Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm và tích phân Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Xác định một nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}

    = \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}

    = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C

    Vậy một nguyên hàm của hàm số là F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 3: Vận dụng

    Tính quãng đường ôtô di chuyển được

    Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 38t + 19 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi ô tô dừng lại hẳn

    \Rightarrow v = 0 \Leftrightarrow 19 - 38t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}

    s = \int_{}^{}{(19 - 38t)dt} \Rightarrow s = 19t - 19t^{2}

    t = \frac{1}{2} \Rightarrow s = 19.\frac{1}{2} - 19.\left( \frac{1}{2} ight)^{2} = 4,75(m)

  • Câu 4: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = x^{2} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

    \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}

    Suy ra f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

    \int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{\left( \ln x \right)^{2}} - \frac{1}{\ln x} là

    Ta có f(x) = \frac{1}{\left( \ln x ight)^{2}} - \frac{1}{\ln x} = \frac{1 - \ln x}{\left( \ln x ight)^{2}}

    = \frac{( - x)'.\ln x - ( - x).\left( \ln x ight)'}{\left( \ln x ight)^{2}} = \left( \frac{- x}{\ln x} ight)'

    \Rightarrow \int_{}^{}{f(x)dx = \frac{- x}{\ln x} + C}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm khẳng định sai

    Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và số k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Khẳng định sai là: \int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 7: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Công thức tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x), y = g(x), x = a, x = b, (a < b)

    Đáp án đúng: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 8: Vận dụng

    Tính thể tích nước

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), với f(x) = 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x}, biết F(0) = 2. Tính F\left( \frac{\pi}{3} \right).

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x} \right)dx}

    = 3\int_{}^{}{\sin xdx} + 4\int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}

    = - 3cosx + 4tanx + C.

    Do đó F(x) = - 3cosx + 4tanx + C.

    F(0) = 2 \Leftrightarrow - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5.

    Suy ra F(x) = - 3cosx + 4tanx + 5.

    Vậy F\left( \frac{\pi}{3} \right) = - 3cos\frac{\pi}{3} + 4tan\frac{\pi}{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt{3}.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Tính giá trị thể tích nhỏ nhất

    Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục Ox;Oy lần lượt tại A;B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là V. Giá trị nhỏ nhất của V bằng

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)

    Mà M(1; 1) ∈ d nên \frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)

    Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = -\frac{b}{a}; theo giả thiết ta có -\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0

    Nếu a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0 mẫu thuẫn với (2) suy ra a> 0;b > 0

    Mặt khác từ (2) suy ra b = \frac{a}{a -1} kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.

    Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy r = a

    Thể tích khối nón là V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}

    Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi \frac{a^{3}}{a - 1} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Xét hàm số f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty)

    f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}

    f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng \frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính thời gian đi đến trường

    Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 40t + 100(m/p). Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120m. Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3km. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?

    Ta có: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C

    Vì S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0

    Để học sinh đó đến trường thì S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10

    Vậy đáp án cần tìm là 10 phút.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt{x^{2} + 1};x = 1 và trục hoành?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Khi đó diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán là:

    S = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\sqrt{x^{2} + 1}d\left( x^{2} + 1 ight)}

    = \frac{1}{2}\left. \ \left( x^{2} + 1 ight)^{\frac{3}{2}} ight|_{0}^{1} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi y = \ln x,y = 0,x = e là V = \pi(a + be). Tính a + b?

    Phương trình hoành độ giao điểm \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Ta có:

    V =\pi\int_{1}^{e}{\ln^{2}xdx}

    = \pi\left\lbrack \left. \ \left(x\ln^{2}x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{x.\frac{2}{x}.\ln xdx}ightbrack

    = \pi\left\lbrack e - 2\int_{1}^{e}{\ln xdx} ightbrack

    = \pi\left\{ e - 2.\left\lbrack \left. \ \left( x\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{dx} ightbrack ight\}

    = \pi\left\{ e - 2.\lbrack e - e + 1brack ight\} = \pi(e - 2)

    Vậy a = - 2;b = 1 \Rightarrow a + b = - 1

  • Câu 15: Vận dụng

    Tính giới hạn của tích phân

    Giá trị của \lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx} bằng

    Giải toán bằng hai cách như sau:

    Cách 1: Thử bằng máy tính

    Lấy giá trị n càng lớn càng tốt. Giả sử n = 100.

    Nhập biểu thức \int_{100}^{101}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx}

    Máy tính cho kết quả \approx 2.35 \times 10^{- 44} \approx 0.

    Cách 2: Giải chi tiết

    I = \int_{n}^{n + 1}{\left( \frac{1}{1 + e^{x}} ight)dx} = \int_{n}^{n + 1}{1dx} - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}

    = 1 - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}

    \Leftrightarrow I = 1 - \int_{n}^{n + 1}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{1 + e^{x}} = 1 - \left. \ \ln\left| 1 + e^{x} ight| ight|_{n}^{n + 1}

    \Leftrightarrow I = 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|

    Ta luôn có \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n} = 1

    \lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left\lbrack 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left( 1 + e^{n + 1} ight) ightbrack

    = 1 + \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n}.n - \frac{\ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|}{n + 1}.(n + 1)

    = 1 + n - (n + 1) = 0

  • Câu 16: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm của f(x) = \frac{x}{sin^{2}x} là :

    Ta có: I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó: I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C

  • Câu 17: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm quãng đường chuyển động

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0 \Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính quãng đường đi được của chất điểm

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v_{0} = 16(m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t^{2} + 3t\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 4s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

    Ta có: v(t) = a(t) = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 3t ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3t^{2}}{2} + C.

    Khi đó v_{0} = v(0) = C = 16 \Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3t^{2}}{2} + 16

    Khi đó quãng đường đi được bằng:

    S(t) = \int_{0}^{4}{v(t)dt} = \int_{0}^{4}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{3t^{2}}{2} + 16 ight)dt}

    = \left. \ \left( \frac{t^{4}}{12} + \frac{t^{3}}{2} + 16t ight) ight|_{0}^{4} = \frac{352}{2}(m)

  • Câu 20: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx}.

    Đặt u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx;

    e^{- x}dx = dv \Rightarrow v = - e^{- x}

    Lúc này ta có

    \int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx = - (2x - 1).e^{- x} + \int_{}^{}{2e^{- x}dx}}

    = - (2x - 1).e^{- x} - 2e^{- x} + C = - (2x + 1)e^{- x} + C

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Ta biến đổi: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{cos^{2}x\left( 9 - tan^{2}x ight)}dx}.

    Nhận thấy:\left( \tan x ight)' = \frac{1}{cos^{2}x}. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^{2}x}dx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{9 - t^{2}}dt} = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{3 - t} + \frac{1}{3 + t} ight)dt}

    = \left. \ \left( \frac{1}{6}\ln\left| \frac{3 + t}{3 - t} ight| ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{6}ln2.

    Đáp án đúng là I = \frac{1}{6}\ln 2.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Biết \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right)} = a\ln\frac{b}{c}, với a, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.

    Ta có:

    I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}

    Ta có:

    I = \frac{\sin\left\lbrack \left( x + \frac{\pi}{6} ight) - x ightbrack}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight).cosx - \cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).sinx}{\sin\frac{\pi}{6}}

    \Rightarrow \frac{1}{\sin x.sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)} = \frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}.\left( \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}{\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)} ight)

    I = 2\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\cos x}{\sin x}dx} - 2\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}{\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight)}dx

    = 2.ln\left( \frac{\sqrt{3}}{2} ight) - 2ln\frac{1}{2} - 2ln1 + 2ln\frac{\sqrt{3}}{2}

    = 4ln\left( \frac{\sqrt{3}}{2} ight) - 2ln2 = 2ln\frac{3}{4} + 2ln2 = 2ln\frac{3}{2}

    \Rightarrow S = 2 + 3 + 2 = 7

  • Câu 24: Vận dụng

    Xác định số cực trị của đồ thị hàm số

    Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}. Hỏi đồ thị của hàm số y = F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}} nên suy ra F'(x) = f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}

    Ta có: F'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x - \cos x}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - \cos x = 0 \\ x \in \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\} \\ \end{matrix} ight.\ (1)

    Xét hàm số g(x) = x - \cos x trên \lbrack - 1;1brack, ta có: g'(x) = 1 + \sin x \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1brack suy ra hàm số g(x) đồng biến trên \lbrack - 1;1brack.

    Vậy phương trình g(x) = x - \cos x = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên \lbrack - 1;1brack (2)

    Mặt khác ta có hàm số g(x) = x - \cos x liên tục trên (0;1) và \left\{ \begin{matrix} g(0) = 0 - cos0 = - 1 < 0 \\ g(1) = 1 - cos1 > 0 \\ \end{matrix} ight. nên g(0)g(1) < 0.

    Suy ra tồn tại x_{0} \in (0;1) sao cho g\left( x_{0} ight) = 0 (3)

    Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình F'(x) = 0 có nghiệm duy nhất x_{0} eq 0.

    Đồng thời vì x_{0} là nghiệm bội lẻ nên F'(x) đổi dấu qua x = x_{0}

    Vậy đồ thị hàm số y = F(x) có một điểm cực trị.

  • Câu 25: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} - 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2.

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.

    Ảnh có chứa hàng, Hình chữ nhật, biểu đồ, Song songMô tả được tạo tự động

    S = \int_{0}^{2}\left| x^{3} - 1 \right|\ dx = \int_{0}^{1}\left| x^{3} - 1 \right|dx + \int_{1}^{2}\left| x^{3} - 1 \right|dx

    = \int_{0}^{1}\left( 1 - x^{3} \right)dx + \int_{1}^{2}\left( x^{3} - 1 \right)dx

    = \left. \ \left( x - \frac{x^{4}}{4} \right) \right|_{0}^{1} + \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - x \right) \right|_{1}^{2} = \frac{7}{2}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 5?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C

  • Câu 29: Nhận biết

    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính tích phân

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 31: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1 và x = 3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3} ight| = 20

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt{2 + \cos x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = \frac{\pi}{2} . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2 + \cos x}, x = 0, x = \frac{\pi}{2} và trục hoành khi quay quanh Ox là:

    V_{x} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( 2 + \cos x ight)dx} = \left. \ \pi\left( 2x + \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \pi(\pi + 1) (đvtt).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm giá trị của tích phân I

    Tích phân I = \int_{1}^{2}{\left( x^{2} + \frac{x}{x + 1} \right)dx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{1}^{2}{\left( x^{2} + \frac{x}{x + 1} ight)dx} có giá trị là:

    Ta có: I = \int_{1}^{2}{\left( x^{2} + \frac{x}{x + 1} ight)dx} = \int_{1}^{2}{\left( x^{2} + 1 - \frac{1}{x + 1} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x - \ln|x + 1| ight) ight|_{1}^{2}

    = \frac{8}{3} + 2 - ln3 - \left( \frac{1}{3} + 1 - ln2 ight)

    = \frac{10}{3} + ln2 - ln3

    Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm tra mà thôi.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) = cos3x.cosx. Một nguyên hàm của hàm số f(x) bằng 0 khi x = 0 là:

    Ta có:

    F(x) =\int_{}^{}{\cos3x.\cos x.dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{(cos2x + cos4x)dx} = \frac{1}{8}sin4x + \frac{1}{4}sin2x + C

    F(0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}sin0 + \frac{1}{4}sin0 + C = 0

    \Leftrightarrow C = 0

    Vậy F(x) = \frac{cos4x}{8} + \frac{cos2x}{4}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm tham số a thỏa mãn điều kiện

    Giá trị dương a sao cho \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \frac{a^{2}}{2} + a + ln3 là

    Ta có:

    I = \int_{0}^{a}{\frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 1}dx} = \int_{0}^{a}{\frac{(x + 1)^{2} + 1}{x + 1}dx}

    = \int_{0}^{a}{x + 1 + \frac{1}{x + 1}d(x + 1)}

    = \left. \ \frac{(x + 1)^{2}}{2} ight|_{0}^{a} + \left. \ \ln|x + 1| ight|_{0}^{a} = \frac{(a + 1)^{2}}{2} - \frac{1}{2} + \ln|a + 1|

    = \frac{a^{2}}{2} + a + \ln|a + 1|

    \Rightarrow a + 1 = 3 \Rightarrow a = 2.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Chọn phương án thích hợp

    Tìm I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx?

    Đặt: T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}

    \Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}

    = \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)

    Mặt khác:

    I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}} = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx

    \Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx

    \Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)

    Từ (1);(2) ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.

  • Câu 37: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Chọn kết quả đúng

    Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đồng. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện

    Suy ra elip: \frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{12,5^{2}} = 1. Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox.

    \Rightarrow V = \left| \pi\int_{- 14}^{14}{12,5^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} ight)dx} ight| = \frac{8750\pi}{3}

    Số tiền thu được là:

    20000.\frac{8750\pi}{3} \approx 183259 \approx 183000 đồng.

  • Câu 39: Nhận biết

    Hàm số y = x^3 + x có nguyên hàm là:

    Hàm số y = {x^3} + x có nguyên hàm là:

     Ta có: \int {\left( {{x^3} + x} ight)dx} = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính thể tích V

    Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} + 1;y = x^{3} + 1 quay quanh Ox.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{2} + 1 = x^{3} + 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left| \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ight|dx}

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ightbrack dx} ight|

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{6} + x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} ight)dx} ight|

    = \pi\left| \left. \ \left( - \frac{1}{7}x^{7} + \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{47\pi}{210}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
20 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 - Kết nối tri thức
Xem thêm