VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vectơ
Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = - \frac{1}{2}$

Như vậy:

$\cos\left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = \frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C
Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $M(1;2;3),N(2; - 3;1),P(3;1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ ?
- A.
  $Q(2;6;4)$
- B.
  $Q(2; - 6;4)$
- C.
  $Q(4; - 4;0)$
- D.
  $Q( - 4; - 4;0)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $Q(x;y;z)$ khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{QP} = (x - 3;y - 1;z - 2) \\ \overrightarrow{MN} = ( - 1;5;2) \\ \end{matrix} ight.$

ta có $MNPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{MN}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 = - 1 \\ y - 1 = 5 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $Q(2;6;4)$ .
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh bằng 1 như hình vẽ.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là
- A.
  $(0;1;1)$ .
- B.
  $(1;1;0)$ .
- C.
  $(1;1;1)$ .
- D.
  $(1;0;1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $A(0;0;0),C(1;1;0) ightarrow \overrightarrow{AC} = (1;1;0)$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120^{0}$ . Biết rằng $\left| \overrightarrow{u} ight| = 2;\left| \overrightarrow{v} ight| = 5$ , tính $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight|$ ?
- A.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = - 5$
- B.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 7$
- C.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$
- D.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{39}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}$

$= \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2} = 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$

Vậy đáp án đúng là: $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn kết quả chính xác
Cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Khi đó $\left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} \right|^{2}$ bằng
- A.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight)$ .
- C.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2} + 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
- D.
  ${\overrightarrow{u}}^{2} + 2{\overrightarrow{v}}^{2} - 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\left| \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 4{\overrightarrow{v}}^{2} + 4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ .
Câu 7: Vận dụng
Xác định số khẳng định đúng
Một em nhỏ cân nặng $m = 25(kg)$ trượt trên cầu trượt dài $3,5(m)$ (như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là $30{^\circ}$ . Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

+ Với gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là $g = 9,8\left( m/s^{2} \right)$ thì độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là $245(N)$ .

+ Góc giữa độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ so với trọng lực $\overrightarrow{P}$ là $30{^\circ}$ .

+ Công $A(J)$ sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức $A = \left| \overrightarrow{F} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{F};\overrightarrow{d} \right)$ thì công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là $428,75(J)$ .
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
Hướng dẫn:
» Với gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là $g = 9,8\left( m/s^{2} \right)$ thì độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là $\left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N)$ .

» Em nhỏ trượt từ điểm $A$ tới điểm $B$ nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ so với trọng lực $\overrightarrow{P}$ là $\left( \overrightarrow{d,}\overrightarrow{P} \right) = \left( \overrightarrow{AB,}\overrightarrow{P} \right) = 60{^\circ}$ .

» Ta có độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là $\left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N)$ nên công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là $A = \left| \overrightarrow{P} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{P,}\overrightarrow{d} \right) = 245.3,5.cos60{^\circ} = 428,75(J)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz,$ điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều hai điểm $A(4;2; - 1)$ và $B(2;1;0)$ là
- A.
  $M( - 4;0;0).$
- B.
  $M(4;0;0).$
- C.
  $M(5;0;0).$
- D.
  $M( - 5;0;0).$
Hướng dẫn:
$M \in Ox \Rightarrow M(x;0;0).$

Ta có: $\overrightarrow{MA} = (4 - x;2; - 1),\ \ \overrightarrow{MB} = (2 - x;1;0)$

$M$ cách đều hai điểm $A,\ \ B$ khi $MA = MB$

$\Leftrightarrow \sqrt{(4 - x)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{(2 - x)^{2} + 1^{2} + 0^{2}}$

$\Leftrightarrow x = 4$
Câu 9: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $OABC$ với $A(1;\ 2;\ 3)$ , $B(5;\ 0;\ - 1)$ , và $C(a;b;c)$

a. Tọa độ điểm $O(0;0;1)$ .Sai||Đúng

b. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA} = (1;\ 2;\ 3)$ . Đúng||Sai

c. $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

d. Nếu $OABC$ hình bình hành, thì $a + b + c = 2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $OABC$ với $A(1;\ 2;\ 3)$ , $B(5;\ 0;\ - 1)$ , và $C(a;b;c)$

a. Tọa độ điểm $O(0;0;1)$ .Sai||Đúng

b. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA} = (1;\ 2;\ 3)$ . Đúng||Sai

c. $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

d. Nếu $OABC$ hình bình hành, thì $a + b + c = 2$ . Đúng||Sai

(a) Tọa độ điểm $O(0;0;1)$ .

Trong không gian $Oxyz$ , gốc tọa độ $O(0;0;0)$ .

» Chọn SAI.

(b) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA} = (1;\ 2;\ 3)$ .

Điểm $A(1;\ 2;\ 3)$ , suy ra $\overrightarrow{OA} = 1.\overrightarrow{i} + 2.\overrightarrow{j} + 3.\overrightarrow{k} = (1;\ 2;\ 3)$ .

» Chọn ĐÚNG.

(c) $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ .

Ta có $B(5;\ 0;\ - 1)$ . Suy ra vectơ $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - 1.\overrightarrow{k}$ .

» Chọn ĐÚNG.

(d) Nếu $OABC$ hình bình hành, thì $a + b + c = 2$ .

Ta có $\overrightarrow{OA} = 1.\overrightarrow{i} + 2.\overrightarrow{j} + 3.\overrightarrow{k} = (1;\ 2;\ 3)$ , $C(a;b;c)$

$\Rightarrow \overrightarrow{OC} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} + c\overrightarrow{k}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$

$= \left( 5.\overrightarrow{i} -1.\overrightarrow{k} \right) - \left( a.\overrightarrow{i} +b.\overrightarrow{j} + c.\overrightarrow{k} \right)$ $= (5 - a;b; - 1 -c)$ .

$OABC$ hình bình hành, thì $\left\{ \begin{matrix} 5 - a = 1 \\ b = 2 \\ - 1 - c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 2 \\ c = - 4 \\ \end{matrix} \right.$ . Khi đó $a + b + c = 2$ .

» Chọn ĐÚNG.
Câu 10: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Gọi $Q(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MN} = (300;100;2)$

$\overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)$

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M ightarrow N$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N ightarrow Q$ nên $MN = 4NQ$

Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)$

Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2$ .

Do đó, $a + b + c + d = 1223.$
Câu 11: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 1)$ và $B(2;3;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(3;5;1)$
- B.
  $(3;4;1)$
- C.
  $( - 1; - 2;3)$
- D.
  $(1;2;3)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm tọa độ trọng tâm tam giác
Cho tam giác $ABC$ có $A(2;4;5),B( - 1;2;3),C(5;1;2)$ . Tọa độ của trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( \frac{4}{3};\frac{8}{3};\frac{5}{3} ight)$ .
- B.
  $\left( 2;2;\frac{10}{3} ight)$ .
- C.
  $\left( 2;\frac{7}{3};\frac{10}{3} ight)$ .
- D.
  $\left( 2;\frac{8}{3};5 ight)$ .
Hướng dẫn:
Với G là trọng tâm tam giác ABC:

$\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{c}}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{c}}{3} = \dfrac{7}{3} \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{c}}{3} = \dfrac{10}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow G\left( 2;\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3} ight)$

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác có tọa độ là $\left( 2;\frac{7}{3};\frac{10}{3} ight)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn biểu thức phân tích vectơ đúng
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{B'C}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} +\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight)$
$= - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án sai
Tính chất nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} ight)$
- D.
  $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Hướng dẫn:
Tính chất sai là: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
Câu 15: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{u} = (3\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$ .
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$ .
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$ .
Câu 16: Nhận biết
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(5; - 2;0),B( - 2;3;0),C(0;2;3)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(1;1;1)$
- B.
  $G(1;1; - 2)$
- C.
  $G(2;0; - 1)$
- D.
  $G(1;2;1)$
Hướng dẫn:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{5 + ( - 2) + 0}{3} = 1\\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 3 + 2}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1;1;1)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(1;1;1)$ .
Câu 17: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài $30$ mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$ , điểm cuối thuộc cạnh $BC'$ ) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 72

Đáp án là:

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài $30$ mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$ , điểm cuối thuộc cạnh $BC'$ ) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 72

Để độ dài cây cầu $MN$ ngắn nhất thì $MN$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $A^{'}C$ và $BC^{'}$ .

Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ:

Khi đó $C( - 15;0;0)$ , $B(15;0;0),\ C'( - 15;0;0),\ A'(0;15\sqrt{3};30)$

Do đó $MN = d(A'C;BC') = \frac{30\sqrt{39}}{13}$

Số tiền cần làm cây cầu ngắn nhất là $5.\frac{30\sqrt{39}}{13} \approx 72$ (tỷ đồng)
Câu 18: Vận dụng cao
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t - 1 \\ z = t + 2 \\ \end{matrix} \right.$ và mặt phẳng $(\alpha):2x - y - 2z - 2 = 0$ . Mặt phẳng $(P)$ qua d và tạo với $(\alpha)$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n_{P}} = (2;1;0)$ .
- B.
  $\overrightarrow{n_{P}} = (1;2; - 3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{n_{P}} = (3; - 2;7)$ .
- D.
  $\overrightarrow{n_{P}} = ( - 1;1;1)$ .
Hướng dẫn:

Gọi $\Delta = (\alpha) \cap (P);A = d \cap (\alpha);B \in d(B \neq A)$ ; H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha)$ ; K là hình chiếu của H lên $\Delta$ .

Suy ra: $\left( \widehat{d;(\alpha)} \right) = \widehat{BAH}$ cố định; $\left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) = \widehat{BKH}$ .

Mà $\widehat{BKH} \geq \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) \leq \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right)$ .

Suy ra $\left( \widehat{(P);(\alpha)} \right)$ nhỏ nhất bằng $\left( \widehat{d;(\alpha)} \right)$ khi $K \equiv A$ .

Khi đó $\Delta\bot d$ và có một VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = - 3(1;0;1)$ .

$(P)$ có một VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = 2( - 1;1;1)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Xác định chu vi tam giác
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ hai điểm $A(3;0;0),B(0;0;4)$ . Tính chu vi tam giác $OAB$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $14$
- C.
  $6$
- D.
  $7$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (3;0;0) \Rightarrow OA = 3 \\ \overrightarrow{OB} = (0;0;4) \Rightarrow OB = 4 \\ \overrightarrow{AB} = ( - 3;0;4) \Rightarrow AB = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Chu vi tam giác $OAB$ là:

$C = OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12$

Vậy đáp án đúng là: $12$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ , $B(2\ ;\ 1\ ;\ - 3)$ và $C(1\ ;\ - 1\ ;\ 0)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $D( - 2\ ;\ 2\ ;\ 5)$ .
- B.
  $D(0\ ;\ 2\ ;\ - 1)$ .
- C.
  $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .
- D.
  $D(2\ ;\ 2\ ;\ - 5)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ ; $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ 1\ ;\ - 5)$ ; $\overrightarrow{AC} = (2\ ;\ - 1\ ;\ - 2)$

Vì $\frac{3}{2} eq \frac{1}{- 1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương $\overrightarrow{AC} \Rightarrow$ tồn tại hình bình hành $ABCD$ .

Suy ra $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 = 1 - a \\ 1 = - 1 - b \\ - 5 = - c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = - 2 \\ c = 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

124

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Tọa độ của vectơ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II. Tọa độ của vectơ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện