Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = 3;AC = 4;AA' = \frac{\sqrt{61}}{2}; hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Gọi M là trung điểm cạnh (ABC) (tham khảo hình vẽ bên dưới).

    Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC') và (A'BC) bằng

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

    O \equiv A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;4;0)

    Gọi N là trung điểm BC\Rightarrow N\left( \frac{3}{2};2;0 \right).

    NB' = \sqrt{BB'^{2} - BN^{2}} = 3 \Leftrightarrow B'\left( \frac{3}{2};2;3 \right)

    \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = - \frac{3}{2} \\ y_{A'} = 2 \Rightarrow A'\left( - \frac{3}{2};2;3 \right) \\ z_{A'} = 3 \end{matrix} \right.

    \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C'} = - \frac{3}{2} \\ y_{C'} - 4 = 2 \Rightarrow C'\left( - \frac{3}{2};6;3 \right) \\ z_{C'} = 3 \end{matrix} \right.

    M là trung điểm A'B' \Rightarrow M(0;2;3).

    \overrightarrow{AM} = (0;2;3),\overrightarrow{AC'} = \left( - \frac{3}{2};6;3 \right)

    \overrightarrow{A'B} = \left( \frac{9}{2}; - 2; - 3 \right),\overrightarrow{A'C} = \left( \frac{3}{2};2; - 3 \right)

    \overrightarrow{n_{(AMC')}} = \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AC'} \right\rbrack = \left( - 12; - \frac{9}{2};3 \right)

    \overrightarrow{n_{(A'BC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'C} \right\rbrack = (12;9;12)

    \Rightarrow \cos\left( \widehat{(AMC');(A'BC)} \right) = \cos\left( \overrightarrow{n_{(AMC')}};\overrightarrow{n_{(A'BC)}} \right)

    = \frac{\left|\overrightarrow{n_{(AMC')}}.\overrightarrow{n_{(A'BC)}}\right|}{\left| \overrightarrow{n_{(AMC')}} \right|.\left|\overrightarrow{n_{(A'BC)}} \right|} =\frac{33}{\sqrt{3157}}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Trong không gianOxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của M(1;0;1) lên đường thẳng (\Delta):\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} là

    Đường thẳng (\Delta) có vtcp \overrightarrow{u} = (1;2;3)và có phương trình tham số là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 3t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Gọi N(t;2t;3t) \in \Delta là hình chiếu vuông góc của M lên \Delta, khi đó:

    \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow (t - 1) + (2t - 0).2 + (3t - 1).3 = 0

    \Leftrightarrow 14t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{7} \Rightarrow N\left( \frac{2}{7};\frac{4}{7};\frac{6}{7} \right)

  • Câu 3: Vận dụng

    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho điểm I(1;1;2), hai đường thẳng \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right. và \Delta_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng \Delta_{1},\Delta_{2} là.

    Gọi \left( \alpha_{1} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{1}

    \Delta_{1} đi qua M_{1}(3; - 1;4) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1;2;0)

    \overrightarrow{IM_{1}} = (2; - 2;2)

    \left( \alpha_{1} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{IM_{1}} ightbrack = (4; - 2; - 6)

    Gọi \left( \alpha_{2} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{2}

     

    \Delta_{2} đi qua M_{2}( - 2;0;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;1;2)

    \overrightarrow{IM_{2}} = ( - 3; - 1;0)

    \left( \alpha_{2} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{2}},\overrightarrow{IM_{2}} ightbrack = (2; - 6;2)

    d đi qua điểm I(1;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = ( - 40; - 20; - 20)

    Vậy phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 4: Vận dụng

    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):2x + 3y - 4 = 0 và (Q):y + z - 4 = 0. Điểm I \in (d) sao cho tam giác ABI có chu vi nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó bằng:

    Gọi I \in (d) cần tìm, suy ra tọa độ I(2 + 3t; - 2t;4 + 2t) và tính tổng:

    AI + BI = \sqrt{(1 + 3t)^{2} + (2t + 2)^{2} + (2t + 5)^{2}} + \sqrt{(3t - 5)^{2} + (2 - 2t)^{2} + (1 + 2t)^{2}}.

    Dùng CASIO, thì \min(AI + BI) = 2\sqrt{30}, chu vi nhỏ nhất là 2(\sqrt{30} + \sqrt{17}).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi (SAC) và (SCD)

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.

    Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

    Xét hệ trục Oxyz có O(0;0;0),M(1;0;0),A\left( 0;\frac{1}{2};0 ight),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} ight)

    Suy ra C\left( 1; - \frac{1}{2};0 ight),D\left( 1;\frac{1}{2};0 ight)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{SA} = \left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{AC} = (1; - 1;0) \\\overrightarrow{SC} = \left( 1;\dfrac{- 1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{CD} = (0;1;0) \\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{SA};\overrightarrow{AC} ightbrack = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2} ight)

    Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{SC};\overrightarrow{CD} ightbrack = \left( \frac{\sqrt{3}}{2};0;1 ight)

    \cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|} = \frac{5}{7}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Cho mặt cầu (S): (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9. Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

    Mặt cầu (S) tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.

    Do mặt cầu (S') đối xứng với (S) qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' của (S') đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R' =R=3.

    Ta có: I'(1;2; - 3).

    Vậy (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 9.

    Lưu ý: Để ý thấy rằng trung điểm II' thuộc mặt phẳng (Oxy) và \overrightarrow{II'}\bot(Oxy). Cả 4 đáp án trên đều có thể dễ dàng tìm được tọa độ I' nên nếu tinh ý ta sẽ tiết kiệm được thời gian hơn trong việc tìm đáp án.

  • Câu 7: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{1} và\Delta_{2}:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 2}. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2}?

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{1} là \overrightarrow{u_{1}} = (2; - 3;1)

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{2} là \overrightarrow{u_{2}} = (3;1; - 2)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{1}{14}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}. Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

    Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)

    M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto \overrightarrow{NM'} = (0;2;6).

    Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm tích b.c

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.. Mặt phẳng (P) qua d_{1} tạo với d_{2} một góc 45^{0} và nhận vectơ \overrightarrow{n} = (1;b;c) làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích b.c?

    Hai đường phẳng d_{1};d_{2} có vectơ chỉ phương lần lượt là \overrightarrow{u_{1}} = (2; - 2; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;0 - 1)

    Mặt phẳng (P) đi qua d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\ \ (1)

    \Rightarrow \sin\left( d_{2};(P) ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{2}} ight|}{\left|\overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u_{2}} ight|} =\sin45^{0}

    \Leftrightarrow \frac{|1 - c|}{\sqrt{b^{2} + c^{2} + 1}.\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow |1 - c| = \sqrt{b^{2} + c^{2} + 1} \Leftrightarrow b^{2} + 2c = 0(2)

    Từ (1) và (2) suy ra \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow bc = - 4

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm x

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} = (1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2). Nếu ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng thì:

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; - 3;3)

    Ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng

    \Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} = 0

    \Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) = 0

    \Leftrightarrow x = 2

  • Câu 12: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;\ 2;\ 3),\ B(0;\ 1;\ 1),\ C(1;\ 0;\ - \ 2) và mặt phẳng (P):\ x\ + \ y\ + \ z\ + \ 2\ = \ 0. Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức T\ = \ MA^{2}\ + \ 2MB^{2}\ + \ 3MC^{2} nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q):\ 2x\ - \ y\ - \ 2z\ + \ 3\ = \ 0?

    Gọi I\left( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{- 1}{6} \right) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}. Ta tìm hình chiếu của I trên(P). Ghi - \frac{x + y + z + 2}{3} CALC (nhập tọa độ I) \frac{2}{3} = \frac{2}{3} = \frac{- 1}{6} = \ \ = STO M.

    Ghi \frac{\left| 2(M + x) - (M + y) - 2(M + z) + 3 \right|}{3} bấm = kết quả \frac{91}{54}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n} thì d có thể nằm trong (P).

    d song song (P) thì \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n}.

    d vuông góc (P) thì \overrightarrow{u} cùng phương \overrightarrow{n}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Định phương trình mặt cầu (S)

    Viết phương trình mặt cầu (S)ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(0, - 1,0);\ B(2,0,1);\ C(1,0, - 1);\ D(1, - 1,0).

    (S):\ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\qua A,B,\ C,\ D

    \Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z - 2 = 0

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm K thỏa mãn đẳng thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;\ \ - 3;2),\ \ B(2;\ \ 5; - 1). Tìm tọa độ điểm K thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{KA} - 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \overrightarrow{KA} -2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow x_{K} =\frac{x_{A} - 2x_{B}}{1 - 2},y_{K} = \frac{y_{A} - 2y_{B}}{1 - 2},z_{K}= \frac{z_{A} - 2z_{B}}{1 - 2} \Rightarrow K(0;\ \ 13; - 4).

  • Câu 16: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0. Chọn khẳng định đúng.

    Hai mặt phẳng (\alpha);(\beta) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)

    Ta có \overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0

    ⇒ (\alpha)\bot(\beta).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Điểm M(2;2; - 3) thuộc đường thẳng (d). Sai||Đúng

    b) Khi t = - 2 đường thẳng (d) đi qua điểm A có tọa độ (12; - 4; - 3). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{u} = ( - 5;2;0) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    d) Điểm N(7; - 2;3) không nằm trên đường thẳng (d). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Điểm M(2;2; - 3) thuộc đường thẳng (d). Sai||Đúng

    b) Khi t = - 2 đường thẳng (d) đi qua điểm A có tọa độ (12; - 4; - 3). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{u} = ( - 5;2;0) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    d) Điểm N(7; - 2;3) không nằm trên đường thẳng (d). Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Đúng

    Phương án a) sai vì:

    Thay M(2;2; - 3) vào đường thẳng (d), ta có \left\{ \begin{matrix} 2 = 2 - 5t \\ 2 = 2t \\ - 3 = - 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow M(2;2; - 3) \notin (d)

    Phương án b) đúng vì:

    Khi thay t = - 2 vào phương trình tham số của (d), ta được:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5.( - 2) \\ y = 2.( - 2) \\ z = - 3 \end{matrix} \right.

    Vậy \Leftrightarrow A(12, - 4, - 3) \in (d)

    Phương án c) đúng vì từ phương trình tham số ta có \overrightarrow{v} = ( - 5;2;0) là một vectơ chỉ phương của (d) và \overrightarrow{v} = ( - 5;2;0) = - ( - 5;2;0) = - \overrightarrow{u} do đó \overrightarrow{u} = ( - 5;2;0) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).

    Phương án d) đúng vì đường thẳng (d) luôn đi qua điểm có cao độ bằng -3, ta có z_{N} = 3 \Rightarrow N \notin (d)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (\alpha) là mặt phẳng qua các hình chiếu của A(5;4;3)lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng (\alpha)là:

    Gọi M,\ N,\ P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox,\ Oy,\ Oz.

    Ta có: M(5;0;0), N(0;4;0), P(0;0;3).

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) qua M(5;0;0), N(0;4;0), P(0;0;3)là:

    \frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 12x + 15y + 20z - 60 = 0.

    Vậy 12x + 15y + 20z - 60 = 0.

  • Câu 19: Nhận biết

    Xác định tọa độ giao điểm

    Cho đường thẳng d:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{3} = \frac{z + 3}{2} và mặt cầu (S) : x^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9. Tọa độ giao điểm của (\Delta) và (S) là:

    Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = - 3 + 2t \\ x^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t = 0 \Rightarrow A( - 2;2; - 3).

  • Câu 20: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a\sqrt{2} và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu \tan\alpha = \sqrt{2} thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I = AC \cap BD.

    Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a\sqrt{2} suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (SBD) \cap (ABCD) = BD \\ SI\bot BD \\ AI\bot BD \\ \end{matrix} \Rightarrow ((SBD);(ABCD)) = (SI;AI) = SIA ight..

    Ta có tan\alpha = tanSIA = \frac{SA}{AI} \Leftrightarrow SA = a.

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a).

    Khi đó \overrightarrow{SA} = (0;0; - a);\overrightarrow{SC} = (a;a; - a);\overrightarrow{SB} = (a;0; - a).

    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{1} = ( - 1;1;0).

    Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0;1).

    Suy ra cos((SAC);(SBC)) = \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{2}ight|}= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\Rightarrow((SAC);(SBC)) = 60^{\circ}.

  • Câu 21: Nhận biết

    Tìm đáp án không thích hợp

    Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1;2) và B(2; - 1;0) là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1, - 2, - 2)

    Phương trình đường thẳng AB đi qua B(2; - 1;0) nhận vectơ \overrightarrow{AB} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm tọa độ tâm mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2 có tọa độ tâm I là:

    Tâm của (S) có tọa độ là I( - 3; - 1;1).

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Xác định phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với \Delta là

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1), và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;1;2) suy ra \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1).

    Gọi M = d \cap \Delta \Rightarrow M = (P) \cap \Delta

    M \in \Delta \Rightarrow M(t;1 + t;2 - t); M \in (P)

    \Rightarrow t + 2(1 + t) + 2(2 - t) - 4 = 0 \Rightarrow t = - 2

    Suy ra M = ( - 2; - 1;4).

    Đường thẳng đi qua M = ( - 2; - 1;4) và nhận \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: d:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 4t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 24: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) bán kính R có phương trình là

    Mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) và bán kính R có phương trình là:

    \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 2 - 3t \\ \end{matrix} \right. và \Delta_{2}:\frac{x - 2}{1} = \frac{x + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 2} xấp xỉ bằng

    Ta có:

    \cos\left( \Delta_{1},\Delta_{2} ight) = \frac{\overrightarrow{u_{\Delta_{1}}}.\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}}}{\left| \overrightarrow{u_{\Delta_{1}}} ight|.\left| \overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ight|}= \left| \frac{- 2.1 + 1.( - 1) + ( - 3).( - 2)}{\sqrt{( - 2)^{2} + 1^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}} ight|

    = \left| \frac{3}{\sqrt{14}.\sqrt{6}} ight| = \frac{\sqrt{21}}{14}

    \Rightarrow \left( \Delta_{1},\Delta_{2} ight) \approx 70,9^{0}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

    Đường thẳng Oy đi qua điểm A(0\ ;\ 2\ ;\ 0) và nhận vectơ đơn vị \overrightarrow{j} = (0;\ 1;\ 0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 0.t \\ y = 2 + 1.t \\ z = 0 + 0.t \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính tọa độ tâm I và bán kính R

    Cho mặt (S) tâm I ở trên z’Oz tiếp xúc với hai mặt phẳng (P):2x - 2y + z - 3 = 0 và (Q):\ \ x + 2y - 2z + 9 = 0. Tính tọa độ tâm I và bán kính R? (Có thể chọn nhiều đáp án).

    Ta có:

    I(0,0,z) \Rightarrow d(I,P) = d(I,Q)

    \Leftrightarrow \frac{|z - 3|}{3} = \frac{| - 2z + 9|}{3}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z_{1} = 4 \\ z_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} R_{1} = \dfrac{1}{3} \\ R_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy: \left\lbrack \begin{matrix} I_{1}(0,0,4);R_{1} = \dfrac{1}{3} \\ I_{2}(0,0,6);R_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 29: Vận dụng

    Tìm tọa độ giao điểm theo yêu cầu

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).

    Ta có:

    \overrightarrow{AI} = 2(4, - 1, - 2)\Rightarrow AI:x = 2 + 4t;y = - 3 - t;z = - 1 - 2t,\ \ t\mathbb{\in R}

    AI cắt (S) \Rightarrow(2 + 4t)^{2} + (3 + t)^{2} + (1 + 2t)^{2}- 4(2 + 4t) + 6( - 3 - t) + 2( - 1 - 2t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 21t^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{4\sqrt{21}}{21}

    \Rightarrow Hai giao điểm \left( 2 \pm \frac{16\sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{4\sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{8\sqrt{21}}{21} \right)

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu (S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1, (S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4, (S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S_1), (S_2), (S_3)?

    Ta có \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight) có tâm lần lượt là I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0) và bán kính lần lượt là R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3.

    Gọi (P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight) là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:

    \left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.

    Xét phương trình

    3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.

    (1) Với d = - 4a - 2b - 12c. Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|, ta được

    2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    Với a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}

    \Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    (2) Với 5d = 4a - 10b - 12c.

    Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|, ta được

    2| - 11a + 8c| = |4a + 8c

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được

    \left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}

    \Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}

    Với c = \frac{13b}{\sqrt{11}} : chọn b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight).

    Với a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ta được:

    \left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0 (vô lí).

    Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight).

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm các giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + my + (m - 1)z + 2 = 0, (Q):2x - y + 3z - 4 = 0. Giá trị số thực m để hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc

    Để 2 mặt phẳng (P),(Q) vuông góc

    \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{p}.\overrightarrow{n_{Q}} = 0 \Leftrightarrow 1.2 + m.( - 1) + (m - 1).3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.

    Vậy m = \frac{1}{2}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1),B(4;3;2),C(5;2;1). Diện tích của tam giác ABC là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3;2;1),\overrightarrow{AC} = (4;1;0)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 1;4; - 5)

    Diện tích tam giác ABC là

    S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{1}{2}\sqrt{( - 1)^{2} + 4^{2} + ( - 5)^{2}} = \frac{\sqrt{42}}{2}

  • Câu 33: Vận dụng

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

    Gọi B(0;b;0),C(0;0;c) với b,c > 0.

    Phương trình (P):bcx + 2cy + 2bz - 2bc = 0.

    Vì (P) qua M nên bc = 2(b + c).

    Do vai trò ngang nhau nên b = c = 4.

    Kẻ đường cao AH trong tam giác ABC, ta có:

    Tọa độ H(0;2;2) \Rightarrow AH = \sqrt{OH^{2} + OA^{2}} = \sqrt{8 + 4} = 2\sqrt{3}.

    nên min S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.4\sqrt{2}.2\sqrt{3} = 4\sqrt{6}.

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính bán kính mặt cầu

    Mặt cầu (S): 3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 6x + 12y + 2 = 0 có bán kính bằng:

    Biến đổi 3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 6x + 12y + 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + \frac{2}{3} = 0 có tâm I(1; - 2;0), bán kính R = \sqrt{\frac{13}{3}}.

  • Câu 35: Nhận biết

    Hai đường thẳng chéo nhau

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0

    Suy ra (D) và (d) chéo nhau.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,\ AD = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a\sqrt{5}. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Xét hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó ta có:

    A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0)

    S\left( 0;0;\sqrt{5} ight),M(0;a;0),C(a;a;0)

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (0;a;0),\overrightarrow{SB} = \left( a;0; - a\sqrt{5} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(SBC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{SB} ightbrack = \left( - a^{2}\sqrt{5};0; - a^{2} ight)

    Ta có: \overrightarrow{CD} = ( - a;a;0),\overrightarrow{SC} = \left( a;a; - a\sqrt{5} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(SCD)}} = \left\lbrack \overrightarrow{CD},\overrightarrow{SC} ightbrack = \left( - a^{2}\sqrt{5}; - a^{2}\sqrt{5}; - 2a^{2} ight)

    Ta có \cos\left( (SBC);(SCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(SBC)}}.\overrightarrow{n_{(SCD)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(SBC)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(SCD)}} ight|} = \frac{\left| 5a^{4} + 2a^{4} ight|}{a^{2}\sqrt{6}.a^{2}\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{21}}{6}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 2} và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 bằng:

    Đường thẳng d qua M(1;0;0) và có vec-tơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (1;1; - 2).

    Mặt phẳng (P) có vec-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;1;1).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n} = 1.1 + 1.1 - 2.1 = 0 \\ M \notin (P) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow d//(P)

    d\left( d;(P) \right) = d\left( M;(P) \right) = \frac{|1 + 0 + 0 + 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{3}

  • Câu 38: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các tham số m

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6\pi. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

    Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

    d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4

    \Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.

  • Câu 40: Nhận biết

    Xác định điểm không thuộc mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng (\alpha)?

    Điểm M(1; - 1;1) không thuộc mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
20 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này