Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Xét tính đúng sai của các nhận định
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
có phương trình
.
a) Một véc tơ chỉ phương của
là
. Đúng||Sai
b) Một véc tơ pháp tuyến của
là
. Đúng||Sai
c) Góc giữa
và
là:
. Đúng||Sai
d) Lấy tuỳ ý hai điểm phân biệt
. Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A; B lên
. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
có phương trình
.
a) Một véc tơ chỉ phương của
là
. Đúng||Sai
b) Một véc tơ pháp tuyến của
là
. Đúng||Sai
c) Góc giữa
và
là:
. Đúng||Sai
d) Lấy tuỳ ý hai điểm phân biệt
. Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A; B lên
. Khi đó
. Sai||Đúng
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
Phương án a) đúng:
Một véc tơ chỉ phương của là
.
Phương án b) đúng:
Một véc tơ chỉ phương của là
.
Phương án c) đúng:
Một véc tơ chỉ phương của là
, một véc tơ pháp tuyến của
là
.
Khi đó .
Vậy .
Phương án d) sai:
Vì nên A’ trùng B’. Do đó
.
Tính diện tích mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm là điểm
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn có bán kính
. Diện tích của mặt cầu
là:
Ta có:
Vậy diện tích mặt cầu là: .
Chọn đáp án thích hợp
Phương trình mặt câu tâm
có bán kính
là:
Đáp án cần tìm là:
.
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi d đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng
sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và d.
Giả sử d cắt tại
,
Gọi H là hình chiếu của B trên d .
Khi đó, .
Vậy lớn nhất bằng BA
=> d có một VTCP:
có một VTCP :
Ta có
Tính độ dài các đoạn thẳng
Cho tứ diện
, có
đôi một vuông góc,
là điểm thuộc miền trong của tam giác
. Gọi khoảng cách từ
đến các mặt phẳng
lần lượt là
. Tính độ dài đoạn
sao cho tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox; B thuộc tia Oy và C thuộc tia Oz.
Ta có
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là các đường thẳng đi qua
, nằm trong
và đều có khoảng cách đến đường thẳng
bằng
. Côsin của góc giữa
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi H K; lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên và
, ta có:
Chọn đáp án đúng
Cho điểm
đường thẳng
. Phương trình mặt cầu
có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho
là:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
.
Gọi H là hình chiếu của I trên
Ta có: .
.
Vậy phương trình mặt cầu là:
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
. Tính
?
Ta có
Với , ta có
Với , ta có
Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng đó.
Ta có:
là một véctơ pháp tuyến của
.
là một véctơ pháp tuyến của
.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
và
là:
.
Tính tỉ số
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,
. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số
nhận giá trị nào sau đây?

Ta có hay
Gọi E là trung điểm AD.
Ta có nên ABCE là hình thoi.
Suy ra .
Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:
hay
Tương tự, ta cũng có hay
Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
.
Suy ra .
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:
Khẳng định đúng là: “”
Xác định phương trình đường thẳng d
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có một vecto chỉ phương
. Phương trình của
là:
Đường thẳng đi qua điểm
và có một vectơ chỉ phương
, phương trình của
là
PT mp cắt khối tứ diện
Cho tứ giác ABCD có
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng
.
Tỷ số thể tích hai khối AMNE và ABCD:
M chia cạnh BA theo tỷ số -2
Vecto pháp tuyến của
Tìm điểm không thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là phương trình của một mặt cầu nếu
.
Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:
Diện tích của đường tròn giao tuyến
Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng
. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).
●
Bán kính của đường tròn giao tuyến: .
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
,
,
( khác gốc toạ độ
) sao cho
là trực tâm tam giác
. Mặt phẳng
có phương trình là:
Hình vẽ minh họa

Cách 1: Gọi là hình chiếu vuông góc của
trên
,
là hình chiếu vuông góc
trên
.
là trực tâm của tam giác
khi và chỉ khi
Ta có : (1)
Chứng minh tương tự, ta có: (2).
Từ (1) và (2), ta có:
Ta có: .
Mặt phẳng đi qua điểm
và có một VTPT là
nên có phương trình là:
.
Cách 2:
+) Do lần lượt thuộc các trục
nên
(
).
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
.
+) Do là trực tâm tam giác
nên
.
Giải hệ điều kiện trên ta được
Vậy phương trình mặt phẳng: .
Chọn kết luận đúng
Cho
và hai mặt phẳng
. Khi đó:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).
Vì nên
.
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hai mặt phẳng
và
. Tìm tham số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau.
Đáp án: 4
Cho hai mặt phẳng
và
. Tìm tham số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau.
Đáp án: 4
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
.
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian
, đường thẳng
có phương trình tham số là
Đường thẳng đi qua điểm
và nhận vectơ đơn vị
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:
.
Tìm khoảng cách
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Tính số đo góc nhị diện
Cho hình lập phương
. Số đo của góc nhị diên
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có góc nhị diên bằng
.
Tính tỉ số thể tích
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
cắt nhau theo giao tuyến đường tròn
. Gọi
là thể tích khối cầu
,
là thể tích khối nón
có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu
và vuông góc với mặt phẳng
, đáy là đường tròn
. Biết độ dài đường cao khối nón
lớn hơn bán kính của khối cầu
. Tính tỉ số
?
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Bán kính đường tròn là:
Thể tích khối cầu (S) là:
Chiều cao hình nón là .
Thể tích khối nón là
Vậy .
Tính chu vi của đường tròn
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho mặt phẳng
và hai điểm
. Mặt cầu
đi qua hai điểm
và tiếp xúc với
tại C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính chu vi của đường tròn đó.

Ta có đi qua
, nhận
là một vecto chỉ phương nên
.
Thay vào
ta được
Tọa độ điểm là giao điểm của của
và
. Do đó theo tính chất của phương tích ta được
.
Mặt khác vì DC là tiếp tuyến của mặt cầu cho nên
.
Do vậy (là một giá trị không đổi).
Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định tâm D với bán kính R = 6 suy ra chu vi của đường tròn là .
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ
, mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
các đoạn bằng nhau có phương trình là:
Gọi là giao điểm của mặt phẳng
và các tia
.
Phương trình mặt phẳng qua A, B, C là:
.
Mặt phẳng qua điểm
Ta có
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Mặt phẳng
và đường thẳng
:
Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của
Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: và
cũng có 2 VTPT lần lượt
Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT:
và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).
Vậy (d) // (P) .
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai đường thẳng
và
. Phương trình đường thẳng nằm trong
và cắt hai đường thẳng
là:
Gọi là đường thẳng cần tìm
Gọi
Gọi
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình chính tắc của là
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng
với
là
Gọi là trung điểm của
suy ra
Phương trình mặt phẳng đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến:
Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và mặt phẳng
có phương trình
. Gọi
là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng
đi qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng
. Giá trị của
là
Ta có:
đi qua A nên:
đi qua B nên:
Ta cần tìm
Dấu xảy ra khi:
.
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
. Viết phương trình mặt cầu tâm
cắt trục
tại hai điểm
sao cho
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên
Phương trình mặt cầu là: .
Tìm độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
và
bằng
Ta tìm được
Áp dụng công thức .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy .
Giao điểm 3 mp
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A.Tọa độ của A là:
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính x,y theo z được
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
.
Vậy .
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
có số đo là:
Đường thẳng d có VTCP . Mặt phẳng
có VTPT
.
Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
.
Ta có
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
,cho bốn đường thẳng
;
;
;
. Gọi
là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Ta có . Phương trình mặt phẳng
Gọi
Khi đó AB là đường thẳng .
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
Viết phương trình mặt phẳng
đi qua A, B và
tạo với mặt phẳng
góc
thỏa mãn
?
Gọi
Ta có:
Chọn:
Định tham số để hai đường thẳng cắt nhau
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
, (với
là tham số). Tìm
để hai đường thẳng
và
cắt nhau
Ta có:
đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương
Ta có:
và
cắt nhau
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: