Cho hình hộp có tâm
. Gọi
là tâm hình bình hành
. Đặt
,
,
,
. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hình vẽ minh họa

+ Gọi lần lượt là trung điểm của
.
+Ta có:
Cho hình hộp có tâm
. Gọi
là tâm hình bình hành
. Đặt
,
,
,
. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hình vẽ minh họa

+ Gọi lần lượt là trung điểm của
.
+Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
,
,
. Tìm tọa độ điểm
, biết
vuông góc với
, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
có bán kính bằng
và
có cao độ âm.
Hình vẽ minh họa
Ta có ,
Do vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng
được chọn là
Đường thẳng qua
và có VTCP
nên có phương trình tham số là:
.
Do vuông tại
.
Gọi là trung điểm
khi đó
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Gọi
là đường thẳng qua
và song song với
nên
, suy ra
là trục đường tròn ngoại tiếp
.
Trong mặt phẳng vẽ đường trung trực của
cắt
tại
và cắt
tại
.
Mặt phẳng qua
và có một VTPT
nên có phương trình tổng quát là:
.
Ta có .
Do nên
, mà
, mà cao độ của
âm nên
thỏa mãn.
Trong không gian , cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
.
Vậy
Không gian với trục hệ tọa độ , cho
Tọa độ của vectơ
là:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Trong không gian . cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với điểm
qua mặt phẳng
?
Lấy đối xứng qua mặt phẳng thì
đổi dấu còn
giữ nguyên nên điểm
có tọa độ là
.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa các điểm
. Tính số đo góc
?
Ta có:
Trong không gian cho
,
,
sao cho
nhỏ nhất. Tọa độ của
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm
.
Gọi là hình chiếu của
xuống mặt phẳng
.
Ta có
.
Do không đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất
.
Gọi là đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
.
Khi đó nhận
làm vectơ chỉ phương.
Do đó có phương trình
.
.
.
Vậy .
Cho hình hộp chữ nhật có
. Chọn kết luận sai dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Đáp án sai là: .
Trong không gian , cho hai điểm
,
. Tọa độ điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho ba điểm
,
,
thẳng hàng là
Ta có: ;
.
Để ,
,
thẳng hàng thì
và
cùng phương , khi đó :
.
Vậy .
Trong không gian , cho hai vecto
,
cùng có độ dài bằng
. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng
, giá trị của biểu thức
là
Ta có:
Do đó:
.
Trong không gian với hệ trục cho ba điểm
thẳng hàng. Khi đó
bằng
Có .
thẳng hàng
cùng phương
.
Cho tứ diện đều . Mệnh đề nào sau đây sai?
Vì tứ diện là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc
Suy ra
Vậy mệnh đề chưa chính xác là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Cho hình hộp . Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Trong không gian , cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ vectơ
.
Cho tứ diện . Gọi
theo thứ tự là trung điểm
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
Cho tứ diện
. Gọi
theo thứ tự là trung điểm
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
a) Vì là trung điểm của
và
nên
và
Nên .
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Do N là trung điểm của CD nên
Trong không gian cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là . Đúng||Sai
c) Cho , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Cho hình hộp đứng , trong đó mặt đáy là hình bình hành với
. Biết độ dài các cạnh
và
. Tính
.

Theo quy tắc hình hộp, ta có ,
Vậy
Với
Trong đó:
Do tổng hai góc kề của một hình bình hành là nên ta có góc
Áp dụng định lý cosin trong tam giác , ta có:
.
Vậy .
Nếu một vật có khối lượng thì lực hấp dẫn
của trái đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức
, trong đó
là gia tốc rơi tự do có độ lớn
. Độ lớn của lực Trái Đất tác dụng lên một quả lê có khối lượng
là
Đổi
Độ lớn của lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên quả lê là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho vectơ
. Khi đó tọa độ của
là.
Do .
Trong không gian cho tứ diện đều . Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Trong không gian , cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ là:
Đúng||Sai
Trong không gian
, cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm
là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ
là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa

(a) Tọa độ của điểm là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(b) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: .
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(c) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn ĐÚNG.
(d) Tọa độ của vec tơ là:
.
Theo quy tắc hình hộp, ta có: .
Suy ra:
» Chọn ĐÚNG.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
không cùng phương vì
Vậy mệnh đề đúng là
Cho hình chóp
Đáp án “Nếu là hình thang thì
. “ sai do nếu
là hình thang có 2 đáy lần lượt là
và
thì ta có
Cho tứ diện có
và
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: ;
suy ra
. Ta có:
. Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là
Biết rằng vectơ và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Cho tứ diện . Đặt
gọi
là trung điểm của
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ta có:
Trong không gian tọa độ cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình vuông) nên
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
sao cho
?
Ta có:
Mà
Vậy đáp án cần tìm là: hoặc
Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Trong không gian
, cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Hình vẽ minh họa
Ta có: ,
,
,
nên
⇒ (do
);
;
.
Mà
⇒.
Xét hàm số trên
⇒
Bảng biến thiên:
Vậy .
Cho hình hộp . Gọi
và
lần lượt là tâm của hình bình hành
và
. Khẳng định nào sau đây sai ?
“Bốn điểm ,
,
,
đồng phẳng ». Đúng vì
cùng thuộc
“”. Đúng vì
“Ba vectơ không đồng phẳng ». Sai vì
Ba vectơ đồng phẳng.
””. Đúng vì theo câu trên
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ có gốc
trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng
trùng với mặt đất với trục
hướng về phía tây, trục
hướng về phía nam và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là
trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian
được lấy theo kilômét.

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc trong nửa giờ là:
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là
Trong không gian , cho điểm
. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
+) Ta có khoảng cách từ đến mặt phẳng tọa độ
bằng
nên “Khoảng cách từ
đến mặt phẳng tọa độ
bằng
đúng.
+) Khoảng cách từ đến trục
bằng
nên “Khoảng cách từ
đến trục
bằng
” đúng.
+) Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
là
.
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với
qua mặt phẳng
là
nên “Tọa độ điểm
đối xứng với
qua mặt phẳng
là
” sai.
+) Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm lên trục
là
.
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với
qua trục
là
nên “Tọa độ điểm
đối xứng với
qua trục
là
” đúng.
Trong không gian , cho hai vectơ
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hai vectơ và
khác
. Xác định góc giữa hai vectơ
và
khi
?
Mà theo giả thiết , suy ra
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: