Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
?
Véc tơ chỉ phương của là
Véc tơ chỉ phương của là
.
Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian nhé!
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
?
Véc tơ chỉ phương của là
Véc tơ chỉ phương của là
.
Chọn đáp án đúng
Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm
và tiếp xúc với mặt phẳng
?
Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
.
:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, gọi
là mặt phẳng song song với mặt phẳng
và cách điểm
một khoảng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì suy ra
Theo giả thiết ta có:
Vậy hoặc
.
Tìm điểm thuộc đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, mặt phẳng
có phương trình là
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng
là
.
Xét tính đúng sai của các nhận định
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
.
a) Điểm
thuộc đường thẳng
.Đúng||Sai
b) Đường thẳng
có một vectơ chỉ phương
.Đúng||Sai
c) Đường thẳng
đi qua điểm
và song song với đường thẳng
là:
.Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của điểm
lên đường thẳng
là:
.Đúng||Sai
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
.
a) Điểm
thuộc đường thẳng
.Đúng||Sai
b) Đường thẳng
có một vectơ chỉ phương
.Đúng||Sai
c) Đường thẳng
đi qua điểm
và song song với đường thẳng
là:
.Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của điểm
lên đường thẳng
là:
.Đúng||Sai
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng
ta được:
.
Phương án b) đúng: Đường thẳng có một vectơ chỉ phương
.
Phương án c) sai: Đường thẳng qua
và song song với đường thẳng
nên có một vectơ chỉ phương
. Suy ra phương trình đường thẳng
:
.
Phương án d) đúng: là hình chiếu vuông góc của
lên
nên
.
Ta có:
Vậy .
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
Xét hệ phương trình
Cho
Cho
Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương
Ta có
Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Chọn đáp án đúng
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
tâm
và đi qua điểm
?
Vì mặt cầu tâm
và đi qua điểm
nên mặt cầu
nhận độ dài đoạn thẳng
làm bán kính.
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Tính khoảng cách lớn nhất
Trong không gian
, , cho hai mặt cầu
có phương trình lần lượt là
và
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu
. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S1) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính .
Mặt cầu (S2) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính .
Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S1), (S2) với mặt phẳng (P).
Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:
Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).
Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là
Ta có:
Mặt khác
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
Từ (1) và (3) ta có:
Từ (2) và (4) suy ra:
Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Xét sự đúng sai của các khẳng định
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
.
a) Vectơ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Điểm
thuộc mặt phẳng
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách từ điểm
đến
bằng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng
qua
,
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
.
a) Vectơ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Điểm
thuộc mặt phẳng
. Sai||Đúng
c) Khoảng cách từ điểm
đến
bằng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng
qua
,
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
. Đúng||Sai
a) Sai: Vectơ pháp tuyến của là
. Ta thấy
không cùng phương với
nên
không là vectơ pháp tuyến của
.
b) Sai: Do nên
không thuộc mặt phẳng
.
c) Đúng: Ta có .
d) Đúng: Ta có chứa
nên
là một vectơ chỉ phương của
.
Lại có vuông góc với
nên
là một vectơ chỉ phương của
.
Khi đó là một vectơ pháp tuyến của
. Vậy
.
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng là:
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hình lập phương
có tâm
. Gọi
là tâm của hình vuông
và điểm
sao cho
(tham khảo hình vẽ).

Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)
Khi đó ta có:
Khi đó
là VTPT của mặt phẳng (MAB)
Lại có:
là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)
Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:
Tìm tập hợp tất cả các điểm M
Cho ba điểm
. Tìm tập hợp các điểm
thỏa mãn ![]()
Theo bài ra ta có:
Mặt cầu:
Tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trong không gian
, hai đường thẳng
và
tạo với nhau góc
, giá trị của tham số m bằng
Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là
và
.
Theo công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng thì với
.
Từ giả thiết suy ra
Tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Trong tất cả các đường thẳng đi qua gốc tọa độ
, cắt đường thẳng
là đường thẳng mà khoảng cách đến A là lớn nhất,
là đường thẳng mà khoảng cách đến A là nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
?
Gọi là mặt phẳng chứa
và đi qua
:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
là đường thẳng qua O và H. Suy ra
có một VTCP
:
Gọi là giao điểm của
và
Khoảng cách từ đến
lớn nhất khi
=> d2 có một VTCP
Ta có.
Xác định phương trình (ABC)
Trong không gian
. Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
cho đường thẳng
. Phương trình chính tắc của đường thẳng
đi qua điểm A(3; 1; -1) và song song với d là
d có vectơ chỉ phương
Vì song song với
nên
có vectơ chỉ phương
đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình chính tắc của là
Chọn đáp án đúng
Trong không gian
, mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
có phương trình là:
Mặt phẳng chứa trục có dạng
Mặt phẳng đi qua điểm nên
Do đó chọn suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là
.
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với
và tiếp xúc với
là
Ta có:
(S) có tâm , bán kính
. (P) song song với (α)
⇒, với
Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên , so với điều kiện ta nhận
.
Vậy .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: