Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Nhận biết

    Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ 2\sqrt{3}cho đường thẳng d có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?

    Cách 1:

    \Delta đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (1; - 3;5)

    Vậy phương trình chính tắc của Oxyz là \Delta

    Cách 2:

    A( - 2;2;1)

    Vậy phương trình chính tắc của B là \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{5}

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 2y - z + 1 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P): 3x + 2y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(3;2; - 1)

  • Câu 3: Vận dụng

    Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

    Khoảng cánh giữa hai đường thẳng : {(d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. và  ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. là:

     Chuyển d1 về dạng tham số :({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = - 4 - 2t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có A(0,0, - 4) \in ({d_1}) và 1 vectơ chỉ phương của (d1): \overrightarrow a = (1, - 1, - 2).

    Chuyển (d2) về dạng tham số : ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 3t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có B( - 5,2,0) \in ({d_2}) và 1 vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b (3, - 1,1).

    Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:

    d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} } ight|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight]} ight|}} = \frac{9}{{\sqrt {62} }}

    .

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

    \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2t \\ z = 14 - 3t \\ \end{matrix} \right. và \Delta':\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 4t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} \right.. Xác định góc giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta'.

    Đường thẳng \Delta có VTCP \overrightarrow{u} = (1; - 2; - 3), \Delta' có VTCP \overrightarrow{u'} = ( - 4;1;5).

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta'.

    Ta có \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right) \right|

    = \frac{\left| 1.( - 4) + ( - 2).1 + ( - 3).5 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{( - 4)^{2} + 1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \rightarrow \varphi = 30^{0}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Khi đó ta có

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Do đó \alpha = 60^{0}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính bán kính r của đường tròn

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A( - 3;1;1),\ \ B(1; - 1;5) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z + 11 = 0. Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết C thuộc một đường tròn (T) cố định. Tính bán kính r của đường tròn (T).

    Ta có \overrightarrow{AB} = (4; - 2;4) = 2(2; - 1;2) = 2\overrightarrow{n_{P}} nên AB vuông góc với (P).

    Gọi D là giao điểm của AB và (P), theo tính chất cát tuyến và tiếp tuyến, ta có : DC^{2} = DA.DB không đổi, do đó r = DC = \sqrt{DA.DB}.

    Với DA = d\left( A,(P) \right) = 2,DB = d\left( B,(P) \right) = 8, suy ra r = \sqrt{2.8} = 4.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

  • Câu 8: Vận dụng

    Tính tổng P

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7). Biết điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P = x + y + z.

    Vì M ∈ (Oxy) nên M(x;y;0).

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có G(2; 1; 3).

    Khi đó:

    \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|

    = \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9

    Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

    Vậy P = 3

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìmđiểm M thuộc (P) thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( - 3;0;0), B(0;0;3), C(0; - 3;0) và mặt phẳng (P):x + y + z - 3 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} \right| nhỏ nhất.

    Gọi I( - 3;3;3) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Ta có \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} \right| = MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Mặt khác ta có I thuộc (P) nên M trùng I.

  • Câu 10: Vận dụng

    Xác định tan góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC. là tứ diện đều cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA';BB'. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CMN).

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là trung điểm của AB

    Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight). Dễ thấy (ABC) có VTTP \overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)

    M là trung điểm AA′\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    N là trung điểm BB′ \Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Suy ra (CMN) có VTTP \overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)

    \cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 4y - 4z - 12 = 0. Gọi A là giao điểm của (S) và trục y'Oy có tung độ âm. Viết phương trình tổng quát của tiếp diện (Q) của (S) tại A.

    Giao điểm của (S) và trục y'Oy:x = 0;\ \ z = 0 \Rightarrow y^{2} - 4y - 12 = 0

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 2 \\ y = 6 \\ \end{matrix} \right. (loại) \Rightarrow A(0, - 2,0) \Rightarrow \overrightarrow{AI} = (3,4,2)

    Tiếp diện (Q)\bot AI tại A \Rightarrow (Q):3x + 4(y + 2) + 2z = 0

    \Rightarrow (Q):3x + 4y + 2z + 8 = 0

  • Câu 12: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (∗)

    Vì OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 = 0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Phương trình tổng quát

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.

    (AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận \overrightarrow {AC} = 2\left( {1, - 2,4} ight) làm 1 VTCP.

    (AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:

    \begin{array}{l}x - 3 = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{4}\\ \Rightarrow PTTQ\,\,\,(AC):\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\4x - z - 7 = 0\end{array} ight. \vee \left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\2y + z - 1 = 0\end{array} ight.\end{array}

     

  • Câu 14: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2;2) là một vectơ pháp tuyến của (P). Đúng||Sai

    b) Điểm M(0;4;4) thuộc \Delta. Đúng||Sai

    c) Góc giữa \Delta và (P) bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    d) Đường thẳng d đi qua điểm M(0;4;4), song song với (P) và tạo với \Delta một góc 45^{0} có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2;2) là một vectơ pháp tuyến của (P). Đúng||Sai

    b) Điểm M(0;4;4) thuộc \Delta. Đúng||Sai

    c) Góc giữa \Delta và (P) bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    d) Đường thẳng d đi qua điểm M(0;4;4), song song với (P) và tạo với \Delta một góc 45^{0} có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Đúng

    Phương án a) đúng: Từ phương trình của (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 ta có \overrightarrow{n} = (1; - 2;2) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Phương án b) đúng: Từ phương trình của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right. cho t = 1 ta được \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 4 \\ z = 4 \end{matrix} \right..

    Do đó M(0;4;4) \in \Delta.

    Phương án c) sai:

    Ta có \sin\left( \Delta;(P) \right) =\frac{\left| ( - 1).1 + 1.( - 2) + 0.2 \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 1^{2}+ 1^{2}}.\sqrt{1^2 + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}. Do đó \left( \Delta;(P) \right) = 45^{0}

    Phương án d) đúng: Gọi \overrightarrow{u} = (a;b;c) (với a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0) là một VTCP của d.

    Do d//(P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0

    \Rightarrow a - 2b + 2c = 0 \Rightarrow 2c = 2b - a(*)

    Hơn nữa \left( d;(P) \right) = 45^{0} nên \cos\left( d;(P) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{| - a + b|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow |b - a| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow (b - a)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow c^{2} = - 2ab \Leftrightarrow (2c)^{2} = - 8ab

    Thay (*) vào ta được

    \Leftrightarrow (2b - a)^2 = - 8ab\Leftrightarrow (2b + a)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = - 2b.

    Thay vào (*) ta được c = 2b.

    Do đó \overrightarrow{u} = ( - 2b;b;2b) (với b \neq 0).

    Suy ra \overrightarrow{u_{1}} = \frac{1}{b}\overrightarrow{u} = ( - 2;1;2) cũng là một VTCP của d.

    Hơn nữa d đi qua điểm M(0;4;4) nên d có phương trình là \frac{x}{- 2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 4}{2}.

    Do đó ta có N(2;3;2) \in d nên \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} =\frac{z- 2}{2} cũng là phương trình của d.

    (Có thể kiểm tra tính đúng, sai của d) bằng cách sử dụng phương trình \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} =\frac{z - 2}{2 } để kiểm tra thỏa mãn giả thiết M(0;4;4) \in d;d//(P) và \left( d;(P) \right) = 45^{0}).

  • Câu 15: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + z - 3 = 0 và điểm A(1;2;0). Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P).

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 2;1) nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{n} = (1; - 2;1).

    Vậy phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}

  • Câu 16: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

    Đường thẳng Oy đi qua điểm A(0\ ;\ 2\ ;\ 0) và nhận vectơ đơn vị \overrightarrow{j} = (0;\ 1;\ 0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 0.t \\ y = 2 + 1.t \\ z = 0 + 0.t \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 17: Nhận biết

    Mệnh đề đúng

    Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Mệnh đề đúng

    Vì I là hình chiếu của O trên (P) nên  d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI mà d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R nên I là tiếp điểm của (P) và (S).

    Đường thẳng OM cắt (P) tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

    Suy ra IN tiếp xúc với (S).

    Tam giác OIN vuông tại I nên ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( - 4; - 2;4) và đường thẳng d:\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{4}. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

    Gọi B\left( x_{B};y_{B};z_{B} \right) là giao điểm của (d) với (\Delta). Khi đó, ta có:

    \frac{x_{B} + 3}{2} = \frac{y_{B} - 1}{- 1} = \frac{z_{B} + 1}{4} = k

    \Rightarrow B(2k - 3; - k + 1;4k - 1)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2k + 1; - k + 3:4k - 5);\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 1;4)

    AB\bot(d) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d}} = 0

    \Leftrightarrow 2(2k + 1) - ( - k + 3) + 4.(4k - 5) = 0

    \Leftrightarrow k = \frac{21}{21} = 1 \Rightarrow B( - 1;0;3);(3;2; - 1)

    Phương trình (\Delta) chính là phương trình AB và là:

    \Delta:\frac{x + 4}{3} = \frac{y + 2}{2} + \frac{z - 4}{- 1}

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I( - 1;4;2) và có thể tích bằng \frac{256\pi}{3}. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:

    Thể tích mặt cầu là: V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I có bán kính R = 4 là: (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16

  • Câu 20: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; - 1; - 3) và mặt phẳng (P):3x - 2y + 4z - 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là:

    Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (3; - 2;4)

    Phương trình mặt phẳng (Q) là:

    3(x - 2) - 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm số đo góc ABC

    Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1;2;4),B( - 1;1;4),C(0;0;4). Tìm số đo của \widehat{ABC}.

    Ta có:

    A( - 1;2;4),B( - 1;1;4),C(0;0;4)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (0; - 1;0);\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)

    \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{BC} \right|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow 180{^\circ} - ABC = 45{^\circ} \Rightarrow ABC = 135{^\circ}

  • Câu 22: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 5}{2} có một vectơ chỉ phương là:

    Đường thẳng (P) có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)

  • Câu 23: Vận dụng

    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 4y + z + 1 = 0 và hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 5; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là

    Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;b;c)

    Phương trình đường thẳng d có dạng \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đường thẳng d k (P) nên 1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1.

    Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

    d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}

    Xét hàm số f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2} có

    f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại b = \frac{1}{2}

    Khi đó \overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight), chọn \overrightarrow{u} = (2;1;2).

    Phương trình đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2} hay \frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Xác định đường kính mặt cầu

    Đường kính của mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 4 bằng:

    Mặt cầu (S) có bán kính R = 2 suy ra đường kính có độ dài: 2R = 4.

    Đường kính của mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 4 bằng: 4.

  • Câu 25: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) là - x + 3z - 2 = 0 có phương trình song song với:

    Mặt phẳng (P) là - x + 3z - 2 = 0 có phương trình song song với trục Oy.

  • Câu 26: Vận dụng

    Chọn đáp án thích hợp

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

    (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\cos t - 4\sin ty + 6z\cos 2t - 3 = 0, t\mathbb{\in R}.

    Ta có:

    a = 3cost;b = 2sint;c = - 3;d = cos2t - 3 = - 2sin^{2}t - 2

    \Rightarrow 9cos^{2}t + 4sin^{2}t + 2sin^{2}t + 11 > 0,\ \ \forall t\mathbb{\in R}

    Tâm I:x = 3cost;y = 2sint;z = - 3

    \Rightarrow \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1;\ \ z + 3 = 0

    Vậy tập hợp các tâm I là elip \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1;z + 3 = 0

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tìm m để hai mặt phẳng song song

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):2x + 3y - z - 1 = 0 và (\beta):4x + 6y - mz - 2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) song song với nhau.

    Mặt phẳng (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = (2;3; - 1)

    Mặt phẳng (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = (4;6; - m)

    Để (\alpha)//(\beta) thì \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{- 1}{- m} eq \frac{- 1}{- 2}

    Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 28: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{3}. Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} có tọa độ là:

    A(2;3;3) đi qua điểm \overrightarrow{AB} = (0; - 1; - 1) và có vectơ chỉ phương \Delta

  • Câu 29: Nhận biết

    Tính số đo góc nhị diện

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Số đo của góc nhị diên\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') \right\rbrack bằng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có góc nhị diên \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack bằng \widehat{DBC} = 45{^\circ}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Chọn kết quả đúng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, gọi α là góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BB'D'D). Tính sinα.

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A \equiv O(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{'}(0;0;a),

    B^{'}(a;0;a),C^{'}(a;a;a),D^{'}(0;a;a)

    Ta thấy OC\bot\left( BB^{'}D^{'}D ight) và \overrightarrow{OC} = (a;a;0) nên suy ra mặt phẳng \left( BB^{'}D^{'}D ight) có một vec tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;1;0.).

    Đường thẳng A^{'}B có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{A^{'}B} = (a;0; - a) ta chọn \overrightarrow{u} = (1;0; - 1).

    Ta có \sin\alpha =\frac{|\overrightarrow{n} \cdot\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{n}| \cdot |\overrightarrow{u}|}=\frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} +0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 0^{2} + ( - 1)^{2}}} =\frac{1}{2}.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t - 1 \\ z = t + 2 \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 2z - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với (\alpha) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

    Gọi \Delta = (\alpha) \cap (P);A = d \cap (\alpha);B \in d(B \neq A); H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha); K là hình chiếu của H lên \Delta.

    Suy ra: \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) = \widehat{BAH} cố định; \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) = \widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geq \widehat{BAH} (vì HK \leq HA) \Rightarrow \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) \leq \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right).

    Suy ra \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) nhỏ nhất bằng \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) khi K \equiv A.

    Khi đó \Delta\bot d và có một VTCP \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = - 3(1;0;1).

    (P) có một VTPT \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = 2( - 1;1;1).

  • Câu 32: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

    Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là: x + y - 1 + 2(z - 1) = 0 hay (P):x + y + 2z - 3 = 0.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tìm đường kính

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và mặt phẳng (\alpha). Biết khoảng cách từ O đến (\alpha) bằng \frac{R}{2}. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (\alpha) với S\left( {O;R} ight) là một đường tròn có đường kính bằng:

     Tìm đường kính

    Gọi H là hình chiếu của O xuống (\alpha) .

    Ta có d\left[ {O,\left( \alpha ight)} ight] = OH = \frac{R}{2} < R nên (\alpha) cắt S\left( {O;R} ight) theo đường tròn C\left( {H;r} ight).

    Bán kính đường tròn C\left( {H;r} ight) là r = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Suy ra đường kính bằng R\sqrt 3.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giácABC cóA(1,2, - 1),B( - 2,1,0),C(2,3,2). Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (OGB) bằng bao nhiêu?

    Do G là trọng tâm tam giác \Delta ABC \Rightarrow G\left( \frac{1}{3},2,\frac{1}{3} \right)

    Gọi \overrightarrow{n} là một vtpt của mặt phẳng (OGB)

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = \overrightarrow{OG} \land \overrightarrow{OB} = \left( - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3},\frac{13}{3} \right)

    Phương trình mặt phẳng:

    (OGB):x + 2y - 13z = 0 \Rightarrow d\left( A,(OGB) \right) = \frac{3\sqrt{174}}{29}

  • Câu 35: Vận dụng

    Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Gọi (P) là tiếp điểm của (S) tại M và (Q) là mặt phẳng qua M cắt hình cầu (S) theo hình trơn (C) có diện tích bằng \frac{1}{2} diện tích hình trơn lớn của (S). Tính góc tạo bởi (P) và (Q).

    Diện tích thiết diện r^{2}\pi = \frac{\pi R^{2}}{2}

    \Leftrightarrow \left( R^{2} - IH^{2} \right)\pi = \frac{\pi R^{2}}{2} \Leftrightarrow IH = \frac{R\sqrt{2}}{2}

    \overrightarrow{IM}\bot(P);\ \ \overrightarrow{IH}\bot(Q) \Rightarrow \overrightarrow{MIH} = \alpha

    Là góc tạ bởi (P) và (Q)

    \Rightarrow \cos\alpha = \frac{IH}{IM} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^{o}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu

    Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1,2, - 3) tiếp xúc với mặt phẳng (P):4x - 2y + 4z - 3 = 0.

    Bán kính R = d(I,P) = \frac{5}{2}

    \Rightarrow (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = \frac{25}{4}

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + \frac{31}{4} = 0

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Tính tổng b và c

    Trong không gian Oxyz cho tứ diện với điểm A(1;2;2),B( - 1;2; - 1),C(1;6; - 1) và D( - 1;6;2). Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có một vectơ pháp tuyến là ( - 1;b;c). Tổng b + c là

    Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

    (ABC): 6x - 3y - 4z + 8 = 0

    (BCD):6x - 3y + 4z + 16 = 0

    (CDA):6x + 3y + 4z - 20 = 0

    (ABD):6x + 3y - 4z - 4 = 0

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện DABC

    Do đó:

    I nằm cùng phái với A đối với (DBC) suy ra: 6a' - 3b' + 4c' + 16 > 0.

    I nằm cùng phía với B đối với (DAC) suy ra: 6a' + 3b' + 4c' + 20 < 0.

    I nằm cùng phía với C đối với (DAB) suy ra: 6a' + 3b' - 4c' - 4 > 0.

    I nằm cùng phía với D đối với (ABC) suy ra: 6a' - 3b' - 4c' + 8 < 0.

    Suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DAC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DBC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(ABC) \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' + 3b' + 4c' - 20| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' + 4c' + 16| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' - 4c' + 8| \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' + 3b' + 4c' - 20 \right) \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = 6a' - 3b' + 4c' + 16 \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' - 3b' - 4c' + 8 \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 0 \\ b' = 4 \\ c' = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.

    Suy ra: I\left( 0;4;\frac{1}{2} \right),\overrightarrow{BI} = \left( 1;2;\frac{3}{1} \right),\overrightarrow{BC} = (2;4;0)

    \left\lbrack \overrightarrow{BI},\overrightarrow{BC} \right\rbrack = ( - 3;3;0)cùng phương với \overrightarrow{n} = ( - 1;1;0).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \overrightarrow{n} = ( - 1;1;0) = ( - 1;b;c).

    Vậy b + c = 1.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tính cosin giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}và hai điểm A(1;1; - 2), B( - 1;0;2). Gọi \Delta_{1} đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới \Delta_{1} là nhỏ nhất và \Delta_{2} là đường thẳng qua A, cắt d sao cho khoảng cách từ B tới \Delta_{2} là nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2}.

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P).

    Khi đó, đường thẳng \Delta_{1} đi qua A và H thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có: (P):x + 2y - z - 5 = 0 và H\left( \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{2}{3} \right). \Delta_{1}có một VTCP: \overrightarrow{u_{1}} = 3\overrightarrow{AH} = ( - 2;5;8)

    Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (Q).

    Khi đó, đường thẳng \Delta_{2} đi qua A và K thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có: (Q):x + z + 1 = 0 và K( - 2;0;1). \Delta_{2} có một VTCP: \overrightarrow{u_{2}} = \overrightarrow{AK} = ( - 3; - 1;3)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{25\sqrt{1767}}{1767}

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0;0;0),D(2;0;0),B(0;4;0),S(0;0;4). Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (CDM).

    Hình vẽ minh họa:

    Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên \left\{ \begin{matrix} x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} \\ y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D} \\ z_{A} + z_{C} = z_{B} + z_{D} \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 2 \\ y_{C} = 4 \\ z_{C} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow C(2;4;0).

    M là trung điểm của SB \Rightarrow M(0;2;2).

    Viết phương trình mặt phẳng (CDM):

    \overrightarrow{CD} = (0; - 4;0), \overrightarrow{CM} = ( - 2; - 2;2) \Rightarrow \overrightarrow{CD} \land \overrightarrow{CM} = ( - 8;0; - 8).

    (CDM) có một véc tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;0;1).

    Suy ra (CDM) có phương trình: x + z - 2 = 0.

    Vậy d\left( B;(CDM) \right) = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc O và các giao điểm của mặt phẳng (P):\ \ \ 2x + y - 3z + 6 = 0 với ba trục tọa độ.

    (P) cắt ba trục Ox,Oy,\ Oz tại A( - 3,0,0);B(0, - 6,0),C(0,0,2)

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\ \ qua\ O,\ A,\ B,\ C, nên:

    d = 0;\ \ 9 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{3}{2};\ \ 36 + 12b = 0

    \Leftrightarrow b = - 3;\ \ 4 - 4c = 0 \Leftrightarrow c = 1

    Vậy (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3x + 6y - 2z = 0

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
109 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này