Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Tìm đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
. Phương trình đường thẳng
đi qua điểm
song song với (P) và vuông góc với trục tung là
Oy có vectơ chỉ phương
(P) có vectơ pháp tuyến
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương là
Vậy phương của là
Hai đường thẳng cắt nhau
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
Theo đề bài, ta biến đổi được (b) có dạng:
Thay x, y, z vào phương trình x+2y+z =9 , ta có:
=> Tọa độ giao điểm của (a) và (b): A (0, - 4, - 1)
Xác định phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, trục
có phương trình tham số là
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
.
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm
tiếp xúc với mặt cầu (S’):
có tâm
, bán kính
Gọi R là bán kính của .
và
tiếp xúc trong khi và chỉ khi:
(loại)
Tính sin góc giữa hai đối tượng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính số đo của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Đường thẳng d có VTCP .
Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có
Xác định tâm và bán kính mặt cầu
Mặt cầu
có tọa độ tâm và bán kính R là:
Phương trình mặt cầu có dạng
với
, có tâm
, bán kính
.
Mặt cầu có tọa độ tâm và bán kính R là:
Chọn các đáp án đúng
Người ta định nghĩa mặt cầu (S) như sau, hãy chọn câu trả lời đúng. (Có thể chọn nhiều đáp án)
Tất cả các đáp án đã cho đều đúng.
Xác định số điểm M thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai mặt phẳng
và
. Có bao nhiêu điểm
trên trục
thỏa mãn
cách đều hai mặt phẳng
và
?
Vì nên
Ta có: .
Theo giả thiết:
Vậy có 1 điểm thỏa mãn bài.
Mối quan hệ giữa đường thẳng và mp
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
với
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để thể tích khối tứ diện
bằng
.
Ta có:
Lại có:
Khi đó ta có:
Theo đề ta có:
Tính cosin góc giữa d và Oy
Trong không gian với hệ tọa độ
, gọi
là đường thẳng đi qua
, thuộc mặt phẳng
và cách điểm
một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa
và trục tung bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.
Ta có:
Suy ra nhỏ nhất khi
. Khi đó d có một vecto chỉ phương là
Khi đó:
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, trục
có phương trình tham số
Trục đi qua
và có véctơ chỉ phương
nên có phương trình tham số là:
Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng
và ![]()
qua
và vecto chỉ phương
qua
và vecto chỉ phương
Pháp vecto của
qua trung điểm
của đoạn AB.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho mặt phẳng
với
đi qua 2 điểm
và tạo với
một góc
. Tính tổng
? (Làm tròn đến hàng phần trăm)?
Mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
Và tạo với
một góc
nên
Thay vào phương trình
được:
Khi đó:
Viết phương trình đường thẳng d
Trong không gian với hệ tọa độ
gọi
đi qua
, cắt
, sao cho góc giữa
và
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là
Gọi
có vectơ chỉ phương
có vectơ chỉ phương
Xét hàm số , ta suy ra được
Do đó
Vậy phương trình đường thẳng là
Định phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Phương trình của mặt phẳng chứa trục
và qua điểm
là:
Trục đi qua
và có
Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến
có phương trình
.
Vậy .
Tính độ dài vecto
Gọi I là tâm mặt cầu
. Độ dài
(
là gốc tọa độ) bằng:
Mặt cầu có tâm
Chọn đáp án thích hợp
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu
(S):
,
.
Ta có:
Tâm
Vậy tập hợp các tâm I là elip
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là phương trình của một mặt cầu nếu
.
Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Xác định các giá trị của r
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các mặt phẳng
,
. Gọi
là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và
cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
. Xác định
sao cho chỉ có đúng một mặt cầu
thỏa mãn yêu cầu.
Gọi lần lượt là bán kính, tâm của mặt cầu;
lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng
.
Từ đó ta có: suy ra
Để tồn tại đúng một mặt cầu tương đương phương trình (∗) có đúng một nghiệm m hay
Vậy đáp án cần tìm là: .
Chọn đáp án đúng
Một phần sân trường được định vị bởi các điểm
, như hình vẽ.

Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết
là hình thang vuông ở
và
với độ dài
,
,
. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở
nên người ta lấy độ cao ở các điểm
,
,
xuống thấp hơn so với độ cao ở
là
,
,
tương ứng. Giá trị của
là số nào sau đây?
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, tia
; tia
.
Khi đó, ;
;
;
.
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm ,
,
xuống thấp hơn so với độ cao ở
là
,
,
tương ứng ta có các điểm mới
;
;
.
Theo bài ra có bốn điểm ;
;
;
đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng .
Do nên có:
.
Vậy .
Phương trình tổng quát
Cho tứ diện
có
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
Theo đề bài, ta có các vecto là
Có thể chọn làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên:
Vậy phương trình cần tìm .
Tìm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Cho ba điểm
,
,
,
. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
có phương trình là:
Phương trình mặt cầu có dạng:
, ta có:
Lấy ;
;
ta được hệ:
Vậy phương trình măt cầu là: .
Lưu ý : Ở bài này máy tính Casio giúp chúng ta giải nhanh chóng hệ phương trình bậc nhất ba ấn được tạo ra để tìm các hệ số của phương trình mặt cầu tổng quát. (Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ các điểm vào từng đáp án và tìm ra đáp án đúng)
Xác định số mặt phẳng
Trong không gian
, cho 3 điểm
và
. Gọi
là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 và
là mặt cầu tâm B bán kính bằng 6. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu
?
Phương trình mặt phẳng qua C có dạng .
Mặt phẳng tiếp xúc
ta có
(1)
Mặt phẳng tiếp xúc
ta có
(2)
Từ đây ta có phương trình
Từ (1), (3) ta có:
Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:
Từ (1); (4) ta có:
Trường hợp này không có mặt phẳng nào.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
Ta có:
∆ có vectơ chỉ phương là
(α) có vectơ pháp tuyến là
.
Tính góc giữa hai đường thẳng
Tính góc của hai đường thẳng
và
.
và
có vectơ chỉ phương
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
phương trình đường thẳng
đi qua điểm A(2;-1; 3) và vuông góc với mặt phẳng
là.
có vectơ pháp tuyến
Vì vuông góc với
nên
có vectơ chỉ phương
đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:
Khẳng định đúng là: “”
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, gọi
là mặt phẳng chứa trục
và tạo với mặt phẳng
góc
. Phương trình mặt phẳng
là:
+) Mặt phẳng chứa trục
nên có dạng:
.
+) Mặt phẳng tạo với mặt phẳng
góc
nên
.
Phương trình mặt phẳng là:
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian với hệ toạ độ
,tọa độ điểm
nằm trên trục
và cách đều hai mặt phẳng:
và
là:
Ta có
Giả thiết có
Vậy
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt cầu
tâm
, bán kính
. Hai mặt phẳng
và
chứa
và tiếp xúc với
tạo với nhau góc
. Hãy viết phương trình mặt cầu
?
Hình vẽ minh họa

Gọi là tiếp điểm của mặt phẳng
và mặt cầu
.
Gọi là hình chiếu của điểm
trên đường thẳng
.
TH1: Góc :
Theo bài ra ta có:
.
TH2: Góc :
Theo bài ra ta có:
.
Chọn khẳng định đúng
Cho
và
. Điểm
sao cho
và đoạn
bằng 3 lần khoảng cách từ
đến
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính số đo góc nhị diện
Cho hình lập phương
. Số đo của góc nhị diên
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có góc nhị diên bằng
.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
thuộc
là điểm thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
bằng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
Ta có cùng phương với
Mà đồng phẳng.
Xét mặt phẳng chứa và
. Gọi
là điểm đối xứng của
qua
là mặt phẳng qua
, vuông góc với
.
Khi đó, giao điểm của
với
là trung điểm của
.
có 1 vectơ pháp tuyến
đi qua
có phương trình:
Giả sử
.
Ta có khi và chỉ khi
trùng với
là giao điểm của
và
.
.
Ghi đáp án vào ô trống
Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được
. Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 115.
Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được
. Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 115.
Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.
Suy ra d ⊥ AB, d ⊥ AC.
Mặt khác AB ∩ AC = A ∈ d.
Vậy góc là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.
Ta có:
.
Suy ra: .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: