VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị của biểuthức
Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(5\ ;\ 1\ ;\ 5)$ , $B(4\ ;\ 3\ ;\ 2)$ , $C( - 3\ ;\ - 2\ ;\ 1)$ . Điểm $I(a\ ;\ b\ ;\ c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tính $a + 2b + c$ ?
- A.
  $- 9$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 8\ ;\ - 3\ ;\ - 4)$ .

Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $AB$ , $AC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M\left( \frac{9}{2}\ ;\ 2\ ;\ \frac{7}{2} ight) \\ N\left( 1\ ;\ - \frac{1}{2}\ ;\ 3 ight) \\ \end{matrix} ight.$ .

Gọi $\overrightarrow{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 17\ ;\ 20\ ;\ 19)$ .

$(ABC): - 17x + 20y + 19z - 30 = 0$ .

$I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{IN}\bot\overrightarrow{AC} \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \frac{7}{2} - c ight).( - 3) = 0 \\ (1 - a).( - 8) + \left( - \frac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( - 4) = 0 \\ - 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{9}{2} - a ight).( - 1) + (2 - b).2 + \left( \dfrac{7}{2} - c ight).( - 3) = 0 \\ (1 - a).( - 8) + \left( - \dfrac{1}{2} - b ight).( - 3) + (3 - c).( - 4) = 0 \\ - 17a + 20b + 19c - 30 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $a + 2b + c = 1 + 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + 3 = 3$ .
Câu 2: Thông hiểu
Xác định giá trị tham sốk
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , biết $\left| \overrightarrow{u} \right| = 2$ ; $\left| \overrightarrow{v} \right| = 1$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng $\frac{2\pi}{3}$ . Tìm $k$ để vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ .
- A.
  $k = 2$ .
- B.
  $k = \frac{2}{5}$ .
- C.
  $k = - \frac{2}{5}$ .
- D.
  $k = \frac{5}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.1.cos\left( \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} ight) = 2.cos\frac{2\pi}{3} = - 1$ .

Vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} = \left( k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight) = 0$

$\Leftrightarrow k{\overrightarrow{u\ }}^{2} + (1 - k)\overrightarrow{u\ }.\overrightarrow{v\ } - {\overrightarrow{v\ }}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 4k - (1 - k) - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A$ thỏa $\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ và $B(2;1;4)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là
- A.
  $(0; - 4;0)$ .
- B.
  $( - 2; - 2;4)$ .
- C.
  $( -1;- 1;2)$ .
- D.
  $(4; - 2;8)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k} \Rightarrow A(2; - 3;4)$

Suy ra $\overrightarrow{BA} = (2 - 2; - 3 - 1;4 - 4) = (0; - 4;0)$
Câu 4: Nhận biết
Xác định cosin góc giữa hai vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = ( - 3\ ;\ 4\ ;\ 0)$ , $\overrightarrow{b} = (5\ ;\ 0\ ;\ 12)$ . Côsin của góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $- \frac{3}{13}$ .
- B.
  $\frac{3}{13}$ .
- C.
  $- \frac{5}{6}$ .
- D.
  $\frac{5}{6}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{a}\ ;\ \ \overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \ \overrightarrow{b} ight|}$

$= \frac{- 3.5 + 4.0 + 0.12}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = \frac{- 3}{13}$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ , $B(2;2;1)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục tung sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất.
- A.
  $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
- B.
  $M(0\ ; - 2\ ;0)$ .
- C.
  $M(0 ; - 3 ;0)$ .
- D.
  $M(0\ ; - 4\ ;0)$ .
Hướng dẫn:
Khi đó:

$MA^{2} + MB^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2}$

$= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}$

$= 2{\overrightarrow{MI}}^{2} + {\overrightarrow{IA}}^{2} + {\overrightarrow{IB}}^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight)$

$= 2MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} = 2MI^{2} + 9$ .

Do đó $MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên trục tung.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $I$ và vuông góc với trục tung là

$0.\left( x - \frac{3}{2} ight) + 1.\left( y - \frac{3}{2} ight) + 0.(z + 1) = 0$ hay $(P):y - \frac{3}{2} = 0$ .

Phương trình tham số của trục tung là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ điểm $M$ cần tìm là nghiệm $(x\ ;y\ ;z)$ của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ y - \frac{3}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
Câu 6: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Gọi $D = (x;y;z)$ $\Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 - y;1 - z)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1;3; - 3)$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = 1 \\ - 2 - y = 3 \\ 1 - z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow D(4; - 5;4)$ .

Vậy $S = a + b + c = 3$ .
Câu 7: Vận dụng
Chọn kết quả đúng nhất
Cho tam giác $ABC$ , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.
- A.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
- B.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - BC^{2}}$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
- D.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}ABAC\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AB^{2}sin^{2}A}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2}\left( 1 - cos^{2}A \right)}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$ .
Câu 8: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A(3;5; - 1),\ \ B(7;x;1)$ và $C(9;2;y).$ Để $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $7.$
- B.
  $4.$
- C.
  $5.$
- D.
  $6.$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;x - 5;2),\ \ \overrightarrow{AC} = (6; - 3;y + 1)$

$A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{x - 5}{- 3} = \frac{2}{y + 1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6(x - 5) = - 12 \\ 4(y + 1) = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $x+y=5$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm câu sai
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ với tâm $O$ .
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC_{1}} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D_{1}A} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{AD_{1}} + \overrightarrow{D_{1}O} + \overrightarrow{OC_{1}}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB_{1}},\ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{AD_{1}}$ mà $\overrightarrow{AB_{1}} eq \overrightarrow{AD_{1}}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}}$ sai.
Câu 10: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{a} \right| = 3,$ $\left| \overrightarrow{b} \right| = 2$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 3.$ Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$
- A.
  $\alpha = 45^{o}$ .
- B.
  $\alpha = 30^{o}$ .
- C.
  $\alpha = 60^{o}$ .
- D.
  $\alpha = 120^{o}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 3}{3.2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 120^{0}$
Câu 11: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;2);\overrightarrow{b} = (1;1; - 1)$ . Khi đó tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ là:
- A.
  $(3;5;1)$
- B.
  $(3;4;1)$
- C.
  $(1;2;3)$
- D.
  $( - 1; - 2;3)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu
Tìm $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight)$ là góc nhọn.
- A.
  $0 < m < \frac{1}{2}$ .
- B.
  $m > 1$ hoặc $0 < m < \frac{1}{2}$ .
- C.
  $m > \frac{1}{2},m eq1$ .
- D.
  $m > 1$ .
Hướng dẫn:
Để $\left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0$

$\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0$

$\Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.$
Câu 13: Thông hiểu
Phân tích vectơ
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{\ AB} = \overrightarrow{b,}\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{c}$ .
- A.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}.$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{B'C'} = - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BC}$

$= - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1\ ;2\ ;5)$ , $B(3\ ;4\ ;1)$ , $C(2\ ;3\ ; - 3)$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là điểm thay đổi trên $mp(Oxz)$ . Độ dài $GM$ ngắn nhất bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow G(2\ ;3\ ;1)$ .

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ , khi đó $GH$ là khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ , ta có: $GH = d\left( G,(Oxz) ight) = 3$

Với $M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $(Oxz)$ , ta có $GM \geq GH = 3$ , do đó $GM$ ngắn nhất $\Leftrightarrow M \equiv H$ . Vậy độ dài $GM$ ngắn nhất bằng $3$ .
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0$
Câu 16: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , tọa độ hình chiếu của $M( - 2;1;4)$ lên $Oyz$ là
- A.
  $( - 2;0;0)$ .
- B.
  $(0;1;4)$ .
- C.
  $(0;1;0)$ .
- D.
  $(0;0;4)$ .
Hướng dẫn:
Tọa độ hình chiếu của $M( - 2;1;4)$ lên $Oyz$ là $(0;1;4)$ .
Câu 17: Vận dụng
Tính giá trị của k
Cho hình chóp $S.ABC$ , mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các tia $SA,SB,SC,SG$ ( $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ) lần lượt tại các điểm $A',B',C',G'$ .Ta có $\frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = k\frac{SG}{SG'}$ . Hỏi k bằng bao nhiêu?
- A.
  1
- B.
  4
- C.
  2
- D.
  3
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Do $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SC}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow 3\frac{SG}{SG'}\overrightarrow{SG'} = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} \\ + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'} \\ \end{matrix}$

Mặt khác $A',B',C',G'$ đồng phẳng nên

$\frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\frac{SG}{SG'}$ .
Câu 18: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm M
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;3)$ và $B(3; - 1;2)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\left( \frac{5}{3};0;\frac{7}{3} \right)$ .
- B.
  $\left( 1;\frac{1}{2};\frac{5}{4} \right)$ .
- C.
  $(7; - 4;1)$ .
- D.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)$ .
Hướng dẫn:
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;A;B$ thẳng hàng và $A;B$ nằm cùng phía so với điểm $M$ do $\frac{4MB}{MA}$ dương.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

Vậy B là trung điểm của MA.

Khi đó ta đươc tọa độ điểm $M(7; - 4;1)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- D.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
Hướng dẫn:
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 20: Nhận biết
Xác định mệnh đề sai
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Vì $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$ nên suy ra $B$ là trung điểm cạnh $AC$ .
- B.
  Tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm cạnh $BC$ thì ta có: $2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- C.
  Vì $\overrightarrow{AB} = - 2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}$ nên bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
- D.
  Nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ thì bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
Hướng dẫn:
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ đúng với mọi điểm $A;B;C;D$ nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Câu 21: Thông hiểu
Tính tích vô hướng
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}$ ?
- A.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
- B.
  $a^{2}$
- C.
  $\frac{3a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{a^{2}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD_{1}} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AD}$

Ta có: $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}A} + \overrightarrow{AM}$ hay $\overrightarrow{B_{1}M} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = AB^{2} - A_{1}A^{2} + \frac{1}{2}AD^{2} = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 22: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;0;1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $A \equiv O$
- B.
  $A \in (Oxy)$
- C.
  $A \in (Oyz)$
- D.
  $A \in (Oxz)$
Hướng dẫn:
Vì tọa độ điểm $A(3;0;1)$ có $x = 3;y = 0;z = 1$ nên $A \in (Oxz)$ .
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 2;2;5)$
- B.
  $D( - 4;8; - 5)$
- C.
  $D( - 2;8; - 3)$
- D.
  $D( - 4;8; - 3)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .
Câu 24: Nhận biết
Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $N( - 2;0;3)$
- B.
  $M(3;4;0)$
- C.
  $Q(0;4; - 1)$
- D.
  $P(2;0;0)$
Hướng dẫn:
Ta có: $A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0$ nên điểm cần tìm là $Q(0;4; - 1)$ .
Câu 25: Thông hiểu
Định các giá trị của x và y
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1;5),B(5; - 5;7),M(x;y;1)$ . Với giá trị nào của $x;y$ thì ba điểm đã cho thẳng hàng?
- A.
  $x = 4;y = - 7$
- B.
  $x = - 4;y = - 7$
- C.
  $x = - 4;y = 7$
- D.
  $x = 4;y = 7$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 4;2) \\ \overrightarrow{AM} = (x - 2;y + 1; - 4) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{- 4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $x = - 4;y = 7$ .
Câu 26: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N
Câu 27: Nhận biết
Chọn phân tích đúng
Cho tứ diện $OABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .Phân tích nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{3}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
Hướng dẫn:
Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
Câu 28: Thông hiểu
Tính góc giữa các cặp vectơ
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $45^{0}$ .
- B.
  $60^{0}$ .
- C.
  $120^{0}$ .
- D.
  $90^{0}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$
Câu 29: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $120{^\circ}$
- B.
  $45{^\circ}$
- C.
  $60{^\circ}$
- D.
  $90{^\circ}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $EG//AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}$
Câu 30: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm C’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?
- A.
  $C'(13;4;4)$
- B.
  $C'(7;4;4)$
- C.
  $C'(10;4;4)$
- D.
  $C'( - 13;4;4)$
Hướng dẫn:
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$
Câu 31: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$
Câu 32: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A( - 1;2;0),\ B(3;4; - 2)$ và $C(1;0; - 3).$ Biết tọa độ điểm $D\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ để tứ giác $BACD$ là hình bình hành. Tính $x_{0} + y_{0} + z_{0}?$
- A.
  $- 8$
- B.
  $- 5$
- C.
  $2$
- D.
  $12$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 4; - 2;2) \\ \overrightarrow{DC} = \left( 1 - x_{0}; - y_{0}; - 3 - z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Để tứ giác $BACD$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - x_{0} = - 4 \\ - y_{0} = - 2 \\ - 3 - z_{0} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 5 \\ y_{0} = 2 \\ z_{0} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} = 5 + 2 + ( - 5) = 2.$
Câu 33: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm D
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(0;0;1)$
- B.
  $D(2;0;0)$
- C.
  $D(0;2;1)$
- D.
  $D(1;1;1)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1; - 1;0),B(0;2;0),C(2;1;3)$ . Xác định tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ ?
- A.
  $M(3;2;3)$
- B.
  $M(3;2; - 3)$
- C.
  $M(3; - 2; - 3)$
- D.
  $M(3; - 2;3)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (1 - x) - (0 - x) + (2 - x) = 0 \\ ( - 1 - y) - (2 - y) + (1 - y) = 0 \\ (0 - z) - (0 - z) + (3 - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 2 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M(3; - 2;3)$
Câu 35: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian cho hai đường thẳng $a;b$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a;b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- B.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \sin\alpha$
- C.
  $\alpha = \left| \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- D.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
Hướng dẫn:
Khẳng định đúng: “Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ”.
Câu 36: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm B’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:
- A.
  $B'(6;12;0)$
- B.
  $B'(13;0;17)$
- C.
  $B'(8;4;10)$
- D.
  $B'(10;8;6)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 37: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 2;7)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (10; - 2;13)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;7)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
Câu 38: Nhận biết
Xác định tích vô hướng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $11$
- D.
  $10$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian $Oxyz$ , tọa độ hình chiếu của $M(2;1;4)$ lên trục $Ox$ là
- A.
  $(2;0;0)$ .
- B.
  $(0;1;0)$ .
- C.
  $(0;1;4)$ .
- D.
  $(0;0;4)$ .
Hướng dẫn:
Tọa độ hình chiếu của $M(2;1;4)$ lên trục $Ox$ là: $(2;0;0)$
Câu 40: Vận dụng
Chọn phương án thíchhợp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;0;2)$ , $B(3;1;4)$ , $C(3; - 2;1)$ . Tìm tọa độ điểm $S$ , biết $SA$ vuông góc với $(ABC)$ , mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC$ có bán kính bằng $\frac{3\sqrt{11}}{2}$ và $S$ có cao độ âm.
- A.
  $S(4;6; - 4)$ .
- B.
  $S(4; - 6; - 4)$ .
- C.
  $S( - 4; - 6; - 4)$ .
- D.
  $S( - 4;6; - 4)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2)$ , $\overrightarrow{AC} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).$

Do $SA$ vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng $SA$ được chọn là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).$

Đường thẳng $SA$ qua $A(1;0;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (3;6; - 6)$ nên có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 6t \\ z = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 - 2 - 2 = 0 \Rightarrow AB\bot AC \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$ .

Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ khi đó $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $d$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$ nên $d\bot(ABC)$ , suy ra $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ .

Trong mặt phẳng $(SAM)$ vẽ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$ và cắt $SA$ tại $N$ .

Mặt phẳng $(ABC)$ qua $A$ và có một VTPT $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6)$ nên có phương trình tổng quát là:

$3(x - 1) + 6y - 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0$

$\overrightarrow{BC} = (0; - 3; - 3) \Rightarrow BC = \sqrt{18} \Rightarrow BC^{2} = 18$ .

Ta có $R^{2} = IA^{2} + AM^{2} \Leftrightarrow \frac{99}{4} = IM^{2} + \frac{1}{4}BC^{2} \Rightarrow IM = \frac{9}{2}$ .

Do $S \in SA$ nên $S(1 + 3t;6t;2 - 6t)$ , mà $SA = 2IM \Rightarrow SA = 9$

$\Leftrightarrow d\left( S,(ABC) ight) = 9$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 1 + 3t + 12t - 2(2 - 6t) + 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 9$

$\Leftrightarrow |27t| = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow S(4;6; - 4) \\ t = - 1 \Rightarrow S( - 2; - 6;8) \\ \end{matrix} ight.$ , mà cao độ của $S$ âm nên $S(4;6; - 4)$ thỏa mãn.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (32%):

2/3
Thông hiểu (42%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện