Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 4: Nguyên hàm và tích phân Toán 12 sách Kết nối tri thức các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{\sin x}{\cos x - 3} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{- d\left( \cos x - 3 \right)}{\cos x - 3} = - \ln\left| \cos x - 3 \right| + C}}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Chọn kết quả đúng

    Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đồng. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện

    Suy ra elip: \frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{12,5^{2}} = 1. Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox.

    \Rightarrow V = \left| \pi\int_{- 14}^{14}{12,5^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} ight)dx} ight| = \frac{8750\pi}{3}

    Số tiền thu được là:

    20000.\frac{8750\pi}{3} \approx 183259 \approx 183000 đồng.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm F(x)

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 6: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 7: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a;x = b là

    Công thức đúng là: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}

  • Câu 8: Nhận biết

    Chọn phương án đúng

    Hàm số F(x) = e^{x} + \tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào

    Ta có: \left( e^{x} + \tan x + C \right)^{'} = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính tổng S

    Biết \int_{3}^{4}\frac{dx}{x^{2} + x} = aln3 + bln4 + cln5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c

    Ta có:

    I = \int_{3}^{4}\frac{dx}{x^{2} + x} = \int_{3}^{4}{\frac{1}{x(x + 1)}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} ight)dx}

    = \left. \ \left( \ln|x| - \ln|x + 1| ight) ight|_{3}^{4} = \ln4 - \ln5 - (\ln3 - \ln4)

    = - \ln3 + 2\ln4 - \ln5

    \Rightarrow S = a + b + c = 0

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Tính tích phân

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    Vì f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức

    Tìm giá trị thực của F(\pi) = - \frac{1}{2} \cdot để F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = - x^{2} + 2x - 3.

    Để F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = - x^{2} + 2x - 3.

    Ta có: F'(x) = f(x)

    Hay \left( mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 \right)' = - x^{2} + 2x - 3

    \begin{matrix} \left( {m{x^3} + {x^2} - 3x + 4} \right)' = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m{x^2} + 2x - 3 = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m = - 1 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 13: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 1}dx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 1}dx} có giá trị là:

    Cách 1:I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 1}dx} = \left. \ \left( \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{1} = ln2.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính diện tích S

    Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = - x^{3} + 3x^{2} - 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2 là

    Phương trình hoành độ giao điểm

    - x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\left( x^{2} - 2x - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ x = 1 - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó:

    S = \int_{0}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}

    = \left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight| + \left| \int_{1}^{2}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{1}^{2} ight|

    = \frac{5}{2}

  • Câu 15: Vận dụng

    Tính quãng đường chất điểm đi được

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc {v_0} = 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a\left( t \right) = {t^2} + 4t (m/s2). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

    Ta có:

    v = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 4t ight)dt}

    \Rightarrow v = 15 + \frac{t^{3}}{3} + 2t^{2}

    Mà s = \int_{}^{}{vdt} \Rightarrow s = 15t + \frac{t^{4}}{12} + \frac{2t^{3}}{3}.

    Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường:

    s(3) = 15.3 + \frac{3^{4}}{12} + \frac{2.3^{3}}{3} = 69,75(m).

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm khẳng định sai

    Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a;b \in K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 17: Nhận biết

    Xác định thể tích của vật

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 18: Vận dụng

    Tìm giá trị biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}, f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2 và thỏa mãn hệ thức f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Giá trị của f( - 2) là:

    Ta có:

    f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}

    \Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}

    \Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C

    Mặt khác f(0) = 0 \Rightarrow C = 0

    Vậy f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}

    \Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vì f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24.

  • Câu 19: Vận dụng

    Tìm giá trị tham số k

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ax^{3} (a > 0), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = k (k > 0) bằng \frac{15a}{4}. Tìm k.

    Kí hiệu đồ thị hàm số như sau:

    Ta thấy hàm số y = ax^{3};(a > 0) luôn đồng biến trên \mathbb{R} và có tâm đối xứng là O(0;0). Hình vẽ minh họa ở bên ta thấy với x \in ( - 1;0) thì ax^{3} < 0, với x \in (0;k) thì ax^{3} > 0.

    Vậy S = \int_{- 1}^{k}{\left| ax^{3} ight|dx = \frac{15a}{4}}

    \Leftrightarrow \int_{- 1}^{0}{\left( ax^{3} ight)dx} + \int_{0}^{k}{\left( ax^{3} ight)dx} = \frac{15a}{4}

    \Leftrightarrow \frac{- ax^{4}}{4}|_{- 1}^{0} + \frac{ax^{4}}{4}|_{0}^{k} = \frac{15a}{4};(k > 0)

    \Leftrightarrow \frac{a}{4} + \frac{ak^{4}}{4} = \frac{15a}{414} \Leftrightarrow k^{4} = 14 \Leftrightarrow k = \sqrt[4]{14}

  • Câu 20: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) =e^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

  • Câu 21: Nhận biết

    Tìm m thỏa mãn yêu cầu

    Đặt I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} với m là tham số thực. Tìm giá trị của tham số m để I = 4?

    Ta có: I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1

    Do I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{2} + 2 và y = 3x:

    Giao điểm tại x^{2} + 2 = 3x \Rightarrow x = 1 \vee 2

    S = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} + 2 - 3x ight|dx}

    = \left| \int_{1}^{2}{\left| x^{2} + 2 - 3x ight|dx} ight| = \left| \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + \left. \ 2x ight|_{1}^{2} ight| = \frac{1}{6}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x \right)dx} có giá trị là:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x ight)dx}

    Ta biến đổi: I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x ight)dx} = \int_{1}^{e}{x\ln x\left( \ln x + 1 ight)dx}.

    Đặt t = x\ln x \Rightarrow dt = \left( \ln x + 1 ight)dx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{0}^{e}{dt} = e.

    Đáp án đúng là I = e.

  • Câu 24: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f'(x) thỏa mãn f(2) = - \frac{1}{25} và f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} với mọi x\mathbb{\in R}. Giá trị của f(1) bằng?

    Ta có:

    f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}

    \Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}

    Theo bài ra ta có: f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}

  • Câu 25: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho hai hàm số f(x) và f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng

    Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = x(1 - x) và y = x^{3} - x có diện tích bằng \frac{a}{b} là phân số tối giản. Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có: x(1 - x) = x^{3} - x

    \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = x(1 - x) và y = x^{3} - x.

    Khi đó S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x \right|dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x \right|dx} + \int_{0}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x \right|dx}

    = \left| \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x \right)dx} \right| + \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x \right)dx} \right|

    = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12} (đvdt).

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Chọn phương án thích hợp

    Tìm I = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx?

    Đặt: T = \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}

    \Rightarrow I + T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx + \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}}

    = \int_{}^{}\frac{sin^{4}x + cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx = x + C_{1}(1)

    Mặt khác:

    I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx - \int_{}^{}{\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx}} = \int_{}^{}\frac{cos^{4}x - sin^{4}x}{sin^{4}x + cos^{4}x}dx

    \Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{cos^{2}x - sin^{2}x}{1 - 2sin^{2}x.cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}\frac{cos2x}{1 - \frac{1}{2}sin^{2}x}dx

    \Leftrightarrow I - T = \int_{}^{}{\frac{2cos2x}{2 - sin^{2}2x}dx} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \frac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) + C_{2}(2)

    Từ (1);(2) ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}I + T = x + C_{1} \\I - T = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} + sin2x}{\sqrt{2} -sin2x} \right) + C_{2} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}I = \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\T = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +sin2x}{\sqrt{2} - sin2x} \right) \right) + C \\\end{matrix} \right.

  • Câu 28: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Tìm H = \int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}?

    Ta có : H = \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}.\frac{x}{\cos x}dx}}

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{x}{\cos x} \\dv = \dfrac{x\cos x}{\left( x\sin x + \cos x \right)^{2}}dx =\dfrac{d\left( x\sin x + \cos x \right)}{\left( x\sin x + \cos x\right)^{2}} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{x\sin x + \cos x}{cos^{2}x}dx \\v = - \dfrac{1}{x\sin x + \cos x} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x}.\frac{1}{xsinx + \cos x} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}

    = \frac{- x}{\cos x\left( x\sin x + \cos x \right)} + \tan x + C

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính tích phân I

    Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x.\sin xdx}

    Có hai cách để giải bài toán:

    Cách 1: Thử bằng máy tính

    Cách 2: Tích phân thành phần: \left\{ \begin{matrix} \sin xdx = dv \\ x = u \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 30: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} và nửa elip có phương trình y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} (với - 2 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Gọi S là diện tích của, biết S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c} (với a;b;c\mathbb{\in R}). Tính P = a + b + c?

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1

    Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

    S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)

    S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}

    S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}. Đặt x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t

    S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}

    =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

    Suy ra S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6

    Vậy P = a + b + c = 9

  • Câu 31: Thông hiểu

    Chọn kết luận chính xác nhất

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số f(x);g(x);h(x) như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?

    Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack h(x) - g(x) ightbrack dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack dx}.

  • Câu 32: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 1

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính tích phân

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 36: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm khẳng định sai

    Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và số k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Khẳng định sai là: \int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm giá trị tham số a thỏa mãn điều kiện

    Cho \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = \frac{1}{3}\ln a,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}dx} = ... = \int_{1}^{2}{\frac{1}{3t}dt} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{1}^{2} = \frac{1}{3}ln2 \Rightarrow a = 2.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} và y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Đáp án sai là: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) \Leftrightarrow F^{/}(x) = f(x),\forall x \in (a;b)

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
50 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này