VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 6: Một số yếu tố xác suất là phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi. Đây là chuyên đề giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy xác suất, biết cách phân tích tình huống, xử lý dữ liệu và áp dụng công thức phù hợp. Bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Toán 12 Chương 6 bám sát nội dung SGK, giúp học sinh hệ thống kiến thức, luyện tập kỹ năng giải toán và tự tin chuẩn bị cho các kỳ kiểm tra 1 tiết cũng như ôn tập thi tốt nghiệp.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ sao cho $P(A) = 0,6$ ; $P(B) = 0,4$ ; $P\left( A|B \right) = 0,3$ . Khi đó $P\left( B|A \right)$ bằng?
- A.
  $0,2$ .
- B.
  $0,3$ .
- C.
  $0,4$ .
- D.
  $0,6$ .
Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left( B|A \right) = \frac{P(B)P\left( A|B \right)}{P(A)} = \frac{0,4.0,3}{0,6} = 0,2$ .
Câu 2: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các phương án

Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là $78$ .Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là $\frac{12}{15}$ Sai||Đúng

c) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là $\frac{87}{175}$ . Đúng||Sai

d) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là $\frac{52}{87}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là $78$ .Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là $\frac{12}{15}$ Sai||Đúng

c) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là $\frac{87}{175}$ . Đúng||Sai

d) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là $\frac{52}{87}$ . Đúng||Sai

a) Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là $C_{13}^{2} = 78$ cách.

b) Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là $C_{4}^{2} = 6$ cách.

Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là $C_{10}^{2} = 45$ cách

Vậy xác suất chọn được hai phế phẩm là: $\frac{6}{45} = \frac{2}{15}$ .

c) Gọi A: “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.

Và B: “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.

Xác suất chọn hộp loại I là $P(A) = \frac{2}{5}$ và xác suất chọn hộp loại II là $P(B) = \frac{3}{5}$

Gọi C là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là $P\left( C|A ight) = \frac{C_{13}^{2}}{C_{15}^{2}} = \frac{26}{35}$

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là $P\left( C|B ight) = \frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{3}$

Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là:

$P(C) = P\left( C|A ight).P(A) + P\left( C|B ight).P(B)$

$\Rightarrow P(C) = \frac{26}{35}.\frac{2}{5} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} = \frac{87}{175}$

d) Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là

$P\left( A|C ight) = \dfrac{P\left( C|Aight).P(A)}{P(C)} = \dfrac{\dfrac{26}{35}.\dfrac{2}{5}}{\dfrac{87}{125}} =\dfrac{52}{87}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố, trong đó $P(B) > 0$ . Khi đó
- A.
  $P\left( \left. \ A \right|B \right) = \frac{P(A \cup B)}{P(B)}$ .
- B.
  $P\left( \left. \ A \right|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
- C.
  $P\left( \left. \ A \right|B \right) = \frac{P(A \cup B)}{P(A)}$ .
- D.
  $P\left( \left. \ A \right|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Ta có : $P\left( \left. \ A \right|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Giả sử $A$ và $B$ là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn $P(A) > 0$ và $0 < P(B) < 1$ . Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(B)P\left( A|B \right)}{P(B)P\left( A|B \right) + P(A)P\left( B|A \right)}$ .
- B.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(B)P\left( A|B \right)}{P(B)P\left( A|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( A|\overline{B} \right)}$ .
- C.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(B)P\left( A|B \right)}{P(A)}$ .
- D.
  $P(A) = P(B)P\left( A|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( A|\overline{B} \right)$ .
Giả sử $A$ và $B$ là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn $P(A) > 0$ và $0 < P(B) < 1$ .

Khi đó, công thức Bayes:

$P\left( B|A \right) = \frac{P(B)P\left( A|B \right)}{P(B)P\left( A|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( A|\overline{B} \right)}$

Hay còn có thể viết dưới dạng: $P\left( B|A \right) = \frac{P(B)P\left( A|B \right)}{P(A)}$ .
Câu 5: Thông hiểu

Xét tinh đúng sai của các kết luận

Một hộp có $10$ bi xanh và $8$ bi đen, các viên bi đều có cùng hình dáng, kích thước và khối lượng. Bạn Nam lấy ngẫu nhiên một viên trong hộp, không trả lại. Sau đó Bạn Lan lấy ngẫu nhiên một trong $17$ viên bi còn lại. Gọi $A$ là biến cố bạn Nam lấy được một viên bi xanh và $B$ là biến cố bạn Lan lấy được một viên bi đen.

a) $n(A) = 10$ .Đúng||Sai

b) $P(A) = \frac{5}{9}$ Đúng||Sai

c) $P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{4}{9}$ .Sai||Đúng

d) $P(A.B) = 0,8$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một hộp có $10$ bi xanh và $8$ bi đen, các viên bi đều có cùng hình dáng, kích thước và khối lượng. Bạn Nam lấy ngẫu nhiên một viên trong hộp, không trả lại. Sau đó Bạn Lan lấy ngẫu nhiên một trong $17$ viên bi còn lại. Gọi $A$ là biến cố bạn Nam lấy được một viên bi xanh và $B$ là biến cố bạn Lan lấy được một viên bi đen.

a) $n(A) = 10$ .Đúng||Sai

b) $P(A) = \frac{5}{9}$ Đúng||Sai

c) $P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{4}{9}$ .Sai||Đúng

d) $P(A.B) = 0,8$ . Sai||Đúng

a) Đ Vì hộp có $10$ bi xanh nên số phần tử của biến cố $A$ là $n(A) = 10$ .

b) Đ Vì bạn Nam lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp chứa $10$ bi xanh và $8$ bi đen nên $n(\Omega) = 18$

Do đó, $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$ .

c) S Nếu $A$ xảy ra tức là bạn Nam lấy được bi xanh thì trong hộp có $17$ viên bi với $8$ bi đen

Do đó, $P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{8}{17} \neq \frac{4}{9}$ .

d) S Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

$P(A.B) = P(A).P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{5}{9}.\frac{8}{17} = \frac{40}{153} \approx 0,3 \neq 0,8.$
Câu 6: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các phương án

Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.

a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng $\frac{2}{5}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng $\frac{8}{23}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng $\frac{15}{23}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng $\frac{3}{5}$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.

a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng $\frac{2}{5}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng $\frac{8}{23}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng $\frac{15}{23}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng $\frac{3}{5}$ .Sai||Đúng

Gọi A : “Học sinh được chọn giỏi môn Toán”

B: “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”

Gọi C : “Học sinh được chọn không giỏi môn Toán”

D: “Học sinh được chọn không giỏi môn Văn”

Số học sinh giỏi cả 2 môn là: $23 + 20 - 35 = 8$

a) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Văn nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn là:

$P\left( A|B ight) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

b) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Toán nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán là:

$P\left( B|A ight) = \frac{8}{23}$

c) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, có đúng 8 học sinh giỏi cả Văn và Toán, nên số học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán là 12.

Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" là:

$P\left( C|B ight) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

d) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, có đúng 8 học sinh giỏi cả Toán và Văn nên số học sinh không giỏi Văn mà giỏi Toán là $23 - 8 = 15$

Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" là: $P\left( D|A ight) = \frac{15}{23}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó
- A.
  $P(A) = P(B)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right)$
- B.
  $P(A) = P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ \overline{A} \right|B \right)$
- C.
  $P(A) = P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right)$
- D.
  $P(A) = P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|B \right)$
Ta có: $P(A) = P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right)$
Câu 8: Nhận biết
Tính P(A)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P(A)$ ?
- A.
  $0,25$
- B.
  $0,65$
- C.
  $0,55$
- D.
  $0,5$
Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$
Câu 9: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác nhất

Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.
- A.
  $70,23\%$
- B.
  $60,34\%$
- C.
  $72,66\%$
- D.
  $65,07\%$
Gọi $A_{i}$ là "trong 5 sản phẩm cuối có $i$ chính phẩm".

Khi đó hệ $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ tạo thành hệ đầy đủ

$A_{0}$ xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.

Suy ra $P\left( A_{0} ight) = 0$

$A_{1}$ xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.

$P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{225}$

$A_{2}$ xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II

$P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{14}{225}$

$A_{3}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô $II$ hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{25}$

$A_{4}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,2$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{4} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{98}{225}$

$A_{5}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{5} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{49}{225}$

Gọi $A$ là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ

$P(\bar{A}) = \sum_{i = 0}^{5}\mspace{2mu}\mspace{2mu} P\left( A_{i} ight)P\left( \bar{A} \mid A_{i} ight)$

$= \frac{C_{5}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot 0 + \frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{1}{225} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{14}{225} + \frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{7}{25} + 0 \cdot \frac{98}{225} + 0 \cdot \frac{49}{225}$

$\simeq 0.4933$

Suy ra $P(A) = 1 - P(\bar{A}) \simeq 0,6507$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn kết quả chính xác

Trong danh sách sĩ số hai lớp 12 có 95 học sinh, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi kiểm tra chất lượng có 23 học sinh đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách. Tìm xác suất gọi được học sinh đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ?
- A.
  $\frac{1}{5}$
- B.
  $\frac{11}{23}$
- C.
  $\frac{12}{23}$
- D.
  $\frac{11}{19}$
Gọi A là biến cố “gọi được học sinh nữ”

Gọi B là biến cố “gọi được học sinh đạt điểm giỏi”

Ta đi tính $P\left( B|A ight)$ . Ta có: $P(A) = \frac{55}{95};P(A \cap B) = \frac{11}{95}$

Khi đó: $P\left( B|A ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{11}{95}:\frac{55}{95} = \frac{11}{55} = \frac{1}{5}$ .
Câu 11: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các kết luận

Ở cửa ra vào của một nhà sách có một thiết bị cảnh báo hàng hóa chưa được thanh toán khi qua cửa. Thiết bị phát chuông cảnh báo với $99\%$ các hàng hóa ra cửa mà chưa thanh toán và $0,1\%$ các hàng hóa đã thanh toán. Tỷ lệ hàng hóa qua cửa không được thanh toán là $0,1\%$ . Chọn ngẫu nhiên một hàng hóa khi đi qua cửa.

a) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là $99,9\%$ . Đúng||Sai

b) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $1\%$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $0,1\%$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là $0,001\%$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Ở cửa ra vào của một nhà sách có một thiết bị cảnh báo hàng hóa chưa được thanh toán khi qua cửa. Thiết bị phát chuông cảnh báo với $99\%$ các hàng hóa ra cửa mà chưa thanh toán và $0,1\%$ các hàng hóa đã thanh toán. Tỷ lệ hàng hóa qua cửa không được thanh toán là $0,1\%$ . Chọn ngẫu nhiên một hàng hóa khi đi qua cửa.

a) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là $99,9\%$ . Đúng||Sai

b) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $1\%$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $0,1\%$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là $0,001\%$ . Đúng||Sai

Gọi $A$ là biến cố “Hàng qua cửa đã được thanh toán” và $B$ là biến cố “Thiết bị phát chuông cảnh báo”.

Tỷ lệ hàng qua cửa không được thanh toán là $0,1\%$ tức là $P\left( \overline{A} \right) = 0,1\%$ suy ra $P(A) = 100\% - 0,1\% = 99,9\%$ .

Ta có $P\left( B|A \right) = 0,1\%$ và $P\left( B|\overline{A} \right) = 99\%$ ; Mệnh đề a) đúng

$P\left( \overline{B}|A \right) = 100\% - P\left( B|A \right) = 99,9\%$ ; $P\left( \overline{B}|\overline{A} \right) = 100\% - P\left( B|\overline{A} \right) = 1\%$ .

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Từ đây ta có:

Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là $99,9\%$ .

Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $P\left( \overline{A}B \right) = 0,099\%$ .Mệnh đề b) sai

Xác suất để hàng hóa qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $P\left( \overline{A}B \right) = 0,1\%$ . Mệnh đề c) đúng

Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là $P\left( \overline{A}\overline{B} \right) = 0,001\%$ . Mệnh đề d) đúng

Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
Câu 12: Nhận biết
Tính xác suất

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P(A.B)$ ?
- A.
  $\frac{5}{6}$
- B.
  $\frac{1}{6}$
- C.
  $\frac{1}{12}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Ta có: $P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Cho hai hộp đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng như sau:

Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên vi đỏ.

Hộp thứ hai có 3 viên vi xanh và 7 viên bi đỏ.

Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên từ hộp thứ hai, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi màu đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi màu đỏ.
- A.
  $\frac{8}{11}$
- B.
  $\frac{7}{15}$
- C.
  $\frac{8}{15}$
- D.
  $\frac{7}{13}$
Gọi A₁: “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

Và A_2: “Lấy ra một bi một màu đỏ ở hộp thứ nhất”

Nên $A_{1};A_{2}$ là hệ biến cố đầy đủ

Gọi B: “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

Ta có:

$P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{3}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{1}{3};P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{6}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{2}{3}$

$P\left( B|A_{1} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{21}{55};P\left( B|A_{2} ight) = \frac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{28}{55}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

$P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{3}.\frac{21}{55} + \frac{2}{3}.\frac{28}{55} = \frac{7}{15}$

Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes:

$P\left( A_{2}|B ight) = \dfrac{P\left(B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)} =\dfrac{\dfrac{28}{55}.\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{15}} =\dfrac{8}{11}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính xác suất thắng thầu

Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là $0,6$ và dự án 2 là $0,7$ . Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?
- A.
  $0,6$
- B.
  $0,7$
- C.
  $0,46$
- D.
  $0,63$
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight.$ với 2 biến cố $A; B$ độc lập.

Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do $A; B$ là hai biến cố độc lập nên:

$P(D) = P\left( B|A ight) = P(B) = 0,7$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho bảng dữ liệu sau về kết quả xét nghiệm một loại bệnh:

Dương tính

Âm tính

Mắc bệnh

100

20

Không mắc bệnh

30

850

Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất người đó mắc bệnh là bao nhiêu?
- A.
  $77\%$ .
- B.
  $10\%$ .
- C.
  $50\%$ .
- D.
  $90\%$ .
Gọi biến cố A: "Người đó mắc bệnh"

Biến cố $B:''$ Người đó có kết quả xét nghiệm dương tính $''$ .

Với $P\left( B|A \right)$ : xác suất kết quả dương tính khi người đó mắc bệnh

$P\left( B|A \right) = \frac{100}{100 + 20} = \frac{5}{6}$ .

$\begin{matrix}P(A) = \dfrac{100 + 20}{1000} = \dfrac{120}{1000} = 0.12.\end{matrix}$

$P(B) = \frac{100 + 30}{1000} = 0.13$

Từ đó suy ra: $P\left( A|B \right) = \frac{P\left( B|A \right).P(A)}{P(B)} = \frac{5}{6}.\frac{0.12}{0.13} = 0.7692 \simeq 77\%$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Tính xác suất bắn trúng

Cuối tuần M đến sân chơi để bắn cung, biết khoảng cách bắn tên thay đổi liên tục và khả năng bạn M bắn trúng bia tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. M bắn lần đầu ở khoảng cách $20m$ với xác suất trúng bia là $0,5$ , nếu bị trượt M bắn tiếp mũi tên thứ hai ở khoảng cách $30m$ , nếu lại trượt M bắn mũi tên thứ ba ở khoảng cách $40m$ . Tính xác suất để M bắn trúng bia?
- A.
  $0,63$
- B.
  $0,45$
- C.
  $0,58$
- D.
  $0,75$
Gọi A là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ hai”

Gọi C là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ ba”

Ta có: $P(A) = 0,5$

Vì xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}P\left( B|\overline{A} ight) = \dfrac{20.0,5}{30} = \dfrac{1}{3} \\P\left( C|\overline{A}.\overline{B} ight) = \dfrac{20.0,5}{40} =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$

Ta có sơ đồ cây như sau:

Xác suất để M bắn trúng bia là:

$P(A) + P\left( \overline{A}B ight) + P\left( \overline{A}\overline{B}C ight) = 0,5 + 0,5.\frac{1}{3} + 0,5.\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = 0,75$
Câu 17: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Một chiếc hộp có $100$ viên bi, trong đó có $70$ viên bi có tô màu và $30$ viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $\frac{3}{7}$ . Đúng||Sai

b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: $\frac{191}{330}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: $\frac{139}{330}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chiếc hộp có $100$ viên bi, trong đó có $70$ viên bi có tô màu và $30$ viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $\frac{3}{7}$ . Đúng||Sai

b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: $\frac{191}{330}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: $\frac{139}{330}$ . Đúng||Sai

Gọi A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

Gọi B là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra B là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $P(B) = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$ .

b) Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,3$

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{70.69}{70.99} = \frac{23}{33}$

$P\left( A|\overline{B} ight) = 1 - P\left( A|B ight) = 1 - \frac{23}{33} = \frac{10}{33}$

Sơ đồ cây cần tìm là:

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{7}{10}.\frac{23}{33} + \frac{3}{10}.\frac{10}{33} = \frac{191}{330}$

d) A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu” suy ra A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{191}{330} = \frac{139}{330}$
Câu 18: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai là đều con trai là $0,27$ và hai con đều là gái là $0,23$ , còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là con gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.
- A.
  $0,5076$
- B.
  $0,4621$
- C.
  $0,4475$
- D.
  $0,5208$
Gọi $A$ là 'con thứ nhất là con trai' và $B$ là 'con thứ hai là con trai' thì theo đề bài ta có:

$P(AB) = 0,27$ , $P(\bar{A}\bar{B}) = 0,23$ và $P(A\bar{B}) = P(\bar{A}B) = 0,25$

Ta cần tìm $B \mid \bar{A}$ .

Ta có

$P\left( B\mid\bar{A} ight) = \frac{P\left( B\bar{A} ight)}{P\left( \bar{A} ight)} = \frac{P\left( B\bar{A} ight)}{P\left( \bar{A}B ight) + P\left( \bar{A}\bar{B} ight)}$ $= \frac{0,25}{0,25 + 0,23} \simeq 0,5208$
Câu 19: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Giả sử có một loại bệnh S mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,1\%$ . Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh S khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là $5\%$ (tức là trong số những người không bị bệnh S có $5\%$ số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh S của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
- A.
  $1,96\%$ .
- B.
  $1,97\%$ .
- C.
  $1,69\%$ .
- D.
  $0,5\%$ .
Gọi $A$ là biến cố: “Người đó mắc bệnh S”

$B$ là biến cố: “Người đó xét nghiệm có phản ứng dương tính”.

Ta cần tính $P\left( A|B \right)$ .

Ta có: $P(A) = 0,001$ ; $P\left( \overline{A} \right) = 1 - P(A) = 1 - 0,001 = 0,999$ ;

$P\left( B|A \right) = 1$ ; $P\left( B|\overline{A} \right) = 0,05$ .

Thay vào công thức Bayes ta được:

$P\left( A|B \right) = \frac{P(A).P\left( B|A \right)}{P(A).P\left( B|A \right) + P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right)}$

$= \frac{0,001.1}{0,001.1 + 0,999.0,05} = \frac{20}{1019} \approx 1,96\%$ .
Câu 20: Vận dụng
Tính xác suất của biến cố

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
- A.
  0,9925.
- B.
  0,9825
- C.
  0,9725
- D.
  0,9625
Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

$\overline{B}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

$\overline{C}$ là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

$P(A) = 0,95;P(B) = 0,85;P(\overline{A}) = 0,05;P(\overline{B}) = 0,15$

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Mà $\overline{C} = \overline{A.B}$

$P(\overline{C}) = P(\overline{A}.\overline{B}) = P(\overline{A}).P(\overline{B}) = 0,0075$ .

$\Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 0,9925.$
Câu 21: Vận dụng
Tính xác suất chọn học sinh theo yêu cầu

Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường X . Nhóm này có $70\%$ học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy có $30\%$ học sinh nam và $15\%$ học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ.
- A.
  $0,45$ .
- B.
  $0,35$ .
- C.
  $0,255$ .
- D.
  $0,128$ .
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm.

Gọi $A$ là biến cố "Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ" và $B,\overline{B}$ lần lượt là các biến cố "Chọn được một học sinh nam" và "Chọn được một học sinh nữ".

Theo đề bài:

$P(B) = 70\% = 0,7;P(\overline{B}) = 1 - 0,7 = 0,3$ ;

$P(A \mid B) = 30\% = 0,3;P(A \mid \overline{B}) = 15\% = 0,15.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B) \cdot P\left( A\mid B \right) + P\left( \overline{B} \right) \cdot P\left( A\mid\overline{B} \right)$

$= 0,7 \cdot 0,3 + 0,3 \cdot 0,15 = 0,255.$

Vậy xác suất để chọn được một học sinh biết chơi nhạc cụ là $0,255$ .
Câu 22: Nhận biết
Tính P(A|B)

Cho $P(A) = 0,3$ ; $P(B) = 0,5$ ; $P\left( B\left| A \right.\ \right) = 0,7$ . Khi đó $P\left( A\left| B \right.\ \right)$ bằng
- A.
  $0,42$ .
- B.
  $0,15$ .
- C.
  $0,21$ .
- D.
  $0,35$ .
Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( A\left| B \right.\ \right) = \frac{P(A).P\left( B\left| A \right.\ \right)}{P(B)} = \frac{0,3.0,7}{0,5} = 0,42$ .
Câu 23: Vận dụng
Xác định số kẹo ban đầu

Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu trắng, còn lại là kẹo màu xanh. Bạn T lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó T lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo? Biết rằng xác suất T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là $\frac{1}{3}$ .
- A.
  $10$ viên kẹo
- B.
  $20$ viên kẹo
- C.
  $18$ viên kẹo
- D.
  $14$ viên kẹo
Gọi A là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ hai”.
Ta có xác suất để T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là: $\frac{1}{3}$
Gọi số kẹo ban đầu trong túi là: $n$ (viên)
Điều kiện $n \in \mathbb{N}^{*};n eq1$
Ta có: $P(A) = \frac{6}{n};P\left( B|Aight) = \frac{5}{n - 1}$
Theo công thức nhân xác suất, ta có:
$P(AB) = P(A).P\left( B|A ight) =\frac{6}{n}.\frac{5}{n - 1} = \frac{30}{n^{2} - n}$
Mà $P(AB) = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow \frac{30}{n^{2} - n} =\frac{1}{3} \Leftrightarrow n^{2} - n = 90 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = - 9(ktm) \\n = 10(tm) \\\end{matrix} ight.$
Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.
Câu 24: Thông hiểu

Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 25: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức

Cho $P(A) = 0,4$ ; $P\left( B\left| \overline{A} \right.\ \right) = 0,2$ . Giá trị của $P\left( B\overline{A} \right)$ là
- A.
  0,2.
- B.
  0,0,8.
- C.
  0,4.
- D.
  0,12.
Ta có $P\left( \overline{A} \right) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6$ .

$P\left( B\overline{A} \right) = P\left( \overline{A} \right).P\left( B\left| \overline{A} \right.\ \right) = 0,6.0,2 = 0,12$ .
Câu 26: Thông hiểu
Xác định xác suất bốc được 2 bi đỏ

Một hộp chứa 8 bi xanh, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi xanh. Xác định xác suất lần thứ 2 bốc được bi đỏ.
- A.
  $\frac{1}{10}$
- B.
  $\frac{2}{9}$ .
- C.
  $\frac{8}{9}$ .
- D.
  $\frac{2}{5}$ .
Gọi $A$ là biến cố lần $1$ bốc được bi xanh.

Gọi $B$ là biến cố lần $2$ bốc được bi đỏ.

Xác suất lần $2$ bốc được bi đỏ khi lần $1$ đã bốc được bi trắng là $P\left( B|A \right)$

Ta có $P(A) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5};P(AB) = \frac{8}{10}.\frac{2}{9} = \frac{8}{45}.$

Suy ra $P\left( B|A \right) =\dfrac{P(AB)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{8}{45}}{\dfrac{4}{5}} =\dfrac{2}{9}.$
Câu 27: Thông hiểu
Tính xác suất

Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là $53\%$ . Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ M lần lượt là $21\%$ và $17\%$ . Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Tính xác suất học sinh đó có tham gia câu lạc bộ M.
- A.
  $\frac{239}{1250}$
- B.
  $\frac{147}{1250}$
- C.
  $\frac{116}{625}$
- D.
  $\frac{383}{1250}$
Gọi A: “Học sinh được chọn là nữ” ⇒ $\overline{A}$ : “Học sinh được chọn là nam”

B: “học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M”.

Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,53 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,53 = 0,47 \\ P\left( B|A ight) = 0,21 \\ P\left( B|\overline{A} ight) = 0,17 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,53.0,21 + 0,47.0,17 = \frac{239}{1250}$ .
Câu 28: Nhận biết
Tính P(A|B)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(A) = 0,2$ ; $P(B) = 0,26$ ; $P\left( B|A \right) = 0,7$ . Tính $P\left( A|B \right)$ .
- A.
  $\frac{6}{13}$ .
- B.
  $\frac{4}{13}$ .
- C.
  $\frac{9}{13}$ .
- D.
  $\frac{7}{13}$ .
Ta có: $P\left( A|B \right) = \frac{P(A).P\left( B|A \right)}{P(B)} = \frac{0,2.0,7}{0,26} = \frac{7}{13}$ .
Câu 29: Nhận biết
Tính xác suất

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) = 0,25$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{3}{16}$
- B.
  $\frac{12}{25}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{19}{20}$
Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}$
Câu 30: Nhận biết
Tính xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6$ , $P(B) = 0,7$ , $P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{B}|A \right)$ .
- A.
  $\frac{3}{7}$ .
- B.
  $\frac{1}{2}$ .
- C.
  $\frac{6}{7}$ .
- D.
  $\frac{1}{7}$ .
Ta có:

$P\left( \overline{B}|A \right) = 1- P\left( B|A \right)$

$= 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 -\frac{0,3}{0,6}$ $= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Câu 31: Vận dụng
Chọn phương án gần đúng với đáp án

Phòng thi đánh giá năng lực có 10 học sinh trong đó có 2 học sinh giỏi (trả lời 100% các câu hỏi), 3 học sinh khá (trả lời 80% các câu hỏi), 5 học sinh trung bình (trả lời 50% các câu hỏi). Gọi ngẫu nhiên một học sinh vào thi và phát đề có 4 câu hỏi (được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu). Thấy học sinh này trả lời được cả 4 câu, tính xác suất để học sinh đó là học sinh khá? Xác suất gần bằng số nào sau đây?
- A.
  $0,336$
- B.
  $0,3344$
- C.
  $0,337$
- D.
  $0,335$
Gọi $A_{1};A_{2};A_{3}$ lần lượt là các biến cố gọi một học sinh Giỏi, Khá, Trung Bình

Nên $A_{1};A_{2};A_{3}$ là hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B “học sinh đó trả lời được 4 câu hỏi”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{2}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{1}{5} \\ P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{3}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{3}{10} \\ P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{5}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta lại có:

2 học sinh Giỏi (trả lời 100% các câu hỏi) ⇒ Trả lời 20 câu hỏi

3 học sinh Khá (trả lời 80% các câu hỏi) ⇒ Trả lời $20.80\% = 16$ câu hỏi.

5 học sinh Trung Bình (trả lời 50% các câu hỏi) ⇒ Trả lời $20.50\% = 10$ câu hỏi.

Từ đó: $\left\{ \begin{matrix}P\left( B|A_{1} ight) = \dfrac{C_{20}^{4}}{C_{20}^{4}} = 1 \\P\left( B|A_{2} ight) = \dfrac{C_{16}^{4}}{C_{20}^{4}} =\dfrac{364}{969} \\P\left( B|A_{3} ight) = \dfrac{C_{10}^{4}}{C_{20}^{4}} = \dfrac{14}{323}\\\end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight) + P\left( B|A_{3} ight).P\left( A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 1.\frac{1}{5} + \frac{364}{969}.\frac{3}{10} + \frac{14}{323}.\frac{1}{2} = \frac{108}{323}$

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là $P\left( A_{2}|B ight)$

Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)}$

$\Rightarrow P\left( A_{2}|B ight) =\dfrac{\dfrac{364}{969}.\dfrac{3}{10}}{\dfrac{108}{323}} = \dfrac{91}{270}\approx 0,337$
Câu 32: Nhận biết
Chọn kết quả đúng

Cho hai biến cố $A,B$ có xác suất $Ρ(A) = 0,4;Ρ(B) = 0,3;Ρ\left( A|B \right) = 0,25$ . Tính xác suất $Ρ\left( B|A \right)$ .
- A.
  $0,1875$ .
- B.
  $0,48$ .
- C.
  $\frac{1}{3}$ .
- D.
  $0,95$ .
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có $Ρ\left( A|B \right) = \frac{Ρ(AB)}{Ρ(B)}$ .

Do đó $Ρ(AB) = Ρ\left( A|B \right).Ρ(B) = 0,3.0,25 = 0,075$ .

Từ đó suy ra $Ρ\left( B|A \right) = \frac{Ρ(AB)}{Ρ(A)} = \frac{0,075}{0,4} = 0,1875$ .
Câu 33: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $P(A \cap B) = P(B).P\left( B|A \right)$ .
- B.
  $P\left( A|B \right) = P\left( A|\overline{B} \right)$ .
- C.
  $P(B) = P\left( B|\overline{A} \right)$ .
- D.
  $P(A \cap B) = P(A).P\left( B|A \right)$ .
Ta có: $P(A \cap B) = P(A).P\left( B|A \right) = P(B).P\left( A|B \right)$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tính xác suất P

Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có $20$ sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là $18, 16, 12$ . Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?
- A.
  $0,6033$
- B.
  $0,6125$
- C.
  $0,6354$
- D.
  $0,6271$
Gọi A_i là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A|A_{1} ight) = \frac{18}{20}.\frac{18}{20}$

$P\left( A|A_{2} ight) = \frac{16}{20}.\frac{16}{20}$

$P\left( A|A_{3} ight) = \frac{12}{20}.\frac{12}{20}$

Từ đó ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight).P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{18}{20}.\frac{18}{20} + \frac{1}{3}.\frac{16}{20}.\frac{16}{20} + \frac{1}{3}.\frac{12}{20}.\frac{12}{20} = \frac{181}{300} \approx 0,6033$
Câu 35: Vận dụng
Tính số viên bi ban đầu có trong túi

Một hộp gồm một số viên bi cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 bi xanh, còn lại là bi màu đỏ. Minh lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp (không bỏ lại), sau đó Minh lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 viên bi trong hộp. Biết xác suất để Minh lấy được cả hai viên bi màu xanh là…..Hỏi ban đầu trong túi có số viên bi đỏ là bao nhiêu?
- A.
  1.
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  4.
Gọi $A$ là biến cố “Lần 1 Minh lấy được bi màu xanh”,

$B$ là biến cố “Lần 2 Minh lấy được bi có màu xanh”

Khi đó $AB$ là biến cố “Cả hai lần Minh lấy được bi màu xanh”. Ta có $P(AB) = \frac{5}{7}$

Gọi $x$ là số kẹo ban đầu trong túi $(x > 0)$

Ta có $P(A) = \frac{6}{n}$ , $P\left( B|A \right) = \frac{5}{n - 1}$ .

Theo công thức nhân xác suất, ta có $P(AB) = P(A).P\left( B|A \right)$

Hay $\frac{6}{n} \cdot \frac{5}{n - 1} = \frac{5}{7} \Rightarrow n = 7$ .

Vậy số bi đỏ trong túi ban đầu là $7 - 6 = 1$ bi
Câu 36: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng

Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng $0,84$ và $0,16$ . do có nhiễu trên đường truyền nên $\frac{1}{6}$ tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn $\frac{1}{8}$ tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
- A.
  $\frac{5}{6}$
- B.
  $\frac{35}{36}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{13}{36}$
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".

Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.

$P(A) = 0,84;P(B) = 0,16$

Gọi C là "thu được tín hiệu A". Khi đó: $P\left( C|A ight) = \frac{5}{6};P\left( C|B ight) = \frac{1}{8}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(C) = P(A).P\left( C|A ight) + P(B).P\left( C|B ight)$

$\Rightarrow P(C) = 0,84.\frac{5}{6} + 0,16.\frac{1}{8} = 0,72$ .

Ta cần tính P(A|C). Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( A|C ight) = \frac{P(A)P\left(C|A ight)}{P(C)} = \dfrac{0,84.\dfrac{5}{6}}{0,72} =\dfrac{35}{36}$
Câu 37: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
- B.
  $P(A) = P(B).P\left( A|B ight) - P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
- C.
  $P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight) - P(B).P\left( A|B ight)$ .
- D.
  $P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
Câu 38: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là $0,8$ , còn súng mới là $0,95$ . Thực hiện bắn bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Hỏi sử dụng loại súng nào khả năng bắn trúng cao hơn?
- A.
  Loại mới
- B.
  Loại cũ
Gọi M là biến cố "bắn bằng khẩu mới" thì $\overline{M}$ là biến cố "bắn bằng khẩu cũ".

Có P(M) = 0,4 và P( $\overline{M}$ ) = 0,6.

Gọi T là biến cố "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có:

P(T | M) = 0,95; P(T | $\overline{M}$ ) = 0,8.

Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra

$P\left( M|T ight) = \frac{P(M).P\left( T|M ight)}{P(T)} = \frac{0,38}{P(T)}$

$P\left( \overline{M}|T ight) = \frac{P\left( \overline{M} ight).P\left( T|\overline{M} ight)}{P(T)} = \frac{0,48}{P(T)}$

Suy ra bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.
Câu 39: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm $M,N$ khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất $M$ và $N$ lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

$A$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $M$ ";

$B$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $N$ ".

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{A} ight) = 0,56;P\left( \overline{B} ight) = 0,62$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

Đáp án là:

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm $M,N$ khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất $M$ và $N$ lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

$A$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $M$ ";

$B$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $N$ ".

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{A} ight) = 0,56;P\left( \overline{B} ight) = 0,62$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập vì hai lô đất khác nhau.

Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap\overline{B}$ là hai biến cố xung khắc.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - 0,56 = 0,44 \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,62 = 0,38 \\ \end{matrix} ight.$ .

Xác suất để cây chi phát triển bình thường trên một lô đất là:

$P(C \cup D)$

$\ = P(C) + P(D) = P\left( \overline{A} ight) \cdot P(B) + P(A) \cdot P\left( \overline{B} ight)$

$\ = 0,44.0,62 + 0,56.0,38 = 0,4856$
Câu 40: Thông hiểu
Tính xác suất khỏi bệnh

Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho $5000,3000,2000$ bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là $0,85;0,9;0,95$ . Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị cho bệnh nhân
- A.
  $91,7\%$
- B.
  $83,5\%$
- C.
  $92,6\%$
- D.
  $88,5\%$
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người

Gọi A₁ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.

A₂ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.

A₃ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.

Khi đó: $P\left( A_{1} ight) = 0,5;P\left( A_{2} ight) = 0,3;P\left( A_{3} ight) = 0,2$

Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.

Khi đó $P\left( B|A_{1} ight) = 0,85;P\left( B|A_{2} ight) = 0,9;P\left( B|A_{3} ight) = 0,95$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,5.0,85 + 0,3.0,9 + 0,2.0,95 = 0,885$

Chia sẻ bởi:
Bon

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

	Dương tính	Âm tính
Mắc bệnh	100	20
Không mắc bệnh	30	850

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm