Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Lập phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Biết B(2;3;7),D(4;1;3), lập phương trình mặt phẳng (SAC).

    Dễ dàng chứng minh được (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là \overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4).

    Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm I(3;2;5) của BD và có vtcp \overrightarrow{BD} nên có phương trình: x - y - 2z + 9 = 0.

  • Câu 2: Vận dụng

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):x + 2y - z - 5 = 0 và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là

    Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng (P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0 với \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\ 2a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

    \cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} = \frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} = \frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab + 2b^{2}}.\sqrt{6}}

    Nếu a = 0 thì \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

    Nếu a eq 0 thì \cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t) ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a} ight).

    Khi đó 0 \leq \cos\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}

    Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

    Do đó \alpha = 30^{0} và \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Khi đó a = 0, chọn b = 1,\ c = - 1.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: (P):y - z + 4 = 0.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1). Gọi \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack (tích có hướng của hai vectơ \overrightarrow{m} và \overrightarrow{n}. Biết \left| \overrightarrow{p} ight| = 15, tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{p}.

    Ta thấy \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)

    Vì \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0) nên \overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0.

    Mặt khác \left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3

    Vậy \overrightarrow{p} = (9; - 12;0).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; - 1;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}.

    a) Hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d có toạ độ là: H(3; - 2;4). Đúng||Sai

    b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d khi đó: AH = \sqrt{29}. Sai||Đúng

    c) Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là: M(2; - 3;5). Đúng||Sai

    d) Gọi M là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d khi đó: OM = \sqrt{30} với O là gốc toạ độ. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; - 1;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}.

    a) Hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d có toạ độ là: H(3; - 2;4). Đúng||Sai

    b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d khi đó: AH = \sqrt{29}. Sai||Đúng

    c) Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là: M(2; - 3;5). Đúng||Sai

    d) Gọi M là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d khi đó: OM = \sqrt{30} với O là gốc toạ độ. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d ta có H(1 + 2t; - 1 - t;3 + t).

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = ( - 3 + 2t; - t;t)

    d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 1;1).

    Ta có: \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow 2.( - 3 + 2t) + t + t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H(3; - 2;4).

    Gọi M là điểm đối xứng của A qua d thì M là điểm đối xứng của A qua H.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{M} = 2x_{B} - x_{A} = 2 \\ y_{M} = 2y_{B} - y_{A} = - 3 \\ z_{M} = 2z_{B} - z_{A} = 5 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(2; - 3;5).

    Khi đó ta có

    Phương án a): Đúng vì hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d có toạ độ là: H(3; - 2;4).

    Phương án b): Sai vì hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d có toạ độ là: H(3; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (1;1;1) \Rightarrow AH = \sqrt{3}.

    Phương án c): Đúng vì điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là: M(2; - 3;5).

    Phương án d): Sai vì điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có toạ độ là:

    M(2; - 3;5) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (2; - 3;5) \Rightarrow OM = \sqrt{38}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Tìm giá trị nhỏ nhất diện tích tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;4;3) và mặt phẳng (P):2y - z = 0. Biết điểm B thuộc (P), điểm C thuộc (Oxy) sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là

    Gọi A'(1;4; - 3) đối xứng với A(1;4;3) qua mp(Oxy). K là hình chiếu vuông góc của A trên (P), tọa độ K(1;2;4). Lấy A''(1;0;5) đối xứng với A qua (P). Khi đó:

    AC + CB + BA = A'C + CB + BA'' \geq A'A'', dấu bằng có khi A',C,B,A'' thẳng hàng.

    Ta có A'A'' = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + z + 2 = 0 và (Q):x + y + 2z - 1 = 0. Góc giữa (P) và (Q) là

    Góc giữa (P) và (Q) là: \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;1);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;1;2)

    \cos(\alpha) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} \right|\left| \overrightarrow{n_{Q}} \right|}

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).1 + 1.2 \right|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 1^{2}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60{^\circ}

  • Câu 7: Vận dụng

    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0\ ;\ 0\ ;\ 2),\ B(1\ ;\ 1;\ 0) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{1}{4}. Xét điểm M thay đổi thuộc(S). Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcMA^{2} + 2MB^{2} bằng

    Tính \overrightarrow{IA} = (0;0;1),\overrightarrow{IB} = (1;1; - 1) \Rightarrow \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = (2;2; - 1) = \overrightarrow{IK}.

    Khi đó T = MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} = \frac{31}{4} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}.

    Để T nhỏ nhất thì \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK} ngược hướng, suy ra:

    \min T = \frac{31}{4} - 2.R.IK = \frac{31}{4} - 2.\frac{1}{2}.3 = \frac{19}{4}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;0;1),B( - 2;1;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

    Phương pháp tự luận

    +) \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;0).

    +) Trung điểm I của đoạnAB là I(\frac{- 3}{2};\frac{1}{2};1)

    Mặt phẳng trung trực của đọan AB là- (x + \frac{3}{2}) + (y - \frac{1}{2}) = 0 hay x - y + 2 = 0.

    Phương pháp trắc nghiệm

    Do (\alpha) là mặt phẳng trung trực của AB nên (\alpha)\bot AB

    Kiểm tra mặt phẳng (\alpha) nào có \overrightarrow{n_{\alpha}} = k\overrightarrow{AB}và chứa điểm I

    Cả 4 đáp án đều thỏa điều kiện \overrightarrow{n_{\alpha}} = k\overrightarrow{AB}.

    Cả 4 PT đều chung dạng: x–y+0z+D=0, nên để kiếm tra PT nào thỏa tọa độ điểm I ta bấm máy tính: trong đó nhập A, B, C là tọa độ I, còn D là số hạng tự do từng PT, nếu cái nào làm bằng 0 thì chọn.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Chọn kết quả đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + y + 6z - 1 = 0 và hai điểm A(1; - 1;0),B( - 1;0;1). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?

    Ta có \overrightarrow{BA} = (2; - 1; - 1). Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

    Khi đó: \sin\alpha = \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2 + 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{246}}

    Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

    AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}

  • Câu 10: Vận dụng

    Định phương trình mặt cầu

    Cho tứ diện ABCD có A(1,1,1);\ \ \ B(3,3,1);\ \ \ C(3,1,3);\ \ \ D(1,3,3). Viết phương trình mặt cầu \left( S_{2} \right) nội tiếp tứ diện.

    Ta có:

    AB = AC = AD = BC = CD = DB = 2\sqrt{2} \Rightarrow Tứ diện ABCD đều.

    \left( S_{2} \right) tiếp xúc với bốn mặt của tứ diện tại trọng tâm của mỗi mặt.

    Trọng tâm G của tam giác đều ACD: G\left( \frac{5}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3} \right); tâm của \left( S_{2} \right):\ E(2,2,2).

    Bán kính của \left( S_{2} \right):R_{2}^{2} = EG^{2}= \left( \frac{5}{3} - 2 \right)^{2} + \left( \frac{5}{3} - 2 \right)^{2} + \left( \frac{7}{3} - 2 \right)^{2} = \frac{1}{3}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = \frac{1}{3}

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{gathered} x = 1 - 2t \hfill \\ y = t \hfill \\ z = - 3 + 2t \hfill \\ \end{gathered} \right. . Phương trình chính tắc của đường thẳng \Delta đi qua điểm A(3; 1; -1)  và song song với d là

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( { - 2;1;2} ight)

    Vì \Delta song song với d nên \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{a_{d}} = ( - 2;1;2)

     \Delta  đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương  \overrightarrow{a_{\Delta}} 

    Vậy phương trình chính tắc của \Delta là \frac{x - 3}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{2}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xét sự đúng sai của các nhận đính

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P):2x - 2y - z - 4 = 0. Xét sự đúng sai của các khẳng định dưới đây:

    a) Một véc tơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 2). Sai||Đúng

    b) Với điểm A(3;1;0) \in (P)thì \overrightarrow{IA} là một vectơ pháp tuyến của (P). Sai||Đúng

    c) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là 3. Đúng||Sai

    d) Tọa độ hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P) là H(3;0;2). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P):2x - 2y - z - 4 = 0. Xét sự đúng sai của các khẳng định dưới đây:

    a) Một véc tơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 2). Sai||Đúng

    b) Với điểm A(3;1;0) \in (P)thì \overrightarrow{IA} là một vectơ pháp tuyến của (P). Sai||Đúng

    c) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là 3. Đúng||Sai

    d) Tọa độ hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P) là H(3;0;2). Đúng||Sai

    Một véc tơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1).

    A(3;1;0) \in (P) \Rightarrow \overrightarrow{IA} = (2; - 1; - 3)

    Vậy \overrightarrow{IA} không phải là một vectơ pháp tuyến của (P).

    d\left( I;(P) \right) = \frac{|2.1 - 2.2 - 3 - 4|}{\sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 1)^{2}}} = 3

    Gọi hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) là H(x;y;z). Khi đó: \left\{ \begin{matrix} H \in (P) \\ \overrightarrow{IH} = k.\overrightarrow{n} \end{matrix} \right.

    \overrightarrow{IH} = k.\overrightarrow{n} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = k.2 \\ y - 2 = k.( - 2) \\ z - 3 = k( - 1) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x = 4k + 2 \\ 2y = - 4k + 4 \\ z = - k + 3 \end{matrix} \right.

    H \in (P) \Rightarrow 2x - 2y - z - 4 = 0 \Leftrightarrow 9k - 9 = 0 \Leftrightarrow k = 1. \Rightarrow H(3;0;2).

    Đáp án: a) Sai; b) Si; c) Đúng; d) Đúng.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình - 2x + 2y - z - 3 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P) có phương trình - 2x + 2y - z - 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(4; - 4;2)

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{3 - y}{2} = \frac{z + 4}{2} .

    a) Đường thẳng d qua điểm M(1;2;0).Sai||Đúng

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{v} = (1;2;2).Sai||Đúng

    c) Đường thẳng d có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 5 - 2t \\ z = - 6 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    d) Đường thẳng d song song với đường thẳng \Delta:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{- 6} = \frac{z - 2}{6}.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{3 - y}{2} = \frac{z + 4}{2} .

    a) Đường thẳng d qua điểm M(1;2;0).Sai||Đúng

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{v} = (1;2;2).Sai||Đúng

    c) Đường thẳng d có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 5 - 2t \\ z = - 6 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    d) Đường thẳng d song song với đường thẳng \Delta:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{- 6} = \frac{z - 2}{6}.Sai||Đúng

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) sai vì:

    Thay M(1;2;0) vào đường thẳng d, ta có \frac{1 + 1}{1} \neq \frac{3 - 2}{2} \Rightarrow M(1;2;0) \notin (d).

    Phương án b) sai vì d:\frac{x + 1}{1} = \frac{3 - y}{2} = \frac{z + 4}{2} được viết lại d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 4}{2} do đó đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 2;2). Dễ thấy \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} không cùng phương.

    Phương án c) đúng vì d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 4}{2} có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) và đi qua điểm N( - 2;5; - 6) suy ra phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 5 - 2t \\ z = - 6 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Phương án d) sai vì đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 4}{2} có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) và đi qua điểm A( - 1;3; - 4).

    Đường thẳng \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{v} = (3; - 6;6) = - 3\overrightarrow{u}.

    Thay tọa độ điểm N( - 2;5; - 6) vào phương trình của \Delta, ta được

    \frac{- 2 - 2}{3} = \frac{5 + 3}{- 6} = \frac{- 6 - 2}{6} phương trình nghiệm đúng, suy ra A \in \Delta.

    Vậy d \equiv \Delta.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight). Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là:

    Đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; - 1)

    Đường thẳng d' đi qua điểm B(0; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = (2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)

    \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack = \left( \left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)

    Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là:

    d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; - 1;3) và các mặt phẳng: (\alpha):x - 2 = 0, (\beta):y + 1 = 0, (\gamma):z - 3 = 0. Tìm khẳng định sai.

    Câu sai là: “(\alpha)//Ox”

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{2} và \Delta_{2}:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 4}. Góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} bằng?

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{1} là \overrightarrow{u_{1}} = ( - 2;1;2)

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{2} là \overrightarrow{u_{2}} = (1;1; - 4)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Do đó góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2} là 45^{0}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x - 3y + z = 0 và (\beta):x + y - z + 4 = 0 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d là

    Cách 1:

    Đặt y = t, ta có \left\{ \begin{matrix} x + z = 3t \\ x - z = - 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    Cách 2:

    Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho y = 0

    Ta có hệ \left\{ \begin{matrix} x + z = 0 \\ x - z = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M( - 2;0;2) \in d

    (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; - 3;1)

    (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 1)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } ight] = \left( {2;2;4} ight)

    d đi qua điểm M(-2;0;2) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow {{a_d}}

    Vậy phương trình tham số của d là  \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} ight. 

  • Câu 20: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;3;0),B( - 2;1;1) và đường thẳng (\Delta): \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{- 2} . Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B và có tâm Ι thuộc (\Delta)

    Thử 4 đáp án, ở đây thầy thử trước đáp án 

    {\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{521}}{{100}} nhé

    Nhập \left( X + \frac{2}{5} \right)^{2} + \left( Y - \dfrac{13}{10} \right)^{2} + \left( M + \frac{3}{5} \right)^{2} - \frac{521}{100}

     \frac{Calc}{\left\{ \begin{matrix} X = 1 \\ Y = 3 \\ M = 0 \\ \end{matrix} \right.\ ;\left\{ \begin{matrix} X = - 2 \\ Y = 1 \\ M = 1 \\ \end{matrix} \right.\ } \rightarrow đáp án cần tìm là: {\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{521}}{{100}}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Tính chu vi của đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x - y - z + 3 = 0 và hai điểm M( - 1;1; - 1),N(3; - 3;3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm M,N và tiếp xúc với (P) tại C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính chu vi của đường tròn đó.

    Ta có MN đi qua M( - 1;1; - 1), nhận \frac{1}{4}\overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}(4; - 4;4) = (1; - 1;1) là một vecto chỉ phương nên MN:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Thay \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.vào (P) ta được - 1 + t + 1 + t + 1 - t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 4

    Tọa độ điểm D(3;3;3) là giao điểm của của MN và (P). Do đó theo tính chất của phương tích ta được DM.DN = DI^{2} - R^{2}.

    Mặt khác vì DC là tiếp tuyến của mặt cầu (S) cho nên DC^{2} = DI^{2} - R^{2}.

    Do vậy DC^{2} = DM.DN = 36 \Rightarrow DC = 6 (là một giá trị không đổi).

    Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định tâm D với bán kính R = 6 suy ra chu vi của đường tròn là 12\pi.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hai mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho hai mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

    Đáp án: 4

    Ta có: \overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q)vuông góc với nhau thì \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}.

    \Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.

  • Câu 23: Nhận biết

    Xác định tọa độ tâm mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4. Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là:

    Mặt cầu (S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} có tâm là I(a;b;c)

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4 có tâm I(2; - 1;3).

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight) và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng (MAB),(MBC),(MCA) hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

    Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

    BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}

    Ta có AB = 3, AC = 4, BC = 5, suy ra

    \left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)

    Phương trình đường thẳng MH nhận \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}} làm vectơ chỉ phương nên MH là: \left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó: OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 25: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; - 1;2), B(2; - 3;0), C( - 2;1;1), D(0; - 1;3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Gọi I(1; - 2;1) là trung điểm AB, K( - 1;0;2) là trung điểm của CD. Ta có:

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \Leftrightarrow {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} = 1

    \Leftrightarrow MI^{2} = 1 + \frac{1}{4}AB^{2} \Leftrightarrow MI = 2.

    Suy ra M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R = 2.

    Tương tự M thuộc mặt cầu tâm K, bán kính R' = 2.

    Do đó M thuộc đường tròn giao tuyến, bán kính r = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{IK}{2} \right)^{2}} = \sqrt{4 - \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Tìm góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', có AB = 2a;AD = a\sqrt{2}, góc giữa AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng 30^{0}. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên AB′ và K là hình chiếu vuông góc của A trên AD'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABB'A')

    60^{0}

    Hình vẽ minh họa

    Do ABCD \cdot A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} là hình hộp chữ nhật nên A^{'}C^{'} là hình chiếu vuông góc của A^{'}C trên (ABCD) \Rightarrow \left( A^{'}C,(ABCD) ight) = \left( A^{'}C,A^{'}C^{'} ight) = CA^{'}C^{'} = 30^{\circ}.

    Ta có AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{3};tanCA^{'}C^{'} = \frac{CC^{'}}{A^{'}C^{'}} \Rightarrow CC^{'} = a.

    Kết hợp với giả thiết ta được ABB^{'}A^{'} là hình vuông và có H là tâm.

    Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên A^{'}D^{'}\& A^{'}A.

    Ta có \frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{A^{'}A^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3};A^{'}K = \sqrt{A^{'}A^{2} - AK^{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}};

    \frac{1}{KF^{2}} = \frac{1}{KA^{2}} + \frac{1}{A^{'}K^{2}} \Rightarrow KF = \frac{a\sqrt{2}}{3};KE = \sqrt{A^{'}K^{2} - KF^{2}} \Rightarrow KE = \frac{a}{3}

    Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O \equiv A^{'} còn D^{'},B^{'},A theo thứ tự thuộc các tia Ox,Oy,Oz.

    Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

    A(0;0;a),B^{'}(0;a;0),H\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight),K\left( \frac{a\sqrt{2}}{3};0;\frac{a}{3} ight),E\left( \frac{a\sqrt{2}}{3};0;0 ight),F\left( 0;0;\frac{a\sqrt{2}}{3} ight)

    Mặt phẳng \left( ABB^{'}A^{'} ight) là mặt phẳng (yOz) nên có VTPT là {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;0;0);

    Ta có \lbrack\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH}brack = \frac{a^{2}}{6}{\overrightarrow{n}}_{2},{\overrightarrow{n}}_{2}(2;\sqrt{2};\sqrt{2}).

    Mặt phẳng (AKH) có VTPT là {\overrightarrow{n}}_{2} = (2;\sqrt{2};\sqrt{2});

    Gọi \alpha là góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và \left( ABB^{'}A^{'} ight).

    Ta có cos\alpha = \left| cos\left( {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ight) ight| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^{\circ}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tìm vectơ chỉ phương

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (\alpha):x + 2z + 3 = 0. Một vectơ chỉ phương của \Delta là:

    Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;0;2).

    Đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2).

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A(1;3;2),\ B(3;5;0) là:

    Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(2;4;1), AB = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}} = 2\sqrt{3}

    Mặt cầu đường kính AB có tâm I(2;4;1), bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{3}

    Vậy ph­ương trình của mặt cầu là: (x -2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} = 3.

  • Câu 29: Nhận biết

    Định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm I(2; - 3;1) là:

    Trục Ox đi qua A(1;0;0) và có \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Mặt phẳng đi qua I(2; - 3;1) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{i},\overrightarrow{AI} \right\rbrack = (0;1;3) có phương trình y + 3z = 0.

    Vậy y + 3z = 0.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Biết tiếp diện của (S) tại A, B vuông góc. Tính độ dài AB.

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −1), bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

    Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

    Suy ra AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

  • Câu 31: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Phương trình mặt câu tâm I(a,b,c) có bán kính R là:

    Đáp án cần tìm là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm tọa độ hình chiếu của A

    Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox?

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;5) trên trục Ox có tọa độ là (1;0;0).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho điểm I(1;1; - 2) đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho \widehat{IAB} = 30^{o} là:

    Đường thẳng d đi qua M( - 1;\ 3;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1) .

    Gọi H là hình chiếu của I trên

    Ta có: IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{18} .

    \Rightarrow R = IA = 2\sqrt{18} .

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 72.

  • Câu 34: Vận dụng

    Xác định phương trình d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B( - 1;2;4). Phương trình d đi qua trọng tâm của \Delta OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

    Gọi G là trọng tâm \Delta OAB, ta có G(0;2;2)

    \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;4;2) \\ \overrightarrow{OB} = ( - 1;2;4) \\ \end{matrix}

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    d\bot(OAB) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot OA \\ d\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OB} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)

    Vậy phương trình của d là \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

  • Câu 35: Nhận biết

    Tìm phương trình thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \left( \alpha \right):x - 2y + 2z - 3 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(2; 1; -5)  và vuông góc với \left( \alpha \right) là

    \left( \alpha ight) có vectơ pháp tuyến 

    Vì d vuông góc với \left( \alpha ight) nên d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{n_{\left( \alpha ight)}}} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1; - 2;2} ight)

    d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1; - 2;2} ight)

    Vậy phương trình tham số của B là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 36: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):x + z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)

    (Q):x - 2y + 2z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 37: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;\ 0;\ 0), B(3;\ 2;0), C( - 1;2;4). Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA, MB, MC hợp với mặt phẳng ( ABC) các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{1}{2}. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạnMN.

    Vào MENU 9 1 2 viết phương trình (ABC):x - y + z = 1.

    Mặt phẳng trung trực của AB là 2x + 2y + 0z = 6.

    Mặt phẳng trung trực của CA là 2x - 2y - 4z = - 10. Giải hệ ba ẩn ta có tâm đường tròn (ABC) là H(1;2;2).

    Trục đường tròn là \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 2 + t \end{matrix} \right..

    Mọi M \in \Delta đều thỏa mãn giả thiết đã cho. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu I(3;2;3)đến \Delta, ta có IK = d(I,\Delta) = \sqrt{2} > R = \frac{\sqrt{2}}{2}. Khi đó \min MN = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tìm chu vi nhỏ nhất của tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;4;3) và mặt phẳng (P):2y - z = 0. Tìm điểm C thuộc (P), điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất. Giá trị chu vi tam giác ABC bé nhất là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H;K lần lượt là hình chiếu của A lên các mặt phẳng (P) và (Oxy) ta được H(1;2;4),K(1;4;0).

    Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với A qua các mặt phẳng (P) và (Oxy).

    Khi đó ta có AB = NB,CA = CM nên AB + BC + CA = NB + BC + CM \geq MN = 2KH = 4\sqrt{5}

    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (Oxy) và (P).

  • Câu 39: Nhận biết

    Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2;0;1).

  • Câu 40: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 1 = 0,(\beta):x - 2z - 3 = 0. Góc giữa d và (P) bằng:

    Ta có: (P),(\alpha),(\beta) có vectơ pháp tuyến lần lượt là\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (3;4;5) \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; - 2;0) \\ \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;0; - 2) \\ \end{matrix} ight.

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = (4;2;2)

    Gọi\varphi là góc giữa d và (P), ta có:

    \sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi = 60^{0}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
20 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này