VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A(3;5; - 1),\ \ B(7;x;1)$ và $C(9;2;y).$ Để $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $6.$
- B.
  $5.$
- C.
  $7.$
- D.
  $4.$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;x - 5;2),\ \ \overrightarrow{AC} = (6; - 3;y + 1)$

$A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{x - 5}{- 3} = \frac{2}{y + 1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6(x - 5) = - 12 \\ 4(y + 1) = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $x+y=5$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2;0; - 3)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{a} = (2;2; - 4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} = (2;4; - 1)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} = (0;1;-1)$
- D.
  $\overrightarrow{a} = (2;4; - 5)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} = (2;0; - 3) + 2.(0;2; - 1)$

$= (2 + 0;0 + 2.2; - 3 + 2.( - 1)) = (2;4; - 5)$
Câu 3: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , véctơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với hai véctơ $\overrightarrow{a} = (1 ; 1 ;1)$ và $\overrightarrow{b} = (1\ ; - 1\ ;3)$ ; đồng thời $\overrightarrow{u}$ tạo với tia $Oz$ một góc tù và độ dài véctơ $\overrightarrow{u}$ bằng 3. Tìm véctơ $\overrightarrow{u}$ .
- A.
  $\left( - \sqrt{6}\ ;\frac{\sqrt{6}}{2}\ ; \frac{\sqrt{6}}{2}ight)$ .
- B.
  $\left( \sqrt{6}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
- C.
  $\left( - \sqrt{6}\ ; -\frac{\sqrt{6}}{2} ;\frac{\sqrt{6}}{2}ight)$ .
- D.
  $\left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương đồng thời

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{a}} \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{b}} \\ \end{matrix} ight.$ $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\ }\mathbf{//}\mathbf{\ }\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\ }\mathbf{,}\mathbf{\ }\overrightarrow{\mathbf{b}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{4}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2} ight)$ $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2}\mathbf{k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k} ight)$ .

Do $\left| \overrightarrow{u} ight| = 3\Leftrightarrow \sqrt{4k^{2} + k^{2} + k^{2}} = 3$ $\Leftrightarrow k =\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Mặt khác $\overrightarrow{u}$ tạo với tia $Oz$ một góc tù nên

$\cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{k} ight) < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{k} < 0$ $\Leftrightarrow 2k.0 + ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow k > 0$ .

Suy ra $k = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Vậy $\overrightarrow{u} = \left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án sai
Tính chất nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} ight)$
- C.
  $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
Hướng dẫn:
Tính chất sai là: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
Câu 5: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{u} = (1;2;0)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{k}$
- B.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$
- C.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$
- D.
  $\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)$
$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)$
Suy ra $\overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tọa độ trọng tâm tam giác
Cho tam giác $ABC$ có $A(2;4;5),B( - 1;2;3),C(5;1;2)$ . Tọa độ của trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( 2;\frac{8}{3};5 ight)$ .
- B.
  $\left( 2;2;\frac{10}{3} ight)$ .
- C.
  $\left( 2;\frac{7}{3};\frac{10}{3} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{4}{3};\frac{8}{3};\frac{5}{3} ight)$ .
Hướng dẫn:
Với G là trọng tâm tam giác ABC:

$\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{c}}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{c}}{3} = \dfrac{7}{3} \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{c}}{3} = \dfrac{10}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow G\left( 2;\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3} ight)$

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác có tọa độ là $\left( 2;\frac{7}{3};\frac{10}{3} ight)$ .
Câu 7: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 1;\ 2;\ 0)$ và $\overrightarrow{v} = (1;\ - 2;\ 3)$ . Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ là:
- A.
  $(2;\ - 4;\ 3)$ .
- B.
  $(0;\ 0;\ - 3)$ .
- C.
  $(0;\ 0;\ 3)$ .
- D.
  $( - 2;\ 4;\ - 3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = ( - 1 + 1;\ 2 - 2;\ 0 + 3) = (0;\ 0;\ 3)$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
Hướng dẫn:
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = a,SB = b,SC = c$ . Một mặt phẳng $(\alpha)$ luôn đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ , cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A',B',C'$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ .
- A.
  $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- D.
  $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Hướng dẫn:
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Ta có $3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}$ .

Mà $G,A',B',C'$ đồng phẳng nên $\frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3$ $\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3$

Theo BĐT Cauchy schwarz:

Ta có $\left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

$\frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'}$ kết hợp với $\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3$ ta được;

$SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}$ .

Vậy GTNN của $\frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}$ là $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MN} = k.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$ ?
- A.
  $k = \frac{1}{2}$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 2$
- D.
  $k = 3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$

M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} ight)$

$= \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
Câu 11: Vận dụng

Ghi đáp án vào chỗ trống

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900(km/h)$ lên $920(km/h)$ , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900(km/h)$ và $920(km/h)$ lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ với $\overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight)$ . Tính giá trị của $k$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900(km/h)$ lên $920(km/h)$ , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900(km/h)$ và $920(km/h)$ lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ với $\overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight)$ . Tính giá trị của $k$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MO} = 3\overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ bằng
- A.
  $(2; - 4; - 3)$ .
- B.
  $(3;2;4)$ .
- C.
  $(3; - 2;4)$ .
- D.
  $( - 2;4;3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{MO} =3 \overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ $\Rightarrow M(2; - 4; - 3)$
Câu 13: Nhận biết
Chọn khẳng định chưa chính xác
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?
- A.
  Một trong ba vectơ đó bằng $\overrightarrow{0}$ .
- B.
  Có hai trong ba vectơ đó cùng hướng.
- C.
  Có một vectơ không cùng hướng với hai vectơ còn lại.
- D.
  Có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
Hướng dẫn:
Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.
Câu 14: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 3;4;0)$ và $\overrightarrow{b} = (5;0;12)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{3}{13}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{3}{13}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{5}{6}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{5}{6}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = - \frac{3}{13}$
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tứ diện $ABCD$ với $AB\bot AC,\ \ AB\bot BD$ . Gọi $P,\ \ Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Góc giữa $PQ$ và $AB$ là?
- A.
  $90^{0}.$
- B.
  $45^{0}.$
- C.
  $60^{0}.$
- D.
  $30^{0}.$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{PQ} \Rightarrow AB\bot PQ$

Vậy góc giữa $PQ$ và $AB$ là $90^{0}.$
Câu 16: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm D
Trong không gian vói hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$ , $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$ , đỉnh $A( - 1; - 1;0)$ , phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm $D$ biết $x_{B} > x_{A}$ .
- A.
  $D( - 3; - 5;1)$ .
- B.
  $D(3; - 5;1)$ .
- C.
  $D(2;-5;1)$ .
- D.
  $D( - 2; - 5;1)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $CD$ .

Khi đó $H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t)$ .

Đường thẳng $CD$ có vtcp là: $\overrightarrow{u}(2;2;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3$ .

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và song song với $CD \Rightarrow$ phương trình $AB$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a)$ $\Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|$

Theo bài ra ta có:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH$ $\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27$ $\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2)$ .

Với $a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)$
Câu 18: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai vectơ
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(1;3;2)$ .
- B.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- C.
  $(2;3; - 2)$ .
- D.
  $(3;2; - 2)$ .
Gợi ý:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ để lập hệ phương trình.

Hướng dẫn:
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{u} = (3\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$ .
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$ .
Câu 21: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1;0; - 2)$ . Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{c} = (2;0; - 4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{d} = \left( - \frac{1}{2};0;1 ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ cùng phương với mọi vectơ

Lại có $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.$

Vậy vectơ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .
Câu 22: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(1; - 3;2)$
- B.
  $(2; - 3;1)$
- C.
  $(2;1; - 3)$
- D.
  $(1;2; - 3)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .
Câu 23: Thông hiểu
Tìm đẳng thức sai
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Chọn đẳng thức sai?
- A.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}$ nên D sai.

Do $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ và $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ nên $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ . A đúng

Do $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} = \overrightarrow{A_{1}B_{1}} = \overrightarrow{DC}$ nên

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ nên B đúng.

Do $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ nên C đúng.
Câu 24: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 2$
- B.
  $U = 1$
- C.
  $U = 0$
- D.
  $U = 3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 25: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trong các vectơ sau, vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{A'D'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{A'C}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC'}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:
Đáp án cần tìm: $\overrightarrow{A'D'}$
Câu 26: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;1; - 4),B(2;1; - 2),C(1;1; - 3)$ . Tìm điểm $M \in Ox$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $M( - 2;0;0)$
- B.
  $M(0;2;0)$
- C.
  $M(2;0;0)$
- D.
  $M(6;0;0)$
Hướng dẫn:
Vì $M \in Ox$ suy ra $M(m;0;0)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (3 - m;1; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (2 - m;1; - 2) \\ \overrightarrow{MC} = (1 - m;1; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \sqrt{(6 - 3m)^{2} + 3^{2} + ( - 9)^{2}}$

$= \sqrt{9m^{2} - 36m + 126} = \sqrt{9(m - 2)^{2} + 90} \geq 3\sqrt{10};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ nhỏ nhất bằng $3\sqrt{10}$ khi $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ . Hay $M(2;0;0)$
Câu 27: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(5;0;1)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(7; - 4;1)$
- B.
  $\left( \frac{2}{9};\frac{1}{9};\frac{5}{9} \right)$
- C.
  $\left( \frac{11}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3} \right)$
- D.
  $(3 ; 1;2)$
Hướng dẫn:
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = - 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;B;A$ thẳng hàng và $A;B$ nằm khác phía so với điểm M do $- 4\frac{MB}{MA}$ âm.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{MA} = - 2\overrightarrow{MB}$ .

Gọi tọa độ $M(x;y;z)$ , khi đó

$\left\{ \begin{matrix} 1 - x = - 2(5 - x) \\ 2 - y = - 2(0 - y) \\ 3 - z = - 2(1 - z) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{11}{3} \\ y = \frac{2}{3} \\ z = \frac{5}{3} \\ \end{matrix} \right.$
Câu 28: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(2; - 1;5),C(3;2; - 1)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(4; - 2;4)$
- B.
  $D(0;0;8)$
- C.
  $D(2;6;8)$
- D.
  $D(2;6; - 4)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 3 - 2 \\ y - 3 = 2 + 1 \\ z - 2 = - 1 - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(2;6; - 4)$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm B
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ , khi đó tọa độ điểm $B$ là:
- A.
  $B( - 2; - 5;0)$
- B.
  $B(2;5;0)$
- C.
  $B(0;1;2)$
- D.
  $B(0; - 1; - 2)$
Hướng dẫn:
Gọi $B(x;y;z)$ ta có:
$A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ khi đó $\left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight.$ nên tọa độ điểm cần tìm là $B(2;5;0)$ .
Câu 30: Thông hiểu
Xác định tọa độ vector
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.
- A.
  (455;0;0).
- B.
  (435;0;0).
- C.
  (0;435;0).
- D.
  (0;455;0).
Gợi ý:
Tính quãng đường máy bay bay được.

Từ đó suy ra toạ độ.

Hướng dẫn:
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Câu 31: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120{^\circ}$ và $\left| \overrightarrow{u} \right| = 2$ , $\left| \overrightarrow{v} \right| = 5$ . Tính $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right|$
- A.
  $\sqrt{39}$ .
- B.
  $- 5$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $\sqrt{19}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2}$

$= {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}$

$= \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\ \overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2}$

$= 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19$ .

Suy ra $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $(1; - 2;0)$
- B.
  $(0;1; - 2)$
- C.
  $(0; - 1;2)$
- D.
  $(1;0; - 2)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$
Câu 33: Nhận biết
Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $Q(0;4; - 1)$
- B.
  $N( - 2;0;3)$
- C.
  $P(2;0;0)$
- D.
  $M(3;4;0)$
Hướng dẫn:
Ta có: $A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0$ nên điểm cần tìm là $Q(0;4; - 1)$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tìm tổng x và y
Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 1\ ;\ 1\ ;\ 2)$ , $B(0\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ , $C(x + 2;y; - 2)$ thẳng hàng. Tổng $x + y$ bằng
- A.
  $- \frac{8}{3}$ .
- B.
  $- \frac{2}{3}$ .
- C.
  $- \frac{1}{3}$ .
- D.
  $\frac{7}{3}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;0; - 3)$ , $\overrightarrow{BC} = (x + 2;y - 1; - 1)$ .

Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = k \\ y - 1 = 0 \\ - 1 = - 3k \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{- 5}{3} \\ y = 1 \\ k = \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = - \dfrac{2}{3}$ .
Câu 35: Vận dụng
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$ và điểm $M(1\ ;2\ ;\ - 3)$ . Gọi $M_{1}$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ . Độ dài đoạn thẳng $OM_{1}$ bằng
- A.
  $2\sqrt{2}$ .
- B.
  $\sqrt{6}$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Một vtcp của $d$ là $\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ .

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M(1\ ;2\ ;\ - 3)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ . Khi đó $(\alpha)$ có vtpt là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ .

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $2(x - 1) + 1(y - 2) + 2(z + 3) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 2 = 0$ .

$M_{1}$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ nên $M_{1}$ là giao điểm của $d$ và $(\alpha)$ .

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t\ \ \ \ \ (1) \\ y = - 1 + t\ \ \ \ \ (2) \\ z = 1 + 2t\ \ \ \ \ \ (3) \\ 2x + y + 2z + 2 = 0\ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Thay $(1),(2),(3)$ vào $(4)$ ta được: $2(3 + 2t) - 1 + t + 2(1 + 2t) + 2 = 0$

$\Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ .

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ -1)$ .

Độ dài đoạn thẳng $OM_{1}$ là: $OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}$ .

Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Một vtcp của $d$ là $\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ .

$M_{1} \in d \Rightarrow M_{1}(3 + 2t\ ;\ - 1 + t\ ;\ 1 + 2t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MM_{1}} = (2 + 2t\ ;\ - 3 + t\ ;\ 4 + 2t)$ .

Ta có $\overrightarrow{MM_{1}}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{MM_{1}}.\overrightarrow{u} = 0$ $\Leftrightarrow 4 + 4t - 3 + t + 8 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ .

Suy ra $M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ - 1)$

Độ dài đoạn thẳng $OM_{1}$ là: $OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $- 1$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0$
Câu 37: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 38: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5)$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{x} = - 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
Hướng dẫn:
Đặt $\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)$

$\Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$ là đẳng thức đúng.
Câu 39: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng $SA,SB$ sao cho $SM = \frac{1}{2}AM;\ SN = \frac{1}{2}BN$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} =\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}SM = \dfrac{1}{2}AM \\SN = \dfrac{1}{2}BN \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}SM = \dfrac{1}{3}SA \\SN = \dfrac{1}{3}SB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow MN = \frac{1}{3}AB =\frac{1}{3}CD$ .
Nên $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
Câu 40: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (32%):

2/3
Thông hiểu (42%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian