Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, nội dung Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Toán 12 kèm hệ thống bài tập đa dạng, bám sát chương trình học. Với cấu trúc đề hợp lý và độ khó phù hợp, tài liệu sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức hình học không gian, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Đây là nguồn tham khảo hữu ích dành cho cả học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2; - 2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho H là trực tâm của \Delta ABC. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC?

    Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

    Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (α) đi qua các điểm A, B, C là

    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Vì H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\ \ (1)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (1 - a;2; - 2);\overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{BH} = (1;2 - b; - 2);\overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.

    Theo đề bài ta có H là trực tâm \Delta ABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2b - 2c = 0 \\ - a - 2c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2c \\ b = - c \\ \end{matrix} ight. thay vào (1) ta được:

    \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- c} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow c = - \frac{9}{2} \Rightarrow a = 9;b = \frac{9}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A(9;0;0) \\B\left( 0;\dfrac{9}{2};0 ight) \\C\left( 0;0; - \dfrac{9}{2} ight) \\\end{matrix} ight.. Gọi I\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}OI = IA \\OI = IB \\OI = IC \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} +{y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + \left( y_{0} -\dfrac{9}{2} ight)^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} +\left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} \\{y_{0}}^{2} = \left( y_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\{z_{0}}^{2} = \left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - x_{0} - 9 \\y_{0} = - y_{0} - \dfrac{9}{2} \\z_{0} = - z_{0} - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = \dfrac{9}{2} \\y_{0} = \dfrac{9}{4} \\z_{0} = - \frac{9}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy I\left( \frac{9}{2};\frac{9}{4}; - \frac{9}{4} ight);R = OI = \frac{9\sqrt{6}}{4}

    \Rightarrow S_{(I)} = 4\pi R^{2} = 4\pi.\left( \frac{9\sqrt{6}}{4} ight)^{2} = \frac{243\pi}{2}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4). Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (ABC)?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)//\overrightarrow{a} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 1;3) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 1;1) là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

    Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

    Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1} có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm tọa độ tâm mặt cầu (S)

    Mặt cầu (S):(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x có tâm là:

    Biến đổi (x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 1 = 0.

    Vậy mặt cầu có tâm I( - 2;0;0).

  • Câu 4: Nhận biết

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(1; - 3;5) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}(2; - 1;1) là:

    Phương trình của đường thẳıg đi qua điểm M(1; - 3;5) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}(2; - 1;1) là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + my + (m - 1)z + 1 = 0 và (Q):x + y + 2z = 0. Tập hợp tất cả các giá trị m để hai mặt phẳng này không song song là:

    Ta có A(0;0;0) \in (Q).

    (P)//(Q) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{m - 1}{2} \\A(0;0;0) otin (P) \\\end{matrix} ight. hệ này vô nghiệm

    Hệ này vô nghiệm.

    Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz bán kính của mặt cầu tâm I(1;3;5) và tiếp xúc với đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} bằng

    Bán kính mặt cầu cần tìm là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1 là:

    Mặt phẳng trên đi qua các điểm A( - 2;0;0),B(0; - 1;0),C(0;0;3)

    Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (2;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;2)

    Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là \overrightarrow{n} = (3;6; - 2).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Khi đó ta có

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Do đó \alpha = 60^{0}

  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định phương trình thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng qua A(2;5;1) và song song với mặt phẳng (Oxy) là:

    Phương pháp tự luận

    Mặt phẳng qua A(2;5;1) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{k} = (0;0;1) có phương trình: z - 1 = 0.

    Phương pháp trắc nghiệm

    Mặt phẳng qua A và song song với (Oxy) có phương trình z = z_{A}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB biết A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)?

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I(1;1; - 2) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; - 1;4), đồng thời vuông góc với giá của vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) có phương trình là:

    Mặt phẳng (P) nhận vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(3; - 1;4) nên có phương trình là1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm bán kính của đường tròn

    Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6{m{cm}} . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4 cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

     Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu S(I;2,6 cm) theo một đường tròn (H;r) .

    Vậy r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2,6} ight)}^2} - {{\left( {2,4} ight)}^2}} = 1{m{cm}}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi (SAC) và (SCD)

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.

    Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

    Xét hệ trục Oxyz có O(0;0;0),M(1;0;0),A\left( 0;\frac{1}{2};0 ight),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} ight)

    Suy ra C\left( 1; - \frac{1}{2};0 ight),D\left( 1;\frac{1}{2};0 ight)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{SA} = \left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{AC} = (1; - 1;0) \\\overrightarrow{SC} = \left( 1;\dfrac{- 1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{CD} = (0;1;0) \\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{SA};\overrightarrow{AC} ightbrack = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2} ight)

    Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{SC};\overrightarrow{CD} ightbrack = \left( \frac{\sqrt{3}}{2};0;1 ight)

    \cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|} = \frac{5}{7}

  • Câu 14: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 2),B(2;2; - 4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có: \overrightarrow{OA} = (0;2; - 2),\overrightarrow{OB} = (2;2; - 4)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 4; - 4; - 4)

    Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = - \frac{1}{4}\left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;1;1) nên có phương trình x + y + z = 0.

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AI} = (a;b - 2;c + 2) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 2;b - 2;c + 4) \\ \overrightarrow{OI} = (a;\ b;\ c) \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết\left\{ \begin{matrix} AI = BI \\ AI = OI \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + (c + 2)^{2} = (a - 2)^{2} + (c + 4)^{2} \\ (b - 2)^{2} + (c + 2)^{2} = b^{2} + c^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - c = 4\ \ \ (1) \\ - b + c = - 2\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt khác I \in (OAB) \Rightarrow a + b + c = 0\ (3)

    Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được a = 2,b = 0,c = - 2.

    Vậy I(2;0; - 2) \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 8.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của A(1;1;1)lên đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} \right..

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;1;1)

    Do H \in d \Rightarrow H(1 + t;1 + t;t).

    Ta có: \overrightarrow{AH} = (t;t;t - 1)

    Do H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d nên suy ra \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow t + t + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( \frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{1}{3} \right)

  • Câu 16: Nhận biết

    Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) là:

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}.

  • Câu 17: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho (P):x + 4y - 2z - 6 = 0 ,(Q):x - 2y + 4z - 6 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (\alpha) chứa giao tuyến của(P),(Q) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều.

    Chọn M(6;0;0),N(2;2;2) thuộc giao tuyến của(P),(Q)

    Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) lần lượt là giao điểm của (\alpha) với các trục Ox,Oy,Oz

    \Rightarrow (\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1(a,b,c \neq 0)

    (\alpha) chứa M,N \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{6}{a} = 1 \\ \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1 \\ \end{matrix} \right.

    Hình chóp O.ABC là hình chóp đều\Rightarrow OA = OB = OC

    \Rightarrow |a| = |b| = |c|

    Vây phương trình x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm bán kính đường tròn

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 2 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(2;1; - 1) bán kính R = 2. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là r

    Ta có:

    h = d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.2 + 2.( - 1) - 1 - 2 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 1

    Suy ra r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}

  • Câu 19: Vận dụng

    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0 \\ x + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    (C) có tâm H và bán kính r bằng:

    Ta có:

    h = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}

    r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{4 - 2} = 2.

    Đường thẳng qua tâm của (S) và vuông góc với mặt phẳng thiết diện có phương trình tham số:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} \right.

    Thế vào phương trình mặt phẳng thiết diện được t = 1 \Rightarrow Tâm H(1,0,1) .

  • Câu 20: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình \frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}. Biết B (a; b; c), khi đó a + b + c bằng

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử đường cao là CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1} ta có vectơ chỉ phương của CH là \overrightarrow {u} = (2; 5; −1).

    B thuộc đường trung tuyến BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5} nên B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t).

    Suy ra \overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)

    Vì CH ⊥ AB nên \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0).

    Vậy a + b + c = 0.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right., \left( d_{2} \right):\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Viết phương trình đường thẳng \left( d_{3} \right):\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1} cắt ba đường thẳng \left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right);\left( d_{3} \right) lần lượt tại các điểm A;B;C sao choAB = BC.

    Ta có: A \in \left( d_{1} \right) \Rightarrow A(a;4 - a; - 1 + 2a).

    B \in \left( d_{2} \right) \Rightarrow B(2b;2 + b;b).

    C \in \left( d_{3} \right) \Rightarrow C( - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c).

    Vì B là trung điểm của AC nên \left\{ \begin{matrix}2b = \dfrac{a - 1 + 5c}{2} \\2 + b = \dfrac{4 - a + 1 + 2c}{2} \\b = \dfrac{- 1 + 2a - 1 + c}{2} \\\end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 4b + 5c = 1 \\ - a - 2b + 2c = - 1 \\ 2a - 2b + c = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ \end{matrix} \right..

    \Rightarrow A(1;3;1),B(0;2;0).

    (d) đi qua điểm B(0;2;0) và có VTCP \overrightarrow{BA} = (1;1;1) có phương trình \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2; - 5),B( - 4;0;7). Viết phương trình (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A?

    Hình vẽ minh họa

    Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm của AB.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1).

    Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A nên (P) đi qua A và nhận \overrightarrow{IA} = (5;1; - 6) làm vectơ pháp tuyến.

    Suy ra (P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0

    \Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0

  • Câu 23: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1} và mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 9 = 0. Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là:

    Gọi A = d \cap (P)

    \begin{matrix} A \in d \Rightarrow A(1 - t; - 3 + 2t;3 + t) \\ A \in (P) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow A(0; - 1;4) \\ \end{matrix}

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = ( - 1;2;1)

    Gọi vecto chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{a_{\Delta}}

    Ta có :

    \left. \ \begin{matrix} \Delta \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{d}} ightbrack = (5;0;5)

    \Delta đi qua điểm A(0; - 1;4) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{\Delta}} = (5;0;5)

    Vậy phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính đường kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6. Đường kính (S) bằng:

    Đường kính của mặt cầu (S) bằng: 2R = 2\sqrt{6}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA = 3a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính \sin\alpha.

    Hình vẽ minh họa

    Dựng hệ trục toạ độ Oxyz với O trùng A, tia Ox cùng hướng với tia BC, tia Oy trùng tia AB, tia Oz trùng với tia AS.

    Ta có A(0;0;0),B(0;a;0),C(2a;a;0),S(0;0;3a) khi đó ta tính được (SAC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0; - 2;0), (SBC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{m} = (0;3;1). Từ đó tính được:

    \cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{m} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{m} ight|} = \frac{3\sqrt{2}}{5} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5) cùng phương với vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5). Vậy \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Một phần sân trường được định vị bởi các điểm A,B,C,D, như hình vẽ.

    Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài AB = 25\ m, AD = 15\ m, BC = 18\ m. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10\ cm, a\ cm, 6\ cmtương ứng. Giá trị của a là số nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O \equiv A, tia Ox \equiv AD; tia Oy \equiv AB.

    Khi đó, A(0;\ 0;\ 0); B(0;\ 2500;\ 0); C(1800;\ 2500;\ 0);D(1500;\ 0;\ 0).

    Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10\ cm, a\ cm, 6\ cm tương ứng ta có các điểm mới B'(0\ ;\ 2500\ ;\ - 10); C'(1800\ ;\ 2500\ ;\ - a);D'(1500\ ;\ 0\ ;\ - 6).

    Theo bài ra có bốn điểm A; B'; C'; D' đồng phẳng.

    Phương trình mặt phẳng (AB'D'):x + y + 250z = 0.

    Do C'(1800\ ;\ \ 2500\ ;\ - a) \in (AB'D') nên có:

    1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17,2.

    Vậy a = 17,2\ cm.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):\ x - 2y - z + 1 = 0, (Q):\ x + y + 2z + 7 = 0. Tính góc giữa hai mặt phẳng đó.

    Ta có:

    \overrightarrow{n_{P}}(1\ ;\ - 2\ ;\ - 1)là một véctơ pháp tuyến của (P).

    \overrightarrow{n_{Q}}(1\ ;\ 1\ ;\ 2)là một véctơ pháp tuyến của (Q).

    Gọi \alphalà góc giữa hai mặt phẳng (P)và (Q) là:

    \cos\alpha = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P}.{\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight|.\left| {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}.

  • Câu 29: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + z - 3 = 0 và điểm A(1;2;0). Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P).

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 2;1) nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{n} = (1; - 2;1).

    Vậy phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}

  • Câu 30: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):ax + by + cz - 1 = 0với c < 0 đi qua 2 điểm A(0;1;0);B(1;0;0) và tạo với (Oyz) một góc 60{^\circ}. Tính tổng a + b + c? (Làm tròn đến hàng phần trăm)?

    Mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B nên ta có: \left\{ \begin{matrix} b - 1 = 0 \\ a - 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow a = b = 1

    Và (P)tạo với (Oyz) một góc 60{^\circ} nên \cos\left( (P);(Oyz) \right) = \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{1}} = \frac{1}{2}\ \ \ \ (*)

    Thay a = b = 1 vào phương trình (*) được: \sqrt{2 + c^{2}} = 2 \Rightarrow c = - \sqrt{2}

    Khi đó: a + b + c = 2 - \sqrt{2} \approx 0,59

  • Câu 31: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 32: Nhận biết

    Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Tính T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c>0. Biết rằng mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) và tiếp xúc với mặt cầu (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}. Tính T=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.

    Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên có phương trình là:

    \frac{x}{a} +\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

    Ta có M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) \in (ABC) nên \frac{1}{a} +\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=\sqrt \frac{72}{7}.

    (ABC) tiếp xúc với  (S)

    \Leftrightarrow d(I, (ABC))=R\Leftrightarrow \dfrac { | \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 |}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7} }

    \Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{7}{2}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Điểm M(2;2; - 3) thuộc đường thẳng (d). Sai||Đúng

    b) Khi t = - 2 đường thẳng (d) đi qua điểm A có tọa độ (12; - 4; - 3). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{u} = ( - 5;2;0) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    d) Điểm N(7; - 2;3) không nằm trên đường thẳng (d). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Điểm M(2;2; - 3) thuộc đường thẳng (d). Sai||Đúng

    b) Khi t = - 2 đường thẳng (d) đi qua điểm A có tọa độ (12; - 4; - 3). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{u} = ( - 5;2;0) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    d) Điểm N(7; - 2;3) không nằm trên đường thẳng (d). Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Đúng

    Phương án a) sai vì:

    Thay M(2;2; - 3) vào đường thẳng (d), ta có \left\{ \begin{matrix} 2 = 2 - 5t \\ 2 = 2t \\ - 3 = - 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow M(2;2; - 3) \notin (d)

    Phương án b) đúng vì:

    Khi thay t = - 2 vào phương trình tham số của (d), ta được:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5.( - 2) \\ y = 2.( - 2) \\ z = - 3 \end{matrix} \right.

    Vậy \Leftrightarrow A(12, - 4, - 3) \in (d)

    Phương án c) đúng vì từ phương trình tham số ta có \overrightarrow{v} = ( - 5;2;0) là một vectơ chỉ phương của (d) và \overrightarrow{v} = ( - 5;2;0) = - ( - 5;2;0) = - \overrightarrow{u} do đó \overrightarrow{u} = ( - 5;2;0) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).

    Phương án d) đúng vì đường thẳng (d) luôn đi qua điểm có cao độ bằng -3, ta có z_{N} = 3 \Rightarrow N \notin (d)

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm m để hai mặt phẳng vuông góc

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - my + z - 1 = 0;(m \in R), mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; - 3;1). Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1; - 3;1) \\ \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; - 3;1)⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1;3)

    Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - m;1)

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 0.1 + 1.( - m) + 1.3 = 0 \Leftrightarrow m = 3

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm điểm thuộc mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1; - 2),B(3;1;1);C( - 2;0;3). Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3;0;3),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1;5) suy ra \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3; - 21; - 3)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm B (3; 1; 1), có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \frac{1}{3}\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (1; - 7; - 1) nên có phương trình là: x - 7y - z + 5 = 0

    Vì 2 - 7.1 - 0 + 5 = 0 nên N(2;1;0) \in (ABC).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tìm biểu thức liên hệ

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x + y + 2z = 0,(Q):x + y + 2z + 2 = 0; (R):x + y + 2z + 1 = 0. Một đường thẳng \Delta thay đổi cắt ba mặt phẳng (P);(Q);(R) lần lượt tại các điểm A;B;C. Tính cosin góc tạo bởi \Delta và mặt phẳng (R) khi biểu thức AB^{2} + \frac{8}{AC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Ba mặt phẳng cùng có véc tơ pháp tuyến là (1;1;2) nên chúng song song với nhau.

    Khi đó ta có d\left( (P);(Q) \right) = \frac{|0 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}; d\left( (P);(R) \right) = \frac{|0 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}; d\left( (Q);(R) \right) = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.

    Dựng đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (P);(Q);(R). Đường thẳng đó cắt mặt phẳng (R);(Q) lần lượt tạiM;N.

    Khi đó ta có AM = \frac{1}{\sqrt{6}};AN = \frac{2}{\sqrt{6}}.

    Xét \Delta CNB có MA//NB nên \frac{AC}{AB} = \frac{AM}{AN} = \frac{1}{2} \Rightarrow AB = 2AC.

    Khi đó:

    AB^{2} + \frac{8}{AC} = AB^{2} + \frac{8}{\frac{AB}{2}} = AB^{2} + \frac{16}{AB}

    = AB^{2} + \frac{8}{AB} + \frac{8}{AB} \geq 3\sqrt[3]{AB^{2}.\frac{8}{AB}.\frac{8}{AB}} = 3.4 = 12.

    Dấu = xảy ra AB^{2} = \frac{8}{AB} \Leftrightarrow AB = 2.

    Khi đó NB = \frac{\sqrt{30}}{3} nên \cos\left( \widehat{\Delta;(R)} \right) = \frac{NB}{AB} = \frac{\sqrt{30}}{6}.

  • Câu 40: Nhận biết

    Định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm I(2; - 3;1) là:

    Trục Ox đi qua A(1;0;0) và có \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Mặt phẳng đi qua I(2; - 3;1) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{i},\overrightarrow{AI} \right\rbrack = (0;1;3) có phương trình y + 3z = 0.

    Vậy y + 3z = 0.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Cánh diều
Xem thêm