Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Xác định tọa độ hình chiếu của điểm A

    Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(3;2; - 1) lên mặt phẳng (\alpha):x + y + z = 0 là:

    Gọi H là hình chiếu của A(3;2; - 1) lên mặt phẳng (\alpha):x + y + z = 0.

    Khi đó: AH nhận \overrightarrow{n}(1;1;1) là vectơ chỉ phương suy ra phương trình AH:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}.

    Do H \in AH \Rightarrow H(3 + t;\ \ 2 + t;\ - 1 + t).

    Do H \in (\alpha) \Rightarrow 3 + t + 2 + t - 1 + t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow H\left( \frac{5}{3};\frac{2}{3}; - \frac{7}{3} \right).

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định phương trình tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0 và (\beta):x - y + 3z - 6 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Nhận thấy A(1;1;2),B(2; - 1;1) đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng d.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 1) là một vectơ chỉ phương của d.

    Khi đó phương trình tham số của d là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I( - 1;4;2) và có thể tích bằng \frac{256\pi}{3}. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:

    Thể tích mặt cầu là: V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I có bán kính R = 4 là: (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16

  • Câu 4: Thông hiểu

    Xác định số mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (P):\ \ x + y + z - 6 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12?

    +) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = 0\ \ (D \neq - 6).

    +) Do mặt phẳng (Q)tiếp xúc với mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12 nên d(I;(Q)) = R với Ilà tâm cầu, R là bán kính mặt cầu.

    Tìm được D = 6 hoặc D = - 6(loại) Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn.

  • Câu 5: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;3;1)và vectơ \overrightarrow{n} = (1;2; - 3). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến:

    Viết phương trình mặt phẳng qua A(2;3;1) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;2; - 3)

    \Rightarrow 1.(x - 2) + 2(x - 3) - 3(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z - 5 = 0

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + 2y - 3z - 5 = 0.

  • Câu 6: Nhận biết

    Xác định phương trình chính tắc

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)?

    Đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; - 1;0) và nhận \overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3) làm vectơ chỉ phương.

    Phương trình chính tắc của (d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}

  • Câu 7: Vận dụng

    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 2z - 3 = 0. Tìm điểm M \in (P) sao cho |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất.

    Gọi I là điểm sao cho \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0).

    Từ đó:

    |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH

    với H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

    Từ đó suy ra |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M \equiv H.

    Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight..

    Tọa độ diểm H là nghiệm (x;y;z) của hệ

    \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

    Vậy, tọa độ điểm M cần tìm là M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

  • Câu 8: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2;3),B(3;4;4),C(2;6;6) và I(a;b;c) là trực tâm tam giác ABC. Tính a + b + c?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = ( - 1;2;2);\overrightarrow{AC} = (1;4;3) \\ \overrightarrow{AI} = (a - 1;b - 2;c - 3) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 3;b - 4;c - 4) \\ (ABC):2x - 5y + 6z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1(a - 1) + 2(b - 2) + 2(c - 3) = 0 \\1(a - 3) + 4(b - 4) + 3(c - 4) = 0 \\2a - 5b + 6c - 10 = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{27}{5} \\b = 4 \\c = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{63}{5}

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Xác định phương trình đường thẳng d

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P):x + y - 2z + 4 = 0. Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A(3; - 1;1) và song song với mặt phẳng (P) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 2; - 1) \Rightarrow \overrightarrow{IA} = (2;1;2)

    Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{7}{2} \\ t = - 1 \\ \end{matrix} \right. và song song với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vettơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}},\overrightarrow{IA} \right\rbrack = (4; - 6; - 1)

    Vậy phương trình đường thẳngd:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 6t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right.\ .

  • Câu 11: Nhận biết

    Viết phương trình đường trung tuyến AM

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A\left( { - 1;3;2} \right),B\left( {2;0;5} \right),C\left( {0; - 2;1} \right). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.

    M là trung điểm BC => M(1;-1;3)

    AM đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {AM} = \left( {2; - 4;1} ight)

    Vậy phương trình chính tắc của AM là \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1}

  • Câu 12: Vận dụng

    PT mp trong hệ trục tọa độ Oxyz

    Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi \alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( OH = p):

    Theo đề bài, ta có: H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)

    Gọi M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)

    Ta có:

    \overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}

    \Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0

  • Câu 13: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt cầu (S)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1; - 4;0) có bán kính bằng 3. Phương trình của (S) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 4;0)và bán kính bằng 3có phương trình là:

    (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2}

    \Rightarrow (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tính thể tích mặt cầu nội tiếp tứ diện

    Trong không gian ABCD cho tứ diện ABCD với điểm A(1;2;2), B( - 1;2; - 1), D(1;6; - 1) và D( - 1;6;2). Thể tích của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là

    Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

    (ABC):6x - 3y - 4z+ 8 = 0

    (BCD):6x - 3y + 4z + 16 = 0

    (CDA):6x + 3y + 4z - 20 = 0

    (ABD):6x + 3y - 4z - 4 = 0

    Gọi I(a';b';c') là tâm và R là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện DABC

    Do đó:

    I nằm cùng phái với A đối với (DBC) suy ra: 6a' - 3b' + 4c' + 16 > 0.

    I nằm cùng phía với B đối với (DAC) suy ra: 6a' + 3b' + 4c' - 20 < 0.

    I nằm cùng phía với C đối với (DAB) suy ra: 6a' + 3b' - 4c' - 4 > 0.

    I nằm cùng phía với D đối với (ABC) suy ra: 6a' - 3b' - 4c' + 8 < 0.

    Suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DAC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DBC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(ABC) \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' + 3b' + 4c' - 20| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' + 4c' + 16| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' - 4c' + 8| \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' + 3b' + 4c' - 20 \right) \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = 6a' - 3b' + 4c' + 16 \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' - 3b' - 4c' + 8 \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 0 \\ b' = 4 \\ c' = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.

    Suy ra: I\left( 0;4;\frac{1}{2} \right),R = \sqrt{\frac{36}{61}}

    Thể tích mặt cầu cần tìm là: V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{288\pi\sqrt{61}}{3721}

    Cách khác: Sử dụng công thức nhanh.

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right) (r là bán kính của mặt cầu nội tiếp)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 3),\overrightarrow{AC} = (0;4; - 3) ,\overrightarrow{AD} = ( - 2;4;0),\overrightarrow{DB} = (0; - 4; - 3), \overrightarrow{DC} = (2;0; - 3).

    V_{ABCD} = \frac{1}{6}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack.\overrightarrow{AD} \right| = 8.

    S_{ABC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}, S_{ADC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}, S_{ABD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right\rbrack \right| = \sqrt{61},

    S_{BCD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{BD};\overrightarrow{DC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}.

    Ta có:

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right)

    \Leftrightarrow 8 = \frac{1}{3}.r4\sqrt{61} \Leftrightarrow r = \sqrt{\frac{36}{21}}.

    Vậy: \mathbf{V =}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{R}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{288}\mathbf{\pi}\sqrt{\mathbf{61}}}{\mathbf{3721}}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng \Delta_{1} :\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight. \Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1} và điểm M(0;3;0). Đường thẳng d đi qua M, cắt \Delta_{1} và vuông góc với \Delta_{2} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;a;b). Tính T = a + b

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và \Delta_{1}.

    Lấy A(3;1;1) \in \Delta_{1}.

    Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ \overrightarrow{MA} = (3; - 2;1) và {\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5).

    Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1).

    Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với \Delta_{2} có \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)

    Vậy a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2.

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M(1;8;0),C(0;0;3) cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại A;B sao cho OG nhỏ nhất, với G là trọng tâm tam giác ABC. Biết G(a;b;c), hãy tính T = a + b + c.

    Gọi A(m;0;0),B(0;n;0) với m,n > 0.

    Khi đó phương trình của (ABC):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{3} = 1.

    Vì M \in (ABC) nên \frac{1}{m} + \frac{8}{n} = 1. Kết hợp với điều kiện m > 0,n > 0 suy ra m > 1 và n > 8.

    Cũng từ trên ta có m = \frac{n}{n - 8}.

    Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ \left( \frac{m}{3};\frac{n}{3};1 ight).

    OG^{2} = |\overrightarrow{OG}|^{2} = \left( \frac{m}{3} ight)^{2} + \left( \frac{n}{3} ight)^{2} + 1^{2} = \frac{1}{9}\left\lbrack \left( \frac{n}{n - 8} ight)^{2} + n^{2} ightbrack + 1

    Xét hàm số f(n) = \left( \frac{n}{n - 8} ight)^{2} + n^{2} với n > 8.

    Ta có f^{'}(n) = 2 \cdot \frac{n}{n - 8} \cdot \frac{- 8}{(n - 8)^{2}} + 2n = 2n\left\lbrack \frac{- 8}{(n - 8)^{3}} + 1 ightbrack.

    f^{'}(n) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0 \\ n = 10 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 10 ight.

    Bảng biến thiên

    OG đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f(n) đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi n = 10; lúc đó m = 5 và G\left( \frac{5}{3};\frac{10}{3};1 ight).

    Vậy T = a + b + c = 6

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính bán kính mặt cầu

    Mặt cầu (S): 3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 6x + 12y + 2 = 0 có bán kính bằng:

    Biến đổi 3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 6x + 12y + 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + \frac{2}{3} = 0 có tâm I(1; - 2;0), bán kính R = \sqrt{\frac{13}{3}}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2;4),B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2;4),B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính góc giữa hai vectơ

    Cho hình chóp :\ O(0;0;0)\ ,\ A\ a\ (0;\ ;0)\ ,\ B\ a(\ ;0;0)\ ,\ C\ a\ (0;0;\ ) có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ \overrightarrow{BC} và \overrightarrow{OM} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}O(0;0;0),A(0;a;0),B(a;0;0) \\C(0;0;a),M\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight) \\\end{matrix} ight.

    Khi đó ta có: \overrightarrow{BC} = ( - a;0;a);\overrightarrow{OM} = \left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};0 ight)

    \Rightarrow \cos\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) =\dfrac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OM}}{BC.OM} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2}}{a\sqrt{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = -\dfrac{1}{2}

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) = 120^{0}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a;BC = a\sqrt{3};SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính \sin\alpha, với \alpha là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC).

    Cách 1: Hình vẽ minh họa

    Vẽ \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{BC}

    Lúc đó (SBC) \equiv (STCB)

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm SB;TC lúc đó ta có:

    AM\bot(SBC),DN//AM \Rightarrow DN\bot(SBC)

    Hình chiếu của BD trên (SBC) chính là BN

    Ta có \left( BD;(SBC) \right) = (BD;BN) = \widehat{DBN}

    \sin DBN = \frac{DN}{BD} = \frac{AM}{BD} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{4}

    Cách 2: Hình vẽ

    Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, ta có A(0;0;0), , d\left( 0;a\sqrt{3};0 \right), S(0;0;a).

    Ta có \overrightarrow{BD} = \left( - a;a\sqrt{3};0 \right) = a\left( - 1;\sqrt{3};0 \right), nên đường thẳng BD có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \left( - 1;\sqrt{3};0 \right).

    Ta có \overrightarrow{SB} = (a;0; - a), \overrightarrow{BC} = \left( 0;a\sqrt{3};0 \right)

    = > \left\lbrack \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{BC} \right\rbrack = \left( a^{2}\sqrt{3};0;a^{2}\sqrt{3} \right) = a^{2}\sqrt{3}(1;0;1).

    Như vậy, mặt phẳng (SBC) có véc-tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;0;1).

    Do đó, \alpha là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC) thì

    \sin\alpha = \frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}= \frac{\left| ( - 1).3 +\sqrt{3}.0 + 0.1 \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + {\sqrt{3}}^{2} +0^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1;2; - 3) đến mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 2 = 0?

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 2 = 0 là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{\left| 1 + 2.2 - 2( - 3) - 2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3

  • Câu 23: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;1;4),B(2;7;9) và C(0;9;13).

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;6;5),\overrightarrow{AC} = ( - 1;8;9)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (14; - 14;14) = 14(1; - 1;1)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1;1;4) và nhận \overrightarrow{n} = (1; - 1;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

    x - 1 - (y - 1) + z - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - y + z - 4 = 0

  • Câu 24: Nhận biết

    Điều kiện của mặt cầu

    Điều kiện để \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0 là một mặt cầu là:

    Theo đề bài, ta có:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0 có dạng:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    \Rightarrow a = - \frac{A}{2};\,\,b = - \frac{B}{2};\,\,c = - \frac{C}{2};\,\,d = D

    Như vậy, (S) là mặt cầu\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0

    \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

  • Câu 25: Vận dụng

    Viết phương trình đường phân giác

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 26: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1} và d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc với d_{1} và cắt d_{2} là:

    Gọi B = \Delta \cap d_{2}

    \begin{matrix} B \in d_{2} \Rightarrow B(1 - t;1 + 2t; - 1 + t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1;t - 4) \\ \end{matrix}

    d_{1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (2; - 1;1)

    \begin{matrix} \Delta\bot d_{1} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{1}} = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow t = - 1 \\ \end{matrix}

    \Delta đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 5)

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính tổng hai ẩn số a và b

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A \equiv O, như hình vẽ:

    Khi đó ta có:

    \overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight) và \overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)

    \overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)

    A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)

    Gọi \alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ight) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).

    Ta có \cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} + 4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left( 4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( - a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}

    = \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot \left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}

    Mà \tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} - 1 = \frac{5}{25}.

    Suy ra \tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{1} và\Delta_{2}:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 2}. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2}?

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{1} là \overrightarrow{u_{1}} = (2; - 3;1)

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{2} là \overrightarrow{u_{2}} = (3;1; - 2)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{1}{14}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3} và mặt phẳng (P):3x - 3y + 2z + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.

    Xét phương trình 3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0

    Kết luận phương trình có vô số nghiệm \Rightarrow d \subset (P)

  • Câu 30: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

    Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là: x + y - 1 + 2(z - 1) = 0 hay (P):x + y + 2z - 3 = 0.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tính số đo góc nhị diện

    Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AD = 2a,AB = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = \frac{a\sqrt{6}}{2}. Gọi E là trung điểm của AD. Tính số đo của góc phẳng nhị diện \lbrack S;BE;Abrack?

    Ta có ABCE là hình vuông cạnh a.

    Gọi I = AC \cap BE.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BE\bot AI \\ BE\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BE\bot(SAI) \Rightarrow BE\bot SI.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} (SBE)\bot(ABE) = BE \\ AI\bot BE \\ SI\bot BE \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \lbrack S,BE,Abrack = \widehat{SIA}

    Xét tam giác SIA vuông tại A: \tan\widehat{SIA} = \frac{SA}{IA} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SIA} = 60^{0}

  • Câu 32: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A,B,C biết tọa độ A(0; - 1;0), B(2;0;0),\ C\left( 0;0;\frac{1}{2} \right) là

    Ta có:

    \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{- 1} + \dfrac{z}{\dfrac{1}{2}} = 1

    \Leftrightarrow \frac{x}{2} - y + 2z = 1

    \Leftrightarrow x - 2y + 4z - 2 = 0.

  • Câu 33: Vận dụng

    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(5; - 3;5), bán kính R = 2\sqrt{5}. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tính OA biết AB = 4.

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 5 - 2.( - 3) + 2.5 - 3 ight|}{3} = 6

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

    IA = \sqrt{IB^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + AB^{2}} = 6 = d\left( I;(P) ight)

    Đường thẳng IA đi qua I(5; −3; 5) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do A = IA ∩ (P) nên 5 + t − 2(−3 − 2t) + 2(5 + 2t) − 3 = 0 ⇔ t = −2

    Vậy A(3; 1; 1) nên OA = \sqrt{11}.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Xác định phương trình thích hợp

    Cho hai mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2z - 3 = 0 và (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y - 2z - 2 = 0; Gọi (C) là giao tuyến của (S) và (S'). Viết phương trình của (C) (Có thể chọn nhiều đáp án).

    M(x,y,z) là điểm chung của hai mặt cầu \Rightarrow M \in (C)

    \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2z - 3 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y - 2z - 2

    \Rightarrow (C)\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2z - 3 = 0 \\ 10x - 6y + 4z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right. hay \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y - 2z - 2 = 0 \\ 10x - 6y + 4z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 4 là:

    Đường thẳng(d)đi qua M(1;\ 1; - 2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1).

    Gọi H là hình chiếu của I trên (d).

    Ta có:IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{5}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 9.

    Vậy phương trình mặt cầu: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Tính góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha)?

    Đường thẳng  \Delta  có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2; - 1), mặt phẳng (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1; - 1;2).

    Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng(\alpha), khi đó

    \sin(\varphi) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|}

    = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^{0}

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Tìm tọa độ điểm M và tính chu vi tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} \right.. Một điểm M thay đổi trên d sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác ABM là:

    Cách 1. Phương pháp trắc nghiệm

    - Kiểm tra thấy chỉ có điểm M(1;0;2) thuộc d nên lại phương án B,C

    - Với M(1;0;2) tính chi vi tam giác ABM suy ra chọn D.

    Cách 2.

    - Lấy điểm M( - 1 + 2t;1 - t;2t) thuộc d

    - Tính chu vi tam giác ABM:

    P = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + 2\sqrt{11} (dùng BĐT vectơ)

    \geq \sqrt{(3t + 6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \right)^{2}} = 2\left( \sqrt{29} + \sqrt{11} \right)

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \frac{3t}{6 - 3t} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \geq 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 3 = 0;(Q):x + 2y - 2z - 1 =0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là

    Lấy M( - 3;0;0) \in (P).

    Vì (P)//(Q) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q).

    d\left( M;(Q) ight) = \frac{\left| x_{M} + 2y_{M} - 2z_{M} - 1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = \frac{4}{3}.

  • Câu 39: Vận dụng

    Tìm bán kính mặt cầu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 40: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1; - 1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\ \overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4).

    Mặt phẳng (P) đi qua A( - 1;3;1), nhận \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4) là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

    \ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 = 0

    (Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
14 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Kết nối tri thức
Xem thêm