VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021

Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán

1 92

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: Toán - Lớp: 11

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5 điểm). Cho phương trình: cos

2

x – 2cosx + m = 0 (1), (với m là tham số).

a) Giải phương trình với m = -3.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x thuộc đoạn [0; /2].

Câu 2 (5 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hàm số

32

2





x

y

có đồ thị (C). Viết

phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam

giác vuông cân.

b) Cho đa giác đều 18 cạnh. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn hai tam giác

trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh. Tính xác suất để chọn

được hai tam giác có cùng chu vi.

Câu 3 (5 điểm).

a) Cho dãy số (u

n

) thỏa mãn:

















2

1

2

5

2

1

nnn

uuu

u

*)( Nn

. Tìm

















n

k

u

1

lim

.

b) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo

Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12

triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là

6%

/ năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ

ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hai

chữ số phần thập phân).

Câu 4 (4 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng

SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng

0

60 .

Gọi N là trung điểm của

BC.

a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SD và AN.

b) Gọi H, K là hai điểm lần lượt thuộc các đường thẳng SB và DN

sao cho HK

 SB, HK  DN. Tính độ dài đoạn HK theo a.

Câu 5 (1 điểm). Cho x, y R thoả mãn: x

2

+ y

2

= 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

biểu thức: A =

122

)6(2

2





yxy

xyx

.

----------HẾT----------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................

Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: Toán - Lớp: 11

I. Hướng dẫn chung

1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần

như hướng dẫn quy định.

2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo

không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi.

3. Thang điểm được tính đến 0,25. Sau khi cộng điểm toàn bài, không làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(5 điểm)

a) Với m = -3, phương trình có dạng: cos

2

x – 2cosx – 3 = 0

0.5

cos 1 (N)

cos 3 (L)

x

0.5

Với cosx = -1

2 (k Z)xk

.

0.5

Vậy phương trình có họ nghiệm là:

2 (k Z)xk

0.5

b) Đặt t = cosx, x  [0; /2]  t  [0; 1].

0.5

Khi đó phương trình đã cho  m = -t

2

+ 2t, t  [0; 1] (*).

0.5

Xét hàm số: f(t) = -t

2

+ 2t, t  [0; 1].

1.0

Để phương trình đã cho có nghiệm x  [0; /2]  phương trình (*) có nghiệm t  [0;

1]

01m

. Vậy m  [0; 1].

1.0

Câu 2

(5 điểm)

a)

1.0

(vì qua gốc tọa độ O).

0.5

a) Gọi A là biến cố: “Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3

đỉnh trong 18 đỉnh”. Giả sử đa giác đều đã cho nội tiếp đường tròn (C).

Vì tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều nên tam giác

vuông đó có cạnh huyền là đường chéo của đường tròn (C).

0.5

Suy ra số tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều là:

9.16=144

2

144

()nC  

0.5

Vì hai tam giác vuông bất kì trong 144 tam giác vuông luôn có cạnh huyền bằng nhau

nên hai tam giác này có cùng chu vi khi và chỉ khi chúng là hai tam giác bằng nhau.

Trong 144 tam giác vuông này chia đều thành 4 nhóm tam giác bằng nhau có chu vi

của mỗi tam giác ở hai nhóm khác nhau là khác nhau

2

36

( ) 4n A C

.

0.5

2

36

2

144

4

( ) 35

()

( ) 143

C

nA

PA

nC

   



0.5

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Câu 3

(5 điểm)

a) Ta có:

nuuuu

nnnn





,0)44(

2

1

2

1



Dãy không giảm.

Nếu có số M: u

n



M với mọi n, thì tồn tại limu

n

= L. Vì u

n



u

1



L



u

1

0.5

Khi đó ta có: L =

2

1

L

2

– L + 2



L = 2. (Vô lý)



limu

n

=



0.5

Ta có:

1

2

242





nnn

uuu



)2(2)2(

1



nnn

uuu



)2(2

1

)2(

1







nnn

uuu

2

1

2

11

2

11

2

1

11













 nnnnnn

uuuuuu

(

*Nn

)

0.5

Do đó:

2

1

2

11

1











n

k

uuu



















n

k

u

1

lim

=

2

1



u

0.5

b) Gọi T

n

là số tiền vỗn lẫn lãi sau n năm, a là số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng

và r là lãi suất. Ta có:

- Sau 1 năm, có số tiền là:

1

(1 )T a r

0.5

- Sau 2 năm, có số tiền là:

2

21

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )T T r a r a r a r       

- Sau 3 năm, có số tiền là:

23

32

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )T T r a r a r a r a r         

….

0.5

- Sau n năm, có số tiền là:

2

(1 ) (1 ) ... (1 )

n

T a r a r a r      

(1 ) 1

.(1 ).

n

r

ar

r





1.0

Sau 18 năm người đó thu được số tiền là:

18

(1 0,06) 1

12.(1 0,06). 393,12

0,06

T



   

(triệu đồng)

1.0

Câu 4

(5 điểm)

a) Đặt

,,AB a AD b AS c  

với

. . . 0ab bc ca  

và

,3a b a c a  

N

A

B

C

D

S

H

K

0.5

Ta có

SD b c

và

1

2

AN a b

0.5

Suy ra

2 2 2 2

15

2,

42

a

SD b c a AN a b     

và

2

1

.

22

a

SD AN b

0.5

Vậy

 

2

1

2

cos , 0

5 2 5

2.

2

a

SD AN

a

  

. Suy ra

 

1

cos , .

25

SD AN 

0.5

b) + Ta có

SB a c

và

1

2

DN a b

0.5

 

11

22

HK HB BN NK xSB BN yDN x a c b y a b



          





 

1

2

y

HK HB BN NK x y a b xc



       

0.5

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2021

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021 để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi được tổng hợp gồm có 5 câu hỏi tự luận, thí sinh làm bài trong thời gian 120 phút. Đề có hướng dẫn giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THPT miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 11. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội năm 2020-2021. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11...