Trong không gian , cho hai điểm
và
. Điểm
thỏa mãn
có tọa độ là
Gọi .
Ta có ,
.
Khi đó .
Vậy .
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Điểm
thỏa mãn
có tọa độ là
Gọi .
Ta có ,
.
Khi đó .
Vậy .
Cho tứ diện đều có cạnh bằng
. Tính góc
.

Gọi là trung điểm
.
Khi đó,
Do tam giác đều nên
Và tam giác đều nên
Vậy .
Kết luận .
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là m, chiều rộng là
m và chiều cao là
m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ
có gốc
trùng với một góc phòng và mặt phẳng
trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn

Gọi toạ độ các điểm như hình vẽ dưới đây:

Gọi là trung điểm của
,
là hình chiếu của
lên mặt phẳng trần nhà suy ra
là điểm treo đèn.
Khi đó
Vậy toạ độ của điểm treo đèn là
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các vectơ
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Đặt
Vậy là đẳng thức đúng.
Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là
Tọa độ hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng là:
.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho lăng trụ tam giác
có tọa độ các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Hình vẽ minh họa
Gọi tọa độ điểm
Vì là hình lăng trụ nên
Vậy tọa độ
Cho hình chóp . Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
trong đó
là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Khi đó mà
Suy ra
Vì mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác
suy ra
đồng phẳng.
Do đó tồn tại ba số sao cho
) và
s
Suy ra
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn đẳng thức
?
Gọi
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy điểm E có tọa độ là .
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Gọi là tâm của hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vì là trung điểm của
suy ra
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Trong không gian cho hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng: “Nếu thì
”.
Cho lăng trụ tam giác . Đặt
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Chọn đáp án đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian tọa độ , cho hai điểm
,
và
là điểm thay đổi trên mặt cầu
. Tập hợp các điểm
trên mặt cầu
thỏa mãn
có bao nhiêu phần tử?
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Ta tìm điểm thỏa mãn
.
Có ,
;
.
Suy ra ,
.
Do đó
.
Ta thấy nên điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Ta có
, suy ra có một điểm
thuộc đoạn
thỏa mãn đề bài.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ có gốc
trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng
trùng với mặt đất với trục
hướng về phía tây, trục
hướng về phía nam và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là
trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian
được lấy theo kilômét.

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc trong nửa giờ là:
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là
Cho hình lăng trụ tam giác đều có
và. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có
.
Suy ra .
Tứ giác là hình bình hành biết tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Giả sử điểm khi đó
ta có là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian tọa độ cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành
Minh họa bằng hình vẽ sau:
Ta có .
là hình bình hành
.
Vậy .
Trong không gian , cho đường thẳng
và điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
. Độ dài đoạn thẳng
bằng
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng là:
.
Một vtcp của là
.
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
. Khi đó
có vtpt là
.
Phương trình mặt phẳng :
.
là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
nên
là giao điểm của
và
.
Xét hệ phương trình:
Thay vào
ta được:
.
Suy ra .
Độ dài đoạn thẳng là:
.
Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng là:
.
Một vtcp của là
.
.
Ta có .
Suy ra
Độ dài đoạn thẳng là:
.
Trong không gian tọa độ , hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Giả sử điểm
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi điểm
Ta có:
Mà
Suy ra suy ra
Vậy
Cho hình hộp . Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Trong không gian , cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ vectơ
.
Cho hai vectơ và
thỏa mãn
và
Xác định góc
giữa hai vectơ
và
Ta có
Trong không gian, với mọi vectơ ta có
Công thức tích vô hướng của hai vectơ .
Cho hình hộp với tâm
.
Ta có mà
nên
sai.
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng
sao cho
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Nên .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ
và
. Tính tích vô hướng
.
Ta có .
Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (do
là hình chữ nhật)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.
Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)
Ta có
OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0
⟺13906t - 76483 = 0 ⟺
Suy ra
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Điểm
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Khi đó giá trị biểu thức
có giá trị bằng bao nhiêu?
Gọi tọa độ điểm
Ta có:
Ta có: là hình bình hành
suy ra điểm
Khi đó .
Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt
trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hình vẽ minh họa
+ Dễ thấy: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai véc tơ
và
. Tọa độ của véc tơ
tương ứng là:
Ta có: .
.
Suy ra .
Cho hình lập phương . Gọi
là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
Theo quy tắc hình hộp:
Mà nên
.
Cho và
. Hãy xác định tọa độ của
?
Ta có:
Trong không gian , cho ba điểm
và điểm
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có: nên tam giác ABC vuông tại B
Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.
Vậy đáp án cần tìm là
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian , cho hai vectơ
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là khẳng định sai.
Đang tải...
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: