VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$
Câu 2: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = a$ , $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha$ . Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và các trung điểm của $SB,SC$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
- B.
  $S = \frac{a^{2}}{2}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 6cos\alpha + 9}$
- D.
  $S = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$
Hinh vẽ minh họa

Gọi $B',C'$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ . Thiết diện là tam giác $AB'C'$ .

Theo bài tập 5 thì $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}$

Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}$

$\Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}$

$= \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha)$ .

Tính tương tự, ta có

$\overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha)$ .

Vậy $S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}$

$= \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}$ .
Câu 3: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức T

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(3;2; - 1)$ , $B( - 1;0;5)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ khi $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất.
- A.
  2
- B.
  7
- C.
  5
- D.
  10
Gọi $K$ là điểm thỏa: $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow K(1;1;2)$ .

Ta có:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KA} \right) + \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KB} \right) \right|$

$= \left| 2\overrightarrow{MK} + \left( \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} \right) \right| = \left| 2\overrightarrow{MK} \right| = 2MK$ .

Do đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MK$ nhỏ nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Suy ra $M(1;1;0)$ .

Vậy $T = a + b + c = 1 + 1 + 0 = 2$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ , biết $A(5;3; - 1)$ , $B(2;3; - 4)$ , $C(3;1; - 2)$ . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng:
- A.
  $9 - 2\sqrt{6}.$
- B.
  $9 - 3\sqrt{6}.$
- C.
  $9 + 3\sqrt{6}.$
- D.
  $9 + 2\sqrt{6}.$
Ta có $AC^{2} + BC^{2} = 9 + 9 = AB^{2} \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ .

Suy ra: $r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{\frac{1}{2}CA.CB}{\frac{1}{2}(AB + BC + CA)}$ $= \frac{3.3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3}} = 9 - 3\sqrt{6}$
Câu 5: Vận dụng
Định tọa độ điểm M

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(4; - 2;6)$ , $B(2;4;2)$ , $M \in (\alpha)\ :\ x + 2y - 3z - 7 = 0$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất. Tọa độ của $M$ bằng
- A.
  $\left( \frac{29}{13};\frac{58}{13};\frac{5}{13} ight)$ .
- B.
  $(4;3;1)$ .
- C.
  $(1;3;4)$ .
- D.
  $\left( \frac{37}{3};\frac{- 56}{3};\frac{68}{3} ight)$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(3;1;4)$ .

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ xuống mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)$

$= MI^{2} + \overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) - IA^{2} = MI^{2} - IA^{2}$ .

Do $IA$ không đổi nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H$ .

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Khi đó $\Delta$ nhận $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ .

$H \in \Delta \Leftrightarrow H(3 + t;1 + 2t;4 - 3t)$ .

$H \in (\alpha) \Leftrightarrow (3 + t) + 2(1 + 2t) - 3(4 - 3t) - 7 = 0$

$\Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H(4;3;1)$ .

Vậy $M(4;3;1)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A’

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 3;5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ ?
- A.
  $A'(2;3;5)$
- B.
  $A'(2; - 3; - 5)$
- C.
  $A'( - 2; - 3;5)$
- D.
  $A'( - 2; - 3; - 5)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của $A(2; - 3;5)$ lên $Oy$ suy ra $H(0; - 3;0)$

Khi đó $H$ là trung điểm của $AA'$ nên

$\left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2 \\ y_{A'} = - 3 \\ z_{A'} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'( - 2; - 3; - 5)$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- B.
  $(2;3; - 2)$ .
- C.
  $(3;2; - 2)$ .
- D.
  $(1;3;2)$ .
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 8: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm A

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của điểm $A$ là
- A.
  $( - 1;2; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- C.
  $( - 3;2; - 1)$ .
- D.
  $(2; - 1; - 3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = (1; - 2;3)$

Khi đó $A( - 1;2; - 3)$
Câu 9: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính cosin của hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 11: Nhận biết
Xác định tích vô hướng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $11$
- D.
  $10$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho $A(1\ ;\ 1\ ;\ 2),\ B(2\ ;\ - 1\ ;\ 1),\ C(3\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $(4\ ;\ 2\ ;\ - 4)$ .
- B.
  $(0\ ;\ - 2\ ;\ 6)$ .
- C.
  $(2\ ;\ 4\ ;\ - 2)$ .
- D.
  $(4\ ;\ 0\ ;\ - 4)$ .
Gọi tọa độ điểm $D(x\ ;\ y\ ;\ z)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AD}\ = \ (x\ - \ 1\ ;\ y\ - 1\ ;\ z\ - \ 2)$ , $\overrightarrow{BC}\ = \ (1\ ;\ 3\ ;\ - 4)$ .

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 3 \\ z - 2 = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ z = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(2\ ;\ 4\ ;\ - 2)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính góc giữa các cặp vectơ

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$
Câu 14: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu điểm A

Trong không gian $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là
- A.
  $P(0\ ;\ 2\ ;\ 3)$ .
- B.
  $M(1\ ;\ 0\ ;\ 3)$ .
- C.
  $N(0\ ;\ 2\ ;\ 0)$ .
- D.
  $Q(1; 2 ; 0)$ .
Tọa độ hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng $(Oxz)$ là: $(1;0;3)$ .
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 16: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Nhận biết
Phân tích vectơ

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ( $AEGC$ là hình chữ nhật) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$ ( $AEGC$ là hình vuông)
Câu 18: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD suy ra $\overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

Ta có: $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ biểu thức vectơ

Cho $\overrightarrow{AB} = (5; - 3;2),\overrightarrow{AC} = (4;2;1)$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ là:
- A.
  $\left( 10; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- B.
  $(12; - 5;9)$ .
- C.
  $\left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( 12; - 2;\frac{9}{2} ight)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$= \left( 2.5 + \frac{1}{2}.4;2.( - 3) + \frac{1}{2}.2;2.2 + \frac{1}{2}.1 ight)$

$= \left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$
Câu 20: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Đáp án là:

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ các điểm $A(6;0;0),B(0;10;0),C(0;0;4)$ .

Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm $D(6;10;0),F(6;10;4)$ .

Đèn chùm $I$ được đặt tại vị trí chính giữa trần nhà có dạng hình chữ nhật nên vị trí đặt là trung điểm của hai đường chéo $CF$ và $EG$ nên ta có $I(3;5;4)$

Gọi $J_{1}$ là hình chiếu của bóng đèn $J$ lên nền nhà. Khi đó $J_{1}$ là trung điểm của $BD$ nên $J_{1}(3;10;0)$ , do đó $J(3;10;3)$ .

Vậy ta tính được

$\overrightarrow{IJ} = (0;5; - 1) \Rightarrow IJ = \left| \overrightarrow{IJ} ight| = \sqrt{5^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{26} \approx 5,1\ (m)$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện