VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Luyện tập Tích phân KNTT

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 12 Kết nối tri thức

Vndoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Bài tập trắc nghiệm Toán 12: Tích phân sách Kết nối tri thức. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Tìm đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm dương và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx}$ là:
- A.
  $\frac{25}{33}$
- B.
  $\frac{5}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{53}{50}$
Hướng dẫn:
$5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx$

$\Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C$

$\Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}$

$f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}$
Câu 2: Nhận biết
Tìm khẳng định sai
Cho các hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và số $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}$
- B.
  $\int_{a}^{a}{k.f(x)dx} = 0$
- C.
  $\int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx}$
Hướng dẫn:
Khẳng định sai là: $\int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
Câu 3: Nhận biết
Tính tích phân I
Xác định tích phân $I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}$ ?
- A.
  $I = - \ln9$
- B.
  $I = \ln9$
- C.
  $I = - \ln3$
- D.
  $I = \ln3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}$

$= - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3$
Câu 4: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho các hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0$ . Giá trị của biểu thức $\frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)}$ bằng:
- A.
  $2$
- B.
  $- 2$
- C.
  $1$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Đặt $\int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k$

Ta có:

$k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}$

$= \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k$

$\Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}$

Ta có:

$k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}$

$= \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k$

$\Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}$

Vậy $\frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Biết rằng $\int_{3}^{4}{\frac{5x -8}{x^{2} - 3x + 2}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\ln5$ với $a;b;c$ là các số hữu tủ. Giá trị của $2^{a - 3b + c}$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $12$
- C.
  $6$
- D.
  $64$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\int_{3}^{4}{\frac{5x - 8}{x^{2} - 3x +2}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}ight)dx}$
$= \left. \ 3\ln|x - 1| ight|_{3}^{4} +2\left. \ \ln|x - 2| ight|_{3}^{4}$
$= 3\ln2 - 3\ln2 + 2\ln2 = - \ln2 +3\ln3$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - 1 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2^{a - 3b + c} = 2^{6} =64$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
- A.
  $\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1 - cos^{2}x}dx} = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$
- B.
  $\int_{- 2}^{3}{\left| e^{x}(x + 1) ight|dx} = \int_{- 2}^{3}{e^{x}(x + 1)^{3}dx}$
- C.
  $\int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}$
- D.
  $\int_{- 1}^{1}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{- 1}^{1}{x^{3}dx} ight|$
Hướng dẫn:
Ta có: $x^{4} - x^{2} + 1 = \left( x^{2} - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Do $\int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx}$
- B.
  $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b}{f(t)dt}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{c}^{b}{f(x)dx} + \int_{a}^{c}{f(x)dx}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx}$ nên khẳng định $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx}$ sai.
Câu 8: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7$ và $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3$ . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ là:
- A.
  $y = x - 4$
- B.
  $y = 3x - 10$
- C.
  $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$
- D.
  $y = 2x - 7$
Hướng dẫn:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(0) = 2;f'(0) = 0$

Xét tích phân $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}$ . Đặt $u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)$

$\Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1$

Xét tích phân $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}$ . Đặt $u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}$

$= \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}$

$= 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}$

$= 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)$

Theo bài ra suy ra

$4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7$

$\Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1$

Như vậy $f(3) = - 1;f'(3) = 1$ . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 3$ là: $y = x - 4$ .
Câu 9: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Cho $a$ là số thực dương. Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{x} ightbrack$ thỏa mãn $F\left( \frac{1}{a} ight) = 0$ và $F(2018) = e^{2018}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $a \in \lbrack 1;2018)$
- B.
  $a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight)$
- C.
  $a \in \left( 0;\frac{1}{2018} ightbrack$
- D.
  $a \in \lbrack 2018; + \infty)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{2} ightbrack$ $= \left( e^{x} ight)'\ln(ax) +e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack'$ $= \left\{ e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight\}'$

$\Rightarrow \int_{\frac{1}{a}}^{2018}{f(x)}dx = F(2018) - F\left( \frac{1}{a} ight)$ $\Leftrightarrow \left. \ \left( e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight) ight|_{\frac{1}{a}}^{2018} = e^{2018}$

$\Leftrightarrow \ln(2018a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}$

Vậy $a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight)$ .
Câu 10: Nhận biết
Xác định tích phân
Tính tích phân $I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}$ ?
- A.
  $I = \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$
- B.
  $I = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$
- C.
  $I = \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4}$
- D.
  $I = - \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có: $I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$

$= - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$ .
Câu 11: Nhận biết
Tìm tham số a thỏa mãn điều kiện
Xác định giá trị của tham số $a$ thỏa mãn $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2$ ?
- A.
  $a = 0$
- B.
  $a = 1$
- C.
  $a = 3$
- D.
  $a = 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a$

$\Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy đáp án $a = 1$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm vận tốc của anh B
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18}(m/s)$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn $5$ giây so với anh A và có gia tốc bằng $a\left( m/s^{2} ight)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được $10$ giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
- A.
  $10m/s$
- B.
  $22m/s$
- C.
  $7m/s$
- D.
  $15m/s$
Hướng dẫn:
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{15}{\left( \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18} ight)dt} = 75(m)$

Vận tốc của anh B tại thời điểm $t(s)$ tính từ lúc anh B xuất phát là: $v_{B}(t) = at$

Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{10}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{10} = 50a(m)$

$\Rightarrow 50a = 75 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là: $v_{B}(20) = 10a = 15(m/s)$
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho hai hàm số $f(x)$ và $f( - x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}$ . Tính tích phân $I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = - \frac{\pi}{10}$
- B.
  $I = \frac{\pi}{10}$
- C.
  $I = - \frac{\pi}{20}$
- D.
  $I = \frac{\pi}{20}$
Hướng dẫn:
Đặt $t = - x \Rightarrow dt = - dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}$

Theo bài ra ta có:

$2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}$

$\Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

$\Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

$\Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

Đặt $x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}$

$= \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính tích phân
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}2x^{2} + x;\ \ \ x \geq 0 \\x.\sin x;\ \ \ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tính tích phân $\int_{- \pi}^{1}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $3\pi - \frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{2}{3} + \pi$
- C.
  $\frac{7}{6} + \pi$
- D.
  $\frac{2}{5} + 2\pi$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{- \pi}^{1}{f(x)dx} = \int_{-\pi}^{0}{(x.\sin x)dx} + \int_{0}^{1}{\left( 2x^{2} + xight)dx}$

$= - \int_{- \pi}^{0}{xd\left( \cos xight)} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight)ight|_{0}^{1}$

$= \left. \ \left( - x\cos x ight) ight|_{- \pi}^{0} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{1}$

$= \pi + \frac{7}{6} + \left. \ \left( \sin x ight) ight|_{- \pi}^{0} = \pi + \frac{7}{6}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính tích phân F
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 0;10brack$ và $\int_{0}^{10}{f(x)dx} = 7$ và $\int_{2}^{6}{f(x)dx} = 3$ . Tính $F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $F = 10$
- B.
  $F = 7$
- C.
  $F = 4$
- D.
  $F = - 4$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{0}^{10}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Rightarrow F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{0}^{10}{f(x)dx} - \int_{2}^{6}{f(x)dx} = 7 - 3 = 4$
Câu 16: Thông hiểu
Tính tích phân
Cho hàm số $f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} - x + 1;\forall x\mathbb{\in R}$ . Tính $I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}$
- A.
  $I = \frac{2}{3}$
- B.
  $I = 2$
- C.
  $I = - \frac{2}{3}$
- D.
  $I = - 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3} ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}$ .
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Nếu $\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5;\int_{2}^{5}{f(x)dx} = - 1$ thì $\int_{1}^{5}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $- 2$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{1}^{5}{f(x)dx} = \int_{1}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{5}{f(x)dx} = 5 + ( - 1) = 4$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại tích phân $\int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)}$ ?
- A.
  $m \in ( - \infty;3)$
- B.
  $m\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 4;5 ight\}$
- C.
  $m \in ( - \infty; - 1)$
- D.
  $m \in ( - 1;3)$
Hướng dẫn:
Tích phân $\int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)}$ tồn tại khi và chỉ khi hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên $\lbrack 1;1 + mbrack$ hoặc $\lbrack 1 + m;1brack$

Mà hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0;4),(4;5),(5; + \infty)$

Nên hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên $\lbrack 1;1 + mbrack$ hoặc $\lbrack 1 + m;1brack$ khi và chỉ khi

$0 < 1 + m < 4 \Leftrightarrow - 1 < m < 3 \Rightarrow m \in ( - 1;3)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 1 ight)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $f(0) < f( - 2) < f(2)$
- B.
  $f( - 2) < f(0) < f(2)$
- C.
  $f( - 2) < f(2) < f(0)$
- D.
  $f(2) < f(0) < f( - 2)$
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 1 ight)$

$= x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3$

Ta có:

$I_{1} = \int_{- 2}^{0}{f'(x)dx}$

$= \int_{- 2}^{0}{\left( x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}$

$= \frac{- 464}{105} < 0 \Rightarrow f(0) - f( - 2) < 0 \Rightarrow f(0) < f( - 2)$

$I_{2} = \int_{0}^{2}{f'(x)dx}$

$= \int_{0}^{2}{\left( x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}$

$= \frac{44}{105} < 0 \Rightarrow f(2) - f(0) < 0 \Rightarrow f(2) < f(0)$

Vậy $f(2) < f(0) < f( - 2)$ .
Câu 20: Thông hiểu

Xét sự đúng sai của các mệnh đề sau

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}$

Ta có: $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx}$

Đặt $t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} = \int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$

Ta có: $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx}$

Đặt $t = x^{2} \Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = a \Rightarrow t = a^{2} \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (50%):

2/3
Vận dụng (10%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

1

19

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Toán 12 - Kết nối tri thức

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Luyện tập Tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 2

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 4

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 3

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 6