Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm và tích phân Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Tính quãng đường người chạy được

    Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với I\left( \frac{1}{2};8 \right) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:

    s = \int_{0}^{0,75}{\left( - 32t^{2} + 32t ight)dt}

    = \left( - \frac{32}{3}t^{3} + 16t^{2} ight)|_{0}^{0,75} = 4,5(km)

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 4: Nhận biết

    Chọn công thức đúng

    Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm vận tốc của anh B

    Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn 5 giây so với anh A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{\left( \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18} ight)dt} = 75(m)

    Vận tốc của anh B tại thời điểm t(s) tính từ lúc anh B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{10}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{10} = 50a(m)

    \Rightarrow 50a = 75 \Rightarrow a = \frac{3}{2}

    Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là: v_{B}(20) = 10a = 15(m/s)

  • Câu 6: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx} có giá trị là:

    Ta có:

    \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \sqrt{x + 1} + 1

    \Rightarrow I = \int_{- 1}^{1}\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx = \int_{- 1}^{1}\left( \sqrt{x + 1} + 1 ight)dx

    = \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + x ightbrack ight|_{- 1}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính thể tích khối tròn xoay

    Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2;y = 0;x = - 1;x = 2 quanh trục Ox bằng

    Ta có:

    V = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{2} - 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{4x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{2} = \frac{18\pi}{5}

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định thể tích khối tròn xoay

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: - x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Chọn kết luận chính xác nhất

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số f(x);g(x);h(x) như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?

    Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack h(x) - g(x) ightbrack dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack dx}.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính tích phân I

    Giả sử \int_{- 1}^{1}{f(t)dt} = 5 và \int_{- 1}^{3}{f(r)dr} = 6. Tính I = \int_{1}^{3}{f(u)du}

    Ta có: I = \int_{1}^{3}{f(u)du} = \int_{- 1}^{3}{f(u)du} - \int_{- 1}^{1}{f(u)du} = 6 - 5 = 1

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{ln5}^{ln12}{\sqrt{e^{x} + 4}dx} có giá trị là:

    Xét tích phân I = \int_{ln5}^{ln12}{\sqrt{e^{x} + 4}dx}

    Đặt: t = \sqrt{e^{x} + 4} \Leftrightarrow t^{2} = e^{x} + 4 \Rightarrow 2tdt = e^{x}dx \Rightarrow dx = \frac{2tdt}{t^{2} - 4}.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = ln5 \Rightarrow x = 3 \\ x = ln12 \Rightarrow x = 4 \\ \end{matrix} ight..

    I = {\int_{3}^{4}{\frac{2t^{2}}{t^{2} - 4}dt = 2\left. \ \left( t - 2ln\left| \frac{t + 2}{t - 2} ight| ight) ight|}}_{3}^{4} = 2 - 2ln3 + 2ln5.

    Đáp án đúng là I = 2 - 2ln3 + 2ln5.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

     \begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{dx}{\sin x} = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{1 - cos^{2}x} = \int_{}^{}\frac{- \sin x.dx}{cos^{2}x - 1}}}

    = \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x\right)}{cos^{2}x - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{\cos x - 1}{\cos x +1} \right| + C}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x + 2x

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^x} + 2x thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}. Tìm F(x).

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }

    Theo bài ra ta có:

    F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    => F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính thể tích chiếc ly

    Một ly rượu thủy tinh có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của ly (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà ly có thể chứa được (làm tròn 2 chữ số thập phân)

    Parabol có phương trình y = \frac{5}{8}x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{8}{5}y

    Thể tích tối đa cốc: V = \pi\int_{0}^{10}\left( \frac{8}{5}y \right)dy \approx 251,33.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Tính giá trị của biểu thức M

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính vận tốc chuyển động

    Cho một vật chuyển động có phương trình là: s = 2t^{3} - \frac{2}{t} + 3 (t được tính bằng giây, S tính bằng mét). Vận tốc của chuyển động thẳng t = 2s là:

    Ta có v = s' = 6t^{2} + \frac{2}{t^{2}}

    Với t = 2 \Rightarrow v = 6.2^{2} + \frac{2}{2^{2}} = \frac{49}{2}

  • Câu 20: Vận dụng

    Tìm tập nghiệm của phương trình

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3} thỏa mãn F(0) = - \frac{1}{3}ln4. Tổng các nghiệm của phương trình 3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2 là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C

    = \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C

    Theo bài ra ta có:

    F(0) = - \frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow C = 0

    Ta có:

    3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow x = 2

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.

  • Câu 21: Vận dụng

    Xác định nguyên hàm I

    Theo phương pháp đổi biến số với t = \cos x,u = \sin x, nguyên hàm của I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} là:

    Ta có:\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}.

    Xét I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}.

    Đặt u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C

  • Câu 22: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Tích phân I = \int_{1}^{a}{\left( \frac{a}{x} + \frac{x}{a} \right)dx},với a \neq 0 có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{1}^{a}{\left( \frac{a}{x} + \frac{x}{a} ight)dx}, với a eq 0 có giá trị là:

    I = \int_{1}^{a}{\left( \frac{a}{x} + \frac{x}{a} ight)dx} = \left. \ \left( a\ln|x| + \frac{x^{2}}{2a} ight) ight|_{1}^{a}

    = a\ln|a| + \frac{a}{2} - \frac{1}{2a} = a\ln|a| + \frac{a^{2} - 1}{2a}

    Đáp án đúng là I = a\ln|a| + \frac{a^{2} - 1}{2a}.

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} và y = x bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} = x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - x ight|dx} = \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{1}{6}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Chọn công thức đúng

    Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

    Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack \left( - x^{2} + 2 ight) - \left( x^{2} - 2x - 2 ight) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3}, trục hoành và hai đường thẳng x = - 1;x = 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2cm?

    Ta có: S = \int_{- 1}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \int_{- 1}^{0}{\left| x^{3} ight|dx} + \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx}

    = - \int_{- 1}^{0}{x^{3}dx} + \int_{0}^{2}{x^{3}dx} = \left. \ - \frac{x^{4}}{4} ight|_{- 1}^{0}\left. \ + \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{2} = \frac{17}{4}

    Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên S = \frac{17}{4}.2^{2} = 17\left( cm^{2} ight)

  • Câu 27: Nhận biết

    Tính tích phân

    Cho \int_{0}^{1}{f(x)dx = 2} và \int_{0}^{1}{g(x)dx = 5}, khi đó \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) - 2g(x) \right\rbrack dx} bằng

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) - 2g(x) ightbrack dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{1}{g(x)dx}

    = 2 - 2.5 = - 8.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Đáp án sai là: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) \Leftrightarrow F^{/}(x) = f(x),\forall x \in (a;b)

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tìm tích phân

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x} và f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 31: Vận dụng

    Xác định tất cả các giá trị tham số a

    Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn \left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack thỏa mãn \int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3\cos x}}dx =\frac{2}{3}.

    Ta có:

    I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx}

    Đặt \sqrt{1 + 3cosx} = t,t \geq 0

    \Rightarrow t^{2} = 1 + 3cosx \Rightarrow 2tdt = - 3sinxdx

    \Leftrightarrow \frac{- 2tdt}{3} = \sin xdx

    \Rightarrow I = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}\frac{tdt}{t} = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}{dt}

    = - \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3cosa} + \frac{2}{3}.2

    Mà I = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{1 + 3cosa} = 1 \Rightarrow \cos a = 0

    \Rightarrow a = \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}

    Suy ra, đáp án là 2.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Biết rằng \int_{3}^{4}{\frac{5x -8}{x^{2} - 3x + 2}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\ln5 với a;b;c là các số hữu tủ. Giá trị của 2^{a - 3b + c} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{4}{\frac{5x - 8}{x^{2} - 3x +2}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}ight)dx}

    = \left. \ 3\ln|x - 1| ight|_{3}^{4} +2\left. \ \ln|x - 2| ight|_{3}^{4}

    = 3\ln2 - 3\ln2 + 2\ln2 = - \ln2 +3\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - 1 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2^{a - 3b + c} = 2^{6} =64

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x} trên \mathbb{R}. Giá trị của biểu thức f\left( F(0) ight) bằng:

    Ta có: \left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'

    = \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}

    = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x} suy ra \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}

    \Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e

  • Câu 34: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1)e^{2x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x - 1).e^{2x} = 0 \Leftrightarrow x = 1.

    Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1).e^{2x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2 được tính bởi công thức:

    S = - \int_{0}^{1}{(x - 1).e^{2x}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 1).e^{2x}dx}

    = \int_{1}^{0}{(x - 1).e^{2x}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 1).e^{2x}dx}

    Đặt I_{1} = \int_{1}^{0}{(x - 1).e^{2x}dx}; I_{2} = \int_{1}^{2}{(x - 1)e^{2x}dx}

    Đặt x - 1 = u \Rightarrow dx = du;vdv = e^{2x}dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}.e^{2x}

    Khi đó I_{0} = \left. \ \frac{1}{2}.e^{2x}.(x - 1) ight|_{a}^{b} - \frac{1}{2}\int_{a}^{b}{e^{2x}dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}.e^{2x}.(x - 1) ight|_{a}^{b} - \left. \ \frac{1}{4}.e^{2x} ight|_{a}^{b}.

    Vậy từ đây ta có I_{1} = - \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4}.e^{0} - \frac{1}{4}.e^{2} ight) = \frac{e^{2}}{4} - \frac{3}{4}.

    I_{2} = \frac{1}{2}.e^{4} - \left( \frac{1}{4}.e^{4} - \frac{1}{4}.e^{2} ight) = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{4}

    Suy ra I = I_{1} + I_{2} = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{2} - \frac{3}{4}

  • Câu 35: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính tích phân I

    Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4 và \int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8. Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt \left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.. Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1

  • Câu 37: Vận dụng

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục nhận giá trị dương trên (0; +\infty) và thỏa mãn f(1) =1; f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0. Giá trị f(3) gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Vì \left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}

    \Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C

    Mà f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}

    \Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm giá trị tích phân

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 40: Vận dụng

    Tính số tiền thu được

    Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28\ cm, trục nhỏ 25\ cm. Biết cứ 1000\ cm^{3} dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.

    Đường elip có trục lớn 28\ cm, trục nhỏ 25\ cm có phương trình:

    \frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{\left( \frac{25}{2} \right)^{2}} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = \left( \frac{25}{2} \right)^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} \right)

    \Leftrightarrow y = \pm \frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}}.

    Do đó thể tích quả dưa là

    V = \pi\int_{- 14}^{14}{\left(\frac{25}{2}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}} \right)^{2}dx}= \pi\left(\frac{25}{2} \right)^{2}\int_{- 14}^{14}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}\right)^{2}dx}

    = \pi\left( \frac{25}{2}\right)^{2}.\left. \ \left( x - \frac{x^{3}}{3.14^{2}} \right)\right|_{- 14}^{14}= \pi\left( \frac{25}{2} \right)^{2}.\frac{56}{3} =\frac{8750\pi}{3}\ cm^{3}.

    Do đó tiền bán nước thu được là \frac{8750\pi.20000}{3.1000} \approx 183259đồng.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
45 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này