Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là
Ta có: .
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là
Ta có: .
Xác định tọa độ điểm C’
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Ghi đáp án vào ô trống
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Ghi đáp án vào ô trống
Tích tất cả giá trị của
để góc tạo bởi đường thẳng
và đường thẳng
bằng
là:
Đáp án: -4||- 4
Tích tất cả giá trị của
để góc tạo bởi đường thẳng
và đường thẳng
bằng
là:
Đáp án: -4||- 4
Gọi là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
.
Ta có:
Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Ghi đáp án đúng vào ô trống
Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện
trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường
3 m và cách tường
6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ
(Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 6,20||6,2
Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện
trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường
3 m và cách tường
6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ
(Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 6,20||6,2
Tọa độ cây quạt Q là
Tọa độ các ổ cắm điện A, B, C lần lượt là:
.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc.
là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đặt . Khi đó
với
là ba số có tổng bằng 1.
Ta có:
Tương tự ta được
Do đó
Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa
Do đó
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.
Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Xét tính đúng sai của mỗi ý hỏi
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn
và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ
trong không gian có gốc
tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm
đến điểm
.

a) Đường thẳng
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ
đến
là 6 phút. Đúng||Sai
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn
và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ
trong không gian có gốc
tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm
đến điểm
.

a) Đường thẳng
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng||Sai
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ
đến
là 6 phút. Đúng||Sai
a) Ta có:
Chọn .
Khi đó, phương trình
Do đó, a đúng
b) Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu .
Tọa độ giao điểm của MN và là nghiệm của phương trình
Ta có
Điểm gặp đầu tiên là
Do đó, b sai
c)
Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1000 km nên khoảng cách
Do đó, c đúng
d)
(phút)
Do đó, d đúng
Tìm số phần tử của tập hợp các điểm M
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
,
và
là điểm thay đổi trên mặt cầu
. Tập hợp các điểm
trên mặt cầu
thỏa mãn
có bao nhiêu phần tử?
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Ta tìm điểm thỏa mãn
.
Có ,
;
.
Suy ra ,
.
Do đó
.
Ta thấy nên điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Ta có
, suy ra có một điểm
thuộc đoạn
thỏa mãn đề bài.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Khi đó giá trị biểu thức
có giá trị bằng bao nhiêu?
Gọi tọa độ điểm
Ta có:
Ta có: là hình bình hành
suy ra điểm
Khi đó .
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo
và
trùng với gốc tọa độ
. Các véc tơ
,
,
lần lượt cùng hướng với các véc tơ
,
,
và
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tọa độ của véc tơ
là
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Khi đó .
Vì là trung điểm của
nên ta có
.
Tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hình hộp
có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính diện tích các tứ giác
và
.
Hình vẽ minh họa

Ta có:
nên
.
Dễ dàng tính được
,
.
Tính được
Vậy .
Chọn mệnh đề đúng
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Nếu thì
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Mệnh đề sai vì:
Ghi đáp án vào chỗ trống
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Tìm tọa độ điểm đối xứng
Trong không gian
, cho
. Điểm đối xứng với
qua trục
có tọa độ là
Điểm đối xứng với qua trục
có tọa độ là
.
Xác định độ lớn góc giữa hai vectơ
Cho hình chóp
có
và
. Góc giữa cặp vectơ
và
là:
Ta có:
Vậy góc giữa cặp vectơ và
là
.
Chọn khẳng định đúng
Cho ba vectơ
không đồng phẳng. Xét các vectơ ![]()
![]()
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Giả sử ba vectơ đồng phẳng, khi đó
Ta có:
Khi đó:
Vậy ba vectơ đồng phẳng.
Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ đồng phẳng”.
Xét tính đúng sai của các nhận định
Trong không gian
, cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm
là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ
là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
Trong không gian
, cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm
là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ
là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ
là:
Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa

(a) Tọa độ của điểm là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(b) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: .
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(c) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn ĐÚNG.
(d) Tọa độ của vec tơ là:
.
Theo quy tắc hình hộp, ta có: .
Suy ra:
» Chọn ĐÚNG.
Tìm số thực m thỏa mãn điều kiện
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
và
. Tìm số thực
sao cho tích vô hướng
.
Ta có: .
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ
với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là
. Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá
km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ
. Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ
với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là
. Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá
km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ
. Đúng||Sai
a) Sai
Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .
b) Đúng
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là .
Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là
c) Sai
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:
Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.
d) Đúng
Vị trí của chiếc flycam là
.
Khoảng cách bay của flycam là:
Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ là
Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ .
Phân tích vectơ
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Chọn khẳng định đúng
Biết
khác
và vuông góc với cả hai vectơ
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo đề bài ta có: khác
và vuông góc với cả hai vectơ
nên
Vậy khẳng định đúng là
Chọn khẳng định đúng
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy khẳng định đúng .
Chọn đáp án đúng
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Chọn đáp án đúng?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Xác định mệnh đề sai
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: đúng với mọi điểm
nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Tìm tọa độ điểm C
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Điểm
thỏa mãn
có tọa độ là
Gọi .
Ta có ,
.
Khi đó .
Vậy .
Chọn phân tích đúng
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
.Phân tích nào sau đây là đúng?
Ta có: là trọng tâm tam giác
khi
Tìm tọa độ hình chiếu của M trên Ox
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục
.
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là
Xác định tọa độ điểm trong không gian
Trong không gian
, điểm đối xứng của điểm
qua trục
có tọa độ là
Gọi là điểm đối xứng của
qua trục
.
Hình chiếu vuông góc của lên trục
là
Khi đó là trung điểm của
. Do đó tọa độ của
là
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
đồng phẳng.
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn đẳng thức
?
Gọi
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy điểm E có tọa độ là .
Chọn phương án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho véc tơ
. Tìm tất cả giá trị của
để góc giữa
,
bằng
.
Ta có:
.
Tìm tọa độ điểm D
Trong không gian vói hệ trục tọa độ
, cho hình thang cân
có hai đáy
,
thỏa mãn
và diện tích bằng
, đỉnh
, phương trình đường thẳng chứa cạnh
là
. Tìm tọa độ điểm
biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Khi đó .
Đường thẳng có vtcp là:
.
Ta có:
.
Đường thẳng đi qua
và song song với
phương trình
là:
Theo bài ra ta có:
Với .
Với
Ta có:
Chọn khẳng định sai
Trong không gian cho tứ diện
, gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
suy ra
Xét các phương án như sau:
đồng phẳng đúng vì
không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)
đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)
đồng phẳng đúng vì
.
Tìm tọa độ điểm B
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hình hộp
với ![]()
. Tìm tọa độ điểm
.
Gọi là điểm cần tìm.
Gọi và
lần lượt là trung điểm
và
và
.
Ta có: .
Vậy .
Xác định tích vô hướng
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Xác định tích vô hướng
?
Ta có: nên
Tìm khẳng định đúng
Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Đặt
,
,
. Khẳng định nào sau đây đúng.
Ta có
.
Tìm tọa độ điểm Q
Trong hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Xét điểm
sao cho tứ giác
là một hình bình hành. Tọa độ
là
Gọi Ta có
Tứ giác là một hình bình hành
Vậy, .
Tìm điểm thuộc Oy
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc trục
?
Điểm thuộc trục Oy có dạng . Vậy điểm cần tìm là:
.
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: