Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Phương trình mặt cầu có tâm
và đi qua
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm
có phương trình là:
.
Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian nhé!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Phương trình mặt cầu có tâm
và đi qua
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm
có phương trình là:
.
Xác định điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa đô
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Tính tỉ số thể tích
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
cắt nhau theo giao tuyến đường tròn
. Gọi
là thể tích khối cầu
,
là thể tích khối nón
có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu
và vuông góc với mặt phẳng
, đáy là đường tròn
. Biết độ dài đường cao khối nón
lớn hơn bán kính của khối cầu
. Tính tỉ số
?
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Bán kính đường tròn là:
Thể tích khối cầu (S) là:
Chiều cao hình nón là .
Thể tích khối nón là
Vậy .
Chọn công thức đúng
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, khoảng cách từ điểm
tới đường thẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
, có véc-tơ chỉ phương
.
Ta có và
.
Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng
là:
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, mặt phẳng
có phương trình là
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng
là
.
Viết phương trình chính tắc
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua
và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, cho hai điểm
,
. Hai điểm
thay đổi trên các đoạn
sao cho đường thẳng
chia tam giác
thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi
ngắn nhất thì trung điểm của đoạn
có tọa độ là

Ta có nên tam giác
cân tại O, do vai trò ngang nhau nên
nhỏ nhất khi
.
Tỉ số diện tích , suy ra
Từ đó: , suy ra tọa độ
.
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
. Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
và song song với d là
d có vectơ chỉ phương
Vì song song với
nên
có vectơ chỉ phương
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là
Xét tính đúng sai của các nhận định
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
.
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Sai||Đúng
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
.
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Sai||Đúng
a) nên mệnh đề sai
b) nên mệnh đề đúng
c) mệnh đề đúng
d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Tìm tâm mặt cầu
Cho các điểm
và
và đường thẳng
. Mặt cầu
đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm của
là:
Gọi trên d vì
Tính giá trị nhỏ nhất của OI
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
với
là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn
. Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng

Ta có OABC là tứ diện vuông tại O. Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng d qua M song song với OA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.
Trong mặt phẳng , từ trung điểm N của đoạn OA kẻ đường thẳng
vuông góc với OA tại N cắt d tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Ta có tọa độ điểm , khi đó điểm
.
Do đó .
Dấu bằng xảy ra
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Viết phương trình tham số
Viết phương trình tham số của đường thẳng ![]()
Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:
Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là:
Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:
Cho y = 0, ta có:
Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hình cầu
. Phương trình mặt phẳng
chứa trục
và tiếp xúc với ![]()
Mặt phẳng chứa trục
có dạng:
Ta có:
.
Chọn
Tìm điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa đường thẳng
và tạo với mặt phẳng
một góc
. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta viết phương trình đường thẳng
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên có dạng:
⇒ có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Ta có:
Chọn
Tính thể tích V của khối tứ diện
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Trên đường thẳng
lấy hai điểm A; B sao cho
. Trên đường thẳng
lấy hai điểm
sao cho
. Tính thể tích V của khối tứ diện
.
Ta có đường thẳng đi qua điểm
và có vec tơ chỉ phương
Ta có đường thẳng đi qua điểm
và có vec tơ chỉ phương
Ta có khoảng cách giữa là
Nhận xét rằng
Thể tích khối tứ diện cần tìm là .
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
,
,
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
là
Gọi là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
Phương trình mặt cầu có dạng:
.
Vì ,
,
,
thuộc
nên ta có:
.
Vậy bán kính mặt cầu là:
.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
, thỏa mãn điều kiện,
,
,
vuông góc với mặt đáy
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính cosin của góc giữa
và
. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Chọn đơn vị là a
Có
Vecto chỉ phương của là
Vecto pháp tuyến của là
Vậy
Suy ra:
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: