VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Nhận biết
Tìm ba điểm thẳng hàng trong 4 điểm đã cho

Trong không gian $Oxyz$ , cho bốn điểm $A( - 1;\ 2;\ 0)$ , $B(3;\ 1;\ 0)$ , $C(0;\ 2;\ 1)$ và $D(1;\ 2;\ 2)$ . Trong đó có ba điểm thẳng hàng là
- A.
  $A$ , $C$ , $D$ .
- B.
  $A$ , $B$ , $D$ .
- C.
  $B$ , $C$ , $D$ .
- D.
  $A$ , $B$ , $C$ .
Ta có: $\overrightarrow{AC} = (1;\ 0;\ 1)$ , $\overrightarrow{AD} = (2;\ 0;\ 2)$

Mà $\overrightarrow{AC} \land \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}$ , nên hai vecto $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ cùng phương, hay ba điểm $\mathbf{A}\mathbf{,}\mathbf{C}\mathbf{,}\mathbf{D}$ thẳng hàng.

Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ $Oxyz$ để nhìn nhận dễ dàng hơn.
Câu 2: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1\ ;\ \ 1\ ;\ \ 1)$ , $B( - 1\ ;\ \ 2\ ;\ \ 0)$ , $C(3\ ;\ \ - 1\ ;\ \ 2)$ và $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha):2x - y + 2z + 7 = 0$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $P = \left| \ 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}\ \right|$ .

Đáp án: 27

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1\ ;\ \ 1\ ;\ \ 1)$ , $B( - 1\ ;\ \ 2\ ;\ \ 0)$ , $C(3\ ;\ \ - 1\ ;\ \ 2)$ và $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha):2x - y + 2z + 7 = 0$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $P = \left| \ 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}\ \right|$ .

Đáp án: 27

Gọi $I(x\ ;y\ ;\ z)$ sao cho $3\overrightarrow{IA} + 5\overrightarrow{IB} - 7\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $(1)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5( - 1 - x) - 7(3 - x) = 0 \\ 3(1 - y) + 5(2 - y) - 7( - 1 - y) = 0 \\ 3(1 - z) + 5(0 - z) - 7(2 - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 23 \\ y = 20 \\ z = - 11 \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $I( - 23\ ;\ 20\ ;\ - 11)$ .

Xét $P = \left| 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC} ight|$

$= \left| 3\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IA} ight) + 5\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} ight) - 7\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC} ight) ight|$

$P = \left| \overrightarrow{MI} + \left( 3\overrightarrow{IA} + 5\overrightarrow{IB} - 7\overrightarrow{IC} ight) ight|$ .

Từ $(1)$ ta có $P = \left| \overrightarrow{MI} ight| = MI$ .

$P_{\min}$ khi $MI$ ngắn nhất hay $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ .

Khi đó: $P_{\min} = d\left( I,(\alpha) ight) = \frac{\left| 2.( - 23) - 20 + 2.( - 11) + 7 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = 27$ .
Câu 3: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Câu 4: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M

Trong không gian $Oxyz$ giả sử $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$ , khi đó tọa độ điểm $M$ là
- A.
  $( - 2;\ 3;\ 1)$ .
- B.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- C.
  $(2;3; - 1)$ .
- D.
  $(2; 3 ; 1)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (2;3; - 1)$ hay $M(2;3; - 1)$
Câu 5: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức T

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(3;2; - 1)$ , $B( - 1;0;5)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ khi $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất.
- A.
  2
- B.
  7
- C.
  5
- D.
  10
Gọi $K$ là điểm thỏa: $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow K(1;1;2)$ .

Ta có:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KA} \right) + \left( \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KB} \right) \right|$

$= \left| 2\overrightarrow{MK} + \left( \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} \right) \right| = \left| 2\overrightarrow{MK} \right| = 2MK$ .

Do đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MK$ nhỏ nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Suy ra $M(1;1;0)$ .

Vậy $T = a + b + c = 1 + 1 + 0 = 2$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 7: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

a) Ta có $A(−2; 4; 2).$

b) Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là $(−2; 0; 0)$ .

c) Trung điểm của $OA$ là điểm $M(−1; 2; 1)$ .

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(0; 4; 2)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;0)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 1$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương
- D.
  $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} =\overrightarrow{0}$
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0$

$\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương vì $\frac{- 1}{1} eq \frac{1}{1}$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (1;2;1)$

Vậy mệnh đề đúng là $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
Câu 9: Thông hiểu
Định tọa độ trọng tâm tam giác ABC

Trong không gian $(Oxyz)$ cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k},$ điểm $B(3; - 4;1)$ và điểm $C(2;0; - 1).$ Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là
- A.
  $(1; - 2;3).$
- B.
  $( - 2;2; - 1).$
- C.
  $(2; - 2;1).$
- D.
  $( - 1;2; - 3).$
Ta có $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = > A(1; - 2;3).$

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

$\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 3 + 2}{3} = 2 \\ y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 - 4 + 0}{3} = - 2 \\ z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 1 - 1}{3} = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $G(2; - 2;1).$
Câu 10: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N
Câu 11: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm I

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Xác định tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ ?
- A.
  $I(1;0;4)$
- B.
  $I(2;0;8)$
- C.
  $I(2; - 2; - 1)$
- D.
  $I( - 2;2;1)$
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)$

Vậy đáp án đúng là: $I(1;0;4)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- B.
  $(2;3; - 2)$ .
- C.
  $(3;2; - 2)$ .
- D.
  $(1;3;2)$ .
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Biểu diễn vectơ

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Chọn đáp án đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Câu 14: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Cho $\overrightarrow{AB} = (1;3;2)$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB}$ là:
- A.
  $(2;6;4)$ .
- B.
  $(2;3;4)$ .
- C.
  $(2;6;2)$ .
- D.
  $(1;6;4)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} = 2 \cdot \overrightarrow{AB} = (2.1;2.3;2.2) = (2;6;4)$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(0; - 2;0)$
- B.
  $C(2;2;2)$
- C.
  $C(2;0;2)$
- D.
  $C(2; - 2;2)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tính góc giữa các cặp vectơ

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$
Câu 17: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng

Gọi $O$ là tâm của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

Vì $O$ là trung điểm của $AC'$ suy ra $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Câu 18: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức $T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = \sqrt{3}$
- C.
  $T = 1$
- D.
  $T = \sqrt{2}$
Vì các vectơ $\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD}$ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}$
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm D

Trong không gian vói hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$ , $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$ , đỉnh $A( - 1; - 1;0)$ , phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm $D$ biết $x_{B} > x_{A}$ .
- A.
  $D( - 2; - 5;1)$ .
- B.
  $D( - 3; - 5;1)$ .
- C.
  $D(2;-5;1)$ .
- D.
  $D(3; - 5;1)$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $CD$ .

Khi đó $H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t)$ .

Đường thẳng $CD$ có vtcp là: $\overrightarrow{u}(2;2;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; - 3;2) \Rightarrow AH = 3$ .

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và song song với $CD \Rightarrow$ phương trình $AB$ là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 + 2a;a)$ $\Rightarrow AB = 3|a| \Rightarrow CD = 6|a|$

Theo bài ra ta có:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AH$ $\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 = 27$ $\Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; - 2)$ .

Với $a = 2 \Rightarrow B(3;3; - 2)$

Ta có: $\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

108

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện