VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I( - 1;2; - 3)$ và đi qua điểm $A(2;0;0)$ có phương trình:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22.$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 11.$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
Ta có : $\overrightarrow{IA} = (3; - 2;3) \Rightarrow IA = \sqrt{22}$ .

Vậy $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1)$ , $B(3;0;1)$ và $C(2;2; - 2)$ . Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ .
- B.
  $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$ .
- C.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$ .
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$ .
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 2;2)$ , $\overrightarrow{AC} = (1;0; - 1)$ .

Mặt phẳng $(ABC)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack = (2;4;2)$ .

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$ .

Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian $Oxyz,$ cho 3 điểm $A(1;0;1);B(3;\ - 2;0);C(1;2;\ - 2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến $(P)$ lớn nhất, biết rằng $(P)$ không cắt đoạn $BC$ . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\ G( - 2;\ 0;\ 3).$
- B.
  $F(3;\ 0;\ - 2).$
- C.
  $\ E(1;3;1).$
- D.
  $\ H(0;3;1).$
Gọi BH, CK là khoảng cách từ B, C đến $(P)$ . Gọi I(2; 0; -1) là trung điểm của BC.

ID là khoảng cách từ I đến $(P)$ , khi đó BHKC là hình thang có ID là đường trung bình nên BH + CK = 2ID

Ta có $ID \leq IA$ suy ra mặt phẳng $(P)$ nhận $\overrightarrow{AI} = (1;0; - 2)$ làm véc tơ pháp tuyến, phương trình $(P):x - 2z + 1 = 0$ và $(P)$ đi qua
Câu 4: Nhận biết
Viết phương trình đường thẳng d

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ . Đường thẳng đi qua điểm $M(2;1; - 1)$ và song song với đường thẳng $\overrightarrow{u} = (1; - 2;1)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$
- B.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 3}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$
Vì đường thẳng song song với đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} 1 + t = 1 + at' \\ 2 - 2t = 0 + t' \\ 3 + t = - 1 + 2t' \\ \end{matrix} \right.$ nên nó có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 1)$ hoặc $\overrightarrow{u} = (1; - 2;1)$ nên loại phương án $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$ .

Vì điểm $M(2;\ 1;\ - 1)$ thuộc đường thẳng $\frac{x}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 3}{1}$ nên chọn phương án $\frac{x}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 3}{1}$ .

Vậy phương trình của đường thẳng là $\frac{x}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 3}{1}.$
Câu 5: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(3; 2; 1)$ , $C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng $(MAB),(MBC),(MCA)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
- A.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{28}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

$BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$

Ta có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$ , suy ra

$\left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng MH nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}}$ làm vectơ chỉ phương nên MH là: $\left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó: $OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 6: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu $\tan\alpha = \sqrt{2}$ thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = AC \cap BD$ .

Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBD) \cap (ABCD) = BD \\ SI\bot BD \\ AI\bot BD \\ \end{matrix} \Rightarrow ((SBD);(ABCD)) = (SI;AI) = SIA ight.$ .

Ta có $tan\alpha = tanSIA = \frac{SA}{AI} \Leftrightarrow SA = a$ .

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a)$ .

Khi đó $\overrightarrow{SA} = (0;0; - a);\overrightarrow{SC} = (a;a; - a);\overrightarrow{SB} = (a;0; - a)$ .

Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = ( - 1;1;0)$ .

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0;1)$ .

Suy ra $cos((SAC);(SBC)) = \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{2}ight|}$ $= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow((SAC);(SBC)) = 60^{\circ}$ .
Câu 7: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính $70km$ . Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1km$ . Một máy bay trực thăng đang ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi $200km/h$ , quỹ đạo bay theo đường thẳng.

a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900$ . Đúng||Sai

b) [TH] Khi máy bay ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng $d$ có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.$ . Đúng||Sai

d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là $35$ phút. Sai||Đúng

Đáp án là:

Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính $70km$ . Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1km$ . Một máy bay trực thăng đang ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi $200km/h$ , quỹ đạo bay theo đường thẳng.

a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900$ . Đúng||Sai

b) [TH] Khi máy bay ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng $d$ có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.$ . Đúng||Sai

d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là $35$ phút. Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm $O(0;\ \ 0;\ \ 0)$ không quá $70km$ .

Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 70^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900$ .

Suy ra mệnh đề đúng

b) Ta có $OA = \sqrt{( - 65)^{2} + ( - 25)^{2} + 30^{2}} \approx 75,8km$

Khi máy bay ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng $d \approx 75,8km > 70km$

Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

Suy ra mệnh đề sai

c) Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;\ 1;\ 0)$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A( - 65; - 25;30)$ nên có phương trình tham số: $\left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra mệnh đề đúng

d) Thay $x,\ y,\ z$ theo $t$ vào phương trình mặt cầu $(S)$ ta được phương trình:

$( - 65 + t)^{2} + ( - 25 + t)^{2} + 30^{2} = 4900 \Leftrightarrow 2t^{2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ hoặc $t = 85$

Thay $t = 5$ vào phương trình của đường thẳng $d$ ta được $M( - 60; - 20;30)$ .

Thay $t = 85$ vào phương trình của đường thẳng $d$ ta được $N(20;60;30)$ .

Suy ra đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $M( - 60; - 20;30)$ và $N(20;60;30)$ .

Hay độ dài đoạn $MN$ là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

$MN = \sqrt{(60 + 20)^{2} + (20 + 60)^{2}} = 80\sqrt{2}km$

Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quảng đường $80\sqrt{2}km$ .

Thời gian đó bằng $\frac{80\sqrt{2}}{200}.60 \approx 33,94$ phút.

Suy ra mệnh đề sai
Câu 8: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt cầu thích hợp

Phương trình mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ nào sau đây tiếp xúc với trục Ox:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 20.$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 40.$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 52.$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 56.$
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ , bán kính R và tiếp xúc trục Ox $\Leftrightarrow R = d(I;Ox)$

$\Leftrightarrow R = \sqrt{y_{I}^{2} + z_{I}^{2}} = \sqrt{52}$ .

Vậy $(S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 52.$

Lưu ý : Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết.
Câu 9: Thông hiểu
Tính góc tạo bởi mặt phẳng và trục Ox

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?
- A.
  $60^{0}$ .
- B.
  $30^{0}$ .
- C.
  $120^{0}$ .
- D.
  $150^{0}$ .
Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 \right)$

Trục Ox có VTCP $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Góc tạo bởi (P) với trục Ox

$\sin\left( (P);Ox \right) = \left| \cos\left( (P);Ox \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{i} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc tạo bởi (P) với trục Ox bằng $60^{()}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ bán kính của mặt cầu tâm $I(1;3;5)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}$ bằng
- A.
  $\sqrt{7}$
- B.
  $\sqrt{14}$
- C.
  $7$
- D.
  $14$
Bán kính mặt cầu cần tìm là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.
Câu 11: Nhận biết
Xác định phương trình mặt phẳng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $A( - 1;2;0)$ và nhận $\overrightarrow{n}( - 1;0;2)$ là VTPT có phương trình là:
- A.
  $- x + 2y - 5 = 0$
- B.
  $- x + 2z - 5 = 0$
- C.
  $- x + 2y - 5 = 0$
- D.
  $- x + 2z - 1 = 0$
Mặt phẳng (P) đi qua điểm $A( - 1;2;0)$ và nhận $\overrightarrow{n}( - 1;0;2)$ là VTPT có phương trình là:

$- 1(x + 1) + 0(y - 2) + 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow - x - 1 + 2z = 0 \Leftrightarrow - x + 2z - 1 = 0$ .

Vậy $- x + 2z - 1 = 0$ .

Phương pháp trắc nghiệm (nên có)

Từ tọa độ VTPT suy ra hệ số B=0, vậy loại ngay đáp án $- x + 2y - 5 = 0$ và $- x + 2y - 5 = 0$

Chọn 1 trong 2 PT còn lại bằng cách thay tọa độ điểm A vào.
Câu 12: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa d và Oy

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ , thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm $M(1; - 2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{1}{5}$
- C.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} d(M;d) = MK \geq MH = 1 \\ H(0; - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $d(M;d)$ nhỏ nhất khi $H \equiv K$ . Khi đó d có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{OH} = (0; - 2;1)$

Khi đó: $\cos(d;Oy) = \frac{\left| \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j} ight|}{\left| \overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng

$\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2t \\ z = 14 - 3t \\ \end{matrix} \right.$ và $\Delta':\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 4t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} \right.$ . Xác định góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ .
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow{u} = (1; - 2; - 3)$ , $\Delta'$ có VTCP $\overrightarrow{u'} = ( - 4;1;5)$ .

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ .

Ta có $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right) \right|$

$= \frac{\left| 1.( - 4) + ( - 2).1 + ( - 3).5 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{( - 4)^{2} + 1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\rightarrow \varphi = 30^{0}.$
Câu 14: Thông hiểu
Tìm độ dài đường cao tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có $A(0;1; - 1),B(1;1;2),C(1; - 1;0),D(0;0;1)$ . Tính độ dài đường cao $AH$ của tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $3\sqrt{2}$
- B.
  $2\sqrt{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\overrightarrow{BA} = ( - 1;0; - 3),\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 2),\overrightarrow{BD} = ( - 1; - 1; - 1)$

$\left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack = (0; - 2; - 2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack.\overrightarrow{BA} = 6$

$V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD} \Rightarrow AH = \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .
Câu 15: Nhận biết
Viết phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ . Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2t \\ y = - 6 - 3t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Do $(2; - 2;1)$ cũng là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right.$ . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d_{1},\ d_{2}$ là.
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 3 \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm

Gọi $A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A(2 + a;1 - a;2 - a)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B(b;3; - 2 + b)$

$\overrightarrow{AB} = ( - a + b - 2;a + 2;a + b - 4)$

$d_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{1}} = (1; - 1; - 1)$

$d_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{2}} = (1;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix} d\bot d_{1} \\ d\bot d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{1}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{2}} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(2;1;2);B(3;3;1)$

$d$ đi qua điểm $A(2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1)$

Vậy phương trình của $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z + 2 = 0$ sao cho giá trị của biểu thức $T = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}$ nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức $a + b + c$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Điểm $M$ luôn tồn tại.

Ta có $M \in (P)$ nên $a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2$ .
Câu 18: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ không cùng phương thì giá của vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack$ vuông góc với mọi mặt phẳng với giá của các vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ .
- B.
  $\left| \left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left|\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.\cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$ .
- C.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{v} = 0$ .
- D.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ cùng phương.
Ta có: $\left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$

Vậy khẳng định sai là: $\left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính diện tích đường tròn

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(1; 2; −2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với $(P)$ .
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
Hình vẽ minh họa

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $AH ⊥ BC, CH ⊥ AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)$

Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

⇒ Phương trình mặt cầu là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 4z = 0$ và điểm $M(1;2; - 1)$ . Một đường thẳng thay đổi qua M cắt (S) tại hai điểm A; B. Tìm giá trị lớn nhất của tổng $MA + MB$ .
- A.
  $8$ .
- B.
  $10$ .
- C.
  $2\sqrt{17}$ .
- D.
  $8 + 2\sqrt{5}$ .
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 2; - 2)$ và bán kính $R = 3$ . Trong khi $IM = \sqrt{17} > 3$ nên M nằm ngoài hình cầu $(S)$ .

Gọi H là trung điểm của AB, có M nằm trên đường AB và nằm ngoài đoạn AB nên có $MA + MB = 2MH$ .

Mặt khác, tam giác $IHM$ vuông tại H nên $HM \leq MI$ . Vậy $MA + MB \leq 2\sqrt{17}$ .

Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng qua M và tâm I của mặt cầu, tức AB lúc này là đường kính của mặt cầu.

Vậy giá trị lớn nhất của tổng $MA + MB$ là $2\sqrt{17}$ .

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện