Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Nếu hàm chi phí sản phẩm A là F(x) thì F(x) = f'(x). Sai|||Đúng

    b) F(1) = 52.Đúng||Sai

    c) F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Đúng||Sai

    d) Chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2100 (nghìn). Sai|||Đúng

    Đáp án là:

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Nếu hàm chi phí sản phẩm A là F(x) thì F(x) = f'(x). Sai|||Đúng

    b) F(1) = 52.Đúng||Sai

    c) F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Đúng||Sai

    d) Chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2100 (nghìn). Sai|||Đúng

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    Hàm chi phí sản phẩm A là F(x) với F'(x) = f(x)

    Theo giả thiết F(1) = 52.

    F(10) - F(1) = \int_{1}^{10}{f(x)}dx = \int_{1}^{10}\left( 6x^{2} + 10x - 15 \right)dx = 2358

    \Rightarrow F(10) = 2358 + 52 = 2410

    Vậy chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2410 (nghìn)

    Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x} và các đường thẳng y = 0;x = 1;x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục?

    Hướng dẫn:

    Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính quãng đường s của vật di chuyển được

    Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4.

    Khi t = 1 thì v(1) = - \frac{5}{4} + 5 + 4 = \frac{31}{4}(km/h)

    Vậy v(t) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4;\ \ \ 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{31}{4};\ \ \ 1 < \ t \leq 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

    s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4 ight)dt} + \frac{31}{4}.2

    = \frac{73}{12} + \frac{31}{2} = \frac{259}{12} \approx 21,58(km/h)

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xác định mệnh đề sai

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight| ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình f(x) = 0 vô nghiệm)

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|.

  • Câu 5: Vận dụng
    Xác định hàm số f(x)

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

    Gợi ý:

     f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx}

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà 3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)}dx = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)}dx = - 1. Tính I = \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) \right\rbrack dx}.

    Hướng dẫn:

    Ta có I = \int_{- 1}^{2}\left\lbrack x + 2f(x) - 3g(x) ightbrack dx

    = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)}dx - 3\int_{- 1}^{2}{g(x)}dx

    \Rightarrow I = \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 - 3( - 1) = \frac{3}{2} + 4 + 3 = \frac{17}{2}

  • Câu 7: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

    Một khối cầu có bán kính là 6\ dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3\ dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu dm^{3}(làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 622

    Đáp án là:

    Một khối cầu có bán kính là 6\ dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3\ dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu dm^{3}(làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 622

    Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): (x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36

    Nếu cho nửa trên trục Ox của (C) quay quanh trục Ox ta được mặt cầu có bán kính bằng 6.

    Nếu cho hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa trên trục Ox của (C), trục Ox, hai đường thẳng x = 0;\ x = 3 quay xung quanh Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là 1 phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

    Ta có (x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{36 - (x - 6)^{2}}

    Suy ra nửa trên trục Ox của (C) có phương trình y = \sqrt{36 - (x - 6)^{2}} = \sqrt{12x - x^{2}}

    Thể tích vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox là V_{1} = \pi\int_{0}^{3}\left( 12x - x^{2} ight) = 45\pi.

    Thể tích khối cầu là V_{2} = \frac{4}{3}\pi.6^{3} = 288\pi.

    Thể tích cần tìm là V = V_{2} - 2V_{1} = 198\pi \approx 622.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} và y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x^{4} + 5}{x + 1} .

    Hướng dẫn:

    Ta có \int_{}^{}{\frac{x^{4} + 5}{x + 1}dx = \int_{}^{}{\frac{\left( x^{4} - 1 ight) + 6}{x + 1}dx}}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + 1 ight) + \frac{6}{x + 1} ightbrack dx}

    = \int_{}^{}{\left( x^{3} - x^{2} + x - 1 ight)dx + 6\int_{}^{}\frac{d(x + 1)}{x + 1}}

    = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - x + 6ln|x + 1| + C

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 12: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng (H)

    Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 1;3brack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ):

    Diện tích hình (H) bằng:

    Hướng dẫn:

    Diện tích phần gạch chéo là:

    S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}

    = 2f(2) - f(1) - f(3) + 1.

  • Câu 14: Nhận biết
    Tìm tích phân

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính thể tích của vật thể

    Cho một mô hình 3 - D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5\ (cm); khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thứcy = 3 - \frac{2}{5}x (cm), với x(cm) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị cm^{3}) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )

    Hướng dẫn:

    Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2h và chọn hệ trục Oxy như hình vẽ trên.

    Parabol (P) có phương trình (P):y = ax^{2} + h,(a < 0)

    Có B(h;0) \in (P) \Leftrightarrow 0 = ah^{2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}(do\ h > 0)

    Diện tích S của thiết diện: S = \int_{- h}^{h}{\left( - \frac{1}{h}x^{2} + h \right)dx} = \frac{4h^{2}}{3}, h = 3 - \frac{2}{5}x

    \Rightarrow S(x) = \frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}

    Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình: V = \int_{0}^{5}{S(x)dx} = \int_{0}^{5}{\frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}dx} \approx 28,888

    \Rightarrow V \approx 29\ \ \left( cm^{3} \right)

  • Câu 16: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt x = 2cos2t với t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)

    Ta có : \left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt = - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}

    \Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt} = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\left( 2ax^{3} + \frac{1}{x} \right)dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{- 2}^{- 1}\left( 2ax^{3} + \frac{1}{x} ight)dx= \left. \ \left( \frac{a}{2}x^{4} + \ln|x| ight) ight|_{- 2}^{- 1} = - \frac{15a}{16} - ln2.

    Đáp án đúng là I = \frac{15a}{16} + ln2.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm F(x)

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm giá trị gần nhất với đáp án đúng

    Giá trị của tích phân I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx} gần nhất với gái trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx}

    = \int_{- 1}^{0}{\frac{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 2 ight)}{(x - 1)(x + 2)}dx}

    = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{2} - 2x - 2}{x + 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{\left( x - 4 + \frac{6}{x + 2} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 4x + 6ln|x + 2| ight) ight|_{- 1}^{0} = 6ln2 - \frac{9}{2}

  • Câu 20: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 21: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Hàm số F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7 nên hàm số F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 15x^{2} + 8x - 7.

  • Câu 22: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 23: Thông hiểu
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack, biết f(3) = 5;f( - 1) = - 2; giá trị \int_{- 1}^{3}{f'(x)dx} là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{3}{f'(x)dx} = \left. \ f(x) ight|_{- 1}^{3} = f(3) - f( - 1) = 7

  • Câu 24: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Cho tích phân I_{1} = \int_{a}^{b}{f(x)dx} = m và I_{2} = \int_{c}^{a}{f(x)dx} = n. Tích phân I = \int_{c}^{b}{f(x)}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Quy tắc “nối đuôi” cho ta:

    I = \int_{c}^{b}{f(x)}dx = \int_{a}^{b}{f(x)}dx + \int_{c}^{a}{f(x)}dx = m + n.

    Đáp án đúng là m + n.

  • Câu 25: Nhận biết
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 5;3brack và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F( - 5) = 3;F(3) = \frac{15}{7}. Xác định tích phân I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx} = \left. \ \left( 7F(x) ight) ight|_{- 5}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 5}^{3} = 2.

  • Câu 26: Nhận biết
    Tính nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = x^{3} -x là

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{(x^{3} - x)dx =\frac{x^{4}}{4}} - \frac{x^{2}}{2} + C

  • Câu 27: Thông hiểu
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 5x^{2} + 13x + 9 \right)e^{x} là

    Hướng dẫn:

    Ta có f(x) = \left( 10x + 3 + 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x}= \left\lbrack \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)' + 5x^{2} + 3x + 6 ightbrack e^{x}

    Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên \Rightarrow F(x) = \left( 5x^{2} + 3x + 6 ight)e^{x} + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 28: Nhận biết
    Tìm khẳng định sai

    Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và số k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Khẳng định sai là: \int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 29: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x}. Chọn khẳng định đúng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{cos^{2}x} \right)dx =}\ln|x| + \tan x + C

  • Câu 30: Thông hiểu
    Chọn công thức đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a;x = b (như hình vẽ bên).

    Giả sử S_{D} là diện tích của hình phẳng D. Chọn công thức đúng?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

    + Đồ thị cắt trục hoành tại điểm O(0;0)

    + Trên đoạn \lbrack a;0brack, đồ thị ở phía dưới trục hoành nên \left| f(x) ight| = - f(x)

    + Trên đoạn \lbrack 0;bbrack, đồ thị ở phía trên trục hoành nên \left| f(x) ight| = f(x)

    Do đó: S_{D} = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = - \int_{a}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 31: Nhận biết
    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 32: Nhận biết
    Tính thể tích khối tròn xoay

    Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2;y = 0;x = - 1;x = 2 quanh trục Ox bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    V = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{2} - 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{4x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{2} = \frac{18\pi}{5}

  • Câu 33: Thông hiểu
    Xác định một nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 34: Nhận biết
    Chọn khẳng định không đúng

    Cho tích phân I = \int_{a}^{b}{\left( x^{2} + 1 \right)dx}. Khẳng định nào dưới đây không đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{a}^{b}{\left( x^{2} + 1 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + x ight) ight|_{a}^{b} = \frac{1}{3}b^{3} + b - \frac{1}{3}a^{3} - a.

    Phát biểu (I = \int_{a}^{b}{\left( x^{2} + 1 ight)dx} = \int_{a}^{b}{x^{2}dx + \int_{a}^{b}{dx}}): đúng.

    Phát biểu (I = \left. \ \left( x^{3} + x ight) ight|_{a}^{b}): sai.

    Phát biểu (I = \frac{1}{3}b^{3} + b - \frac{1}{3}a^{3} - a): đúng.

    Phát biểu (I = \int_{a}^{b}{\left( x^{2} + 1 ight)dx} = \int_{a}^{b}{x^{2}dx + \int_{a}^{b}{dx}}): đúng.

  • Câu 35: Thông hiểu
    Tính thể tích chiếc ly

    Một ly rượu thủy tinh có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của ly (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà ly có thể chứa được (làm tròn 2 chữ số thập phân)

    Hướng dẫn:

    Parabol có phương trình y = \frac{5}{8}x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{8}{5}y

    Thể tích tối đa cốc: V = \pi\int_{0}^{10}\left( \frac{8}{5}y \right)dy \approx 251,33.

  • Câu 36: Vận dụng cao
    Tính quãng đường người chạy được

    Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với I\left( \frac{1}{2};8 \right) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:

    s = \int_{0}^{0,75}{\left( - 32t^{2} + 32t ight)dt}

    = \left( - \frac{32}{3}t^{3} + 16t^{2} ight)|_{0}^{0,75} = 4,5(km)

  • Câu 37: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta nhận thấy: \left( \cos x ight)' = - \sin x. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\left( 1 - \cos^{2}x ight)\sin x}{\sqrt{\cos x}}dx}

    \Rightarrow I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{t^{2} - 1}{\sqrt{t}}dt} = {\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left( t^{\frac{3}{2}} - t^{- \frac{1}{2}} ight)dx }}

    \left. { = \left( {\frac{2}{5}{t^{\frac{5}{2}}} - 2{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{19 - 17\sqrt[4]{3}}}{{\sqrt 2 }}

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là: I = \frac{19 - 17\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}.

  • Câu 38: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Hướng dẫn:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 39: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Công thức tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x), y = g(x), x = a, x = b, (a < b)

    Hướng dẫn:

    Đáp án đúng: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 40: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} .

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} }= \int_{}^{}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} ight)dx }= \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C

    = \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack + C

0/40
40 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (38%):
    2/3
  • Vận dụng (18%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
32 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này