh trục $Oy$ là $V_{2}$ .

Ta có $V = V_{1} + V_{2}$

$V_{1} = 7.8^{2}\pi = 448\pi$ $\left( cm^{3} ight)$ .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do parabol có đỉnh $A$ nên nó có phương trình dạng $(P):y = a(x - 8)^{2}$ .

Vì $(P)$ qua điểm $B(0;16)$ nên $a = \frac{1}{4}$ .

Do đó, $(P):y = \frac{1}{4}(x - 8)^{2}$ .

Từ đó suy ra $x = 8 - 2\sqrt{y}$ (do $x < 8$ ).

Suy ra $V_{2} = \pi\int_{0}^{16}{\left( 8 - 2\sqrt{y} ight)^{2}dy} = \frac{512}{3}\pi$ $\left( cm^{3} ight)$ .

Do đó $V = V_{1} + V_{2} = \frac{512}{3}\pi + 448\pi = \frac{1856}{3}\pi \approx 1944$ $\left( cm^{3} ight)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tính tích phân

Tính tích phân $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}$ ?
- A.
  $I = 5$
- B.
  $I = 3$
- C.
  $I = 4$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

157

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân Cánh Diều

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân Cánh Diều

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện