Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4). Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (ABC)?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)//\overrightarrow{a} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 1;3) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 1;1) là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

    Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

    Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1} có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,\ AD = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a\sqrt{5}. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Xét hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó ta có:

    A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0)

    S\left( 0;0;\sqrt{5} ight),M(0;a;0),C(a;a;0)

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (0;a;0),\overrightarrow{SB} = \left( a;0; - a\sqrt{5} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(SBC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{SB} ightbrack = \left( - a^{2}\sqrt{5};0; - a^{2} ight)

    Ta có: \overrightarrow{CD} = ( - a;a;0),\overrightarrow{SC} = \left( a;a; - a\sqrt{5} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(SCD)}} = \left\lbrack \overrightarrow{CD},\overrightarrow{SC} ightbrack = \left( - a^{2}\sqrt{5}; - a^{2}\sqrt{5}; - 2a^{2} ight)

    Ta có \cos\left( (SBC);(SCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(SBC)}}.\overrightarrow{n_{(SCD)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(SBC)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(SCD)}} ight|} = \frac{\left| 5a^{4} + 2a^{4} ight|}{a^{2}\sqrt{6}.a^{2}\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{21}}{6}

  • Câu 3: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm tâm mặt cầu

    Mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0 có tâm là:

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0, có tâm I(a;b;c), bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}.

    Mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0 có tâm là I(4; - 1;0).

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P),(Q),(R) lần lượt có phương trình là x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{p} = (1;0; - 4) và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{r} = (0;1;0)

    Do \overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R} nên vectơ \overrightarrow{p} không cùng phương với vectơ \overrightarrow{r}.

    Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Chọn các đáp án đúng

    Người ta định nghĩa mặt cầu (S) như sau, hãy chọn câu trả lời đúng. (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Tất cả các đáp án đã cho đều đúng.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Chọn khẳng định sai

    Câu sai: “Nếu hai đường thẳngAB,CD song song thì vectơ \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right\rbrack là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)”.

  • Câu 8: Vận dụng

    Xác định các giá trị của r

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x−y + 2z + 1 = 0, (Q): 2x+y +z −1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

    Gọi R, I(m; 0; 0) lần lượt là bán kính, tâm của mặt cầu; d_1, d_2 lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P), (Q).

    Từ đó ta có: R^{2} = {d_{1}}^{2} + 4 = {d_{2}}^{2} + r^{2} suy ra

    \frac{(m + 1)^{2}}{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} + 4 = \frac{(2m - 1)^{2}}{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 1 + 16 = 4m^{2} - 4m + 1 + 6r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m + \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0\ \ (*)

    Để tồn tại đúng một mặt cầu tương đương phương trình (∗) có đúng một nghiệm m hay \Delta' = 1^{2} - \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: r = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm M để biểu thức có giá trị nhỏ nhất

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B( - 1;2;1),C(36; - 5). Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có: MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dễ thấy MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).

    Dễ thấy G(1;3; - 1) \Rightarrow M(1;3;0).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q):x + y + z - 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) là:

    Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Từ giả thiết, ta suy ra (P) có một vectơ pháp tuyến là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1; - 1).

    Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là y - z = 0.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x + y + 2z = 0,(Q):x + y + 2z + 2 = 0; (R):x + y + 2z + 1 = 0. Một đường thẳng \Delta thay đổi cắt ba mặt phẳng (P);(Q);(R) lần lượt tại các điểm A;B;C. Tính cosin góc tạo bởi \Delta và mặt phẳng (R) khi biểu thức AB^{2} + \frac{8}{AC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Ba mặt phẳng cùng có véc tơ pháp tuyến là (1;1;2) nên chúng song song với nhau.

    Khi đó ta có d\left( (P);(Q) \right) = \frac{|0 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}; d\left( (P);(R) \right) = \frac{|0 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}; d\left( (Q);(R) \right) = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.

    Dựng đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (P);(Q);(R). Đường thẳng đó cắt mặt phẳng (R);(Q) lần lượt tạiM;N.

    Khi đó ta có AM = \frac{1}{\sqrt{6}};AN = \frac{2}{\sqrt{6}}.

    Xét \Delta CNB có MA//NB nên \frac{AC}{AB} = \frac{AM}{AN} = \frac{1}{2} \Rightarrow AB = 2AC.

    Khi đó:

    AB^{2} + \frac{8}{AC} = AB^{2} + \frac{8}{\frac{AB}{2}} = AB^{2} + \frac{16}{AB}

    = AB^{2} + \frac{8}{AB} + \frac{8}{AB} \geq 3\sqrt[3]{AB^{2}.\frac{8}{AB}.\frac{8}{AB}} = 3.4 = 12.

    Dấu = xảy ra AB^{2} = \frac{8}{AB} \Leftrightarrow AB = 2.

    Khi đó NB = \frac{\sqrt{30}}{3} nên \cos\left( \widehat{\Delta;(R)} \right) = \frac{NB}{AB} = \frac{\sqrt{30}}{6}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Xác định tổng tất cả các giá trị tham số m

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 4 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 - t \\ \end{matrix} \right. Tổng các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các tiếp diện của (S) tại A; B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; - 2) và bán kính R = 2.

    Các tiếp diện của (S) tại A và B tạo với nhau một góc lớn nhất

    ( bằng 90^{0})

    \Leftrightarrow IA\bot IB \Leftrightarrow d(I;d) = \frac{R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

    Đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;m - 1) và có một VTCP \overrightarrow{u} = ( - 1;1; - 1).

    Suy ra: \overrightarrow{IM} = (1;0;m + 1), \left\lbrack \overrightarrow{IM},\overrightarrow{u} \right\rbrack = ( - m - 1; - m;1).

    d(I;d) = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IM},\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{2}

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2m^{2} + 2m + 2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}

    \Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy tổng các giá trị thực của tham số m bằng -1.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm tọa độ hình chiếu của M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ điểm M' là hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;1)lên mặt phẳng M(2;3;1).

    Gọi \Delta là đường thẳng qua M và vuông góc với.

    => Phương trình tham số của \Delta là: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Ta có: M' = \Delta \cap (\alpha).

    Xét phương trình: 2 + t - 2(3 - 2t) + 1 + t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}.

    Vậy M'\left( \frac{5}{2};2;\frac{3}{2} \right).

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm vectơ chỉ phương

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (\alpha):x + 2z + 3 = 0. Một vectơ chỉ phương của \Delta là:

    Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;0;2).

    Đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2).

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Tính tổng b và c

    Trong không gian Oxyz cho tứ diện với điểm A(1;2;2),B( - 1;2; - 1),C(1;6; - 1) và D( - 1;6;2). Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có một vectơ pháp tuyến là ( - 1;b;c). Tổng b + c là

    Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

    (ABC): 6x - 3y - 4z + 8 = 0

    (BCD):6x - 3y + 4z + 16 = 0

    (CDA):6x + 3y + 4z - 20 = 0

    (ABD):6x + 3y - 4z - 4 = 0

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện DABC

    Do đó:

    I nằm cùng phái với A đối với (DBC) suy ra: 6a' - 3b' + 4c' + 16 > 0.

    I nằm cùng phía với B đối với (DAC) suy ra: 6a' + 3b' + 4c' + 20 < 0.

    I nằm cùng phía với C đối với (DAB) suy ra: 6a' + 3b' - 4c' - 4 > 0.

    I nằm cùng phía với D đối với (ABC) suy ra: 6a' - 3b' - 4c' + 8 < 0.

    Suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DAC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DBC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(ABC) \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' + 3b' + 4c' - 20| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' + 4c' + 16| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' - 4c' + 8| \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' + 3b' + 4c' - 20 \right) \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = 6a' - 3b' + 4c' + 16 \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' - 3b' - 4c' + 8 \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 0 \\ b' = 4 \\ c' = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.

    Suy ra: I\left( 0;4;\frac{1}{2} \right),\overrightarrow{BI} = \left( 1;2;\frac{3}{1} \right),\overrightarrow{BC} = (2;4;0)

    \left\lbrack \overrightarrow{BI},\overrightarrow{BC} \right\rbrack = ( - 3;3;0)cùng phương với \overrightarrow{n} = ( - 1;1;0).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \overrightarrow{n} = ( - 1;1;0) = ( - 1;b;c).

    Vậy b + c = 1.

  • Câu 16: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.và (P): - x + 2y + 2z + 5 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( - 1;0; - 1) cắt đường thẳng \Delta_{1} và tạo với đường thẳng \Delta_{2} một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (a;b;c). Tính tổng a + 2b - 3c?

    Giả sử đường thẳng dcắt đường thẳng \Delta_{1} tại B, ta có: B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t) \in \Delta_{1}.

    Đường thẳng dcó VTCP là: \overrightarrow{AB} = (2t + 2;t + 2; - t - 1), mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n} = ( - 1;2;2).

    Gọi \varphi là góc giữa d và \Delta_{2}, ta có:

    \sin\varphi = \frac{| - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{|2t|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} \geq 0

    \Rightarrow d tạo với đường thẳng \Delta_{2} một góc \varphi nhỏ nhất khi \varphi = 0{^\circ}hay \sin\varphi = 0 \Rightarrow t = 0.

    Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A( - 1;0; - 1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (2;2; - 1).

    Vậy a = 2,b = 2,c = - 1

    \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.( - 1) = 9

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm M để biểu thức đạt min

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và hai điểm A(0; - 1;3), B(1; - 2;1). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \Delta sao cho MA^{2} + 2MB^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Gọi I\left( \frac{2}{3};\frac{- 5}{3};\frac{5}{3} \right) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}. Ta tìm hình chiếu của I trên\Delta.

    Ghi \frac{2x + y - z}{6} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}I}) \frac{2}{3} - 1 = - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} + 2 = \ \ = STO M.

    ghi 2M + 1:M: - M - 2 bấm = \ \ = \ \ = kết quả M( - 1; - 1; - 1).

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

    \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2t \\ z = 14 - 3t \\ \end{matrix} \right. và \Delta':\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 4t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} \right.. Xác định góc giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta'.

    Đường thẳng \Delta có VTCP \overrightarrow{u} = (1; - 2; - 3), \Delta' có VTCP \overrightarrow{u'} = ( - 4;1;5).

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta'.

    Ta có \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right) \right|

    = \frac{\left| 1.( - 4) + ( - 2).1 + ( - 3).5 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{( - 4)^{2} + 1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \rightarrow \varphi = 30^{0}.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Tính tổng?

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0), B(1;0;-2) và mặt

    phẳng(P): x+2y-z-1=0. Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB

    và góc \widehat{ABM} có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị a+4b+c bằng ?

    MA=MB nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q); y+z=0

     M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên M thuộc đường thẳng

    (d): \left\{\begin{matrix} x=1+3t \\ y=-t \\ z=t \end{matrix}ight..

    Gọi M( 1+3t;-t;t) , ta có \cos\widehat{AMB}=\dfrac{\left | \vec{MA}.\vec{MB} ight | }{MA.MB}=\dfrac{11t^2-2t+1}{11t^2-2t+5}.

    Khảo sát hàm số f(t)=\dfrac{11t^2-2t+1}{11t^2-2t+5} , ta được f(t)=\frac{5}{27} khi t=\frac{1}{11} .

    Suy ra \widehat{AMB}  có số đo lớn nhất khi t=\frac{1}{11} , ta có M(\frac{14}{11}; \frac{-1}{11};\frac{1}{11}).

    Khi đó giá trị a+4b+c=1.

  • Câu 20: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt cầu (S)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2;7),B( - 3;8; - 1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là:

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I( - 1;3;3) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = IA = \sqrt{(1 + 1)^{2} + ( - 2 - 3)^{2} + (7 - 3)^{2}} = \sqrt{45}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 45.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm m để hai mặt phẳng vuông góc

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - my + z - 1 = 0;(m \in R), mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; - 3;1). Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1; - 3;1) \\ \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; - 3;1)⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1;3)

    Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - m;1)

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 0.1 + 1.( - m) + 1.3 = 0 \Leftrightarrow m = 3

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm phương trình (P) vuông góc với d

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 2}{1}. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây vuông góc với đường thẳng d.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 2;1)

    Mặt phẳng vuông góc với d nhận vectơ \overrightarrow{u} làm vectơ pháp tuyến.

    Do đó (P):x - 2y + z + 1 = 0 là mặt phẳng thỏa mãn.

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình - 2x + 2y - z - 3 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P) có phương trình - 2x + 2y - z - 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(4; - 4;2)

  • Câu 24: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Xác định phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với \Delta là

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1), và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;1;2) suy ra \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1).

    Gọi M = d \cap \Delta \Rightarrow M = (P) \cap \Delta

    M \in \Delta \Rightarrow M(t;1 + t;2 - t); M \in (P)

    \Rightarrow t + 2(1 + t) + 2(2 - t) - 4 = 0 \Rightarrow t = - 2

    Suy ra M = ( - 2; - 1;4).

    Đường thẳng đi qua M = ( - 2; - 1;4) và nhận \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: d:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 4t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c eq 0.

    Vậy đáp án đúng là : \frac{x - 6}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{3}

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 - 2t \end{matrix} \right., d_{2}:\frac{x - 2}{4} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 2}{- 1} và điểm N(4;4;1). Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của d_{1} và d_{2}, điểm M(a;b;c) thuộc d. Khi độ dài MN ngắn nhất thì a + b + c bằng?

    Vào MENU 9 1 2 nhập: 1 = 1 = 2 = và 4 = - 3 = 1 = suy ra \overrightarrow{u_{d}} = (1;1;1).

    Gọi AB là đoạn vuông góc chung, với A(2 + a;2 + a; - 1 - 2a) \in d_{1},B(2 + 4b;2 - 3b;2 - b) \in d_{2} ta có:

    \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;1) suy ra:

    4b - a = - 3b - a = 3 + 2a - b \Rightarrow a = - 1,b = 0.

    Vậy phương trình d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{1}.

    M là hình chiếu vuông góc của N trên d. Trong MENU 1 ghi

    \frac{x + y + z}{3} CALC nhập 2 = 2 = - 1 = \ \ = Sto M, bấm 6 + 3M = kết quả bằng 9.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của đường kính AB

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 4y - 4z - 12 = 0. Viết phương trình tổng quát của đường kính AB song song với đường thẳng (D):x = 2t + 1;y = 3;z = 5t + 2,t\mathbb{\in R}.

    Tâm I(3,2,2); vecto chỉ phương của AB:\overrightarrow{a} = (2,0,5)

    \Rightarrow AB:x = 3 + 2t;\ \ y = 2;\ z = 2 + 5t,\ \ t\mathbb{\in R}

    \Rightarrow AB\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 3}{2} = \frac{z - 2}{5} \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow AB\left\{ \begin{matrix} 5x - 2z - 11 = 0 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 29: Nhận biết

    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}. Đường thẳng đi qua điểm M(2;1; - 1) và song song với đường thẳng \overrightarrow{u} = (1; - 2;1)có phương trình là:

    Vì đường thẳng song song với đường thẳng \left\{ \begin{matrix} 1 + t = 1 + at' \\ 2 - 2t = 0 + t' \\ 3 + t = - 1 + 2t' \\ \end{matrix} \right. nên nó có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 1) hoặc \overrightarrow{u} = (1; - 2;1) nên loại phương án \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}.

    Vì điểm M(2;\ 1;\ - 1)thuộc đường thẳng \frac{x}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 3}{1} nên chọn phương án \frac{x}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 3}{1}.

    Vậy phương trình của đường thẳng là \frac{x}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 3}{1}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt cầu (S’)

    Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)?

    Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.. Suy ra tâm mặt cầu I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)là:

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56

  • Câu 31: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm điểm thuộc mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) - 2x + y - 5 = 0

    Phương pháp tự luận

    Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu điểm nào làm cho vế trái bằng 0 thì đó là điểm thuộc mặt phẳng.

    Phương pháp trắc nghiệm

    Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính dạng sau: - 2X + Y + 0A - 5 = 0, sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ (x;y;z)của các điểm vào. Nếu bằng 0 thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tính số đo góc nhị diện

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Số đo của góc nhị diên\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') \right\rbrack bằng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có góc nhị diên \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack bằng \widehat{DBC} = 45{^\circ}.

  • Câu 34: Nhận biết

    Diện tích của đường tròn giao tuyến

    Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 60^0. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

    Diện tích của đường tròn giao tuyến

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

    ● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

    ●\widehat {OA,\left( P ight)} = \widehat {\left( {OA,AH} ight)} = {60^0}

    Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.\cos {60^0} = \frac{R}{2}.

    Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{R}{2}} ight)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4}.

  • Câu 35: Vận dụng

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \Delta sao cho (P) tạo với d:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{2} một góc lớn nhất?

    Cách 1. (Khử dần ẩn )

    Giả sử d cắt (P) tại A(3t - 3;t + 1;2t - 2), M_{0}(3;0; - 1) \in \Delta suy ra \overrightarrow{M_{0}A} = (3t - 6;t + 1;2t - 1).

    Gọi VTPT của (P) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{M_{0}A},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack = ( - t + 5; - 7t + 17;5t - 13).

    Gọi \varphi là góc tạo bởi (P) và d ta có:

    \sin\varphi = \left| \cos\left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{u_{d}} \right) \right|=\frac{6}{\sqrt{14}.\sqrt{(t - 5)^{2} + (7t - 17)^{2} + (5t -13)^{2}}}.

    Xét f(t) = 75t^{2} - 378t + 483 đạt nhỏ nhất tại t = \frac{63}{25} nên \overrightarrow{n} = \left( \frac{62}{25};\frac{- 16}{25};\frac{- 10}{25} \right) Hay chọn \overrightarrow{n} = (31; - 8; - 5) và phương trình(P): 31x - 8y - 5z - 98 = 0.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính sin góc giữa hai đối tượng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 và đường thẳng d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{1}. Tính số đo của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;2).

    Đường thẳng d có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 1;1).

    Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Ta có \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{u_{d}} \right) \right| = \frac{\sqrt{6}}{3}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai mặt phẳng (P):2x + 3y = 0,(Q):3x + 4y = 0. Dường thẳng đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P),(Q) có phương trình là

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm.

    Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{1} = (2;3;0) và (Q) có một vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{2} = (3;4;0). Ta có \left\lbrack {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ightbrack = (0;0;2).

    Khi đó, \Delta đi qua điểm A và nhận véc-tơ \overrightarrow{u} = (0;0;1) làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.
    Với t = - 3 thì điểm B(1;2;0) thuộc \Delta. Viết lại phương trình đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;\ 3;\ - 2). Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến dnhỏ nhất, dđi qua điểm nào dưới đây?

    Để khoảng cách từ A đến dnhỏ nhất thì điểm A, d và trục Oz đồng phẳng và khi đó: d(A,d) = d(A,Oz) - d(d,Oz) = 1.

    Phương trình d:x = 0,y = 2,z = t. Khi đó d đi qua điểm Q(0;\ 2;\ - 5).

  • Câu 39: Vận dụng

    Tìm m ?

    Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:

    \left( P ight):(m - 2)x - 3my + 6z - 6 = 0;\,\,\,\,\,\left( Q ight):(m - 1)x + 2y + (3 - m)z + 5 = 0

    Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:

    {A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = \left( {m - 2} ight)2 + \left( {m - 1} ight)3m = 3{m^2} - m - 4 = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = \frac{4}{3}

    {B_1}{C_2} - {B_2}{C_1} = - 3m\left( {3 - m} ight) - 2.6 = 3{m^2} - 9m - 12 = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = 4

    {C_1}{A_2} - {C_1}{A_1} = 6\left( {m - 1} ight) - \left( {3 - m} ight)\left( {m - 2} ight) = {m^2} + m = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = 0

    Với m=-1 thoả mãn cả 3 điều kiện trên \Rightarrow \left( P ight)//\left( Q ight)

  • Câu 40: Vận dụng

    Tính tích mn

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 72 và hai điểm A(0;8;2), B(9; - 7;23). Gọi mặt phẳng (P) đi qua A và (P) tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Giả sử \overrightarrow{n} = (1;m;n) là một véc tơ pháp tuyến của (P), khi đó tích mn là

    Phương trình (P) là 1(x - 0) + m(y - 8) + n(z - 2) = 0. Do (P) tiếp xúc với (S) nên ta có: d\left( I,(P) \right) = R \Rightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \sqrt{72}. Khoảng cách từ B đến (P) là:

    d\left( B,(P) \right) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{\left| 5 - 11m + 5n + 4(1 - m + 4n) \right|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}.

    Suy ra

    d\left( B,(P) \right) \leq \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} + \frac{4|1 - m + 4n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    \leq \sqrt{72} + 4.\frac{\sqrt{(1 + 1 + 16)\left( 1 + m^{2} + n^{2} \right)}}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 18\sqrt{2}.

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} (5 - 11m + 5n)(1 - m + 4n) > 0 \\ \frac{1}{1} = \frac{m}{- 1} = \frac{n}{4} \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow m = - 1,n = 4.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
82 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này