Trong không gian , cho hai điểm
và
. Biết
là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
. Giá trị của
bằng
Tính được
Ta có:
Vậy, , suy ra
.
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Biết
là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
. Giá trị của
bằng
Tính được
Ta có:
Vậy, , suy ra
.
Cho hai đường thẳng và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Cho hai điểm phân biệt và một điểm
bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mệnh đề đúng: “Điểm thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi
”.
Cho hình hộp có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính góc giữa đường thẳng
với các đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa

.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian , cho
,
. Gọi
là trọng tâm tam giác
, vectơ
có độ dài bằng:
Vì G là trọng tâm tam giác nên tọa độ
.
Ta có:
Trong không gian cho hình hộp . Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
Vậy
Trên hệ trục tọa độ , cho
,
, tích
bằng
Ta có
Gọi là tâm của hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vì là trung điểm của
suy ra
Cho và
. Hãy xác định tọa độ của
?
Ta có:
Trong không gian , góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
.
Tìm để góc giữa hai vectơ
là góc nhọn.
Để
.
Kết hợp điều kiện
Trong không gian , cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Cho hình lập phương . Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
(vì
và
)
Do đó:
Trong không gian với hệ tọa , cho vectơ
,
cùng phương với vectơ
. Biết vectơ
tạo với tia
một góc nhọn và
. Giá trị của tổng
bằng
Do cùng phương và nên ta có
.
Suy ra
.
Theo giả thiết vectơ tạo với tia
một góc nhọn nên
với
, do đó
.
Mà nên
.
Lại có , suy ra
.
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Trong không gian , cho
Tọa độ của điểm
là
Ta có:
Khi đó
Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (do
là hình chữ nhật)
Trong không gian với hệ tọa độ , biết
;
và góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Tìm
để vectơ
vuông góc với vectơ
.
Ta có: .
Vectơ vuông góc với vectơ
khi và chỉ khi:
.
Trong hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Xét điểm
sao cho tứ giác
là một hình bình hành. Tọa độ
là
Gọi Ta có
Tứ giác là một hình bình hành
Vậy, .
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh
nên ta có:
.
Mặt khác (vì I là trung điểm của MN) suy ra
Theo bài ra ta có:
Cho biết máy bay đang bay với vận tốc
(đơn vị:
. Máy bay
ngược hướng và có tốc độ gấp 2 lần tốc độ của máy bay
. Tọa độ vectơ vận tốc
của máy bay
là
Tọa độ vectơ vận tốc của máy bay
là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính
Đáp án: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Giả sử .
Ta có
Vậy
Trong không gian , cho
có
. Gọi
là chân đường cao hạ từ đỉnh
. Tính
.
Đáp án: -17||- 17
Trong không gian
, cho
có
. Gọi
là chân đường cao hạ từ đỉnh
. Tính
.
Đáp án: -17||- 17
Ta có .
Vì là chân đường cao nên ta có
và
.
Do đó
Vậy .
Trong không gian , cho các điểm
,
, điểm
và tam giác
vuông tại
, hình chiếu vuông góc của
trên
là điểm
. Khi đó điểm
luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy . Ta có
và
, suy ra
.
Ta có
, mà
. Suy ra
.
Mặt khác ta có
, .
Từ và
suy ra
và
.
Với suy ra
thuộc mặt phẳng
với
là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng
.
Phương trình của là:
.
Với
vuông tại
.
Do đó thuộc mặt cầu
có tâm
là trung điểm của
và bán kính
.
Do đó điểm luôn thuộc đường tròn
cố định là giao tuyến của mp
với mặt cầu
.
Giả sử có tâm
và bán kính
thì
và
.
Vậy điểm luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
và
là một vectơ chỉ phương của
với
. Tính tổng
.
Ta có mặt phẳng nhận vectơ
là vectơ pháp tuyến, đường thẳng
đi qua điểm
và nhận
là vectơ chỉ phương
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng
.
Ta có .
Khi đó đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
.
Mà nên
,
. Vậy
.
Cho lăng trụ tam giác có
. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ
qua các vectơ
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho lăng trụ tam giác
có tọa độ các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Hình vẽ minh họa
Gọi tọa độ điểm
Vì là hình lăng trụ nên
Vậy tọa độ
Cho hình hộp . Gọi
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian , cho
,
. Điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Tính giá trị của biểu thức
khi
nhỏ nhất.
Gọi là điểm thỏa:
.
Ta có:
.
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian , cho ba điểm
,
và
. Để
,
,
thẳng hàng thì giá trị
bằng
Ta có ,
.
Ba điểm ,
,
thẳng hàng
.
Vậy .
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.
Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)
Ta có
OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0
⟺13906t - 76483 = 0 ⟺
Suy ra
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
Trong không gian , cho các vectơ
và
. Xác định giá trị của
để hai vectơ đã cho có cùng hướng?
Ta có: Hai vectơ và
cùng hướng nên
Vậy là đáp án cần tìm.
Cho tứ diện và điểm
thỏa mãn
(
là trọng tâm của tứ diện). Gọi
là giao điểm của
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì là giao điểm của
và mặt phẳng
suy ra
là trọng tâm tam giác
suy ra
Theo bài ra ta có:
Cho tứ diện đều cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên
Ta có:
Suy ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Cho hình chóp có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và các cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Số đo của góc
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra
suy ra tam giác SAC vuông tại S.
Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác
Khi đó suy ra
Trong không gian , cho điểm
thỏa mãn
. Khi điểm
thì giá trị
bằng?
Ta có:
Vậy
Trong không gian , cho hai điểm
,
, tọa độ điểm
thuộc trục
sao cho
thẳng hàng là
Vì điểm thuộc trục
nên
có tọa độ
.
Ta có ;
thẳng hàng
cùng phương
Vậy điểm .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và
. Điểm
thỏa mãn
có tọa độ là:
Từ giả thiết nên ba điểm
thẳng hàng và
nằm cùng phía so với điểm
do
dương.
Lại có
.
Vậy B là trung điểm của MA.
Khi đó ta đươc tọa độ điểm .
Đang tải...
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: