VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong không gian cho ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- C.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Vì ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ cùng nằm trên một mặt phẳng

Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Câu 2: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$ ?
- A.
  $\min T = 3$
- B.
  $\min T = 2$
- C.
  $\min T = 4$
- D.
  $\min T = 6$
Đặt $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Khi đó $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$ với $x;y;z$ là ba số có tổng bằng 1.

Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$

$\Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}$

Tương tự ta được

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$+ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)$

$- \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3$

Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 3: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ , điểm $B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)$ $C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)$ và

điểm $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ sao cho $B$ là trọng tâm tam giác $ACD$ . Khi đó $P = a + b + c$ bằng
- A.
  $1$ .
- B.
  $- 3$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $3$ .
Ta có: $P = a + b + c = 1$
Câu 4: Nhận biết
Xác định mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ thì bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
- B.
  Tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm cạnh $BC$ thì ta có: $2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- C.
  Vì $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$ nên suy ra $B$ là trung điểm cạnh $AC$ .
- D.
  Vì $\overrightarrow{AB} = - 2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}$ nên bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ đúng với mọi điểm $A;B;C;D$ nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Câu 5: Thông hiểu
Tìm câu sai

Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ với tâm $O$ .
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC_{1}} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D_{1}A} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{AD_{1}} + \overrightarrow{D_{1}O} + \overrightarrow{OC_{1}}$ .
Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB_{1}},\ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{AD_{1}}$ mà $\overrightarrow{AB_{1}} eq \overrightarrow{AD_{1}}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}}$ sai.
Câu 6: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Biết rằng vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2;4;2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 4;0)$ .
- C.
  $\overrightarrow{b} = (3;0;2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{b} = (2;4;0)$ .
Ta có: $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$
Câu 7: Vận dụng cao
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ , $B(2;2;1)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục tung sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất.
- A.
  $M(0\ ; - 2\ ;0)$ .
- B.
  $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
- C.
  $M(0 ; - 3 ;0)$ .
- D.
  $M(0\ ; - 4\ ;0)$ .
Khi đó:

$MA^{2} + MB^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2}$

$= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}$

$= 2{\overrightarrow{MI}}^{2} + {\overrightarrow{IA}}^{2} + {\overrightarrow{IB}}^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight)$

$= 2MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} = 2MI^{2} + 9$ .

Do đó $MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên trục tung.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $I$ và vuông góc với trục tung là

$0.\left( x - \frac{3}{2} ight) + 1.\left( y - \frac{3}{2} ight) + 0.(z + 1) = 0$ hay $(P):y - \frac{3}{2} = 0$ .

Phương trình tham số của trục tung là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ điểm $M$ cần tìm là nghiệm $(x\ ;y\ ;z)$ của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ y - \frac{3}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính tích vô hướng của hai vectơ

Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0$

Vậy $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0$
Câu 9: Vận dụng
Tìm tọa độ vecto của máy bay

Cho biết máy bay $A$ đang bay với vận tốc $\overrightarrow{u} = (300;200;400)$ (đơn vị: $km/h)$ . Máy bay $B$ ngược hướng và có tốc độ gấp 2 lần tốc độ của máy bay $A$ . Tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của máy bay $B$ là
- A.
  $\overrightarrow{v} = (600;400;800)$ .
- B.
  $\overrightarrow{v} = (150;100;200)$ .
- C.
  $\overrightarrow{v} = ( - 600; - 400; - 800)$ .
- D.
  $\overrightarrow{v} = ( - 150; - 100; - 200)$ .
Tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của máy bay $B$ là:

$\overrightarrow{v} = - 2\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{v} = ( - 600; - 400; - 800)$
Câu 10: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(1;2; - 3)$
- B.
  $(2; - 3;1)$
- C.
  $(2;1; - 3)$
- D.
  $(1; - 3;2)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .
Câu 11: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Cho hệ trục tọa độ $Oxyz$ mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía Đông, trục Oy hướng về phía Nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (như hình minh họa bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet. Hai khinh khí cầu bay lên cùng thời điểm chiếc thứ nhất xuất phát tại điểm $O$ , chiếc thứ hai xuất phát từ điểm $I(1;\ 0;\ 0)$ . Sau 20 phút chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 1km về phía Nam và $1km$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $0,5km$ . Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát $2km$ về phía Bắc và $2km$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $0,8m$ . Hỏi nếu giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 10 phút nữa 2 khinh khí cầu cách nhau bao $km$ ? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 4,7

Đáp án là:

Cho hệ trục tọa độ $Oxyz$ mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía Đông, trục Oy hướng về phía Nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (như hình minh họa bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet. Hai khinh khí cầu bay lên cùng thời điểm chiếc thứ nhất xuất phát tại điểm $O$ , chiếc thứ hai xuất phát từ điểm $I(1;\ 0;\ 0)$ . Sau 20 phút chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 1km về phía Nam và $1km$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $0,5km$ . Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát $2km$ về phía Bắc và $2km$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $0,8m$ . Hỏi nếu giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 10 phút nữa 2 khinh khí cầu cách nhau bao $km$ ? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 4,7

Gọi vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai sau khi bay $20$ phút lần lượt là $M(1\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ và $N(2\ ;\ - 2\ ;\ 0,8)$

Gọi $A\left( x_{A};y_{A};z_{A} ight)\ ,\ B\left( x_{B};y_{B};z_{B} ight)$ là vị trí của khinh khí cầu thứ nhất, thứ hai sau khi bay 10 phút tiếp theo.

Ta có $\overrightarrow{OA}\ \ = \ \frac{3}{2}\overrightarrow{OM} \Rightarrow A\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{4} ight)$

$\overrightarrow{IB}\ = \ \frac{3}{2}\overline{IN} \Rightarrow B\left( \frac{5}{2}; - 3;1,2 ight)$

Ta có $AB\ = \ {\sqrt{\left( \frac{5}{2} - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( - 3 - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( 1,2 - \frac{1}{4} ight)^{2}}}^{} \approx 4,7$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

Tìm $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight)$ là góc nhọn.
- A.
  $m > \frac{1}{2},m eq1$ .
- B.
  $m > 1$ .
- C.
  $0 < m < \frac{1}{2}$ .
- D.
  $m > 1$ hoặc $0 < m < \frac{1}{2}$ .
Để $\left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0$

$\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0$

$\Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.$
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z - 3 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight)$
- B.
  $\left( 1; - 1; - \frac{3}{2} ight)$
- C.
  $(1;6;1)$
- D.
  $(0;3;0)$
Xét điểm $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight)$ ta có: $1 - 1 + 2.\frac{3}{2} - 3 = 0$ đúng nên $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight) \in (\alpha)$ .
Câu 14: Nhận biết
Tính cosin của hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 3;4;0)$ và $\overrightarrow{b} = (5;0;12)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{3}{13}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{5}{6}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{5}{6}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{3}{13}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 3}{13}$
Câu 15: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1\ ;\ \ 5\ ;\ 0)$ , $B(3\ ;\ 3\ ;\ 6)$ và đường thẳng $d:\ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ . Điểm $M(a\ ;\ b\ ;\ c)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Khi đó biểu thức $a + 2b + 3c$ bằng
- A.
  $5$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $9$ .
- D.
  $3$ .
Ta có $AB = \sqrt{44}$ không đổi.

Do đó chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất khi $(MA + MB)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$M \in (d) \Rightarrow M( - 1 + 2t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t)$ .

$MA = \sqrt{9t^{2} + 20} = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ , $MB = \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ .

Chọn $\overrightarrow{u} = \left( 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$ .

Chọn $\overrightarrow{v} = \left( 6 - 3t\ ;\ 2\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} ight)^{2}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6\ ;\ 4\sqrt{5}\ ;\ 0 ight) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}$ .

Theo tính chất vecto $\left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{29}$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v}$ $\Leftrightarrow t = 1$ .

Suy ra $MA + MB = \left| \overrightarrow{u} ight| + \left| \overrightarrow{v} ight| \geq 2\sqrt{29}$ .

Do đó $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{29}$ khi $t = 1$ $\Rightarrow$ $M(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ .

Vậy $a + 2b + 3c = 1 + 2.0 + 3.2 = 7$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2 ; - 1);B(2; - 1 ;3);C( - 3 ;5 ;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $D( - 4;\ \ 8\ ;\ - 5)$
- B.
  $D( - 4\ ;\ \ 8\ ;\ - 3)$ .
- C.
  $D( - 2\ ;8\ ; - 3)$ .
- D.
  $D( - 2\ ;2\ ;5)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB}(\ 1;\ \ - 3;\ \ 4)$ ; $\overrightarrow{AC}(\ - 4;\ \ 3;\ \ 2)$ nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$ không cùng phương hay $A,B,C$ không thẳng hàng.

Gọi $D(\ x;\ \ y;\ \ z)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{DC}(\ - 3 - x;\ \ 5 - y;\ \ 1 - z)$ .

Lúc đó, $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ - 3 = 5 - y \Leftrightarrow \\ 4 = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm cần tìm là: $D( - 4\ ;\ \ 8\ ;\ - 3)$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A( - 1;2; - 3),B(1;0;2),C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó giá trị của biểu thức $x +y$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $17$
- C.
  $- \frac{11}{5}$
- D.
  $\frac{11}{5}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5) \\\overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1) \\\end{matrix} ight.$ . Vì A; B; C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$ cùng phương
$\Leftrightarrow \dfrac{x + 1}{2} =\dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{3}{5} \\y = \dfrac{8}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm tọa độ biểu thức vectơ

Cho $\overrightarrow{AB} = (5; - 3;2),\overrightarrow{AC} = (4;2;1)$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ là:
- A.
  $\left( 10; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- B.
  $(12; - 5;9)$ .
- C.
  $\left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( 12; - 2;\frac{9}{2} ight)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$= \left( 2.5 + \frac{1}{2}.4;2.( - 3) + \frac{1}{2}.2;2.2 + \frac{1}{2}.1 ight)$

$= \left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm cặp số thực

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (m;2;4),\overrightarrow{b} = (1;n;2)$ cùng phương. Tìm cặp số thực $(m;n)$ ?
- A.
  $(m;n) = (4;8)$
- B.
  $(m;n) = (1;2)$
- C.
  $(m;n) = (2;1)$
- D.
  $(m;n) = ( - 2; - 1)$
Ta có hai vectơ $\overrightarrow{a} = (m;2;4),\overrightarrow{b} = (1;n;2)$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(m;n) = (2;1)$ .
Câu 20: Vận dụng
Chọn phương án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm $AD$ . Giá trị $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}a^{2}$ .
- B.
  $a^{2}$ .
- C.
  $\frac{3}{4}a^{2}$ .
- D.
  $\frac{3}{2}a^{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = \left( \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} ight)\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{B_{1}B}.\overrightarrow{DD_{1}} + {\overrightarrow{BA}}^{2} + \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AD}$ $= - a^{2} + a^{2} + \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

118

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện