Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Chọn phương án thích hợp
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm
nhận đường thẳng (D):
làm tiếp tuyến.
qua
có vecto chỉ phương
Định m để đường thẳng và mặt phẳng song song
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, tìm tất cả giá trị tham số
để đường thẳng
song song với mặt phẳng
.
Ta có:
qua điểm
và có VTCP là
(P) có VTPT là
Vì d // (P) nên
Với (loại).
Với (thỏa mãn).
Tính số đo góc nhị diện
Cho hình lập phương
. Số đo của góc nhị diên
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có góc nhị diên bằng
.
Tính khoảng cách từ M đến (P)
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
và
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Gọi
Khi đó ta có:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, khi đó:
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
cắt đồng thời vuông góc với
?
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc:
Chọn phát biểu đúng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :
và d’:
. Xét các mệnh đề sau:
(I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương ![]()
(II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương ![]()
(III)
và
không cùng phương nên d không song song với d’
(IV) Vì
nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau
Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:
Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai
Tìm tọa độ điểm M và tính chu vi tam giác
Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai điểm
và đường thẳng
. Một điểm
thay đổi trên
sao cho chu vi tam giác
nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác ABM là:
Cách 1. Phương pháp trắc nghiệm
- Kiểm tra thấy chỉ có điểm thuộc
nên lại phương án
- Với tính chi vi tam giác
suy ra chọn D.
Cách 2.
- Lấy điểm thuộc
- Tính chu vi tam giác :
(dùng BĐT vectơ)
Dấu bằng xảy ra .
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho hình chóp
đáy là hình thang vuông tại
và
,
. Góc giữa
và mặt phẳng đáy bằng
,
là trung điểm của
,
,
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa

Hình chiếu của trên mặt phẳng
là
Góc giữa
và mặt đáy là góc giữa
và
và bằng góc
.
Tam giác vuông cân tại
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: ,
,
,
,
,
.
,
mặt phẳng
có véctơ pháp tuyến
.
Vậy .
Chọn phương trình mặt cầu thích hợp
Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là ![]()
Phương trình mặt cầu có dạng
với
, có tâm
, bán kính
.
Vậy phương trình mặt cầu thích hợp là:
Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng
bán kính của mặt cầu (S) có giá trị nhỏ nhất là
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB nên H(2; 3; 1). Vecto .
Mặt cầu đi qua A, B có tâm M thuộc mặt phẳng (Q)
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
qua H và có vecto pháp tuyến có phương trình
.
Do tâm M của mặt cầu cũng thuộc (P) nên M thuộc đường thẳng (d) là giao của (P) và (Q) có vectơ chỉ phương và qua
.
Gọi d là khoảng cách từ H đến (d), ,
.
Ta có . Nhận thấy HB không đổi, R nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, MH nhỏ nhất khi M trùng I, lúc đó
. (I là hình chiếu vuông góc của H lên (d))
Vậy .
Chọn phương án đúng
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu
![]()
; ![]()
Ta có:
Tâm
đường thẳng:
là mặt cầu
Vậy tập hợp các tâm O là phần đường thẳng tương ứng với
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
. Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
và song song với d là
d có vectơ chỉ phương
Vì song song với
nên
có vectơ chỉ phương
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là
Tính góc giữa hai đường thẳng
Tính góc của hai đường thẳng
và
.
và
có vectơ chỉ phương
Chọn đáp án đúng
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
qua
và song song với đường thẳng ![]()
Một vecto chỉ phương của
Phương trình chính tắc của
Tìm tọa độ điểm I
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
và
, biết đường thẳng d' có phương trình 
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại
sao cho độ dài
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng
.
Giả sử với
.
Phương trình mặt phẳng có dạng
Ta có đi qua điểm
nên ta có
(∗)
Vì theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên
.
Thay vào (∗), ta được
Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là hay
.
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian
, cho đường thẳng
, một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng có tọa độ
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:
Khẳng định đúng là: “”
Tính tổng các phần tử của tập S
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
. Gọi
là tập hợp tất cả các số
sao cho
chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
. Tính tổng tất cả các phần tử của
.
Vectơ chỉ phương của là
Khi đó: .
Gọi là mặt phẳng chứa
song song với
.
Tức là, qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình
Xét điểm . Do
chéo nhau nên
.
Lại có:
Vậy tổng các phần tử của S là .
Định phương trình mặt cầu
Cho tứ diện ABCD có
. Viết phương trình mặt cầu
nội tiếp tứ diện.
Ta có:
Tứ diện ABCD đều.
tiếp xúc với bốn mặt của tứ diện tại trọng tâm của mỗi mặt.
Trọng tâm G của tam giác đều ACD: tâm của
Bán kính của
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Xét tính đúng sai của các mệnh đề
Trong không gian
, cho mặt cầu
có phương trình:
. Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây?
a) Bán kính nhỏ nhất của
là
. Sai||Đúng
b) Với
thì mặt phẳng
tiếp xúc với
. Sai||Đúng
c) Với
thì
cắt
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
.Đúng||Sai
d) Có
giá trị nguyên của tham số
để đường thẳng
cắt
tại 2 điểm phân biệt. Sai||Đúng
Trong không gian
, cho mặt cầu
có phương trình:
. Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây?
a) Bán kính nhỏ nhất của
là
. Sai||Đúng
b) Với
thì mặt phẳng
tiếp xúc với
. Sai||Đúng
c) Với
thì
cắt
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
.Đúng||Sai
d) Có
giá trị nguyên của tham số
để đường thẳng
cắt
tại 2 điểm phân biệt. Sai||Đúng
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
a) Với mọi giá trị , ta có:
Vậy
b) tiếp xúc với
.
c) Với , mặt cầu
có tâm
, bán kính
.

Ta có:
Khi đó, cắt
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:
d) Phương trình tham số của .
Từ phương trình của và
ta có phương trình
Để cắt
tại
điểm phân biệt thì phương trình
có
nghiệm phân biệt
.
Vậy có vô số giá trị nguyên thỏa mãn.
Định phương trình mặt phẳng ABC
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
,
,
. Phương trình mặt phẳng
là:
Phương pháp tự luận
,
qua
và có vectơ pháp tuyến
Phương pháp trắc nghiệm
Sử dụng MTBT tính tích có hướng.
Hoặc thay tọa độ cả 3 điểm A, B, C vào mặt phẳng xem có thỏa hay không?
Xác định số phương trình mặt cầu
Cho các phương trình sau:
![]()
![]()
Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
Ta có:
là phương trình của một mặt cầu.
Có tất cả 3 phương trình mặt cầu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ
xuống mặt phẳng
, số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Vì là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Gọi là số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
, ta có:
Chọn phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
có dạng:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Tính khoảng cách từ O đến (P)
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa
sao cho khoảng cách từ điểm
đến
là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến
bằng:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.
Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.
Ta tìm được .
Xác định phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện
Phương trình mặt cầu có tâm
và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:
Gọi H là hình chiếu của trên Ox
Vậy phương trình mặt cầu là:
Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa
và vuông góc với mặt phẳng
. Tìm phương trình mặt phẳng
.
Ta có
Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
Do đó .
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Xét sự đúng sai của các khẳng định
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
.
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Sai||Đúng
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
.
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Sai||Đúng
a) nên mệnh đề sai
b) nên mệnh đề đúng
c) mệnh đề đúng
d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho hai điểm
. Mặt phẳng đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng
.
Do (α) vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là
Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:
Tìm điểm không thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
hệ vô nghiệm nên
.
Thay vào
ta được:
Tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trong không gian
, hai đường thẳng
và
tạo với nhau góc
, giá trị của tham số m bằng
Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là
và
.
Theo công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng thì với
.
Từ giả thiết suy ra
Tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
và
vuông góc với đáy
. Tính
, với
là góc tạo bởi giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Cách 1: Hình vẽ minh họa

Vẽ
Lúc đó
Gọi lần lượt là trung điểm
lúc đó ta có:
Hình chiếu của trên
chính là
Ta có
Cách 2: Hình vẽ

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, ta có
, ,
,
.
Ta có , nên đường thẳng
có vectơ chỉ phương là
.
Ta có ,
.
Như vậy, mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến là
.
Do đó, là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC) thì
.
Tính tổng?
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Giả sử là điểm thỏa mãn
.
Khi đó ,
,
;
;
;
(vì
)
Vì I cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên
.
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với
Phương trình đường thẳng .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: