VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Xác định tích vô hướng hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (2;1;0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$
Câu 2: Thông hiểu
Tính độ lớn lực Trái Đất tác dụng lên vật

Nếu một vật có khối lượng $m(kg)$ thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P}$ của trái đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{p} = m\ \overrightarrow{g}$ , trong đó $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn $g = 9,8\left( m/s^{2} \right)$ . Độ lớn của lực Trái Đất tác dụng lên một quả lê có khối lượng $105g$ là
- A.
  $102,9N$ .
- B.
  $1029N.$
- C.
  $1,029N$ .
- D.
  $10,29N$ .
Đổi $105g = 0,105kg$

Độ lớn của lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên quả lê là:

$\left| \overrightarrow{p} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 0,105.9,8 = 1,029N.$
Câu 3: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Câu 4: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm M

Trong không gian $Oxyz,$ điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều hai điểm $A(4;2; - 1)$ và $B(2;1;0)$ là
- A.
  $M( - 4;0;0).$
- B.
  $M(5;0;0).$
- C.
  $M(4;0;0).$
- D.
  $M( - 5;0;0).$
$M \in Ox \Rightarrow M(x;0;0).$

Ta có: $\overrightarrow{MA} = (4 - x;2; - 1),\ \ \overrightarrow{MB} = (2 - x;1;0)$

$M$ cách đều hai điểm $A,\ \ B$ khi $MA = MB$

$\Leftrightarrow \sqrt{(4 - x)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{(2 - x)^{2} + 1^{2} + 0^{2}}$

$\Leftrightarrow x = 4$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 6: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:
- A.
  $\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- B.
  $\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- C.
  $\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- D.
  $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ , điểm $B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)$ $C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)$ và

điểm $D(a\ ;\ b\ ;\ c)$ sao cho $B$ là trọng tâm tam giác $ACD$ . Khi đó $P = a + b + c$ bằng
- A.
  $1$ .
- B.
  $- 3$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $3$ .
Ta có: $P = a + b + c = 1$
Câu 8: Thông hiểu
Tính số đo góc B

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa các điểm $A( - 1; - 2;4),B( - 4; - 2;0),C(3; - 2;1)$ . Tính số đo góc $B$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = (3;0;4) \\ \overrightarrow{BC} = (7;0;1) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \cos\widehat{B} = \cos\left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|}$

$= \frac{3.7 + 0.0 + 4.1}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}}.\sqrt{7^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \widehat{B} = 45^{0}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án sai

Tính chất nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} ight)$
- D.
  $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Tính chất sai là: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm B’

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 11: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm C’

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?
- A.
  $C'(10;4;4)$
- B.
  $C'( - 13;4;4)$
- C.
  $C'(13;4;4)$
- D.
  $C'(7;4;4)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$
Câu 12: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A(1;1;1)$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ .
- A.
  $(1;1;0)$ .
- B.
  $(0;1;1)$ .
- C.
  $(1;0;1)$ .
- D.
  $(0;1;0)$ .
Vì $A(1;1;1)$ nên tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là $(1;0;1)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm đối xứng với A

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A( - 3;1;2)$ , tọa độ điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua trục $Oy$ là
- A.
  $(3; - 1; - 2)$ .
- B.
  $(3; - 1;2)$ .
- C.
  $(3;1; - 2)$ .
- D.
  $( - 3; - 1;2)$ .
Gọi $A(x;y;z),\ \ A'(x';y';z')$ là điểm đối xứng với điểm A qua trục $Oy$ .

Điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua trục $Oy$ nên $\left\{\begin{matrix} x' = - x \\y' = y \\ z'= - z \\\end{matrix} ight.$ .

Do đó $A' = (3;1; - 2)$ .
Câu 14: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là
- A.
  $(1; - 2; - 3)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(0;2;3)$ .
- D.
  $( - 1; - 2; - 3)$ .
Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$
Câu 15: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$ và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} ight) = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$

$= SA.SC.\cos\widehat{ASC} -SA.SB.\cos\widehat{ASB} = 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BC} ight) = 90^{0}$
Câu 16: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Gọi $N(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MQ} = (400;200;2)$ .

$\overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z)$ .

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M$ đến $Q$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N$ đến $Q$ nên $MQ = 4NQ$ .

Suy ra: $\overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow N(1300;750;15,5)$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm tổng x và y

Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 1\ ;\ 1\ ;\ 2)$ , $B(0\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ , $C(x + 2;y; - 2)$ thẳng hàng. Tổng $x + y$ bằng
- A.
  $\frac{7}{3}$ .
- B.
  $- \frac{8}{3}$ .
- C.
  $- \frac{2}{3}$ .
- D.
  $- \frac{1}{3}$ .
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;0; - 3)$ , $\overrightarrow{BC} = (x + 2;y - 1; - 1)$ .

Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = k \\ y - 1 = 0 \\ - 1 = - 3k \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{- 5}{3} \\ y = 1 \\ k = \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = - \dfrac{2}{3}$ .
Câu 18: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông $ABCD$ , $B(3;0;8),D( - 5; - 4;0)$ . Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight|$ bằng:
- A.
  $6\sqrt{10}$
- B.
  $10\sqrt{6}$ .
- C.
  $10\sqrt{5}$ .
- D.
  $5\sqrt{10}$ .
Ta có trung điểm BD là $I( - 1; - 2;4),BD = 12$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $A(a;b;0)$ . Lại có: ABCD là hình vuông $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB^{2} = AD^{2} \\ AI^{2} = \left( \frac{1}{2}BD ight)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{2} + b^{2} + 8^{2} = (a + 5)^{2} + (b + 4)^{2} \\ (a + 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 4^{2} = 36 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 - 2a \\ (a + 1)^{2} + (6 - 2a)^{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a = \frac{17}{5} \\b = \dfrac{- 14}{5} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}A(1;2;0)(tm) \\A\left( \dfrac{17}{5};\dfrac{- 14}{5};0 ight)(ktm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A(1;2;0) \Rightarrow C( - 3; - 6;8) \Rightarrow \overrightarrow{CA} = (4;8; - 8);\overrightarrow{CB} = (6;6;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = (10;14; - 8) \Rightarrow \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight| = 6\sqrt{10}$
Câu 21: Vận dụng

Ghi đáp án vào chỗ trống

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900(km/h)$ lên $920(km/h)$ , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900(km/h)$ và $920(km/h)$ lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ với $\overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight)$ . Tính giá trị của $k$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900(km/h)$ lên $920(km/h)$ , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900(km/h)$ và $920(km/h)$ lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ với $\overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight)$ . Tính giá trị của $k$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 22: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 1$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 0^{0} \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 1$ .

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2)$ . Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$ là
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $150^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2) \\ \overrightarrow{AC} = (1;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = (AB;AC) = 60^{0}$
Câu 24: Nhận biết
Xác định tọa độ hiệu hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1;3; - 2);\overrightarrow{v} = (2;1; - 1)$ . Vectơ $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ có tọa độ là:
- A.
  $(3;4; - 3)$
- B.
  $( - 1;2; - 3)$
- C.
  $( - 1;2 - 1)$
- D.
  $(1; - 2;1)$
Ta có: $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (1 - 2;3 - 1; - 2 + 1) = ( - 1;2; - 1)$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 1;2 - 1)$ .
Câu 25: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

a) Vì $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 2\overrightarrow{NM}$

Nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}$ .

b) Ta có:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} ight) + \left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}$

c) Ta có:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$

$= \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) + \left( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$

d) Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$
Câu 26: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm M

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;3)$ và $B(3; - 1;2)$ . Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\left( \frac{5}{3};0;\frac{7}{3} \right)$ .
- B.
  $(7; - 4;1)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{1}{2};\frac{5}{4} \right)$ .
- D.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)$ .
Từ giả thiết $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = 4\frac{MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$ nên ba điểm $M;A;B$ thẳng hàng và $A;B$ nằm cùng phía so với điểm $M$ do $\frac{4MB}{MA}$ dương.

Lại có $MA.\overrightarrow{MA} = 4MB.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow \left( MA.\overrightarrow{MA} \right)^{2} = \left( 4MB.\overrightarrow{MB} \right)^{2}$

$\Rightarrow MA^{4} = 16MB^{4} \Rightarrow MA = 2MB$ .

Vậy B là trung điểm của MA.

Khi đó ta đươc tọa độ điểm $M(7; - 4;1)$ .
Câu 27: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng: $90^{0}$ .
Câu 28: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 29: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;0;0),\ \ B(0;2;0);M(x - 1;2y - 2;7)$ . Gọi $M'$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi tứ giác $OBM'A$ là hình bình hành thì giá trị $x + y$ bằng?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $- 1$ .
$M'$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(Oxy) \Rightarrow M'(x - 1;2y - 2;0)$ .

$OBM'A$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AM'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 = x - 2 \\ 2 = 2y - 2 \\ 0 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $x + y = 4$ .
Câu 30: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $90{^\circ}$
- B.
  $60{^\circ}$
- C.
  $45{^\circ}$
- D.
  $120{^\circ}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $EG//AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45{^\circ}$
Câu 31: Vận dụng
Tìm tập hợp điểm M trong không gian

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} = \widehat{CMA} = 90^{0}$
- A.
  0.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  3.
Gọi $M(x;y;z)$

Ta có: $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} = \widehat{CMA} = 90^{0}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0 \\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CM} = 0 \\ \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AM} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + y(y - 2) + z^{2} = 0 \\ x^{2} + y(y - 2) + z(z - 2) = 0 \\ x(x - 2) + y^{2} + z(z - 2) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y - 2z = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y = 0 \\ x = z \\ y = z \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} - 4x = 0 \\ x = y = z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} M(0;0;0) \\ M\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3} ight) \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 32: Nhận biết
Xác định tọa độ trung điểm

Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ . Biết tọa độ hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3; - 1;4)$ .
- A.
  $M(2; - 4;2)$
- B.
  $M(4;2;6)$
- C.
  $M( - 2; - 1; - 3)$
- D.
  $M(2;1;3)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2;1;3)$

Vậy đáp án đúng là: $M(2;1;3)$ .
Câu 33: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức $T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = \sqrt{3}$
- C.
  $T = 1$
- D.
  $T = \sqrt{2}$
Vì các vectơ $\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD}$ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}$
Câu 34: Thông hiểu
Xác định số mệnh đề đúng

Cho các mệnh đề sau:

(I) Vectơ $\overrightarrow{x} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ luôn đồng phẳng với hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ .

(II) Nếu có $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ và ít nhất một trong ba số $m;n;p$ khác không thì ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

(III) Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng và $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ thì $m = n = p = 0$ .

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Do $\overrightarrow{x}$ được biểu thị qua hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ nên (I) đúng.

Xét mệnh đề (II): Giả sử $m eq 0$ , khi đó:

$m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = - \frac{n}{m}\overrightarrow{b} -\frac{p}{m}\overrightarrow{c}$

Suy ra ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.

Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Câu 35: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. Xét các vectơ $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b},$ $\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c},$ $\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{a}$ cùng phương.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- D.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đôi một cùng phương.
Giả sử ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng, khi đó $\overrightarrow{x} =m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}m\overrightarrow{y} = m\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b} -m\overrightarrow{c} \\overrightarrow{z} = - 3n\overrightarrow{b} - 2n\overrightarrow{c} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m\overrightarrow{y} +n\overrightarrow{z} = m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} -(m + 2n)\overrightarrow{c}$

Khi đó:

$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}= m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} - (m +2n)\overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ m + 3n = - 1 \\ m + 2n = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.

Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng”.
Câu 36: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}$
Ta có: $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

Do đó $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 2;8; - 3)$
- B.
  $D( - 4;8; - 5)$
- C.
  $D( - 2;2;5)$
- D.
  $D( - 4;8; - 3)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .
Câu 38: Nhận biết
Định tọa độ trọng tâm tam giác

Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ , biết rằng $A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)$ ?
- A.
  $G(2;1;2)$ .
- B.
  $G(6;3;6)$ .
- C.
  $G\left( 3;\frac{2}{3};3 ight)$ .
- D.
  $G(2; - 1;2)$ .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)$
Câu 39: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$ ?
- A.
  $\min T = 3$
- B.
  $\min T = 2$
- C.
  $\min T = 4$
- D.
  $\min T = 6$
Đặt $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Khi đó $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$ với $x;y;z$ là ba số có tổng bằng 1.

Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$

$\Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}$

Tương tự ta được

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$+ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)$

$- \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3$

Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 40: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ

Trong không gian $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là
- A.
  $(2;0; - 3)$ .
- B.
  $(2; - 3;0)$ .
- C.
  $(0;2; - 3)$
- D.
  $(2;0;3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{a} = (2;0; - 3)$

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 6

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 2

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 3

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 4