Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện

Câu 1: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $2000$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra.

a) Xác suất lấy ra sản phẩm lần thứ nhất bị lỗi là $\frac{39}{2000}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất lấy ra được cả hai sản phẩm bị lỗi là $\frac{2}{39}$ .Sai||Đúng

c) Xác suất lấy ra sản phẩm lần thứ hai bị lỗi, biết rằng lấy lần thứ nhất sản phẩm không bị lỗi là $\frac{39}{1999}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất lấy ra sản phẩm lần thứ hai bị lỗi là $\frac{39}{2000}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $2000$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra.

a) Xác suất lấy ra sản phẩm lần thứ nhất bị lỗi là $\frac{39}{2000}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất lấy ra được cả hai sản phẩm bị lỗi là $\frac{2}{39}$ .Sai||Đúng

c) Xác suất lấy ra sản phẩm lần thứ hai bị lỗi, biết rằng lấy lần thứ nhất sản phẩm không bị lỗi là $\frac{39}{1999}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất lấy ra sản phẩm lần thứ hai bị lỗi là $\frac{39}{2000}$ . Đúng||Sai

a) Đ Xét các biến cố:

$A_{1}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi. Khi đó, ta có: $P\left( A_{1} \right) = \frac{39}{2000}$ ; $P\left( \overline{A_{1}} \right) = \frac{1961}{2000}$ .

$A_{2}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

b) S - Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm và trong đó có $38$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| A_{1} \right.\ \right) =\frac{38}{1999}$ .

c) Đ Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} \right.\ \right) = \frac{39}{1999}$

d) Đ - Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm và trong đó có $38$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| A_{1} \right.\ \right) = \frac{38}{1999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} \right.\ \right) = \frac{1961}{1999}$ .

- Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} \right.\ \right) = \frac{39}{1999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} \right.\ \right) = \frac{1960}{1999}$ .

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

$P\left( A_{2} \right) = P\left(A_{2}\left| A_{1} \right.\ \right).P\left( A_{1} \right) + P\left(A_{2}\left| \overline{A_{1}} \right.\ \right).P\left( \overline{A_{1}}\right)$

$= \frac{38}{1999}.\frac{39}{2000} +\frac{39}{1999}.\frac{1961}{2000} = \frac{39}{2000}$ .

Câu 2: Vận dụng cao

Tính xác suất để cuộc gọi là đúng

Một ứng dụng được sử dụng để chặn cuộc gọi rác trong điện thoại. Tuy nhiên, vì ứng dụng không tuyệt đối hoàn hảo nên một cuộc gọi rác bị chặn với xác suất $0,8$ và một cuộc gọi đúng (không phải là cuộc gọi rác) bị chặn với xác suất $0,01$ . Thống kê cho thấy tỉ lệ cuộc gọi rác là $10\%$ . Chọn ngẫu nhiên một cuộc gọi không bị chặn. Xác suất để đó là cuộc gọi đúng là

A.
$\frac{891}{911}$ .
B.
$\frac{123}{892}$ .
C.
$\frac{891}{911}$ .
D.
$\frac{213}{911}$ .

Gọi $A$ là biến cố: “cuộc gọi được chọn là cuộc gọi rác”, $B$ là biến cố: “cuộc gọi được chọn bị chặn” thì $\overline{B}$ là biến cố: “cuộc gọi được chọn không bị chặn”.

Theo đầu bài ta có: $P(A) = 0,1$ ; $P\left( \overline{A} \right) = 0,9$ ; $P\left( \left. \ B \right|A \right) = 0,8$ ; $P\left( \left. \ B \right|\overline{A} \right) = 0,01$ .

Ta có:

$P(B) = P\left( \left. \ B \right|A \right).P(A) + P\left( \left. \ B \right|\overline{A} \right).P\left( \overline{A} \right)$

$= 0,8.0,1 + 0,01.0,9 = 0,089$ .

Vì $P\left( \left. \ B \right|\overline{A} \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( \left. \ \overline{B} \right|\overline{A} \right) = 0,99$

$P\left( \left. \ B \right|A \right) = 0,8 \Rightarrow P\left( \left. \ \overline{B} \right|A \right) = 0,2$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( \left. \ \overline{A} \right|\overline{B} \right) = \frac{P\left( \overline{A} \right).P\left( \left. \ \overline{B} \right|\overline{A} \right)}{P\left( \overline{A} \right).P\left( \left. \ \overline{B} \right|\overline{A} \right) + P(A).P\left( \left. \ \overline{B} \right|A \right)}$

$= \frac{0,9.0,99}{0,9.0,99 + 0,1.0,2} = \frac{891}{911}$ .

Câu 3: Thông hiểu

Tính xác suất thắng thầu

Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là $0,6$ và dự án 2 là $0,7$ . Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?

A.
$0,4$
B.
$0,7$
C.
$0,28$
D.
$0,6$

Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight.$ với 2 biến cố A; B độc lập.

Gọi E là biến cố “thắng thầu dự án 2 biết không thắng thầu dự án 1” do A; B là hai biến cố độc lập nên:

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,7$ .

Câu 4: Thông hiểu

Xác định công thức đúng

Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( AB\overline{C} ight)$ ?

A.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2}$
B.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2}$
C.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2} - p$
D.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2} - 1$

Ta có:

$P\left( AB\overline{C} ight) = P(AB) - P(ABC) = p^{2}$ .

Câu 5: Vận dụng

Chọn đáp án đúng

Để kiểm tra tính chính xác của một xét nghiệm nhằm chẩn đoán bệnh $X$ , người ta chọn một mẫu gồm $5282$ người, trong đó có $54$ người mắc bệnh $X$ và $5228$ người không mắc bệnh $X$ để làm xét nghiệm. Trong số $54$ người mắc bệnh $X$ có $48$ người cho kết quả dương tính. Trong số $5228$ người không mắc bệnh có $1307$ người cho kết quả dương tính. Chọn ngẫu nhiên một người trong mẫu. Tính xác suất để người đó mắc bệnh $X$ nếu biết rằng người đó có xét nghiệm âm tính.

A.
$\frac{6}{3927}$ .
B.
$\frac{6}{5282}$ .
C.
$\frac{48}{1335}$ .
D.
$\frac{48}{5282}$ .

Ta có bảng sau đây

A table with numbers and textDescription automatically generated

Gọi $A$ là biến cố “Người đó mắc bệnh $X$ ”, $B$ là biến cố “Người đó có xét nghiệm âm tính”.

Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Người đó vừa mắc bệnh $X$ , vừa có xét nghiệm âm tính”.

Từ bảng trên, ta có $P(A \cap B) = \frac{6}{5282}$ ; $P(B) = \frac{3927}{5282}$ .

Vậy xác suất cần tính là $P\left( A\left| B \right.\ \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{6}{3927}$ .

Câu 6: Vận dụng cao

Chọn đáp án đúng

Một hãng hàng không cho biết rằng $5\%$ số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán $52$ ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được $50$ khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được $51$ vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng $10\%$ ?

A.
$92,10\%$
B.
$80,54\%$
C.
$96,67\%$
D.
$79,45\%$

Gọi A là "bán được 52 vé", B là "bán được 51 vé" và C là "bán được nhiều nhất 50 vé".

Khi đó A, B, C tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có $P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(C) = 0,8$

Gọi H là "khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến đều có ghế".

Biến cố $H|A$ xảy ra nếu có ít nhất 2 khách hủy chuyến, H|B xảy ra nếu có ít nhất 1 khách hủy chuyến. Tính trực tiếp xác suất của các sự kiện này đều khá phức tạp.

Do đó để cho đơn giản ta tìm $P\left(\overline{H} ight)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( \overline{H}|A ight) = 0,95^{52}.0,05^{0} +52.0,95^{51}.0,05^{1} \\P\left( \overline{H}|B ight) = 0,95^{51}.0,05^{0} \\P\left( \overline{H}|C ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

Do đó:

$P\left( \overline{H} ight) =P(A).P\left( \overline{H}|A ight) + P(B).P\left( \overline{H}|Bight) + P(C).P\left( \overline{H}|C ight)$

$\Rightarrow P\left( \overline{H} ight)= 0,1\left( 0,95^{52}.0,05^{0} + 52.0,95^{51}.0,05^{1} ight)$ $+0,1.0,95^{51}.0,05^{0} + 0,8.0 \approx 0,033$

$\Rightarrow P(H) = 1 - P\left(\overline{H} ight) \approx 0,9667 = 96,67\%$

Câu 7: Nhận biết

Xét tính đúng sai của các kết luận

Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó

có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét

các biến cố: $A:$ ” lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I”; $B:$ ”Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I”.

a) $P\left( B|A \right) = \frac{16}{23}.$ Sai||Đúng

b) $P\left( B|A \right) = \frac{15}{23}.$ Sai||Đúng

c) $P\left( B|A \right) = \frac{8}{23}.$ Đúng||Sai

d) $P\left( B|A \right) = \frac{7}{23}.$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó

có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét

các biến cố: $A:$ ” lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I”; $B:$ ”Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I”.

a) $P\left( B|A \right) = \frac{16}{23}.$ Sai||Đúng

b) $P\left( B|A \right) = \frac{15}{23}.$ Sai||Đúng

c) $P\left( B|A \right) = \frac{8}{23}.$ Đúng||Sai

d) $P\left( B|A \right) = \frac{7}{23}.$ Đúng||Sai

Ta có: $P(A) = \frac{16}{24} = \frac{2}{3};P(\overline{A}) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ .

Nếu lần thứ nhất lấy ra chai loại $I$ thì két còn 23 chai nước, trong đó có 15 chai loại I, 8 chai loại II. Suy ra $P(B \mid A) = \frac{15}{23}$ .

Nếu lần thứ nhất lấy ra chai loại II thì két còn 23 chai nước, trong đó có 16 chai loại I, 7 chai loại II. Suy ra $P(B \mid \overline{A}) = \frac{16}{23}$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(B) = P(A).P(B \mid A) + P(\overline{A}).P(B \mid \overline{A}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{23} + \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{23} = \frac{2}{3}$ .

Ta có: $P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A) = 1 - \frac{15}{23} = \frac{8}{23}$ ;

$P(\overline{B} \mid \overline{A}) = 1 - P(B \mid \overline{A}) = 1 - \frac{16}{23} = \frac{7}{23}$ .

Đáp án: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Câu 8: Thông hiểu

Chọn phát biểu đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ , ký hiệu là $P\left( \left. \ A ight|B ight)$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A.
Nếu $P(A) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
B.
Nếu $P(B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
C.
Nếu $P(A \cap B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A)}{P(A \cap B)}$ .
D.
Nếu $P(A \cap B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(B)}{P(A \cap B)}$ .

Công thức tính xác suất của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra $\left( P(B) > 0 ight)$ là: $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Câu 9: Nhận biết

Tính P(A|B)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024$ ; $P(B) = 0,2025$ .

Tính $P\left( A\left| B \right.\ \right)$ .

A.
$0,7976$ .
B.
$0,7975$ .
C.
$0,2025$ .
D.
$0,2024$ .

Ta có: $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( A\left| B \right.\ \right) = P(A) = 0,2024$

Câu 10: Thông hiểu

Chọn phương án thích hợp

Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có $25\%$ cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là $60\%$ và $25\%$ . Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?

A.
$\frac{4}{9}$ .
B.
$\frac{5}{9}$ .
C.
$\frac{7}{9}$ .
D.
$\frac{8}{9}$ .

Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi $A$ là biến cố "Người đó có hút thuốc lá" và $B$ là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp". Ta có sơ đồ hình cây sau:

Ảnh có chứa văn bản, ảnh chụp màn hình, Phông chữ, biểu đồMô tả được tạo tự động

Ta có

$P(B) = P(A) \cdot P(B \mid A) +P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A})$ $= 0,15 + 0,1875 =0,3375$ .

Theo công thức Bayes, ta có:

$P(A \mid B) = \frac{P(A)P(B \mid A)}{P(B)} = \frac{0,15}{0,3375} = \frac{4}{9}$ .

Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là $\frac{4}{9}$ .

Câu 11: Nhận biết

Kết luận đúng

Giả sử $A$ và $B$ là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn $P(A) > 0$ và $0 < P(B) < 1$ . Khi đó

A.
$P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right)}{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right)}$ .
B.
$P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right)}{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ \overline{A} \right|B \right)}$ .
C.
$P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right)}{P(B)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|B \right)}$ .
D.
$P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right)}{P(B)P\left( \left. \ \overline{A} \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|B \right)}$ .

Ta có: $P\left( \left. \ B \right|A \right) = \frac{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right)}{P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right) + P\left( \overline{B} \right)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right)}$

Câu 12: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm M, N khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất M và N lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

A: “Cây phát triển bình thường trên lô đất M”;

B: “Cây phát triển bình thường trên lô đất N”.

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và B, A và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A}\ \cap B$ và $D = \ A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

c) P( $\overline{A}$ ) = 0,56; P( $\overline{B}$ ) = 0,62. Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

Đáp án là:

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm M, N khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất M và N lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

A: “Cây phát triển bình thường trên lô đất M”;

B: “Cây phát triển bình thường trên lô đất N”.

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và B, A và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A}\ \cap B$ và $D = \ A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

c) P( $\overline{A}$ ) = 0,56; P( $\overline{B}$ ) = 0,62. Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

a) Do hai lô đất khác nhau. Nên các cặp biến cố $\overline{A}$ và B, A và $\overline{B}$ là độc lập. Suy ra đúng.

b) Do $C \cap D = \overline{A}\ \cap A\ \cap B \cap \overline{B} = \varnothing$ nên hai biến cố C, D xung khắc. Suy ra sai.

c) Tacó: P( $\overline{A}$ ) = 1 – P(A) = 1 – 0,56 = 0,44;

P( $\overline{B}$ ) = 1 – P(B) = l – 0,62 = 0,38. Suy ra sai.

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là:

$P(C \cup D) = P(C) + P(D) = P\left( \overline{A}\ \right).P(B) + P(A).P\left( \overline{B} \right)$

= 0,44. 0,62 + 0,56.0,38 = 0,4856. Suy ra đúng.

Câu 13: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Với $A$ , $B$ là hai biến cố bất kỳ thì

A.
$P(AB) = P(B)P\left( \left. \ \overline{A} \right|B \right)$ .
B.
$P(AB) = P(B)P\left( \left. \ B \right|A \right)$ .
C.
$P(AB) = P(B)P\left( \left. \ A \right|\overline{B} \right)$ .
D.
$P(AB) = P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right)$ .

Ta có: $P(AB) = P(B)P\left( \left. \ A \right|B \right)$ .

Câu 14: Nhận biết

Tính P(A)

Cho hai biến cố $A,B$ với $P(B) = 0,6$ , $P(A|B) = 0,7$ và $P(A|\overline{B}) = 0,4$ . Khi đó $P(A)$ bằng

A.
$0,7$ .
B.
$0,4$ .
C.
$0,58$ .
D.
$0,52$ .

Ta có: $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$ .

Theo công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = P(B).P\left( A \middle| B \right) + P\left( \overline{B} \right).P\left( A \middle| \overline{B} \right)$

$= 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$ .

Câu 15: Nhận biết

Chọn công thức đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

A.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(A) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
C.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Câu 16: Nhận biết

Chọn kết quả đúng

Cho hai biến cố $A,B$ có xác suất $Ρ(A) = 0,4;Ρ(B) = 0,3;Ρ\left( A|B \right) = 0,25$ . Tính xác suất $Ρ\left( B|A \right)$ .

A.
$0,1875$ .
B.
$0,48$ .
C.
$\frac{1}{3}$ .
D.
$0,95$ .

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có $Ρ\left( A|B \right) = \frac{Ρ(AB)}{Ρ(B)}$ .

Do đó $Ρ(AB) = Ρ\left( A|B \right).Ρ(B) = 0,3.0,25 = 0,075$ .

Từ đó suy ra $Ρ\left( B|A \right) = \frac{Ρ(AB)}{Ρ(A)} = \frac{0,075}{0,4} = 0,1875$ .

Câu 17: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các phương án

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,5$ và dự án 2 là $0,6$ . Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A;B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A;B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai|| Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai|| Đúng

Đáp án là:

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,5$ và dự án 2 là $0,6$ . Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A;B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A;B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai|| Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai|| Đúng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,5 = 0,5 \\ P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ P(A \cap B) = 0,4 \\ \end{matrix} ight.$

a) $A;B$ là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P(A \cap B) = P(A).P(B)$

Mà $0,4 eq 0,5.0,6$ nên $A;B$ không độc lập.

b) Gọi C là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án

$P(C) = P\left( A \cap \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} \cap B ight)$

$= P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)$

$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$

$= 0,5 + 0.6 - 2.0,4 = 0,3$ .

c) Gọi D là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1

$P(D) = P\left( B|A ight) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$ .

d) Gọi E là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{0,6 - 0,4}{0,5} = 0,4$ .

Câu 18: Thông hiểu

Tính xác suất khỏi bệnh

Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho $5000,3000,2000$ bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là $0,85;0,9;0,95$ . Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị cho bệnh nhân

A.
$91,7\%$
B.
$83,5\%$
C.
$92,6\%$
D.
$88,5\%$

Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người

Gọi A₁ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.

A₂ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.

A₃ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.

Khi đó: $P\left( A_{1} ight) = 0,5;P\left( A_{2} ight) = 0,3;P\left( A_{3} ight) = 0,2$

Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.

Khi đó $P\left( B|A_{1} ight) = 0,85;P\left( B|A_{2} ight) = 0,9;P\left( B|A_{3} ight) = 0,95$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,5.0,85 + 0,3.0,9 + 0,2.0,95 = 0,885$

Câu 19: Vận dụng

Tính xác suất để hai đứa trẻ là con gái

Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu? Cho biết xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau.

A.
$\frac{3}{5}$ .
B.
$\frac{3}{4}$ .
C.
$\frac{1}{4}$ .
D.
$\frac{1}{3}$ .

Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.

Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng:

(trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).

Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái”

Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”

Ta có $P(A) = \frac{1}{4};P(B) = \frac{3}{4}$

Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:

$P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{4}$

Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là

$P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

Câu 20: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Tìm xác suất nó là phế phẩm.

A.
$0,22\%$
B.
$0,27\%$
C.
$0,15\%$
D.
$0,32\%$

Gọi A_i là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

$P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,25.0,1\% + 0,3.0,2\% + 0,45.0,3\% = 0,22\%$

Câu 21: Nhận biết

Tính xác suất

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A}B ight)$ ?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{5}{12}$
D.
$\frac{1}{2}$

Ta có:

$P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

$\Rightarrow P\left( \overline{A}B ight) = P(B) - P(AB) = \frac{5}{12}$

Câu 22: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Giá trị $P(A)$ bằng:

A.
$0,7$
B.
$0,4$
C.
$0,58$
D.
$0,52$

Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$

Câu 23: Nhận biết

Tính giá trị của P(A)

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(B) = 0,8$ , $P\left( A|B \right) = 0,7$ , $P\left( A|\overline{B} \right) = 0,45$ . Giá trị $P(A)$ bằng

A.
$0,25$ .
B.
$0,65$ .
C.
$0,55$ .
D.
$0,5$ .

Ta có: $P\left( \overline{B} \right) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Công thức xác suất toàn phần

$P(A) = P(B).P\left( A|B \right) + P\left( \overline{B} \right).P\left( A|\overline{B} \right)$ $= 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$

Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án : 0,93

Đáp án là:

Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án : 0,93

Gọi A là biến cố “qua được lần kiểm tra đầu tiên” $\Rightarrow P(A) = 0,98$

Gọi B là biến cố “qua được lần kiểm tra thứ 2” $\Rightarrow P\left( B|A ight) = 0,95$

Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên, hay ta đi tính $P(A \cap B)$ .

Ta có

$P\left( B|A ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$\Rightarrow P(A \cap B) = P\left( B|A ight).P(A) = 0,95.0,98 = \frac{931}{1000} \approx 0,93$

Câu 25: Nhận biết

Tính P(B|A)

Cho hai biến cố $A,B$ thỏa mãn $P(A) = 0,4$ , $P(B) = 0,3$ , $P(A|B) = 0,25$ . Khi đó, $P(B|A)$ bằng

A.
$0,1875$ .
B.
$0,48$ .
C.
$0,333$ .
D.
$0,95$ .

Theo công thức Bayes, ta có:

$P(B|A) = \frac{P(B).P(A|B)}{P(A)} = \frac{0,3.0,25}{0,4} = 0,1875$ .

Câu 26: Nhận biết

Chọn khẳng định đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì với $P(B) > 0$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
$P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
B.
$P\left( A|B \right) = \frac{P(A)}{P(A \cap B)}$ .
C.
$P\left( A|B \right) = \frac{P(B)}{P(A \cap B)}$ .
D.
$P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì với $P(B) > 0$ .

Ta có $P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Câu 27: Nhận biết

Tính xác suất P(A|B)

Gieo con xúc xắc 1 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm. B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Xác suất $P\left( A|B \right)$ là

A.
$\frac{1}{2}$ .
B.
$\frac{1}{3}$ .
C.
$\frac{2}{3}$ .
D.
$\frac{1}{6}$ .

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện ta có: $P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3}$

Câu 28: Vận dụng cao

Tính xác suất bắn trúng

Cuối tuần M đến sân chơi để bắn cung, biết khoảng cách bắn tên thay đổi liên tục và khả năng bạn M bắn trúng bia tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. M bắn lần đầu ở khoảng cách $20m$ với xác suất trúng bia là $0,5$ , nếu bị trượt M bắn tiếp mũi tên thứ hai ở khoảng cách $30m$ , nếu lại trượt M bắn mũi tên thứ ba ở khoảng cách $40m$ . Tính xác suất để M bắn trúng bia?

A.
$0,63$
B.
$0,45$
C.
$0,58$
D.
$0,75$

Gọi A là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ hai”

Gọi C là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ ba”

Ta có: $P(A) = 0,5$

Vì xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}P\left( B|\overline{A} ight) = \dfrac{20.0,5}{30} = \dfrac{1}{3} \\P\left( C|\overline{A}.\overline{B} ight) = \dfrac{20.0,5}{40} =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$

Ta có sơ đồ cây như sau:

Xác suất để M bắn trúng bia là:

$P(A) + P\left( \overline{A}B ight) + P\left( \overline{A}\overline{B}C ight) = 0,5 + 0,5.\frac{1}{3} + 0,5.\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = 0,75$

Câu 29: Thông hiểu

Tính xác suất

Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là $52\%$ . Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia lớp học bổ trợ kiến thức lần lượt là $18\%$ và $15\%$ . Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia lớp học bổ trợ kiến thức. Tính xác suất học sinh đó là nam?

A.
$\frac{207}{1230}$
B.
$\frac{207}{1250}$
C.
$\frac{10}{27}$
D.
$\frac{10}{23}$

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là các biến cố gặp được một học sinh nữ, một học sinh nam

Nên 1 2 A A, là hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B “Học sinh đó tham gia lớp học bổ trợ kiến thức”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1} ight) = 52\% = 0,52 \\ P\left( A_{2} ight) = 1 - 0,52 = 0,48 \\ P\left( B|A_{1} ight) = 18\% = 0,18 \\ P\left( B|A_{2} ight) = 15\% = 0,15 \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,18.0,52 + 0,15.0,48 = \frac{207}{1250} = 0,1656$

Xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, ta áp dụng công thức Bayes:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)} = \frac{0,15.0,48}{0,1656} = \frac{10}{23}$

Câu 30: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp $60\%$ chi tiết, máy thứ hai cung cấp $40\%$ chi tiết. Biết $90\%$ chi tiết do máy thứ nhất sản xuất đều đạt tiêu chuẩn và $85\%$ chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyển một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.

A.
$57,6\%$
B.
$61,4\%$
C.
$73,8\%$
D.
$66,3\%$

Gọi A là biến cố chi tiết lấy từ dây chuyển đạt tiêu chuẩn.

Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

H₁ chi tiết máy do máy một sản xuất.

H₂ chi tiết máy do máy hai sản xuất.

Như vậy xác suất để chi tiết máy dó máy một sản xuất bằng:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight)}$

Theo dữ kiện đề bài cho ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( H_{1} ight) = 0,6;P\left( H_{2} ight) = 0,4 \\ P\left( A|H_{1} ight) = 0,9;P\left( A|H_{2} ight) = 0,85 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{0,6.0,9}{0,6.0,9 + 0,4.0,85} = 0,614$

Câu 31: Thông hiểu

Tính xác suất có điều kiện

Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

A.
$\frac{2}{6}$ .
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{6}$ .
D.
$\frac{5}{6}$ .

Gọi $A$ là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”

Gọi $B$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì $P\left( B|A \right) = \frac{1}{6}$

Câu 32: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ

B là biến cố An làm đúng câu trung bình

C là biến cố An làm đúng câu khó.

Khi đó A, B, C độc lập với nhau.

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$ . Khẳng định Sai.

b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là:

$P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) + P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C). + P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight)$

$= 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474$

Khẳng định Sai.

c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$

Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình. $(0,4)^{3} = 0,064$ .

Khẳng định Đúng.

d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:

TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai

$(0,15)^{4}(0,2 + 0,4 + 0,85) = 7,34.10^{- 4}$

TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình

$(0,15)^{3}.(0,6)^{2} = 1,215.10^{- 4}$

Vậy xác suất cần tìm là $0,1949\%$

Khẳng định Sai.

Câu 33: Vận dụng cao

Tính xác suất theo yêu cầu

Một loại linh kiện do hai nhà máy số I và số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I và II lần lượt là $4\%$ và $3\%$ . Trong một lô linh kiện để lẫn lộn $80$ sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó. Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?

A.
Nhà máy I
B.
Nhà máy II

Xét hai biến cố sau: $A$ : ‘‘Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”,

$B$ : ‘‘Linh kiện lấy ra là phế phẩm”

Trong lô linh kiện có tổng cộng $80 + 120 = 200$ linh kiện nên $P(A) = \frac{80}{200} = 0,4$ ; $P\left( \overline{A} \right) = 0,6$ .

Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I và II lần lượt là $4\%$ và $3\%$ nên $P\left( B|A \right) = 4\% = 0,04$

Khi đó: $P\left( B|\overline{A} \right) = 3\% = 0,03$ .

Ta có sơ đồ cây:

A diagram of a triangle with Great Pyramid of Giza in the backgroundDescription automatically generated

Khi linh kiện lấy ra là phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy I sản xuất là $P\left( A|B \right)$ và xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là $P\left( \overline{A}|B \right)$ .

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left( A|B \right) = \frac{P(A).P\left(B|A \right)}{P(A).P\left( B|A \right) + P\left( \overline{A}\right).P\left( B|\overline{A} \right)}$ $= \frac{0,4.0,04}{0,4.0,04 +0,6.0,03} \approx 47\%$ .

Suy ra $P\left( \overline{A}|B \right) = 1 - P\left( A|B \right) \approx 53\%$ .

Vậy xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Câu 34: Nhận biết

Xác định biến cố C

Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

Xét các biến cố:

$A$ : "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

$B$ : "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

Xác định biến cố $E = B|A$ : "biến cố $B$ với điều kiện biết $A$ đã xảy ra".

A.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$
B.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$
C.
$E = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$
D.
$E = \left\{(1;2),(1;3),(1;4),(2;1),(2;3),(2;4),(3;1),(3;2),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3)ight\}$

Ta có:

$A = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$

$B = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Khi biến cố $B$ xảy ra, thì không gian mẫu mới là $B$ .

Khi đó, biến cố $E = B|A = A \cap B = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Câu 35: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P\left( \overline{A} \right) = 0,4\ ,\ P(B) = 0,7\ ,\ P(A \cap B) = 0,3$ .

a) $P(A) = 0,6$ và $P\left( \overline{B} \right) = 0,3$ Đúng||Sai

b) $P\left( A|B \right) = \frac{2}{3}$ Sai||Đúng

c) $P\left( \overline{B}|A \right) = \frac{1}{3}$ Sai||Đúng

d) $P\left( \overline{A} \cap B \right) = \frac{3}{5}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P\left( \overline{A} \right) = 0,4\ ,\ P(B) = 0,7\ ,\ P(A \cap B) = 0,3$ .

a) $P(A) = 0,6$ và $P\left( \overline{B} \right) = 0,3$ Đúng||Sai

b) $P\left( A|B \right) = \frac{2}{3}$ Sai||Đúng

c) $P\left( \overline{B}|A \right) = \frac{1}{3}$ Sai||Đúng

d) $P\left( \overline{A} \cap B \right) = \frac{3}{5}$ Sai||Đúng

a) Đúng.

Ta có: $P\left( \overline{A} \right) = 1 - P(A) = 0,6$

$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} \right) = 0,3$ .

b) Sai.

Ta có: $P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7}$ .

c) Sai.

Ta có: $P\left( \overline{B}|A \right) = 1 - P\left( B|A \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = 0,5$ .

d) Sai.

Ta có: $P\left( \overline{A} \cap B \right) = P\left( \overline{A}|B \right).P(B)$

Mà $P\left( \overline{A}|B \right) = 1 - P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1 - \frac{0,3}{0,7} = \frac{4}{7}$

$P\left( \overline{B} \cap A \right) = P\left( \overline{A}|B \right).P(B) = \frac{4}{7}.0,7 = \frac{2}{5}$ .

Câu 36: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A$ và $B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai||Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A$ và $B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai||Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai||Đúng

Đề bài: $P(A) = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,5;P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,4$

$P(A \cap B) = 0,4$

a) $A,B$ độc lập $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A).P(B)$

mà $0,4 eq 0,5.0,6$ nên $A,B$ không độc lập

b) Gọi $C$ là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án

$P(C) = P\left( A \cap \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)$ $= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = 0,5 + 0,6 - 2.0,4 = 0,3$

c) Gọi $D$ là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1

$P(D) = P\left( B|A ight) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$

d) Gọi $E$ là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{P\left( B \cap \overline{A} ight)}{P\left( \overline{A} ight)}$

$= \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{0,6 - 0,4}{0,5} = 0,4$

Câu 37: Vận dụng

Chọn đáp án đúng

Trong một kho rượu, số lượng rượu loại M và loại N bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai và đưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất đoán đúng của mỗi người là 0,8. Có 3 người kết luận rượu loại M, 2 người kết luận rượu loại N. Hỏi khi đó xác suất chai rượu đó thuộc loại M là bao nhiêu?

A.
$0,80$
B.
$0,66$
C.
$0,64$
D.
$0,82$

Gọi A là chai rượu thuộc loại M thì $A;\overline{A}$ tạo thành hệ đầy đủ và $P(A) = P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{2}$

Gọi H là "có 3 người kết luận rượu loại M và 2 người kết luận rượu loại N".

Theo công thức toàn phần ta có:

$P(H) = P(A).P\left( H|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( H|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(H) = 0,5.C_{5}^{3}.0,8^{3}.0,2^{2} + 0,5.C_{5}^{2}.0,8^{2}.0,2^{3} = 0,128$

Vậy xác suất cần tính là:

$P\left( A|H ight) = \frac{P(A).P\left( H|A ight)}{P(H)} = \frac{0,5.C_{5}^{3}.0,8^{3}.0,2^{2}}{0,128} = 0,8$

Câu 38: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Có hai đội thi đấu môn Bóng bàn. Đội $I$ có 6 vận động viên, đội $II$ có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương đồng của mỗi vận động viên đội $I$ và đội $II$ tương ứng là $0,8$ và $0,65$ . Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.

a) [NB] Xác suất để vận động viên này thuộc đội $I$ là $0,8$ . Sai||Đúng

b) [TH] Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac{5}{7}$ . Đúng||Sai

c) [TH] Xác suất để vận động viên này thuộc đội $II$ và đạt huy chương đồng là $0,48$ . Sai||Đúng

d) [VD] Xác suất để vận động viên này thuộc đội $I$ và đạt huy chương đồng là $\frac{12}{25}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Có hai đội thi đấu môn Bóng bàn. Đội $I$ có 6 vận động viên, đội $II$ có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương đồng của mỗi vận động viên đội $I$ và đội $II$ tương ứng là $0,8$ và $0,65$ . Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.

a) [NB] Xác suất để vận động viên này thuộc đội $I$ là $0,8$ . Sai||Đúng

b) [TH] Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac{5}{7}$ . Đúng||Sai

c) [TH] Xác suất để vận động viên này thuộc đội $II$ và đạt huy chương đồng là $0,48$ . Sai||Đúng

d) [VD] Xác suất để vận động viên này thuộc đội $I$ và đạt huy chương đồng là $\frac{12}{25}$ . Đúng||Sai

a) Sai. Gọi $A$ là biến cố: “Vận động viên được chọn thuộc đội $I$ ”.

Ta có $n(A) = 6$ , $n(\Omega) = 14$ .

Do đó $P(A) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \approx 0,4286$ .

b) Đúng. Ta có: $\overline{A}$ là biến cố: “Vận động viên được chọn thuộc đội $II$ ”.

Suy ra $P\left( \overline{A} ight) = \frac{4}{7}$ .

$B$ là biến cố: “Vận động viên được chọn đạt huy chương đồng”.

Khi đó ta có: $P\left( B|A ight) = 0,8$ , $P\left( B|\overline{A} ight) = 0,65$ .

Và $P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$P(B) = \frac{3}{7}.0,8 + \frac{4}{7}.0,65 = \frac{5}{7}$ .

c) Sai. Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( \overline{A}|B ight) = \frac{P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}{P(B)}$ $=\dfrac{\dfrac{4}{7}.0,65}{\dfrac{5}{7}} = \dfrac{13}{25} = 0,52$ .

d) Đúng. Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(B)}$ $=\dfrac{\dfrac{3}{7}.0,8}{\dfrac{5}{7}} = \dfrac{12}{25}$ .

Câu 39: Thông hiểu

Tính xác suất để tổng số chấm bằng 6

Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6 biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm. (Làm tròn đến hàng phần trăm).

A.
0,25
B.
0,34
C.
0,17
D.
0,42

Gọi $A$ là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”

Gọi $B$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì $P\left( B|A \right) = \frac{1}{6} \approx 0,17$