Định phương trình tổng quát của mặt phẳng
Cho mặt cầu
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đối xứng
của
vuông góc với đường kính qua gốc ![]()
Pháp vecto của qua
Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian nhé!
Định phương trình tổng quát của mặt phẳng
Cho mặt cầu
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đối xứng
của
vuông góc với đường kính qua gốc ![]()
Pháp vecto của qua
Chọn đáp án đúng
Cho mặt cầu tâm
, bán kính
. Xét mặt phẳng
thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn
. Hình nón
có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn
và có chiều cao là
. Hình trụ
có đáy là đường tròn
và có cùng chiều cao với hình nón
. Tính thể tích
khối trụ được tạo nên bởi
theo
, biết
có giá trị lớn nhất.
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ dến mặt phẳng
là
với
, đường tròn
có bán kính là
.
Ta có và
.
Vậy
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
dạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi là điểm sao cho
.
Từ đó:
với là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Từ đó suy ra dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng
là:
.
Tọa độ diểm là nghiệm
của hệ
Suy ra .
Vậy, tọa độ điểm cần tìm là
.
Tính khoảng cách từ M đến (P)
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
và
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Gọi
Khi đó ta có:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, khi đó:
Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
tại
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử .
Khi đó:
Ta có:
Ta có: vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
Mặt khác
Vậy hay
.
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
, bán kính
. Từ một điểm
thuộc mặt phẳng
kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại
. Tính
biết
.
Hình vẽ minh họa
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là
Vì AB tiếp xúc với tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:
Đường thẳng IA đi qua có vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là:
Do nên
Vậy A(3; 1; 1) nên .
Xét tính đúng sai của các nhận định
Trong không gian
, cho đường thẳng
.
a) Điểm
thuộc đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Khi
đường thẳng
đi qua điểm A có tọa độ
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng
nhận
là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai
d) Điểm
không nằm trên đường thẳng
. Đúng||Sai
Trong không gian
, cho đường thẳng
.
a) Điểm
thuộc đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Khi
đường thẳng
đi qua điểm A có tọa độ
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng
nhận
là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai
d) Điểm
không nằm trên đường thẳng
. Đúng||Sai
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Đúng |
Phương án a) sai vì:
Thay vào đường thẳng
, ta có
Phương án b) đúng vì:
Khi thay vào phương trình tham số của
, ta được:
Vậy
Phương án c) đúng vì từ phương trình tham số ta có là một vectơ chỉ phương của
và
do đó
cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Phương án d) đúng vì đường thẳng luôn đi qua điểm có cao độ bằng -3, ta có
Viết phương trình mặt cầu
Mặt cầu
tâm
và tiếp xúc với mặt phẳng
có phương trình:
Mặt cầu tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng
:
Tìm điểm thuộc đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
nên (P) có một vectơ pháp tuyến là
Tìm khẳng định sai
Chọn khẳng định sai
Câu sai: “Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
thì
cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.”
Chọn kết quả đúng
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng
trên mặt phẳng
có độ dài bao nhiêu?
Ta có . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).
Khi đó:
Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Xác định số phương trình mặt cầu
Cho các phương trình sau:
![]()
![]()
Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
Ta có:
là phương trình của một mặt cầu.
Có tất cả 3 phương trình mặt cầu
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Xác định vectơ pháp tuyến
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Tính thể tích khối chóp
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Gọi
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với các trục tọa độ
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Ta có:
cắt các trục tọa độ tại
Do đôi một vuông góc nên
Tính giá trị của biểu thức
Trong không gian hệ tọa độ
, cho điểm
,
,
và mặt phẳng
. Gọi
thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Giả sử là điểm thỏa mãn
.
Khi đó
;
;
(vì
)
Vì I cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)
Phương trình đường thẳng .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ
xuống mặt phẳng
, số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Vì là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Gọi là số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
, ta có:
Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Trong không gian
, khoảng cách từ điểm
tới đường thẳng
bằng
Đường thẳng đi qua
, có véc tơ chỉ phương
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: