VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Luyện tập Phương trình đường thẳng Cánh Diều

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 Cánh Diều

Vndoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Phương trình đường thẳng sách Cánh Diều. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và điểm $M \in OI$ sao cho $MO = \frac{1}{2}MI$ (tham khảo hình vẽ).

Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
- A.
  $\frac{6\sqrt{85}}{85}$
- B.
  $\frac{7\sqrt{85}}{85}$
- C.
  $\frac{17\sqrt{13}}{65}$
- D.
  $\frac{6\sqrt{13}}{65}$
Hướng dẫn:
Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)

Khi đó ta có: $M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3} ight)$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MA} = \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{AB};\overrightarrow{MA} ightbrack = \left( 0; -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (0; - 4;3)$ là VTPT của mặt phẳng (MAB)

Lại có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{D'C'} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MD'} = \left( \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}ight) \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{D'C'};\overrightarrow{MD'} ightbrack =\left( 0;\frac{1}{3}; - \frac{1}{2} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;2; - 3)$ là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)

Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:

$\cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{\left| 0.0 - 4.2 + 3.( - 3) ight|}{\sqrt{0^{2} + ( - 4)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{0^{2} + 2^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{17\sqrt{13}}{65}$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 3 - t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $45^{0}$ . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $M(3; - 1;2)$
- B.
  $M(3;2; - 1)$
- C.
  $M(3;2;1)$
- D.
  $M(3; - 1; - 2)$
Hướng dẫn:
Ta viết phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên có dạng:

$\left\{ \begin{matrix} mx + n(y + z - 3) = 0 \\ m^{2} + n^{2} eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow mx + ny + nz - 3n = 0$

⇒ $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(P)}} = (m;n;n)$

Mặt phẳng $(Oxy)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Ta có:

$\cos\left( (P);(Oxy) ight) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{k} ight) ight|$

$\Leftrightarrow \cos45^{0} = \frac{\left|\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{k} ight|}{\left|\overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|n|}{\left| m^{2} + n^{2} +n^{2} ight|}$

$\Leftrightarrow \left| m^{2} + 2n^{2} ight| = \sqrt{2}|n| \Leftrightarrow m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Chọn $n = 1 \Rightarrow (P):y + z - 3 = 0 \Rightarrow M(3;2;1) \in (P)$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P):x - 2y - 2z + 5 = 0$ . Điểm $A$ nào dưới đây thuộc $d$ và thỏa mãn khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $3$ ?
- A.
  $A(2; - 1;0)$
- B.
  $A(4; - 2;1)$
- C.
  $A( - 2;1; - 2)$
- D.
  $A(0;0; - 1)$
Hướng dẫn:
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

Khoảng cách từ A đến (P) là

$\frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3$

$\Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)$
Câu 4: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $d$ vuông góc với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ song song với $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ cắt $(P)$ .
Hướng dẫn:
$\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ thì d có thể nằm trong $(P)$ .
$d$ song song $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ .
$d$ vuông góc $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương $\overrightarrow{n}$ .
Câu 5: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1; 1)$ , đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình $\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Biết $B (a; b; c)$ , khi đó $a + b + c$ bằng
- A.
  $- 2$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Giả sử đường cao là $CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ ta có vectơ chỉ phương của CH là $\overrightarrow {u} = (2; 5; −1)$ .

B thuộc đường trung tuyến $BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5}$ nên $B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)$

Vì $CH ⊥ AB$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0$ $⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0)$ .

Vậy $a + b + c = 0$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ ,cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\frac{1}{\sqrt{7}}$
- C.
  $\sqrt{7}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{14}}$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; - 1)$

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $B(0; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = (2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)$

$\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack = \left( \left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:

$d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tích b.c
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $d_{1}$ tạo với $d_{2}$ một góc $45^{0}$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n} = (1;b;c)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích $b.c$ ?
- A.
  $b.c = 4$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = - 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $b.c = - 4$
Hướng dẫn:
Hai đường phẳng $d_{1};d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - 2; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;0 - 1)$

Mặt phẳng (P) đi qua $d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\ \ (1)$

$\Rightarrow \sin\left( d_{2};(P) ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{2}} ight|}{\left|\overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u_{2}} ight|} =\sin45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{|1 - c|}{\sqrt{b^{2} + c^{2} + 1}.\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |1 - c| = \sqrt{b^{2} + c^{2} + 1} \Leftrightarrow b^{2} + 2c = 0(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow bc = - 4$
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2)$ .

Đường thẳng $d_{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}$

Suy ra $d_{1}\bot(\alpha)$ .
Câu 9: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $150^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 2y + 2z - 5 = 0$ . Xét mặt phẳng $(Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0$ , với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Ta có: $(P)$ và $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;2),\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;0;2m - 1)$

Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\left| 1 + 2(2m - 1) ight|}{3\sqrt{1 + (2m - 1)^{2}}}$

$\Leftrightarrow 2(4m - 1)^{2} = 9\left( 4m^{2} - 4m + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 20m + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 12: Nhận biết
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ . Vị trí tương đối của $d$ và $d'$ là
- A.
  Cắt nhau
- B.
  Chéo nhau
- C.
  Song song
- D.
  Trùng nhau
Hướng dẫn:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2)$ và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2)$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d'}}$ cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Câu 13: Nhận biết
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Hướng dẫn:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 14: Nhận biết
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ là:
- A.
  $\frac{x + 2}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z - 1}{2}$
- B.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- C.
  $\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 6}{- 3} = \frac{z - 2}{1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$
Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$ .
Câu 15: Vận dụng
Tính diện tích tam giác
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho mặt phẳng $(\alpha):x - z - 3 = 0$ và điểm $M(1;1;1)$ . Gọi $A$ là điểm thuộc tia $Oz$ , gọi $B$ là hình chiếu của $A$ lên $(\alpha)$ . Biết rằng tam giác $MAB$ cân tại $M$ . Diện tích của tam giác $MAB$ bằng:
- A.
  $\frac{3\sqrt{123}}{2}$
- B.
  $6\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $3\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Gọi $A (0; 0; a).$

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.$

B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)$

Tam giác MAB cân tại M nên $MA = MB$

$\Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Nếu a = 3 thì tọa độ $A (0; 0; 3), B (3; 0; 0)$ . Diện tích tam giác MAB là $S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

Vậy diện tích của tam giác $MAB$ bằng: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2)$ . Điểm $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, $T = 12a + 12b + c$ có giá trị là:
- A.
  $T = 1$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = - 3$
- D.
  $T = - 1$
Hướng dẫn:
Chọn $I$ sao cho $4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Ta tính được $I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$

Ta thấy

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.$

$S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)$

$\Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}$

Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của $I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$ lên (Oxy) $\Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)$

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1$
Câu 17: Thông hiểu
Viết phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 4z + 1 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ qua điểm $A$ , song song với mặt phẳng $(P)$ , đồng thời cắt trục $Oz$ . Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Hướng dẫn:
Gọi $B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)$

Lại có $d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)$

Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$ làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + mt \\ y = t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t' \\ y = 2 + 2t' \\ z = 3 - t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Giá trị của m để hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau là
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = - 1$
- D.
  $m = 0$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d_{1}$ đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (m;1;2)$

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2; - 1)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 5;m - 2;2m + 1)$ và $\overrightarrow{AB} = (0;2;4)$

Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau $\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow m = 0$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ hình chiếu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z}{1}$ và điểm $A(2;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(2;2;3)$
- B.
  $N(0; - 2;1)$
- C.
  $M( - 1;4; - 4)$
- D.
  $P(1;0;2)$
Hướng dẫn:
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = (1;\ 2;\ 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 4 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$

Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).

Khi đó $P \in (\Delta) \Rightarrow P( - 1 + t; - 4 + 2t;t)$

Ta có $\overrightarrow{AP} = ( - 3 + t; - 4 + 2t;t - 1)$ . Vì $\overrightarrow{AP}\bot\overrightarrow{u_{(\Delta)}} \Rightarrow \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = 0$ nên

$\Leftrightarrow 1.( - 3 + t) + 2.( - 4 + 2t) + 1.(t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow P(1;0;2)$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm phương trình giao tuyến hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ là:
- A.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- D.
  $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
Hướng dẫn:
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Đặt $z = t$ ta suy ra $x = 2t + 2,y = - 3t - 1$ .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xét điểm $A(2; - 1;0) \in d$ , ta thấy $A$ chỉ thuộc đường thẳng: $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (45%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Luyện tập Phương trình đường thẳng Cánh Diều

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Luyện tập Phương trình đường thẳng Cánh Diều

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đổi điểm làm bài

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện