Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Xác định mệnh đề sai

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Hướng dẫn:

    Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} đúng với mọi điểm A;B;C;D nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A( - 1;2; - 3),\ \ B(1;0;2),\ \ C(x;y; - 2) thẳng hàng. Khi đó x + y bằng

    Hướng dẫn:

    Có \overrightarrow{AB} = (2; - 2;5),\ \ \overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1).

    A,\ B,\ C thẳng hàng \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{1}{5}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \dfrac{3}{5} \\ y = \dfrac{8}{5} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1\ ;\ 0\ ;\ 2), B(2\ ;\ 1\ ;\ - 3) và C(1\ ;\ - 1\ ;\ 0). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

    Hướng dẫn:

    Gọi D(a\ ;\ b\ ;\ c); \overrightarrow{AB} = (3\ ;\ 1\ ;\ - 5); \overrightarrow{AC} = (2\ ;\ - 1\ ;\ - 2)

    Vì \frac{3}{2} eq \frac{1}{- 1} nên \overrightarrow{AB} không cùng phương \overrightarrow{AC} \Rightarrow tồn tại hình bình hành ABCD.

    Suy ra ABCD là hình bình hành khi \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 = 1 - a \\ 1 = - 1 - b \\ - 5 = - c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = - 2 \\ c = 5 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5).

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm Q

    Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; - 1;1)\ ,\ \ N(2;0; - 1)\ ,\ \ P( - 1;2;1). Xét điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là một hình bình hành. Tọa độ Q là

    Hướng dẫn:

    Gọi Q(x;y;z). Ta có \overrightarrow{MN} = (1;1; - 2)\ \ ,\ \ \ \ \overrightarrow{QP} = ( - 1 - x;2 - y;1 - z).

    Tứ giác MNPQ là một hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 2 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ .

    Vậy, Q( - 2;1;3).

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} với tâm O.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB_{1}},\ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{AD_{1}} mà \overrightarrow{AB_{1}} eq \overrightarrow{AD_{1}} nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} sai.

  • Câu 6: Nhận biết
    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1; - 3) và B( - 2;2;1). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4).

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyzcho hình hộp chữ nhật OABC.EFGH có các cạnh OA = 5, OC = 8, OE = 7 (xem hình vẽ dưới đây). Tọa độ H(x;y;z). Tính giá trị biểu thức P = 50x + 75y + 1000z

    Hướng dẫn:

    Ta có H \in (yOz) và hình chiếu của H lên Oy trùng với C nên H(0;\ 8;\ 7).

    P = 50x + 75y + 1000z = 50.0 + 75.8 + 1000.7 = 7600.

  • Câu 8: Nhận biết
    Tính góc giữa hai vecto

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và\overrightarrow{EG}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: EG//AC (do ACGE là hình chữ nhật)

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}

  • Câu 9: Nhận biết
    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)

    Vậy \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)

  • Câu 10: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Tọa độ vectơ \overrightarrow{a} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} suy ra tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3).

  • Câu 11: Nhận biết
    Tìm tọa độ hình chiếu

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; - 1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hướng dẫn:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; - 1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (2;0;0).

  • Câu 12: Thông hiểu
    Xác định độ lớn góc giữa hai vectơ

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}. Góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA} và \overrightarrow{BC} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} ight)

    = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}

    = \left| \overrightarrow{SA}ight|.\left| \overrightarrow{SC} ight|.\cos\widehat{ASC} - \left|\overrightarrow{SA} ight|.\left| \overrightarrow{SB}ight|.\cos\widehat{ASB} = 0

    Vậy góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA} và \overrightarrow{BC} là 90^{0}.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', điểm M trên CC' sao cho \overrightarrow{MC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{MC'}. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có

    \overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CM}

    = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'C'} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{AA'} +\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn đẳng thức đúng

    Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình hộp ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}

    Vì O là trung điểm của AC' suy ra \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Đáp án là:

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử D\left( x_{0},y_{0},z_{0} ight)

    Vì D là điểm trên đường bay (giữa A và B). Khi đó ta có ba điểm A,D,B thẳng hàng.

    Ta lại có D là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.

    Khi đó DC = 50\sqrt{3}\ km

    Ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AD}= k\overrightarrow{AB} \\DC =50\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} - 100 = k.300 \\ y_{0} - 200 = k.300 \\ z_{0} - 300 = k.300 \\ \sqrt{\left( x_{0} - 250 ight)^{2} + \left( y_{0} - 350 ight)^{2} + \left( z_{0} - 450 ight)^{2}} = 50\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 100 + 300k \\ y_{0} = 200 + 300k \\ z_{0} = 300 + 300k \\ \sqrt{(100 + 300k - 250)^{2} + (200 + 300k - 350)^{2} + (300 + 300k - 450)^{2}} = 50\sqrt{3}(*) \\ \end{matrix} ight.

    Giải (*) ta có 3{(k.300 - 150)^2} = 7500 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k = \frac{2}{3} \hfill \\ k = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vì D là điểm gần A hơn do đó chọn k = \frac{1}{3} hay D(200,300,400)

    Vậy độ dài quãng đường:

    AD = \sqrt {{{\left( {200 - 100} ight)}^2} + {{\left( {300 - 200} ight)}^2} + {{\left( {400 - 300} ight)}^2}}

    = 100\sqrt{3} \approx 173,21

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi điểm I \in CC' sao cho \overrightarrow{C'I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}, G là trọng tâm tứ diện BAB'C'. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{IG} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Đáp án nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên

    4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} + \overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{C'A'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai vecto

    Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính góc \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right).

    Hướng dẫn:

    Gọi M là trung điểm CD.

    Khi đó, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}

    Do tam giác ACD đều nên AM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0

    Và tam giác BCD đều nên BM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD} = 0

    Vậy \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD} = 0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}.

    Kết luận \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}.

  • Câu 18: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm tọa độ vectơ

    Tìm tọa độ véctơ \overrightarrow{u} biết rằng \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} và \overrightarrow{a} = (1\ ;\ - 2\ ;\ 1).

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = - \overrightarrow{a} = ( - 1 ; 2 ; -1).

  • Câu 20: Thông hiểu
    Định các giá trị của x và y

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; - 1;5),B(5; - 5;7) và điểm M \in (Oxy). Tìm tọa độ điểm M để ba điểm A;B;M thẳng hàng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: M \in (Oxy) \Rightarrow M(x;y;0)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;3;1) \\ \overrightarrow{AM} = (x - 2;y + 2; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 5;0)

    Vậy đáp án cần tìm là M(4; - 5;0).

  • Câu 21: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; - 1;5).

  • Câu 22: Nhận biết
    Xác định tọa độ vectơ

    Cho A(1;\ \ 1;\ - 2) và B(2;\ \ - 1;\ \ 0). Hãy xác định tọa độ của \overrightarrow{AB}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)

  • Câu 23: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    a) Đúng: Gọi I là trung điểm AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 2}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{3 + 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} ight)

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10).

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2),\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1).

    \cos(AB,AC) =\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|}

    = \frac{|1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra (AB,AC) = 60^{\circ}.

    d) Sai: Gọi K(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - (2 - x) = 0 \\3(1 - y) - (4 - y) = 0 \\3(5 - z) - (2 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{1}{2} \\z = \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra K\left( 2; - \frac{1}{2};\frac{13}{2} ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| = |2\overrightarrow{IK}| = 2IK.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của K trên (Oxz) suy ra I(2;0;\frac{13}{2} )..

    Suy ra a = 2,b = 0,c = \frac{13}{2}.

    Vậy a - 2b + 2c = 15.

  • Câu 24: Nhận biết
    Chọn phương án thích hợp

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (ABCD) bằng?

    Hướng dẫn:

    Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (ABCD) bằng:

    (CD',(ABCD)) = (CD',CD) =\widehat{D'CD} = 45^{0}

    (CD',CD) = \widehat{D'CD} =45^{0}

  • Câu 25: Nhận biết
    Tìm tọa độ vectơ

    Biết rằng vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;0) và \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}. Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{b}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)

  • Câu 26: Thông hiểu
    Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;3;0),D'(0;3; -3). Tọa độ trọng tâm tam giác A'B'C là

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm của đoạn BD’ suy ra I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight)

    Gọi G(a;b;c) là trọng tâm tam giác A'B'C

    Ta có: \overrightarrow{DI} =3\overrightarrow{IG} với \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DI} = \left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight) \\\overrightarrow{IG} = \left( a - \frac{3}{2};b - \frac{3}{2};c +\frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.

    Do đó:

    \left\{ \begin{matrix}\frac{3}{2} = 3\left( a - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( b - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( c + \frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 1 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1; - 2)

    Vậy tọa độ trọng tâm tam giác cần tìm là (2;1; - 2)

  • Câu 27: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

    Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

    Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

    Ta có \overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)

    OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

    ⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ t = \frac{11}{2}.

    Suy ra H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).

    Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

    OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).

  • Câu 28: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Tính cosin góc \widehat{BAC}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\ \end{matrix} ight..

    \cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}

  • Câu 29: Thông hiểu
    Xác định khẳng định sai

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BB'}.\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} ight) = \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC}

    = BB'.BA\left( \cos\widehat{B'BA} + cos\widehat{B'BC} ight)

    Vì AA'B'B và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên

    + \widehat{B'BA} = \widehat{B'BC} \Rightarrow \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} eq 0 suy ra BB' không vuông góc với BD

    + \widehat{B'BA} + \widehat{B'BC}= 180^{0}\Rightarrow \cos\widehat{B'BA} = - \cos\widehat{B'BC}\Rightarrow \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} = 0 suy ra BB'\bot BD

    Nên đáp án BB'\bot BD có thể sai vì chưa có điều kiện của góc \widehat{B'BA} và \widehat{B'BC}

  • Câu 30: Thông hiểu
    Tính góc giữa các cặp vectơ

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}. Gọi I;J lần lượt là trung điểm của AB;CD. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{IJ}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD \Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)

    Tam giác ABC có AB = AC và \widehat{BAC} = 60^{0} suy ra tam giác ABC đều suy ra CI\bot AB

    Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên DI\bot AB

    Ta có: \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}

  • Câu 31: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1\ ;\ 1\ ;\ 2),\ B(2\ ;\ - 1\ ;\ 1),\ C(3\ ;\ 2\ ;\ - 3). Tìm tọa độ điểm D để tứ giácABCD là hình bình hành.

    Hướng dẫn:

    Gọi tọa độ điểm D(x\ ;\ y\ ;\ z).

    Ta có: \overrightarrow{AD}\ = \ (x\ - \ 1\ ;\ y\ - 1\ ;\ z\ - \ 2), \overrightarrow{BC}\ = \ (1\ ;\ 3\ ;\ - 4).

    Tứ giác ABCD là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 3 \\ z - 2 = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ z = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy D(2\ ;\ 4\ ;\ - 2).

  • Câu 32: Thông hiểu
    Tìm tọa độ vecto

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (2;0; - 3) và \overrightarrow{v} = (0;2; - 1). Tìm tọa độ của vectơ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} = (2;0; - 3) + 2.(0;2; - 1)

    = (2 + 0;0 + 2.2; - 3 + 2.( - 1)) = (2;4; - 5)

  • Câu 33: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm A’

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0). Xác định tọa độ điểm A'?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm A'(x;y;z)

    Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 0 = - 2 - ( - 1) \\ y - 1 = 1 - 2 \\ z - 3 = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ A'( - 1;0;2)

  • Câu 34: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình thang » Đúng

    Vì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} và SC\bot(BIH).

    Vì O,A,C và BIH thẳng hàng nên đặt \overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OC};OB = m\overrightarrow{OD}

    \Rightarrow (k + 1)\overrightarrow{OC} + (m + 1)\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

    Mà \overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} không cùng phương nên k = - 2 và m = - 2

    \Rightarrow \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = 2 \Rightarrow AB//CD.

    “Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}.“. Đúng.

    Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.

    “Nếu ABCD là hình thang thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}. ». Sai.

    Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD,BC thì sẽ sai.

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình bình hành ». Đúng.

    Tương tự đáp án A với k = - 1,m = - 1 \Rightarrow O là trung điểm 2 đường chéo.

  • Câu 35: Vận dụng
    Tính tổng a và b

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;\ 2;\ 3), B(1;0;1). Điểm C(a;\ b;\ - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b

    Hướng dẫn:

    C(a;\ b;\ - 2) \in (P) \Rightarrow a - b + 2 = 0 \Rightarrow b = a + 2 \Rightarrow C(a;\ a + 2;\ - 2).

    \overrightarrow{AB} = (0;\ - 2;\ - 2), \overrightarrow{AC} = (a - 1\ ;\ a\ ;\ - 5) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (10 + 2a\ ;\ - 2a + 2\ ;\ 2a - 2).

    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{\sqrt{(2a + 10)^{2} + 2(2a - 2)^{2}}}{2}

    = \frac{\sqrt{12a^{2} + 24a + 108}}{2} = \sqrt{3\left( a^{2} + 2a + 9 ight)}

    = \sqrt{3(a + 1)^{2} + 24} \geq 2\sqrt{6} với \forall a.

    Do đó \min S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{6} khi a = - 1.

    Khi đó ta có C( - 1;\ 1; - 2) \Rightarrow a + b = 0.

  • Câu 36: Thông hiểu
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27. Sai||Đúng

    b) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15. Đúng||Sai

    d) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27. Sai||Đúng

    b) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15. Đúng||Sai

    d) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}. Đúng||Sai

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2),\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1),\overrightarrow{AC} = (4; - 1;1).

    Ta có:

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 5 + 20 + 2 = 27.

    Ta có:

    \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 5.( - 4) + 4.1 + ( - 1).( - 1) = - 15.

    Ta có:

    \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.|\overrightarrow{AC}|} =\frac{27}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}.

    Ta có:

    \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight||\overrightarrow{BC}|} =\frac{15}{\sqrt{42}.\sqrt{18}} = \frac{5}{2\sqrt{21}}.

  • Câu 37: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ôtrống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;1;5),\ \ B(3;0;1),\ \ C( - 1;2;0) và điểm M(a;b;c) thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} - 5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} lớn nhất. Tính P = a - 2b + 4c.

    Đáp án: 13

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;1;5),\ \ B(3;0;1),\ \ C( - 1;2;0) và điểm M(a;b;c) thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} - 5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} lớn nhất. Tính P = a - 2b + 4c.

    Đáp án: 13

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (4 - a;1 - b;5 - c) \\ \overrightarrow{MB} = (3 - a; - b;1 - c) \\ \overrightarrow{MC} = ( - 1 - a;2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} - 5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}

    = (4 - a)(3 - a) + (1 - b)( - b) + (5 - c)(1 - c)

    + 2(3 - a)( - 1 - a) + 2( - b)(2 - b) + 2(1 - c)( - c)

    - 5(4 - a)( - 1 - a) - 5(1 - b)(2 - b) - 5(5 - c)( - c)

    = - 2a^{2} - 2b^{2} - 2c^{2} + 4a + 10b + 17c + 21

    = - 2(a - 1)^{2} - 2\left( b - \frac{5}{2} ight)^{2} - 2\left( c - \frac{17}{4} ight)^{2} + \frac{573}{8} \leq \frac{573}{8}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = \frac{5}{2} \\ c = \frac{17}{4} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó P = a - 2b + 4c = 13.

  • Câu 38: Nhận biết
    Tìm tọa độ vecto

    Trong không gian O xyz, cho A(2; - 1;0) và B(1;1; - 3). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A(2; - 1;0) và B(1;1; - 3) khi đó:

    \overrightarrow{AB} = (1 - 2;1 + 1; - 3 - 0) = ( - 1;2; - 3)

  • Câu 39: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}.

    Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D, ta có:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.

  • Câu 40: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

    Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Hướng dẫn:

    Đặt \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

0/40
40 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (32%):
    2/3
  • Thông hiểu (42%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (5%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
80 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này