Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Giao điểm của 2 đường thẳng
Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của ,tính x,y theo z được
Thế vào phương trình của , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
dạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi là điểm sao cho
.
Từ đó:
với là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Từ đó suy ra dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng
là:
.
Tọa độ diểm là nghiệm
của hệ
Suy ra .
Vậy, tọa độ điểm cần tìm là
.
Tìm giá trị biểu thức
Trong không gian
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
Lại có
Vì là một hằng số nên S nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu của G lên (P).
Từ đó ta tìm được và
Tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
và
vuông góc với đáy
. Tính
, với
là góc tạo bởi giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Cách 1: Hình vẽ minh họa

Vẽ
Lúc đó
Gọi lần lượt là trung điểm
lúc đó ta có:
Hình chiếu của trên
chính là
Ta có
Cách 2: Hình vẽ

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, ta có
, ,
,
.
Ta có , nên đường thẳng
có vectơ chỉ phương là
.
Ta có ,
.
Như vậy, mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến là
.
Do đó, là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC) thì
.
Tính góc giữa hai vectơ
Cho hình chóp
có ba cạnh
đôi một vuông góc và
. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
Ta có:
Khi đó ta có:
Chọn phương án thích hợp
Cho mặt cầu
. Gọi
là giao điểm của
và trục
có tung độ âm. Viết phương trình tổng quát của tiếp diện
của
tại
.
Giao điểm của và trục
(loại)
Tiếp diện tại
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng là:
hay
.
Tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Giá trị của m để hai đường thẳng
và
cắt nhau là
Đường thẳng đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương
Ta có và
Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
. Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
và song song với d là
d có vectơ chỉ phương
Vì song song với
nên
có vectơ chỉ phương
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là
Viết phương trình đường thẳng
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Phương trình đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
, cắt đường thẳng d và vuông góc với
là
Gọi M là giao điểm của và d.
Khi đó Do
nên
Giả sử đi qua
khác M. Ta có:
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là: .
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: .
Khi đó:
Vậy .
Lập phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
, mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
,
song song với giá của vectơ
và
tiếp xúc với
. Lập phương trình mặt phẳng
.
Mặt cầu có tâm I(1; −3; 2) và bán kính
.
Từ giả thiết suy ra là một vectơ pháp tuyến của
.
Ta có , suy ra
có vectơ pháp tuyến
Vậy có phương trình dạng
Do tiếp xúc với mặt cầu
nên:
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng
Hai dường thẳng ![]()
![]()
Ta có: qua
và có vecto chỉ phương
qua
và có vecto chỉ phương
và
cùng phương
và
cùng phương.
không cùng phương với
Xác định số đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
đường thẳng
,
,
,
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả
đường thẳng trên là
đi qua điểm
và có VTCP
.
đi qua điểm
và có VTCP
.
.
Vì và
nên
song song với
.
Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng
và
.
đi qua điểm
và có
hay
có phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
Vì cùng phương với
nên
không thỏa mãn.
Tính chu vi đường tròn
Đường tròn giao tuyến của
khi cắt bởi mặt phẳng (Oxy) có chu vi bằng :
Mặt cầu tâm
, bán kính
.
Ta có : .
Gọi là bán kính đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu
và mặt phẳng (Oxy), ta suy ra :
.
Vậy chu vi (C) bằng: .
Xác định tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
và mặt phẳng
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
.
Gọi
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng đó.
Ta có:
là một véctơ pháp tuyến của
.
là một véctơ pháp tuyến của
.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
và
là:
.
Viết PT mặt phẳng song song với 1 vecto
Cho hai điểm
và vectơ
. Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ
có phương trình:
Theo đề bài, ta có:
Như vậy, và
sẽ là cặp vectơ chỉ phương của
Chọn làm vectơ pháp tuyến của
Phương trình mặt phẳng có dạng
Mặt khác, vì điểm nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng
được:
Vậy có phương trình là:
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Do nên vectơ
cũng là một vectơ chỉ phương của
.
Tìm tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian
cho mặt cầu
Đường kính của
bằng
Ta có bán kính của là
nên đường kính của
bằng
.
Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Phương trình mặt cầu đường kính
là:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
Mặt cầu đường kính có tâm
và bán kính
có phương trình là:
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
Ta có:
Chọn phương án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
, hai đường thẳng
và
. Phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và cắt hai đường thẳng
là.
Gọi là mặt phẳng qua
và
đi qua
và có vectơ chỉ phương
có vectơ pháp tuyến
Gọi là mặt phẳng qua
và
đi qua
và có vectơ chỉ phương
có vectơ pháp tuyến
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình đường thẳng là
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Xác định phương trình mặt cầu
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
Phương trình mặt cầu có hai dạng là:
(1) ;
(2) với
.
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Từ đó ta xác định được phương trình mặt cầu cần tìm là:
Tính khoảng cách d(M; (P))
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và điểm
. Tính khoảng cách
từ
đến
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
Tìm phương trình mặt phẳng (Q)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng qua
và vuông góc với
. Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng
?
Vì là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
nên mặt phẳng
nhận
làm hai vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Tìm phương trình mặt phẳng (P)
Cho hai điểm
,
và mặt cầu
Mặt phẳng
qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu
có phương trình:
Ta có mặt cầu (S) có tâm và bán kính
,
Gọi với
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Vì qua M, N nên
Mặt phẳng qua
và nhận
là vectơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Mặt phẳng tiếp xúc với
Từ (1) và (2) (*)
Trong (*), nếu thì
, và từ
suy ra
(vô lí). Do vậy
.
Chọn
Với , ta có
. Khi đó
.
Với , ta có
. Khi đó
.
Vậy phương trình mặt phẳng hoặc
.
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
. Suy ra phương trình đường thẳng
là:
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện
Trong không gian
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Xét mặt phẳng
, với
là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để
tạo với
góc
.
Ta có: và
có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì tạo với
góc
.
.
Chọn kết quả chính xác
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
Gọi O = AC ∩ BD
Tam giác SAO vuông nên suy ra
Gắn tọa độ như hình vẽ:
Ta có:
Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên
Ta có:
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Xác định các tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình
là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm
có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.
Ta có:
Suy ra (*) là phương trình mặt cầu
Khi đó, mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.
Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.
Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là
Ta có: suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Suy ra đường thẳng là:
Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì
TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và
Ta có
+ Với (loại).
+ Với m = −2 ⇒ ⇒ m = −2 (thỏa mãn).
TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)
Khi đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Tìm phương trình mặt cầu
Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính
với
là:
Trung điểm của đoạn thẳng là
,
Mặt cầu đường kính có tâm
, bán kính
Vậy phương trình của mặt cầu là:
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Dường thẳng đi qua
và song song với hai mặt phẳng
có phương trình là
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
và
có một vectơ pháp tuyến là
. Ta có
.
Khi đó, đi qua điểm
và nhận véc-tơ
làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng
là
Với thì điểm
thuộc
. Viết lại phương trình đường thẳng
Ghi đáp án vào ô trống
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: