Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Viết PT mp cắt trục tọa độ

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cắt hai trục y’Oy và z’Oz tại và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 45^{\circ} .

     Gọi C\left( {a,0,0} ight) là giao điểm của (P) và trục x’Ox

    \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \left( {0, - 1, - 1} ight);\overrightarrow {BC} = \left( {a,0, - 1} ight)

    Vecto pháp tuyến của (P) là: \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] = \left( {1, - a,a} ight)

    Vecto pháp tuyến của (yOz) là: \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)

    Gọi là góc tạo bởi (P) và \left( {yOz} ight) \Rightarrow \cos {45^o} = \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

    \Rightarrow 4{a^2} + 2 \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}

    Vậy có hai mặt phẳng:

    \begin{array}{l}\left( P ight): \pm \sqrt 2 x - y + z = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 x - y + z - 1 = 0;\,\,\sqrt 2 x + y - z + 1 = 0\end{array}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A( - 2;2;1) cắt trục tung tại B sao cho OB = 2OA.

    B \in Oy \Rightarrow B(0;b;0)

    OB = 2OA \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 6 \\ b = - 6 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(0;6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2;4; - 1) \\ B(0; - 6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2; - 8; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x}{2} = \frac{y - 6}{4} = \frac{z}{- 1} và \frac{x}{2} = \frac{y + 6}{- 8} = \frac{z}{- 1}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Mặt phẳng giao tuyến

    Cho 3 mặt phẳng \left( \alpha ight):x - 2z = 0,\left( \beta ight):3x - 2y + z - 3 = 0,\left( \gamma ight):x - 2y + z + 5 = 0 . Mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của (\alpha), (\beta) ,vuông góc với (\gamma) có phương trình tổng quát:

    Mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (\alpha), (\beta) nên phương trình có dạng:

    \left( {m + 3} ight)x - 2y + \left( {1 - 2m} ight)z - 3 = 0

    Vì (P) vuông góc với (\gamma) nên ta được:

    \left( {m + 3} ight).1 - 2.\left( { - 2} ight) + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 8

    Vậy ta có phương trình (P) là : 11x - 2y - 15z - 3 = 0

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( - 1;0;0), B(0;0;2), C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.

    Vì O, A, B, C thuộc (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \dfrac{1}{2} \\ b = - \dfrac{3}{2} \\ c = 1 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính góc tạo bởi mặt phẳng và trục Ox

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 \right)

    Trục Ox có VTCP \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Góc tạo bởi (P) với trục Ox

    \sin\left( (P);Ox \right) = \left| \cos\left( (P);Ox \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{i} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Vậy góc tạo bởi (P) với trục Ox bằng 60^{()}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E,M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA, \alpha là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD). Tính \tan\alpha?

    Hình vẽ minh họa

    Không mất tính tổng quát, giả sử các cạnh của hình chóp bằng 2\sqrt{2}.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

    Khi đó: E(1;1;0),M(0; - 1;1),\overrightarrow{ME} = (1;2; - 1) và \overrightarrow{OC} = (0;2;0) là vectơ pháp tuyến của (SBD).

    Do đó:

    \sin\alpha = \sin\left( EM,(SBD) ight) = \left| \cos\left( \overrightarrow{EM};\overrightarrow{OC} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{EM}.\overrightarrow{OC} ight|}{\left| \overrightarrow{EM} ight|.\left| \overrightarrow{OC} ight|} = \frac{2}{\sqrt{6}}

    Vậy \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1 - \left( \sin\alpha ight)^{2}}} = \sqrt{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{1} và d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

    d_{1} qua M(0;3;2) có vtcp \overrightarrow{u} = (1;2;1), d_{2} qua N(3; - 1;2) có vtcp \overrightarrow{v} = (1; - 2;1).

    \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right\rbrack = (4;0; - 4), \overrightarrow{MN} = (3; - 4;0).

    d\left( d_{1},d_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right\rbrack.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right\rbrack \right|} = \frac{12}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

    \left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta.

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; - 3) và B(2; - 3;1) có phương trình tham số là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)

    Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 10: Vận dụng

    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \left( S_{m} ight):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4} với m > 0 là tham số thực) và hai điểm A(2;3;5),B(1;2;4). Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để trên \left( S_{m} ight) tồn tại điểm M sao cho MA^{2} - MB^{2} = 9?

    Gọi M(x;y;z)

    Theo đề bài ra ta có:

    MA^{2} - MB^{2} = 9

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9

    \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0

    Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính R = \frac{m}{2}

    Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:

    M(1;1;m) \in \left( S_{m} ight) \Leftrightarrow d\left( I;(\alpha) ight) \leq R

    \Leftrightarrow \frac{|m - 2|}{\sqrt{3}} \leq \frac{m}{2} \Leftrightarrow m - 2 \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}m

    \Leftrightarrow m \geq 8 - 4\sqrt{3}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là m = 8 - 4\sqrt{3}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Chọn công thức đúng

    Góc của đường thẳng (D):\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}; \left( a_{1}, a_{2}, a_{3} \neq \ 0 \right) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 ;\left( A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0 \right) tính bởi công thức nào sau đây?

    Công thức đúng là: \sin\alpha = \frac{\left| Aa_{1} + Ba_{2} + Ca_{3} \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}.\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}}}

  • Câu 12: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0. Chọn khẳng định đúng.

    Hai mặt phẳng (\alpha);(\beta) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)

    Ta có \overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0

    ⇒ (\alpha)\bot(\beta).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Vị trí tương đối của 2 mặt cầu

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

    Đáp án là:

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

     Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):

    \left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow Tâm I\left( {2, - 3,5} ight); bán kính R=7

    \left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow Tâm J\left( {1, - 1,3} ight); bán kính R'=4

    I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'

    (S) và (S') tiếp xúc trong.

  • Câu 14: Vận dụng

    Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)

    \overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)

    d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    d đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)

    Vậy phương trình của d là \frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1} và hai điểm A(1;2; - 1),B(3; - 1; - 5). Gọi d đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng \Delta sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta và d.

    Giả sử d cắt  \Delta  tại M \Rightarrow M( - 1 + 2t;3t; - 1 - t), \overrightarrow{AM} = ( - 2 + 2t;3t - 2; - t),\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Gọi H là hình chiếu của B trên d .

    Khi đó, d(B;d) = BH \leq BA.

    Vậy d(B;d) lớn nhất bằng BA\Leftrightarrow H \equiv A \Leftrightarrow AM\bot AB

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow t = 2

    => d có một VTCP: \overrightarrow{u_{2}} = \overrightarrow{AM} = (1;2; - 1)

     \Delta  có một VTCP : \overrightarrow{u_{1}} = (2;3; - 1)

    Ta có \cos(\Delta;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{3\sqrt{21}}{13}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng(P):2x - y - z + 4 = 0 và điểm I(2; - 3; - 1); mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình là

    Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) có bán kính là:

    R = \frac{\left| 2.2 - ( - 3) - ( - 1) + 4 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 1)^{2}}} = 2\sqrt{6}.

    Phương trình mặt cầu (S) là

    (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} = \left( 2\sqrt{6} ight)^{2} = 24

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0. Bán kính của mặt cầu (S) là:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight. suy ra tâm mặt cầu là: I(0;1; - 1)

    Bán kính mặt cầu là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3

  • Câu 18: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), (abc \neq 0). Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:

    Phương trình mặt phẳng (ABC) cần tìm là: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

  • Câu 19: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz),(Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

    Ta có: (Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0

    Giả sử M(a;b;c) khi đó ta có:

    \left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) \right) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) \right) = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow c^{2} = 36

    Mà d\left( M;(Oxy) \right) = \sqrt{c^{2}} = 6

  • Câu 20: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 21: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2} và d_{2}:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}.

    Ta có:

    \cos\left( \widehat{d_{1};d_{2}} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{d_{1}}};\overrightarrow{n_{d_{2}}} \right) \right|

    = \frac{\left| 1.( - 1) + ( - 1).1 + 2.1 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}\sqrt{( - 1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = 0

    \Rightarrow \left( \widehat{d_{1};d_{2}} \right) = 90{^\circ}

  • Câu 22: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 3}{3}. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;3; - 4) và song song với d là

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; - 1;3} ight)

    Vì  \Delta  song song với d nên \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{a_{d}} = (2; - 1;3)

     \Delta  đi qua điểm  M(1;3; - 4)  và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_\Delta }}

    Vậy phương trình tham số của  \Delta  là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = - 4 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ .

     

  • Câu 23: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):\ x - 2y - z + 1 = 0, (Q):\ x + y + 2z + 7 = 0. Tính góc giữa hai mặt phẳng đó.

    Ta có:

    \overrightarrow{n_{P}}(1\ ;\ - 2\ ;\ - 1)là một véctơ pháp tuyến của (P).

    \overrightarrow{n_{Q}}(1\ ;\ 1\ ;\ 2)là một véctơ pháp tuyến của (Q).

    Gọi \alphalà góc giữa hai mặt phẳng (P)và (Q) là:

    \cos\alpha = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P}.{\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight|.\left| {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Xác định phương trình tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0 và (\beta):x - y + 3z - 6 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Nhận thấy A(1;1;2),B(2; - 1;1) đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng d.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 1) là một vectơ chỉ phương của d.

    Khi đó phương trình tham số của d là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 25: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) bán kính R có phương trình là

    Mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) và bán kính R có phương trình là:

    \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}

  • Câu 26: Vận dụng

    Tìm giá trị biểu thức S

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (\alpha) đi qua M(1; - 3;8) và chắn trên tia Oz một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia Ox và Oy. Giả sử (P):ax + by + cz + d = 0, với a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0. Tính S = \frac{a + b + c}{d}.

    Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia Ox, Oy, Oy lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0.

    Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là \frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1.

    Do (α) đi qua M nên a = 2.

    Suy ra (α): 2x + 2y + z − 4 = 0.

    Từ đó, ta tính được: S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Chọn phương án chính xác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng

    Trục Oy có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{j} = (0;1;0) và đi qua O(0;0;0).

    Áp dụng công thức, ta có d(A;Oy) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{j};\overrightarrow{OA} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{j} \right|} = \sqrt{10}.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ (d), cho đường thẳng

    \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 2}, \left( d_{2} \right):\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 4}, \left( d_{3} \right):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ \end{matrix} \right., \left( d_{4} \right):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ \end{matrix} \right.. Gọi (d) là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng (d)?

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 2).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(2;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (2;4; - 4).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (1;0;0).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) hay \overrightarrow{n} = (0;1;1) có phương trình 0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1;1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t' = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(2;2;0).

    (d) đi qua điểm A(1;1;1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (1;1; - 1) có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Vì \overrightarrow{AB} không cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) thỏa mãn.

    Dễ thấy D(4;4; - 2) \in (d).

  • Câu 29: Vận dụng

    Tính tỉ số thể tích

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 10 = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25 cắt nhau theo giao tuyến đường tròn (C). Gọi V_{1} là thể tích khối cầu (S), V_{2} là thể tích khối nón (N) có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P), đáy là đường tròn (C). Biết độ dài đường cao khối nón (N) lớn hơn bán kính của khối cầu (S). Tính tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}}?

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

    d = d\left( I;(P) ight) = \frac{|4 + 1 - 6 + 10|}{3} = 3

    Bán kính đường tròn (C) là: r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 4

    Thể tích khối cầu (S) là: V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}

    Chiều cao hình nón là h = R + d = 8.

    Thể tích khối nón làV_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{128\pi}{3}

    Vậy \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(5;1;3),B(1;2;6),C(5;0;4),D(4;0;6). Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.

    +) \overrightarrow{AB} = ( - 4;1;3),\ \ \overrightarrow{CD} = ( - 1;0;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack = (2;5;1).

    +) Mặt phẳng đi quaA có VTPT \overrightarrow{n} = (2;5;1)có phương trình là: 2x + 5y + z - 18 = 0.

    +) Thay tọa độ điểm Cvào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.

    Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2x + 5y + z - 18 = 0

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm khẳng định đúng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A( - 1;2;1) và hai mặt phẳng (\alpha):2x + 4y - 6z - 5 = 0 và (\beta):x + 2y - 3z = 0. Tìm khẳng định đúng?

    Có \overrightarrow{n_{\alpha}} = (2;4; - 6), \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;2; - 3) \Rightarrow (\alpha)//(\beta)

    Và A \in (\beta)

  • Câu 32: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 2),B(2;2; - 4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có OA = AB = 2\sqrt{2} nên tam giác OAB cân tại OAB, vì vậy I thuộc đường trung tuyến qua A là (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(1 + t;1 - t; - 2)

    IA = IO \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I(2;0; - 2)

    Do đó T = 8

  • Câu 33: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?

    Ở các đáp án 2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1, x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 1 = 0, (x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy nhiên ở đáp án x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x = 0. thì phương trình: 2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2xy - 2x + 1 = 0 không đúng dạng phương trình mặt cầu.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2; - 1) và mặt phẳng (P):x + z - 2 = 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

    Ta có mặt phẳng (P): x + z - 2 =0

    \Rightarrow Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;0;1)

    Gọi đường thẳng cần tìm là \Delta. Vì đường thẳng \Delta vuông góc với (P)nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    \Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng \Delta đi qua M(3;2; - 1) và có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;0;1)là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ .

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Tính tổng

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 36: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):ax + by + cz - 1 = 0với c < 0 đi qua 2 điểm A(0;1;0);B(1;0;0) và tạo với (Oyz) một góc 60{^\circ}. Tính tổng a + b + c? (Làm tròn đến hàng phần trăm)?

    Mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B nên ta có: \left\{ \begin{matrix} b - 1 = 0 \\ a - 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow a = b = 1

    Và (P)tạo với (Oyz) một góc 60{^\circ} nên \cos\left( (P);(Oyz) \right) = \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{1}} = \frac{1}{2}\ \ \ \ (*)

    Thay a = b = 1 vào phương trình (*) được: \sqrt{2 + c^{2}} = 2 \Rightarrow c = - \sqrt{2}

    Khi đó: a + b + c = 2 - \sqrt{2} \approx 0,59

  • Câu 37: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

    Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là: x + y - 1 + 2(z - 1) = 0 hay (P):x + y + 2z - 3 = 0.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1; - 2;0),B(0; - 4;0),C(0;0; - 3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

    Vì (P) đi qua O nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz = 0\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight).

    Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên \left\{ \begin{matrix} - a - 2b = 0 \\ |4b| = |3c| \\ \end{matrix} ight.

    Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là −6x + 3y − 4z = 0 hoặc −6x + 3y + 4z = 0.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hai mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho hai mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

    Đáp án: 4

    Ta có: \overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q)vuông góc với nhau thì \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}.

    \Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
16 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Cánh diều
Xem thêm