Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm và tích phân Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức T

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 2017;f\left( 2 ight) = 2018. Giá trị của biểu thức T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] là bao nhiêu?

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx} \hfill \\ = \ln \left| {x - 1} ight| + C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > 1}}} \\ {\ln \left( {1 - x} ight) + {C_2}{\text{ khi x < 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 2017 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 2017} \\ {f\left( 2 ight) = 2018 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 2017} \\ {{C_1} = 2018} \end{array}} ight.

    Khi đó

    \begin{matrix} T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] \hfill \\ = \left[ {\ln \left( {3 - 1} ight) + 2018 - 2018} ight].\left[ {\ln \left( {1 - \left( { - 1} ight)} ight) + 2017 - 2017} ight] \hfill \\ = \ln 2.\ln 2 = {\ln ^2}2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi.

  • Câu 4: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó:

    Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó G(x) = F(x) - C trên khoảng (a;b), với C là hằng số.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi quay xung quanh Ox.

    Thể tích vật thể bằng:

    V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{\left( \ln x \right)^{2}} - \frac{1}{\ln x} là

    Ta có f(x) = \frac{1}{\left( \ln x ight)^{2}} - \frac{1}{\ln x} = \frac{1 - \ln x}{\left( \ln x ight)^{2}}

    = \frac{( - x)'.\ln x - ( - x).\left( \ln x ight)'}{\left( \ln x ight)^{2}} = \left( \frac{- x}{\ln x} ight)'

    \Rightarrow \int_{}^{}{f(x)dx = \frac{- x}{\ln x} + C}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính tích phân I

    Xác định tích phân I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 8: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm F(x)của f(x) = 3x^{2} + 1 thỏa F(1) = 0 là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = x^{3} + x + C = F(x)mà F(1) = 0 khi đó:

    1^{3} + 1 + C = 0 \Rightarrow C = - 2

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = x^{3} + x - 2

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính thể tích phần không gian theo yêu cầu

    Dựng một lều trại có dạng parabol, với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Tính thể tích phần không gian phía bên trong trại để số lượng người tham dự trại phù hợp?

    Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I.

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B và I, phương trình của parabol có dạng y = ax^{2} + b,\ \ a \neq 0.

    Do I, A, B thuộc nên ta có y = - \frac{4}{3}x^{2} + 3.

    Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là V = 6.2\int_{0}^{\frac{3}{2}}{( - \frac{4}{3}}x^{2} + 3)dx = 36.

  • Câu 10: Vận dụng

    Xác định họ các nguyên hàm thỏa mãn điều kiện

    Họ các nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} trên khoảng \left( { - 1; + \infty } ight)

     f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight]dx} = 2\ln \left| {x + 1} ight| + \frac{3}{{x + 1}} + C

  • Câu 11: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định kết luận đúng

    Cho biết I = \int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} = \frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức m - 7n bằng:

    Đặt u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}. Khi đó x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx = 3u^{2}du

    Đổi cận

    I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1 ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} - u ight)du}= \left. \ \frac{3}{2}\left( \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{141}{20}. Suy ra m = 141;n = 20. Do đó m - 7n = 1.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số g(x) có đạo hàm trên đoạn \lbrack - 1;1brack. Có g( - 1) = 3 và tích phân I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2. Tính g(1).

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{1}{g'(x)dx} = - 2 \Leftrightarrow g(1) - g( - 1) = - 2

    \Rightarrow g(1) = - 2 + g( - 1) = - 2 + 3 = 1

  • Câu 15: Nhận biết

    Chọn khẳng định sai

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.

    Khẳng định sai cần tìm là: F(x) = \sqrt{x} là một nguyên hàm của f(x) = 2\sqrt{x}.

  • Câu 16: Vận dụng

    Tính quãng đường S của viên đạn

    Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất.

    Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường đi được là v^{2} - {v_{0}}^{2} = 2as

    \Rightarrow s = \frac{v^{2} - {v_{0}}^{2}}{2a} = \frac{0 - 29,4^{2}}{- 2.9,8} = 44,1(m)

    Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là s = 44,1.2 = 88,2(m)

  • Câu 17: Nhận biết

    Chọn mệnh đề sai

    Giả sử f(x) là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Dựa vào tính chất của tích phân với f(x) là một số bất kì liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta) ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 18: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) (đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi S'(t) = 1,2698e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) tính bằng triệu người / năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t).Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7.Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người / năm) khoảng 1,7triệu người /năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoẳng 120triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) (đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi S'(t) = 1,2698e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) tính bằng triệu người / năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t).Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7.Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người / năm) khoảng 1,7triệu người /năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoẳng 120triệu người. Đúng||Sai

    Ta có S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)dt =}\int_{}^{}{1,2698e^{0,014t}dt} = 1,2698\int_{}^{}\left( e^{0,014t} \right)^{t}dt

    = \frac{1,2698e^{0,014t}}{0,014} = 90,7e^{0,014t} + C.

    Vì S(0) = 90,7 nên C = 0. Suy ra S(t) = 90,7e^{0,014t}.

    Tốc độ tăng dân số ở nước ta năm 2034 là:

    S'(20) = 1,2698e^{0,014.20} \approx 1,7 (triệu người/năm).

    Dân số nước ta năm 2034 là: S(20) = 90,7e^{0,014.20} \approx 120 (triệu người).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm giá trị của biểu thức I

    Tích phân I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx.

    Đặt u = x + \sqrt{x^{2} + 4} \Rightarrow du = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}dx \Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 4}}.

    I = \frac{a}{\sqrt{3}}\int_{2}^{1 +\sqrt{5}}{\frac{1}{u}du}= \left. \ \frac{a}{\sqrt{3}}\left( \ln uight) ight|_{2}^{1 + \sqrt{5}}= \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1+ \sqrt{5}}{2} ight|.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Tính quãng đường s của vật di chuyển được

    Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4.

    Khi t = 1 thì v(1) = - \frac{5}{4} + 5 + 4 = \frac{31}{4}(km/h)

    Vậy v(t) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4;\ \ \ 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{31}{4};\ \ \ 1 < \ t \leq 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

    s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4 ight)dt} + \frac{31}{4}.2

    = \frac{73}{12} + \frac{31}{2} = \frac{259}{12} \approx 21,58(km/h)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định giá trị tham số k

    Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 5. Đường thẳng x = k;1 < k < 5 chia (H) thành hai phần có diện tích S_{1} và S_{2} (hình vẽ bên).

    Tính giá trị k để S_{1} = 2S_{2}?

    Ta có: \frac{1}{x} > 0;x > 1 do đó ta được:

    S_{1} = \int_{1}^{k}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{1}^{k} = \ln k

    S_{2} = \int_{k}^{5}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{k}^{5} = ln5 - \ln k

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = 2S_{2}

    \Leftrightarrow \ln k = 2\left( ln5 - \ln k ight) \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{25}.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Biết \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right)} = a\ln\frac{b}{c}, với a, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.

    Ta có:

    I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}

    Ta có:

    I = \frac{\sin\left\lbrack \left( x + \frac{\pi}{6} ight) - x ightbrack}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight).cosx - \cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).sinx}{\sin\frac{\pi}{6}}

    \Rightarrow \frac{1}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)} = \frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}.\left( \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}{\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)} ight)

    I = 2\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\cos x}{\sin x}dx} - 2\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}{\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}dx

    = 2.ln\left( \frac{\sqrt{3}}{2} ight) - 2ln\frac{1}{2} - 2ln1 + 2ln\frac{\sqrt{3}}{2}

    = 4ln\left( \frac{\sqrt{3}}{2} ight) - 2ln2 = 2ln\frac{3}{4} + 2ln2 = 2ln\frac{3}{2}

    \Rightarrow S = 2 + 3 + 2 = 7

  • Câu 23: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox : y = 2x - x^{2},\ y = 0,\ x = 0,\ x = 2.

    Thể tích khối tròn xoay V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} \right)^{2}dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 24: Vận dụng

    Tính diện tích nhỏ nhất

    Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

    x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0

    Vì \Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R} nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

    x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2} với x_{1} < x_{2}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight..

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

    S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}

    = \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|

    = \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}

    Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là \frac{4}{3}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 quay quanh trục hoành?

    Xét (E) có a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ ( - 2;0),(2;0)

    Vì \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

    Do đó thể tích khối tròn xoay là V_{Ox} = \pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Cho tích phân I_{1} = \int_{a}^{b}{f(x)dx} = m và I_{2} = \int_{c}^{a}{f(x)dx} = n. Tích phân I = \int_{c}^{b}{f(x)}dx có giá trị là:

    Quy tắc “nối đuôi” cho ta:

    I = \int_{c}^{b}{f(x)}dx = \int_{a}^{b}{f(x)}dx + \int_{c}^{a}{f(x)}dx = m + n.

    Đáp án đúng là m + n.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính tích phân

    Tính tích phân A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \dfrac{\pi}{3}ight)}dx} bằng

    Ta có:

    A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \frac{\pi}{3}ight)}dx} = \left. \ \tan\left( x - \frac{\pi}{3} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}}

    = \tan\frac{\pi}{6} - \tan\left( - \frac{\pi}{3} ight) = \frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tính tích phân I

    Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x.\sin xdx}

    Có hai cách để giải bài toán:

    Cách 1: Thử bằng máy tính

    Cách 2: Tích phân thành phần: \left\{ \begin{matrix} \sin xdx = dv \\ x = u \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt.

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s).

    Ta có v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt = \int_{}^{}(2t - 7)dt = t^{2} - 7t + C.

    v(0) = 6 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow v(t) = t^{2} - 7t + 6.

    Vậy v(7) = 7^{2} - 7.7 + 6 = 6\ \ (m/s).

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m.

    Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7là

    S = \int_{1}^{7}{v(t)}dt = \int_{1}^{7}\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt= \left. \ \left(\frac{t^{3}}{3} - \frac{7t^{2}}{2} + 6t ight) ight|_{1}^{7} = - 18.

    d) [VD] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s).

    Vị trí của chất điểm so với vị trí ban đầu tại thời điểm t là

    s(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} =\int_{}^{}{\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt}= \frac{t^{3}}{3} -\frac{7t^{2}}{2} + 6t + C

    Ta cần tìm giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack.

    Do s'(t) = v(t) nên s'(t) = 0 \Leftrightarrow v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 6 \\ \end{matrix} ight..

    Lại có s(0) = C, s(1) = \frac{17}{6} + C, s(6) = - 18 + C, s(8) = - \frac{16}{3} + C.

    Vậy giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack đạt được khi t = 1.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\cos ^2}x

     f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Tìm khoảng chứa tham số a

    Cho đường thẳng y = \frac{1}{2}x +a và parabol y = x^{2} (a là tham số thực). Gọi S_{1};S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì A thuộc khoảng nào dưới đây?

    Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:

    \frac{1}{2}x + a = x^{2} \Leftrightarrow2x^{2} - x - 2a = 0

    Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt

    \Delta = 1 + 16a > 0 \Rightarrow a> - \frac{1}{16}

    Khi đó, phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2};\left( x_{1} < x_{2}ight) thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} \\P = x_{1}.x_{2} = - a \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng:

    S_{1} = \int_{- 2a}^{x_{1}}{\left(\frac{x}{2} + a ight)dx} + \int_{x_{1}}^{0}{x^{2}dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{4} + axight) ight|_{- 2a}^{x_{1}} + \left. \ \frac{x^{3}}{3}ight|_{x_{1}}^{0}

    = \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} -\frac{1}{4}.4a^{2} + 2a^{2} - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3}

    = - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3} +\frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2}

    Diện tích hình phẳng:

    S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{1}{2}x + a - x^{2} ight)dx} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    Theo giả thiết ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow = -\frac{1}{3}{x_{1}}^{3} + \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2} =\frac{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}\left({x_{1}}^{2} - 4a^{2} ight) + a\left( x_{1} + 2a ight) -\frac{{x_{1}}^{3}}{3} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} ight) + \frac{1}{2}x_{1}x_{2}\left( x_{2} -x_{1} ight) + \frac{{x_{1}}^{2}}{4} + ax_{1} + a^{2} = 0

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8} + \frac{3a}{2} ight) - \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{4} + 4a}+ \frac{\left( 1 + \sqrt{1 + 16a} ight)^{2}}{64} + a.\frac{1 - \sqrt{1+ 16a}}{4} + a^{2} = 0

    \Rightarrow a \approx 3,684 \in \left(\frac{7}{2};4 ight)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\} thỏa mãn 2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1 và f(1) =0. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: 2xf(x) + x^{2}f'(x) =1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C

    Lại có f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1

    Từ đó suy ra x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)

    Ta có: f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1

    Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Chọn đáp án chính xác

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}

    = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}

    = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C

    Suy ra a = 5;b = - 3 suy ra a - b = 8.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 3 - 5\sin x và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(3 - 5\sin x)dx = 3x + 5\cos x + C}}

    Do f(0) = 10 nên 3.0 + 5cos0 + C = 10 \Leftrightarrow C = 5.

    Vậy f(x) = 3x + 5\cos x + 5.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e là S = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = x(1 - x) và y = x^{3} - x có diện tích bằng \frac{a}{b} là phân số tối giản. Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có: x(1 - x) = x^{3} - x

    \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = x(1 - x) và y = x^{3} - x.

    Khi đó S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x \right|dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x \right|dx} + \int_{0}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x \right|dx}

    = \left| \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x \right)dx} \right| + \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x \right)dx} \right|

    = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12} (đvdt).

  • Câu 37: Vận dụng

    Tính số tiền thu được

    Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28\ cm, trục nhỏ 25\ cm. Biết cứ 1000\ cm^{3} dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.

    Đường elip có trục lớn 28\ cm, trục nhỏ 25\ cm có phương trình:

    \frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{\left( \frac{25}{2} \right)^{2}} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = \left( \frac{25}{2} \right)^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} \right)

    \Leftrightarrow y = \pm \frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}}.

    Do đó thể tích quả dưa là

    V = \pi\int_{- 14}^{14}{\left(\frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}} \right)^{2}dx}= \pi\left(\frac{25}{2} \right)^{2}\int_{- 14}^{14}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}\right)^{2}dx}

    = \pi\left( \frac{25}{2}\right)^{2}.\left. \ \left( x - \frac{x^{3}}{3.14^{2}} \right)\right|_{- 14}^{14}= \pi\left( \frac{25}{2} \right)^{2}.\frac{56}{3} =\frac{8750\pi}{3}\ cm^{3}.

    Do đó tiền bán nước thu được là \frac{8750\pi.20000}{3.1000} \approx 183259đồng.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 39: Vận dụng

    Xác định nguyên hàm I

    Nguyên hàm của I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx là:

    Ta đặt:

    \left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right..

    \Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}.

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.

    \Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}.

    \Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C.

  • Câu 40: Nhận biết

    Chọn đáp án chính xác

    Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 12t + 24(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)

    Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

    S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
52 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này