Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm và tích phân Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

     \begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính tích phân

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} có giá trị là:

    Cách 1:I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

    Đáp án đúng là I = 1

  • Câu 3: Vận dụng

    Tìm tập nghiệm S của phương trình

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2

    F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx} = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}

     Đặt t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx

    \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}

    = \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}

    = \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C

    F\left( 0 ight) = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow - \frac{{\ln 4}}{3} + C = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0

    Ta có:

    \begin{matrix} 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Tính giá trị của biểu thức M

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm giá trị của biểu thức

    Cho tích phân I = \int_{1}^{e}{\left( x + \frac{1}{x} \right)\ln xdx} = ae^{2} + b, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a - 3b là:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{\left( x + \frac{1}{x} ight)\ln xdx} = \int_{1}^{e}{x\ln xdx} + \int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx}, với t = \ln x

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{\frac{x}{2}dx} + \int_{0}^{1}{dt} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{5}{4}

    \Rightarrow a = \frac{1}{4},b = \frac{5}{4} \Rightarrow 2a - 3b = - \frac{13}{4}.

    Đáp án đúng là -\frac{13}{4}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) = 6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} + C

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Xét \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ là: S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 9: Vận dụng

    Tính số tiền để mua vật dụng trang trí

    Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4 cm. Biết giá trang trí hoa văn 1cm^{2} là 50.000 đồng, tính số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.

    Description: 28907191_574491819585491_67127502_n

    Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 5 là:

    S = \int_{0}^{5}\left( - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x \right)dx = \frac{40}{3}.

    Tổng diện tích phần bị khoét đi: S_{1} = 4S = \frac{160}{3} cm^{2}.

    Diện tích của hình vuông là: S_{hv} = 100\ cm^{2}.

    diện tích bề mặt hoa văn là: S_{2} = S_{hv} - S_{1} = 100 - \frac{160}{3} = \frac{140}{3}\ cm^{2}.

    Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: \frac{140}{3}.50000 \approx 2333333 đồng

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính tổng a và b

    Biết rằng: \int_{}^{}{e^{2x}.\cos3x.dx =e^{2x}(a\cos3x + b\sin3x) + c}, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là

    Ta có:

    Đặt \left\{ \begin{matrix} e^{2x}dx = dv \\ cos3x = u \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} v = \frac{e^{2x}}{2} \\ - 3sin3xdx = du \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{}^{}{udv = uv - \int_{}^{}{vdu}}

    = \frac{e^{2x}}{2}.cos3x - \int_{}^{}{\frac{- e^{2x}}{2}.3sin3xdx}

    = \frac{e^{2x}}{2}.cos3x + \frac{3}{2}\int_{}^{}{e^{2x}.sin3xdx}

    Đặt sin3x = u_{1} \Rightarrow 3cos3xdx = du_{1}

    \int_{}^{}{e^{2x}.sin3xdx = \int_{}^{}{u_{1}dv = u_{1}v - \int_{}^{}{vdu_{1}}}}

    = \frac{e^{2x}}{2}.sin3x - \int_{}^{}{\frac{e^{2x}}{2}.3.cos3xdx = \frac{e^{2x}}{2}.sin3x - \frac{3}{2}.I}
    \Rightarrow I = \frac{e^{2x}.cos3x}{2} + \frac{3}{2}.\left( \frac{e^{2x}.sin3x}{2} - \frac{3}{2}I ight)

    \Leftrightarrow \frac{13}{4}I = e^{2x}\left( \frac{cos3x}{2} + \frac{3}{4}.sin3x ight)

    \Rightarrow I = e^{2x}\left( \frac{2cos3x}{13} + \frac{3}{13}.sin3x ight)

    \Rightarrow a + b = \frac{2}{13} + \frac{3}{13} = \frac{5}{13}.

  • Câu 11: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3}. Giá trị của a là:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = a\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2} + 3x + 2}dx + \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx.

    Xét I_{1} = a\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2} + 3x + 2}dx = a\int_{1}^{2}\left( \frac{2}{x + 2} - \frac{1}{x + 1} ight)dx

    = a\left. \ \left( 2ln|x + 2| - \ln|x + 1| ight) ight|_{1}^{2}

    = a(2ln4 - 3ln3 + ln2) = 2a\ln\frac{4}{3} + a\ln\frac{2}{3}

    Xét I_{2} = \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \left. \ \left( \ln|x + 1| - \ln|x + 2| ight) ight|_{1}^{2} = - \ln\frac{4}{3} - \ln\frac{2}{3}.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2}^{\ }\ = (2a - 1)\ln\frac{4}{3} + (a - 1)\ln\frac{2}{3}

    Theo đề bài: I = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{4}{5}.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt.

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s).

    Ta có v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt = \int_{}^{}(2t - 7)dt = t^{2} - 7t + C.

    v(0) = 6 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow v(t) = t^{2} - 7t + 6.

    Vậy v(7) = 7^{2} - 7.7 + 6 = 6\ \ (m/s).

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m.

    Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7là

    S = \int_{1}^{7}{v(t)}dt = \int_{1}^{7}\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt= \left. \ \left(\frac{t^{3}}{3} - \frac{7t^{2}}{2} + 6t ight) ight|_{1}^{7} = - 18.

    d) [VD] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s).

    Vị trí của chất điểm so với vị trí ban đầu tại thời điểm t là

    s(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} =\int_{}^{}{\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt}= \frac{t^{3}}{3} -\frac{7t^{2}}{2} + 6t + C

    Ta cần tìm giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack.

    Do s'(t) = v(t) nên s'(t) = 0 \Leftrightarrow v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 6 \\ \end{matrix} ight..

    Lại có s(0) = C, s(1) = \frac{17}{6} + C, s(6) = - 18 + C, s(8) = - \frac{16}{3} + C.

    Vậy giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack đạt được khi t = 1.

  • Câu 13: Nhận biết

    Tính nguyên hàm

    Tính \int_{}^{}{\sin3xdx}?

    Áp dụng công thức \int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C

    Suy ra \int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức S

    Cho biết \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2} ight)dx} = aln5 + bln2 + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = |a| + |b| + |c|?

    Xét trên đoạn \lbrack 1;2brack ta có:

    \ln\left( 9 - x^{2} ight) = \ln(3 - x) + \ln(3 + x)

    Xét I_{1} = \int_{1}^{2}{\ln(3 - x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 - x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x - 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x - 3}dx}

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 - x) ightbrackight|_{1}^{2} = 2\ln2 - 1

    Xét I_{2} = \int_{1}^{2}{\ln(3 + x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 + x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x + 3}dx}

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 + x) ightbrackight|_{1}^{2} = 5\ln5 - 8\ln2 - 1

    Vậy \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2}ight)dx} = I_{1} + I_{2} = 5\ln5 - 6\ln2 - 2 \Rightarrow S =13.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính thời điểm chất điểm ở xa nhất

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\left( m/s^{2} ight). Biết vận tốc đầu bằng 10(m/s). Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?

    Ta có:

    Vận tốc của vật được tính theo công thức: v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)

    Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7}{2}t^{2} + 10t

    Ta có: S'(t) = t^{2} - 7t + 10 \Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}

    Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định hàm số

    Biết rằng hàm số y = f(x) có f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1 và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 5. Hàm số f(x) là:

    Theo lí thuyết \int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C

    Khi đó f(x) có dạng f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}

    Theo đề ta có: \left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số là f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm giá trị của tham số a

    Cho I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{cos2x}{1 + 2sin2x}dx} = \frac{1}{4}ln3. Tìm giá trị của a là

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{\cos2x}{1 + 2\sin2x}dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{\cos2xd2x}{1 + 2\sin2x} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(\sin2x)}{1 + 2sin2x}

    = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(2\sin2x + 1)}{1 + 2\sin2x} =\left. \ \frac{1}{4}\ln|2 + \sin2x + 1| ight|_{0}^{\frac{\pi}{a}}

    = \frac{1}{4}\ln\left| 2\sin\frac{2\pi}{a} + 1 ight| = \dfrac{1}{4}ln3.

    Suy ra: \left| 2sin\frac{2\pi}{a} + 1 ight| = 3.

    Trong các đáp án \Rightarrow a = 4.

  • Câu 18: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} + 4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx} .

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y^{2} = 4x và y = x (với 0 \leq x \leq 4) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

    Cho (H) quay quanh trục Ox, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?

    Ta có: y^{2} = 4x \Rightarrow y = 2\sqrt{x};(y \geq 0)

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là

    V = \pi\int_{0}^{4}{\left( 2\sqrt{x} ight)^{2}dx} - \pi\int_{0}^{4}{x^{2}dx}

    = \left. \ 2\pi x^{2} ight|_{0}^{4} - \frac{\pi}{3}.\left. \ x^{3} ight|_{0}^{4} = \frac{32\pi}{3}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức T

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1 và x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):y = 3x^{4} - 4x^{2} + 5, trục hoành, x = 1 và x = 2 là:

    Ta có: 3x^{4} - 4x^{2} + 5 > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    S = \int_{1}^{2}{\left( 3x^{4} - 4x^{2} + 5 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{3}{5}x^{5} - \frac{4}{3}x^{3} + 5x ight) ight|_{1}^{2} = \frac{214}{15}

  • Câu 23: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 1?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}

    = \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C

  • Câu 24: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)}dx = 5. Tính I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left\lbrack f(x) + 2sinx \right\rbrack dx.

    Ta có

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left\lbrack f(x) + 2sinx ightbrack dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)}dx + 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin x}dx

    = \left. \ 5 - 2cosxight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 7

  • Câu 25: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f'(x) thỏa mãn f(2) = - \frac{1}{25} và f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} với mọi x\mathbb{\in R}. Giá trị của f(1) bằng?

    Ta có:

    f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}

    \Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}

    Theo bài ra ta có: f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm thể tích V của vật thể

    Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 \leq x \leq 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và x^{2}.

    Ta có diện tích thiết diện: S(x) = 3x.x^{2} = 3x^{3}.

    Khi đó V = \int_{1}^{3}{3x^{3}dx} = \frac{3}{4}x^{4}\left| \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right.\ = 60.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với A( - 1;2), B(5;5), C(5;0), D( - 1;0). Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình đường thẳng AB là:

    \frac{x + 1}{5 + 1} = \frac{y - 2}{5 - 2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}

    Thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{- 1}^{5}{f^{2}(x)dx} = \pi\int_{- 1}^{5}{\left( \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} ight)^{2}dx} = 78\pi

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Câu nào sau đây sai?

    Câu sai cần tìm là: Nếu F'(t) = f(t) thì F^{/}\left( u(x) \right) = f\left( u(x) \right).

  • Câu 29: Nhận biết

    Tìm kết luận đúng

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) - F(1) bằng:

    Theo định nghĩa tích phân ta có:

    \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) suy ra F(0) - F(1) = - \int_{0}^{1}{f(x)dx}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{dx}{\sin x} = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{1 - cos^{2}x} = \int_{}^{}\frac{- \sin x.dx}{cos^{2}x - 1}}}

    = \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x\right)}{cos^{2}x - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{\cos x - 1}{\cos x +1} \right| + C}

  • Câu 31: Vận dụng

    Tính thể tích quả bóng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2} ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

    \Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 32: Nhận biết

    Chọn công thức thích hợp

    Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x = a;x = b;a < b, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;(a \leq x \leq b) là S(x).

    Thể tích của vật thể đã cho là: V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}.

  • Câu 33: Nhận biết

    Xác định họ nguyên hàm

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính giá trị của c

    Giả sử \int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln c. Giá trị của c là

    Ta có: \int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = ln3

  • Câu 35: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \lbrack a;b\rbrack nếu:

    Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \lbrack a;b\rbrack nếu với mọi x \in (a;b), ta có F^{/}(x) = f(x), ngoài ra F^{/}\left( a^{+} \right) = f(a) và F^{/}\left( b^{-} \right) = f(b).

  • Câu 36: Vận dụng

    Tính quãng đường ôtô di chuyển được

    Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 38t + 19 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi ô tô dừng lại hẳn

    \Rightarrow v = 0 \Leftrightarrow 19 - 38t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}

    s = \int_{}^{}{(19 - 38t)dt} \Rightarrow s = 19t - 19t^{2}

    t = \frac{1}{2} \Rightarrow s = 19.\frac{1}{2} - 19.\left( \frac{1}{2} ight)^{2} = 4,75(m)

  • Câu 37: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm của f(x) = \frac{x}{sin^{2}x} là :

    Ta có: I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó: I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tính thời gian bơm nước theo yêu cầu

    Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là 280cm. Giả sử h(t)là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là h'(t) = \frac{1}{500}\sqrt[3]{t} và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì bơm được số nước bằng \frac{3}{4} độ sâu của hồ bơi?

    Gọi x là thời điểm bơm được số nước bằng \frac{3}{4} độ sâu của bể (x tính bằng giây).

    Ta có: \int_{0}^{x}{\frac{1}{500}\sqrt[3]{t}dt} = \frac{3}{4}.280\left. \ \Rightarrow \frac{3}{4}t^{\frac{4}{3}} \right|_{0}^{x} = 105000

    \Rightarrow x\sqrt[3]{x} = 140000

    \Rightarrow \sqrt[3]{x^{4}} = 140000 \Rightarrow x \approx 7237,6242 giây

    Vậy sau 7237,6242 giây thì bơm được số nước bằng \frac{3}{4} độ sâu của hồ bơi.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox?

    Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
20 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Kết nối tri thức
Xem thêm