VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Mô tả thêm:

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, Chương 6: Một số yếu tố xác suất là phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi. Đây là chuyên đề giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy xác suất, biết cách phân tích tình huống, xử lý dữ liệu và áp dụng công thức phù hợp. Bài viết này cung cấp đề kiểm tra 45 phút Toán 12 Chương 6 bám sát nội dung SGK, giúp học sinh hệ thống kiến thức, luyện tập kỹ năng giải toán và tự tin chuẩn bị cho các kỳ kiểm tra 1 tiết cũng như ôn tập thi tốt nghiệp.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Tính P(B|A)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(B) = 0,8$ , $P\left( A|B \right) = 0,7$ , $P\left( A|\overline{B} \right) = 0,45$ . Tính $P\left( B|A \right)$ .
- A.
  $0,25$ .
- B.
  $\frac{56}{65}$ .
- C.
  $0,65$ .
- D.
  $0,5$ .
Ta có: $P\left( \overline{B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2$ .

Công thức Bayes:

$P\left( B|A \right) = \frac{P(B)P\left( A|B \right)}{P(B)P\left( A|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( A|\overline{B} \right)}$

$\Rightarrow P\left( B|A \right) = \frac{0,8.0,7}{0,8.0,7 + 0,2.0,45} = \frac{56}{65}$ .
Câu 2: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một nhóm học sinh có 20 học sinh, trong đó có 12 em thích học môn Toán, 10 em thích học môn Văn, 2 em không thích học cả hai môn Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, xác xuất để học sinh đó thích học môn Toán biết rằng học sinh đó thích học môn Văn là
- A.
  $\frac{1}{5}$ .
- B.
  $\frac{3}{10}$ .
- C.
  $\frac{3}{5}$ .
- D.
  $\frac{2}{5}$ .
Gọi $A$ là biến cố “học sinh đó thích học môn Toán”,

$B$ là biến cố “học sinh đó thích học môn Văn”

Xác suất để học sinh được chọn thích học môn Toán, biết học sinh đó thích học môn Văn chính là $P\left( A|B \right)$ .

Ta có $P(A) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ , $P(B) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ , $P\left( \overline{A}\ \overline{B} \right) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

$P(A \cup B) = 1 - P\left( \overline{A}\ \overline{B} \right) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Ta có $P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{9}{10} = \frac{1}{5}$

$P\left( A|B \right) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{1}{5}:\frac{1}{2} = \frac{2}{5}$
Câu 3: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Một chiếc hộp có $100$ viên bi, trong đó có $70$ viên bi có tô màu và $30$ viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $\frac{3}{7}$ . Đúng||Sai

b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: $\frac{191}{330}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: $\frac{139}{330}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chiếc hộp có $100$ viên bi, trong đó có $70$ viên bi có tô màu và $30$ viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $\frac{3}{7}$ . Đúng||Sai

b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: $\frac{191}{330}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: $\frac{139}{330}$ . Đúng||Sai

Gọi A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

Gọi B là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra B là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $P(B) = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$ .

b) Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,3$

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{70.69}{70.99} = \frac{23}{33}$

$P\left( A|\overline{B} ight) = 1 - P\left( A|B ight) = 1 - \frac{23}{33} = \frac{10}{33}$

Sơ đồ cây cần tìm là:

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{7}{10}.\frac{23}{33} + \frac{3}{10}.\frac{10}{33} = \frac{191}{330}$

d) A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu” suy ra A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{191}{330} = \frac{139}{330}$
Câu 4: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?
- A.
  Máy II
- B.
  Máy III
- C.
  Máy I
Gọi E₁ là biến cố phế phẩm máy số I

$\Rightarrow P\left( E_{1} ight) = 0,04 \Rightarrow P\left( \overline{E_{1}} ight) = 1 - 0,04 = 0,96$

E₂ là biến cố phế phẩm máy số II

$\Rightarrow P\left( E_{2} ight) = 0,03 \Rightarrow P\left( \overline{E_{2}} ight) = 1 - 0,03 = 0,97$

E₃ là biến cố phế phẩm máy số III

$\Rightarrow P\left( E_{3} ight) = 0,05 \Rightarrow P\left( \overline{E_{3}} ight) = 1 - 0,05 = 0,95$

Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:

$P(B) = \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96 + \frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97 + \frac{C_{100}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95 = 0,96$

Gọi $\overline{B}$ là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt

Ta xác định được:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,04$

$P\left( E_{1}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{1} ight).P\left( \overline{B}|E_{1} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{80}^{1}.0,04}{0,04} = 0,26$

$P\left( E_{2}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{2} ight).P\left( \overline{B}|E_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{120}^{1}.0,03}{0,04} = 0,3$

$P\left( E_{3}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{3} ight).P\left( \overline{B}|E_{3} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04} = 0,41$

Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất.
Câu 5: Nhận biết
Chọn công thức đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố ngẫu nhiên mà $P(A) > 0$ , $P(B) > 0$ , công thức Bayes là:
- A.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(B).P\left( A|B \right)}{P(A)}$ .
- B.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(A).P\left( A|B \right)}{P(B)}$ .
- C.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(B).P\left( B|A \right)}{P(A)}$ .
- D.
  $P\left( B|A \right) = \frac{P(A).P\left( B|A \right)}{P(B)}$ .
Ta có: $P\left( B|A \right) = \frac{P(B).P\left( A|B \right)}{P(A)}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Trong một kỳ thi, có 60% học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên và 40% học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai. Biết rằng có 20% học sinh làm đúng cả hai bài toán. Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm).
- A.
  0,40
- B.
  0,36
- C.
  0,33
- D.
  0,45
$A$ : "học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên"

$\Rightarrow P(A) = 60\% = 0,6$ .

$B$ : "học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai"

$\Rightarrow P(B) = 40\% = 0,4$ .

$A \cap B$ : "học sinh làm đúng cả hai bài toán"

$\Rightarrow P(A \cap B) = 20\% = 0,2$ .

Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là

$P\left( B|A \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3} \approx 0.33$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.
- A.
  $80,12\%$
- B.
  $84,93\%$
- C.
  $88,73\%$
- D.
  $86,54\%$
Gọi $A_{i}$ là "đạt $i$ học phần ở lần thi đầu".

Khi đó, $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ tạo thành hệ đầy đủ và $P\left( A_{i} ight) = C_{4}^{i}.0,8^{i}.0,2^{4 - i}$

Gọi $A$ là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = \sum_{i = 0}^{4}P\left( A_{i} ight)P\left( A \mid A_{i} ight)$

$= C_{4}^{0}.0,8^{0}.0,2^{4}.\left( 0,8^{4} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{1}.0,2^{3}.\left( 0,8^{3} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{2}.0,2^{2}.\left( 0,8^{2} ight)$

$+ C_{4}^{3}.0,8^{3}.0,2^{1}.(0,8) + C_{4}^{4}.0,8^{4}.0,2^{0}.\left( 0,8^{0} ight)$

$\approx 0,8493 = 84,93\%$
Câu 8: Nhận biết
Tính P(A)

Cho hai biến cố $A,B$ với $P(B) = 0,6$ , $P(A|B) = 0,7$ và $P(A|\overline{B}) = 0,4$ . Khi đó $P(A)$ bằng
- A.
  $0,7$ .
- B.
  $0,4$ .
- C.
  $0,58$ .
- D.
  $0,52$ .
Ta có: $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$ .

Theo công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = P(B).P\left( A \middle| B \right) + P\left( \overline{B} \right).P\left( A \middle| \overline{B} \right)$

$= 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$ .
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có $3\%$ tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây ra tai nạn thì có $21\%$ là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?
- A.
  $3$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $6$ .
Ta gọi $A$ là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”, $B$ là biến cố “Tài xế lái xe gây tai nạn”.

Khi đó $P\left( A \right) = 3\% = 0,03,P\left( {A|B} \right) = 21\% = 0,21.$

Theo công thức Bayes:

$P\left( B|A \right) = \frac{P( B)P\left(A|B \right)}{P(A)}$

$\Rightarrow \frac{P\left( B|A \right)}{P(B)} = \frac{P\left( A|B \right)}{P(A)} = \frac{0,21}{0,03} = 7$

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên $7$ lần.
Câu 10: Vận dụng
Chọn phương án gần đúng với đáp án

Phòng thi đánh giá năng lực có 10 học sinh trong đó có 2 học sinh giỏi (trả lời 100% các câu hỏi), 3 học sinh khá (trả lời 80% các câu hỏi), 5 học sinh trung bình (trả lời 50% các câu hỏi). Gọi ngẫu nhiên một học sinh vào thi và phát đề có 4 câu hỏi (được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu). Thấy học sinh này trả lời được cả 4 câu, tính xác suất để học sinh đó là học sinh khá? Xác suất gần bằng số nào sau đây?
- A.
  $0,336$
- B.
  $0,3344$
- C.
  $0,337$
- D.
  $0,335$
Gọi $A_{1};A_{2};A_{3}$ lần lượt là các biến cố gọi một học sinh Giỏi, Khá, Trung Bình

Nên $A_{1};A_{2};A_{3}$ là hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B “học sinh đó trả lời được 4 câu hỏi”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{2}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{1}{5} \\ P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{3}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{3}{10} \\ P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{5}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta lại có:

2 học sinh Giỏi (trả lời 100% các câu hỏi) ⇒ Trả lời 20 câu hỏi

3 học sinh Khá (trả lời 80% các câu hỏi) ⇒ Trả lời $20.80\% = 16$ câu hỏi.

5 học sinh Trung Bình (trả lời 50% các câu hỏi) ⇒ Trả lời $20.50\% = 10$ câu hỏi.

Từ đó: $\left\{ \begin{matrix}P\left( B|A_{1} ight) = \dfrac{C_{20}^{4}}{C_{20}^{4}} = 1 \\P\left( B|A_{2} ight) = \dfrac{C_{16}^{4}}{C_{20}^{4}} =\dfrac{364}{969} \\P\left( B|A_{3} ight) = \dfrac{C_{10}^{4}}{C_{20}^{4}} = \dfrac{14}{323}\\\end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight) + P\left( B|A_{3} ight).P\left( A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 1.\frac{1}{5} + \frac{364}{969}.\frac{3}{10} + \frac{14}{323}.\frac{1}{2} = \frac{108}{323}$

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là $P\left( A_{2}|B ight)$

Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)}$

$\Rightarrow P\left( A_{2}|B ight) =\dfrac{\dfrac{364}{969}.\dfrac{3}{10}}{\dfrac{108}{323}} = \dfrac{91}{270}\approx 0,337$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là $0,6$ và dự án 2 là $0,7$ . Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:
- A.
  $0,28$
- B.
  $0,7$
- C.
  $0,46$
- D.
  $0,18$
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight.$ với 2 biến cố $A; B$ độc lập.

Gọi C là biến cố “Thắng thầu đúng 1 dự án” khi đó ta có:

$P(C) = P\left( A \cap \overline{B} + \overline{A} \cap B ight)$

$= P\left( A \cap \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} \cap B ight)$

$= P(A)P\left( \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} ight)P(B)$

$= 0,6.0,3 + 0,4.0,7 = 0,46$
Câu 12: Thông hiểu
Tính xác suất P

Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là $20\%$ ; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$ , trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$ . Tính xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi?
- A.
  $\frac{7}{13}$
- B.
  $\frac{6}{13}$
- C.
  $\frac{4}{13}$
- D.
  $\frac{9}{13}$
Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”

Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”

Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.

Ta cần tính $P(B)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,8 \\ P\left( B|A ight) = 0,7 \\ P\left( B|\overline{A} ight) = 0,15 \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,2..0,7 + 0,8.0,15 = 0,26$

Xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là $P\left( A|B ight)$

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).)P\left( B|A ight)}{P(B)} = \frac{0,2.0,7}{0,26} = \frac{7}{13}$ .

Như vậy trong số người bị bệnh phổi của tỉnh T có khoảng $\frac{7}{13}$ số người nghiện thuốc lá.
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm xác suất để bi lấy ra màu trắng

Có 3 hộp đựng bi giống nhau, mỗi hộp đựng 5 bi trắng và 7 bi đỏ có cùng kích thước, và trọng lượng. Lần thứ nhất lấy 1 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, lần thứ hai lấy 1 từ hộp II bỏ sang hộp III. Cuối cùng lấy 1 bi từ hộp III ra ngoài. Tính xác suất để bi lấy ra đó là bi trắng. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
- A.
  0,28
- B.
  0,42
- C.
  0,33
- D.
  0,57
Gọi $A_{i}$ là biến cố bi lấy ra từ hộp thứ i ( $i = 1;2;3$ ) là bi trắng.

Ta thấy $\left\{ A_{2};\overline{A_{2}} \right\}$ là họ đầy đủ.

Nên ta có xác suất toàn phần

$P\left( A_{3} \right) = P\left( A_{2} \right).P\left( A_{3}|A_{2} \right) + P\left( \overline{A_{2}} \right).P\left( A_{3}|\overline{A_{2}} \right)$ (*)

Lại có $\left\{ A_{1};\overline{A_{1}} \right\}$ là họ đầy đủ.

Nên ta có xác suất toàn phần:

$P\left( A_{2} \right) = P\left( A_{1} \right).P\left( A_{2}|A_{1} \right) + P\left( \overline{A_{1}} \right).P\left( A_{2}|\overline{A_{1}} \right)$

$= \frac{5}{12}.\frac{6}{13} + \frac{7}{12}.\frac{5}{13} = \frac{5}{12}$

Khi đó $P\left( \overline{A_{2}} \right) = 1 - P\left( A_{2} \right) = \frac{7}{12}$

Do đó từ (*) ta có $P\left( A_{3} \right) = \frac{5}{12}.\frac{6}{13} + \frac{7}{12}.\frac{5}{13} = \frac{5}{12} \approx 0,42$
Câu 14: Nhận biết
Chọn công thức đúng

Nếu $A,B$ là hai biến cố bất kì thì
- A.
  $P(A \cap B) = P(A).P(B)$ .
- B.
  $P(A \cap B) = P(A).P(B|A)$ .
- C.
  $P(A \cap B) = P(B).P(B|A)$ .
- D.
  $P(A \cap B) = P(A).(PA|B)$ .
Công thức cần tìm là: $P(A \cap B) = P(A).P(B|A)$
Câu 15: Nhận biết
Xác định giá trị P(A)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8$ , $P\left( A|B \right) = 0,7$ , $P\left( A|\overline{B} \right) = 0,45$ . Tính $P(A)$ .
- A.
  $0,25$ .
- B.
  $0,65$ .
- C.
  $0,55$ .
- D.
  $0,5$ .
Ta có $P\left( \overline{B} \right) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$ .

Công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = P(B).P\left( A|B \right) + P\left(\overline{B} \right).P\left( A|\overline{B} \right)$

$= 0,8.0,7 + 0,2.0,45= 0,65$ .
Câu 16: Nhận biết
Tính P(A|B)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024$ , $P(B) = 0,2025$ . Tính $P\left( A|B \right)$ .
- A.
  $0,7976$ .
- B.
  $0,7975$ .
- C.
  $0,2025$ .
- D.
  $0,2024$ .
Ta có: $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( A|B \right) = P(A) = 0,2024$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là $0,8$ , còn súng mới là $0,95$ . Thực hiện bắn bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Hỏi sử dụng loại súng nào khả năng bắn trúng cao hơn?
- A.
  Loại mới
- B.
  Loại cũ
Gọi M là biến cố "bắn bằng khẩu mới" thì $\overline{M}$ là biến cố "bắn bằng khẩu cũ".

Có P(M) = 0,4 và P( $\overline{M}$ ) = 0,6.

Gọi T là biến cố "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có:

P(T | M) = 0,95; P(T | $\overline{M}$ ) = 0,8.

Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra

$P\left( M|T ight) = \frac{P(M).P\left( T|M ight)}{P(T)} = \frac{0,38}{P(T)}$

$P\left( \overline{M}|T ight) = \frac{P\left( \overline{M} ight).P\left( T|\overline{M} ight)}{P(T)} = \frac{0,48}{P(T)}$

Suy ra bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.
Câu 18: Nhận biết
Tính P(A|B)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6$ , $P(B) = 0,7$ , $P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( A|B \right)$ .
- A.
  $\frac{3}{7}$ .
- B.
  $\frac{1}{2}$ .
- C.
  $\frac{6}{7}$ .
- D.
  $\frac{1}{7}$ .
Ta có: $P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7}$
Câu 19: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $P(A \cap B) = P(B).P\left( B|A \right)$ .
- B.
  $P\left( A|B \right) = P\left( A|\overline{B} \right)$ .
- C.
  $P(B) = P\left( B|\overline{A} \right)$ .
- D.
  $P(A \cap B) = P(A).P\left( B|A \right)$ .
Ta có: $P(A \cap B) = P(A).P\left( B|A \right) = P(B).P\left( A|B \right)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tính P(A|B)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024$ ; $P(B) = 0,2025$ .

Tính $P\left( A\left| B \right.\ \right)$ .
- A.
  $0,7976$ .
- B.
  $0,7975$ .
- C.
  $0,2025$ .
- D.
  $0,2024$ .
Ta có: $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( A\left| B \right.\ \right) = P(A) = 0,2024$
Câu 21: Vận dụng
Tính xác suất P

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời “sẽ mua”?
- A.
  $44,4\%$
- B.
  $32,5\%$
- C.
  $47\%$
- D.
  $33,5\%$
Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:

H₁ – người đó trả lời “sẽ mua”

H₂ – người đó trả lời “có thể mua”

H₃ – người đó trả lời “không mua”

H₁, H₂, H₃ là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng $\frac{34}{200};\frac{97}{200};\frac{69}{200}$

Ta xác định được: $P\left( A|H_{1} ight) = 0,7;P\left( A|H_{2} ight) = 0,3;P\left( A|H_{3} ight) = 0,01$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = \frac{34}{200}.0,7 + \frac{97}{200}.0,3 + \frac{69}{200}.0,01 = 0,268$ .

Theo công thức Bayes:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P(A)} = \frac{0,17.0,7}{0,268} = 0,444 = 44,4\%$ .
Câu 22: Thông hiểu
Tính xác suất để Hà được chọn vào đội tuyển

Để được chọn vào đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố, mỗi thí sinh phải vượt qua hai vòng thi. Bạn Hà tham dự cuộc tuyển chọn này. Xác suất để Hà qua được vòng thứ nhất là $0,8$ . Nếu qua được vòng thứ nhất thì xác suất để Hà qua được vòng thứ hai là $0,7$ . Xác suất để bạn Hà được chọn vào đội tuyển này là
- A.
  $0,06$ .
- B.
  $0,24$ .
- C.
  $0,56$ .
- D.
  $0,875$ .
Gọi $A$ là biến cố: “Hà qua được vòng thứ nhất” và $B$ là biến cố: “Hà qua được vòng thứ hai”. Khi đó biến cố: “Hà được chọn vào đội tuyển” là $AB$ .

Ta có $P(AB) = P(A).P\left( B\left| A \right.\ \right) = 0,8.0,7 = 0,56$ .
Câu 23: Nhận biết
Tính xác suất cỉa biến cố A

Cho hai biến cố $A$ và $B$ biết $P(B) = 0,6\ ;\ \ P\left( A|B \right) = 0,3\ ;\ \ P\left( A|\overline{B} \right) = 0,8$ . Tính $P(A)$
- A.
  $P(A) = 0,3$
- B.
  $P(A) = 0,4$
- C.
  $P(A) = 0,5$
- D.
  $P(A) = 0,6$
Ta có:

$P\left( \overline{B} \right) = 1 - P(B) = 0,4$

$\Rightarrow P(A) = P(B).P\left( A|B \right) + P\left( \overline{B} \right).P\left( A|\overline{B} \right)$

$= 0,6.0,3 + 0,4.0,8 = 0,5$
Câu 24: Nhận biết
Tìm giá trị xác suất

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{B}|A ight)$ ?
- A.
  $\frac{3}{7}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{6}{7}$
- D.
  $\frac{1}{7}$
Ta có:

$P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight)$

$= 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}$ .
Câu 25: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,4$ và khả năng thắng thầu của dự án 2 là $0,5$ . Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là $0,3$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là $a$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là $b$ . Khi đó biểu thức $P = 4.a + 3b$ là bao nhiêu?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,4$ và khả năng thắng thầu của dự án 2 là $0,5$ . Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là $0,3$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là $a$ . Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là $b$ . Khi đó biểu thức $P = 4.a + 3b$ là bao nhiêu?

Đáp án: 4

Gọi $A$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”

Gọi $B$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.

Theo giả thiết suy ra: $P(A) = 0,4$ ; $P(B) = 0,5$ và $P(AB) = 0,3$

Gọi $D$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1” $\Rightarrow D = B|A$

Khi đó:

$P(D) = P\left( B|A ight) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0,3}{0,4} = \frac{3}{4}$

Gọi $E$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1” $\Rightarrow E = B|\overline{A}$

Khi đó:

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{P\left( \overline{A}B ight)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{P(B) - P(AB)}{1 - P(A)}$

$= \frac{0,5 - 0,3}{1 - 0,4} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3}$

Vậy $P = 4.\frac{3}{4} + 3.\frac{1}{3} = 4$ .
Câu 26: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một địa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá là $30\%$ . Biết rằng tỉ lệ người bị viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là $60\%$ , còn tỉ lệ đó trong số người không nghiện thuốc lá là $40\%$ . Chọn ngẫu nhiên một người bị viêm họng từ địa phương trên. Tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm

Đáp án: 0,39||0.39

Đáp án là:

Một địa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá là $30\%$ . Biết rằng tỉ lệ người bị viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là $60\%$ , còn tỉ lệ đó trong số người không nghiện thuốc lá là $40\%$ . Chọn ngẫu nhiên một người bị viêm họng từ địa phương trên. Tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm

Đáp án: 0,39||0.39

Đặt

Biến cố $A$ : "người dân nghiện thuốc lá" $P(A) = 0,3$

Biến cố B : "người dân bị viêm họng"

Khi đó: $P(B \mid A) = 0,6;P\left( B \mid \overline{A} ight) = 0,4$

Trước tiên ta tính xác suất người này viêm họng

$P(B) = P(AB) + P\left( \overline{A}B ight)$ $= P\left( \overline{A} ight) \cdot P\left( B \mid \overline{A} ight) + P(A) \cdot P(B \mid A) = 0,46$ .

Xác suất để người nghiện thuốc lá nếu bị viêm họng là

$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}$ $= \frac{0,3 \cdot 0,6}{0,46} = \frac{9}{23} = 0,39$ .
Câu 27: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Biết $P(B) = 0,01$ ; $P\left( A|B \right) = 0,7$ ; $P\left( A|\overline{B} \right) = 0,09$ . Khi đó $P(A)$ bằng
- A.
  $0,0079$ .
- B.
  $0,0961$ .
- C.
  $0,0916$ .
- D.
  $0,0970$ .
Ta có: $P(B) = 0,01 \Rightarrow P\left( \overline{B} \right) = 1 - 0,01 = 0,99$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B)P\left( A|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( A|\overline{B} \right)$

$= 0,01.0,7 + 0,99.0,09 = 0,0961$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tính xác suất lấy hai bi trắng

Một hộp có 4 viên bi, mỗi viên có thể là màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để lấy được hai bi trắng.
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{5}$
- D.
  $\frac{3}{5}$
Số lượng bi trắng và đen trong hộp chỉ có thể xảy ra 1 trong 5 trường hợp sau:

H₄: 4 bi trắng $\Rightarrow P\left( H_{4} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₃: 3 bi trắng; 1 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₂: 2 bi trắng; 2 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₁: 1 bi trắng; 3 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{1} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₀: 0 bi trắng; 4 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{0} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

Gọi biến cố A là biến cố lấy được 2 bi trắng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( A|H_{4} ight) = 1;P\left( A|H_{3} ight) =\dfrac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{2} \\P\left( A|H_{2} ight) = \dfrac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{6} \\P\left( A|H_{1} ight) = 0;P\left( A|H_{0} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

$P(A) = P\left( H_{0} ight).P\left( A|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight)P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight)P\left( A|H_{2} ight)$

$+ P\left( H_{3} ight)P\left( A|H_{3} ight) + P\left( H_{4} ight)P\left( A|H_{4} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,2.0 + 0,2.0 + 0,2.\frac{1}{6} + 0,2.\frac{1}{2} + 0,2.1 = \frac{1}{3}$
Câu 29: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 0,82

Đáp án là:

Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 0,82

Gọi $A$ là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và $B$ : "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”.

Dễ thấy $\overline{A},\overline{B}$ là hai biến cố độc lập.

Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là

$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18$ .

Gọi $P$ là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:

$P = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - 0,18 = 0,82.$
Câu 30: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các phương án

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,5$ và dự án 2 là $0,6$ . Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A;B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A;B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai|| Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai|| Đúng

Đáp án là:

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,5$ và dự án 2 là $0,6$ . Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A;B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A;B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai|| Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai|| Đúng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,5 = 0,5 \\ P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ P(A \cap B) = 0,4 \\ \end{matrix} ight.$

a) $A;B$ là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P(A \cap B) = P(A).P(B)$

Mà $0,4 eq 0,5.0,6$ nên $A;B$ không độc lập.

b) Gọi C là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án

$P(C) = P\left( A \cap \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} \cap B ight)$

$= P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)$

$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$

$= 0,5 + 0.6 - 2.0,4 = 0,3$ .

c) Gọi D là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1

$P(D) = P\left( B|A ight) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$ .

d) Gọi E là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{0,6 - 0,4}{0,5} = 0,4$ .
Câu 31: Vận dụng
Tính xác suất để hai đứa trẻ là con gái

Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu? Cho biết xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau.
- A.
  $\frac{3}{5}$ .
- B.
  $\frac{3}{4}$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $\frac{1}{3}$ .
Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.

Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng:

(trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).

Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái”

Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”

Ta có $P(A) = \frac{1}{4};P(B) = \frac{3}{4}$

Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:

$P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{4}$

Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là

$P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$
Câu 32: Vận dụng cao
Tính xác suất bắn trúng

Cuối tuần M đến sân chơi để bắn cung, biết khoảng cách bắn tên thay đổi liên tục và khả năng bạn M bắn trúng bia tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. M bắn lần đầu ở khoảng cách $20m$ với xác suất trúng bia là $0,5$ , nếu bị trượt M bắn tiếp mũi tên thứ hai ở khoảng cách $30m$ , nếu lại trượt M bắn mũi tên thứ ba ở khoảng cách $40m$ . Tính xác suất để M bắn trúng bia?
- A.
  $0,63$
- B.
  $0,45$
- C.
  $0,58$
- D.
  $0,75$
Gọi A là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ hai”

Gọi C là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ ba”

Ta có: $P(A) = 0,5$

Vì xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}P\left( B|\overline{A} ight) = \dfrac{20.0,5}{30} = \dfrac{1}{3} \\P\left( C|\overline{A}.\overline{B} ight) = \dfrac{20.0,5}{40} =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$

Ta có sơ đồ cây như sau:

Xác suất để M bắn trúng bia là:

$P(A) + P\left( \overline{A}B ight) + P\left( \overline{A}\overline{B}C ight) = 0,5 + 0,5.\frac{1}{3} + 0,5.\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = 0,75$
Câu 33: Thông hiểu
Tính xác suất theo yêu cầu

Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
- A.
  $\frac{3}{10}$
- B.
  $\frac{11}{16}$
- C.
  $\frac{103}{106}$
- D.
  $\frac{7}{16}$
Xét A:“Con thỏ được lấy ra từ chuồng II để cho vào chuồng I là con thỏ trắng”.

Và B: “Con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng”.

Tính P(A): Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I: $n(\Omega) = C_{10}^{1};n(A) = C_{3}^{1} \Rightarrow P(A) = \frac{3}{10}$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

Tính $P\left( B|A ight)$ : Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I.

Tức là có 5 con thỏ đen và 11 con thỏ trắng ở trong chuồng I

Tương tự ta có: $P\left( B|A ight) = \frac{11}{16}$

Tính $P\left( B|\overline{A} ight)$ : Đây là để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ đen từ chuồng II rồi cho vào chuồng I

Tức là có 6 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng ở trong chuồng I. Tương tự như trên ta có: $P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{10}{16}$ .

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{3}{10}.\frac{11}{16} + \frac{7}{10}.\frac{10}{16} = \frac{103}{106}$
Câu 34: Nhận biết
Tính xác suất của biến cố B

Cho sơ đồ hình cây như sau

Tính xác suất của biến cố $B$ .
- A.
  $0,24$ .
- B.
  $0,51$ .
- C.
  $0,36$ .
- D.
  $0,12$ .
Ta có $P(B) = 0,4.0,6 + 0,4.0,3 = 0,36$ .
Câu 35: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các phương án

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{1}{2}$ .Đúng||Sai

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ . Đúng||Sai

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{7}{11}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $P(A) = \frac{13}{22}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{1}{2}$ .Đúng||Sai

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ . Đúng||Sai

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{7}{11}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $P(A) = \frac{13}{22}$ . Đúng||Sai

a) Ta có: B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ .

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh.

Khi đó $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{6}{11}$ .

d) Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = 0,5$

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là: $P(A)$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,5.\frac{7}{11} + 0,5.\frac{6}{11} = \frac{13}{22}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tìm xác suất có điều kiện

Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là $7$ , biết rằng có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt $5$ chấm.
- A.
  $\frac{2}{11}$ .
- B.
  $\frac{1}{3}$ .
- C.
  $\frac{9}{11}$ .
- D.
  $\frac{2}{3}$ .
Gọi $A$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là $7$ ” và $B$ là biến cố “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt $5$ chấm”.

Ta có

$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ ;

$A \cap B = \left\{ (2;5),\ \ (5;2) \right\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{2}{36}$ .

Suy ra $P\left( A\left| B \right.\ \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{2}{11}$ .
Câu 37: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các kết luận

Khi điều tra sức khỏe nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có $40\%$ người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là $70\%,$ trong những người không bị bệnh tiểu đường là $25\%.$ Chọn ngẫu nhiên 1 người cao tuổi để kiểm tra sức khỏe.

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4. Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7. Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,75. Sai||Đúng

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8. Sai||Đúng

Đáp án là:

Khi điều tra sức khỏe nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có $40\%$ người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là $70\%,$ trong những người không bị bệnh tiểu đường là $25\%.$ Chọn ngẫu nhiên 1 người cao tuổi để kiểm tra sức khỏe.

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4. Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7. Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,75. Sai||Đúng

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8. Sai||Đúng

Xét các biến cố: $A$ : “Chọn được người bị bệnh tiểu đường”;

$B$ : “Chọn được người bị bệnh huyết áp cao”.

Khi đó, $P(A) = 0,4;P(\overline{A}) = 0,6;P(B|A) = 0,7;P(B|\overline{A}) = 0,25.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline{A}).P(B|\overline{A}) = 0,4.0,7 + 0,6.0,25 = 0,43.$

Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
Câu 38: Nhận biết
Tính xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024$ , $P(B) = 0,2025$ . Tính $P\left( A|B \right)$ .
- A.
  $0,7976$ .
- B.
  $0,7975$ .
- C.
  $0,2025$ .
- D.
  $0,2024$ .
Theo bài ra ta có:

$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( A|B \right) = P(A) = 0,2024$
Câu 39: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,7;P\left( \overline{B} ight) = 0,6$ .

a) $P\left( A|B ight) = 0,6$ Sai|| Đúng

b) $P\left( B|\overline{A} ight) = 0,4$ Đúng||Sai

c) $P\left( \overline{A}|B ight) = 0,4$ Sai|| Đúng

d) $P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 0,6$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,7;P\left( \overline{B} ight) = 0,6$ .

a) $P\left( A|B ight) = 0,6$ Sai|| Đúng

b) $P\left( B|\overline{A} ight) = 0,4$ Đúng||Sai

c) $P\left( \overline{A}|B ight) = 0,4$ Sai|| Đúng

d) $P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 0,6$ Đúng||Sai

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,7 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,3 \\ P\left( \overline{B} ight) = 0,6 \Rightarrow P(B) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ \end{matrix} ight.$

Do hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{B}$ và $A$ ; $\overline{A}$ và $B$ ; $\overline{B}$ và $\overline{A}$ độc lập với nhau.

a) $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( A|B ight) = P(A) = 0,7 eq 0,6$

b) $\overline{A}$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,4$

c) $\overline{A}$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( \overline{A}|B ight) = P\left( \overline{A} ight) = 0,3 eq 0,4$

d) $\overline{B}$ và $\overline{A}$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = P\left( \overline{B} ight) = 0,6$
Câu 40: Thông hiểu
Xác định công thức đúng

Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( AB\overline{C} ight)$ ?
- A.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2}$
- B.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2}$
- C.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2} - p$
- D.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2} - 1$
Ta có:

$P\left( AB\overline{C} ight) = P(AB) - P(ABC) = p^{2}$ .

Chia sẻ bởi:
Bon

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Cánh diều

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố xác suất

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm