Tính thể tích của vật thể
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
là một hình tròn có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể là?
Ta có:
Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm và tích phân Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
Tính thể tích của vật thể
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
là một hình tròn có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể là?
Ta có:
Chọn kết luận đúng
Tích phân
được phân tích thành:
Ta có: .
Đáp án đúng là .
Tính thời gian đi đến trường
Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
. Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là
. Biết quãng đường từ nhà đến trường là
. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
Ta có:
Vì
Để học sinh đó đến trường thì
Vậy đáp án cần tìm là phút.
Tính diện tích hình (H)
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường parabol
và tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có tọa độ
. Diện tích của hình (H) là:
Xét hàm số trên
. Ta có:
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm của đồ thị hàm số
là
Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình . Xét phương trình tương giao của (P) và ∆
Gọi là diện tích hình phẳng
khi đó
Vì nên
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số
. Gọi
là một nguyên hàm của
, biết rằng
thì:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là:
Chọn đáp án đúng
Biết
, với a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính
.
Ta có:
Ta có:
Xác định nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của
là:
Ta biến đổi:
.
Đặt.
.
.
Tìm đáp án đúng
Tích phân
, với
có giá trị là:
Xét tích phân , với
Ta biến đổi:
.
Ta nhận thấy: . Ta dùng đổi biến số.
Đặt .
Đổi cận.
Ta có:
.
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho đồ thị của hàm số
như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
Dựa vào hình vẽ ta được: .
Tính tích phân
Tích phân
bằng:
Ta có:
Tính tích phân
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Tính giá trị biểu thức
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Tính tích phân
Tích phân
bằng
Ta có:
Đặt
Tính giá trị biểu thức
Biết
với
. Xác định giá trị biểu thức
?
Đặt khi đó ta có:
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Xác định họ nguyên hàm của f(x)
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
.
Ta có
.
Do nên
.
Vậy hàm số cần tìm là .
Tính giá trị của tích phân
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Xét .
Đặt .
Đổi cận .
.
Xét .
Đặt .
Đổi cận .
.
.
Vậy đáp án cần chọn là: .
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng?
Ta có:
Tính thể tích nước
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Tính giá trị biểu thức
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số
. Một nguyên hàm của hàm số
bằng 0 khi
là:
Ta có:
Vậy
Chọn đáp án đúng
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm .
Từ giả thiết, ta có
.
Suy ra .
Vậy .
Đặt .
.
Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Ta có
Từ giả thiết:
.
Vậy .
Chọn đáp án đúng
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục
:
.
Thể tích khối tròn xoay
.
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
(phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tìm nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của hàm số
là hàm số nào trong các hàm số sau?
Vì với mọi
nên
Vậy đáp án cần tìm là:
Tính giá trị biểu thức S
Biết
, với
. Tính giá trị
?
Ta có:
Tìm giá trị của tích phân I
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân
Ta có:
Xét .
Đặt .
.
.
Tìm thể tích khối tròn xoay
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Tìm kết luận đúng
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Xét tính đúng sai của các nhận định
Cho hàm số
.
a) Một nguyên hàm của hàm số
là
. Sai||Đúng
b)
là một nguyên hàm của hàm số
. Sai||Đúng
c) Nguyên hàm
của hàm số
thoả mãn
là
Đúng||Sai
d) Tích phân
. Sai||Đúng
Cho hàm số
.
a) Một nguyên hàm của hàm số
là
. Sai||Đúng
b)
là một nguyên hàm của hàm số
. Sai||Đúng
c) Nguyên hàm
của hàm số
thoả mãn
là
Đúng||Sai
d) Tích phân
. Sai||Đúng
a) (NB) Một nguyên hàm của hàm số là
b) (NB) là một nguyên hàm của hàm số
c) (NB) Nguyên hàm của hàm số
thoả mãn
là
d) (TH) Tích phân .
Vậy đáp án a) đúng, b) đúng, c) sai, d) đúng.
Tìm diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Giá trị của biểu thức T
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
Tính giá trị biểu thức
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Tính giá trị biểu thức
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Xác định giá trị S đúng nhất
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Chọn đáp án đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc
m/s2. Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây:
Từ giả thiết ta có
Mà
Ô tô chuyển động được 20m thì dừng tại thời điểm
Suy ra
Chọn đáp án đúng
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi
là:
Ta có
Khi .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: