Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (\alpha) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D'.Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}

    \Leftrightarrow \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SC'} = \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}

    Do A',B',C',D' đồng phẳng nên đẳng thức trên \Leftrightarrow \frac{SA}{SA'} + \frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'}.

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4). Tọa độ vectơ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)

    Vậy \overrightarrow{d}(7;0; - 4)

  • Câu 3: Nhận biết
    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyzcho \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}. Tọa độ của \overrightarrow{a} là

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{a} = (2;0; - 3)

  • Câu 4: Nhận biết
    Chọn khẳng định sai

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;0) và \overrightarrow{b} = ( - 2;3;1). Khẳng định nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1;1) suy ra “\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)” là khẳng định sai.

  • Câu 5: Nhận biết
    Xác định tọa độ vectơ

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyzcho \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}. Khi đó tọa độ \overrightarrow{u} với hệ Oxyz là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Lại có \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tìm khẳng định sai

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    + Gọi O là tâm của hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.

    + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) và C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) và C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Gọi D = (x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 - y;1 - z)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;3; - 3)

    ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = 1 \\ - 2 - y = 3 \\ 1 - z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow D(4; - 5;4).

    Vậy S = a + b + c = 3.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình thang » Đúng

    Vì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} và SC\bot(BIH).

    Vì O,A,C và BIH thẳng hàng nên đặt \overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OC};OB = m\overrightarrow{OD}

    \Rightarrow (k + 1)\overrightarrow{OC} + (m + 1)\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

    Mà \overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} không cùng phương nên k = - 2 và m = - 2

    \Rightarrow \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = 2 \Rightarrow AB//CD.

    “Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}.“. Đúng.

    Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.

    “Nếu ABCD là hình thang thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}. ». Sai.

    Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD,BC thì sẽ sai.

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình bình hành ». Đúng.

    Tương tự đáp án A với k = - 1,m = - 1 \Rightarrow O là trung điểm 2 đường chéo.

  • Câu 9: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 4, đỉnh A trùng với gốc O, các điểm B,D,A' lần lượt nằm trên các tia Ox,Oy,Oz.

    a. Tọa độ của điểm D là: (4;0;0) Sai||Đúng

    b. Tọa độ của vec tơ C là: (0;4;0) Sai||Đúng

    c. Tọa độ của vec tơ A' là: (0;0;4) Đúng||Sai

    d. Tọa độ của vec tơ C' là: (4;4;4) Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 4, đỉnh A trùng với gốc O, các điểm B,D,A' lần lượt nằm trên các tia Ox,Oy,Oz.

    a. Tọa độ của điểm D là: (4;0;0) Sai||Đúng

    b. Tọa độ của vec tơ C là: (0;4;0) Sai||Đúng

    c. Tọa độ của vec tơ A' là: (0;0;4) Đúng||Sai

    d. Tọa độ của vec tơ C' là: (4;4;4) Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    (a) Tọa độ của điểm D là: (4;0;0)

    Do \overrightarrow{OD} cùng hướng với \overrightarrow{j} và \left| \overrightarrow{OD} \right| = OD = 4 = 4\left| \overrightarrow{j} \right| nên \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{j} hay \overrightarrow{OD} = 0\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}.

    Suy ra: D(0;4;0).

    » Chọn SAI.

    (b) Tọa độ của vec tơ C là: (0;4;0)

    Do \overrightarrow{OB} cùng hướng với \overrightarrow{i} và \left| \overrightarrow{OB} \right| = OB = 4 = 4\left| \overrightarrow{i} \right| nên \overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{i} hay \overrightarrow{OB} = 4\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}.

    Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}.

    Suy ra: C(4;4;0).

    » Chọn SAI.

    (c) Tọa độ của vec tơ A' là: (0;0;4)

    Do \overrightarrow{OA'} cùng hướng với \overrightarrow{k} và \left| \overrightarrow{OA'} \right| = OA' = 4 = 4\left| \overrightarrow{k} \right| nên \overrightarrow{OA'} = 4\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{OA'} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}.

    Suy ra: A'(0;0;4).

    » Chọn ĐÚNG.

    (d) Tọa độ của vec tơ C' là: (4;4;4).

    Theo quy tắc hình hộp, ta có: \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA'} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}.

    Suy ra: C'(4;4;4)

    » Chọn ĐÚNG.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Xác định tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; - 1),B(3; - 1;5). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)

  • Câu 11: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1) là

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1).

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khi đó \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB//CD

    Suy ra AM = CN và AM//CN suy ra \overrightarrow{CN} = - \overrightarrow{AM}.

    \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{AN}

    = \overrightarrow{SN} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{SA}

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xác định chu vi tam giác

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ hai điểm A(3;0;0),B(0;0;4). Tính chu vi tam giác OAB?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (3;0;0) \Rightarrow OA = 3 \\ \overrightarrow{OB} = (0;0;4) \Rightarrow OB = 4 \\ \overrightarrow{AB} = ( - 3;0;4) \Rightarrow AB = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Chu vi tam giác OAB là:

    C = OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12

    Vậy đáp án đúng là: 12.

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Vì tọa độ điểm A(3;0;1) có x = 3;y = 0;z = 1 nên A \in (Oxz).

  • Câu 15: Vận dụng
    Xác định tọa độ điểm C’

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Hướng dẫn:

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k} mà A( - 3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 16: Nhận biết
    Chọn phương án thích hợp

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trong các vectơ sau, vectơ nào bằng vectơ \overrightarrow{BC}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Đáp án cần tìm:  \overrightarrow{A'D'} 

  • Câu 17: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}cùng có độ dài bằng 2. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng 120^{0}, giá trị của biểu thức P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2

    Do đó:

    P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Đáp án là:

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Hình vẽ minh họa

    Gọi Plà trung điểm của AC, E là điểm đối xứng của P qua G.

    Khi đó tứ giác AGCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AGCE là hình bình hành.

    \Rightarrow \overrightarrow{GC} =\overrightarrow{AE}.

    + Dựng EF\bot BC\ \ (F \inBC).

    Ta có: \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| = \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{AE} ight| = \left| \overrightarrow{IE} ight| = IE\geq EF.

    Do đó \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| nhỏ nhất khi I \equiv F.

    + Ta có: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{HC} =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}.

    + Gọi Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC (Q \inBC).

    Ta có:

    \frac{BP}{BE} = \frac{3GP}{BP + PE} =\frac{3GP}{3GP + GP} = \frac{3}{4}.

    + Do PQ // EF(vì cùng vuông góc với BC).

    Nên \Delta BPQ và \Delta BEF đồng dạng

    \Rightarrow \frac{BQ}{BF} = \frac{BP}{BE}= \frac{3}{4} \Rightarrow\overrightarrow{BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BQ}.

    + \Delta AHC có P là trung điểm AC và PQ // AH (do cùng vuông góc với BC).

    \Rightarrow PQ là đường trung bình.

    Khi đó, Q là trung điểm HC hay \overrightarrow{HQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} =\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.

    \overrightarrow{BF} =\frac{4}{3}\overrightarrow{BQ} = \frac{4}{3}(\overrightarrow{BH} +\overrightarrow{HQ}) = \frac{4}{3}(\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} +\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}) =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}

    Vậy M = 4 + 5 = 9.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Đáp án là:

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử D\left( x_{0},y_{0},z_{0} ight)

    Vì D là điểm trên đường bay (giữa A và B). Khi đó ta có ba điểm A,D,B thẳng hàng.

    Ta lại có D là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.

    Khi đó DC = 50\sqrt{3}\ km

    Ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AD}= k\overrightarrow{AB} \\DC =50\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} - 100 = k.300 \\ y_{0} - 200 = k.300 \\ z_{0} - 300 = k.300 \\ \sqrt{\left( x_{0} - 250 ight)^{2} + \left( y_{0} - 350 ight)^{2} + \left( z_{0} - 450 ight)^{2}} = 50\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 100 + 300k \\ y_{0} = 200 + 300k \\ z_{0} = 300 + 300k \\ \sqrt{(100 + 300k - 250)^{2} + (200 + 300k - 350)^{2} + (300 + 300k - 450)^{2}} = 50\sqrt{3}(*) \\ \end{matrix} ight.

    Giải (*) ta có 3{(k.300 - 150)^2} = 7500 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k = \frac{2}{3} \hfill \\ k = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vì D là điểm gần A hơn do đó chọn k = \frac{1}{3} hay D(200,300,400)

    Vậy độ dài quãng đường:

    AD = \sqrt {{{\left( {200 - 100} ight)}^2} + {{\left( {300 - 200} ight)}^2} + {{\left( {400 - 300} ight)}^2}}

    = 100\sqrt{3} \approx 173,21

  • Câu 20: Nhận biết
    Tìm tọa độ hình chiếu điểm A

    Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1\ ;\ 2\ ;\ 3) trên mặt phẳng (Oxz) là

    Hướng dẫn:

    Tọa độ hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là: (1;0;3).

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai vectơ

    Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{BD}và \ \overrightarrow{B'C} bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{BD}\ = \ \ \overrightarrow{B'D'}. Do đó,

    \left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ \left( \overrightarrow{B'D'}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \widehat{\ D'B'C}

    Vì B'C\ = \ CD'\ = \ D'B'nên tam giác B'CD'là tam giác đều.

    Suy ra \widehat{\ D'B'C}\ = \ 60{^\circ}

    Vậy \left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ 60{^\circ}

  • Câu 22: Thông hiểu
    Xác định các giá trị nguyên dương của tham số

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (5;3; - 2);\overrightarrow{b} = (m; - 1;m + 3). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}}

    Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù khi và chỉ khi

    \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) < 0 \Leftrightarrow \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}} < 0

    \Leftrightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3

    Mà m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m = \left\{ 1;2 ight\}

    Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Vậy đáp án cần tìm là 2.

  • Câu 23: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Xác định câu sai trong các câu dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC,BCD,CDA,ABD là các tam giác đều.

    Đáp án \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}.

    Đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}.

    Đáp án \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - \frac{a^{2}}{2}.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}= - a.a.\cos60^{0} = \frac{- a^{2}}{2}.

    Đáp án \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}.

    Sai vì \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} =a.a.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}; \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} = - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD} = - a.a.\cos60^{0} = - \frac{a^{2}}{2}

    Đáp án AB\bot CD hay \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

  • Câu 24: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Hướng dẫn:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2;9).

  • Câu 25: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm B’

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 26: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} = (x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 27: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm C

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0),C'(5;3;2). Xác định tọa độ điểm C?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm C(x;y;z)

    Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = - 2 - ( - 1) \\ 3 - y = 1 - 2 \\ 2 - z = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 4 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ C(6;4;3).

  • Câu 28: Nhận biết
    Tìm các vectơ đồng phẳng

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Từ hình vẽ ta thấy các vectơ \overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'} có giá cùng thuộc một mặt phẳng (AA'D'D).

  • Câu 29: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Khối rubik như hình vẽ có độ dài cạnh bằng 2. Khi gắn rubik vào hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0), B(2;0;0), D( 0 ; 2 ; 0 ), A'(0;0;2). Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của CD,AA' (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng \cos\lbrack B,MN,D'brack = m, tính giá trị 14m.

    Đáp án: -10

    Đáp án là:

    Khối rubik như hình vẽ có độ dài cạnh bằng 2. Khi gắn rubik vào hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0), B(2;0;0), D( 0 ; 2 ; 0 ), A'(0;0;2). Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của CD,AA' (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng \cos\lbrack B,MN,D'brack = m, tính giá trị 14m.

    Đáp án: -10

    Ta có M,\ N lần lượt là trung điểm của CD,AA', suy ra M(1;\ 2;\ 0),\ N(0;\ 0;\ 1)

    \Rightarrow \overrightarrow{MN} = ( - 1;\ - 2;\ 1)

    \Rightarrow MN:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.

    Gọi H(t;2t;1 - t);H'(u;2u;1 - u) thứ tự là hình chiếu của B ; D ' trên MN

    \overrightarrow{BH}(t - 2;2t;1 - t);\overrightarrow{D'H'}(u;2u - 2; - 1 - u) vuông góc với \overrightarrow{MN} = ( - 1;\ - 2;\ 1)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - t - 4t + 1 - t = 0 \\ - u - 4u + 4 - 1 - u = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{1}{2} \\ u = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{BH}\left( - \frac{3}{2};1;\frac{1}{2} ight);\overrightarrow{D'H'}\left( \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2} ight)

    \Rightarrow \cos\lbrack B,MN,D'brack = \cos\left( \overrightarrow{BH},\overrightarrow{D'H'} ight)= \frac{- \frac{3}{4} - 1 - \frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}}.\sqrt{\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}}} = - \frac{5}{7}

    \Rightarrow \cos\lbrack B,MN,D'brack = - \frac{5}{7} = m \Rightarrow 14m = - 10

  • Câu 30: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN;SC) bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra AC = a\sqrt{2}

    \Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} + SC^{2} suy ra tam giác SAC vuông tại S.

    Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA \Rightarrow \overrightarrow{NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}

    Khi đó \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0 suy ra MN\bot SC \Rightarrow (MN;SC) = 90^{0}

  • Câu 31: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(x;y;z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M'(x; - y;z).

    Nếu M' đối xứng với M qua trục Oy thì M'( - x;y; - z).

    Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ thì M'( - x; - y; - z).

    Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M'(x;y; - z)”.

  • Câu 32: Thông hiểu
    Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

    Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AO}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{CA} ight)\overrightarrow{CD}

    = \overrightarrow{CO}.\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}= CO.CD.\cos30^{0} -CA.CD.\cos60^{0}

    = \frac{a\sqrt{3}}{3}.a.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = 0.

    Suy ra AO\bot CD.

  • Câu 33: Nhận biết
    Chọn khẳng định chưa chính xác

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

    Hướng dẫn:

    Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

  • Câu 34: Thông hiểu
    Xác định giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Tìm m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight) là góc nhọn.

    Hướng dẫn:

    Để \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0

    \Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0

    \Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.

  • Câu 35: Thông hiểu
    Tính tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyz có điểm A(4;2;1),B( - 2; - 1;4). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: M(x;y;z). Khi đó \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}

    \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)

    Vậy giá trị cần tìm là M(0;0;3).

  • Câu 36: Thông hiểu
    Tính diện tích tam giác ABC

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1). Tính diện tích tam giác ABC?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;1) \\ \overrightarrow{AC} = (1;1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 1).1 + 0.1 + 1.1 = 0

    Suy ra \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}. Lại có: \left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{2} \\ \left| \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra diện tích tam giác ABC là: S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{\sqrt{6}}{2}

  • Câu 37: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Không gian với trục hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{a} là:

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)

    Vậy \overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)

  • Câu 38: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Tích vô hướng của 2 vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}trong không gian được tính bằng:

    Hướng dẫn:

    Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 39: Nhận biết
    Tìm số thực m thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{u} = (2; - 1;1) và \overrightarrow{v} = (0; - 3; - m). Tìm số thực m sao cho tích vô hướng \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2.

  • Câu 40: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Vectơ nào sau đây bằng 2\overrightarrow{MN}?

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{B'D'} cùng hướng với \overrightarrow{MN} và B'D' = 2MN, suy ra \overrightarrow{B'D'} =2\overrightarrow{MN}

0/40
40 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (32%):
    2/3
  • Thông hiểu (42%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (5%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
52 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này