Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng

    PT mp trong hệ trục tọa độ Oxyz

    Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi \alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( OH = p):

    Theo đề bài, ta có: H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)

    Gọi M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)

    Ta có:

    \overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}

    \Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0

  • Câu 2: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

    \Delta_{1}:\ \ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \Delta_{2}:\ \ \frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có toạ độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{1}. Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ (4;5;6)là một vectơ chỉ phương của \Delta_{2}. Sai||Đúng

    c) Cosin của góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2) và \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) bằng - \frac{8}{9}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2} (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) bằng 132{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

    \Delta_{1}:\ \ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \Delta_{2}:\ \ \frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có toạ độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{1}. Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ (4;5;6)là một vectơ chỉ phương của \Delta_{2}. Sai||Đúng

    c) Cosin của góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2) và \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) bằng - \frac{8}{9}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2} (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) bằng 132{^\circ}. Sai||Đúng

    Câu 1

    a)

    b)

    c)

    d)

    Đáp án

    Sai

    Sai

    Đúng

    Sai

    \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{1}, \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) là một vectơ chỉ phương của \Delta_{2}

    Côsin của góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2), \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1; - 2;2) là

    \cos\left( \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right) = \frac{\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{- 8}{3.3} = \frac{- 8}{9} suy ra \left( \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right) \approx 152{^\circ}.

    Vậy \left( \Delta_{1},\Delta_{2} \right) \approx 180{^\circ} - 152{^\circ} \approx 28{^\circ}.

  • Câu 3: Vận dụng

    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(5; - 3;5), bán kính R = 2\sqrt{5}. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tính OA biết AB = 4.

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 5 - 2.( - 3) + 2.5 - 3 ight|}{3} = 6

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

    IA = \sqrt{IB^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + AB^{2}} = 6 = d\left( I;(P) ight)

    Đường thẳng IA đi qua I(5; −3; 5) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do A = IA ∩ (P) nên 5 + t − 2(−3 − 2t) + 2(5 + 2t) − 3 = 0 ⇔ t = −2

    Vậy A(3; 1; 1) nên OA = \sqrt{11}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; - 1;3) và các mặt phẳng: (\alpha):x - 2 = 0, (\beta):y + 1 = 0, (\gamma):z - 3 = 0. Tìm khẳng định sai.

    Câu sai là: “(\alpha)//Ox”

  • Câu 5: Vận dụng

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):x + 2y - z - 5 = 0 và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là

    Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng (P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0 với \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\ 2a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

    \cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} = \frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} = \frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab + 2b^{2}}.\sqrt{6}}

    Nếu a = 0 thì \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

    Nếu a eq 0 thì \cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t) ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a} ight).

    Khi đó 0 \leq \cos\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}

    Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

    Do đó \alpha = 30^{0} và \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Khi đó a = 0, chọn b = 1,\ c = - 1.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: (P):y - z + 4 = 0.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm I(2;1;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):x + 2y + 2z + 2 = 0?

    Do mặt cầu S(I;R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) \Leftrightarrow d\left( I;(P) \right) = R \Leftrightarrow R = 4 .

    \Rightarrow (S) : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 16.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( - 1;0;0), B(0;0;2), C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.

    Vì O, A, B, C thuộc (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \dfrac{1}{2} \\ b = - \dfrac{3}{2} \\ c = 1 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm G(1;4;3). Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC?

    +) Do A,B,C lần lượt thuộc các trục Ox,Oy,Oznên A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c).

    +) Do G là trọng tâm tứ diện OABC nên \left\{ \begin{matrix} x_{G} = \frac{x_{O} + x_{A} + x_{B} + x_{C}}{4} \\ y_{G} = \frac{y_{O} + y_{A} + y_{B} + y_{C}}{4} \\ z_{G} = \frac{y_{O} + y_{A} + y_{B} + y_{C}}{4} \\ \end{matrix} \right.

    suy ra a = 4,b = 16,c = 12.

    +) Vậy phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: \frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 1.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Định phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 4y - 4z - 12 = 0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đối xứng (P) của (S) vuông góc với đường kính qua gốc O.

    Pháp vecto của (P):\overrightarrow{n} = \overrightarrow{OI} = (3,2,2).(P) qua I(3 , 2,2)

    \Rightarrow (P):3(x - 3) + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0

    \Rightarrow (P):3x + 2y + 2z - 17 = 0

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + z + 2 = 0 và (Q):x + y + 2z - 1 = 0. Góc giữa (P) và (Q) là

    Góc giữa (P) và (Q) là: \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;1);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;1;2)

    \cos(\alpha) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} \right|\left| \overrightarrow{n_{Q}} \right|}

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).1 + 1.2 \right|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 1^{2}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60{^\circ}

  • Câu 11: Nhận biết

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} \right.cho đường thẳng Oxyz,. Đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} đi qua điểm d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right. và có vectơ chỉ phương (P):7x + y - 4z = 0 có tọa độ là:

    d đi qua A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2} và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;3;1} ight).

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Viết phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox,y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA = OB = 2OC eq 0?

    Đặt A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với abc eq 0.

    Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Do OA = OB = 2OC nên ta có |a| = |b| = 2|c|.

    Suy ra a = ±2c, b = ±2c.

    Nếu a = 2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{9}{2}.

    Ta có (P): x + y + 2z − 9 = 0.

    Nếu a = 2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} - \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5}{2}

    Ta có (P): x − y + 2z − 5 = 0.

    Nếu a = −2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{7}{2}

    Ta có (P): − x + y + 2z − 7 = 0.

    Nếu a = −2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- 2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}

    Ta có (P): − x − y + 2z − 3 = 0.

    Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định tọa độ hình chiếu của điểm A

    Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(3;2; - 1) lên mặt phẳng (\alpha):x + y + z = 0 là:

    Gọi H là hình chiếu của A(3;2; - 1) lên mặt phẳng (\alpha):x + y + z = 0.

    Khi đó: AH nhận \overrightarrow{n}(1;1;1) là vectơ chỉ phương suy ra phương trình AH:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}.

    Do H \in AH \Rightarrow H(3 + t;\ \ 2 + t;\ - 1 + t).

    Do H \in (\alpha) \Rightarrow 3 + t + 2 + t - 1 + t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow H\left( \frac{5}{3};\frac{2}{3}; - \frac{7}{3} \right).

  • Câu 14: Vận dụng

    Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

    Khoảng cánh giữa hai đường thẳng : {(d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. và  ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. là:

     Chuyển d1 về dạng tham số :({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = - 4 - 2t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có A(0,0, - 4) \in ({d_1}) và 1 vectơ chỉ phương của (d1): \overrightarrow a = (1, - 1, - 2).

    Chuyển (d2) về dạng tham số : ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 3t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có B( - 5,2,0) \in ({d_2}) và 1 vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b (3, - 1,1).

    Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:

    d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} } ight|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight]} ight|}} = \frac{9}{{\sqrt {62} }}

    .

  • Câu 15: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d':\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}. Phương trình đường thẳng  \Delta  đi qua điểm A(2;-1;-3) vuông góc với trục Oz và d là

    Oz có vectơ chỉ phương \overrightarrow k = \left( {0;0;1} ight)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;1; - 2} ight)

     \Delta  đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {{a_d}} } ight] = \left( { - 1;2;0} ight)

    Vậy phương của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 + 2t \\ y = - 3 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 16: Nhận biết

    Mệnh đề đúng

    Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:

     A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau

    B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.

    C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Tính tổng diện tích

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16 và điểm A(1;2;3) . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

    Tính tổng diện tích

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P), (Q), (R).

    Với điểm I bất kỳ, hạ II_1, II_2, II_3 lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thì ta luôn có: IA^2 = II_1 ^2+ II_2^2, II_3 ^2(1) .

    Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O\equiv A , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R)..

    Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

    IA^2=a^2+b^2+c^2=d^2(A;(Iyz))+d^2(A;(Ixz))+d^2(A;(Ixy))

    hay IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2.

    Vậy (1) được chứng minh.

    Tính tổng diện tích

    Áp dụng giải bài:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) và có bán kính r=4.

    \overrightarrow {IA}=(0;3;1) \Rightarrow IA= \sqrt {10}.

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P), (Q), (R) và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là(C_1),(C_2),(C_3).

    Gọi I_1, I_2, I_3 và  r_1, r_2, r_3 lần lượt là tâm và bán kính của (C_1),(C_2),(C_3).

    Khi đó : II_1\perp (P) \Rightarrow II_1^2+r_1^2=r^2 \Rightarrow r_1^2=r^2-II_1^2.

    Tương tự có: r_2^2=r^2-II_2^2  và  r_3^2=r^2-II_3^2.

    Theo nhận xét ở trên ta có: IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2

    Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

    S= \pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2)=\pi(r^2-II_1^2+r^2-II_2^2+r^2-II_3^2)

    =\pi[3r^2-(II_1^2+II_2^2+II_3^2)]

    =\pi(3r^2-IA^2)=38 \pi.

  • Câu 18: Nhận biết

    Viết phương trình mặt phẳng trung trực

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1; - 1;2),N(3;1; - 4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN.

    Mặt phẳng trung trực MN nhận \frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3) làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm I(2;0; - 1) của MN nên ta có phương trình mặt phẳng MN là: x + y - 3z - 5 = 0.

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - x + y - 3z + \frac{7}{4} = 0, (S) có tọa độ tâm I và bán kính R là:

    Phương trình mặt cầu (S) được viết lại :

    \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = 1 \Rightarrow I\left( \frac{1}{2},\frac{- 1}{2},\frac{3}{2} \right)

    Và R = 1

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + mt \\ y = t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t' \\ y = 2 + 2t' \\ z = 3 - t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight). Giá trị của m để hai đường thẳng d_{1} và d_{2} cắt nhau là

    Đường thẳng d_{1} đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (m;1;2)

    Đường thẳng d_{2} đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2; - 1)

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 5;m - 2;2m + 1) và \overrightarrow{AB} = (0;2;4)

    Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t) và \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    a) Vì A'B'\bot BB', BC\bot BB' nên d(A'B',BC) = BB' = a. Mệnh đề đúng.

    b) Do AB//A'B' nên (AB,B'D') = (A'B',B'D') = 45{^\circ}. Mệnh đề đúng.

    c) Vì CC'\bot(A'B'C'D') nên \left( CD',(A'B'C'D') ight) = (CD',C'D') = 45{^\circ}. Mệnh đề sai.

    d) Ta có B'C'\bot BB', B'D'\bot BB' nên góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng \widehat{D'B'C'} = 45{^\circ}. Mệnh đề đúng

  • Câu 23: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 1 = 0 và (Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0. Khi hai mặt phẳng (P), (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng (Q) đi qua điểm M nào sau đây?

    Gọi \alpha là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có:

    \cos\alpha = \dfrac{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{Q}ight|}= \dfrac{1}{3\sqrt{2m^{2} - 2m + 2}} = \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m- \dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}}

    \leq \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m -\dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}} \leq\dfrac{1}{3\sqrt{\dfrac{3}{2}}}

    Do 0 \leq \alpha \leq 90^{\circ} nên \alpha nhỏ nhất khi \cos\alpha lớn nhất \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.

    \Rightarrow (Q):2x + y - z + 4038 = 0 \Rightarrow M( - 2019;1;1) \in (Q).

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Tìm góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', có AB = 2a;AD = a\sqrt{2}, góc giữa AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng 30^{0}. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên AB′ và K là hình chiếu vuông góc của A trên AD'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABB'A')

    60^{0}

    Hình vẽ minh họa

    Do ABCD \cdot A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} là hình hộp chữ nhật nên A^{'}C^{'} là hình chiếu vuông góc của A^{'}C trên (ABCD) \Rightarrow \left( A^{'}C,(ABCD) ight) = \left( A^{'}C,A^{'}C^{'} ight) = CA^{'}C^{'} = 30^{\circ}.

    Ta có AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{3};tanCA^{'}C^{'} = \frac{CC^{'}}{A^{'}C^{'}} \Rightarrow CC^{'} = a.

    Kết hợp với giả thiết ta được ABB^{'}A^{'} là hình vuông và có H là tâm.

    Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên A^{'}D^{'}\& A^{'}A.

    Ta có \frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{A^{'}A^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3};A^{'}K = \sqrt{A^{'}A^{2} - AK^{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}};

    \frac{1}{KF^{2}} = \frac{1}{KA^{2}} + \frac{1}{A^{'}K^{2}} \Rightarrow KF = \frac{a\sqrt{2}}{3};KE = \sqrt{A^{'}K^{2} - KF^{2}} \Rightarrow KE = \frac{a}{3}

    Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O \equiv A^{'} còn D^{'},B^{'},A theo thứ tự thuộc các tia Ox,Oy,Oz.

    Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

    A(0;0;a),B^{'}(0;a;0),H\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight),K\left( \frac{a\sqrt{2}}{3};0;\frac{a}{3} ight),E\left( \frac{a\sqrt{2}}{3};0;0 ight),F\left( 0;0;\frac{a\sqrt{2}}{3} ight)

    Mặt phẳng \left( ABB^{'}A^{'} ight) là mặt phẳng (yOz) nên có VTPT là {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;0;0);

    Ta có \lbrack\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH}brack = \frac{a^{2}}{6}{\overrightarrow{n}}_{2},{\overrightarrow{n}}_{2}(2;\sqrt{2};\sqrt{2}).

    Mặt phẳng (AKH) có VTPT là {\overrightarrow{n}}_{2} = (2;\sqrt{2};\sqrt{2});

    Gọi \alpha là góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và \left( ABB^{'}A^{'} ight).

    Ta có cos\alpha = \left| cos\left( {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ight) ight| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^{\circ}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(2;3; - 1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 1 = 0 bằng 2\sqrt{3}.

    B \in d \Rightarrow B(1 + t;2 + 2t; - t)

    d\left( B,(\alpha) ight) = 2\sqrt{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(3;6; - 2),\ \overrightarrow{AB} = (1;3; - 1) \\ B( - 3; - 6;4),\ \overrightarrow{AB} = ( - 5; - 9;5) \\ \end{matrix} ight.S

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x + 3}{- 5} = \frac{y + 6}{- 9} = \frac{z - 2}{5} và \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 2}{- 1}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 2 - 3t \\ \end{matrix} \right. và \Delta_{2}:\frac{x - 2}{1} = \frac{x + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 2} xấp xỉ bằng

    Ta có:

    \cos\left( \Delta_{1},\Delta_{2} ight) = \frac{\overrightarrow{u_{\Delta_{1}}}.\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}}}{\left| \overrightarrow{u_{\Delta_{1}}} ight|.\left| \overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ight|}= \left| \frac{- 2.1 + 1.( - 1) + ( - 3).( - 2)}{\sqrt{( - 2)^{2} + 1^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}} ight|

    = \left| \frac{3}{\sqrt{14}.\sqrt{6}} ight| = \frac{\sqrt{21}}{14}

    \Rightarrow \left( \Delta_{1},\Delta_{2} ight) \approx 70,9^{0}.

  • Câu 27: Vận dụng

    Tìm số phần bằng nhau

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Sáu mặt phẳng x - y = 0;\ \ y - z = 0;z - x = 0; x + y = 1;\ \ y + z = 1;\ \ z + x = 1 chia hình lập phương thành bao nhiêu phân bằng nhau?

     

  • Câu 28: Nhận biết

    Tính bán kính mặt cầu (S)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0. Bán kính của mặt cầu (S) là:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.( - 1)x - 2.0.y - 2.1z - 7 = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight. suy ra tâm mặt cầu là: I( - 1;0;1)

    Bán kính mặt cầu là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{( - 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} - 7} = 3

  • Câu 29: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1; - 1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\ \overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4).

    Mặt phẳng (P) đi qua A( - 1;3;1), nhận \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4) là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

    \ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 = 0

    (Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).

  • Câu 30: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2} và mặt phẳng (P):2x + 3y - 5z + 1 = 0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d_{1} và d_{2} có phương trình là:

    Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Khi đó, tọa độ của A, B có dạng A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)

    Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ \overrightarrow{AB} cùng phương với vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;3; - 5) của mặt phẳng (P).

    Do đó, ta có \frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}

    Suy ra s = 0 và t = −1.

    Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

    Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 31: Nhận biết

    Viết PT tham số

    Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)

     Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là \overrightarrow {AB} hay ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) = - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}

     

  • Câu 32: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (\alpha) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (\beta):2x - 4y + 4z + 3 = 0 và cách điểm A(2; - 3;4) một khoảng k = 3. Phương trình mặt phẳng (\alpha) là:

    Vì (\alpha)//(\beta) suy ra (\alpha):2x - 4y + 4z + m = 0;(m eq 3)

    Theo giả thiết ta có: d\left( A;(\alpha) ight) = k = 3

    \Leftrightarrow \frac{|32 + m|}{6} = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 14 \\ m = - 50 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy x - 2y + 2z - 25 = 0 hoặc x - 2y + 2z - 7 = 0.

  • Câu 33: Nhận biết

    Chọn phương trình mặt cầu thích hợp

    Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I( - 1;1;0)\ ?

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0, có tâm I(a;b;c), bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}.

    Vậy phương trình mặt cầu thích hợp là: x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 1 = 0.

  • Câu 34: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(\ 1;\ 0;\ 1) và N(\ 3;\ 2;\ - 1). Đường thẳng MN có phương trình tham số là

    Đường thẳng MN nhận \overrightarrow{MN} = (\ 2;\ 2;\ - 2) hoặc \overrightarrow{u}(\ 1;\ 1;\ - 1) là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ ., \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ . và \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ .

    Thay tọa độ điểm M(\ 1;\ 0;\ 1) vào phương trình ở phương án \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right.\ . ta thấy thỏa mãn.

  • Câu 35: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - 3y - z + 8 = 0. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

    Ta có:

    (P):x–3y–z + 8 = 0 nên (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 3; - 1)

  • Câu 36: Nhận biết

    Tìm bán kính của đường tròn

    Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6{m{cm}} . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4 cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

     Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu S(I;2,6 cm) theo một đường tròn (H;r) .

    Vậy r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2,6} ight)}^2} - {{\left( {2,4} ight)}^2}} = 1{m{cm}}.

  • Câu 37: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;\ 0;\ 2) và mặt phẳng(P):2x - y + 3z + 5 = 0. Mặt phẳng đi qua M và song song với (P) có phương trình là:

    Mặt phẳng cần tìm song song với (P) nên có dạng: 2x - y + 3z + d = 0

    Do mặt phẳng qua M(1;\ 0;\ 2) nên ta có 2.1 - 0 + 3.2 + d = 0 = > d = - 8

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x - y + 3z - 8 = 0.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính khoảng cách

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M( - 1;2; - 3) đến mặt phẳng (P)?

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}

  • Câu 40: Vận dụng

    PT mp cắt khối tứ diện

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight) . Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

     PT mp cắt khối tứ diện

    Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{x_C} + 3{x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 3.0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{{{y_C} + 3{y_D}}}{4} = \dfrac{{ - 1 + 3.0}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\z = \dfrac{{{z_C} + 3{z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 3.1}}{4} = \dfrac{3}{4}\end{array} ight.

    Từ đó, ta suy ra: \overrightarrow {AB} = \left( {1,0,3} ight);\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{5}{4};\frac{7}{4}} ight) = \frac{1}{4}\left( {1, - 5,7} ight)

    Như vậy, VTPT mp (P) là: \left( P ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } ight] = \left( {15, - 4, - 5} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 0} ight)15 + \left( {y - 1} ight)\left( { - 4} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( { - 5} ight) = 0

    \Leftrightarrow 15x - 4y - 5z - 1 = 0

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
12 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Kết nối tri thức
Xem thêm