VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện $A,B,C$ trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường $(Oxz)$ 3 m và cách tường $(Oyz)$ 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ $A,\ B,\ C$ (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 6,20||6,2

Đáp án là:

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện $A,B,C$ trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường $(Oxz)$ 3 m và cách tường $(Oyz)$ 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ $A,\ B,\ C$ (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 6,20||6,2

Tọa độ cây quạt Q là $Q(6;3;0)$

Tọa độ các ổ cắm điện A, B, C lần lượt là: $A\left( 7;0;\frac{2}{5} ight),\ \ B\left( 1;0;\frac{2}{5} ight),\ \ C\left( 0;\frac{3}{2};\frac{2}{5} ight)$

$AQ = 3,19,\ BQ \approx 5,84,\ CQ \approx 6,20$ .
Câu 2: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1\ ;\ \ 1\ ;\ \ 1)$ , $B( - 1\ ;\ \ 2\ ;\ \ 0)$ , $C(3\ ;\ \ - 1\ ;\ \ 2)$ và $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha):2x - y + 2z + 7 = 0$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $P = \left| \ 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}\ \right|$ .

Đáp án: 27

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1\ ;\ \ 1\ ;\ \ 1)$ , $B( - 1\ ;\ \ 2\ ;\ \ 0)$ , $C(3\ ;\ \ - 1\ ;\ \ 2)$ và $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha):2x - y + 2z + 7 = 0$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $P = \left| \ 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}\ \right|$ .

Đáp án: 27

Gọi $I(x\ ;y\ ;\ z)$ sao cho $3\overrightarrow{IA} + 5\overrightarrow{IB} - 7\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $(1)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5( - 1 - x) - 7(3 - x) = 0 \\ 3(1 - y) + 5(2 - y) - 7( - 1 - y) = 0 \\ 3(1 - z) + 5(0 - z) - 7(2 - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 23 \\ y = 20 \\ z = - 11 \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $I( - 23\ ;\ 20\ ;\ - 11)$ .

Xét $P = \left| 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC} ight|$

$= \left| 3\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IA} ight) + 5\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} ight) - 7\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC} ight) ight|$

$P = \left| \overrightarrow{MI} + \left( 3\overrightarrow{IA} + 5\overrightarrow{IB} - 7\overrightarrow{IC} ight) ight|$ .

Từ $(1)$ ta có $P = \left| \overrightarrow{MI} ight| = MI$ .

$P_{\min}$ khi $MI$ ngắn nhất hay $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ .

Khi đó: $P_{\min} = d\left( I,(\alpha) ight) = \frac{\left| 2.( - 23) - 20 + 2.( - 11) + 7 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = 27$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện $ABCD$ , $M$ là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng $AM,BM,CM,DM$ cắt các mặt $(BCD),(CDA),(DAB),(ABC)$ lần lượt tại $A',B',C',D'$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $(BCD)$ lần lượt cắt $A'B',A'C',A'D'$ tại các điểm $B_{1},C_{1},D_{1}$ .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh $M$ là trọng tâm của tam giác $B_{1}C_{1}D_{1}$ .
- A.
  $M$ là trọng tâm của tam giác $B_{1}C_{1}D_{1}$ .
- B.
  $M$ là trực tâm của tam giác $B_{1}C_{1}D_{1}$ .
- C.
  $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $B_{1}C_{1}D_{1}$ .
- D.
  $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $B_{1}C_{1}D_{1}$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $M$ nằm trong tứ diện $ABCD$ nên

tồn tại $x,y,z,t > 0$ sao cho $x\overrightarrow{MA} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MC} + t\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)$

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(BCD) \\ (BB'A') \cap (\alpha) = MB_{1} \\ (BB'A') \cap (BCD) = BA' \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow MB_{1}//BA'$ .

Do đó $\frac{MB_{1}}{BA'} = \frac{MB'}{BB'} \Rightarrow \overrightarrow{MB_{1}} = \frac{MB'}{BB'}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (2)$

Trong $(1)$ , chiếu các vec tơ lên đường thẳng $BB'$ theo phương $(ACD)$ ta được:

$x\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MB'} + t\overrightarrow{MB'} = \overrightarrow{0}$ $\Rightarrow (x + y + z)\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow (x + y + z +t)\overrightarrow{MB'} = y\overrightarrow{BB'}$ $\Rightarrow\frac{MB'}{BB'} = \frac{y}{x + y + z + t}$

Từ $(2)$ suy ra $\overrightarrow{MB_{1}} = \frac{y}{x + y + z + t}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (3)$

Tương tự ta có $\overrightarrow{MC_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{CA'}\ \ (4)$

$\overrightarrow{MD_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{DA'}\ \ (5)$

Mặt khác chiếu các vec tơ trong $(1)$ lên mặt phẳng $(BCD)$ theo phương $AA'$ tì thu được $y\overrightarrow{A'B} + z\overrightarrow{A'C} + t\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{0}$ .

Vậy từ $(3),(4),(5)$ ta có $\overrightarrow{MB_{1}} + \overrightarrow{MC_{1}}+ \overrightarrow{MD_{1}}$ $= \frac{1}{x + y + z + t}\left(y\overrightarrow{BA'} + z\overrightarrow{CA'} +t\overrightarrow{DA'} \right) = \overrightarrow{0}$ , hay $M$ là trọng tâm của tam giác $B_{1}C_{1}D_{1}$ .
Câu 4: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 4, đỉnh $A$ trùng với gốc $O$ , các điểm $B,D,A'$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$ .

a. Tọa độ của điểm $D$ là: $(4;0;0)$ Sai||Đúng

b. Tọa độ của vec tơ $C$ là: $(0;4;0)$ Sai||Đúng

c. Tọa độ của vec tơ $A'$ là: $(0;0;4)$ Đúng||Sai

d. Tọa độ của vec tơ $C'$ là: $(4;4;4)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 4, đỉnh $A$ trùng với gốc $O$ , các điểm $B,D,A'$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$ .

a. Tọa độ của điểm $D$ là: $(4;0;0)$ Sai||Đúng

b. Tọa độ của vec tơ $C$ là: $(0;4;0)$ Sai||Đúng

c. Tọa độ của vec tơ $A'$ là: $(0;0;4)$ Đúng||Sai

d. Tọa độ của vec tơ $C'$ là: $(4;4;4)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

(a) Tọa độ của điểm $D$ là: $(4;0;0)$

Do $\overrightarrow{OD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{j}$ và $\left| \overrightarrow{OD} \right| = OD = 4 = 4\left| \overrightarrow{j} \right|$ nên $\overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{j}$ hay $\overrightarrow{OD} = 0\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $D(0;4;0)$ .

» Chọn SAI.

(b) Tọa độ của vec tơ $C$ là: $(0;4;0)$

Do $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{i}$ và $\left| \overrightarrow{OB} \right| = OB = 4 = 4\left| \overrightarrow{i} \right|$ nên $\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{i}$ hay $\overrightarrow{OB} = 4\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $C(4;4;0)$ .

» Chọn SAI.

(c) Tọa độ của vec tơ $A'$ là: $(0;0;4)$

Do $\overrightarrow{OA'}$ cùng hướng với $\overrightarrow{k}$ và $\left| \overrightarrow{OA'} \right| = OA' = 4 = 4\left| \overrightarrow{k} \right|$ nên $\overrightarrow{OA'} = 4\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{OA'} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $A'(0;0;4)$ .

» Chọn ĐÚNG.

(d) Tọa độ của vec tơ $C'$ là: $(4;4;4)$ .

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA'} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ .

Suy ra: $C'(4;4;4)$

» Chọn ĐÚNG.
Câu 5: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;3; - 1),B(3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M\left( \frac{5}{3};\frac{13}{3};1 ight)$
- B.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- C.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- D.
  $M(4; - 3;8)$
Ta có: $\overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $H = 0$
- B.
  $H = 1$
- C.
  $H = - 1$
- D.
  $H = 2$
Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .
Câu 7: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , véctơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với hai véctơ $\overrightarrow{a} = (1 ; 1 ;1)$ và $\overrightarrow{b} = (1\ ; - 1\ ;3)$ ; đồng thời $\overrightarrow{u}$ tạo với tia $Oz$ một góc tù và độ dài véctơ $\overrightarrow{u}$ bằng 3. Tìm véctơ $\overrightarrow{u}$ .
- A.
  $\left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( \sqrt{6}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
- C.
  $\left( - \sqrt{6}\ ;\frac{\sqrt{6}}{2}\ ; \frac{\sqrt{6}}{2}ight)$ .
- D.
  $\left( - \sqrt{6}\ ; -\frac{\sqrt{6}}{2} ;\frac{\sqrt{6}}{2}ight)$ .
Ta có $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương đồng thời

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{a}} \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{b}} \\ \end{matrix} ight.$ $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\ }\mathbf{//}\mathbf{\ }\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\ }\mathbf{,}\mathbf{\ }\overrightarrow{\mathbf{b}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{4}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2} ight)$ $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2}\mathbf{k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k} ight)$ .

Do $\left| \overrightarrow{u} ight| = 3\Leftrightarrow \sqrt{4k^{2} + k^{2} + k^{2}} = 3$ $\Leftrightarrow k =\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Mặt khác $\overrightarrow{u}$ tạo với tia $Oz$ một góc tù nên

$\cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{k} ight) < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{k} < 0$ $\Leftrightarrow 2k.0 + ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow k > 0$ .

Suy ra $k = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Vậy $\overrightarrow{u} = \left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} ight)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2; - 3)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1;3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}( - 1;2;3)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}(2; - 1; -3)$ .
Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$

Vậy $\overrightarrow{a} = ( - 1;2;3)$
Câu 9: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm D

Trong không gian vói hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$ , $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$ , đỉnh $A( - 1; - 1;0)$ , phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm $D$ biết $x_{B} > x_{A}$ .
- A.
  $D( - 2; - 5;1)$ .
- B.
  $D( - 3; - 5;1)$ .
- C.
  $D(2;-5;1)$ .
- D.
  $D(3; - 5;1)$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $CD$ .

Khi đó $H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t)$ .

Đường thẳng $CD$ có vtcp là: $\overrightarrow{u}(2;2;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3$ .

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và song song với $CD \Rightarrow$ phương trình $AB$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a)$ $\Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|$

Theo bài ra ta có:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH$ $\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27$ $\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2)$ .

Với $a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;5;3),M(2;1; - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $B$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$ ?
- A.
  $B\left( \frac{1}{2};3;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $B( - 4;9;8)$ .
- C.
  $B(5;3; - 7)$ .
- D.
  $B(5; - 3; - 7)$ .
Gọi tọa độ điểm $B\left( x_{B};y_{B};z_{C} ight)$ . Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = \dfrac{- 1 + x_{B}}{2} \\1 = \dfrac{5 + y_{B}}{2} \\- 2 = \dfrac{3 + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{B} = 5 \\y_{B} = - 3 \\z_{C} = - 7 \\\end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm B cần tìm là $B(5; - 3; - 7)$ .
Câu 11: Nhận biết
Phân tích vectơ

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AC_{1}}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$ (Theo quy tắc hình bình hành).
Câu 12: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$
Câu 13: Nhận biết
Xác định tọa độ trung điểm

Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ . Biết tọa độ hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3; - 1;4)$ .
- A.
  $M(2; - 4;2)$
- B.
  $M(4;2;6)$
- C.
  $M( - 2; - 1; - 3)$
- D.
  $M(2;1;3)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2;1;3)$

Vậy đáp án đúng là: $M(2;1;3)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Chọn câu đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{a}$ ; $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{b}$ ; $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{c}$ ; $\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}$ .
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ . Ta phân tích như sau:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO} \\ \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO} \\ \end{matrix} ight.$ (do tính chất của đường trung tuyến)

$\Rightarrow \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$ .
Câu 15: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $a$ , $b$ , $c$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M(1;3;2)$ đến ba mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ , $(Oyz)$ , $(Oxz)$ . Tính $P = a + b^{2} + c^{3}$ ?
- A.
  $P = 32$ .
- B.
  $P = 18$ .
- C.
  $P = 30$ .
- D.
  $P = 12$ .
Với $A\left( x_{o}\ ;\ y_{o}\ ;\ z_{o} ight) \in (Oxyz)$ .

Khi đó $d\left( A\ ,\ (Oxy) ight) = z_{o}$ , $d\left( A\ ,\ (Oxz) ight) = y_{o}$ , $d\left( A\ ,\ (Oyz) ight) = x_{o}$ .

Theo bài ra ta có:

$a = d\left( M;(Oxy) ight) = 2$ ; $b = d\left( M\ ;(Oyz) ight) = 1$ , $c = d\left( \ M\ ;(Oxz) ight) = 3$ .

$P = a + b^{2} + c^{3} = 2 + 1^{2} + 3^{3} = 30$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( 0\ ;\ 4\sqrt{2}\ ;\ 0 \right)$ , $B\left( 0\ ;\ 0\ ;\ 4\sqrt{2}\right)$ , điểm $C \in (Oxy)$ và tam giác $OAC$ vuông tại $C$ , hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BC$ là điểm $H$ . Khi đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
- A.
  $2\sqrt{2}$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $2$ .
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $B \in Oz$ . Ta có $A \in (Oxy)$ và $C \in (Oxy)$ , suy ra $OB\bot(OAC)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AC\bot OC \\ AC\bot OB \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow AC\bot(OBC)$ , mà $OH \subset(OBC)$ . Suy ra $AC \bot OH$ $(1)$ .

Mặt khác ta có $OH\bot BC$ $(2)$ , .

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $OH\bot(ABC)$ $\Rightarrow OH\bot AB$ và $OH\bot HA$ .

Với $OH\bot AB$ suy ra $H$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $(P)$ là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

Phương trình của $(P)$ là: $y - z = 0$ .

Với $OH\bot HA$ $\Rightarrow \Delta OHA$ vuông tại $H$ .

Do đó $H$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 0\ ;\ 2\sqrt{2}\ ;\ 0 ight)$ là trung điểm của $OA$ và bán kính $R = \frac{OA}{2} = 2\sqrt{2}$ .

Do đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn $(T)$ cố định là giao tuyến của mp $(P)$ với mặt cầu $(S)$ .

Giả sử $(T)$ có tâm $K$ và bán kính $r$ thì $IK = d\left( I,(P) ight) = 2$ và $r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} = 2$ .

Vậy điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng $2$ .
Câu 17: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A;B;C;D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình hành là:
- A.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
- B.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$
Để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình thành thì $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ , O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ (Loại)

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ (loại)

Vậy đáp án cần tìm là $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- B.
  $(2;3; - 2)$ .
- C.
  $(3;2; - 2)$ .
- D.
  $(1;3;2)$ .
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là
- A.
  $(2;0; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3;0)$ .
- C.
  $(0;2; - 3)$
- D.
  $(2;0;3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{a} = (2;0; - 3)$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

115

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện