Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021
Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: Toán - Lớp: 11
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5 điểm). Cho phương trình: cos
2
x – 2cosx + m = 0 (1), (với m là tham số).
a) Giải phương trình với m = -3.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x thuộc đoạn [0; /2].
Câu 2 (5 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hàm số
32
2
x
x
y
có đồ thị (C). Viết
phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam
giác vuông cân.
b) Cho đa giác đều 18 cạnh. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn hai tam giác
trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh. Tính xác suất để chọn
được hai tam giác có cùng chu vi.
Câu 3 (5 điểm).
a) Cho dãy số (u
n
) thỏa mãn:
2
2
1
2
5
2
1
1
nnn
uuu
u
*)( Nn
. Tìm
n
k
k
u
1
1
lim
.
b) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo
Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12
triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là
6%
/ năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ
ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hai
chữ số phần thập phân).
Câu 4 (4 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng
SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng
0
60 .
Gọi N là trung điểm của
BC.
a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SD và AN.
b) Gọi H, K là hai điểm lần lượt thuộc các đường thẳng SB và DN
sao cho HK
SB, HK DN. Tính độ dài đoạn HK theo a.
Câu 5 (1 điểm). Cho x, y R thoả mãn: x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
biểu thức: A =
122
)6(2
2
2
yxy
xyx
.
----------HẾT----------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................
Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: Toán - Lớp: 11
I. Hướng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi.
3. Thang điểm được tính đến 0,25. Sau khi cộng điểm toàn bài, không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(5 điểm)
a) Với m = -3, phương trình có dạng: cos
2
x – 2cosx – 3 = 0
0.5
cos 1 (N)
cos 3 (L)
x
x
0.5
Với cosx = -1
2 (k Z)xk
.
0.5
Vậy phương trình có họ nghiệm là:
2 (k Z)xk
0.5
b) Đặt t = cosx, x [0; /2] t [0; 1].
0.5
Khi đó phương trình đã cho m = -t
2
+ 2t, t [0; 1] (*).
0.5
Xét hàm số: f(t) = -t
2
+ 2t, t [0; 1].
1.0
Để phương trình đã cho có nghiệm x [0; /2] phương trình (*) có nghiệm t [0;
1]
01m
. Vậy m [0; 1].
1.0
Câu 2
(5 điểm)
a)
1.0
1.0
(vì qua gốc tọa độ O).
0.5
0.5
a) Gọi A là biến cố: “Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3
đỉnh trong 18 đỉnh”. Giả sử đa giác đều đã cho nội tiếp đường tròn (C).
Vì tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều nên tam giác
vuông đó có cạnh huyền là đường chéo của đường tròn (C).
0.5
Suy ra số tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều là:
9.16=144
2
144
()nC
0.5
Vì hai tam giác vuông bất kì trong 144 tam giác vuông luôn có cạnh huyền bằng nhau
nên hai tam giác này có cùng chu vi khi và chỉ khi chúng là hai tam giác bằng nhau.
Trong 144 tam giác vuông này chia đều thành 4 nhóm tam giác bằng nhau có chu vi
của mỗi tam giác ở hai nhóm khác nhau là khác nhau
2
36
( ) 4n A C
.
0.5
2
36
2
144
4
( ) 35
()
( ) 143
C
nA
PA
nC
0.5
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Câu 3
(5 điểm)
a) Ta có:
nuuuu
nnnn
,0)44(
2
1
2
1
Dãy không giảm.
Nếu có số M: u
n
M với mọi n, thì tồn tại limu
n
= L. Vì u
n
u
1
L
u
1
0.5
Khi đó ta có: L =
2
1
L
2
– L + 2
L = 2. (Vô lý)
limu
n
=
0.5
Ta có:
1
2
242
nnn
uuu
)2(2)2(
1
nnn
uuu
)2(2
1
)2(
1
1
nnn
uuu
2
1
2
11
2
11
2
1
11
nnnnnn
uuuuuu
(
*Nn
)
0.5
Do đó:
2
1
2
11
11
1
n
n
k
k
uuu
n
k
k
u
1
1
lim
=
2
2
1
1
u
0.5
b) Gọi T
n
là số tiền vỗn lẫn lãi sau n năm, a là số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng
và r là lãi suất. Ta có:
- Sau 1 năm, có số tiền là:
1
(1 )T a r
0.5
- Sau 2 năm, có số tiền là:
2
21
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )T T r a r a r a r
- Sau 3 năm, có số tiền là:
23
32
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )T T r a r a r a r a r
….
0.5
- Sau n năm, có số tiền là:
2
(1 ) (1 ) ... (1 )
n
n
T a r a r a r
(1 ) 1
.(1 ).
n
r
ar
r
1.0
Sau 18 năm người đó thu được số tiền là:
18
18
(1 0,06) 1
12.(1 0,06). 393,12
0,06
T
(triệu đồng)
1.0
Câu 4
(5 điểm)
a) Đặt
,,AB a AD b AS c
với
. . . 0ab bc ca
và
,3a b a c a
N
A
B
C
D
S
H
K
0.5
Ta có
SD b c
và
1
2
AN a b
0.5
Suy ra
2 2 2 2
15
2,
42
a
SD b c a AN a b
và
2
2
1
.
22
a
SD AN b
0.5
Vậy
2
1
2
cos , 0
5 2 5
2.
2
a
SD AN
a
a
. Suy ra
1
cos , .
25
SD AN
0.5
b) + Ta có
SB a c
và
1
2
DN a b
0.5
11
22
HK HB BN NK xSB BN yDN x a c b y a b
1
2
y
HK HB BN NK x y a b xc
0.5
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2021
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Minh Châu, Hưng Yên năm 2020-2021
- Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 trường THPT Nguyễn Công Trứ, TP HCM năm 2020-2021
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021 để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi được tổng hợp gồm có 5 câu hỏi tự luận, thí sinh làm bài trong thời gian 120 phút. Đề có hướng dẫn giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THPT miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 11. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11...
