VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2)$ và $B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Giá trị của $a - b + c$ bằng
- A.
  3.
- B.
  0.
- C.
  2.
- D.
  1.
Hướng dẫn:
Tính được $OA = 3;OB = 4;AB = 5$

Ta có: $OA.\overrightarrow{IB} + OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\ 3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\ 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy, $I(1;1;0)$ , suy ra $a - b + c = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề
Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:
- A.
  $\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- B.
  $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$
- C.
  $\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- D.
  $\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
Hướng dẫn:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho hai điểm phân biệt $A;B$ và một điểm $O$ bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k.\overrightarrow{BA}$ .
- B.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ .
- C.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k.\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ight)$ .
- D.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .
Hướng dẫn:
Mệnh đề đúng: “Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ ”.
Câu 4: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh đều bằng $a$ và các góc $\widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}$ . Tính góc giữa đường thẳng $AC'$ với các đường thẳng $AB,AD,AA'$ .
- A.
  $\left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $\left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{6}}{4}$
- D.
  $\left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{5}}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

$\left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(11;2; - 2)$
- B.
  $D(1;8; - 2)$
- C.
  $D(11;2;2)$
- D.
  $D(1;8;2)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 6: Nhận biết
Tính độ dài vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;1; - 3)$ , $B(3; - 1;1)$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $OAB$ , vectơ $\overrightarrow{OG}$ có độ dài bằng:
- A.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .
- B.
  $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ .
- C.
  $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ .
- D.
  $\frac{3\sqrt{5}}{3}$ .
Hướng dẫn:
Vì G là trọng tâm tam giác $OAB$ nên tọa độ $G\left( \frac{4}{3};0;\frac{- 2}{3} ight)$ .

Ta có: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 = k \\ m - 1 = 3k \\ 3 = k( - 2n) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 2 \\ m = 7 \\ n = - \dfrac{3}{4} \\ \end{matrix} ight.$
Câu 7: Nhận biết
Tìm các vectơ đồng phẳng
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC'}$
- C.
  $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$ có giá cùng thuộc một mặt phẳng $(AA'D'D)$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (10; - 2;13)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 2;7)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;7)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
Câu 9: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (3; - 1;2)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;3)$ , tích $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $11$ .
- B.
  $13$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $- 13$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 2) + ( - 1).1 + 2.3 = - 6 - 1 + 6 = - 1$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng
Gọi $O$ là tâm của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

Vì $O$ là trung điểm của $AC'$ suy ra $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Câu 11: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Cho $A(1;\ \ 1;\ - 2)$ và $B(2;\ \ - 1;\ \ 0)$ . Hãy xác định tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ \ 2;\ \ 2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;\ \ 2;\ \ - 2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (3;\ \ 0;\ \ - 2)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$
Câu 12: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng: $90^{0}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Xác định giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu
Tìm $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight)$ là góc nhọn.
- A.
  $0 < m < \frac{1}{2}$ .
- B.
  $m > 1$ .
- C.
  $m > \frac{1}{2},m eq1$ .
- D.
  $m > 1$ hoặc $0 < m < \frac{1}{2}$ .
Hướng dẫn:
Để $\left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0$

$\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0$

$\Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.$
Câu 14: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;2)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \in Oy$
- B.
  $M \in (Oxz)$
- C.
  $M \in (Oxy)$
- D.
  $M \in (Oyz)$
Hướng dẫn:
Vì tọa độ điểm $M(1;0;2)$ có $x = 1;y = 0;z = 2$ nên $M \in (Oxz)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Chọn khẳng định sai?
- A.
  Góc giữa $B_{1}D_{1}$ và $AA_{1}$ bằng $60{^\circ}$ .
- B.
  Góc giữa $BD$ và $A_{1}C_{1}$ bằng $90{^\circ}$ .
- C.
  Góc giữa $AD$ và $B_{1}C$ bằng $45{^\circ}$ .
- D.
  Góc giữa $AC$ và $B_{1}D_{1}$ bằng $90{^\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AA_{1}}.\overrightarrow{B_{1}D_{1}} = \overrightarrow{BB_{1}}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BB_{1}}.\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} ight)$

$= \overrightarrow{BB_{1}}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}.\overrightarrow{BC} = 0$ (vì $\left( \overrightarrow{BB_{1}},\overrightarrow{BA} ight) = 90^{0}$ và $\left( \overrightarrow{BB_{1}},\overrightarrow{BC} ight) = 90^{0}$ )

Do đó: $\left( \overrightarrow{AA_{1}},\overrightarrow{B_{1}D_{1}} ight) = 90^{0} \Rightarrow \left( AA_{1},B_{1}D_{1} ight) = 90^{0}$
Câu 16: Vận dụng
Xác định giá trị biểuthức
Trong không gian với hệ tọa $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;4)$ , $\overrightarrow{b} = \left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$ . Biết vectơ $\overrightarrow{b}$ tạo với tia $Oy$ một góc nhọn và $\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{21}$ . Giá trị của tổng $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $- 6$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $- 3$ .
Hướng dẫn:
Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương và nên ta có $\overrightarrow{b} = k.\overrightarrow{a}(k eq 0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = k \\ y_{0} = - 2k \\ z_{0} = 4k \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $\frac{x_{0}}{1} = \frac{y_{0}}{- 2} = \frac{z_{0}}{4} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = \dfrac{1}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ y_{0} = - \dfrac{2}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ z_{0} = \dfrac{4}{3}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết vectơ $\overrightarrow{b}$ tạo với tia $Oy$ một góc nhọn nên $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{j} > 0$ với $\overrightarrow{j} = (0;1;0)$ , do đó $y_{0} > 0$ .

Mà $\frac{y_{0}}{- 2} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3}$ nên $x_{0} + y_{0} + z_{0} < 0$ .

Lại có $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{21}$ , suy ra

$\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2}} = \sqrt{\frac{21}{9}\left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2}}$ $= \sqrt{21} \Rightarrow \left( x_{0} + y_{0} + z_{0} ight)^{2} = 9$ .

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 3$ .
Câu 17: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;0;1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $A \equiv O$
- B.
  $A \in (Oxy)$
- C.
  $A \in (Oxz)$
- D.
  $A \in (Oyz)$
Hướng dẫn:
Vì tọa độ điểm $A(3;0;1)$ có $x = 3;y = 0;z = 1$ nên $A \in (Oxz)$ .
Câu 18: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm A
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của điểm $A$ là
- A.
  $(2; - 1; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- C.
  $( - 1;2; - 3)$ .
- D.
  $( - 3;2; - 1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = (1; - 2;3)$

Khi đó $A( - 1;2; - 3)$
Câu 19: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $60{^\circ}$
- B.
  $90{^\circ}$
- C.
  $120{^\circ}$
- D.
  $45{^\circ}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $EG//AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}$
Câu 20: Thông hiểu
Xác định giá trị tham sốk
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , biết $\left| \overrightarrow{u} \right| = 2$ ; $\left| \overrightarrow{v} \right| = 1$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng $\frac{2\pi}{3}$ . Tìm $k$ để vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ .
- A.
  $k = \frac{2}{5}$ .
- B.
  $k = 2$ .
- C.
  $k = - \frac{2}{5}$ .
- D.
  $k = \frac{5}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.1.cos\left( \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} ight) = 2.cos\frac{2\pi}{3} = - 1$ .

Vectơ $\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} = \left( k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight) = 0$

$\Leftrightarrow k{\overrightarrow{u\ }}^{2} + (1 - k)\overrightarrow{u\ }.\overrightarrow{v\ } - {\overrightarrow{v\ }}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 4k - (1 - k) - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$ .
Câu 21: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm Q
Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(1; - 1;1)\ ,\ \ N(2;0; - 1)\ ,\ \ P( - 1;2;1)$ . Xét điểm $Q$ sao cho tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành. Tọa độ $Q$ là
- A.
  $(4;1;3)$
- B.
  $( - 2;1; - 3)$
- C.
  $( - 2;1;3)$
- D.
  $( - 2;1;3)$
Hướng dẫn:
Gọi $Q(x;y;z).$ Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;1; - 2)\ \ ,\ \ \ \ \overrightarrow{QP} = ( - 1 - x;2 - y;1 - z).$

Tứ giác $MNPQ$ là một hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 2 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Vậy, $Q( - 2;1;3)$ .
Câu 22: Vận dụng
Xác định giá trị thực của k
Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?
- A.
  $k = 4$
- B.
  $k = \frac{1}{2}$
- C.
  $k = \frac{1}{4}$
- D.
  $k = 2$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
Câu 23: Vận dụng
Tìm tọa độ vecto của máy bay
Cho biết máy bay $A$ đang bay với vận tốc $\overrightarrow{u} = (300;200;400)$ (đơn vị: $km/h)$ . Máy bay $B$ ngược hướng và có tốc độ gấp 2 lần tốc độ của máy bay $A$ . Tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của máy bay $B$ là
- A.
  $\overrightarrow{v} = (600;400;800)$ .
- B.
  $\overrightarrow{v} = ( - 150; - 100; - 200)$ .
- C.
  $\overrightarrow{v} = (150;100;200)$ .
- D.
  $\overrightarrow{v} = ( - 600; - 400; - 800)$ .
Hướng dẫn:
Tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của máy bay $B$ là:

$\overrightarrow{v} = - 2\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{v} = ( - 600; - 400; - 800)$
Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$
Câu 25: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .
Câu 26: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( 0\ ;\ 4\sqrt{2}\ ;\ 0 \right)$ , $B\left( 0\ ;\ 0\ ;\ 4\sqrt{2}\right)$ , điểm $C \in (Oxy)$ và tam giác $OAC$ vuông tại $C$ , hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BC$ là điểm $H$ . Khi đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $2\sqrt{2}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $B \in Oz$ . Ta có $A \in (Oxy)$ và $C \in (Oxy)$ , suy ra $OB\bot(OAC)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AC\bot OC \\ AC\bot OB \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow AC\bot(OBC)$ , mà $OH \subset(OBC)$ . Suy ra $AC \bot OH$ $(1)$ .

Mặt khác ta có $OH\bot BC$ $(2)$ , .

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $OH\bot(ABC)$ $\Rightarrow OH\bot AB$ và $OH\bot HA$ .

Với $OH\bot AB$ suy ra $H$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $(P)$ là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

Phương trình của $(P)$ là: $y - z = 0$ .

Với $OH\bot HA$ $\Rightarrow \Delta OHA$ vuông tại $H$ .

Do đó $H$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 0\ ;\ 2\sqrt{2}\ ;\ 0 ight)$ là trung điểm của $OA$ và bán kính $R = \frac{OA}{2} = 2\sqrt{2}$ .

Do đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn $(T)$ cố định là giao tuyến của mp $(P)$ với mặt cầu $(S)$ .

Giả sử $(T)$ có tâm $K$ và bán kính $r$ thì $IK = d\left( I,(P) ight) = 2$ và $r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} = 2$ .

Vậy điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng $2$ .
Câu 27: Thông hiểu
Tính tổng a và b
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):\ x + y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ . Gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $(\alpha)$ và $\overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ với $a,\ b\mathbb{\in Z}$ . Tính tổng $a + b$ .
- A.
  $1$ .
- B.
  $- 2$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:

Ta có mặt phẳng $(\alpha)$ nhận vectơ $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1;\ 1;\ 1)$ là vectơ pháp tuyến, đường thẳng $d$ đi qua điểm $A = (0;\ - 1;\ 2)$ và nhận $\overrightarrow{u_{d}} = (1;\ 2;\ - 1)$ là vectơ chỉ phương

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ta có $\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{u_{d}} = ( - 3;\ 2;\ 1)$ .

Khi đó đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ .

Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{n_{\beta}} = ( - 1;\ - 4;\ 5)$ .

Mà $\overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b)$ nên $a = 4$ , $b = - 5$ . Vậy $a + b = - 1$ .
Câu 28: Thông hiểu
Phân tích vectơ theo một vectơ cho trước
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{\ AB} = \overrightarrow{b,}\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ $\overrightarrow{BC'}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{c}$ .
- A.
  $\overrightarrow{BC'} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{BC'} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC'} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tọa độ các điểm $A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0)$ . Xác định tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'( - 1;0;2)$
- B.
  $A'( - 1; - 3;2)$
- C.
  $A'(0;2;3)$
- D.
  $A'( - 2; - 1;0)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi tọa độ điểm $A'(x;y;z)$

Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên

$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 0 = - 2 - ( - 1) \\ y - 1 = 1 - 2 \\ z - 3 = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ $A'( - 1;0;2)$
Câu 30: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} = 2\overrightarrow{B_{1}D}$
- D.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
Câu 31: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(3;2; - 1)$ , $B( - 1;0;5)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ khi $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất.
- A.
  7
- B.
  2
- C.
  5
- D.
  10
Hướng dẫn:
Gọi $K$ là điểm thỏa: $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow K(1;1;2)$ .

Ta có:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KA} \right) + \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KB} \right) \right|$

$= \left| 2\overrightarrow{MK} + \left( \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} \right) \right| = \left| 2\overrightarrow{MK} \right| = 2MK$ .

Do đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MK$ nhỏ nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Suy ra $M(1;1;0)$ .

Vậy $T = a + b + c = 1 + 1 + 0 = 2$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tính tổng x và y
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3\ ;\ 5\ ;\ - 1)$ , $B(7\ ;\ x\ ;\ 1)$ và $C(9\ ;\ 2\ ;\ y)$ . Để $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng thì giá trị $x + y$ bằng
- A.
  $7$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $5$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4\ ;\ x - 5\ ;\ 2)$ , $\overrightarrow{AC} = (6\ ;\ - 3\ ;\ y + 1)$ .

Ba điểm $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \exists k\mathbb{\in R}:\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 = 6k \\ x - 5 = - 3k \\ 2 = k(y + 1) \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = \frac{2}{3} \\ x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $x + y = 5$ .
Câu 33: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

Ta có $\overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)$

OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ $t = \frac{11}{2}.$

Suy ra $H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).$

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

$OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ . Xác định giá trị của $m;n$ để hai vectơ đã cho có cùng hướng?
- A.
  $m = 7;n = - \frac{4}{3}$
- B.
  $m = 1;n = 0$
- C.
  $m = 7;n = - \frac{3}{4}$
- D.
  $m = 4;n = - 3$
Hướng dẫn:
Ta có: Hai vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ cùng hướng nên

$\overrightarrow{a} =k.\overrightarrow{b};(k > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m - 1 = 3k \\3 = k( - 2n) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m = 7 \ = - \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ là đáp án cần tìm.
Câu 35: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng
Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $G$ thỏa mãn $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ ( $G$ là trọng tâm của tứ diện). Gọi $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{GA} = - 2\overrightarrow{G_{0}G}$
- B.
  $\overrightarrow{GA} = 4\overrightarrow{G_{0}G}$
- C.
  $\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{G_{0}G}$
- D.
  $\overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ suy ra $G_{0}$ là trọng tâm tam giác $BCD$ suy ra $\overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$
Câu 36: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng:
- A.
  $0^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên $AM\bot CD;OM\bot CD$

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)$

$= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{0}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$ . Số đo của góc $(MN;SC)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra $AC = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} + SC^{2}$ suy ra tam giác SAC vuông tại S.

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác $DSA$ $\Rightarrow \overrightarrow{NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}$

Khi đó $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0$ suy ra $MN\bot SC \Rightarrow (MN;SC) = 90^{0}$
Câu 38: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{OM} = (2x - 4)\overrightarrow{i} -4\overrightarrow{j} + (y - 1) \overrightarrow{k}$ . Khi điểm $M \in Oy$ thì giá trị $x + 2y$ bằng?
- A.
  $3$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OM} = (2x - 4)\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} + (y - 1)\overrightarrow{k} \\ M \in Oy \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 4 = 0 \\ y - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x + 2y = 4$
Câu 39: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm P
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0; - 3)$ .
- B.
  $P(0;3;0)$ .
- C.
  $P(0;0;3)$ .
- D.
  $P(3;0;0)$ .
Hướng dẫn:
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 40: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm M
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;3)$ và $B(3; - 1;2)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)$ .
- B.
  $\left( \frac{5}{3};0;\frac{7}{3} \right)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{1}{2};\frac{5}{4} \right)$ .
- D.
  $(7; - 4;1)$ .
Hướng dẫn:
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;A;B$ thẳng hàng và $A;B$ nằm cùng phía so với điểm $M$ do $\frac{4MB}{MA}$ dương.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

Vậy B là trung điểm của MA.

Khi đó ta đươc tọa độ điểm $M(7; - 4;1)$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (32%):

2/3
Thông hiểu (42%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đang tìm đối thủ...

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện