Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Nhận biết

    Tính độ dài vecto

    Gọi I là tâm mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 4. Độ dài \left| \overrightarrow{OI} \right| (O là gốc tọa độ) bằng:

    Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;2) \Rightarrow \overrightarrow{OI} = (0;0;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{OI} \right| = 2.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm điểm thuộc mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1; - 2),B(3;1;1);C( - 2;0;3). Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3;0;3),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1;5) suy ra \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3; - 21; - 3)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm B (3; 1; 1), có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \frac{1}{3}\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (1; - 7; - 1) nên có phương trình là: x - 7y - z + 5 = 0

    Vì 2 - 7.1 - 0 + 5 = 0 nên N(2;1;0) \in (ABC).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính giá trị nhỏ nhất của AM

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1;3;10), B(4;6;5) và M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA, MB cùng tạo với mặt phẳng (Oxy) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của AM.

    Tính khoảng cách từ A, B đến (Oxy) thi d_{A} = 2d_{B}. Gọi I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}

    Tọa độ I\left( 3;5;\frac{20}{3} \right), điểm M là hình chiếu của I trên (Oxy) nên có tọa độ M(3;5;0). Từ đó AM = 6\sqrt{3}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 3}{- 2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{1} và điểm A(2; - 1;0). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng

    Gọi M(3;0;1) \in d.

    \overrightarrow{AM}(1;1;1);\overrightarrow{u_{d}}( - 2; - 1;1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right| = \sqrt{14}

    Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng d(A,d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u_{d}} \right|} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}

  • Câu 5: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I( - 1;2; - 3) và đi qua điểm A(2;0;0) có phương trình:

    Ta có : \overrightarrow{IA} = (3; - 2;3) \Rightarrow IA = \sqrt{22}.

    Vậy (S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22.

  • Câu 6: Vận dụng

    Tính tích số theo yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A( - 8;1;1),B(2;1;3)vàC(6;4;0). Điểm Mdi động trong không gian sao cho \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 34. Biết |MA - MB| đạt giá trị lớn nhất tại điểm M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}). Tính tích số x_{0}y_{0}z_{0}.

    Biến đổi \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 34

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC} = 34

    \Leftrightarrow 4( - 8 - x) + 3(1 - y) - 3(1 - z) = 34

    \Leftrightarrow M \in (P):4x + 3y - 3z + 66 = 0.

    Ghi 4x + 3y - 3z + 66 CALC nhập tọa độ A, kết quả 34. CALC nhập tọa độ B, kết quả 68. Ta có tỉ số t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{34}{68} = \frac{1}{2}.

    Gọi D thỏa mãn \overrightarrow{DA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow D( - 18;1; - 1).

    Ta tìm hình chiếu M của D trên (P).

    Ghi - \frac{4x + 3y - 3z + 66}{16 + 9 + 9} bấm CALC nhập tọa độ D, kết quả 0. Vậy điểm M trùng D nên x_{0}y_{0}z_{0} = 18.

     

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( - 1;0;0), B(0;0;2), C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.

    Vì O, A, B, C thuộc (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \dfrac{1}{2} \\ b = - \dfrac{3}{2} \\ c = 1 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1} và hai điểm A(1;2; - 1),B(3; - 1; - 5). Gọi d đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng \Delta sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta và d.

    Giả sử d cắt  \Delta  tại M \Rightarrow M( - 1 + 2t;3t; - 1 - t), \overrightarrow{AM} = ( - 2 + 2t;3t - 2; - t),\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Gọi H là hình chiếu của B trên d .

    Khi đó, d(B;d) = BH \leq BA.

    Vậy d(B;d) lớn nhất bằng BA\Leftrightarrow H \equiv A \Leftrightarrow AM\bot AB

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow t = 2

    => d có một VTCP: \overrightarrow{u_{2}} = \overrightarrow{AM} = (1;2; - 1)

     \Delta  có một VTCP : \overrightarrow{u_{1}} = (2;3; - 1)

    Ta có \cos(\Delta;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{3\sqrt{21}}{13}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;\ 2;\ 3), B(1;0;1). Điểm C(a;\ b;\ - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Gọi C(x;\ x + 2;\ - 2) \in (P), ta có: \overrightarrow{BA} = (0;2;2),\overrightarrow{BC} = (x - 1;x + 2; - 3).

    Từ đó diện tích ABC là :

    S = \frac{1}{2}\sqrt{8\left\lbrack (x - 1)^{2} + (x + 2)^{2} + 9 \right\rbrack - (2x - 2)^{2}}= \sqrt{3x^{2} + 6x + 27} \geq 2\sqrt{6}.

    \min S = 2\sqrt{6} \Leftrightarrow x = - 1\Leftrightarrow C( - 1;\ 1;\ - 2) \Rightarrow a + b = 0.

  • Câu 10: Nhận biết

    Phương trình tổng quát

    Cho tứ diện ABCD có A(3, -2,1), B\left( { - 4,0,3} ight),C\left( {1,4, - 3} ight),D\left( {2,3,5} ight). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

    Theo đề bài, ta có các vecto là

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,6, - 4} ight);\overrightarrow {BD} = \left( {6,3,2} ight)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight] = \left( {24, - 20, - 42} ight).\end{array}

    Có thể chọn \overrightarrow n = \left( {12, - 10, - 21} ight) làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.

    Phương trình mặt phẳng này có dạng 12x - 10y - 21z + D = 0.

    Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên: 12.3 - 10( - 2) - 21.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 35

    Vậy phương trình cần tìm 12x - 10y - 21z - 35 = 0.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\ \frac{x - 2024}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2025}{- 2} và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 1 = 0. Xét các vectơ \overrightarrow{u} = (2;1; - 2),\ \overrightarrow{n} = (2;2; - 1).

    a) \overrightarrow{u} là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta . Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{n} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Đúng||Sai

    c) \cos\left( \Delta,(P) \right) = \frac{8}{9}. Sai||Đúng

    d) Góc giữa đường thẳng \Deltavà mặt phẳng (P) bằng khoảng 63^{o} (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\ \frac{x - 2024}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2025}{- 2} và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 1 = 0. Xét các vectơ \overrightarrow{u} = (2;1; - 2),\ \overrightarrow{n} = (2;2; - 1).

    a) \overrightarrow{u} là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta . Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{n} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Đúng||Sai

    c) \cos\left( \Delta,(P) \right) = \frac{8}{9}. Sai||Đúng

    d) Góc giữa đường thẳng \Deltavà mặt phẳng (P) bằng khoảng 63^{o} (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Đúng||Sai

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) \sin\left( \Delta,(P) \right) = \frac{8}{9}

    c) \sin\left( \Delta,(P) \right) = \frac{8}{9} nên góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P) bằng khoảng 63^{o}

  • Câu 12: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

    A basketball on the groundDescription automatically generated

    Trả lời: 23,9 cm

    Đáp án là:

    Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

    A basketball on the groundDescription automatically generated

    Trả lời: 23,9 cm

    Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt (Oxz),(Oyz), và nền là (Oxy)

    Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với 3 mặt phẳng toạ độ và chứa điểm M(17\ ;\ 18\ ;\ 21).

    Ta có thể gọi phương trình mặt cầu là (S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}, với a,b,c,R > 0

    Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên a = b = c = R

    \Rightarrow (S):(x - a)^{2} + (y - a)^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}

    Do M(17\ ;\ 18\ ;\ 21) \in (S) nên (17 - a)^{2} + (18 - a)^{2} + (21 - a)^{2} = a^{2}.

    \Rightarrow 2a^{2} - 112a + 1054 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 28 - \sqrt{257} \\ a = 28 + \sqrt{257} \\ \end{matrix} ight.

    Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên a = 28 - \sqrt{257} thỏa.

    Vậy đường kính quả bóng bằng 2a = 56 - 2\sqrt{257} \approx 23,9\ (cm).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:\frac{x + 4}{- 2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 3}{1}.

    a) Đường thẳng \Delta song song với đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; - 2;4). Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    c) Điểm K(3;5;2) thuộc vào đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:\frac{x + 4}{- 2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 3}{1}.

    a) Đường thẳng \Delta song song với đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; - 2;4). Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    c) Điểm K(3;5;2) thuộc vào đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Đúng

    Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 2; - 3;1).

    Đường thẳng \Delta đi qua A và song song với d nhận \overrightarrow{u_{d}} = ( - 2; - 3;1) làm một véctơ chỉ phương, nên đường thẳng \Delta có phương trình là:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = 3 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) hoặc \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) hoặc\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}.

    Khi đó ta có

    Phương án a): Sai vì một vectơ chỉ phương của \Delta là \begin{matrix} \\ \overrightarrow{u} = ( - 2; - 3;1) \end{matrix}.

    Phương án b): Đúng vì đường thẳng \Delta có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Phương án c): Đúng vì thay toạ độ điểm K(3;5;2) vào phương trình đường thẳng \Delta thoả mãn.

    Phương án d): Đúng vì đường thẳng \Delta có phương trình: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{1} và\Delta_{2}:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 2}. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2}?

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{1} là \overrightarrow{u_{1}} = (2; - 3;1)

    Véc tơ chỉ phương của \Delta_{2} là \overrightarrow{u_{2}} = (3;1; - 2)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{1}{14}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):x + z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)

    (Q):x - 2y + 2z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight) và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng (MAB),(MBC),(MCA) hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

    Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

    BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}

    Ta có AB = 3, AC = 4, BC = 5, suy ra

    \left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)

    Phương trình đường thẳng MH nhận \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}} làm vectơ chỉ phương nên MH là: \left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó: OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính góc giữa hai cạnh

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D( - 2;1; - 1). Góc giữa hai cạnh AB và CD có số đo là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;0) và \overrightarrow{CD} = ( - 2;1; - 2).

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

    Ta có \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \varphi = 45^{0}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 4 là:

    Đường thẳng(d)đi qua M(1;\ 1; - 2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1).

    Gọi H là hình chiếu của I trên (d).

    Ta có:IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{5}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 9.

    Vậy phương trình mặt cầu: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 20: Nhận biết

    Xác định tâm mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2. Xác định tọa độ tâm của mặt cầu (S)

    Mặt cầu (S)có tâm là I( - 3; - 1;1).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:(D):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}},(d):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}}. Với a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3},\ \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \neq \ 0. Gọi \overrightarrow{a} = \left( \ a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3} \right);\ \ \overrightarrow{b} = \left( \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \right) và \overrightarrow{AB} = \left( \ x_{2}\ - \ x_{1},\ \ y_{2}\ - \ y_{1},\ \ z_{2}\ - \ z_{1} \right). (D) và (d) song song khi và chỉ khi:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Rightarrow (D) và (d) cùng nằm trong một mặt phẳnga_{1}:a_{2}:a_{3} = b_{1}:b_{2}:b_{3} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} \Rightarrow (D) và (d) cùng phương A\left( x_{1},y_{1},z_{1} \right) \in (D) và A \notin (d) \Rightarrow (D) và (d) song song.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5) cùng phương với vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5). Vậy \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - z + 1 = 0. Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng (P) qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng (Q) là?

    Gọi M(x,y,z) là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P).

    Điểm M'( - x,y, - z) là điểm đối xứng của Mqua trục tung \Rightarrow (Q): - x + 2y + z + 1 = 0 là mặt phẳng đi qua M' và là mặt phẳng đối xứng của(P)

    Vậy x - 2y - z - 1 = 0.

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình - 2x + 2y - z - 3 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P) có phương trình - 2x + 2y - z - 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(4; - 4;2)

  • Câu 25: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) bán kính R có phương trình là

    Mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) và bán kính R có phương trình là:

    \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}

  • Câu 26: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a\sqrt{2} và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu \tan\alpha = \sqrt{2} thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I = AC \cap BD.

    Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a\sqrt{2} suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (SBD) \cap (ABCD) = BD \\ SI\bot BD \\ AI\bot BD \\ \end{matrix} \Rightarrow ((SBD);(ABCD)) = (SI;AI) = SIA ight..

    Ta có tan\alpha = tanSIA = \frac{SA}{AI} \Leftrightarrow SA = a.

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a).

    Khi đó \overrightarrow{SA} = (0;0; - a);\overrightarrow{SC} = (a;a; - a);\overrightarrow{SB} = (a;0; - a).

    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{1} = ( - 1;1;0).

    Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0;1).

    Suy ra cos((SAC);(SBC)) = \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{2}ight|}= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\Rightarrow((SAC);(SBC)) = 60^{\circ}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tính khoảng cách d(M; (P))

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm M(1; - 2;3). Tính khoảng cách d từ M đến (P).

    Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2 + 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{29}}

  • Câu 28: Nhận biết

    Vecto chỉ phương của đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:

     Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.

  • Câu 29: Vận dụng

    Tìm phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 1),B(3;0;3). Biết mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (P) là

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.

    Ta có BH ≤ AB.

    Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A

    ⇒ BHmax = AB khi AB ⊥ (P).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot(P) \\ A \in (P) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (P):2x - 2y + 4z + 6 = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z + 3 = 0

  • Câu 30: Nhận biết

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là

    Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0) và nhận \overrightarrow{j} = (0;1;0) là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng (Oxz) là (Oxz).

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) qua M cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C thỏa mãn OA = 2OB. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp OABC?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Khi đó mặt phẳng (P) có dạng: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

    Vì OA = 2OB \Rightarrow a = 2b \Rightarrow \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = 1

    Thể tích khối chóp OABC là: V = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{3}b^{2}c

    Ta có: 1 = \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{4b} + \frac{3}{4b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}}

    \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{16b^{2}c}{9} \geq 27 \Leftrightarrow \frac{b^{2}c}{3} \geq \frac{81}{16}

    \Rightarrow V_{OABC}\min = \frac{81}{16} khi \dfrac{3}{4b} =\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{9}{2} \\b = \dfrac{9}{4} \\c = 3 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 32: Nhận biết

    Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) là:

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}.

  • Câu 33: Vận dụng

    Chọn kết quả chính xác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi d là đường thẳng cần tìm.

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với (P): x − 2y + 2z − 5 = 0.

    ⇒ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0 và d ⊂ (Q).

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì BH > BK.

    Do đó d(B; d) nhỏ nhất khi và chỉ khi H ≡ K.

    Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q) \Rightarrow BK:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lại có: K = BK \cap (Q) \Rightarrow K = \left( \frac{- 1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)

    Đường thẳng d qua A và nhận \overrightarrow{AK} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9};\frac{- 2}{9} ight) làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là: \frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}.

  • Câu 34: Vận dụng

    Góc giữa 2 đường thẳng

    Tính góc của hai đường thẳng \left( {d'} ight):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{4}và \left( d ight):x = 3 + 2t;\,\,y = 2t - 4;\,\,z = 2\,\,\,\left( {t \in R} ight).

    Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:\overrightarrow a = \left( {2,4,4} ight);\overrightarrow b = \left( {2,2,0} ight)

    Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:

    \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 4.0} ight|}}{{6.2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Lập phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Biết B(2;3;7),D(4;1;3), lập phương trình mặt phẳng (SAC).

    Dễ dàng chứng minh được (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là \overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4).

    Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm I(3;2;5) của BD và có vtcp \overrightarrow{BD} nên có phương trình: x - y - 2z + 9 = 0.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:

    Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz): y = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxz) \right)

    \Leftrightarrow R = \frac{|4|}{1} = 4.

    Vậy (S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 16.

  • Câu 37: Vận dụng

    Chọn phương án thích hợp

    Cho mặt phẳng (P):x - 2y - 2z + 10 =0 và hai đường thẳng \Delta_{1}:\ \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}, \ \Delta_{2}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{4}. Mặt cầu (S) có tâm thuộc \Delta_{1}, tiếp xúc với \Delta_{2} và mặt phẳng (P), có phương trình:

    Ta có:

    \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right.; \Delta_{2} đi qua điểm A(2;0; - 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;1;4).

    Giả sử I(2 + t;t;1 - t) \in \Delta_{1} là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S).

    Ta có: \overrightarrow{AI} = (t;t;4 - t) \left\lbrack \overrightarrow{AI},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack = (5t - 4;4 - 5t;0)

    d\left( I;\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AI},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{2}} \right|} = \frac{|5t - 4|}{3}

    d(I,(P)) = \frac{\left| 2 + t - 2t - 2(1 - t) + 10 \right|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|t + 10|}{3}.

    (S) tiếp xúc với \Delta_{2} và (P) d(I,\Delta_{2}) = d(I,(P)) |5t - 4| = |t + 10| \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{7}{2} \\ t = - 1 \\ \end{matrix} \right..

    Với t = \frac{7}{2} I\left( \frac{11}{2};\frac{7}{2}; - \frac{5}{2} \right), R = \frac{9}{2} (S):\left( x - \frac{11}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{7}{2} \right)^{2} + \left( z + \frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{81}{4}.

    Với t = - 1 I(1; - 1;2),\ R = 3 (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 9.

  • Câu 38: Nhận biết

    Chọn mặt phẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(3;3; - 2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;3;1). Viết phương trình đường thẳng d?

    Đường thẳng d đi qua điểm M(3;3; - 2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;3;1) là:

    d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 4z = 0 và điểmM(1;2; - 1). Một đường thẳng thay đổi qua M cắt (S) tại hai điểm A; B. Tìm giá trị lớn nhất của tổng MA + MB.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 2; - 2) và bán kính R = 3. Trong khi IM = \sqrt{17} > 3 nên M nằm ngoài hình cầu (S).

    Gọi H là trung điểm của AB, có M nằm trên đường AB và nằm ngoài đoạn AB nên có MA + MB = 2MH.

    Mặt khác, tam giác IHM vuông tại H nên HM \leq MI. Vậy MA + MB \leq 2\sqrt{17}.

    Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng qua M và tâm I của mặt cầu, tức AB lúc này là đường kính của mặt cầu.

    Vậy giá trị lớn nhất của tổng MA + MB là 2\sqrt{17}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính cosin góc giữa d và Oy

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua O, thuộc mặt phẳng (Oyz) và cách điểm M(1; - 2;1) một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa d và trục tung bằng

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} d(M;d) = MK \geq MH = 1 \\ H(0; - 2;1) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra d(M;d) nhỏ nhất khi H \equiv K. Khi đó d có một vecto chỉ phương là \overrightarrow{OH} = (0; - 2;1)

    Khi đó: \cos(d;Oy) = \frac{\left| \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j} ight|}{\left| \overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = \frac{2}{\sqrt{5}}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
28 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này