VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Luyện tập Phương trình mặt cầu KNTT

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 17 Kết nối tri thức

Vndoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Bài tập trắc nghiệm Toán 12: Phương trình mặt cầu sách Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính bán kính đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm M thuộc mặt cầu $(S): (x − 3)^2 + (y + 1)^2 + z^ 2 = 9$ và ba điểm $A(1; 0; 0), B(2; 1; 3), C(0; 2; −3)$ . Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn $MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}= 8$ là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?
- A.
  $r = 7$
- B.
  $r = 2\sqrt{2}$
- C.
  $r = \sqrt{7}$
- D.
  $r = \sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA} = (1 - x; - y; - z) \\\overrightarrow{MB} = (2 - x;1 - y;3 - z) \\\overrightarrow{MC} = ( - x;2 - y; - 3 - z) \\\end{matrix} ight.$ khi đó:
$MA^{2} +2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8$
$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +z^{2} + 2\left\lbrack x(x - 2) + (y - 1)(y - 2) + (z - 3)(z + 3)ightbrack = 8$
$\Leftrightarrow 3.\left( x^{2} + y^{2} +z^{2} ight) - 6x - 6y - 21 = 0$
$\Leftrightarrow M \in (S'):x^{2} +y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 7 = 0$
Mà $M \in (S):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} +z^{2} = 9$
$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -6x + 2y + 1 = 0$
Suy ra $M ∈ (P): 4x − 4y − 8 = 0$ .
Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)
Ta có: $d\left( I;(P) ight) = \sqrt{2}\Leftrightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{7}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- B.
  $AB = \frac{5}{2}$
- C.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $AB = 5$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ , biết $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 11 = 0$ và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $2x + y - 2z - 11 = 0$
- B.
  $2x + y - 2z - 5 = 0$
- C.
  $2x + y - 2z - 7 = 0$
- D.
  $2x - y - 2z - 7 = 0$
Hướng dẫn:
Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng $2x + y - 2z + c = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) là $2x + y - 2z - 7 = 0$
Câu 4: Nhận biết
Tính đường kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6$ . Đường kính $(S)$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $2\sqrt{6}$
- C.
  $12$
- D.
  $\sqrt{6}$
Hướng dẫn:
Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng: $2R = 2\sqrt{6}$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;4;2)$ và có thể tích bằng $\frac{256\pi}{3}$ . Khi đó phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$
Hướng dẫn:
Thể tích mặt cầu là: $V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ có bán kính $R = 4$ là: $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$
Câu 6: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ , với $A(6;2; - 5),B( - 4;0;7)$ . Viết phương trình $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A$ ?
- A.
  $(P):5x + y + 6z + 62 = 0$
- B.
  $(P):5x - y - 6z - 62 = 0$
- C.
  $(P):5x + y - 6z + 62 = 0$
- D.
  $(P):5x + y - 6z - 62 = 0$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì mặt cầu $(S)$ có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu $(S)$ là trung điểm của $AB$ .

Mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; 1; 1).

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$ nên $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{IA} = (5;1; - 6)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $(P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0$

$\Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Tính bán kính mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0)$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là:
- A.
  $R = \sqrt{2}$
- B.
  $R = 2$
- C.
  $R = \sqrt{3}$
- D.
  $R = 3$
Hướng dẫn:
Giả sử $M(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\ MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} + x^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2$

Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là $R = \sqrt{2}$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Xác định số mặt phẳng theo yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 3),B\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; -\frac{1}{2} ight)$ $,C(1;1;4),D(5;3;0)$ . Gọi $\left( S_{1} ight)$ là mặt cầu tâm $A$ bán kính bằng $3,\left( S_{2} ight)$ là mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng $\frac{3}{2}$ . Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( S_{1}ight),\left( S_{2} ight)$ đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm $C$ , $D$ ?
- A.
  $4$
- B.
  Vô số
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:
Ta có $\overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{5}{2} ight) \Rightarrow AB =\frac{3\sqrt{3}}{2} < 3$ nên $B$ nằm bên trong mặt cầu $\left( S_{1} ight)$ .
Một mặt phẳng qua $A$ và $B$ cắt hai mặt cầu theo hai đường tròn giao tuyến như hình bên.
Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến này sẽ cắt đường thẳng $AB$ tại $M$ .
Gọi $N,E$ lần lượt là tiếp điểm với hai đường tròn như hình vẽ.
Tam giác $ANM$ đồng dạng tam giác $BEM$ nên $\frac{AM}{BM} = \frac{AN}{BE} = 2$ .
Suy ra $\overrightarrow{AM} =2\overrightarrow{AB} \Rightarrow M(2;1;2)$ .
Gọi $(P)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu $\left( S_{1}ight)$ và $\left( S_{2}ight)$ .
Khi đó $(P)$ sẽ luôn đi qua $M$ .
Gọi $\overrightarrow{n} = (m;n;p)$ với $m^{2} + n^{2} + p^{2} eq 0$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .
Phương trình $(P):m(x - 2) + n(y - 1) +p(z - 2) = 0$ .
Ta có:
$\overrightarrow{CD} = (4;2; -4)$
$CD // (P) \Rightarrow\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$
$\Rightarrow 4m + 2n - 4p = 0 \Rightarrown = 2p - 2m$
$d\left( A,(P) ight) = 3\Leftrightarrow \frac{| - m + n - 5p|}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}}} =3$
$\Leftrightarrow | - 3m - 3p| =3\sqrt{m^{2} + (2p - 2m)^{2} + p^{2}}$
$\Leftrightarrow 4m^{2} - 10mp + 4p^{2} =0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m}{p} = \dfrac{1}{2} \\\dfrac{m}{p} = 2 \\\end{matrix} ight.$
Trường hợp $\frac{m}{p} =\frac{1}{2}$ : chọn $m = 1,p = 2\Rightarrow n = 2$ .
Khi đó $(P):x + 2y + 2z - 8 = 0$ (nhận).
Trường hợp $\frac{m}{p} = 2$ : chọn $m = 2,p = 1 \Rightarrow n = -2$ .
Khi đó $(P):2x - 2y + z - 4 = 0$ (loại vì chứa $C,D$ ).
Câu 9: Vận dụng
Xác định các giá trị của r
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các mặt phẳng $(P): x−y + 2z + 1 = 0$ , $(Q): 2x+y +z −1 = 0$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $(S)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và $(S)$ cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $r$ . Xác định $r$ sao cho chỉ có đúng một mặt cầu $(S)$ thỏa mãn yêu cầu.
- A.
  $r = \sqrt{\frac{3}{2}}$
- B.
  $r = \sqrt{3}$
- C.
  $r = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $r = \sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Gọi $R, I(m; 0; 0)$ lần lượt là bán kính, tâm của mặt cầu; $d_1, d_2$ lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(P), (Q)$ .

Từ đó ta có: $R^{2} = {d_{1}}^{2} + 4 = {d_{2}}^{2} + r^{2}$ suy ra

$\frac{(m + 1)^{2}}{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} + 4 = \frac{(2m - 1)^{2}}{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + r^{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2m + 1 + 16 = 4m^{2} - 4m + 1 + 6r^{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m + \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0\ \ (*)$

Để tồn tại đúng một mặt cầu tương đương phương trình (∗) có đúng một nghiệm m hay $\Delta' = 1^{2} - \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Vậy đáp án cần tìm là: $r = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tính tổng tất cả các tham số m
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + m + 3 = 0$ , với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi $6\pi$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $T$ bằng:
- A.
  $- 16$
- B.
  $4$
- C.
  $24$
- D.
  $- 20$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

$d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4$

$\Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Câu 11: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $I(1;1;1)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu có tâm $I$ và đi qua $A$ là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 5$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 29$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$
Hướng dẫn:
Ta có: $R = IA = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
Câu 12: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính $R = 2$ ?
- A.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$
- B.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 5 = 0$
- C.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Xét phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2$
Câu 13: Vận dụng
Tính tỉ số thể tích
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): 2x + y − 2z + 10 = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ cắt nhau theo giao tuyến đường tròn $(C)$ . Gọi $V_{1}$ là thể tích khối cầu $(S)$ , $V_{2}$ là thể tích khối nón $(N)$ có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu $(S)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ , đáy là đường tròn $(C)$ . Biết độ dài đường cao khối nón $(N)$ lớn hơn bán kính của khối cầu $(S)$ . Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ?
- A.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{96}$
- B.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{8}$
- C.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}$
- D.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{375}{32}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

$d = d\left( I;(P) ight) = \frac{|4 + 1 - 6 + 10|}{3} = 3$

Bán kính đường tròn $(C)$ là: $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 4$

Thể tích khối cầu (S) là: $V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}$

Chiều cao hình nón là $h = R + d = 8$ .

Thể tích khối nón là $V_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{128\pi}{3}$

Vậy $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính chu vi đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
- A.
  $3\pi$
- B.
  $6\pi$
- C.
  $12\pi$
- D.
  $10\pi$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 0)$ và bán kính $R = 5$ .

Ta có $d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4$

Vì $d(I,(α)) < R$ nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

Lấy $M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)$

Tam giác IHM vuông tại M $\Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$

Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng $2π . HM = 6π$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Tính khoảng cách lớn nhất
Trong không gian $Oxyz$ , , cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ có phương trình lần lượt là $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16$ và $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ . Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$
- B.
  $\sqrt{15}$
- C.
  $\frac{9}{2} - \sqrt{45}$
- D.
  $\frac{8\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính $R_1 = 4$ .

Mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính $R_2 = 2$ .

Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S₁), (S₂) với mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

$\frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2$

Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

$a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}$

$\Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)$

Mặt khác $d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) ta có: $\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra:

$\frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$ .
Câu 16: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 4;0)$ có bán kính bằng $3$ . Phương trình của $(S)$ là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 9$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 3$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 3$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 4;0)$ và bán kính bằng $3$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2}$

$\Rightarrow (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm điều kiện của tham số m
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , giá trị dương của tham số $m$ sao cho mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ là:
- A.
  $m = \sqrt{3}$
- B.
  $m = 5$
- C.
  $m = 3$
- D.
  $m = \sqrt{5}$
Hướng dẫn:
Ta có: $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$

Mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ có tâm $I(3;0;2)$ và bán kính $R = \sqrt{m^{2} + 1}$

Để mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ thì

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{m^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 1 = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}$ . Vì m nhận giá trị dương nên $m = \sqrt{3}$ .

Vậy $m = \sqrt{3}$ thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 18: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0$ . Tính bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $R = \sqrt{151}$
- B.
  $R = 1$
- C.
  $R = \sqrt{99}$
- D.
  $R = 7$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Ta có: $a = 4;b = - 5;c = 3;d = 49$

Khi đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 1$
Câu 19: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu (S’)
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ đỉnh $A(2;0;0),B(0;4;0),$ $C(0;0;6),D(2;4;6)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ . Viết phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 14$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z = 0$
Hướng dẫn:
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I(1;2;3)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ là:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Câu 20: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$
- A.
  $I(4; - 1;0),R = 2$
- B.
  $I( - 4;1;0),R = 4$
- C.
  $I(4; - 1;0),R = 4$
- D.
  $I( - 4;1;0),R = 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 16$

Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là: $I(4; - 1;0),R = 4$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

1

14

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Toán 12 - Kết nối tri thức

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Luyện tập Phương trình mặt cầu KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 3

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 6

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 2

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 4

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 5