VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian nhé!

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Vận dụng cao
Xác định phương trình đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $(P):x + y + z - 7 = 0$ và cắt $d_{1},\ d_{2}$ lần lượt tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là.
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 12 - t \\ y = 5 \\ z = - 9 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = \frac{5}{2} - t \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - 2t \\ y = \frac{5}{2} + t \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Ta có:

$A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a;a; - 2 - a)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b)$

$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1)$

Vì $\Delta//(P)$ nên $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 1$ .Khi đó $\overrightarrow{AB} = ( - a - 1;2a - 5;6 - a)$

$AB = \sqrt{( - a - 1)^{2} + (2a - 5)^{2} + (6 - a)^{2}}$

$= \sqrt{6a^{2} - 30a + 62}$

$= \sqrt{6\left( a - \frac{5}{2} ight)^{2} + \frac{49}{2}} \geq \frac{7\sqrt{2}}{2};\forall a\mathbb{\in R}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight),\ \ \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{7}{2};0;\frac{7}{2} ight)$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight)$ và vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1)$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 2: Vận dụng
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và điểm $M \in OI$ sao cho $MO = \frac{1}{2}MI$ (tham khảo hình vẽ).

Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
- A.
  $\frac{7\sqrt{85}}{85}$
- B.
  $\frac{17\sqrt{13}}{65}$
- C.
  $\frac{6\sqrt{85}}{85}$
- D.
  $\frac{6\sqrt{13}}{65}$
Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)

Khi đó ta có: $M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3} ight)$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MA} = \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{AB};\overrightarrow{MA} ightbrack = \left( 0; -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (0; - 4;3)$ là VTPT của mặt phẳng (MAB)

Lại có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{D'C'} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MD'} = \left( \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}ight) \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{D'C'};\overrightarrow{MD'} ightbrack =\left( 0;\frac{1}{3}; - \frac{1}{2} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;2; - 3)$ là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)

Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:

$\cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{\left| 0.0 - 4.2 + 3.( - 3) ight|}{\sqrt{0^{2} + ( - 4)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{0^{2} + 2^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{17\sqrt{13}}{65}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
- A.
  $60^{0}$ .
- B.
  $30^{0}$ .
- C.
  $120^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$ .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$ .

Khi đó: $\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy $\alpha = 60^{0}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $H(1;2; - 3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $x + 2y + 3z + 14 = 0$
- C.
  $x + 2y - 3z - 14 = 0$
- D.
  $x + y + z = 0$
Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc eq 0$ .

Khi đó: $(\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2;3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2;3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.$ vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + 3c = 0 \\ a + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = - 3c$

Mặt khác $H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{- 3c} + \frac{4}{- 3c} - \frac{3}{c} = 1$

$\Leftrightarrow 14 = - 3c \Leftrightarrow c = \frac{- 14}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(\alpha):\frac{x}{14} + \frac{y}{7} +\dfrac{z}{- \dfrac{14}{3}} = 1$ hay $(\alpha):x + 2y - 3z - 14 = 0$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến trục Ox

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;2;3)$ Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng
- A.
  $\sqrt{5}$ .
- B.
  $\sqrt{10}$
- C.
  $1$ .
- D.
  $\sqrt{13}$ .
Trục Ox có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ và đi qua $O(0;0;0)$ .

Áp dụng công thức, ta có $d(A;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{i};\overrightarrow{OA} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{i} \right|} = \sqrt{13}$ .
Câu 6: Vận dụng
Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - mt \\ z = (m - 1)t \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right),$ $m$ là tham số thực. Các mặt phẳng $(P)$ , $(P')$ chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $T,T'$ . Khi $m$ thay đổi thì độ dài $TT'$ nhỏ nhất là
- A.
  $\frac{4\sqrt{15}}{3}$ .
- B.
  $\frac{4\sqrt{13}}{3}$ .
- C.
  $\frac{4\sqrt{13}}{5}$ .
- D.
  $\frac{5\sqrt{13}}{4}$ .
Gọi K là hình chiếu của tâm I trên d, H là trung điểm của TT’, ta có:

$R^{2} = IT^{2} = IH.IK = \sqrt{R^{2} - HT^{2}}.IK$

$\Rightarrow HT = R\sqrt{1 - \frac{R^{2}}{IK^{2}}} \Rightarrow TT' = 2R\sqrt{1 - \frac{R^{2}}{IK^{2}}}$ .

Ta có $TT'_{\min} \Leftrightarrow \left( \frac{R}{IK} \right)_{\max} \Leftrightarrow IK_{\min} = IE$ , trong đó E là hình chiếu của I trên mặt phẳng cố định $(\alpha):x + y + z - 1 = 0$ chứa d.

Ta có $IE = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{5}{\sqrt{3}} > 2 = R$ .

Vậy $TT'_{\min} = 4\sqrt{1 - \frac{4.3}{25}} = \frac{4\sqrt{13}}{5}$ .
Câu 7: Nhận biết
Tìm vectơ pháp tuyến

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(2;0; - 1),B(1;1;0)$ và $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$
Do $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $(\alpha)$ nhận $\overrightarrow{AB} = ( - 1;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $\overrightarrow{n}(1; - 1; - 1) = - \overrightarrow{AB}$ cũng là vectơ pháp tuyến của (α).
Câu 8: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $P(1;\ \ 4; - 3),\ \ Q( - 5;\ \ 2;5)$ . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho $\left| \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $( - 2;\ \ 3;0)$ .
- B.
  $(0;\ \ 3;0)$ .
- C.
  $( - 6;\ \ 0;0)$ .
- D.
  $( - 2;\ \ 0;0)$ .
Gọi I là trung điểm của PQ ta có tọa độ $I( - 2;\ \ 3;1)$ .

Khi đó $\left| \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} \right| = \left| 2\overrightarrow{MI} \right| = 2MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I trên trục hoành. Vậy tọa độ $M( - 2;\ \ 0;0)$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Xác định số mặt phẳng theo yêu cầu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 3),B\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; -\frac{1}{2} ight)$ $,C(1;1;4),D(5;3;0)$ . Gọi $\left( S_{1} ight)$ là mặt cầu tâm $A$ bán kính bằng $3,\left( S_{2} ight)$ là mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng $\frac{3}{2}$ . Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( S_{1}ight),\left( S_{2} ight)$ đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm $C$ , $D$ ?
- A.
  Vô số
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Hình vẽ minh họa:
Ta có $\overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{5}{2} ight) \Rightarrow AB =\frac{3\sqrt{3}}{2} < 3$ nên $B$ nằm bên trong mặt cầu $\left( S_{1} ight)$ .
Một mặt phẳng qua $A$ và $B$ cắt hai mặt cầu theo hai đường tròn giao tuyến như hình bên.
Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến này sẽ cắt đường thẳng $AB$ tại $M$ .
Gọi $N,E$ lần lượt là tiếp điểm với hai đường tròn như hình vẽ.
Tam giác $ANM$ đồng dạng tam giác $BEM$ nên $\frac{AM}{BM} = \frac{AN}{BE} = 2$ .
Suy ra $\overrightarrow{AM} =2\overrightarrow{AB} \Rightarrow M(2;1;2)$ .
Gọi $(P)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu $\left( S_{1}ight)$ và $\left( S_{2}ight)$ .
Khi đó $(P)$ sẽ luôn đi qua $M$ .
Gọi $\overrightarrow{n} = (m;n;p)$ với $m^{2} + n^{2} + p^{2} eq 0$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .
Phương trình $(P):m(x - 2) + n(y - 1) +p(z - 2) = 0$ .
Ta có:
$\overrightarrow{CD} = (4;2; -4)$
$CD // (P) \Rightarrow\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$
$\Rightarrow 4m + 2n - 4p = 0 \Rightarrown = 2p - 2m$
$d\left( A,(P) ight) = 3\Leftrightarrow \frac{| - m + n - 5p|}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}}} =3$
$\Leftrightarrow | - 3m - 3p| =3\sqrt{m^{2} + (2p - 2m)^{2} + p^{2}}$
$\Leftrightarrow 4m^{2} - 10mp + 4p^{2} =0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m}{p} = \dfrac{1}{2} \\\dfrac{m}{p} = 2 \\\end{matrix} ight.$
Trường hợp $\frac{m}{p} =\frac{1}{2}$ : chọn $m = 1,p = 2\Rightarrow n = 2$ .
Khi đó $(P):x + 2y + 2z - 8 = 0$ (nhận).
Trường hợp $\frac{m}{p} = 2$ : chọn $m = 2,p = 1 \Rightarrow n = -2$ .
Khi đó $(P):2x - 2y + z - 4 = 0$ (loại vì chứa $C,D$ ).
Câu 10: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ d đến (P)

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ . Khoảng cách giữa đưởng thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ đi qua $A(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;0)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight.$ , nên đường thằng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ :

$d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Câu 11: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I( - 3;5;2)$ được thiết kế với bán kính phủ sóng $4\ km$ , mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ km. Xét sự đúng sai của các nhận định dưới đây:

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 16$ . Sai||Đúng

b) Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là $8\ km$ .Đúng||Sai

c) Người dùng điện thoại ở vị trí $A$ có toạ độ $( - 3;4;1)$ không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Sai||Đúng

d) Trong điều kiện giao thông thuận lợi, khoảng cách ngắn nhất để người $B$ ở toạ độ $(8;6;2)$ di chuyển tới vùng phủ sóng là $11,05$ km. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I( - 3;5;2)$ được thiết kế với bán kính phủ sóng $4\ km$ , mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ km. Xét sự đúng sai của các nhận định dưới đây:

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 16$ . Sai||Đúng

b) Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là $8\ km$ .Đúng||Sai

c) Người dùng điện thoại ở vị trí $A$ có toạ độ $( - 3;4;1)$ không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Sai||Đúng

d) Trong điều kiện giao thông thuận lợi, khoảng cách ngắn nhất để người $B$ ở toạ độ $(8;6;2)$ di chuyển tới vùng phủ sóng là $11,05$ km. Sai||Đúng

a) Sai.

Ta có, trạm thu phát sóng là tâm của vùng phủ sóng $I( - 3;5;2)$ , bán kính phủ sóng là $R = 4$ nên phương trình mặt cầu $(S)$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$

b) Đúng.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là $8\ km$ .

c) Sai.

Ta có: $IA = \sqrt{( - 3 + 3)^{2} + (4 - 5)^{2} + (1 - 2)^{2}} = \sqrt{2} < 4$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu hay người dùng điện thoại ở vị trí A có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

d) Sai.

Khoảng cách từ người $B$ đến trạm thu phát sóng là:

$IB = \sqrt{(8 + 3)^{2} + (6 - 5)^{2} + (2 - 2)^{2}} \approx 11,05$ .

Khoảng cách ngắn nhất để người đó di chuyển đến vùng phủ sóng là:

$11,05 - 4 = 7,05$ (km).
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AB = a,BC = 2a$ , cạnh SA vuông góc với mặt đáy $(ABC)$ và $SA = 3a$ . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ . Tính $\sin\alpha$ .
- A.
  $\sin\alpha = \frac{1}{3}$
- B.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{4138}}{120}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$
- D.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Dựng hệ trục toạ độ Oxyz với O trùng A, tia Ox cùng hướng với tia BC, tia Oy trùng tia AB, tia Oz trùng với tia AS.

Ta có $A(0;0;0),B(0;a;0),C(2a;a;0),S(0;0;3a)$ khi đó ta tính được (SAC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0; - 2;0)$ , (SBC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m} = (0;3;1)$ . Từ đó tính được:

$\cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{m} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{m} ight|} = \frac{3\sqrt{2}}{5} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$ .
Câu 13: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính chu vi đường tròn

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
- A.
  $6\pi$
- B.
  $12\pi$
- C.
  $3\pi$
- D.
  $10\pi$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 0)$ và bán kính $R = 5$ .

Ta có $d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4$

Vì $d(I,(α)) < R$ nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

Lấy $M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)$

Tam giác IHM vuông tại M $\Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$

Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng $2π . HM = 6π$ .
Câu 15: Nhận biết
Xác định phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M( - 3; - 2;3)$ và vuông góc với trục $Ox$ .
- A.
  $(P):x + 3 = 0$
- B.
  $(P):x + y + 5 = 0$
- C.
  $(P):y + z - 1 = 0$
- D.
  $(P):x - 3 = 0$
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

$1\left( x - ( - 3) ight) + 0\left( y - ( - 2) ight) + 0(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3 = 0$ .
Câu 16: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I( - 1;2; - 3)$ và đi qua điểm $A(2;0;0)$ có phương trình:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22.$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 11.$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
Ta có : $\overrightarrow{IA} = (3; - 2;3) \Rightarrow IA = \sqrt{22}$ .

Vậy $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22$ .
Câu 17: Thông hiểu
Viết PT mặt phẳng song song với 1 vecto

Cho hai điểm $A\left( {1, - 4,5} ight),B\left( { - 2,3, - 4} ight)$ và vectơ $\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$ . Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ $\vec{a}$ có phương trình:
- A. $34x - 21y + 5z - 25 = 0$
- B. $34x + 21y - 5z + 25 = 0$
- C. $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
- D. $34x - 21y - 5z - 25 = 0$
Theo đề bài, ta có: $A\left( {1, - 4,5} ight);B\left( { - 2,3, - 4} ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 9} ight);\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$
Như vậy, $\vec{AB}$ và $\vec{a}$ sẽ là cặp vectơ chỉ phương của $(\beta)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } ight] = \left( { - 34, - 21, - 5} ight) =\vec{n}$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {34,21,5} ight)$ làm vectơ pháp tuyến của $(\beta)$
Phương trình mặt phẳng $(\beta)$ có dạng $34x + 21y + 5z + D = 0$
Mặt khác, vì điểm $A \in (\beta)$ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng $(\beta)$ được: $34 - 84 + 25 + D = 0 \Leftrightarrow D = 25$
Vậy $(\beta)$ có phương trình là: $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
Câu 18: Nhận biết
Viết phương trình mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A,B,C$ biết tọa độ $A(0; - 1;0)$ , $B(2;0;0),\ C\left( 0;0;\frac{1}{2} \right)$ là
- A.
  $x - 2y + 4z - 2 = 0$ .
- B.
  $x - 2y + 4z + 2 = 0$ .
- C.
  $- 2x + y + 4z - 2 = 0$ .
- D.
  $- 2x + y + 4z + 2 = 0$ .
Ta có:

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{- 1} + \dfrac{z}{\dfrac{1}{2}} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} - y + 2z = 1$

$\Leftrightarrow x - 2y + 4z - 2 = 0$ .
Câu 19: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 1), B (0; 3; −1)$ . Điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(1;0;3)$
- C.
  $(1;2;0)$
- D.
  $(3;0;2)$
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ ta được: $(2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0$

Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

Vậy $MA + MB ≥ AB$ dấu “ = ” xảy ra khi $M = AB ∩ (P)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2)$ chọn vtcp của đường thẳng AB: $\overrightarrow{u} = (1; - 1;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng AB: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Tọa độ $(x; y; z)$ của M là nghiệm hệ:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)$
Câu 20: Nhận biết
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $2\sqrt{3}$ cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} \right.$ . Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là?
- A.
  $x - 2 = y = z + 1.$
- B.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{5}.$
- C.
  $\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 1}{- 5}.$
- D.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{5}.$
Cách 1:

$\Delta$ đi qua điểm $A(2;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = (1; - 3;5)$

Vậy phương trình chính tắc của $Oxyz$ là $\Delta$

Cách 2:

$A( - 2;2;1)$

Vậy phương trình chính tắc của $B$ là $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{5}$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương VI. Xác suất có điều kiện