VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Định phương trình tổng quát của mặt phẳng

Cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 4y - 4z - 12 = 0$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đối xứng $(P)$ của $(S)$ vuông góc với đường kính qua gốc $O.$
- A.
  $3x - 2y + 2z - 17 = 0$
- B.
  $3x + 2y - 2z + 17 = 0$
- C.
  $2x - 3y - 2z - 16 = 0$
- D.
  $3x + 2y + 2z - 17 = 0$
Pháp vecto của $(P):\overrightarrow{n} = \overrightarrow{OI} = (3,2,2).(P)$ qua $I(3 , 2,2)$

$\Rightarrow (P):3(x - 3) + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0$

$\Rightarrow (P):3x + 2y + 2z - 17 = 0$
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho mặt cầu tâm $O$ , bán kính $R$ . Xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ . Hình nón $(N)$ có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $(C)$ và có chiều cao là $h(h > R)$ . Hình trụ $(T)$ có đáy là đường tròn $(C)$ và có cùng chiều cao với hình nón $(N)$ . Tính thể tích $V$ khối trụ được tạo nên bởi $(T)$ theo $R$ , biết $V$ có giá trị lớn nhất.
- A.
  $V = \frac{32}{27}\pi R^{3}$ .
- B.
  $V = \frac{32}{81}\piR^{3}$ .
- C.
  $V = \frac{16}{27}\piR^{3}$ .
- D.
  $V = \frac{64}{9}\piR^{3}$ .
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ $O$ dến mặt phẳng $(P)$ là $d$ với $(0 \leqd \leq R)$ , đường tròn $(C)$ có bán kính là $r$ .
$V = h \cdot \pi \cdot r^{2} = \pi(R +d)\left( R^{2} - d^{2} ight) = \pi\left( - d^{3} - Rd^{2} + R^{2}d +R^{3} ight)$
$V^{'}(d) = \pi\left( - 3d^{2} - 2Rd+ R^{2} ight) = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}d = - 1 \\d = \frac{R}{3} \\\end{matrix} \Rightarrow d = \frac{R}{3} ight.$
Ta có $V(0) = \pi R^{3},V(R) = 0$ và $V\left( \frac{R}{3} ight) =\frac{32}{27}\pi R^{3}$ .
Vậy $V = \frac{32}{27}\piR^{3}$
Câu 3: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 3 = 0$ . Tìm điểm $M \in (P)$ sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
- B.
  $M\left( - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $M(2;2; - 4)$ .
- D.
  $M( - 2; - 2;4)$ .
Gọi $I$ là điểm sao cho $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0)$ .

Từ đó:

$|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH$

với $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $(P)$ .

Từ đó suy ra $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M \equiv H$ .

Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ diểm $H$ là nghiệm $(x;y;z)$ của hệ

$\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .

Vậy, tọa độ điểm $M$ cần tìm là $M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
Câu 4: Vận dụng
Tính khoảng cách từ M đến (P)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 5 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{3}$ . Gọi $A$ là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ và $M$ là điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $AM = \sqrt{84}$ . Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\sqrt{6}$
- B.
  $\sqrt{14}$
- C.
  $3$
- D.
  $5$
Gọi $\alpha = \left( \Delta,(P) ight)$

Khi đó ta có: $\cos\alpha = \frac{|1.2 + 1.1 - 2.3|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(P)$ , khi đó:

$HM = MA.cos\alpha = \sqrt{84}.\frac{\sqrt{21}}{14} = 3$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $H(1;2; - 3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $x + 2y + 3z + 14 = 0$
- C.
  $x + 2y - 3z - 14 = 0$
- D.
  $x + y + z = 0$
Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc eq 0$ .

Khi đó: $(\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2;3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2;3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.$ vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + 3c = 0 \\ a + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = - 3c$

Mặt khác $H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{- 3c} + \frac{4}{- 3c} - \frac{3}{c} = 1$

$\Leftrightarrow 14 = - 3c \Leftrightarrow c = \frac{- 14}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(\alpha):\frac{x}{14} + \frac{y}{7} +\dfrac{z}{- \dfrac{14}{3}} = 1$ hay $(\alpha):x + 2y - 3z - 14 = 0$ .
Câu 6: Vận dụng
Tính độ dài đoạn thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(5; - 3;5)$ , bán kính $R = 2\sqrt{5}$ . Từ một điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$ kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $B$ . Tính $OA$ biết $AB = 4$ .
- A.
  $OA = \sqrt{11}$
- B.
  $OA = 5$
- C.
  $OA = 3$
- D.
  $OA = \sqrt{6}$
Hình vẽ minh họa

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

$d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 5 - 2.( - 3) + 2.5 - 3 ight|}{3} = 6$

Vì AB tiếp xúc với $(S)$ tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

$IA = \sqrt{IB^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + AB^{2}} = 6 = d\left( I;(P) ight)$

Đường thẳng IA đi qua $I(5; −3; 5)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1; - 2;2)$ nên có phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Do $A = IA ∩ (P)$ nên $5 + t − 2(−3 − 2t) + 2(5 + 2t) − 3 = 0 ⇔ t = −2$

Vậy A(3; 1; 1) nên $OA = \sqrt{11}$ .
Câu 7: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(2;2; - 3)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Khi $t = - 2$ đường thẳng $(d)$ đi qua điểm A có tọa độ $(12; - 4; - 3)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{u} = ( - 5;2;0)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

d) Điểm $N(7; - 2;3)$ không nằm trên đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5t \\ y = 2t \\ z = - 3 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

a) Điểm $M(2;2; - 3)$ thuộc đường thẳng $(d)$ . Sai||Đúng

b) Khi $t = - 2$ đường thẳng $(d)$ đi qua điểm A có tọa độ $(12; - 4; - 3)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $(d)$ nhận $\overrightarrow{u} = ( - 5;2;0)$ là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

d) Điểm $N(7; - 2;3)$ không nằm trên đường thẳng $(d)$ . Đúng||Sai

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Phương án a) sai vì:

Thay $M(2;2; - 3)$ vào đường thẳng $(d)$ , ta có $\left\{ \begin{matrix} 2 = 2 - 5t \\ 2 = 2t \\ - 3 = - 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow M(2;2; - 3) \notin (d)$

Phương án b) đúng vì:

Khi thay $t = - 2$ vào phương trình tham số của $(d)$ , ta được:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 5.( - 2) \\ y = 2.( - 2) \\ z = - 3 \end{matrix} \right.$

Vậy $\Leftrightarrow A(12, - 4, - 3) \in (d)$

Phương án c) đúng vì từ phương trình tham số ta có $\overrightarrow{v} = ( - 5;2;0)$ là một vectơ chỉ phương của $(d)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 5;2;0) = - ( - 5;2;0) = - \overrightarrow{u}$ do đó $\overrightarrow{u} = ( - 5;2;0)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ .

Phương án d) đúng vì đường thẳng $(d)$ luôn đi qua điểm có cao độ bằng -3, ta có $z_{N} = 3 \Rightarrow N \notin (d)$
Câu 8: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu

Mặt cầu $(S)$ tâm $I( - 1;2; - 3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0$ có phương trình:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{4}{9}.$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = \frac{4}{9}.$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = \frac{4}{3}.$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = \frac{16}{3}.$
Mặt cầu $(S)$ tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$

$\Leftrightarrow d\left( I;(P) \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{2}{3}.$

$\Rightarrow (S)$ : $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = \frac{4}{9}.$
Câu 9: Nhận biết
Tìm điểm thuộc đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 3y - z + 8 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n_{1}}(1; - 3;1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{n_{2}}(1; - 3; - 1)$ .
- C.
  $\overrightarrow{n_{3}}(1; - 3;8)$ .
- D.
  ${\overrightarrow{n}}_{4}(1;3;8)$ .
Ta có:

$(P):x–3y–z + 8 = 0$ nên (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 3; - 1)$
Câu 11: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Chọn khẳng định sai
- A.
  Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ thì $k\overrightarrow{n}\ \ (k\mathbb{\in R})$ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .
- B.
  Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó.
- C.
  Mọi mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ đều có phương trình dạng: $Ax + By + Cz + D = 0\ \ (A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0)$ .
- D.
  Trong không gian $Oxyz$ , mỗi phương trình dạng: $Ax + By + Cz + D = 0\ \ (A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0)$ đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó.
Câu sai: “Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ thì $k\overrightarrow{n}\ \ (k\mathbb{\in R})$ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .”
Câu 12: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + y + 6z - 1 = 0$ và hai điểm $A(1; - 1;0),B( - 1;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $AB$ trên mặt phẳng $(P)$ có độ dài bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{\frac{255}{61}}$
- B.
  $\sqrt{\frac{237}{41}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{137}{41}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{155}{61}}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (2; - 1; - 1)$ . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

Khi đó: $\sin\alpha = \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2 + 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{246}}$

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

$AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}$ $= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}$
Câu 13: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 14: Nhận biết
Xác định số phương trình mặt cầu

Cho các phương trình sau: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1;$ $x^{2} + (2y - 1)^{2} + z^{2} = 4;$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0;$ $(2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16.$

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
- A.
  4.
- B.
  3.
- C.
  2.
- D.
  1.
Ta có: $(2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16$ $\Leftrightarrow \left(x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + z^{2}= 4$

$(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ là phương trình của một mặt cầu.

Có tất cả 3 phương trình mặt cầu
Câu 15: Vận dụng
Xác định phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(3;2;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\ y'Oy,\ z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $3x + y + 2z - 14 = 0$
- B.
  $3x + 2y + z - 14 = 0$
- C.
  $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$
- D.
  $\frac{x}{12} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$
Xét tứ diện OABC có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot CM \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(COM) \Rightarrow AB\bot OM$

Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

Từ đó $OM ⊥ (ABC)$ .

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{OM} = (3;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$3(x - 3) + 2(y - 2) + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = \ 0$
Câu 16: Nhận biết
Xác định vectơ pháp tuyến

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3x - 6y - 4z + 36 = 0$ . Gọi $A,B,C$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.ABC$ .
- A.
  $V = 216$
- B.
  $V = 108$
- C.
  $V = 117$
- D.
  $V = 234$
Ta có: $(P):3x - 6y - 4z + 36 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{- 12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$

$(P)$ cắt các trục tọa độ tại $A( - 12;0;0),B(0;6;0),C(0;0;9)$

Do $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nên $V = \frac{1}{6}.OA\ .OB\ OC = \frac{1}{6}.12.6.9 = 108$
Câu 18: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;4;5)$ , $B(3;4;0)$ , $C(2; - 1;0)$ và mặt phẳng $(P):3x - 3y - 2z - 12 = 0$ . Gọi $M(a;b;c)$ thuộc $(P)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a + b + c$ .
- A.
  3.
- B.
  2.
- C.
  -2.
- D.
  -3.
Giả sử $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - x;4 - y;5 - z) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - x;4 - y; - z) \\ \overrightarrow{IC} = (2 - x; - 1 - y; - z) \\ \end{matrix} \right.$

$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = (10 - 5x;5 - 5y;5 - 5z)$ ;

$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(2;1;1)$ ;

$MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} + 3{\overrightarrow{MC}}^{2}$

$= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^{2} + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right)^{2}$

$= 5MI^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} \right) + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

$= 5MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ (vì $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ )

Vì I cố định nên $MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

Phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = 1 - 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right.$ .

Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}x = 2 + 3t \\y = 1 - 3t \\z = 1 - 2t \\3x - 3y - 2z - 12 = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{7}{2} \\y = - \dfrac{1}{2} \\x = 0 \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow M\left( \frac{7}{2}; - \frac{1}{2};0 \right) \Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $(P)$ , số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q):x - y - 11 = 0$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Vì $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{OH} = (2; - 1; - 2)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 1;0)$ .

Gọi $\varphi$ là số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ , ta có:

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + ( - 2).0 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 45^{0}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ bằng
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$

$\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4);\left\lbrack \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u} \right\rbrack = (16;8; - 4)$

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 2\sqrt{14}$

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 3

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 2

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 4

Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 6