Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Cánh diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Kết quả tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 3)e^{x}dx} được viết dưới dạng I = ae + b với a, b là các số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{(2x + 3).e^{x}dx} = 2\int_{0}^{1}{x.e^{x}dx} + 3\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

    Tương tự các bài trên

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x.e^{x}dx} = \left. \ x.e^{x} ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}dx}

    \Rightarrow I = \left. \ 2x.e^{x} ight|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}{e^{x}dx} = 2x.e^{x} + \left. \ e^{x}ight|_{0}^{1} = 3e - 1

    a = 3;b = - 1

    Suy ra, đáp án B: a + 2b = 1

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính tổng các nghiệm phương trình

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2} và x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{3}x}dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    I = \int_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{t^{3}}dt} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{3}}dt} = \left. \ - \frac{1}{2t^{2}} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} - x và đồ thị hàm số y = x - x^{2}?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} - x = x - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó ta có:

    S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx} + \int_{0}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx}

    = \left| \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} ight| + \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight) ight|_{0}^{1} ight|

    = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):y = - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 6

    Như vậy, quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

    s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{3}{4}t^{2} + 3t + 6 ight)dt} = \left( - \frac{x^{3}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 6x ight)|_{0}^{3}

    = \frac{99}{4} = 24,75(km)

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x - 1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    Khi đó:

    \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }{- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}

  • Câu 7: Nhận biết
    Chọn khẳng định sai

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.

    Hướng dẫn:

    Khẳng định sai cần tìm là: F(x) = \sqrt{x} là một nguyên hàm của f(x) = 2\sqrt{x}.

  • Câu 8: Nhận biết
    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox?

    Hướng dẫn:

    Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính tích phân

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính thể tích nước

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 12: Nhận biết
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}, biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{e^{x^{3} - 3x}d\left( x^{3} - 3x ight)}

    = \frac{1}{3}e^{x^{3} - 3x} + C

    Mà F'(x) = f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

    F''(x) = 2xe^{x^{3} - 3x} + \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x};F''(1) > 0;F''(1) < 0

    Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

    Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(1;0)

    Suy ra F(1) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}e^{- 2} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3e^{2}}

    Do đó F(x) = \frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} + |x|;y = x^{2} + 1 được cho bởi công thức nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = x^{2} + |x| = \left\{\begin{matrix}x^{2} + x;\ \ x \geq 0 \\x^{2} - x;\ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.

    Với x \geq 0 \Rightarrow x^{2} + x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = 1

    Với x \leq 0 \Rightarrow x^{2} - x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = - 1

    Ta có:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx}ight| + \left| \int_{0}^{1}{(x - 1)dx} ight|

  • Câu 15: Nhận biết
    Tính tích phân

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính giá trị của S

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y^{2} = 4x và đường thẳng x = 1 bằng S. Giá trị của S là

    Hướng dẫn:

    Ta có: Phương trình tung độ giao điểm

    \frac{y^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 2

    .\Rightarrow S = \left| \int_{- 2}^{2}{\left( \frac{y^{2}}{4} - 1 ight)d_{y}} ight| = \left| \left( \frac{y^{2}}{12} - y ight)|_{- 2}^{2} ight| = \left| - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} ight| = \frac{8}{3}

  • Câu 17: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm cuả hàm số

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

    Gợi ý:

     \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} + \int {g\left( x ight)dx}

    Hướng dẫn:

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 = 20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1} ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm = \frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt x = 2cos2t với t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)

    Ta có : \left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt = - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}

    \Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt} = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính thể tích phần không gian theo yêu cầu

    Dựng một lều trại có dạng parabol, với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Tính thể tích phần không gian phía bên trong trại để số lượng người tham dự trại phù hợp?

    Hướng dẫn:

    Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I.

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B và I, phương trình của parabol có dạng y = ax^{2} + b,\ \ a \neq 0.

    Do I, A, B thuộc nên ta có y = - \frac{4}{3}x^{2} + 3.

    Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là V = 6.2\int_{0}^{\frac{3}{2}}{( - \frac{4}{3}}x^{2} + 3)dx = 36.

  • Câu 21: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số g(x) có đạo hàm trên đoạn \lbrack - 1;1brack. Có g( - 1) = 3 và tích phân I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2. Tính g(1).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2 \Leftrightarrow g(1) - g( - 1) = - 2

    \Rightarrow g(1) = - 2 + g( - 1) = - 2 + 3 = 1

  • Câu 22: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức M

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

    Hướng dẫn:

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 23: Nhận biết
    Chọn kết luận chính xác

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}

  • Câu 24: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 25: Nhận biết
    Chọn công thức đúng

    Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là

    Hướng dẫn:

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 26: Thông hiểu
    Tính F(x)

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4\cos^{2}x - 5 thỏa mãn F(\pi) = 0. Tìm F(x)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}

    \Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C

    Lại có F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi

    Vậy F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi.

  • Câu 27: Nhận biết
    Tìm giá trị tích phân lượng giác

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx} có giá trị là:

    Cách 1:I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}{(\sin2x - \cos3x)dx}= \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \frac{1}{3}\sin3x ight) ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} = - \frac{3}{4}.

    Đáp án đúng là I = - \frac{3}{4}.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 28: Vận dụng
    Tính giới hạn của tích phân

    Giá trị của \lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx} bằng

    Hướng dẫn:

    Giải toán bằng hai cách như sau:

    Cách 1: Thử bằng máy tính

    Lấy giá trị n càng lớn càng tốt. Giả sử n = 100.

    Nhập biểu thức \int_{100}^{101}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx}

    Máy tính cho kết quả \approx 2.35 \times 10^{- 44} \approx 0.

    Cách 2: Giải chi tiết

    I = \int_{n}^{n + 1}{\left( \frac{1}{1 + e^{x}} ight)dx} = \int_{n}^{n + 1}{1dx} - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}

    = 1 - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}

    \Leftrightarrow I = 1 - \int_{n}^{n + 1}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{1 + e^{x}} = 1 - \left. \ \ln\left| 1 + e^{x} ight| ight|_{n}^{n + 1}

    \Leftrightarrow I = 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|

    Ta luôn có \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n} = 1

    \lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left\lbrack 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left( 1 + e^{n + 1} ight) ightbrack

    = 1 + \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n}.n - \frac{\ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|}{n + 1}.(n + 1)

    = 1 + n - (n + 1) = 0

  • Câu 29: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng (H)

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol y = \frac{x^{2}}{12} và đường cong có phương trình y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} như hình vẽ:

    Diện tích của hình phẳng (H) bằng:

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}

    Diện tích hình phẳng (H) bằng:

    S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}

    = \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}

    = \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}

    Đặt x = 4\sin t

    \Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}

    \Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}

  • Câu 30: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 31: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm I

    Nguyên hàm của I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta đặt:

    \left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right..

    \Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}.

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.

    \Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}.

    \Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C.

  • Câu 32: Thông hiểu
    Tính vận tốc của khinh khí cầu

    Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162m so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t) = 10t - t^{2}, trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là:

    Hướng dẫn:

    Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường làs = 162m

    Ta có: S = \int_{0}^{t_{0}}{\left( 10t - t^{2} ight)dt} = \left. \ \left( 5t - \frac{t^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{t_{0}} = 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} (với t_{0} là thời điểm vật tiếp đất)

    Cho 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} = 162 \Leftrightarrow t_{0} = 9 (Do v(t) = 10t - t^{2} \Rightarrow 0 \leq t \leq 10)

    Khi đó vận tốc của vật là: v(9) = 10.9 - 9^{2} = 9(m/p).

  • Câu 33: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 1

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

    Gợi ý:

     Học sinh sử dụng công thức sau:

    \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} + \int {g\left( x ight)dx}

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

  • Câu 34: Nhận biết
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack và \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} = 5. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2sinx ightbrack dx}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2\sin x ightbrack dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin xdx}

    = 5 - \left. \ 2\cos xight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 7

  • Câu 35: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{x}{1 + \cos x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{x}{1 + \cos x}dx} có giá trị là:

    Ta biến đổi: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{x}{1 + \cos x}dx} = \frac{1}{2}I\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{x}{cos^{2}\frac{x}{2}}dx}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = cos^{2}\frac{x}{2}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = 2tan\frac{x}{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left\lbrack \left. \ \left( 2x\tan\frac{x}{2} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\tan\frac{x}{2}dx} ightbrack

    = \frac{1}{2}\left( \frac{\pi}{2}\tan\frac{\pi}{8} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}dx} ight).

    = \frac{\pi}{2}\tan\frac{\pi}{8} + 4\int_{1}^{\cos\frac{\pi}{8}}{\frac{1}{t}dt} = \frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{8} + 2ln\left( \cos\frac{\pi}{8} ight)

  • Câu 36: Vận dụng cao
    Tính quãng đường người chạy được

    Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với I\left( \frac{1}{2};8 \right) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:

    s = \int_{0}^{0,75}{\left( - 32t^{2} + 32t ight)dt}

    = \left( - \frac{32}{3}t^{3} + 16t^{2} ight)|_{0}^{0,75} = 4,5(km)

  • Câu 37: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thỏa mãn f(x) + \tan xf'(x) = \frac{x}{\cos^{3}x}. Biết rằng \sqrt{3}f\left( \frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = a\pi\sqrt{3} + bln3 trong đó a;b\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) + \tan xf'(x) =\frac{x}{\cos^{3}x}

    \Leftrightarrow \cos xf(x) + \sin xf'(x) = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \sin xf(x)ightbrack' = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \sin xf(x) ightbrack'dx} =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}

    \Rightarrow \sin xf(x) =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}.

    Tính I = \int_{}^{}{\frac{x}{cos^{2}x}dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = x \\dv = \dfrac{dx}{\cos^{2}x} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \tan x \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = x\tan x - \int_{}^{}{\tan xdx} = x\tan x - \int_{}^{}\frac{d\left( \cos x ight)}{\cos x}

    = x\tan x + \ln\left| \cos x ight|

    \Rightarrow f(x) = \frac{x\tan x + \ln\left| \cos x ight|}{\sin x} = \frac{x}{\cos x} + \frac{\ln\left| \cos x ight|}{\sin x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = \sqrt{3}\left(\frac{2\pi}{3} - \dfrac{2\ln2}{\sqrt{3}} ight)- \left(\frac{\pi\sqrt{3}}{9} + 2\ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} ight) =\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{9}\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{5}{9} \\b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - \frac{4}{9}

  • Câu 38: Nhận biết
    Tìm giá trị của I

    Cho tích phân I = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Biết rằng F(x) là nguyên hàm của f(x). Giá trị của I là:

    Hướng dẫn:

    Cho tích phân I = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Biết rằng F(x) là nguyên hàm của f(x). Giá trị của I là:

    Ta có ngay kết quả I = F(b) - F(a).

    Đáp án đúng là F(b)-F(a).

  • Câu 39: Nhận biết
    Tìm câu sai

    Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

    Hướng dẫn:

    Đáp án sai: \int_{}^{}{f(x).g(x)dx = \int_{}^{}{f(x)dx.\ \int_{}^{}{g(x)dx}\ }}.

  • Câu 40: Thông hiểu
    Tính giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)\ln(x + 1)dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét giá trị tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)\ln(x + 1)dx}

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = \ln(x + 1) \\ dv = (2x + 1)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = \frac{1}{x + 1}dx \\ v = x^{2} + x \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \left. \ \left\lbrack \left( x^{2} + x ight)\ln(x + 1) ightbrack ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{xdx}

    = \left. \ \left\lbrack \left( x^{2} + x ight)\ln(x + 1) ightbrack ight|_{0}^{1} - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = 2ln2 - \frac{1}{2}

    Đáp án đúng là I = 2ln2 - \frac{1}{2}.

0/40
40 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (38%):
    2/3
  • Vận dụng (18%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
48 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này