VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Nhận biết
Viết phương trình đường thẳng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A( - 2;3;2)$ và $B(5;4; - 1)$ là
- A.
  $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
- B.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ .
- C.
  $\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{- 1}$ .
- D.
  $\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{- 1}$ .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{AB} = (7;1; - 3)$ và đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;3;2)$ .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ và các điểm $A(1;0;2),B( - 1;2;2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng $ax + by + cz + 3 = 0$ . Tính $T = a + b +c.$
- A.
  3.
- B.
  $- 3.$
- C.
  0.
- D.
  $- 2.$
Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 4$ .

Vì $IA = \sqrt{5} < R$ nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán

kính đường tròn giao tuyến, ta có $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$ với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi $d = IH$ tức IH vuông góc với (P).

Phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ (t\mathbb{\in R})$

Gọi $H(1 - t;t;2)$ . $\overrightarrow{IH} = ( - t;t - 2; - 1)$ .

$IH\bot AB \Leftrightarrow t + (t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 1$ . Suy ra $H(0;1;2)$ .

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{IH}$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

$- (x - 1) - y - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0$ .

Vậy $a + b + c =- 3$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A

Trong không gian $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A(3;2;1)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;2;1)$ .
- B.
  $(3;0;0)$ .
- C.
  $(0;0;1)$ .
- D.
  $(0;2;0)$ .
Trong không gian $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A(3;2;1)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là: $(3;0;0)$
Câu 4: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;3; - 1)$ cắt $d$ tại $B$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(\alpha):x + y + z - 1 = 0$ bằng $2\sqrt{3}$ .
- A.
  $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 2}{- 1}.$
- B.
  $\frac{x - 7}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 4}{1}.$
- C.
  $\frac{x - 3}{- 2} = \frac{y - 6}{- 3} = \frac{z + 2}{2}.$
- D.
  $\frac{x + 3}{- 5} = \frac{y + 6}{- 9} = \frac{z - 2}{5}$ và $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 2}{- 1}.$
$B \in d \Rightarrow B(1 + t;2 + 2t; - t)$

$d\left( B,(\alpha) ight) = 2\sqrt{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(3;6; - 2),\ \overrightarrow{AB} = (1;3; - 1) \\ B( - 3; - 6;4),\ \overrightarrow{AB} = ( - 5; - 9;5) \\ \end{matrix} ight.$ S

$\Delta$ đi qua điểm $B$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\frac{x + 3}{- 5} = \frac{y + 6}{- 9} = \frac{z - 2}{5}$ và $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 2}{- 1}.$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trong không gian $Oxyz$ , hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{\sqrt{2}} = \frac{z - 3}{1}$ và $d_{2}:\frac{x + 5}{1} = \frac{y + 3}{\sqrt{2}} = \frac{z - 5}{m}$ tạo với nhau góc $60^{0}$ , giá trị của tham số m bằng
- A.
  $m = - 1$ .
- B.
  $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
- C.
  $m = \frac{1}{2}$ .
- D.
  $m = 1$ .
Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $d_{1};d_{2}$ lần lượt là $\overrightarrow{u_{1}} = \left( 1;\sqrt{2};1 \right)$ và $\overrightarrow{u_{2}} = \left( 1;\sqrt{2};m \right)$ .

Theo công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng thì $\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|}$ với $\varphi = \widehat{\left( d_{1};d_{2} \right)}$ .

Từ giả thiết suy ra

$\frac{1}{2} = \frac{|3 + m|}{2\sqrt{m^{2} + 3}} \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + 3} = |3 + m|$

$\Leftrightarrow m^{2} + 3 = (3 + m)^{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 3 = m^{2} + 6m + 9 \Leftrightarrow m = - 1$
Câu 6: Nhận biết
Tìm phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)$ ?
- A.
  $4x - 3y + 6z - 12 = 0$ .
- B.
  $4x + 3y - 6z + 12 = 0$ .
- C.
  $4x - 3y + 6z + 12 = 0$ .
- D.
  $4x + 3y + 6z + 12 = 0$ .
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1$

$\Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12$

$\Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm điều kiện của tham số m

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , giá trị dương của tham số $m$ sao cho mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ là:
- A.
  $m = 5$
- B.
  $m = \sqrt{3}$
- C.
  $m = 3$
- D.
  $m = \sqrt{5}$
Ta có: $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$

Mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ có tâm $I(3;0;2)$ và bán kính $R = \sqrt{m^{2} + 1}$

Để mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ thì

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{m^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 1 = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}$ . Vì m nhận giá trị dương nên $m = \sqrt{3}$ .

Vậy $m = \sqrt{3}$ thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 8: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1;1;1)$ , $B(0;2;2)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $M,N$ (không trùng với gốc tọa độ $O$ ) sao cho $OM = 2ON$
- A.
  $(P):2x + 3y - z - 4 = 0$ .
- B.
  $(P):x + 2y - z - 2 = 0$ .
- C.
  $(P):x - 2y - z + 2 = 0$ .
- D.
  $(P):3x + y + 2z - 6 = 0$ .
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0)$ lần lượt là giao điểm của $(P)$ với các tia $Ox,Oy(a,b > 0)$

Do $OM = 2ON \Leftrightarrow a = 2b \Rightarrow \overrightarrow{MN}( - 2b;b;0) = - b(2; - 1;0)$ .

Đặt $\overrightarrow{u}(2; - 1;0)$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P) \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 1;2;1)$

Phương trình măt phẳng $(P):x - 2y - z + 2 = 0$ .
Câu 9: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $2$ điểm $A(3; - 2;3)$ , $B(1;0;5)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm tọa độ điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(1;2;3)$ .
- B.
  $M(2;0;5)$ .
- C.
  $M(3; - 2;7)$ .
- D.
  $M(3;0;4)$ .
Cách 1. Tâm tỉ cự.

Gọi $I(2; - 1;4)$ là trung điểm của $AB$ .

Ta có:

$MA^{2} + MB^{2} = 2MI^{2} + IA^{2} + IB^{2}$ nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d.

Ghi $\frac{x - 2y + 2z}{9}$ CALC (nhập bộ khi thay I vào tử của d) $1 = - 3 = 1 = \ =$ STO M bấm AC

Ghi $1 + M:2 - 2M:3 + 2M = = \ =$ ta được $M(2;0;5)$ .

Cách 2. Khảo sát Parabol.

Gọi $M(1 + t;2 - 2t;3 + 2t) \in d$ , khi đó $MA^{2} + MB^{2} = (t - 2)^{2} + (2t - 4)^{2} + 5t^{2} + 2(2t - 2)^{2}$ là Parabol đối với t, nên đạt GTNN tại $t = - \frac{- 4 - 16 - 16}{2.18} = 1 \Rightarrow M(2;0;5)$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính góc giữa (P) và trục Ox

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 11: Vận dụng
Lập phương trình mặt phẳng (Q)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 1 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $\Delta$ sao cho $(Q)$ tạo với $(P)$ góc nhỏ nhất.
- A.
  $2x - y + 2z + 1 = 0$ .
- B.
  $10x - 7y + 13z + 3 = 0$ .
- C.
  $2x + y - z = 0$ .
- D.
  $- x + 6y + 4z + 5 = 0$ .
Gọi A là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ , d là giao tuyến của $(Q)$ và $(P)$ . Lấy điểm B thuộc $\Delta$ và kẻ $BH\bot(P)$ và $BK\bot d$ .

Khi đó $\widehat{BKH} = \alpha$ là góc giữa $(Q)$ và $(P)$ .

Ta có $\tan\alpha = \frac{HB}{HK} \geq \frac{HB}{HA}$ , dấu bằng có khi K trùng A hay d vuông góc với $\Delta$ .

Khi đó: $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = ( - 1;\ \ 6;\ 4)$ và $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (10; - 7;13)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 16.$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 4.$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 56.$
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ , bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): $z = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxy) \right)$

$\Leftrightarrow R = \frac{|6|}{1} = 6$ .

Vậy $(S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.$
Câu 13: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt phẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - z + 1 = 0$ . Gọi mặt phẳng $(Q)$ là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng $(P)$ qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng $(Q)$ là?
- A.
  $x + 2y - z - 1 = 0$
- B.
  $x - 2y - z + 1 = 0$
- C.
  $x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $x - 2y - z - 1 = 0$
Gọi $M(x,y,z)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Điểm $M'( - x,y, - z)$ là điểm đối xứng của $M$ qua trục tung $\Rightarrow (Q): - x + 2y + z + 1 = 0$ là mặt phẳng đi qua $M'$ và là mặt phẳng đối xứng của $(P)$

Vậy $x - 2y - z - 1 = 0$ .
Câu 14: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định sau

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt $Oz$ .

a) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x - 1}{- 3} = y = \frac{z - 1}{1}$ .Sai||Đúng

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K(4; - 1;0)$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt $Oz$ .

a) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .Đúng||Sai

b) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x - 1}{- 3} = y = \frac{z - 1}{1}$ .Sai||Đúng

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K(4; - 1;0)$ .Sai||Đúng

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Gọi $N = \Delta \cap Oz \Rightarrow N \in Oz \Rightarrow N(0;0;c)$ .

$\Delta$ đi qua M và N nên $\Delta$ có 1 vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;c - 1)$ .

d có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ .

$\Delta$ vuông góc với d $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1.( - 1) + 2.0 + 3(c - 1) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{4}{3}$ .

Suy ra $\Delta$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{MN} = ( - 3;0;1)$ .

Vậy $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Khi đó ta có

Phương án a): Đúng vì một vectơ chỉ phương của là $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .

Phương án b): Đúng vì đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$

Phương án c): Sai vì đường thẳng $\Delta$ không tồn tại phương trình chính tắc do $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ .

Phương án d): Sai vì thay toạ độ điểm $K(4; - 1;0)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ không thoả mãn.
Câu 15: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I( - 1;2; - 3)$ và đi qua điểm $A(2;0;0)$ có phương trình:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22.$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 11.$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
Ta có : $\overrightarrow{IA} = (3; - 2;3) \Rightarrow IA = \sqrt{22}$ .

Vậy $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22$ .
Câu 16: Vận dụng
Tìm giá trị biểu thức

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2;0;1),C( - 2;2;3)$ . Đường thẳng $\Delta$ qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ cùng tạo với các đường thẳng $AB;AC$ một góc $\alpha < 45^{0}$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ với $c$ là số nguyên tố và $a;b$ là số nguyên. Giá trị biểu thức $ab + bc + ca$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $- 67$
- B.
  $23$
- C.
  $- 33$
- D.
  $- 37$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2;2);\overrightarrow{AC} = ( - 3;0;4)$

$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 10; - 6)$

$\cos(AB;\Delta) = \frac{|a - 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$\cos(AC;\Delta) = \frac{| - 3a + 4c|}{5\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Theo đề bài, ta suy ra:

$\cos(AB;\Delta) = \cos(AC;\Delta)$

$\Leftrightarrow 5|a - 2b + 2c| = 3| - 3a + 4c|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 7a - 5b - c = 0\ \ \ (1) \\ 2a + 5b - 11c = 0\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ∆ ⊂ (ABC) nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(ABC)}} = 0 \Leftrightarrow 4a + 5b + 3c = 0\ \ (3)$

Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}7a - 5b - c = 0 \\4a + 5b + 3c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 2c}{11} \\b = \dfrac{- 5c}{11} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \left(\dfrac{- 2c}{11};\dfrac{- 5c}{11};c ight)$

Chọn c = 11, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 5;11)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2a + 5b - 11c = 0 \\ 4a + 5b + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 7c \\ b = 5c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = ( - 7c;5c;c)$

Chọn c = 2, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 14;10;2)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét không thỏa mãn).

Vậy $ab + bc + ca = −67$
Câu 17: Vận dụng cao
Tính diện tích tam giác MAB

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - z - 3 = 0$ và điểm $M(1;1;1)$ . Gọi $A$ là điểm thuộc tia $Oz$ , $B$ là hình chiếu của $A$ lên $(\alpha)$ . Biết rằng tam giác $MAB$ cân tại $M$ . Diện tích của tam giác $MAB$ bằng:
- A.
  $6\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{123}}{2}$
- D.
  $3\sqrt{3}$
Gọi $A(0;0;a)$ với $a > 0$ . Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A(0;0;a)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;0; - 1)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

$B \in (\alpha) \Rightarrow t - a + t - 3 = 0$

$\Rightarrow t = \frac{3 + a}{2} \Rightarrow B\left( \frac{3 + a}{2};0;\frac{a - 3}{2} \right)$

Vì tam giác $MAB$ cân tại $M \Rightarrow MA = MB$

$\Rightarrow 1 + 1 + (a - 1)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} \right)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} \right)^{2}$

$\Rightarrow a^{2} - 2a + 1 + 1 = \frac{a^{2} + 2a + 1}{4} + \frac{a^{2} - 10a + 25}{4}$

$\Rightarrow 4a^{2} - 8a + 8 = 2a^{2} - 8a + 26$

$\Rightarrow 2a^{2} = 18 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow A(0;0;3),B(3;0;0)$

Cách 1: Ta có:

$\overrightarrow{AM} = (1;1; - 2),\overrightarrow{BM} = ( - 2;1;1)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack = (3;3;3)$

$\Rightarrow S_{ABM} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack \right| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Cách 2: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ . Ta có $I\left( \frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right)$ .

$IM = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + ( - 1)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$AB = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 3)^{2}} = 3\sqrt{2}$ .

Do đó $S_{ABM} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}.3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .
Câu 18: Thông hiểu

Xét sự đúng sai của các khẳng định

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} \right):2x + y + 2z - 1 = 0$ và $\left( P_{2} \right):x - 2y - 2z - 7 = 0$ .

a) Vectơ có tọa độ $(2\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} \right)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $(1\ ;\ - 2\ ;\ - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} \right)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1\ ;\ - 2\ ;\ - 2)$ bằng $- \frac{4}{9}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$ bằng $116{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} \right):2x + y + 2z - 1 = 0$ và $\left( P_{2} \right):x - 2y - 2z - 7 = 0$ .

a) Vectơ có tọa độ $(2\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} \right)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $(1\ ;\ - 2\ ;\ - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} \right)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1\ ;\ - 2\ ;\ - 2)$ bằng $- \frac{4}{9}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$ bằng $116{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} \right)}} = (2;1;2)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} \right)}} = (1; - 2; - 2)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right) = \frac{2.1 + 1( - 2) + 2( - 2)}{3.3} = - \frac{4}{9}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai

a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Câu 19: Vận dụng
Tính diện tích mặt cầu (S)

Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có $A(0,0,0);\ \ \ B(4,0,0);\ \ \ D(0,6,0);\ \ \ E(0,0,2)$ . Tính diện tích mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hợp chữ nhật.
- A.
  $28\pi$ đvdt
- B.
  42 $\pi$ đvdt
- C.
  $152\pi$ đvdt
- D.
  $56\pi$ đvdt
Mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp hình hợp chữ nhật có tâm là trung điểm chung của 4 đường chéo bằng nhau của hình hộp và có đường chéo bằng đường chéo. (Học sinh tự vẽ hình)

$AG^{2} = AC^{2} + AE^{2} = AB^{2} + AD^{2} + AE^{2}$ $= 16 + 36 + 4 = 56$

$R = \frac{AG}{2} \Rightarrow R^{2} = \frac{AG^{2}}{4} = \frac{56}{4} = 14 \Rightarrow S = 4\pi R^{2} = 56\pi$ đvdt
Câu 20: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ . Mặt phẳng (P) là $- x + 3z - 2 = 0$ có phương trình song song với:
- A.
  Trục Oy.
- B.
  Trục Oz.
- C.
  Mặt phẳng Oxy.
- D.
  Trục Ox.
Mặt phẳng (P) là $- x + 3z - 2 = 0$ có phương trình song song với trục Oy.

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện