VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Luyện tập Ứng dụng hình học của tích phân

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4 Cánh Diều

Vndoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Ứng dụng hình học của tích phân sách Cánh Diều. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định thể tích V
Tính thể tích $V$ của vật thể sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{x}.\sqrt{x}$ , đường thẳng $x = 1$ và trục hoành?
- A.
  $V = \frac{1}{4}\left( e^{4} - 1 ight)$
- B.
  $V = \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
- C.
  $V = \frac{\pi}{4}\left( e^{4} - 1 ight)$
- D.
  $V = \frac{1}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
Hướng dẫn:
Thể tích V của vật thể là:

$V = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{x}\sqrt{x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{2x}.x ight)dx}$

$= \frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}{xd\left( e^{2x} ight)} = \frac{\pi}{2}\left\lbrack \left. \ \left( x.e^{2x} ight) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{2x}dx} ightbrack$

$= \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
Câu 2: Nhận biết
Xác định thể tích của vật
Vật thể $B$ giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình $x = 0$ và $x = 2$ . Cắt vật thể $B$ với mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x;(0 \leq x \leq 2)$ ta được thiết diện có diện tích bằng $x^{2}(2 - x)$ . Thể tích của vật thể $B$ :
- A.
  $V = \frac{2\pi}{3}$
- B.
  $V = \frac{4}{3}$
- C.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
- D.
  $V = \frac{2}{3}$
Hướng dẫn:
Thể tích của vật thể B là:

$V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ và các đường thẳng $y = 2;y = - 2x - 4$ như hình vẽ:
- A.
  $S = - \frac{5}{4} +3\ln2$
- B.
  $S = 3\ln3 - 2$
- C.
  $S = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{1}{4} + 3\ln2$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{x - 1}{x + 2} = - 2x - 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét $- 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

Xét $\frac{x - 1}{x + 2} = 2 \Leftrightarrow x = - 5$

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{- 5}^{\frac{- 7}{2}}{\left( \frac{x - 1}{x + 2} - 2 ight)dx} + \int_{- \frac{7}{2}}^{- 3}{( - 2x - 4 - 2)dx}$

$= - \frac{5}{4} + 3\ln2$
Câu 4: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi các đường $y = 4 - x^{2};y = 0$ quanh trục $Ox$ có kết quả có dạng $\frac{\pi a}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $a - 30b$ bằng:
- A.
  $82$
- B.
  $26$
- C.
  $62$
- D.
  $28$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao $4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích cần tính $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}$

Suy ra $a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62$ .
Câu 5: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho đường cong $(C):y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $(C)$ , tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ . Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây??
- A.
  $\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $y' = 3x^{2}$ có $A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$\Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

$S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27$

$\Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27$

$\Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27$

$\Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Câu 6: Nhận biết
Tìm thể tích khối tròn xoay
Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4$ . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ ?
- A.
  $V = \frac{21\pi}{16}$
- B.
  $V = \frac{15\pi}{8}$
- C.
  $V = \frac{15}{16}$
- D.
  $V = \frac{21}{16}$
Hướng dẫn:
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ là

$V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính thể tích V
Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} + 1;y = x^{3} + 1$ quay quanh $Ox$ .
- A.
  $\frac{2\pi}{35}$
- B.
  $\frac{47\pi}{210}$
- C.
  $\frac{2}{35}$
- D.
  $\frac{47}{210}$
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2} + 1 = x^{3} + 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V = \pi\int_{0}^{1}{\left| \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ight|dx}$

$= \pi\left| \int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ightbrack dx} ight|$

$= \pi\left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{6} + x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} ight)dx} ight|$

$= \pi\left| \left. \ \left( - \frac{1}{7}x^{7} + \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{47\pi}{210}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính kinh phí làm biển quảng cáo
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_{1};A_{2};B_{1};B_{2}$ như hình vẽ:
Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh $B_{1}$ , trục đối xứng $B_{1}B_{2}$ và đi qua các điểm $M;N$ . Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m² và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m². Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m$
- A.
  $2.057.000$ đồng
- B.
  $2.431.000$ đồng
- C.
  $2.760.000$ đồng
- D.
  $1.664.000$ đồng
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A₁A₂. Tọa độ các đỉnh A₁(−2; 0), A₂(2; 0), B₁(0; −1), B₂(0; 1)
Phương trình đường Elip $(E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$
Ta có: $M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)$
Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình $y = ax^{2} - 1$ , (a > 0), đi qua M; N
$\Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1$
Diện tích phần tô đậm
$S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}$
$= \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2$
Đặt $x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt$
Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2$
$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}$
$= \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}$
Diện tích hình Elip là $S = πab = 2π$
Suy ra diện tích phần còn lại là: $S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}$
Kinh phí sử dụng là $2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000$ đồng.
Câu 9: Nhận biết
Tìm công thức tính diện tích thích hợp
Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức
- A.
  $S = \int_{0}^{4}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
- C.
  $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{4}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
Câu 10: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3}$ , trục hoành, $x = 0$ và $x = 2$ bằng
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4$
Câu 11: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng
Cho hàm số $y = x^{2} - 2x$ có đồ thị $(P)$ . Các tiếp tuyến với đồ thị tại $O(0;0)$ và tại $A(3;3)$ cắt nhau tại $B$ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung $OA$ của $(P)$ và hai tiếp tuyến $BO;BA$ ?
- A.
  $S = \frac{9}{3}$
- B.
  $S = \frac{9}{5}$
- C.
  $S = \frac{9}{4}$
- D.
  $S = \frac{9}{8}$
Hướng dẫn:
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

$y' = 2x - 2$

Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB: $y = y'(0)(x - 0) + 0 \Leftrightarrow y = - 2x$

Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB: $y = y'(3)(x - 3) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 9$

Suy ra $OA \cap OB = B\left( \frac{3}{2}; - 3 ight)$

Diện tích hình giới hạn là

$S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{x^{2}dx} + \int_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( x^{2} - 6x + 9 ight)dx} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}$
Câu 12: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 2$ biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là $2cm$ ?
- A.
  $S = 17\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $S = \frac{17}{4}\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $S = 15\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $S = \frac{15}{4}\left( cm^{2} ight)$
Hướng dẫn:
Ta có: $S = \int_{- 1}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \int_{- 1}^{0}{\left| x^{3} ight|dx} + \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx}$

$= - \int_{- 1}^{0}{x^{3}dx} + \int_{0}^{2}{x^{3}dx} = \left. \ - \frac{x^{4}}{4} ight|_{- 1}^{0}\left. \ + \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{2} = \frac{17}{4}$

Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên $S = \frac{17}{4}.2^{2} = 17\left( cm^{2} ight)$
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e$ là $S = a\sqrt{2} + b$ . Tính giá trị $a^{2} + b^{2}$ ?
- A.
  $\frac{20}{9}$
- B.
  $2$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $\frac{2}{3}$
Hướng dẫn:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}$

Đặt $\sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

$S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3}$ hay $a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}$
Câu 15: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a;x = b;a < b$ là
- A.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- D.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
Hướng dẫn:
Ta có hình phẳng giới hạn bởi $\left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight.$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tính thể tích chiếc lu
Một khối cầu có bán kính $5dm$ , người ta cắt bỏ $2$ phần bằng $2$ mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu $3dm$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).
- A.
  $41\pi\left( dm^{3} ight)$
- B.
  $43\pi\left( dm^{3} ight)$
- C.
  $132\pi\left( dm^{3} ight)$
- D.
  $\frac{100\pi}{3}\left( dm^{3} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y^{2} = 25 - x^{2}$ quay quanh trục Ox.

Thể tích cái lu bằng;

$V = \pi\int_{- 3}^{3}{\left( 25 - x^{2} ight)dx} = \pi\left. \ \left( 25x - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 3}^{3} = 132\pi\left( dm^{3} ight)$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ:

Diện tích $S$ của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục $Ox$ (phần gạch sọc) được tính bởi công thức
- A.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
- B.
  $S = \int_{- 3}^{3}{f(x)d(x)}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} + \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
- D.
  $S = \left| \int_{- 3}^{3}{f(x)d(x)} ight|$
Hướng dẫn:
Từ đồ thị hàm số ta thấy $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 3;1brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;3brack \\ \end{matrix} ight.$

Do đó:

$S = \int_{- 3}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}$

$= \int_{- 3}^{1}{\left| f(x) ight|d(x)} + \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}$

$= \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
Câu 18: Nhận biết
Tính thể tích khối tròn xoay D
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^{x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{\pi e^{2}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} + 1 ight)}{2}$
- C.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$
- D.
  $V = \frac{e^{2} - 1}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}$ ?
- A.
  $S = 1$
- B.
  $S = \frac{5}{4}$
- C.
  $S = \frac{3\pi}{2}$
- D.
  $S = 2$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}$

Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2$
Câu 20: Vận dụng
Tính diện tích nhỏ nhất
Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là:
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{3}{4}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{4}{3}$
Hướng dẫn:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

$x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0$

Vì $\Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R}$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2}$ với $x_{1} < x_{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight.$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}$

$= \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|$

$= \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là $\frac{4}{3}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (45%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

1

20

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Toán 12 - Cánh diều

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Luyện tập Ứng dụng hình học của tích phân

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm