VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân Cánh Diều

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 4 về Nguyên hàm – Tích phân là phần kiến thức quan trọng, gắn liền với nhiều ứng dụng trong giải tích và bài toán thực tế. Đây cũng là nội dung thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Việc luyện tập với đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm – Tích phân sẽ giúp học sinh hệ thống hóa công thức, rèn luyện kỹ năng tính toán và làm quen với các dạng bài tiêu biểu. Bài viết này giới thiệu đến bạn đề kiểm tra 15 phút Toán 12 Cánh Diều kèm lời giải chi tiế

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Đáp án là:

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

$S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}$

$\Rightarrow$ Diện tích hình trang trí là: $S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b$

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn nên

$\frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $ab = - 2$ .
Câu 2: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ .Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ .Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ .Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ .Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Mệnh đề đúng

b) Cho $v = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t\ = \ 4\ (s)$ . Mệnh đề sai

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Mệnh đề đúng

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $S = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = 40\ (m)$ . Mệnh đề sai
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Giả sử $f(x)$ là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng $(\alpha;\beta)$ và $a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} - \int_{c}^{a}{f(x)dx}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{a}{f(x)dx}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}$
Dựa vào tính chất của tích phân với $f(x)$ là một số bất kì liên tục trên khoảng $(\alpha;\beta)$ và $a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta)$ ta có:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}$
Câu 4: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ nếu:
- A.
  Với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ .
- B.
  Với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $f^{/}(x) = F(x)$ .
- C.
  Với mọi $x \in \lbrack a;b\rbrack$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ .
- D.
  Với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ , ngoài ra $F^{/}\left( a^{+} \right) = f(a)$ và $F^{/}\left( b^{-} \right) = f(b)$ .
Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ nếu với mọi $x \in (a;b)$ , ta có $F^{/}(x) = f(x)$ , ngoài ra $F^{/}\left( a^{+} \right) = f(a)$ và $F^{/}\left( b^{-} \right) = f(b)$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x - 2)^{2} - 1$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,\ x = 2$ .
- A.
  $S = \frac{2}{3}$
- B.
  $S = \frac{1}{3}$
- C.
  $S = 1$
- D.
  $S = \frac{4}{3}$
Xét phương trình $(x - 2)^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.$ .

Ta có:

$S = \int_{1}^{2}{\left| (x - 2)^{2} - 1 \right|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 4x + 3 \right|dx}$

$= \left| \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 4x + 3 \right)dx} \right| = \frac{2}{3}.$
Câu 6: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- B.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
- C.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
Ta có: $S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn công thức đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho vật thể $(H)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = a$ và $x = b$ với $a < b$ . Gọi $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ . Biết hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ , khi đó thể tích $V$ của vật thể $(H)$ được cho bởi công thức:
- A.
  $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- C.
  $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- D.
  $V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx$
Vì $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ ta có: $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$ không phải là $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2 - 4x} + C$
- B.
  $- \frac{1}{(2x - 1)^{2}} + C$
- C.
  $\frac{1}{4x - 2} + C$
- D.
  $- \frac{1}{2x - 1} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}$

$= - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Xét tích phân $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2xdx}{\sqrt{1 + \cos x}}$ . Nếu đặt $t = \sqrt{1 + \cos x}$ , ta được:
- A.
  $I = \int_{\sqrt{2}}^{1}{\frac{4t^{3} - 4t}{t}dt}$
- B.
  $I = - 4\int_{1}^{\sqrt{2}}{\left( t^{2} - 1 ight)dt}$
- C.
  $I = \int_{\sqrt{2}}^{1}{\frac{- 4t^{3} + 4t}{t}dx}$
- D.
  $I = 4\int_{1}^{\sqrt{2}}{\left( x^{2}- 1 ight)dx}$
Ta có:

$\begin{matrix} t = \sqrt{1 + \cos x},t \geq 0 \Rightarrow t^{2} = 1 + \cos x \\ \Rightarrow 2tdt = - \sin xdx \\ \end{matrix}$

Đổi cận:

$x = 0 \Rightarrow t = \sqrt{2};x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1$

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2xdx}{\sqrt{1 + \cos x}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{2\cos x.sin x}{\sqrt{1 + \cos x}}dx}$

$= - \int_{\sqrt{2}}^{1}{\frac{4\left( t^{2} - 1 ight)t}{t}dt} = 4\int_{1}^{\sqrt{2}}{\left( t^{2} - 1 ight)dt} = 4\int_{1}^{\sqrt{2}}\left( x^{2} - 1 ight)dx$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{4}{\cos^{2}3x}$ biết $F\left( \frac{\pi}{9} \right) = \sqrt{3}$ .
- A.
  $F(x) = \frac{4}{3}\tan3x -\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $F(x) = 4\tan3x -3\sqrt{3}$
- C.
  $F(x) = \frac{4}{3}\tan3x +\frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $F(x) = - \dfrac{4}{3}\tan3x -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có $F(x) =\int_{}^{}{\dfrac{4}{\cos^{2}3x}dx = \dfrac{4}{3}.\tan3x + C}$

Mà $F\left( \dfrac{\pi}{9} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}.\tan\frac{\pi}{3} + C = \sqrt{3}$ $\Leftrightarrow C = - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 11: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số

Xác định nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}$ ?
- A.
  $x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$
- B.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$
- C.
  $x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + C$
- D.
  $x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm giá trị của biểu thức I

Tích phân $I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx$ có giá trị là:
- A.
  $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ight|$
- B.
  $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ight|$
- C.
  $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ight|$
- D.
  $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ight|$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx$ .

Đặt $u = x + \sqrt{x^{2} + 4} \Rightarrow du = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx \Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$I = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{2}^{1 +\sqrt{5}}{\frac{1}{u}du}$ $= \left. \ \frac{a}{\sqrt{3}}\left( \ln uight) ight|_{2}^{1 + \sqrt{5}}$ $= \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1+ \sqrt{5}}{2} ight|$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x - 3}$ là:
- A.
  $- \ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- B.
  $2ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
- C.
  $- \frac{\ln\left| \cos x - 3 \right|}{2} + C$
- D.
  $4ln\left| \cos x - 3 \right| + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left| \cos x - 3 \right| + C}}$
Câu 14: Vận dụng cao
Tính thể tích V

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm giá trị tham số a

Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^{2} - ax$ với trục hoành ( $a eq 0$ ). Quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích $V = \frac{16\pi}{15}$ . Tìm $a$ ?
- A.
  $a = \pm 1$
- B.
  $a = 1$
- C.
  $a = 2$
- D.
  $a = \pm 2$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.$

Trường hợp 1: Với $a > 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2$

Trường hợp 2: Với $a < 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2$

Vậy $a = \pm 2$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức T

Tính tổng $T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}$ ?
- A.
  $T = \frac{1}{4121202989}$
- B.
  $T = \frac{1}{4121202990}$
- C.
  $T = \frac{1}{4121202992}$
- D.
  $T = \frac{1}{4121202991}$
Ta có:

$x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}$ .

Do đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx$ .

Mặt khác:

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}$ $= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T$ .

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx$ .

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 1$ và $x = 1 \Rightarrow t = 0$ . Khi đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)$

$= \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S

Cho hàm số $f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ , ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ . Tính giá trị biểu thức $S = m + n + p$ ?
- A.
  $S = \frac{1}{3}$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = \frac{13}{6}$
- D.
  $S = \frac{7}{6}$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ nên $\left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)$

$\Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài

Với giá trị nào của $m > 0$ thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2}$ và $y = mx$ bằng $\frac{4}{3}$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = 4$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

$\int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2$ .
Câu 19: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ . Khi đó hiệu số $F(0) - F(1)$ bằng:
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$
- B.
  $\int_{0}^{1}{- F(x)dx}$
- C.
  $\int_{0}^{1}{F(x)dx}$
- D.
  $- \int_{0}^{1}{f(x)dx}$
Theo định nghĩa tích phân ta có:

$\int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0)$ suy ra $F(0) - F(1) = - \int_{0}^{1}{f(x)dx}$ .
Câu 20: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tìm $H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}$ ?
- A.
  $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ .
- B.
  $H = \frac{x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} - \tan x + C$ .
- C.
  $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$ .
- D.
  $H = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x +\cos x \right)} - \tan x+ C$ .
Ta có : $H = \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x} \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}$

$= \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C$

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân Cánh Diều

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian