VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm A

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}.$ Tọa độ của điểm $A$ là
- A.
  $( - 1;2; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3; - 1)$ .
- C.
  $( - 3;2; - 1)$ .
- D.
  $(2; - 1; - 3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = (1; - 2;3)$

Khi đó $A( - 1;2; - 3)$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm tọa độ biểu thức vectơ

Cho $\overrightarrow{AB} = (5; - 3;2),\overrightarrow{AC} = (4;2;1)$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ là:
- A.
  $\left( 10; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- B.
  $(12; - 5;9)$ .
- C.
  $\left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( 12; - 2;\frac{9}{2} ight)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$= \left( 2.5 + \frac{1}{2}.4;2.( - 3) + \frac{1}{2}.2;2.2 + \frac{1}{2}.1 ight)$

$= \left( 12; - 5;\frac{9}{2} ight)$
Câu 3: Nhận biết
Tìm tọa độ biểu thức vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (1;2;1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là
- A.
  $(1;7;2)$ .
- B.
  $(1;5;2)$ .
- C.
  $(3;7;2)$ .
- D.
  $(1;7;3)$ .
Có $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , gọi $\overrightarrow{c} = \left( c_{1};c_{2};c_{3} ight)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c_{1} = 2.1 + ( - 1) = 1 \\ c_{2} = 2.2 + 3 = 7 \\ c_{3} = 2.1 + 0 = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$
Câu 4: Thông hiểu
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ , biết $A(5;3; - 1)$ , $B(2;3; - 4)$ , $C(3;1; - 2)$ . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng:
- A.
  $9 - 2\sqrt{6}.$
- B.
  $9 - 3\sqrt{6}.$
- C.
  $9 + 3\sqrt{6}.$
- D.
  $9 + 2\sqrt{6}.$
Ta có $AC^{2} + BC^{2} = 9 + 9 = AB^{2} \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ .

Suy ra: $r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{\frac{1}{2}CA.CB}{\frac{1}{2}(AB + BC + CA)}$ $= \frac{3.3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3}} = 9 - 3\sqrt{6}$
Câu 5: Nhận biết
Tìm số thực m thỏa mãn điều kiện

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0; - 3; - m)$ . Tìm số thực $m$ sao cho tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1$ .
- A.
  $m = 4$ .
- B.
  $m = 2$ .
- C.
  $m = 3$ .
- D.
  $m = - 2$ .
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2)$ và $B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Giá trị của $a - b + c$ bằng
- A.
  1.
- B.
  3.
- C.
  2.
- D.
  0.
Tính được $OA = 3;OB = 4;AB = 5$

Ta có: $OA.\overrightarrow{IB} + OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\ 3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\ 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy, $I(1;1;0)$ , suy ra $a - b + c = 0$ .
Câu 8: Nhận biết
Xác định cosin góc giữa hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = ( - 3\ ;\ 4\ ;\ 0)$ , $\overrightarrow{b} = (5\ ;\ 0\ ;\ 12)$ . Côsin của góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng
- A.
  $\frac{3}{13}$ .
- B.
  $\frac{5}{6}$ .
- C.
  $- \frac{5}{6}$ .
- D.
  $- \frac{3}{13}$ .
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{a}\ ;\ \ \overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \ \overrightarrow{b} ight|}$

$= \frac{- 3.5 + 4.0 + 0.12}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = \frac{- 3}{13}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D theo yêu cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ , $B(2\ ;\ 1\ ;\ - 3)$ và $C(1\ ;\ - 1\ ;\ 0)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $D(0\ ;\ 2\ ;\ - 1)$ .
- B.
  $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .
- C.
  $D( - 2\ ;\ 2\ ;\ 5)$ .
- D.
  $D(2\ ;\ 2\ ;\ - 5)$ .
Gọi $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ ; $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ 1\ ;\ - 5)$ ; $\overrightarrow{AC} = (2\ ;\ - 1\ ;\ - 2)$

Vì $\frac{3}{2} eq \frac{1}{- 1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương $\overrightarrow{AC} \Rightarrow$ tồn tại hình bình hành $ABCD$ .

Suy ra $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 = 1 - a \\ 1 = - 1 - b \\ - 5 = - c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = - 2 \\ c = 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $D( - 2\ ;\ - 2\ ;\ 5)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là tung điểm của $AB;CD$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight) + \left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight) + \left( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
Câu 11: Vận dụng cao
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ , $B(2;2;1)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục tung sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất.
- A.
  $M(0\ ; - 2\ ;0)$ .
- B.
  $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
- C.
  $M(0 ; - 3 ;0)$ .
- D.
  $M(0\ ; - 4\ ;0)$ .
Khi đó:

$MA^{2} + MB^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2}$

$= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}$

$= 2{\overrightarrow{MI}}^{2} + {\overrightarrow{IA}}^{2} + {\overrightarrow{IB}}^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight)$

$= 2MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} = 2MI^{2} + 9$ .

Do đó $MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên trục tung.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $I$ và vuông góc với trục tung là

$0.\left( x - \frac{3}{2} ight) + 1.\left( y - \frac{3}{2} ight) + 0.(z + 1) = 0$ hay $(P):y - \frac{3}{2} = 0$ .

Phương trình tham số của trục tung là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ điểm $M$ cần tìm là nghiệm $(x\ ;y\ ;z)$ của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ y - \frac{3}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $M\left( 0\ ;\frac{3}{2}\ ;0 ight)$ .
Câu 12: Vận dụng
Chọn kết quả đúng nhất

Cho tam giác $ABC$ , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.
- A.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - BC^{2}}$
- B.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
- D.
  $S = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
Ta có:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}ABAC\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AB^{2}sin^{2}A}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2}\left( 1 - cos^{2}A \right)}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn phương án thíchhợp

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2 ; - 2 ; 1)$ , $B(0; 1 ;2)$ . Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho ba điểm $A$ , $B$ , $M$ thẳng hàng là
- A.
  $M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0)$ .
- B.
  $M(2 ; - 3 ;0)$ .
- C.
  $M(0 ; 0 ;1)$ .
- D.
  $M(4 ; 5; 0)$ .
Ta có: $M \in (Oxy) \Rightarrow M(x\ ;\ y\ ;\ 0)$ ; $\overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;\ 3\ ;\ 1);\overrightarrow{AM} = (x - 2\ ;\ y + 2\ ;\ - 1)$ .

Để $A$ , $B$ , $M$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng phương , khi đó :

$\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm C

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(2;0;2)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2; - 2;2)$
- D.
  $(0; - 2;0)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 15: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Đáp án là:

Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $10\ m$ , chiều rộng $6\ m$ và cao $4\ m$ . Người ta trang trí một chiếc đèn chùm $I$ ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn $J$ treo chính giữa bức tường $6\ m$ và cách trần nhà $1\ m$ . Hỏi hai chiếc bóng đèn $I,J$ cách nhau bao nhiêu $m$ ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1

Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ các điểm $A(6;0;0),B(0;10;0),C(0;0;4)$ .

Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm $D(6;10;0),F(6;10;4)$ .

Đèn chùm $I$ được đặt tại vị trí chính giữa trần nhà có dạng hình chữ nhật nên vị trí đặt là trung điểm của hai đường chéo $CF$ và $EG$ nên ta có $I(3;5;4)$

Gọi $J_{1}$ là hình chiếu của bóng đèn $J$ lên nền nhà. Khi đó $J_{1}$ là trung điểm của $BD$ nên $J_{1}(3;10;0)$ , do đó $J(3;10;3)$ .

Vậy ta tính được

$\overrightarrow{IJ} = (0;5; - 1) \Rightarrow IJ = \left| \overrightarrow{IJ} ight| = \sqrt{5^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{26} \approx 5,1\ (m)$
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật $OABC.EFGH$ có các cạnh $OA = 5$ , $OC = 8$ , $OE = 7$ (xem hình vẽ dưới đây). Tọa độ $H(x;y;z)$ . Tính giá trị biểu thức $P = 50x + 75y + 1000z$
- A.
  7600
- B.
  6580
- C.
  7134
- D.
  6783
Ta có $H \in (yOz)$ và hình chiếu của $H$ lên $Oy$ trùng với $C$ nên $H(0;\ 8;\ 7)$ .

$P = 50x + 75y + 1000z = 50.0 + 75.8 + 1000.7 = 7600$ .
Câu 17: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.
Câu 19: Vận dụng cao
Tìm điều kiện của các hệ số a; b; c

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm đẳng thức sai

Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Chọn đẳng thức sai?
- A.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ .
- D.
  $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}$ nên D sai.

Do $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ và $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ nên $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ . A đúng

Do $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} = \overrightarrow{A_{1}B_{1}} = \overrightarrow{DC}$ nên

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ nên B đúng.

Do $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ nên C đúng.

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 6

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 4

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 2

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 3