Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tính thể tích khối tròn xoay D

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^{x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Hướng dẫn:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Nếu hàm chi phí sản phẩm A là F(x) thì F(x) = f'(x). Sai|||Đúng

    b) F(1) = 52.Đúng||Sai

    c) F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Đúng||Sai

    d) Chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2100 (nghìn). Sai|||Đúng

    Đáp án là:

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Nếu hàm chi phí sản phẩm A là F(x) thì F(x) = f'(x). Sai|||Đúng

    b) F(1) = 52.Đúng||Sai

    c) F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Đúng||Sai

    d) Chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2100 (nghìn). Sai|||Đúng

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    Hàm chi phí sản phẩm A là F(x) với F'(x) = f(x)

    Theo giả thiết F(1) = 52.

    F(10) - F(1) = \int_{1}^{10}{f(x)}dx = \int_{1}^{10}\left( 6x^{2} + 10x - 15 \right)dx = 2358

    \Rightarrow F(10) = 2358 + 52 = 2410

    Vậy chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2410 (nghìn)

    Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

  • Câu 4: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt{3x + 2} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}

    = \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C

  • Câu 5: Nhận biết
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack và \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} = 5. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2sinx ightbrack dx}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2\sin x ightbrack dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin xdx}

    = 5 - \left. \ 2\cos xight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 7

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính quãng đường người chạy được

    Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với I\left( \frac{1}{2};8 \right) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:

    s = \int_{0}^{0,75}{\left( - 32t^{2} + 32t ight)dt}

    = \left( - \frac{32}{3}t^{3} + 16t^{2} ight)|_{0}^{0,75} = 4,5(km)

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} là

    Hướng dẫn:

    Phân tích

    Ta có:

    \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} =\frac{4x - 3}{(x - 2)(x - 1)}

    = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{Ax - 2A + Bx - B}{(x - 1)(x - 2)}

    Khi đó (A + B)x - 2A - B = 4x - 3, đồng nhất hệ số thì ta được

    \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 2A + B = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = - 1 \\ B = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Giải chi tiết

    Ta có \int_{}^{}{\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}dx}= \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 2} ight)dx}

    = - \ln|x - 1| + 5.ln|x - 2| + C

    = 4.ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C= 4.ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C

    Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:

    \int_{}^{}{\frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x}dx }= \frac{1}{2}.\ln|x| + \frac{1}{10}.\ln|2x - 1| - \frac{1}{10}.\ln|x + 2| + C

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm đáp án đúng

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right) với x > 0.

    Hướng dẫn:

    Ta có

    f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) = x(1 + 2\ln x)

    = x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x = x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2} ight)'.\ln x

    = \left( x^{2}\ln x ight)' \Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Biết rằng A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx. Xác định T = 4B - 2A?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó:\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C

  • Câu 10: Thông hiểu
    Chọn công thức đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a;x = b (như hình vẽ bên).

    Giả sử S_{D} là diện tích của hình phẳng D. Chọn công thức đúng?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

    + Đồ thị cắt trục hoành tại điểm O(0;0)

    + Trên đoạn \lbrack a;0brack, đồ thị ở phía dưới trục hoành nên \left| f(x) ight| = - f(x)

    + Trên đoạn \lbrack 0;bbrack, đồ thị ở phía trên trục hoành nên \left| f(x) ight| = f(x)

    Do đó: S_{D} = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = - \int_{a}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn công thức thích hợp với hình vẽ

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tìm tích phân I

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx} có giá trị là:

    Xét I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} I_{2} = I + I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{dx} \\ I_{3} = I_{1} - I = \int_{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}{\frac{1}{t}dt} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = \frac{I_{2} - I_{3}}{2} = \frac{\pi}{12} - \frac{\ln\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}{2},\ t = \sin x + \cos x

    Đáp án đúng là I = \frac{\pi }{{12}} - \frac{{\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} ight)}}{2}.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Xác định khẳng định chính xác nhất

    Biết luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?

    Hướng dẫn:

    Do 4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}. Vì luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên f(x) không phải là hàm hằng.

    Từ giả thiết 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}

    Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

    \int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C với C là hằng số.

    \Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|

    \Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.

    TH1: f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)

    TH2: f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    - e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)

    Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}.

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn công thức đúng

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Hướng dẫn:

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 15: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm I

    Theo phương pháp đổi biến số với t = \cos x,u = \sin x, nguyên hàm của I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}.

    Xét I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}.

    Đặt u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{5x - 2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2}}}

    = \frac{1}{5}\int_{}^{}{\frac{d(5x - 2)}{5x- 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}

  • Câu 17: Nhận biết
    Tìm kết quả đúng

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x \ln3}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = \log_{3}x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.

  • Câu 18: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số

    Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cot^{2}x là :

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{cot^{2}xdx = \int_{}^{}{\left( cot^{2}x + 1 - 1 \right)dx =} - \cot x - x + C}.

  • Câu 19: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính thể tích của vật thể

    Cho một mô hình 3 - D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5\ (cm); khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thứcy = 3 - \frac{2}{5}x (cm), với x(cm) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị cm^{3}) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )

    Hướng dẫn:

    Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2h và chọn hệ trục Oxy như hình vẽ trên.

    Parabol (P) có phương trình (P):y = ax^{2} + h,(a < 0)

    Có B(h;0) \in (P) \Leftrightarrow 0 = ah^{2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}(do\ h > 0)

    Diện tích S của thiết diện: S = \int_{- h}^{h}{\left( - \frac{1}{h}x^{2} + h \right)dx} = \frac{4h^{2}}{3}, h = 3 - \frac{2}{5}x

    \Rightarrow S(x) = \frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}

    Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình: V = \int_{0}^{5}{S(x)dx} = \int_{0}^{5}{\frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x \right)^{2}dx} \approx 28,888

    \Rightarrow V \approx 29\ \ \left( cm^{3} \right)

  • Câu 21: Nhận biết
    Tính thể tích tròn xoay

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \cos x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi}{2}. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi (H) quay quanh trục Ox bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}

  • Câu 22: Thông hiểu
    Tính thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2x và y = - x^{2} quay quanh trục Ox.

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 2x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

    y = x^{2} - 2x;y = - x^{2} quay quanh trục Ox được tính bởi công thức

    V = \pi\int_{0}^{1}\left| \left( x^{2} - 2x ight)^{2} - \left( - x^{2} ight)^{2} ight|dx

    Ta thấy trên \lbrack 0;1brack thì \left( - x^{2} ight)^{2} \leq \left( x^{2} - 2x ight)^{2}, do vậy ta có công thức

    V = \pi\int_{0}^{1}\left\lbrack - x^{4} + \left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight) ightbrack dx

    = \pi\int_{0}^{1}\left( - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx = \left. \ \pi.\left( - x^{4} + \frac{4}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{\pi}{3} (đvtt)

  • Câu 23: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho biết \int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = x\cos(\pi x). Tính f(4).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{0}^{f(x)}{t^{2}dt} = \left. \ \frac{t^{3}}{3} ight|_{0}^{f(x)} = \frac{f^{3}(x)}{3} \Rightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = x.cos(\pi x)

    Thay x = 4 \Rightarrow \frac{f^{3}(4)}{3} = 4.cos(4\pi)

    \Rightarrow f^{3}(4) = 12 \Rightarrow f(4) = \sqrt[3]{12}.

  • Câu 24: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 = 20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1} ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm = \frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}

  • Câu 25: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e là S = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Hướng dẫn:

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}

  • Câu 26: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 3x^{2} có A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)

  • Câu 27: Thông hiểu
    Tính diện tích S của hình phẳng

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} - 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.

    Ảnh có chứa hàng, Hình chữ nhật, biểu đồ, Song songMô tả được tạo tự động

    S = \int_{0}^{2}\left| x^{3} - 1 \right|\ dx = \int_{0}^{1}\left| x^{3} - 1 \right|dx + \int_{1}^{2}\left| x^{3} - 1 \right|dx

    = \int_{0}^{1}\left( 1 - x^{3} \right)dx + \int_{1}^{2}\left( x^{3} - 1 \right)dx

    = \left. \ \left( x - \frac{x^{4}}{4} \right) \right|_{0}^{1} + \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - x \right) \right|_{1}^{2} = \frac{7}{2}.

  • Câu 28: Vận dụng
    Xác định tất cả các giá trị tham số a

    Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn \left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack thỏa mãn \int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3\cos x}}dx =\frac{2}{3}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx}

    Đặt \sqrt{1 + 3cosx} = t,t \geq 0

    \Rightarrow t^{2} = 1 + 3cosx \Rightarrow 2tdt = - 3sinxdx

    \Leftrightarrow \frac{- 2tdt}{3} = \sin xdx

    \Rightarrow I = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}\frac{tdt}{t} = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}{dt}

    = - \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3cosa} + \frac{2}{3}.2

    Mà I = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{1 + 3cosa} = 1 \Rightarrow \cos a = 0

    \Rightarrow a = \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}

    Suy ra, đáp án là 2.

  • Câu 29: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \dfrac{4}{\cos^{2}3x} biết F\left( \frac{\pi}{9} \right) = \sqrt{3}.

    Hướng dẫn:

    Ta có F(x) =\int_{}^{}{\dfrac{4}{\cos^{2}3x}dx = \dfrac{4}{3}.\tan3x + C}

    Mà F\left( \dfrac{\pi}{9} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}.\tan\frac{\pi}{3} + C = \sqrt{3}\Leftrightarrow C = - \dfrac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 30: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của a

    Đẳng thức \int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^{2} \right)dx} = \sin a xảy ra nếu

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{0}^{a}{\cos\left( x + a^{2}ight)dx} = \sin a

    \Leftrightarrow \sin\left( a + a^{2} ight) - \sin a^{2} = \sin a

    Trong 4 phương án, chỉ có phương án a = \sqrt{2\pi} thỏa mãn.

  • Câu 31: Nhận biết
    Chọn phương án đúng

    Tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3} + 3x + 2 \right)dx}có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Thực hiện giải toán theo hai bước sau:

    Cách 1: I = \int_{- 1}^{1}{\left( x^{3} + 3x + 2 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 1}^{1} = 4.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 32: Vận dụng
    Xác định tham số a thỏa mãn điều kiện

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} = \int_{2}^{3}{\left( ax + \frac{2}{a} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{a}{2}x^{2} + \frac{2}{a}x ight) ight|_{2}^{3} = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a}

    Vì a là số thực dương nên I = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a} \geq 2\sqrt{\frac{5a}{2}.\frac{2}{a}} = 2\sqrt{5}.

    Đáp án đúng là 2\sqrt 5.

  • Câu 33: Nhận biết
    Tìm giá trị tích phân lượng giác

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx} có giá trị là:

    Cách 1:I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx}= \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \frac{1}{3}\sin3x ight) ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} = - \frac{3}{4}.

    Đáp án đúng là I = - \frac{3}{4}.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 34: Thông hiểu
    Tìm giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x \right)dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x ight)dx}

    Ta biến đổi: I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x ight)dx} = \int_{1}^{e}{x\ln x\left( \ln x + 1 ight)dx}.

    Đặt t = x\ln x \Rightarrow dt = \left( \ln x + 1 ight)dx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{0}^{e}{dt} = e.

    Đáp án đúng là I = e.

  • Câu 35: Nhận biết
    Tìm câu sai

    Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

    Hướng dẫn:

    Đáp án sai: \int_{}^{}{f(x).g(x)dx = \int_{}^{}{f(x)dx.\ \int_{}^{}{g(x)dx}\ }}.

  • Câu 36: Vận dụng cao
    Tính quãng đường s của vật di chuyển được

    Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4.

    Khi t = 1 thì v(1) = - \frac{5}{4} + 5 + 4 = \frac{31}{4}(km/h)

    Vậy v(t) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4;\ \ \ 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{31}{4};\ \ \ 1 < \ t \leq 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

    s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4 ight)dt} + \frac{31}{4}.2

    = \frac{73}{12} + \frac{31}{2} = \frac{259}{12} \approx 21,58(km/h)

  • Câu 37: Nhận biết
    Tính tích phân

    Giá trị của tích phân \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

  • Câu 38: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x - 1)e^{2x}, trục hoành; x = 0 và x = 2 bằng:

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x - 1)e^{2x} và trục hoành là nghiệm của phương trình: (x - 1)e^{2x} = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:

    S = \int_{0}^{2}{\left| (x - 1)e^{2x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left\lbrack (1 - x)e^{2x} ightbrack dx} + \int_{1}^{2}{\left\lbrack (x - 1)e^{2x} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{(1 - x)d\left( e^{2x} ight)} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{(x - 1)d\left( e^{2x} ight)}

    = \frac{1}{2}\left. \ (1 - x)e^{2x} ight|_{0}^{1} + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} + \frac{1}{2}\left. \ (x - 1)e^{2x} ight|_{1}^{2} - \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{e^{2x}dx}

    = \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\left. \ e^{2x} ight|_{0}^{1} - \frac{1}{4}\left. \ e^{2x} ight|_{1}^{2}

    = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{2} - \frac{3}{4}

  • Câu 39: Thông hiểu
    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

    Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x+ \frac{1}{\sin^2x} thỏa mãn F(\frac{\pi}{4}) = - 1 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{\left( 2x +\frac{1}{sin^{2}x} \right)dx = x^2- \cot x} + C

    F\left( \frac{\pi}{4} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2} - \cot\frac{\pi}{4} + C = - 1

    \Leftrightarrow C = \frac{\pi^{2}}{16}

    Vậy F(x) = - cotx + x^{2} - \frac{\pi^{2}}{16}

  • Câu 40: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

0/40
40 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (38%):
    2/3
  • Vận dụng (18%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
7 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Cánh diều
Xem thêm