Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A( - 2;\ \ \ 2;\ \ \ 3);\ B(1;\ \ - \ 1;\ \ 3);\ C(3;\ \ \ 1;\ \ - 1). Điểm M\ \in \ (P):\ x + 2z - 8 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = 2MA^{2} + MB^{2}\ + \ 3MC^{2} nhỏ nhất. Khi đó điểm M cách (Q):\ - x + 2y - 2z - 6 = 0 một khoảng bằng

    Gọi I(1;1;1) là điểm thỏa mãn 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}. Ta tìm M là hình chiếu của I trên(P).

    Ghi - \frac{x + 0y + 2z - 8}{5} CALC (nhập tọa độ I) 1 = 1 = 1 = \ \ = STO M.

    Ghi \frac{| - x + 2y - 2z - 6|}{3} CALC nhập M + x = 0M + y = 2M + z = \ \ = kết quả 4.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho điểm I(1;7;5)và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z}{3}. Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2\sqrt{6015} là:

    Gọi H là hình chiếu của I(1;7;5) trên d

    \Rightarrow H(0;0; - 4) \Rightarrow IH =d(I;\ d) = 2\sqrt{3}

    S_{\Delta AIB} = \frac{IH.AB}{2} \Rightarrow AB = \frac{2S_{\Delta AIB}}{IH} = \sqrt{8020}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 2017

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y - 7)^{2} + (z - 5)^{2} = 2017.

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

  • Câu 4: Nhận biết

    Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc \Delta của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; - 2;5) và B(3;1;1)?

    \Deltađi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (2;3; - 4)

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 5}{- 4}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Chọn khẳng định đúng

    Cho A(1; - 1;0) và (P):2x - 2y + z - 1 = 0. Điểm M(a;b;c) \in (P) sao cho MA\bot OA và đoạn AM bằng 3 lần khoảng cách từ A đến (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3.

  • Câu 6: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Cho A( - 1;2;1) và hai mặt phẳng (P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0. Khi đó:

    Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

    Vì {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)} nên (Q)//(P).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Khi đó ta có

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Do đó \alpha = 60^{0}

  • Câu 8: Vận dụng

    Tìm tọa độ giao điểm theo yêu cầu

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).

    Ta có:

    \overrightarrow{AI} = 2(4, - 1, - 2)\Rightarrow AI:x = 2 + 4t;y = - 3 - t;z = - 1 - 2t,\ \ t\mathbb{\in R}

    AI cắt (S) \Rightarrow(2 + 4t)^{2} + (3 + t)^{2} + (1 + 2t)^{2}- 4(2 + 4t) + 6( - 3 - t) + 2( - 1 - 2t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 21t^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{4\sqrt{21}}{21}

    \Rightarrow Hai giao điểm \left( 2 \pm \frac{16\sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{4\sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{8\sqrt{21}}{21} \right)

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính góc giữa (P) và trục Ox

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 10: Vận dụng

    Xác định phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1; - 2),B(4; - 1;1),C(0; - 3;1). Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là

    Gọi G là trọng tâm ABC, ta có G(2 ; -1 ; 0)

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    \overrightarrow{AB} = (2; - 2;3)

    \overrightarrow{AC} = ( - 2; - 4;3)

    d\bot(ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot AB \\ d\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {\overrightarrow{a}}_{d}\bot\overrightarrow{AB} \\ {\overrightarrow{a}}_{d}\bot\overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow {\overrightarrow{a}}_{d} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (6; - 12; - 12) = 6(1; - 2; - 2)

    d đi qua G(2; - 1;0) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}} = (1; - 2; - 2)

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc O và các giao điểm của mặt phẳng (P):\ \ \ 2x + y - 3z + 6 = 0 với ba trục tọa độ.

    (P) cắt ba trục Ox,Oy,\ Oz tại A( - 3,0,0);B(0, - 6,0),C(0,0,2)

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\ \ qua\ O,\ A,\ B,\ C, nên:

    d = 0;\ \ 9 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{3}{2};\ \ 36 + 12b = 0

    \Leftrightarrow b = - 3;\ \ 4 - 4c = 0 \Leftrightarrow c = 1

    Vậy (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3x + 6y - 2z = 0

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tính khoảng cách lớn nhất

    Trong không gian Oxyz, , cho hai mặt cầu (S_1), (S_2) có phương trình lần lượt là (x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16 và (x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S_1), (S_2). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S1) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính R_1 = 4.

    Mặt cầu (S2) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính R_2 = 2.

    Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S1), (S2) với mặt phẳng (P).

    Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

    \frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2

    Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

    Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight) khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

    a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}

    \Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)

    Mặt khác d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

    \left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)

    Từ (1) và (3) ta có: \left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)

    Từ (2) và (4) suy ra:

    \frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}

    Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng \frac{9 + \sqrt{15}}{2}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;6; - 7);B(3;2;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

    Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 4;8)

    Suy ra một vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;4)

    Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên

    (P):(x - 2) - 2(y - 4) + 4(z + 3) = 0

    \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(2; - 4; - 1) tới đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} \right.bằng

    Đường thẳng \Delta đi qua N(0;2;3), có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1;2)

    \overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4);\ \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack = (16;8; - 4).

    d(M,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Chọn kết luận đúng?

    Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là

    Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương \overrightarrow{i} = (1;0;0) nên có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1} và mặt phẳng (\alpha):3x + 4y + 5z + 8 = 0. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (d) có số đo là:

    Đường thẳng d có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (2;1;1). Mặt phẳng (\alpha) có VTPT \overrightarrow{n_{\alpha}} = (3;4;5).

    Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (\alpha).

    Ta có \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{u_{d}} \right) \right| = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi = 60^{0}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính tổng hai ẩn số a và b

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Nhận biết

    Hai đường thẳng chéo nhau

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0

    Suy ra (D) và (d) chéo nhau.

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm tọa độ tâm mặt cầu (S)

    Mặt cầu (S):(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x có tâm là:

    Biến đổi (x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 1 = 0.

    Vậy mặt cầu có tâm I( - 2;0;0).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm m để hai mặt phẳng vuông góc

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - my + z - 1 = 0;(m \in R), mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; - 3;1). Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1; - 3;1) \\ \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; - 3;1)⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1;3)

    Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - m;1)

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 0.1 + 1.( - m) + 1.3 = 0 \Leftrightarrow m = 3

  • Câu 22: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x + y + z - 2 = 0. Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) là:

    Phương mặt cầu (S) có dạng: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0, ta có :

    \left\{ \begin{matrix} A(2;0;1) \in (S) \\ B(1;0;0) \in (S) \\ C(1;1;1) \in (S) \\ I \in (P) \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4A - 2C + D = - 5\ \ \ \ \ (1) \\ - 2A + D = - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ - 2A - 2B - 2C + D = - 3\ \ \ \ \ (3) \\ A + B + C = 2\ \ \ \ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.

    Lấy (1) - (2); (2) - (3); kết hợp (4) ta được hệ:

    \left\{ \begin{matrix} - 2A - 2C = - 4 \\ 2B + 2C = 2 \\ A + B + C = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = 0 \Rightarrow \\ C = 1 \\ \end{matrix} \right.\ D = 1

    Vậy phương trình mặt cầu là : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z + 1 = 0.

    Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay thay ngay tọa độ tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình mặt phẳng (P) để loại ngay được các đáp án có tọa độ tâm không thuộc mặt phẳng (P)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; - 1;0),B(1;0; - 2),C(3; - 1; - 1). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC bằng

    Ta có \overrightarrow{AB} = (0;1; - 2),\overrightarrow{BC} = (2; - 1;1)

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC} \right\rbrack = ( - 1; - 4; - 2)

    Khi đó d(A;BC) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{BC} \right|} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9. Tính bán kính R của (S)?

    Bán kính mặt cầu là: R = \sqrt{9} = 3

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Tính góc của hai đường thẳng (D):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{4} và

    (d):x = 3 + 2t;y = 2t - 4; z = 2 \left( t\mathbb{\in R} \right).

    (D) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (2,4,4);\overrightarrow{b} = (2,2,0)

    \Rightarrow \cos\alpha = \frac{|2.2 + 4.2 + 4.0|}{6.2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^{0}

  • Câu 26: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.và (P): - x + 2y + 2z + 5 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( - 1;0; - 1) cắt đường thẳng \Delta_{1} và tạo với đường thẳng \Delta_{2} một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (a;b;c). Tính tổng a + 2b - 3c?

    Giả sử đường thẳng dcắt đường thẳng \Delta_{1} tại B, ta có: B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t) \in \Delta_{1}.

    Đường thẳng dcó VTCP là: \overrightarrow{AB} = (2t + 2;t + 2; - t - 1), mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n} = ( - 1;2;2).

    Gọi \varphi là góc giữa d và \Delta_{2}, ta có:

    \sin\varphi = \frac{| - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{|2t|}{3\sqrt{6t^{2} + 14t + 9}} \geq 0

    \Rightarrow d tạo với đường thẳng \Delta_{2} một góc \varphi nhỏ nhất khi \varphi = 0{^\circ}hay \sin\varphi = 0 \Rightarrow t = 0.

    Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A( - 1;0; - 1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (2;2; - 1).

    Vậy a = 2,b = 2,c = - 1

    \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.( - 1) = 9

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;1;4) và cắt 3 tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại 3 điểm A,B,C sao cho OB = 4OC. Khi V_{OABC} nhỏ nhất, mặt phẳng (P) có phương trình: ax + by + cz - 1 = 0. Tính \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1, với m,n,p > 0,n = 4p.Hay ta viết lại (P): \frac{x}{m} + \frac{y}{4p} + \frac{z}{p} = 1, mà mp(P) đi qua M nên \frac{2}{m} + \frac{1}{4p} + \frac{4}{p} = 1.

    Ta có:

    1 = \frac{2}{m} + \frac{17}{8p} + \frac{17}{8p} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2.17.17}{m.64p^{2}}} \Rightarrow \frac{1}{6}m.4p^{2} \geq \frac{1}{6.16}.27.2.17.17

    Suy ra \min V_{OABC} = \frac{1}{6}.4mp^{2} = \frac{2601}{16} khi \frac{2}{m} = \frac{17}{8p} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = 6,p = \frac{51}{8}.

    Suy ra \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = m + n + p = m + 5p = 6 + \frac{255}{8} = \frac{303}{8}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \overrightarrow{u} = (2; - 3;5)

  • Câu 29: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn \frac{MA}{MB} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Theo bài ra ta có:

    2MA = \sqrt{3}MB \Leftrightarrow 4MA^{2} = 3MB^{2}

    \Leftrightarrow 4\left\lbrack (2 - x)^{2} + ( - 3 - y)^{2} + ( - 1 - z)^{2} \right\rbrack

    = 3\left\lbrack ( - 4 - x)^{2} + (5 - y)^{2} + ( - 3 - z)^{2} \right\rbrack

    Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} - 40x - 54y - 10z - 94 = 0

  • Câu 30: Nhận biết

    Xác định tâm mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2. Xác định tọa độ tâm của mặt cầu (S)

    Mặt cầu (S)có tâm là I( - 3; - 1;1).

  • Câu 31: Nhận biết

    Tìm điểm không thuộc mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P):x + y + z - 1 = 0?

    Dễ thấy điểm O(0;0;0) không thuộc mặt phẳng (P).

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Xác định số đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, \left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(3; - 1; - 1) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) hay \overrightarrow{n} = (1;1;1) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0).

    Vì \overrightarrow{BA} = (1; - 2;1) cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) không thỏa mãn.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Định phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B( - 2;1;3), C(2; - 1;3) và D(0;3;1). Phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua A,B đồng thời cách đều C,D

    Trường hợp 1:CD \parallel (P)

    \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{CD} = ( - 6; - 10; - 14) = - 2(3;5;7) \Rightarrow (P):3x + 5y + 7z - 20 = 0

    Trường hợp 2:(P) đi qua trung điểm I(1;1;2) của CD

    \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AI} = (1;3;3) \Rightarrow (P):x + 3y + 3z - 10 = 0.

  • Câu 34: Nhận biết

    Chọn đáp án chưa chính xác

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 35: Vận dụng

    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(3;0;0),\ B(0;2;0),\ C(0;0;6) và D(1;1;1). Gọi \Delta là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A,B,C đến \Delta là lớn nhất. Hỏi \Delta đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

    Ta có D(1;1;1) thuộc mặt phẳng (ABC):2x + 3y + z = 6.

    Ta có \max\left( d(A,\Delta) + d(B,\Delta) + d(C,\Delta) \right) = AD + BD + CD. Khi đó \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + 3t \\ z = 1 + t \end{matrix} \right. đi qua điểm M(5;7;3).

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M( - 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2) và \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = 3;AC = 4;AA' = \frac{\sqrt{61}}{2}; hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Gọi M là trung điểm cạnh (ABC) (tham khảo hình vẽ bên dưới).

    Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC') và (A'BC) bằng

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

    O \equiv A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;4;0)

    Gọi N là trung điểm BC\Rightarrow N\left( \frac{3}{2};2;0 \right).

    NB' = \sqrt{BB'^{2} - BN^{2}} = 3 \Leftrightarrow B'\left( \frac{3}{2};2;3 \right)

    \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = - \frac{3}{2} \\ y_{A'} = 2 \Rightarrow A'\left( - \frac{3}{2};2;3 \right) \\ z_{A'} = 3 \end{matrix} \right.

    \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C'} = - \frac{3}{2} \\ y_{C'} - 4 = 2 \Rightarrow C'\left( - \frac{3}{2};6;3 \right) \\ z_{C'} = 3 \end{matrix} \right.

    M là trung điểm A'B' \Rightarrow M(0;2;3).

    \overrightarrow{AM} = (0;2;3),\overrightarrow{AC'} = \left( - \frac{3}{2};6;3 \right)

    \overrightarrow{A'B} = \left( \frac{9}{2}; - 2; - 3 \right),\overrightarrow{A'C} = \left( \frac{3}{2};2; - 3 \right)

    \overrightarrow{n_{(AMC')}} = \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AC'} \right\rbrack = \left( - 12; - \frac{9}{2};3 \right)

    \overrightarrow{n_{(A'BC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'C} \right\rbrack = (12;9;12)

    \Rightarrow \cos\left( \widehat{(AMC');(A'BC)} \right) = \cos\left( \overrightarrow{n_{(AMC')}};\overrightarrow{n_{(A'BC)}} \right)

    = \frac{\left|\overrightarrow{n_{(AMC')}}.\overrightarrow{n_{(A'BC)}}\right|}{\left| \overrightarrow{n_{(AMC')}} \right|.\left|\overrightarrow{n_{(A'BC)}} \right|} =\frac{33}{\sqrt{3157}}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho hai mặt phẳng (P):x - y - z + 6 = 0; (Q):2x + 3y - 2z + 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn tâm H( - 1;2;3), bán kính r = 8 và cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất. Phương trình mặt cầu (S) là:

    Gọi I là tâm mặt cầu (S), I thuộc (Q) thì (S) cắt (Q) giao tuyến là đường tròn lớn.

    Mặt khác điểm I thuộc đường thẳng d qua H và vuông góc với (P) nên có tọa độ I( - 1 + x;2 - x;3 - x), cho thuộc (Q) suy ra x = 1.

    Suy ra I(0;1;2) và R^{2} = 3x^{2} + r^{2} = 67.

  • Câu 39: Nhận biết

    Xác định tọa độ điểm thuộc mặt cầu

    Mặt cầu (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

    Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu. Tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc mặt cầu.

    Kiểm tra đáp án thu được kết quả là: điểm (4; - 1;0). thuộc mặt cầu đã cho.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Xác định góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳngd_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = - 1 + 4t \\ z = 3t \\ \end{matrix} \right. và d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y + 8}{- 4} = \frac{z + 3}{- 3}. Xác định góc giữa hai đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Đường thẳng d_{1} có VTCP\overrightarrow{u_{1}} = ( - 1;4;3), d_{2} có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 4; - 3) = - \overrightarrow{u_{1}}.

    Vậy góc giữa hai đường thẳng là 0^{0}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
89 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này