VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Chọn phương án đúng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho $A(1\ ;\ 1\ ;\ 2),\ B(2\ ;\ - 1\ ;\ 1),\ C(3\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $(4\ ;\ 2\ ;\ - 4)$ .
- B.
  $(0\ ;\ - 2\ ;\ 6)$ .
- C.
  $(2\ ;\ 4\ ;\ - 2)$ .
- D.
  $(4\ ;\ 0\ ;\ - 4)$ .
Gọi tọa độ điểm $D(x\ ;\ y\ ;\ z)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AD}\ = \ (x\ - \ 1\ ;\ y\ - 1\ ;\ z\ - \ 2)$ , $\overrightarrow{BC}\ = \ (1\ ;\ 3\ ;\ - 4)$ .

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 3 \\ z - 2 = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ z = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(2\ ;\ 4\ ;\ - 2)$ .
Câu 2: Nhận biết
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0; - 3; - m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1$ ?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 3$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh bằng 1 như hình vẽ.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là
- A.
  $(1;1;0)$ .
- B.
  $(0;1;1)$ .
- C.
  $(1;0;1)$ .
- D.
  $(1;1;1)$ .
Ta có: $A(0;0;0),C(1;1;0) ightarrow \overrightarrow{AC} = (1;1;0)$
Câu 4: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có hai đỉnh $B;C$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ . Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên $(P)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác vuông.
- B.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác nhọn.
- C.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác tù.
- D.
  Tam giác $A'BC$ có góc $A'$ không bé hơn góc vuông.
Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

$\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0$ suy ra góc $\widehat{BA'C}$ là góc tù.
Câu 5: Vận dụng cao
Tìm k để các điểm đồng phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc $AB,BC,CD,DA$ sao cho $\overrightarrow{AM} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BN} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{AQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DP} =k\overrightarrow{DC}$ . Hãy xác định $k$ để $M,N,P,Q$ đồng phẳng.
- A.
  $k = \frac{1}{2}$
- B.
  $k = \frac{1}{3}$
- C.
  $k = \frac{1}{4}$
- D.
  $k = \frac{1}{5}$
Hình vẽ minh họa

Cách 1.

Ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$ .

Lại có $\overrightarrow{BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ do đó $MN//AC$ .

Vậy nếu $M,N,P,Q$ đồng phẳng thì $(MNPQ) \cap (ACD) = PQ \parallel AC$

$\Rightarrow \frac{PC}{PD} = \frac{QA}{QD} = 1$ hay $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} \Rightarrow k = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. Đặt $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c}$ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

$\overrightarrow{MN} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{MP} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{MN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Các điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists x,y:\overrightarrow{MP} = x\overrightarrow{MN} + y\overrightarrow{MQ}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = x\left( - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{c} \right) + y\left( - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} \right)$

Do các vec tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b,}\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng nên điều này tương đương với

$\left\{ \begin{matrix} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3}y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}x = k \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4},y = 1,k = \frac{1}{2}.$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}$ , $\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})$ .
- B.
  $2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{2}(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})$ .
- C.
  $2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})$ .
- D.
  $2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})$ .
Hình vẽ minh họa

+ Gọi $J,\ K$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ CD$ .

+Ta có: $2\overrightarrow{OI} =\overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{OK}$ $= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD} \right)$ $= - \frac{1}{4}(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} + \ \overrightarrow{x} +\overrightarrow{y})$
Câu 7: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm M

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;3)$ và $B(3; - 1;2)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\left( \frac{5}{3};0;\frac{7}{3} \right)$ .
- B.
  $(7; - 4;1)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{1}{2};\frac{5}{4} \right)$ .
- D.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)$ .
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;A;B$ thẳng hàng và $A;B$ nằm cùng phía so với điểm $M$ do $\frac{4MB}{MA}$ dương.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

Vậy B là trung điểm của MA.

Khi đó ta đươc tọa độ điểm $M(7; - 4;1)$ .
Câu 8: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm B’

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MN} = k.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$ ?
- A.
  $k = \frac{1}{2}$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 3$
- D.
  $k = 2$
Hình vẽ minh họa

Ta có N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$

M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} ight)$

$= \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
Câu 10: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 1;2; - 3),\ \ B(1;0;2),\ \ C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó $x + y$ bằng
- A.
  $x + y = 1$ .
- B.
  $x + y = 17$ .
- C.
  $x + y = - \frac{11}{5}$ .
- D.
  $x + y =\frac{11}{5}$ .
Có $\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5),\ \ \overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1)$ .

$A,\ B,\ C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \dfrac{3}{5} \\ y = \dfrac{8}{5} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1$ .
Câu 11: Nhận biết
Tính độ dài AB

Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(1; - 3;1),B(3;0; - 2)$ . Tính độ dài $AB$ ?
- A.
  $AB = 26$
- B.
  $AB = 22$
- C.
  $AB = \sqrt{26}$
- D.
  $AB = \sqrt{22}$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 + 3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)$

Suy ra $AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{22}$

Vậy đáp án cần tìm là $AB = \sqrt{22}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm B

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với $A( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3),C(2\ ;\ 3;\ 5),$ $B'(2\ ;\ 4\ ;\ - 1),D'(0\ ;\ 2\ ;1)$ . Tìm tọa độ điểm $B$ .
- A.
  $B(1\ ;\ - 3\ ;\ 3)$ .
- B.
  $B( - 1\ ;\ 3\ ;\ 3)$ .
- C.
  $B(1;3; - 3)$ .
- D.
  $B(1\ ;\ 3\ ;\ 3)$ .
Gọi $B(x\ ;\ y\ ;\ z)$ là điểm cần tìm.

Gọi $I$ và $I'$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $B'D'$

$\Rightarrow I(0\ ;\ 2\ ;\ 4)$ và $I'(1\ ;\ 3\ ;\ 0)$ .

$\overrightarrow{I'I} = ( - 1\ ;\ - 1\ ;\ 4);\overrightarrow{B'B} = (x - 2\ ;\ y - 4\ ;\ z + 1)$

Ta có: $\overrightarrow{B'B} = \overrightarrow{I'I} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = - 1 \\ y - 4 = - 1 \\ z + 1 = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $B(1\ ;\ 3\ ;\ 3)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính tích vô hướng của hai vectơ

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E;F$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ , các điểm $M;N$ lần lượt nằm trên $AB;DC$ sao cho $AM = MB;DN = 2NC$ . Biết biểu diễn $\overrightarrow{EF} = m.\overrightarrow{EM} + n.\overrightarrow{EN}$ . Tính tổng giá trị $m;n$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{3}{2}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{EF} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}$

$= \frac{\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}$

$= \frac{\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}$

$= \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}}{2}$

$= \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}}{2}$

$= \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} ight) +\overrightarrow{EN} + \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DE} +\overrightarrow{EN} ight)}{2}$

$= \dfrac{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EM} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EN}}{2} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{EM} +\frac{3}{4}\overrightarrow{EN}$

Suy ra $m = n = \frac{3}{4} \Rightarrow m + n = \frac{3}{2}$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;0)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 1$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương
- D.
  $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} =\overrightarrow{0}$
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0$

$\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương vì $\frac{- 1}{1} eq \frac{1}{1}$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (1;2;1)$

Vậy mệnh đề đúng là $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
Câu 15: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng

Gọi $O$ là tâm của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

Vì $O$ là trung điểm của $AC'$ suy ra $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Câu 16: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D\left( - 1;1;\frac{2}{3} ight)$
- B.
  $D(1;3;4)$
- C.
  $D(1;1;4)$
- D.
  $D( - 1; - 3; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;1;4)$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm câu sai

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng $a$ . Xác định câu sai trong các câu dưới đây?
- A.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - \frac{a^{2}}{2}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}.$
- D.
  $AB\bot CD$ hay $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên các tam giác $ABC,BCD,CDA,ABD$ là các tam giác đều.

Đáp án $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ .

Đúng vì $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$ .

Đáp án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - \frac{a^{2}}{2}$ .

Đúng vì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ $= - a.a.\cos60^{0} = \frac{- a^{2}}{2}.$

Đáp án $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}.$

Sai vì $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} =a.a.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$ ; $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} = - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD} = - a.a.\cos60^{0} = - \frac{a^{2}}{2}$

Đáp án $AB\bot CD$ hay $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0$ .

Đúng vì $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.$
Câu 18: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(5;0;1)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(3 ; 1;2)$
- B.
  $(7; - 4;1)$
- C.
  $\left( \frac{11}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3} \right)$
- D.
  $\left( \frac{2}{9};\frac{1}{9};\frac{5}{9} \right)$
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = - 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;B;A$ thẳng hàng và $A;B$ nằm khác phía so với điểm M do $- 4\frac{MB}{MA}$ âm.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = - 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{MA} = - 2\overrightarrow{MB}$ .

Gọi tọa độ $M(x;y;z)$ , khi đó

$\left\{ \begin{matrix} 1 - x = - 2(5 - x) \\ 2 - y = - 2(0 - y) \\ 3 - z = - 2(1 - z) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{11}{3} \\ y = \frac{2}{3} \\ z = \frac{5}{3} \\ \end{matrix} \right.$
Câu 19: Nhận biết
Tìm tọa độ tổng hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; - 4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $( - 2; - 10;3)$
- B.
  $( - 2; - 6;3)$
- C.
  $( - 4; - 8;4)$
- D.
  $( - 2; - 10; - 3)$
Ta có: $3\overrightarrow{v} = ( - 3; - 6;3)$ do đó $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2; - 10;3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vectơ

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u} = \left( - \sqrt{3};0;1 ight)$ là:
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $60^{0}$ .
- C.
  $150^{0}$ .
- D.
  $30^{0}$ .
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = \frac{\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{i} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{1.\left( - \sqrt{3} + 0.0 + 0.1 ight)}{1.\sqrt{\left( - \sqrt{3} ight)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = 150^{0}$
Câu 21: Nhận biết
Phân tích vectơ

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
Câu 22: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Câu 23: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;3; - 1),B(3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M\left( \frac{5}{3};\frac{13}{3};1 ight)$
- B.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- C.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- D.
  $M(4; - 3;8)$
Ta có: $\overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)$
Câu 24: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;1;0)$
- B.
  $(1;2;2)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $( - 1;0;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 25: Nhận biết
Xác định số vectơ thỏa mãn yêu cầu

Cho bốn điểm $A;B;C;D$ trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là $4$ điểm?
- A.
  $3$
- B.
  $6$
- C.
  $9$
- D.
  $12$
Lấy $A$ làm gốc ta được 3 vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ . Tương tự đối với $B;C;D$ ta được $4.3 = 12$ vectơ.
Câu 26: Thông hiểu
Tính tích vô hướng hai vectơ

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = 2a^{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'}$ nên $\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)$

$=a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}$
Câu 27: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 1$
- B.
  $U = 3$
- C.
  $U = 2$
- D.
  $U = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 28: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $M$ là trung điểm của $BB'$ . Đặt $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
- B.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

Khi đó:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ .
Câu 29: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là
- A.
  $(1; - 2; - 3)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(0;2;3)$ .
- D.
  $( - 1; - 2; - 3)$ .
Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$
Câu 30: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{d}( - 7;0; - 4)$
- B.
  $\overrightarrow{d}( - 7;0;4)$
- C.
  $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
- D.
  $\overrightarrow{d}(7;0;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)$

Vậy $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
Câu 31: Thông hiểu
Tính tọa độ điểm M

Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(4;2;1),B( - 2; - 1;4)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M(0;0;3)$
- B.
  $M(0;0; - 3)$
- C.
  $M( - 8; - 4;7)$
- D.
  $M(8;4; - 7)$
Ta có: $M(x;y;z)$ . Khi đó $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)$

Vậy giá trị cần tìm là $M(0;0;3)$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2;0; - 3)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}$ .
- A.
  $\overrightarrow{a} = (2;4; - 1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} = (2;2; - 4)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} = (0;1;-1)$
- D.
  $\overrightarrow{a} = (2;4; - 5)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} = (2;0; - 3) + 2.(0;2; - 1)$

$= (2 + 0;0 + 2.2; - 3 + 2.( - 1)) = (2;4; - 5)$
Câu 33: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Trong không gian cho hai đường thẳng $a;b$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a;b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\alpha = \left| \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- B.
  $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- C.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \sin\alpha$
- D.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
Khẳng định đúng: “Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ”.
Câu 34: Vận dụng
Xác định mối liên hệ giữa các hệ số

Cho hình chóp $S.ABC$ Lấy các điểm $A',B',C'$ lần lượt thuộc các tia $SA,SB,SC$ sao cho $SA = a.SA',\ SB = b.SB',\ SC = c.SC'$ , trong đó $a,b,c$ là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa $a,b,c$ để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ .
- A.
  $a + b + c = 3$ .
- B.
  $a + b + c = 4$ .
- C.
  $a + b + c = 2$ .
- D.
  $a + b + c = 1$ .
Nếu $a = b = c = 1$ thì $SA = SA',SB = SB',SC = SC'$ nên $(ABC) \equiv (A'B'C')$ .

Suy ra $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$

=> $a + b + c = 3$ là đáp án đúng.
Câu 35: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ , điểm $M$ trên $CC'$ sao cho $\overrightarrow{MC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{MC'}.$ Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.$ Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
- A.
  $\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}.$
- B.
  $\overrightarrow{A'M} = \frac{- 3}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'M} = - \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \frac{2}{3}\overrightarrow{c}.$
- D.
  $\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}.$
Hình vẽ minh họa

Ta có

$\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CM}$

$= \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'C'} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{AA'} +\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}$

$= \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}$
Câu 36: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(0;2;1)$
- C.
  $(2;0;1)$
- D.
  $(2;1;0)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$
Câu 37: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 2\ ;\ 4\ ;\ 1)$ và $B(4\ ;\ 5\ ;\ 2)$ . Điểm $C$ thỏa mãn $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BA}$ có tọa độ là
- A.
  $( - 6\ ;\ \ - 1\ ;\ - 1)$ .
- B.
  $( - 2\ ;\ \ - 9\ ;\ - 3)$ .
- C.
  $(6\ ;\ \ 1\ ;\ 1)$ .
- D.
  $(2\ ;\ \ 9\ ;\ 3)$ .
Gọi $C(x\ ;\ y\ ;\ z)$ .

Ta có $\overrightarrow{OC} = (x\ ;\ y\ ;\ z)$ , $\overrightarrow{BA} = ( - 6\ ;\ - 1\ ;\ - 1)$ .

Khi đó $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = - 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $C( - 6\ ;\ - \ 1\ ; - \ 1)$ .
Câu 38: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật

và $EFP$ là tam giác cân tại $P$ . Gọi $T$ là trung điểm của $DC$ . Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6$ m; $AE = 5$ m; $AD = 8$ m; $QT = 7$ m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA = 2$ m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$ , người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm $Q$ . Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

Đáp án: 16,7

Đáp án là:

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật

và $EFP$ là tam giác cân tại $P$ . Gọi $T$ là trung điểm của $DC$ . Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6$ m; $AE = 5$ m; $AD = 8$ m; $QT = 7$ m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA = 2$ m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$ , người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm $Q$ . Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

Đáp án: 16,7

Với hệ trục toạ độ đã chọn ta có $O(0;0;0)$ , $K(0;0;5)$ , $F(2;6;5)$ , $G( - 6;6;5)$ , $Q( - 6;3;7)$ .

Gọi $I$ là trung điểm của $FG$ , ta có $I( - 2;6;5)$

Do đó $OK = 5;$ $\overrightarrow{KI} = ( - 2;6;0) \Rightarrow KI = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10}$ ; $\overrightarrow{IQ} = ( - 4; - 3;2) \Rightarrow IQ = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$ .

Vậy độ dài đoạn cáp nối tối thiểu là: $OK + KI + IQ = 5 + 2\sqrt{10} + \sqrt{29} \approx 16,7\ m$ .
Câu 39: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hai điểm phân biệt $A;B$ và một điểm $O$ bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k.\overrightarrow{BA}$ .
- B.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k.\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ight)$ .
- C.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ .
- D.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .
Mệnh đề đúng: “Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ ”.
Câu 40: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện