Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n} thì d có thể nằm trong (P).

    d song song (P) thì \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n}.

    d vuông góc (P) thì \overrightarrow{u} cùng phương \overrightarrow{n}.

  • Câu 2: Vận dụng

    Tìm phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{1} \right) ngoại tiếp hình lập phương.

    \left( S_{1} \right) có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo: I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right), bán kính R_{1} = \frac{1}{2}OE = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{4}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0

  • Câu 3: Thông hiểu

    Chọn kết quả chính xác

    Tìm tập hợp các điểm M có cùng phương tích với hai mặt cầu \left( S_{1} \right): x^{2} + y^{2} + z^2 -4x + 6y + 2z - 5 = 0; \left( S_{2} \right):\ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 8y - 6z + 3 = 0

    Ta có:

    M(x,y,z):P_{M/\left( S_{1} \right)} = P_{M/\left( S_{2} \right)}

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 5 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 8y - 6z + 3 = 0

    \Rightarrow M \in mặt phẳng: 3x - 7y- 4z + 4 = 0

  • Câu 4: Nhận biết

    Hai đường thẳng chéo nhau

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0

    Suy ra (D) và (d) chéo nhau.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 13}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4} và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại T_{1};T_{2}. Viết phương trình đường thẳng T_{1}T_{2}.

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.

    Đường thẳng d đi qua điểm A(13; - 1;0), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}( - 1;1;4).

    Mặt phẳng (P) chứa d có dạng (P):A(x - 13) + B(y + 1) + Cz = 0 ,\left( A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0 \right)

    Do d \subset (P) nên ta có - 1.A + 1.B + 4.C = 0 \Leftrightarrow B = A - 4C.

    Ta có điều kiện tiếp xúc: R = d\left( I;(P) \right) \Leftrightarrow 9 = \frac{| - 12A + 3B + 3C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

    \Leftrightarrow 9 = \frac{|9A + 9C|}{\sqrt{2A^{2} + 17B^{2} - 8AC^{2}}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = 2C \\ A = 8C \end{matrix} \right.

    Suy ra hai mặt phẳng tiếp diện là \left( P_{1} \right):2x - 2y + z - 28 = 0, \left( P_{2} \right):8x + 4y + z - 100 = 0.

    Suy ra tọa độ các tiếp điểm T_{1}(7; - 4;6),T_{2}(9;6;4) \Rightarrow T_{1}T_{2}:\frac{x - 7}{1} = \frac{y + 4}{5} = \frac{z - 6}{- 1}

  • Câu 6: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.và (P): - x + 2y + 2z + 5 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( - 1;0; - 1) cắt đường thẳng \Delta_{1} và tạo với đường thẳng \Delta_{2} một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (a;b;c). Tính tổng a + 2b - 3c?

    Giả sử đường thẳng dcắt đường thẳng \Delta_{1} tại B, ta có: B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t) \in \Delta_{1}.

    Đường thẳng dcó VTCP là: \overrightarrow{AB} = (2t + 2;t + 2; - t - 1), mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n} = ( - 1;2;2).

    Gọi \varphi là góc giữa d và \Delta_{2}, ta có:

    \sin\varphi = \frac{| - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{|2t|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} \geq 0

    \Rightarrow d tạo với đường thẳng \Delta_{2} một góc \varphi nhỏ nhất khi \varphi = 0{^\circ}hay \sin\varphi = 0 \Rightarrow t = 0.

    Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A( - 1;0; - 1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (2;2; - 1).

    Vậy a = 2,b = 2,c = - 1

    \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.( - 1) = 9

  • Câu 7: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

    \Delta_{1}:\ \ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \Delta_{2}:\ \ \frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có toạ độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{1}. Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ (4;5;6)là một vectơ chỉ phương của \Delta_{2}. Sai||Đúng

    c) Cosin của góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2) và \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) bằng - \frac{8}{9}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2} (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) bằng 132{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

    \Delta_{1}:\ \ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \Delta_{2}:\ \ \frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có toạ độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{1}. Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ (4;5;6)là một vectơ chỉ phương của \Delta_{2}. Sai||Đúng

    c) Cosin của góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2) và \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) bằng - \frac{8}{9}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2} (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) bằng 132{^\circ}. Sai||Đúng

    Câu 1

    a)

    b)

    c)

    d)

    Đáp án

    Sai

    Sai

    Đúng

    Sai

    \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{1}, \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{2}

    Côsin của góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2), \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) là

    \cos\left( \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right) = \frac{\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{- 8}{3.3} = \frac{- 8}{9} suy ra \left( \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right) \approx 152{^\circ}.

    Vậy \left( \Delta_{1},\Delta_{2} \right) \approx 180{^\circ} - 152{^\circ} \approx 28{^\circ}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{1} và\Delta_{2}:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 2}. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2}?

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{1} là \overrightarrow{u_{1}} = (2; - 3;1)

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{2} là \overrightarrow{u_{2}} = (3;1; - 2)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{1}{14}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng đính

    Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCDcó S(0;0;3,5),\ ABCD là hình chữ nhật với A(0;0;0),B(4;0;0),D(0;10;0) (Hình 4).

    a) Toạ độ điểm C(4;10;0). Đúng||Sai

    b) Phương trình mặt phẳng (SBD) là \frac{x}{4} + \frac{y}{10} + \frac{z}{3,5} = 1. Sai||Đúng

    c) Toạ độ của vectơ \overrightarrow{SC} là (4;10; - 3,5). Đúng||Sai

    d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ là 20{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCDcó S(0;0;3,5),\ ABCD là hình chữ nhật với A(0;0;0),B(4;0;0),D(0;10;0) (Hình 4).

    a) Toạ độ điểm C(4;10;0). Đúng||Sai

    b) Phương trình mặt phẳng (SBD) là \frac{x}{4} + \frac{y}{10} + \frac{z}{3,5} = 1. Sai||Đúng

    c) Toạ độ của vectơ \overrightarrow{SC} là (4;10; - 3,5). Đúng||Sai

    d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ là 20{^\circ}. Sai||Đúng

    Vì \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} nên C(4\ ;\ 10\ ;\ 0) và \overrightarrow{SC} = (4\ ;\ 10\ ;\ - 3,5). Phương trình mặt phẳng (SBD) là: \frac{x}{4} + \frac{y}{10} + \frac{z}{3,5} = 1 \Leftrightarrow 35x + 14y + 40z - 140 = 0.

    Suy ra \overrightarrow{n} = (35\ ;\ 14\ ;\ 40) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).

    Khi đó, \sin\left( SC\ ,\ (SBD) \right) =\frac{\left| \overrightarrow{SC}\ .\ \overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{SC} \right|\ .\ \left| \ \overrightarrow{n} \right|}=\frac{\left| 4\ .\ 35 + 10.14 + ( - 3,5).40 \right|}{\sqrt{4^{2} +10^{2} + ( - \ 3,5)^{2}}\ .\ \sqrt{35^{2} + 14^{2} + 40^{2}}} =\frac{280\sqrt{53}}{9063}.

    Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) là khoảng 13{^\circ}.

    Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai

  • Câu 10: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Cho hai đường thẳng (d_{1}) :\left\{ \begin{matrix} x - y + z - 5 = 0 \\ x - 3y + 6 = 0 \\ \end{matrix} \right. và (d_{2}):\left\{ \begin{matrix} 2y + z - 5 = 0 \\ 4x - 2y + 5z - 4 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Tìm câu đúng?

    Chuyển đường thẳng (d_{1}) và (d_{2}) về dạng tham số:

    (d_{1}):\left\{ \begin{matrix} x = - 6 + 3t \\ y = t \\ z = 11 - 2t \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d_{1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    (d_{2}):\left\{ \begin{matrix} x = \frac{15}{4} - 3t' \\ y = 3 - t' \\ z = - 1 + 2t' \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left( d_{2} \right)có vectơ chỉ phương \overrightarrow{b} = (\frac{15}{4},3, - 1)

    \overrightarrow{a} \nearrow \swarrow \overrightarrow{b} và hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} - 6 + 3t = \frac{15}{4} - 3t' \\ t = 3 - t' \\ 11 - 2t = - 1 + 2t' \\ \end{matrix} \right. vô nghiệm.

    \Rightarrow (d_{1}) //(d_{2})

  • Câu 11: Vận dụng

    Tìm phương trình mặt phẳng (P)

    Cho hai điểm M(1; 0; 4) , N(1;1;2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1;0) và bán kính R = 2, \overrightarrow{MN} = (0;1; - 2)

    Gọi \overrightarrow{n} = (A,B,C)với A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

    Vì (P) qua M, N nên \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{MN} \Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN} = 0 \Leftrightarrow B - 2C = 0\ \ (1)

    Mặt phẳng (P) qua M(1 ; 0; 4) và nhận \overrightarrow{n} = (A,B,C) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình

    A(x - 1) + B(y - 0) + C(z - 4) = 0\Leftrightarrow Ax + By + Cz - A - 4C = 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)

    \Leftrightarrow d\left( I;(P) \right) = R \Leftrightarrow \frac{|1.A - 1.B + 0.C - A - 4C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = 2

    \Leftrightarrow |B + 4C| = 2\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}(2)

    Từ (1) và (2) \Rightarrow A^{2} - 4C^{2} = 0 (*)

    Trong (*), nếu C = 0 thì A = 0, và từ (1) suy ra B = 0 (vô lí). Do vậy C \neq 0.

    Chọn C = 1 \Rightarrow A = \pm 2.

    Với A = 2,\ C = 1, ta có B = 2. Khi đó (P):2x + 2y + z - 6 = 0.

    Với A = - 2,\ C = 1, ta có B = 2. Khi đó (P):2x - 2y - z + 2 = 0.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 6 = 0 hoặc (P):2x - 2y - z + 2 = 0.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Cho mặt phẳng (P):x + y + z + 3 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Phương trình đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với \overrightarrow{u}(1;2;3) là

    Gọi M là giao điểm của \Delta và d.

    Khi đó M(3m + 1; - m - 1; - m). Do \Delta \subset (P) nên M \in (P)

    \Rightarrow M(3m + 1; - m - 1; - m);(P):x + y + z + 3 = 0

    (3m + 1) + ( - m - 1) - m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3

    \Rightarrow M( - 8;2;3)

    Giả sử \Delta đi qua N(a;b;c) khác M. Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} N \in (P) \\ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u} = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a + b + c + 3 = 0 \\ (a + 8) + 2(b - 2) + 3(c - 3) = 0 \\ \end{matrix} \right.

    c = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 10 \\ b = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow N( - 10;6;1)

    \Rightarrow \overrightarrow{MN} = ( - 2;4; - 2)

    \Rightarrow (\Delta):\frac{x+ 8}{- 2} =\frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{- 2}

    \Rightarrow (\Delta):\frac{x + 8}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{1}

  • Câu 13: Nhận biết

    Viết phương trình mặt cầu (S)

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tọa độ hai điểm A(1;2;3),B(5;4; - 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

    Gọi I là trung điểm của AB suy ra I(3;3;1)

    \overrightarrow{AB} = (4;2; - 4) \Rightarrow AB = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6

    Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;3;1) và bán kính R = \frac{AB}{2} = 3 có phương trình là: (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tìm phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác nhọn ABC cóH(2;2;1);K\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right); O(0;0;0) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A;B;C trên các cạnh BC;CA;AB. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Cách 1: I:OH = 3;OK = 4;HK = 5. Gọi I là trực tâm tam giác ABC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{4.2 + 5.0 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} \right)}{12} = 0 \\y_{I} = \dfrac{3.\dfrac{4}{3} + 4.2 + 5.0}{12} = 1 \\z_{I} = \dfrac{3.\dfrac{8}{3} + 4.1 + 5.0}{12} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    \overrightarrow{IH} = (2;1;0) \Rightarrow (\Delta):\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.

    A \in IH \Rightarrow A(2t;1 + t;1)

    \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OI} = 0 \Leftrightarrow t = - 2

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} A( - 4; - 1;1) \in d \\ \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OH} \right\rbrack = ( - 1;2; - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d):\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}

    Cách 2: VTPT của (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right\rbrack = 4(1; - 2;2).

    Vì \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK} = 0 \Rightarrow \widehat{HOK} = 90^{0}.

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{OK} = \frac{4}{3}( - 2;1;2) \Rightarrow (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{OH} = (2;2;1) \Rightarrow (\beta):2x + 2y + z = 0.

    Ta có d\left( A;(\alpha) \right) = d\left( A;(\beta) \right), đối chiếu phương án A;B;C;D thấy A( - 4; - 1;1) thỏa mãn.

  • Câu 15: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) bán kính R có phương trình là

    Mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) và bán kính R có phương trình là:

    \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

    Cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{- 1} và và mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y - 21 = 0. Số giao điểm của (\Delta) và (S) là:

    Đường thẳng(\Delta)đi qua M = ( - 2;\ 0;\ 3)và có VTCP \overrightarrow{u} = ( - 1;\ 1;\ - 1)

    Mặt cầu (S)có tâm I = (1;\ 2;\ - 3)và bán kính R=9

    Ta có \overrightarrow{MI} = (3;2; - 6)và \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack = ( - 4; - 9; - 5)

    \Rightarrow d(I;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{366}}{3}

    Vì d(I,\ \Delta) < R nên (\Delta) cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm điểm thuộc mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) - 2x + y - 5 = 0

    Phương pháp tự luận

    Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu điểm nào làm cho vế trái bằng 0 thì đó là điểm thuộc mặt phẳng.

    Phương pháp trắc nghiệm

    Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính dạng sau: - 2X + Y + 0A - 5 = 0, sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ (x;y;z)của các điểm vào. Nếu bằng 0 thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

  • Câu 18: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 19: Thông hiểu

    Định các giá trị nguyên tham số m

    Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0 là một phương trình mặt cầu

    Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

    (m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0

    \Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)

    Theo bài ra m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; - 1;4), đồng thời vuông góc với giá của vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) có phương trình là:

    Mặt phẳng (P) nhận vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(3; - 1;4) nên có phương trình là1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0.

  • Câu 21: Vận dụng

    Tính khoảng cách

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.

    Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:

    N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight);\,C\left( {a,b,0} ight);\,\,\,G\left( {a,b,c} ight)

    Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:

    \overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2}} ight);\,\,\,\overrightarrow {CG} = \left( {0,0,c} ight);\,\,\overrightarrow {PC} = \left( {a,0, - \frac{c}{2}} ight)

    Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:

    \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight] = \left( { - bc, - \dfrac{{ac}}{2},0} ight) = > \left| {\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight]} ight| = \dfrac{c}{2}\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} \\\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight].\overrightarrow {PC} = - abc = > d\left( {NP,CG} ight) = \dfrac{{2ab\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} }}{{{a^2} + 4{b^2}}}\end{array}

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Tìm góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', có AB = 2a;AD = a\sqrt{2}, góc giữa AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng 30^{0}. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên AB′ và K là hình chiếu vuông góc của A trên AD'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABB'A')

    60^{0}

    Hình vẽ minh họa

    Do ABCD \cdot A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} là hình hộp chữ nhật nên A^{'}C^{'} là hình chiếu vuông góc của A^{'}C trên (ABCD) \Rightarrow \left( A^{'}C,(ABCD) ight) = \left( A^{'}C,A^{'}C^{'} ight) = CA^{'}C^{'} = 30^{\circ}.

    Ta có AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{3};tanCA^{'}C^{'} = \frac{CC^{'}}{A^{'}C^{'}} \Rightarrow CC^{'} = a.

    Kết hợp với giả thiết ta được ABB^{'}A^{'} là hình vuông và có H là tâm.

    Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên A^{'}D^{'}\& A^{'}A.

    Ta có \frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{A^{'}A^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3};A^{'}K = \sqrt{A^{'}A^{2} - AK^{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}};

    \frac{1}{KF^{2}} = \frac{1}{KA^{2}} + \frac{1}{A^{'}K^{2}} \Rightarrow KF = \frac{a\sqrt{2}}{3};KE = \sqrt{A^{'}K^{2} - KF^{2}} \Rightarrow KE = \frac{a}{3}

    Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O \equiv A^{'} còn D^{'},B^{'},A theo thứ tự thuộc các tia Ox,Oy,Oz.

    Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

    A(0;0;a),B^{'}(0;a;0),H\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight),K\left( \frac{a\sqrt{2}}{3};0;\frac{a}{3} ight),E\left( \frac{a\sqrt{2}}{3};0;0 ight),F\left( 0;0;\frac{a\sqrt{2}}{3} ight)

    Mặt phẳng \left( ABB^{'}A^{'} ight) là mặt phẳng (yOz) nên có VTPT là {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;0;0);

    Ta có \lbrack\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH}brack = \frac{a^{2}}{6}{\overrightarrow{n}}_{2},{\overrightarrow{n}}_{2}(2;\sqrt{2};\sqrt{2}).

    Mặt phẳng (AKH) có VTPT là {\overrightarrow{n}}_{2} = (2;\sqrt{2};\sqrt{2});

    Gọi \alpha là góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và \left( ABB^{'}A^{'} ight).

    Ta có cos\alpha = \left| cos\left( {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ight) ight| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^{\circ}.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Viết PT mp vuông góc chung

    Cho điểm M\left( { - 3,2, - 1} ight) và hai mặt phẳng \left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0,\left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0.

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa điểm M , vuông góc với cả hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) . Phương trình mặt phẳng (P):

     Theo đề bài, ta có:

    \left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow a = \left( {1,3, - 5} ight)

    \left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow b = \left( {2, - 1, - 2} ight)

    Suy ra tích có hướng giữa 2 vecto là \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \overrightarrow n = \left( {1, - 8, - 7} ight)

    Ta chọn \vec{n} làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (P)

    Phương trình (P) có dạng x - 8y - 7z + D = 0

    Mặt khác, ta có M \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 3 - 16 + 7 + D = 0 \Leftrightarrow D = 12

    Vậy phương trình cần tìm là: (P): x - 8y - 7z + 12 = 0

  • Câu 24: Vận dụng

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz cho điểm H(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A;B;C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC?

    Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c);(abc eq 0)

    Khi đó (P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2; - 3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight. mà H là trực tâm của tam giác ABC nên

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b - 3c = 0 \\ a - 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = 3c

    Mặt khác H \in (P) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3c} + \frac{4}{3c} + \frac{3}{c} = 1

    \Rightarrow 14 = 3c \Leftrightarrow c = \frac{14}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (P):\dfrac{x}{14} +\dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{\dfrac{14}{3}} = 1 \Rightarrow (P):x + 2y + 3z -14 = 0

  • Câu 25: Nhận biết

    Tìm tọa độ giao điểm

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tọa độ giao điểm Mcủa mặt phẳng (P):2x + 3y + z - 4 = 0 với trục Ox là?

    Gọi M(a,0,0) là điểm thuộc trục Ox. Điểm M \in (P) \Rightarrow 2a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 2 .

    Vậy M(2,0,0) là giao điểm của (P),Ox.

    Phương pháp trắc nghiệm

    Giải hệ PT gồm PT của (P) và của (Ox): \left\{ \begin{matrix} 2x + 3y + z - 4 = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.; bấm máy tính.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tìm giá trị tham số D

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(4;9;8),N(1; - 3;4),P(2;5; - 1). Mặt phẳng (\alpha) đi qua ba điểm M,N,P có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0. Biết A = 92, tìm giá trị của D?

    Do A = 92 nên mặt phẳng (P) có phương trình 92x + By + Cz + D = 0

    Do (P) đi qua các điểm A;B;C nên ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix} 92.4 + B.9 + C.8 + D = 0 \\ 92.1 + B.( - 3) + C.4 + D = 0 \\ 92.2 + B.5 + C.( - 1) + D = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B = - 19 \\ C = - 12 \\ D = - 101 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy D = - 101.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tìm góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

    \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2t \\ z = 14 - 3t \\ \end{matrix} \right. và \Delta':\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 4t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} \right.. Xác định góc giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta'.

    Đường thẳng \Delta có VTCP \overrightarrow{u} = (1; - 2; - 3), \Delta' có VTCP \overrightarrow{u'} = ( - 4;1;5).

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta'.

    Ta có \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right) \right|

    = \frac{\left| 1.( - 4) + ( - 2).1 + ( - 3).5 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{( - 4)^{2} + 1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \rightarrow \varphi = 30^{0}.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; - 1;1),\ B(1;0;4)và C(0; - 2; - 1). Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC là:

    Ta có: \overrightarrow{CB}(1;2;5).

    Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BCcó một VTPT là \overrightarrow{CB}(1;2;5)nên có phương trình là: x + 2y + 5z - 5 = 0.

    Vậy x + 2y + 5z - 5 = 0.

  • Câu 29: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n}(0;1;1) và đi qua điểm A(1;1; - 1).

    Suy ra phương trình (P):y + z = 0.

  • Câu 30: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1; - 1;2), song song với (P):2x - y - z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2} một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là.

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1; - 2;2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (a;b;c)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)

    Vì d//(P) nên \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{a_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow 2a - b - c = 0 \Leftrightarrow c = 2a - b

    \cos(\Delta,d) = \frac{|5a - 4b|}{3\sqrt{5a^{2} - 4ab + 2b^{2}}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{(5a - 4b)^{2}}{5a^{2} - 4ab + 2b^{2}}}

    Đặt t = \frac{a}{b}, ta có: \cos(\Delta,d) = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{(5t - 4)^{2}}{5t^{2} - 4t + 2}}

    Xét hàm số f(t) = \frac{(5t - 4)^{2}}{5t^{2} - 4t + 2}, ta suy ra được: \max f(t) = f\left( - \frac{1}{5} ight) = \frac{5\sqrt{3}}{3}

    Do đó: \max\left\lbrack \cos(\Delta,d) ightbrack = \sqrt{\frac{5\sqrt{3}}{27}} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{a}{b} = - \frac{1}{5}

    Chọn a = 1 \Rightarrow b = - 5,c = 7

    Vậy phương trình đường thẳng d là \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{7}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm độ dài đường cao tứ diện

    Cho tứ diện ABCD có A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2),D(2;1;3). Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

    \frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{x}{- 2} = 1 \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 4 = 0

    Khoảng cách từ đỉnh D đến mặt phẳng (ABC) là

    d = \frac{|2.2 + 1 - 2.3 - 4|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{3}.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

    d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1} và d_{2}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{1}. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Đường thẳng d_{1} có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (2;2; - 1).

    Đường thẳng d_{2} có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    Ta có

    \cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|}

    = \frac{|2 - 4 - 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}.\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{6}

  • Câu 33: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5} đi qua điểm nào sau đây?

    Thay tọa độ điểm (1; - 2;3) vào phương trình đường thẳng d ta được \frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}, do đó điểm này thuộc đường thẳng d.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số

    Đường thẳng (d): \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{4}có phương trình tham số là:

    Ta có đường thẳng (d) qua A ( 2, -1, 4) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow a = \left( {3, - 2,4} ight) = - \left( { - 3,2, - 4} ight) có phương trình tham số là:

    => (d) \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3m\\y = - 1 + 2m\\z = 4 - 4m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}  

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm tọa độ giao điểm

    Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1} và mặt phẳng (P):3x + 5y - z - 2 = 0?

    Gọi I là giao điểm của d và (P).

    Ta có I \in d \Leftrightarrow I(4t + 12;3t + 9;t + 1)

    I \in (P) \Leftrightarrow 3(4t + 12) + 5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 26t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3

    Suy ra I(0;0; - 2)

  • Câu 36: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;3;4) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:

    Bán kính mặt cầu là R = IA = \sqrt{3}

    Phương trình mặt cầu tâm I(2;3;4) và R = IA = \sqrt{3} là:

    (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - \sqrt{2}t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right. và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + \sqrt{2}t \\ z = 2 + mt \\ \end{matrix} \right..Tìm giá trị của tham số m để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng 60^{0}?

    Đường thẳng d_{1} có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = \left( 1; - \sqrt{2};1 \right), d_{2} có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = \left( 1;\sqrt{2};m \right).

    Do đó

    \cos60^{0} = \cos\left( d_{1};d_{2} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) \right|

    \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|m - 1|}{2\sqrt{m^{2} + 3}} \Leftrightarrow m = - 1.

  • Câu 38: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(\ 1;\ 0;\ 1) và N(\ 3;\ 2;\ - 1). Đường thẳng MN có phương trình tham số là

    Đường thẳng MN nhận \overrightarrow{MN} = (\ 2;\ 2;\ - 2) hoặc \overrightarrow{u}(\ 1;\ 1;\ - 1) là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ ., \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ . và \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ .

    Thay tọa độ điểm M(\ 1;\ 0;\ 1) vào phương trình ở phương án \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right.\ . ta thấy thỏa mãn.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2). Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2} nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức a + b + c là:

    Điểm M luôn tồn tại.

    Ta có M \in (P) nên a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2.

  • Câu 40: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (∗)

    Vì OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 = 0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Cánh diều
Xem thêm