VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Chọn phát biểu sai

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(2; - 5;4)$ . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
- A.
  Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng tọa độ $(xOz)$ bằng $5$ .
- B.
  Khoảng cách từ $M$ đến trục $Oz$ bằng $\sqrt{29}$ .
- C.
  Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(yOz)$ là $M'(2;5; - 4)$ .
- D.
  Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ là $M'( - 2; - 5; - 4)$ .
+) Ta có khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng tọa độ $(xOz)$ bằng $| - 5| = 5$ nên “Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng tọa độ $(xOz)$ bằng $5$ đúng.

+) Khoảng cách từ $M$ đến trục $Oz$ bằng $\sqrt{2^{2} + ( - 5)^{2}} = \sqrt{29}$ nên “Khoảng cách từ $M$ đến trục $Oz$ bằng $\sqrt{29}$ ” đúng.

+) Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(yOz)$ là $I(0; - 5;4)$ .

Suy ra tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(yOz)$ là $M'( - 2; - 5;4)$ nên “Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(yOz)$ là $M'(2;5; - 4)$ ” sai.

+) Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên trục $Oy$ là $J(0; - 5;0)$ .

Suy ra tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ là $M'( - 2; - 5; - 4)$ nên “Tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ là $M'( - 2; - 5; - 4)$ ” đúng.
Câu 2: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $N$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $N$ là trung điểm của $BD$
- B.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $BCDN$
- C.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$
- D.
  $N \equiv A$
Ta có:

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}$

Vậy $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ trùng với gốc tọa độ $O$ . Các véc tơ $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với các véc tơ $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ và $OA = 3$ , $OS = 2$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{OM}$ là
- A.
  $(3 ; 1 ; 2)$ .
- B.
  $(2;0;1)$ .
- C.
  $(3;0; - 2)$ .
- D.
  $(1;0; - 2)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ .

Khi đó $\overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2)$ .

Vì $M$ là trung điểm của $SB$ nên ta có

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1)$ .
Câu 4: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Khi đó:
- A.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{DG}$ .
- B.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{GD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =2\overrightarrow{DG}$ .
- D.
  $\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{DG}$ .
Ta có:

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GD} +\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + 3\overrightarrow{GD} =\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - 3\overrightarrow{DG} =\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{DG}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;1;0)$
- B.
  $(1;2;2)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $( - 1;0;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 6: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1\ ;\ \ 1\ ;\ \ 1)$ , $B( - 1\ ;\ \ 2\ ;\ \ 0)$ , $C(3\ ;\ \ - 1\ ;\ \ 2)$ và $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha):2x - y + 2z + 7 = 0$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $P = \left| \ 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}\ \right|$ .

Đáp án: 27

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1\ ;\ \ 1\ ;\ \ 1)$ , $B( - 1\ ;\ \ 2\ ;\ \ 0)$ , $C(3\ ;\ \ - 1\ ;\ \ 2)$ và $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha):2x - y + 2z + 7 = 0$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $P = \left| \ 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}\ \right|$ .

Đáp án: 27

Gọi $I(x\ ;y\ ;\ z)$ sao cho $3\overrightarrow{IA} + 5\overrightarrow{IB} - 7\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $(1)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3(1 - x) + 5( - 1 - x) - 7(3 - x) = 0 \\ 3(1 - y) + 5(2 - y) - 7( - 1 - y) = 0 \\ 3(1 - z) + 5(0 - z) - 7(2 - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 23 \\ y = 20 \\ z = - 11 \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $I( - 23\ ;\ 20\ ;\ - 11)$ .

Xét $P = \left| 3\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC} ight|$

$= \left| 3\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IA} ight) + 5\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} ight) - 7\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC} ight) ight|$

$P = \left| \overrightarrow{MI} + \left( 3\overrightarrow{IA} + 5\overrightarrow{IB} - 7\overrightarrow{IC} ight) ight|$ .

Từ $(1)$ ta có $P = \left| \overrightarrow{MI} ight| = MI$ .

$P_{\min}$ khi $MI$ ngắn nhất hay $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ .

Khi đó: $P_{\min} = d\left( I,(\alpha) ight) = \frac{\left| 2.( - 23) - 20 + 2.( - 11) + 7 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = 27$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm đối xứng với A

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A( - 3;1;2)$ , tọa độ điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua trục $Oy$ là
- A.
  $(3; - 1; - 2)$ .
- B.
  $(3; - 1;2)$ .
- C.
  $(3;1; - 2)$ .
- D.
  $( - 3; - 1;2)$ .
Gọi $A(x;y;z),\ \ A'(x';y';z')$ là điểm đối xứng với điểm A qua trục $Oy$ .

Điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua trục $Oy$ nên $\left\{\begin{matrix} x' = - x \\y' = y \\ z'= - z \\\end{matrix} ight.$ .

Do đó $A' = (3;1; - 2)$ .
Câu 8: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $OABC$ với $A(1;\ 2;\ 3)$ , $B(5;\ 0;\ - 1)$ , và $C(a;b;c)$

a. Tọa độ điểm $O(0;0;1)$ .Sai||Đúng

b. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA} = (1;\ 2;\ 3)$ . Đúng||Sai

c. $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

d. Nếu $OABC$ hình bình hành, thì $a + b + c = 2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $OABC$ với $A(1;\ 2;\ 3)$ , $B(5;\ 0;\ - 1)$ , và $C(a;b;c)$

a. Tọa độ điểm $O(0;0;1)$ .Sai||Đúng

b. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA} = (1;\ 2;\ 3)$ . Đúng||Sai

c. $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

d. Nếu $OABC$ hình bình hành, thì $a + b + c = 2$ . Đúng||Sai

(a) Tọa độ điểm $O(0;0;1)$ .

Trong không gian $Oxyz$ , gốc tọa độ $O(0;0;0)$ .

» Chọn SAI.

(b) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA} = (1;\ 2;\ 3)$ .

Điểm $A(1;\ 2;\ 3)$ , suy ra $\overrightarrow{OA} = 1.\overrightarrow{i} + 2.\overrightarrow{j} + 3.\overrightarrow{k} = (1;\ 2;\ 3)$ .

» Chọn ĐÚNG.

(c) $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ .

Ta có $B(5;\ 0;\ - 1)$ . Suy ra vectơ $\overrightarrow{OB} = 5.\overrightarrow{i} - 1.\overrightarrow{k}$ .

» Chọn ĐÚNG.

(d) Nếu $OABC$ hình bình hành, thì $a + b + c = 2$ .

Ta có $\overrightarrow{OA} = 1.\overrightarrow{i} + 2.\overrightarrow{j} + 3.\overrightarrow{k} = (1;\ 2;\ 3)$ , $C(a;b;c)$

$\Rightarrow \overrightarrow{OC} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} + c\overrightarrow{k}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$

$= \left( 5.\overrightarrow{i} -1.\overrightarrow{k} \right) - \left( a.\overrightarrow{i} +b.\overrightarrow{j} + c.\overrightarrow{k} \right)$ $= (5 - a;b; - 1 -c)$ .

$OABC$ hình bình hành, thì $\left\{ \begin{matrix} 5 - a = 1 \\ b = 2 \\ - 1 - c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 2 \\ c = - 4 \\ \end{matrix} \right.$ . Khi đó $a + b + c = 2$ .

» Chọn ĐÚNG.
Câu 9: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M( - 2; - 3;1)$
- B.
  $M(2; - 3;1)$
- C.
  $M(2; - 1;3)$
- D.
  $M(2;3;1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .
Câu 10: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(P):y = 0 \Leftrightarrow 0x + 1y + 0z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ .

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x - y + 0z - 2024 = 0 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0.\sqrt{3} + 1.( - 1) + 0.0 = - 1$ .

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{| - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60{^\circ}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{c},$ gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ .
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG}$

$= \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight).$
Câu 12: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 1;\ 2;\ 0)$ và $\overrightarrow{v} = (1;\ - 2;\ 3)$ . Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ là:
- A.
  $( - 2;\ 4;\ - 3)$ .
- B.
  $(2;\ - 4;\ 3)$ .
- C.
  $(0;\ 0;\ 3)$ .
- D.
  $(0;\ 0;\ - 3)$ .
Ta có $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = ( - 1 + 1;\ 2 - 2;\ 0 + 3) = (0;\ 0;\ 3)$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( 0\ ;\ 4\sqrt{2}\ ;\ 0 \right)$ , $B\left( 0\ ;\ 0\ ;\ 4\sqrt{2}\right)$ , điểm $C \in (Oxy)$ và tam giác $OAC$ vuông tại $C$ , hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BC$ là điểm $H$ . Khi đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
- A.
  $2\sqrt{2}$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $2$ .
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $B \in Oz$ . Ta có $A \in (Oxy)$ và $C \in (Oxy)$ , suy ra $OB\bot(OAC)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AC\bot OC \\ AC\bot OB \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow AC\bot(OBC)$ , mà $OH \subset(OBC)$ . Suy ra $AC \bot OH$ $(1)$ .

Mặt khác ta có $OH\bot BC$ $(2)$ , .

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $OH\bot(ABC)$ $\Rightarrow OH\bot AB$ và $OH\bot HA$ .

Với $OH\bot AB$ suy ra $H$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $(P)$ là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

Phương trình của $(P)$ là: $y - z = 0$ .

Với $OH\bot HA$ $\Rightarrow \Delta OHA$ vuông tại $H$ .

Do đó $H$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 0\ ;\ 2\sqrt{2}\ ;\ 0 ight)$ là trung điểm của $OA$ và bán kính $R = \frac{OA}{2} = 2\sqrt{2}$ .

Do đó điểm $H$ luôn thuộc đường tròn $(T)$ cố định là giao tuyến của mp $(P)$ với mặt cầu $(S)$ .

Giả sử $(T)$ có tâm $K$ và bán kính $r$ thì $IK = d\left( I,(P) ight) = 2$ và $r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} = 2$ .

Vậy điểm $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng $2$ .
Câu 14: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(0;2;1)$
- C.
  $(2;0;1)$
- D.
  $(2;1;0)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$
Câu 15: Thông hiểu
Tính tổng a và b

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):\ x + y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ . Gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $(\alpha)$ và $\overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ với $a,\ b\mathbb{\in Z}$ . Tính tổng $a + b$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $- 2$ .
Ta có mặt phẳng $(\alpha)$ nhận vectơ $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1;\ 1;\ 1)$ là vectơ pháp tuyến, đường thẳng $d$ đi qua điểm $A = (0;\ - 1;\ 2)$ và nhận $\overrightarrow{u_{d}} = (1;\ 2;\ - 1)$ là vectơ chỉ phương

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ta có $\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{u_{d}} = ( - 3;\ 2;\ 1)$ .

Khi đó đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ .

Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \land \overrightarrow{n_{\beta}} = ( - 1;\ - 4;\ 5)$ .

Mà $\overrightarrow{u} = (1;\ a;\ b)$ nên $a = 4$ , $b = - 5$ . Vậy $a + b = - 1$ .
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 \right)$ , hai đỉnh $B\ ,\ C$ thuộc trục $Oz$ và $AA' = 1$ ( $C$ không trùng với $O$ ). Biết véctơ $\overrightarrow{u} = (a\ ;\ b\ ;\ 2)$ với $a\ ,\ b\mathbb{\in R}$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ . Tính $T = a^{2} + b^{2}$ .
- A.
  $T = 5$ .
- B.
  $T = 16$ .
- C.
  $T = 4$ .
- D.
  $T = 9$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

Khi đó có $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot A'M$ tại $M \Rightarrow M$ là hình chiếu của $A'$ trên trục $Oz$

$A'\left( \sqrt{3}\ ;\ - 1\ ;\ 1 ight) \Rightarrow M(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$ và $A'M = 2$ .

Ta có: $AM = \sqrt{A'M^{2} - A{A'}^{2}} = \sqrt{3}$ .

Mà tam giác $ABC$ đều nên $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3} \Rightarrow BC = 2 \Rightarrow MC = 1$ .

Vì $C$ thuộc trục $Oz$ và $C$ không trùng với $O$ nên gọi $C(0\ ;\ 0\ ;\ c)$ , $c eq 0$ .

$\overrightarrow{MC} = (0\ ;\ 0\ ;\ c - 1)$ $\Rightarrow MC = |c - 1|$ ; $MC = 1$ $\Leftrightarrow |c - 1| = 1$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0\ (L) \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow C(0\ ;\ 0\ ;\ 2)$ .

$\overrightarrow{A'C} = \left( -\sqrt{3} ; 1 ;1 ight)$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{u} = \left( - 2\sqrt{3}\ ;\ 2\ ;\ 2 ight)$ cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$ .

Vậy $a = - 2\sqrt{3};\ \ b = 2 \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} = 16.$
Câu 17: Vận dụng
Xác định góc giữa cặp vectơ

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0},\ \widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $120{^\circ}$ .
- B.
  $90{^\circ}$ .
- C.
  $60{^\circ}$ .
- D.
  $45{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác $ICD$ có $J$ là trung điểm đoạn $CD$ .

Ta có: $\overrightarrow{I J} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Vì tam giác $ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60{^\circ}$

Nên tam giác $ABC$ đều. Suy ra: $CI\bot AB$

Tương tự ta có tam giác $ABD$ đều nên $DI\bot AB$ .

Xét $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB}$ $= \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ .

Suy ra $\overrightarrow{I J}\bot\overrightarrow{AB}$ . Hay góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ bằng $90^{0}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng $SA,SB$ sao cho $SM = \frac{1}{2}AM;\ SN = \frac{1}{2}BN$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} =\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}SM = \dfrac{1}{2}AM \\SN = \dfrac{1}{2}BN \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}SM = \dfrac{1}{3}SA \\SN = \dfrac{1}{3}SB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow MN = \frac{1}{3}AB =\frac{1}{3}CD$ .
Nên $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2;2;0);\overrightarrow{b} = (2;2;0);\overrightarrow{c} = (2;2;2)$ . Khi đó giá trị của $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight|$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $9$
- B.
  $15$
- C.
  $2\sqrt{11}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = ( - 2 + 2 + 2;2 + 2 + 2;0 + 0 + 2) = (2;6;2)$ .

Khi đó $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{11}$

Vậy đáp án cần tìm là: $2\sqrt{11}$
Câu 20: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện $A,B,C$ trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường $(Oxz)$ 3 m và cách tường $(Oyz)$ 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ $A,\ B,\ C$ (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 6,20||6,2

Đáp án là:

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện $A,B,C$ trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường $(Oxz)$ 3 m và cách tường $(Oyz)$ 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ $A,\ B,\ C$ (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 6,20||6,2

Tọa độ cây quạt Q là $Q(6;3;0)$

Tọa độ các ổ cắm điện A, B, C lần lượt là: $A\left( 7;0;\frac{2}{5} ight),\ \ B\left( 1;0;\frac{2}{5} ight),\ \ C\left( 0;\frac{3}{2};\frac{2}{5} ight)$

$AQ = 3,19,\ BQ \approx 5,84,\ CQ \approx 6,20$ .

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện