VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $(0; - 1;2)$
- B.
  $(1;0; - 2)$
- C.
  $(0;1; - 2)$
- D.
  $(1; - 2;0)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(1;8; - 2)$
- B.
  $D(1;8;2)$
- C.
  $D(11;2; - 2)$
- D.
  $D(11;2;2)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'(4;6; - 5)$
- B.
  $A'(2;0;2)$
- C.
  $A'(3;5; - 6)$
- D.
  $A'(3;4; - 6)$
Hướng dẫn:
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$
Câu 4: Vận dụng cao
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho tứ diện $ABCD$ có $BC = DA = a,CA = DB = b,AB = DC = c$ . Gọi $S$ là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của $\frac{1}{a^{2}b^{2}} + \frac{1}{b^{2}c^{2}} + \frac{1}{c^{2}a^{2}}$ .
- A.
  $\frac{2}{S^{2}}$
- B.
  $\frac{9}{S^{2}}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{S}$
- D.
  $\frac{3}{S}$
Hướng dẫn:
Do tứ diện $ABCD$ có $BC = DA = a,CA = DB = b,AB = DC = c$ nên $\Delta BCD = \Delta ADC = \Delta DAB = \Delta CBA$ .

Gọi $S'$ là diện tích và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì $S = 4S' = \frac{abc}{R}$ , nên bất đẳng thức cần chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}b^{2}} + \frac{1}{b^{2}c^{2}} + \frac{1}{c^{2}a^{2}} \leq \frac{9}{S^{2}} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 9R^{2}$ .

Theo công thức Leibbnitz:

Với điểm $M$ bất kì và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$= GA^{2} + GB^{2} +BC^{2} + 3MG^{2}$

$= \frac{1}{3}\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 9MG^{2}\right)$

Cho $M$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ta được:

$9R^{2} = aa^{2} + b^{2} + c^{2} + 9OG^{2} \geq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(2;0;2)$
- B.
  $C(2; - 2;2)$
- C.
  $C(2;2;2)$
- D.
  $C(0; - 2;0)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 6: Vận dụng
Tìm khẳng định sai
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy $M,N$ sao cho $AM = 3MD$ , $BN = 3NC$ . Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
- B.
  Các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
- C.
  Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
- D.
  Các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

«Các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng” . Sai vì

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {3MN} = \overrightarrow {3MD} + 3\overrightarrow {DB} + 3\overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$ $\mathbf{\Rightarrow}$ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng.

« Các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng’. Đúng vì $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)$

$\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ : đồng phẳng.

“Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng”. Đúng. Bằng cách biểu diễn $\overrightarrow{PQ}$ tương tự như trên ta có $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).$

« Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng”. Đúng. Ta có $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị của tham số k
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{0}$
- A.
  $k = 1$
- B.
  $k = 2$
- C.
  $k = 0$
- D.
  $k = 4$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AD'} \\ \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC'} = \overrightarrow{D'A} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow (k - 1).\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 1$ .

Vậy $k = 1$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2; - 3)$ và $B(2; - 1;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 3)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (1; - 1;1)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 + 1; - 1 - 2;0 + 3) = (3; - 3;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)$ .
Câu 9: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Đáp án là:

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ các điểm $A(6;0;0),B(0;10;0),C(0;0;4)$ .

Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm $D(6;10;0),F(6;10;4)$ .

Đèn chùm $I$ được đặt tại vị trí chính giữa trần nhà có dạng hình chữ nhật nên vị trí đặt là trung điểm của hai đường chéo $CF$ và $EG$ nên ta có $I(3;5;4)$

Gọi $J_{1}$ là hình chiếu của bóng đèn $J$ lên nền nhà. Khi đó $J_{1}$ là trung điểm của $BD$ nên $J_{1}(3;10;0)$ , do đó $J(3;10;3)$ .

Vậy ta tính được

$\overrightarrow{IJ} = (0;5; - 1) \Rightarrow IJ = \left| \overrightarrow{IJ} ight| = \sqrt{5^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{26} \approx 5,1\ (m)$
Câu 10: Nhận biết
Phân tích vectơ
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ( $AEGC$ là hình chữ nhật) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$ ( $AEGC$ là hình vuông)
Câu 11: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (3; - 1;2)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;3)$ , tích $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $- 13$ .
- B.
  $11$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $13$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 2) + ( - 1).1 + 2.3 = - 6 - 1 + 6 = - 1$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định chu vi tam giác
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ hai điểm $A(3;0;0),B(0;0;4)$ . Tính chu vi tam giác $OAB$ ?
- A.
  $6$
- B.
  $12$
- C.
  $7$
- D.
  $14$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (3;0;0) \Rightarrow OA = 3 \\ \overrightarrow{OB} = (0;0;4) \Rightarrow OB = 4 \\ \overrightarrow{AB} = ( - 3;0;4) \Rightarrow AB = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Chu vi tam giác $OAB$ là:

$C = OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12$

Vậy đáp án đúng là: $12$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 0$
- B.
  $U = 3$
- C.
  $U = 2$
- D.
  $U = 1$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 14: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Nhận biết
Phân tích vectơ
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AC_{1}}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$ (Theo quy tắc hình bình hành).
Câu 16: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.
- B.
  Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- C.
  Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- D.
  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hướng dẫn:
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A( - 3; - 1; - 1)$ . Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm $A'(x;y;z)$ . Khi đó giá trị $2x + y + z$ bằng:
- A.
  $- 5$
- B.
  $- 3$
- C.
  $- 4$
- D.
  $- 2$
Hướng dẫn:
Hình chiếu vuông góc của $A( - 3; - 1; - 1)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là $A'(0; - 1; - 1)$

Suy ra $2x + y + z = - 2$ .
Câu 18: Nhận biết
Phân tích vectơ
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}$ . Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là.
- A.
  $(6;\ 8;\ 7)$ .
- B.
  $(8;\ 6;\ 7)$
- C.
  $(6;7; 8)$ .
- D.
  $(8;\ 7;\ 6)$ .
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABEF$ và $K$ là tâm của hình bình hành $BCGF$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GC}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{EK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)

Mà GF // (ABCD); $BD \subset (ABCD)$ suy ra $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
Câu 21: Nhận biết
Tính cosin của hai vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 22: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm D
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(0;0;1)$
- B.
  $D(2;0;0)$
- C.
  $D(0;2;1)$
- D.
  $D(1;1;1)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .
Câu 23: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;0)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 1$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} =\overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương
Hướng dẫn:
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0$

$\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương vì $\frac{- 1}{1} eq \frac{1}{1}$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (1;2;1)$

Vậy mệnh đề đúng là $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
Câu 24: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là
- A.
  $(0;2; - 3)$
- B.
  $(2; - 3;0)$ .
- C.
  $(2;0; - 3)$ .
- D.
  $(2;0;3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{a} = (2;0; - 3)$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A$ , $B$ , $C$ , $D$ tạo thành hình bình hành là
- A.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Trước hết, điều kiện cần và đủ để $ABCD$ là hình bình hành là:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .

Với mọi điểm $O$ bất kì khác $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , ta có:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .
Câu 26: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 \right)$ , hai đỉnh $B\ ,\ C$ thuộc trục $Oz$ và $AA' = 1$ ( $C$ không trùng với $O$ ). Biết véctơ $\overrightarrow{u} = (a\ ;\ b\ ;\ 2)$ với $a\ ,\ b\mathbb{\in R}$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ . Tính $T = a^{2} + b^{2}$ .
- A.
  $T = 16$ .
- B.
  $T = 9$ .
- C.
  $T = 4$ .
- D.
  $T = 5$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

Khi đó có $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot A'M$ tại $M \Rightarrow M$ là hình chiếu của $A'$ trên trục $Oz$

$A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 ight) \Rightarrow M(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $A'M = 2$ .

Ta có: $AM = \sqrt{A'M^{2} - A{A'}^{2}} = \sqrt{3}$ .

Mà tam giác $ABC$ đều nên $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3} \Rightarrow BC = 2 \Rightarrow MC = 1$ .

Vì $C$ thuộc trục $Oz$ và $C$ không trùng với $O$ nên gọi $C(0\ ;\ 0\ ;\ c)$ , $c eq 0$ .

$\overrightarrow{MC} = (0\ ;\ 0\ ;\ c - 1)$ $\Rightarrow MC = |c - 1|$ ; $MC = 1$ $\Leftrightarrow |c - 1| = 1$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0\ (L) \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow C(0\ ;\ 0\ ;\ 2)$ .

$\overrightarrow{A'C} = \left( -\sqrt{3} ; 1 ;1 ight)$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{u} = \left( - 2\sqrt{3}\ ;\ 2\ ;\ 2 ight)$ cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ .

Vậy $a = - 2\sqrt{3};\ \ b = 2 \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} = 16.$
Câu 27: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A(3;5; - 1),\ \ B(7;x;1)$ và $C(9;2;y).$ Để $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $5.$
- B.
  $6.$
- C.
  $7.$
- D.
  $4.$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;x - 5;2),\ \ \overrightarrow{AC} = (6; - 3;y + 1)$

$A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{x - 5}{- 3} = \frac{2}{y + 1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6(x - 5) = - 12 \\ 4(y + 1) = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $x+y=5$
Câu 28: Nhận biết
Xác định cosin góc giữa hai vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = ( - 3\ ;\ 4\ ;\ 0)$ , $\overrightarrow{b} = (5\ ;\ 0\ ;\ 12)$ . Côsin của góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $\frac{3}{13}$ .
- B.
  $- \frac{3}{13}$ .
- C.
  $\frac{5}{6}$ .
- D.
  $- \frac{5}{6}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{a}\ ;\ \ \overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \ \overrightarrow{b} ight|}$

$= \frac{- 3.5 + 4.0 + 0.12}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = \frac{- 3}{13}$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $M( - 2;6;1),M'(a;b;c)$ đối xứng nhau qua mặt phẳng $(Oyz)$ . Tính giá trị biểu thức $S = 7a - 2b + 2017c - 1$ ?
- A.
  $S = 2018$
- B.
  $S = 0$
- C.
  $S = 2042$
- D.
  $S = 2017$
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng $(Oyz)$ suy ra H(0; 6; 1)

Do M’ đối xứng với M qua $(Oyz)$ nên MM’ nhận H làm trung điểm suy ra M’(2; 6; 1) suy ra a = 2; b = 6; c = 1

Vậy $S = 7a - 2b + 2017c - 1 = 2018$ .
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $( - 1;2; - 3)$
- B.
  $(2; - 3; - 1)$
- C.
  $(2; - 1; - 3)$
- D.
  $( - 3;2; - 1)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;1; - 2),B(2; - 3;5)$ . Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$ , tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $\left( \frac{3}{2}; - 5;\frac{17}{2} ight)$
- B.
  $(1; - 7;12)$
- C.
  $(4;5; - 9)$
- D.
  $\left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight)$
Hướng dẫn:
Gọi tọa độ độ điểm $M(x;y;z)$ . Vì điểm $M \in AB$ nên

$\overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3 - x = - 2(2 - x) \\1 - y = - 2( - 3 - y) \\- 2 - z = - 2(5 - z) \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{3} \\y = - \dfrac{5}{3} \\z = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight)$ .
Câu 32: Vận dụng

Ghi đáp án vào chỗ trống

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900(km/h)$ lên $920(km/h)$ , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900(km/h)$ và $920(km/h)$ lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ với $\overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight)$ . Tính giá trị của $k$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900(km/h)$ lên $920(km/h)$ , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900(km/h)$ và $920(km/h)$ lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ với $\overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight)$ . Tính giá trị của $k$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 33: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm C’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?
- A.
  $C'(7;4;4)$
- B.
  $C'( - 13;4;4)$
- C.
  $C'(10;4;4)$
- D.
  $C'(13;4;4)$
Hướng dẫn:
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$
Câu 34: Thông hiểu
Phân tích vectơ
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{\ AB} = \overrightarrow{b,}\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{c}$ .
- A.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}.$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{B'C'} = - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BC}$

$= - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng AM
Trong không gian $(Oxyz)$ , cho $\Delta ABC$ có $\overrightarrow{AB} = (4; - 1; - 5),\overrightarrow{BC} = (2; - 4; - 2)$ , gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Độ dài đoạn $AM$ là:
- A.
  $2\sqrt{70}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{110}}{2}$ .
- C.
  $\sqrt{6}$ .
- D.
  $\sqrt{70}$ .
Hướng dẫn:
Ta có

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (6; - 5; - 7)$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight) = (5; - 3; - 6)$

Suy ra: $AM = \sqrt{25 + 9 + 36} = \sqrt{70}$
Câu 36: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} = 2\overrightarrow{B_{1}D}$
- D.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
Câu 37: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm đối xứng
Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;2;3)$ . Điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oz$ có tọa độ là
- A.
  $( - 1;2;3)$ .
- B.
  $(-1;-2;3)$ .
- C.
  $(1;2; - 3)$ .
- D.
  $(0;0;3)$ .
Hướng dẫn:
Điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oz$ có tọa độ là $( - 1; - 2;3)$ .
Câu 38: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm I
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Xác định tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ ?
- A.
  $I( - 2;2;1)$
- B.
  $I(2;0;8)$
- C.
  $I(1;0;4)$
- D.
  $I(2; - 2; - 1)$
Hướng dẫn:
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)$

Vậy đáp án đúng là: $I(1;0;4)$ .
Câu 39: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{CD'}$ .
- B.
  $\overrightarrow{CB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CA'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CA}$ .
Hướng dẫn:
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Phân tích vectơ theo một vectơ cho trước
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{\ AB} = \overrightarrow{b,}\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ $\overrightarrow{BC'}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{c}$ .
- A.
  $\overrightarrow{BC'} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{BC'} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC'} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (32%):

2/3
Thông hiểu (42%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện